ලකුණු 2 ක් භාවිතා කරමින් සරල රේඛාවක් සමාන කරන්න. දී ඇති කරුණු දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය: උදාහරණ, විසඳුම්

ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය. ලිපිය" " ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයක් සහ මෙම ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් සඳහා ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගැනීමේ ඉදිරිපත් කළ ගැටලු විසඳීමේ දෙවන ක්‍රමය විශ්ලේෂණය කිරීමට මම ඔබට පොරොන්දු වුණෙමි. අපි මෙම ක්‍රමය විශ්ලේෂණය කරමු , අතපසු කරන්න එපා! මන්දඊළඟ එකේ?

කාරණය නම් සරල රේඛාවක් සමීකරණය කිරීමේ සූත්‍රය එහි භාවිතා වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට මෙම සූත්‍රය පෙන්විය හැකි අතර එය ඉගෙන ගැනීමට ඔබට උපදෙස් දිය හැකිය. නමුත් එය පැහැදිලි කිරීම වඩා හොඳය - එය පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද (එය ව්‍යුත්පන්න කර ඇති ආකාරය). එය අවශ්යයි! ඔබට එය අමතක නම්, ඉක්මනින් එය යථා තත්වයට පත් කරන්නඅපහසු නොවනු ඇත. සෑම දෙයක්ම පහතින් විස්තර කෙරේ. ඉතින්, ඛණ්ඩාංක තලයේ අපට ලකුණු දෙකක් ඇත(x 1; y 1) සහ B (x 2; y 2), දැක්වෙන ලක්ෂ්‍ය හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්නේ:

සරල රේඛාව සඳහා සූත්‍රය මෙන්න:

* එනම්, ලක්ෂ්‍යවල නිශ්චිත ඛණ්ඩාංක ආදේශ කිරීමේදී අපට y = kx + b ආකෘතියේ සමීකරණයක් ලැබේ.

** දී ඇති සූත්‍රය හුදෙක් "හකුරු" නම්, එවිට දර්ශක සමඟ ව්‍යාකූල වීමේ ඉහළ සම්භාවිතාවක් ඇත x... ඊට අමතරව, දර්ශක විවිධ ආකාරවලින් දැක්විය හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස:

අර්ථය තේරුම් ගැනීම වැදගත් වන්නේ එබැවිනි.

දැන් මෙම සූත්‍රයේ නිගමනය. සෑම දෙයක්ම ඉතා සරලයි!

ත්රිකෝණ ABE සහ ACF උග්ර කෝණයකින් සමාන වේ (දකුණු කෝණික ත්රිකෝණවල සමානතාවයේ පළමු සං sign ාව). මෙයින් කියැවෙන්නේ අදාළ මූලද්‍රව්‍යයන්ගේ සම්බන්ධතා සමාන වන බවයි, එනම්:

දැන් අපි හුදෙක් මෙම කොටස් ප්‍රකාශ කරන්නේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංකවල වෙනස අනුව ය:

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ මූලද්රව්යවල සම්බන්ධතා වෙනත් අනුපිළිවෙලකට ලිවුවහොත් කිසිදු වැරැද්දක් සිදු නොවනු ඇත (ප්රධාන දෙය වන්නේ ලිපි හුවමාරුව තබා ගැනීමයි):

ප්‍රති result ලය සරල රේඛාවේ එකම සමීකරණය වනු ඇත. ඒ සියල්ල!

එනම්, ලකුණු තමන් විසින්ම (සහ ඒවායේ ඛණ්ඩාංක) නම් කර ඇති ආකාරය කුමක් වුවත්, මෙම සූත්‍රය අවබෝධ කර ගැනීමෙන් ඔබට සැමවිටම සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයාගත හැකිය.

දෛශික වල ගුණාංග භාවිතා කරමින් සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කළ හැකි නමුත් අනුමාන කිරීමේ මූලධර්මය සමාන වනු ඇත, මන්ද අපි ඒවායේ ඛණ්ඩාංකවල සමානුපාතිකත්වය ගැන කතා කරමු. මෙම අවස්ථාවේ දී, සෘජු කෝණික ත්රිකෝණවල සමාන සමානකම් ක්රියා කරයි. මගේ මතය අනුව, ඉහත විස්තර කර ඇති ප්‍රතිදානය වඩාත් පැහැදිලි ය)).

