Dengan modulus nombor nombor ini sendiri disebut, jika bukan negatif, atau nombor yang sama dengan tanda sebaliknya, jika negatif.

Contohnya, modulus nombor 6 adalah 6, modulus nombor -6 juga 6.

Maksudnya, nilai mutlak nombor difahami sebagai nilai mutlak, nilai mutlak nombor ini tanpa mengambil kira tandanya.

Ia ditetapkan seperti berikut: | 6 |, | x|, |tetapi| dan lain-lain.

(Untuk lebih jelasnya, lihat bahagian "Modul nombor").

Persamaan dengan modulus.

Contoh 1 ... Selesaikan persamaan|10 x - 5| = 15.

Keputusan.

Menurut peraturan, persamaan adalah setara dengan gabungan dua persamaan:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Kami membuat keputusan:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Jawapan: x 1 = 2, x 2 = -1.

Contoh 2 ... Selesaikan persamaan|2 x + 1| = x + 2.

Keputusan.

Oleh kerana modulus adalah nombor bukan negatif, maka x+ 2 ≥ 0. Oleh itu:

x ≥ -2.

Kami menyusun dua persamaan:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Kami membuat keputusan:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Kedua-dua nombor lebih besar daripada -2. Oleh itu, kedua-duanya adalah punca persamaan.

Jawapan: x 1 = -1, x 2 = 1.

Contoh 3 ... Selesaikan persamaan

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Keputusan.

Persamaan itu masuk akal jika penyebutnya tidak sifar - ini bermaksud jika x≠ 1. Mari kita ambil kira keadaan ini. Tindakan pertama kami adalah mudah - kami tidak hanya menyingkirkan pecahan, tetapi mengubahnya sehingga kami mendapat modul dalam bentuk tulennya:

|x+ 3 | - 1 = 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Sekarang kita hanya mempunyai ungkapan di bawah modul di sebelah kiri persamaan. Teruskan.
Modulus nombor adalah nombor bukan negatif - iaitu, mestilah lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Oleh itu, kami menyelesaikan ketaksamaan:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Oleh itu, kita mempunyai syarat kedua: akar persamaan mestilah sekurang-kurangnya 3/4.

Sesuai dengan peraturan, kami menyusun satu set dua persamaan dan menyelesaikannya:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Kami menerima dua jawapan. Mari kita periksa sama ada ia adalah punca persamaan asal.

Kami mempunyai dua syarat: punca persamaan tidak boleh sama dengan 1, dan sekurang-kurangnya 3/4. I x ≠ 1, x≥ 3/4. Hanya satu daripada dua jawapan yang diterima memenuhi kedua-dua syarat ini - nombor 2. Ini bermaksud bahawa hanya itu adalah punca persamaan asal.

Jawapan: x = 2.

Ketidaksamaan dengan modul.

Contoh 1 ... Selesaikan ketaksamaan| x - 3| < 4

Keputusan.

Peraturan modul mengatakan:

|tetapi| = tetapi, sekiranya tetapi ≥ 0.

|tetapi| = -tetapi, sekiranya tetapi < 0.

Modul boleh mempunyai nombor bukan negatif dan negatif. Oleh itu, kita mesti mempertimbangkan kedua-dua kes tersebut: x- 3 ≥ 0 dan x - 3 < 0.

1) Bilakah x- 3 ≥ 0 ketaksamaan asal kita tetap seperti sekarang, hanya tanpa tanda modulus:
x - 3 < 4.

2) Bilakah x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Memperluas kurungan, kami mendapat:

-x + 3 < 4.

Oleh itu, dari dua keadaan ini, kita mencapai penyatuan dua sistem ketaksamaan:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Mari selesaikannya:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Oleh itu, kita mempunyai jawapan dalam penyatuan dua set:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Tentukan nilai terkecil dan terbesar. Ini adalah -1 dan 7. Pada masa yang sama x lebih besar daripada -1, tetapi kurang daripada 7.
Lebih-lebih lagi, x Hence 3. Oleh itu, penyelesaian untuk ketaksamaan adalah keseluruhan set nombor dari -1 hingga 7, tidak termasuk nombor ekstrem ini.

Jawapan: -1 < x < 7.

Atau: x ∈ (-1; 7).

Alat tambah.

1) Terdapat cara yang lebih mudah dan pendek untuk menyelesaikan ketidaksamaan kita - satu grafik. Untuk melakukan ini, anda perlu melukis paksi mendatar (Gamb. 1).

Ungkapan | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x ke titik 3 adalah kurang daripada empat unit. Kami menandakan nombor 3 pada paksi dan membilang 4 bahagian di sebelah kiri dan kanan daripadanya. Di sebelah kiri kita akan sampai ke titik -1, di sebelah kanan - ke titik 7. Oleh itu, titik x kita hanya melihat tanpa mengira mereka.

Lebih-lebih lagi, menurut keadaan ketaksamaan, -1 dan 7 itu sendiri tidak termasuk dalam set penyelesaian. Oleh itu, kita mendapat jawapannya:

1 < x < 7.

2) Tetapi ada satu lagi penyelesaian yang lebih mudah walaupun secara grafik. Untuk melakukan ini, ketidaksamaan kita mesti ditunjukkan dalam bentuk berikut:

4 < x - 3 < 4.

Lagipun, begini sesuai dengan peraturan modul. Nombor bukan negatif 4 dan nombor negatif serupa -4 adalah batasan untuk menyelesaikan ketaksamaan.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Contoh 2 ... Selesaikan ketaksamaan| x - 2| ≥ 5

Keputusan.

Contoh ini berbeza dengan yang sebelumnya. Bahagian kiri lebih besar daripada 5 atau sama dengan 5. Dari sudut pandang geometri, penyelesaian untuk ketaksamaan adalah semua nombor yang berada pada jarak 5 unit atau lebih dari titik 2 (Gamb. 2). Grafik menunjukkan bahawa ini semua nombor yang kurang daripada atau sama dengan -3 dan lebih besar daripada atau sama dengan 7. Oleh itu, kita sudah menerima jawapannya.

Jawapan: -3 ≥ x ≥ 7.

Sepanjang perjalanan, kami menyelesaikan ketaksamaan yang sama dengan memasukkan istilah bebas ke kiri dan ke kanan dengan tanda yang bertentangan:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Jawapannya sama: -3 ≥ x ≥ 7.

Atau: x ∈ [-3; 7]

Contoh dipecahkan.

Contoh 3 ... Selesaikan ketaksamaan 6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Keputusan.

Nombor x boleh menjadi positif, negatif, atau sifar. Oleh itu, kita perlu mengambil kira ketiga-tiga keadaan tersebut. Seperti yang anda ketahui, mereka diambil kira dalam dua ketaksamaan: x≥ 0 dan x < 0. При x≥ 0 kami menulis semula ketaksamaan asal kami sebagaimana adanya, hanya tanpa tanda modulus:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Sekarang mengenai kes kedua: jika x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Kembangkan kurungan:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Oleh itu, kami mendapat dua sistem persamaan:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Adalah perlu untuk menyelesaikan ketidaksamaan sistem - yang bermaksud, perlu mencari akar dua persamaan kuadratik. Untuk melakukan ini, kita menyamakan sisi kiri ketaksamaan dengan sifar.

Mari mulakan dengan yang pertama:

6x 2 - x - 2 = 0.

Bagaimana persamaan kuadratik diselesaikan - lihat bahagian "Persamaan kuadratik". Kami akan segera menamakan jawapannya:

x 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Dari sistem ketaksamaan pertama, kita dapati bahawa penyelesaian untuk ketaksamaan asal adalah keseluruhan set nombor dari -1/2 hingga 2/3. Kami menulis kesatuan penyelesaian untuk x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Sekarang mari kita selesaikan persamaan kuadratik kedua:

6x 2 + x - 2 = 0.

Akarnya:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Kesimpulan: di x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Mari gabungkan dua jawapan dan dapatkan jawapan terakhir: jalan penyelesaiannya adalah keseluruhan rangkaian nombor dari -2/3 hingga 2/3, termasuk nombor ekstrem ini.

Jawapan: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Atau: x ∈ [-2/3; 2/3].

Kaedah (peraturan) untuk mengungkapkan ketaksamaan dengan modul terdiri daripada pendedahan modul secara berurutan, sambil menggunakan selang tanda keteguhan fungsi submodular. Dalam versi terakhir, beberapa ketaksamaan diperoleh dari mana selang atau selang yang dijumpai memenuhi syarat masalah.

Mari beralih kepada penyelesaian contoh biasa dalam praktik.

Ketidaksamaan linear dengan moduli

Dengan linear kita bermaksud persamaan di mana pemboleh ubah memasuki persamaan secara linear.