දෛශික ඛණ්ඩාංක හරහා ප්‍රතිදානය බලන්න >>>

A (x 1; y 1) සහ B (x 2; y 2) යන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන ඛණ්ඩාංක තලය මත සරල රේඛාවක් ඉදි කරමු. ඛණ්ඩාංක සහිත අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සරල රේඛාවේ සලකුණු කරමු ( x; y). අපි දෛශික දෙකක් දක්වන්නෙමු:

සමාන්තර රේඛාවල (හෝ එක් සරල රේඛාවක) පිහිටා ඇති දෛශික සඳහා, ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වන බව දන්නා කරුණකි.

- අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල අනුපාතවල සමානාත්මතාවය අපි සටහන් කරමු:

උදාහරණයක් සලකා බලමු:

ඛණ්ඩාංක (2; 5) සහ (7: 3) සමඟ ලකුණු දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගන්න.

ඔබට සරල රේඛාවක් සෑදිය යුතු නැත. අපි සූත්‍රය අදාළ කර ගනිමු:

අනුපාතය සැකසීමේදී ඔබ ලිපි හුවමාරුව අල්ලා ගැනීම වැදගත්ය. ඔබ ලියා ඇත්නම් ඔබට වැරදියට යා නොහැක:

පිළිතුර: y = -2 / 5x + 29/5 යන්න y = -0.4x + 5.8

ලබාගත් සමීකරණය නිවැරදිව සොයාගෙන ඇති බවට තහවුරු කර ගැනීම සඳහා, පරීක්‍ෂණයක් කිරීමට වග බලා ගන්න - දත්තවල ඛණ්ඩාංක ඒ තුළට ලකුණු තත්වයේ ආදේශ කරන්න. ඔබ නිවැරදි සමානකම් ලබා ගත යුතුය.

එච්චරයි. මෙම තොරතුරු ඔබට ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.

අවංකවම, ඇලෙක්සැන්ඩර්.

P.S: සමාජ ජාල වල වෙබ් අඩවිය ගැන ඔබට පැවසිය හැකි නම් මම කෘත ful වෙමි.

සමීකරණය පැරබෝලායනු චතුරස්රාකාර ශ්‍රිතයකි. මෙම සමීකරණය ගොඩනැගීම සඳහා විකල්ප කිහිපයක් තිබේ. ඒ සියල්ල රඳා පවතින්නේ ගැටළු ප්‍රකාශයේ ඉදිරිපත් කර ඇති පරාමිතීන් මත ය.

උපදෙස්

පැරබෝලා යනු වක්‍රාකාර හැඩයට සමාන වන වක්‍රයකි. එය බල ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකි. පැරබෝලා වල ලක්ෂණ කුමක් වුවත්, මෙය ඉරට්ටේ වේ. එවැනි ශ්‍රිතයක් ඉරට්ටේ ලෙස හැඳින්වේ; අර්ථ දැක්වීමේ සිට තර්කයේ සියලු අගයන් සඳහා, තර්කයේ ලකුණ වෙනස් වූ විට අගය වෙනස් නොවේ: f (-x) = f (x) සරලම ශ්‍රිතයෙන් ආරම්භ කරන්න: y = x ^ 2. එහි ස්වරූපයෙන්, එය x තර්කයේ ධනාත්මක හා negative ණාත්මක අගයන් සඳහා බව නිගමනය කළ හැකිය. X = 0, සහ ඒ සමඟම y = 0 යන ලක්ෂ්‍යය ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස සැලකේ.

පහත දැක්වෙන්නේ මෙම ශ්‍රිතය සහ එය ගොඩනැගීම සඳහා වන ප්‍රධාන විකල්පයන්ය. පළමු උදාහරණය ලෙස, පහත දැක්වෙන ආකාරයෙන් අපි සලකා බලමු: f (x) = x ^ 2 + a, එහිදී a යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වන අතර මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සැලසුම් කිරීම සඳහා, ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය මාරු කිරීම අවශ්‍ය වේ f (x) ඒකකයකින්. උදාහරණයක් ලෙස y = x ^ 2 + 3 ශ්‍රිතය y- අක්ෂය දිගේ ඒකක දෙකකින් මාරු කරනු ලැබේ. ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සහිත ශ්‍රිතයක් ලබා දෙන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස y = x ^ 2-3, එවිට එහි ප්‍රස්ථාරය y- අක්ෂය දිගේ පහළට ගෙන යනු ලැබේ.

පැරබෝලා ලබා දිය හැකි තවත් ආකාරයක ශ්‍රිතයක් වන්නේ f (x) = (x + a) ^ 2 ය. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ප්‍රස්ථාරය ඊට පටහැනිව, අබ්සිස්සා (x- අක්ෂය) ඔස්සේ ඒකකයකින් මාරු කරනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, ශ්‍රිත සලකා බලන්න: y = (x +4) ^ 2 සහ y = (x-4) ^ 2. පළමු අවස්ථාවෙහිදී, ප්ලස් ලකුණක් සහිත ශ්‍රිතයක් ඇති විට, ප්‍රස්ථාරය x අක්ෂය දිගේ වමට ද දෙවන අවස්ථාවෙහිදී දකුණට ද මාරු කෙරේ. මෙම සියලු සිද්ධීන් රූපයේ දැක්වේ.

කරුණු දෙකක් ලබා දී ඇත එම්(x 1 ,ඇත 1) සහ එන්(x 2,y 2). මෙම ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයා ගනිමු.

මෙම රේඛාව ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන බැවින් එම්(1.13) සූත්‍රයට අනුව එහි සමීකරණයට ස්වරූපයක් ඇත

ඇත – වයි 1 = කේ(X - x 1),

කොහෙද කේ- නොදන්නා බෑවුම.

මෙම සංගුණකයේ වටිනාකම තීරණය වන්නේ අපේක්ෂිත සරල රේඛාව ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන තත්වයෙන් ය එන්, එබැවින් එහි ඛණ්ඩාංක සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි (1.13)

වයි 2 – වයි 1 = කේ(x 2 – x 1),

මෙතැන් සිට ඔබට මෙම සරල රේඛාවේ බෑවුම සොයාගත හැකිය:

,

නැතහොත් පරිවර්තනයෙන් පසු

(1.14)

සූත්‍රය (1.14) තීරණය කරයි ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය එම්(x 1, වයි 1) සහ එන්(x 2, වයි 2).

විශේෂ අවස්ථාවෙහිදී ලකුණු එම්(ඒ, 0), එන්(0, බී), නමුත් ¹ 0, බී¹ 0, ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත වැතිරෙන්න, සමීකරණය (1.14) සරල ස්වරූපයක් ගනී

සමීකරණය (1.15)කැඳවා කොටස්වල සරල රේඛාවක් සමීකරණය කිරීමෙන්, මෙතන නමුත්සහ බීඅක්ෂයේ සරල රේඛාවකින් කපා ඇති කොටස් දක්වන්න (රූපය 1.6).

රූපය 1.6

උදාහරණ 1.10. ලකුණු හරහා සරල රේඛාවක් සමාන කරන්න එම්(1, 2) සහ බී(3, –1).

. (1.14) අනුව, සොයන රේඛාවේ සමීකරණයට ස්වරූපයක් ඇත

2(වයි – 2) = -3(x – 1).

සියලුම පද වම් පැත්තට මාරු කරමින්, අවසානයේ අපි අපේක්ෂිත සමීකරණය ලබා ගනිමු

3x + 2වයි – 7 = 0.