Contoh 1. Cari jalan keluar untuk ketaksamaan

Keputusan:
Ini berdasarkan pernyataan masalah bahawa modul berubah menjadi sifar pada x = -1 dan x = -2. Titik-titik ini membahagi paksi nombor menjadi selang

Dalam setiap selang waktu ini, kami menyelesaikan ketaksamaan yang diberikan. Untuk melakukan ini, pertama sekali, kami menyusun gambar grafik dari kawasan keteguhan fungsi submodular. Mereka digambarkan sebagai kawasan dengan tanda untuk setiap fungsi

atau selang dengan tanda semua fungsi.

Pada selang pertama, kami membuka modul

Kami mengalikan kedua-dua sisi dengan tolak satu, dan tanda ketidaksamaan akan berubah menjadi sebaliknya. Sekiranya anda sukar untuk membiasakan diri dengan peraturan ini, anda boleh menggerakkan setiap bahagian dengan tanda untuk menghilangkan minus. Pada versi terakhir, anda akan menerima

Persimpangan set x> -3 dengan kawasan di mana persamaan diselesaikan akan selang (-3; -2). Bagi mereka yang lebih senang mencari jalan penyelesaian, anda boleh menarik persimpangan kawasan ini secara grafik.

Persimpangan kawasan yang biasa akan menjadi jalan penyelesaiannya. Dengan tidak rata yang ketat, bahagian tepi tidak termasuk. Sekiranya tidak ketat, periksa dengan penggantian.

Pada selang kedua, kita dapat

Bahagian akan menjadi selang (-2; -5/3). Secara grafik, penyelesaiannya akan kelihatan seperti

Pada selang ketiga, kita dapat

Keadaan ini tidak memberikan penyelesaian di kawasan yang diinginkan.

Oleh kerana dua penyelesaian yang dijumpai (-3; -2) dan (-2; -5/3) dibatasi oleh titik x = -2, maka kami juga memeriksanya.

Jadi titik x = -2 adalah penyelesaiannya. Dengan mengambil kira ini, penyelesaian umum akan kelihatan seperti (-3; 5/3).

Contoh 2. Cari penyelesaian untuk ketaksamaan
| x-2 | - | x-3 |> = | x-4 |

Keputusan:
Titik x = 2, x = 3, x = 4 adalah sifar fungsi submodular. Untuk argumen yang kurang daripada titik-titik ini, fungsi submodular adalah negatif, dan untuk yang besar, ia positif.

Titik membelah paksi sebenar menjadi empat selang. Kami mengembangkan modul mengikut selang keteguhan dan menyelesaikan ketaksamaan.

1) Pada selang pertama, semua fungsi submodul adalah negatif, oleh itu, ketika mengembangkan modul, kita mengubah tanda menjadi sebaliknya.

Persimpangan nilai x yang dijumpai dengan selang yang dipertimbangkan akan menjadi set titik

2) Pada selang antara titik x = 2 dan x = 3, fungsi submodular pertama adalah positif, yang kedua dan ketiga adalah negatif. Memperluas modul, kami dapat

ketidaksamaan yang, di persimpangan dengan selang yang kita selesaikan, memberikan satu penyelesaian - x = 3.

3) Pada selang antara titik x = 3 dan x = 4, fungsi submodul pertama dan kedua adalah positif, dan yang ketiga adalah negatif. Berdasarkan ini, kita dapat

Keadaan ini menunjukkan bahawa selang keseluruhan akan memenuhi ketaksamaan modulus.

4) Untuk nilai x> 4, semua fungsi adalah positif. Semasa mengembangkan modul, kami tidak mengubah tandanya.

Keadaan yang dijumpai di persimpangan dengan selang memberikan set penyelesaian berikut

Oleh kerana ketaksamaan itu diselesaikan pada semua selang waktu, masih ada persamaan bagi semua nilai x yang dijumpai. Penyelesaiannya adalah dua selang

Contohnya diselesaikan dalam hal ini.

Contoh 3. Cari jalan keluar untuk ketaksamaan
|| x-1 | -5 |> 3-2x

Keputusan:
Kami mempunyai ketidaksamaan dengan modulus modulus. Ketidaksamaan seperti itu dinyatakan ketika modul bersarang, bermula dengan yang terletak lebih dalam.

Fungsi submodul x-1 bertukar menjadi sifar pada titik x = 1. Untuk nilai yang lebih kecil untuk 1, adalah negatif dan positif untuk x> 1. Berdasarkan ini, kami membuka modul dalaman dan mempertimbangkan ketaksamaan pada setiap selang masa.

Pertama, pertimbangkan selang dari minus infinity hingga satu

Fungsi submodular sama dengan sifar pada titik x = -4. Pada nilai yang lebih rendah, itu positif, pada nilai yang lebih tinggi, itu negatif. Kembangkan modul untuk x<-4:

Di persimpangan dengan domain tempat kami mempertimbangkan kami memperoleh serangkaian penyelesaian

Langkah seterusnya adalah membuka modul pada selang waktu (-4; 1)

Dengan mengambil kira bidang pendedahan modul, kami memperoleh selang penyelesaian

INGAT: jika anda mempunyai dua selang yang bersempadan dengan titik umum dalam penyelewengan tersebut dengan modul, maka, sebagai peraturan, ini juga merupakan jalan penyelesaian.

Untuk melakukan ini, anda hanya perlu memeriksa.

Dalam kes ini, kita menggantikan titik x = -4.

Jadi x = -4 adalah penyelesaiannya.
Mari buka modul dalaman untuk x> 1

Fungsi submodul negatif untuk x<6.
Memperluas modul, kita dapat

Keadaan ini pada bahagian dengan selang (1; 6) memberikan satu set penyelesaian yang kosong.

Untuk x> 6, kami memperoleh ketaksamaan

Juga, penyelesaian mendapat satu set kosong.
Dengan mempertimbangkan semua perkara di atas, satu-satunya jalan keluar untuk ketidaksamaan dengan moduli adalah selang berikut.

Ketaksamaan dengan Modul yang Mengandungi Persamaan Kuadratik

Contoh 4. Cari jalan keluar untuk ketaksamaan
| x ^ 2 + 3x |> = 2-x ^ 2

Keputusan:
Fungsi submodule hilang pada titik x = 0, x = -3. Penggantian sederhana untuk yang tolak

kami menetapkan bahawa ia kurang daripada sifar pada selang (-3; 0) dan positif di luarnya.
Mari kita kembangkan modul di kawasan di mana fungsi submodular positif

Masih menentukan kawasan di mana fungsi segiempat positif. Untuk melakukan ini, kami menentukan punca persamaan kuadratik

Untuk kemudahan, kami menggantikan titik x = 0, yang termasuk dalam selang waktu (-2; 1/2). Fungsi negatif dalam selang ini, yang bermaksud bahawa set berikut x

Di sini, tanda kurung menunjukkan tepi kawasan dengan penyelesaian, ini dilakukan dengan sengaja, dengan mempertimbangkan peraturan berikut.

INGAT: Sekiranya ketidaksamaan dengan modul, atau ketaksamaan sederhana adalah ketat, maka tepi kawasan yang dijumpai bukanlah penyelesaian, jika ketaksamaan tidak ketat () maka tepi adalah penyelesaian (dilambangkan dengan tanda kurung persegi).

Peraturan ini digunakan oleh banyak guru: jika ketaksamaan yang ketat ditentukan, dan semasa pengiraan anda menulis tanda kurung persegi ([,]) dalam penyelesaiannya, mereka secara automatik akan menghitungnya sebagai jawapan yang tidak betul. Juga, semasa menguji, jika ketaksamaan yang tidak ketat dengan modul ditentukan, maka cari kawasan dengan tanda kurung persegi antara penyelesaiannya.

Pada selang waktu (-3; 0), membuka modul, kami menukar tanda fungsi ke sebaliknya

Dengan mengambil kira bidang pengungkapan ketaksamaan, penyelesaiannya akan berupa

Bersama dengan kawasan sebelumnya, ini akan memberikan dua selang setengah

Contoh 5. Cari penyelesaian untuk ketaksamaan
9x ^ 2- | x-3 |> = 9x-2

Keputusan:
Ketaksamaan longgar diberikan, fungsi submodular sama dengan sifar pada titik x = 3. Pada nilai yang lebih rendah, itu negatif, pada nilai yang lebih tinggi, itu positif. Kembangkan modul pada selang x<3.

Cari pembeza persamaan

dan akar

Menggantikan titik sifar, kita dapati bahawa pada selang [-1/9; 1] fungsi kuadratik negatif, oleh itu selang adalah penyelesaian. Seterusnya, kembangkan modul untuk x> 3

Kalkulator matematik dalam talian ini akan membantu anda menyelesaikan persamaan atau ketaksamaan dengan moduli... Program untuk penyelesaian persamaan dan ketaksamaan dengan moduli tidak hanya memberi jawapan kepada masalah, tetapi memberi penyelesaian terperinci dengan penjelasan, iaitu memaparkan proses memperoleh hasilnya.

Program ini dapat berguna untuk pelajar senior sekolah menengah dalam persiapan menghadapi ujian dan peperiksaan, ketika memeriksa pengetahuan sebelum peperiksaan, bagi ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikan kerja rumah matematik atau aljabar anda secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda dapat menjalankan pengajaran sendiri dan / atau pengajaran adik-adik anda, sementara tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.

Masukkan Persamaan atau Ketidaksamaan dengan Modul

Didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Mungkin anda telah mengaktifkan AdBlock.
Dalam kes ini, nonaktifkan dan muat semula halaman.

Kerana Terdapat banyak orang yang ingin menyelesaikan masalahnya, permintaan anda dalam barisan.
Selepas beberapa saat, penyelesaiannya akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek ...

Jika awak menyedari ralat dalam penyelesaiannya, maka anda boleh menulis mengenai perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugas mana anda tentukan dan apa masukkan di ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan dan Ketaksamaan dengan Modul

Dalam kursus algebra sekolah asas, anda mungkin menghadapi persamaan dan ketidaksamaan termudah dengan modul. Untuk menyelesaikannya, anda boleh menggunakan kaedah geometri berdasarkan fakta bahawa \ (| xa | \) adalah jarak pada garis nombor antara titik x dan a: \ (| xa | = \ rho (x; \; a ) \). Contohnya, untuk menyelesaikan persamaan \ (| x-3 | = 2 \), anda perlu mencari titik pada garis nombor yang berada pada jarak 2 dari titik 3. Terdapat dua titik seperti itu: \ (x_1 = 1 \) dan \ (x_2 = 5 \) ...

Menyelesaikan ketaksamaan \ (| 2x + 7 |

Tetapi cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan ketidaksamaan dengan modul dikaitkan dengan apa yang disebut "pengembangan modul mengikut definisi":
jika \ (a \ geq 0 \), maka \ (| a | = a \);
jika \ (a Sebagai peraturan, persamaan (ketaksamaan) dengan moduli diturunkan menjadi satu set persamaan (ketaksamaan) yang tidak mengandungi tanda modulus.

Sebagai tambahan kepada definisi yang ditentukan, pernyataan berikut digunakan:
1) Jika \ (c> 0 \), maka persamaan \ (| f (x) | = c \) bersamaan dengan satu set persamaan: \ (\ kiri [\ begin (array) (l) f (x ) = c \\ f (x) = - c \ end (susunan) \ kanan. \)
2) Jika \ (c> 0 \), maka ketaksamaan \ (| f (x) | 3) Jika \ (c \ geq 0 \), maka ketaksamaan \ (| f (x) |> c \) adalah setara dengan set ketaksamaan: \ (\ kiri [\ begin (array) (l) f (x) c \ end (array) \ kanan. \)
4) Sekiranya kedua-dua sisi ketaksamaan \ (f (x) CONTOH 1. Selesaikan persamaan \ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 = 0 \).

Sekiranya \ (x-1 \ geq 0 \), maka \ (| x-1 | = x-1 \) dan persamaan yang diberikan mengambil bentuk
\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 = 0 \ Anak panah kanan x ^ 2 + 2x -8 = 0 \).
Sekiranya \ (x-1 \ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 = 0 \ Garis kanan x ^ 2 -2x -4 = 0 \).
Oleh itu, persamaan yang diberikan harus dipertimbangkan secara berasingan dalam setiap dua kes yang dinyatakan.
1) Biarkan \ (x-1 \ geq 0 \), iaitu \ (x \ geq 1 \). Dari persamaan \ (x ^ 2 + 2x -8 = 0 \) kita dapati \ (x_1 = 2, \; x_2 = -4 \). Keadaan \ (x \ geq 1 \) dipenuhi hanya dengan nilai \ (x_1 = 2 \).
2) Mari \ (x-1 Jawapan: \ (2; \; \; 1- \ sqrt (5) \)

CONTOH 2. Selesaikan persamaan \ (| x ^ 2-6x + 7 | = \ frac (5x-9) (3) \).

Cara pertama(pengembangan modul mengikut definisi).
Dengan alasan seperti pada contoh 1, kita sampai pada kesimpulan bahawa persamaan yang diberikan mesti dipertimbangkan secara terpisah jika dua syarat dipenuhi: \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) atau \ (x ^ 2-6x + 7

1) Jika \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \), maka \ (| x ^ 2-6x + 7 | = x ^ 2-6x + 7 \) dan persamaan yang diberikan mengambil bentuk \ (x ^ 2 -6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \ Anak panah kanan 3x ^ 2-23x + 30 = 0 \). Menyelesaikan persamaan kuadratik ini, kita mendapat: \ (x_1 = 6, \; x_2 = \ frac (5) (3) \).
Marilah kita mengetahui sama ada nilai \ (x_1 = 6 \) memenuhi syarat \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \). Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai yang ditentukan menjadi ketaksamaan segi empat sama. Kami mendapat: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), iaitu \ (7 \ geq 0 \) adalah ketaksamaan yang sebenarnya. Oleh itu, \ (x_1 = 6 \) adalah punca persamaan yang diberikan.
Marilah kita mengetahui sama ada nilai \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) memenuhi syarat \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \). Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai yang ditentukan menjadi ketaksamaan segi empat sama. Kami mendapat: \ (\ kiri (\ frac (5) (3) \ kanan) ^ 2 - \ frac (5) (3) \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), iaitu \ (\ frac (25) (9) -3 \ geq 0 \) - ketaksamaan yang tidak betul. Oleh itu, \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) bukan punca persamaan yang diberikan.

2) Jika \ (x ^ 2-6x + 7 Nilai \ (x_3 = 3 \) memenuhi syarat \ (x ^ 2-6x + 7 Nilai \ (x_4 = \ frac (4) (3) \) tidak memuaskan keadaan \ (x ^ 2-6x + 7 Oleh itu, persamaan yang diberikan mempunyai dua punca: \ (x = 6, \; x = 3 \).

Cara kedua. Sekiranya persamaan \ (| f (x) | = h (x) \) diberikan, maka untuk \ (h (x) \ (\ kiri [\ begin (array) (l) x ^ 2-6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \\ x ^ 2-6x + 7 = - \ frac (5x-9) (3) \ akhir (susunan) \ kanan. \)
Kedua-dua persamaan ini diselesaikan di atas (dengan cara pertama untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan), akarnya adalah seperti berikut: \ (6, \; \ frac (5) (3), \; 3, \; \ frac (4 ) (3) \). Keadaan \ (\ frac (5x-9) (3) \ geq 0 \) keempat-empat nilai ini hanya dapat dipenuhi oleh dua: 6 dan 3. Oleh itu, persamaan yang diberikan mempunyai dua punca: \ (x = 6, \; x = 3 \).

Cara ketiga(grafik).
1) Mari plotkan fungsi \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \). Pertama, bina parabola \ (y = x ^ 2-6x + 7 \). Kami mempunyai \ (x ^ 2-6x + 7 = (x-3) ^ 2-2 \). Graf fungsi \ (y = (x-3) ^ 2-2 \) dapat diperoleh dari grafik fungsi \ (y = x ^ 2 \) dengan menggesernya dengan 3 unit skala ke kanan (bersama paksi x) dan oleh 2 skala skala ke bawah (pada paksi-y). Garis lurus x = 3 adalah paksi parabola yang kami minati. Sebagai titik kawalan untuk plot yang lebih tepat, lebih mudah untuk mengambil titik (3; -2) - puncak parabola, titik (0; 7) dan titik (6; 7) simetri dengannya berbanding dengan paksi parabola .
Untuk memetakan grafik fungsi \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \), anda perlu meninggalkan bahagian parabola yang tidak berubah yang tidak terletak di bawah paksi-x, dan mencerminkan bahagian parabola yang terletak di bawah paksi-x mengenai paksi-x.
2) Bina graf fungsi linear \ (y = \ frac (5x-9) (3) \). Lebih mudah untuk mengambil titik (0; –3) dan (3; 2) sebagai titik kawalan.

Adalah mustahak bahawa titik x = 1.8 persimpangan garis lurus dengan paksi absis terletak di sebelah kanan titik kiri persimpangan parabola dengan paksi absis - ini adalah titik \ (x = 3- \ sqrt ( 2) \) (sejak \ (3- \ sqrt (2) 3) Berdasarkan lukisan, graf bersilang pada dua titik - A (3; 2) dan B (6; 7) Menggantikan abses titik-titik ini x = 3 dan x = 6 dalam persamaan yang diberikan, kami memastikan bahawa untuk kedua-dua nilai yang lain memberikan persamaan angka yang betul, yang bermaksud bahawa hipotesis kami telah disahkan - persamaan mempunyai dua punca: x = 3 dan x = 6. Jawapan: 3; 6.

Komen... Kaedah grafik, untuk semua rahmatnya, sangat tidak boleh dipercayai. Dalam contoh yang dipertimbangkan, ia hanya berfungsi kerana punca persamaannya adalah bilangan bulat.

CONTOH 3. Selesaikan persamaan \ (| 2x-4 | + | x + 3 | = 8 \)

Cara pertama
Ungkapan 2x - 4 menjadi 0 pada titik x = 2, dan ungkapan x + 3 pada titik x = –3. Kedua-dua titik ini membahagi garis nombor menjadi tiga selang: \ (x

Pertimbangkan rentang pertama: \ ((- \ infty; \; -3) \).
Sekiranya x Pertimbangkan selang kedua: \ ([- 3; \; 2) \).
Sekiranya \ (- 3 \ leq x Pertimbangkan selang ketiga: \ (U

Contoh 2.

Selesaikan ketaksamaan || x + 2 | - 3 | ≤ 2.

Keputusan.

Ketidaksamaan ini setara dengan sistem berikut.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.

Mari kita selesaikan ketaksamaan sistem yang pertama secara berasingan. Ia setara dengan agregat berikut:

U [-1; 3].

2) Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan definisi modulus.

Izinkan saya mengingatkan anda terlebih dahulu definisi modul.

| a | = a jika a ≥ 0 dan | a | = -a jika a< 0.

Contohnya, | 34 | = 34, | -21 | = - (- 21) = 21.

Contoh 1.

Selesaikan ketaksamaan 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

Keputusan.

Dengan menggunakan definisi modul, kami mendapat dua sistem:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

Menyelesaikan sistem kedua pertama secara berasingan, kami mendapat:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Penyelesaian untuk ketaksamaan asal adalah semua penyelesaian sistem pertama dan semua penyelesaian sistem kedua.

Jawapan: x €.

3) Menyelesaikan ketaksamaan dengan kuasa dua.

Contoh 1.

Selesaikan ketaksamaan | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Keputusan.

Marilah kita memusatkan kedua-dua sisi ketaksamaan. Perhatikan bahawa anda boleh mengetatkan kedua-dua sisi ketaksamaan hanya jika keduanya positif. Dalam kes ini, kita mempunyai modul di kiri dan kanan, jadi kita boleh melakukan ini.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Sekarang kita akan menggunakan sifat modul berikut: (| x |) 2 = x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Kami menyelesaikan dengan kaedah selang.

Jawapan: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Penyelesaian ketaksamaan dengan perubahan pemboleh ubah.

Contohnya.

Selesaikan ketaksamaan (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Keputusan.

Perhatikan bahawa (2x + 3) 2 = (| 2x + 3 |) 2. Kemudian kita mendapat ketaksamaan

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Mari buat perubahan y = | 2x + 3 |.

Mari kita tulis semula ketaksamaan kita dengan mengambil kira penggantian.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

Marilah kita memfaktorkan trinomial segiempat di sebelah kiri.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Mari selesaikan dengan kaedah selang dan dapatkan:

Mari kembali ke penggantian:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Ketaksamaan berganda ini setara dengan sistem ketaksamaan:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

Mari selesaikan setiap ketaksamaan secara berasingan.

Yang pertama bersamaan dengan sistem

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Mari selesaikannya.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

Ketidaksamaan kedua jelas berlaku untuk semua x, kerana modulus positif menurut definisi. Oleh kerana penyelesaian untuk sistem adalah semua x yang secara serentak memenuhi kedua-dua ketaksamaan sistem pertama dan kedua, maka penyelesaian kepada sistem asal akan menjadi penyelesaian bagi ketidaksamaan berganda pertamanya (bagaimanapun, yang kedua berlaku untuk semua x).

Jawapan: x € [-4.5; 1.5].

laman web blog, dengan penyalinan penuh atau sebahagian daripada bahan, diperlukan pautan ke sumbernya.