උදාහරණ 1.11. ලක්ෂ්‍යයක් හරහා සරල රේඛාවක් සමාන කරන්න එම්(2, 1) සහ රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය x+ වයි - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. දී ඇති සමීකරණ එකට විසඳා ගැනීමෙන් සරල රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක අපට හමු වේ

අපි මෙම සමීකරණ පදය කාලීනව එකතු කළහොත් අපට 2 ක් ලැබේ x+ 1 = 0, කොහෙන්ද. සොයාගත් අගය ඕනෑම සමීකරණයකට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ඕඩිනේටයේ වටිනාකම සොයාගත හැකිය ඇත:

දැන් අපි ලකුණු (2, 1) හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය ලියන්නෙමු:

හෝ .

එබැවින්, හෝ –5 ( වයි – 1) = x – 2.

අවසාන වශයෙන්, අපි ස්වරූපයෙන් අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ සමීකරණය ලබා ගනිමු x + 5වයි – 7 = 0.

උදාහරණය 1.12. ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයා ගන්න එම්(2,1) සහ එන්(2,3).

සූත්‍රය (1.14) භාවිතා කරමින් අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු

දෙවන හරය ශුන්‍ය බැවින් එය තේරුමක් නැත. කරුණු දෙකෙහිම අබ්සිස්සා එකම අගයක් ඇති බව ගැටළු ප්‍රකාශයෙන් දැකිය හැකිය. එබැවින්, සොයන රේඛාව අක්ෂයට සමාන්තර වේ OYඑහි සමීකරණය: x = 2.

අදහස් දක්වන්න . (1.14) සූත්‍රයට අනුව සරල රේඛාවක සමීකරණය ලිවීමේදී, එක් හරයක් ශුන්‍යයට සමාන නම්, අනුරූප සංඛ්‍යාංකය ශුන්‍යයට සමාන කිරීමෙන් අපේක්ෂිත සමීකරණය ලබා ගත හැකිය.

ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක් අර්ථ දැක්වීමට වෙනත් ක්‍රම සලකා බලන්න.

1. නොසරෝ දෛශිකයක් දී ඇති රේඛාවට ලම්බකව තිබිය යුතුය එල්සහ ලක්ෂ්‍යය එම් 0(x 0, වයි 0) මෙම සරල රේඛාව මත පිහිටා ඇත (රූපය 1.7).

රූපය 1.7

අපි දක්වන්නේ එම්(x, වයි) රේඛාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයකි එල්... දෛශික සහ විකලාංග. මෙම දෛශික සඳහා විකලාංග කොන්දේසි භාවිතා කරමින් අපි එක්කෝ ලබා ගනිමු නමුත්(x – x 0) + බී(වයි – වයි 0) = 0.

අපට ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය ලැබුණි එම් 0 දෛශිකයට ලම්බකව. මෙම දෛශිකය හැඳින්වේ සාමාන්‍ය දෛශිකය කෙළින්ම එල්... එහි ප්‍රති ing ලයක් ලෙස සමීකරණය නැවත ලිවිය හැකිය

ඔහ් + වූ + සිට= 0, කොහෙද සිට = –(නමුත්x 0 + විසින් 0), (1.16),

කොහෙද නමුත්සහ තුල- සාමාන්‍ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක.

සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය පරාමිතික ස්වරූපයෙන් අපි ලබා ගනිමු.

2. තලයක line ජු රේඛාවක් පහත පරිදි දැක්විය හැකිය: නොසරෝ දෛශිකයක් දී ඇති සරල රේඛාවකට සමාන්තර විය යුතුය එල්සහ ලක්ෂ්‍යය එම් 0(x 0, වයි 0) මෙම සරල රේඛාව මත පිහිටා ඇත. නැවතත් අත්තනෝමතික කරුණක් ගන්න එම්(x, y) සරල රේඛාවක් මත (රූපය 1.8).

රූපය 1.8

දෛශික සහ කොලීනියර්.

මෙම දෛශික සඳහා සහසම්බන්ධතා තත්වය අපි ලියමු :, කොහේද ටී- අත්තනෝමතික අංකයක් පරාමිතිය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම සමානාත්මතාවය ඛණ්ඩාංක වලින් ලියමු:

මෙම සමීකරණ හැඳින්වේ පරාමිතික සමීකරණ කෙලින්ම... මෙම සමීකරණ වලින් අපි පරාමිතිය බැහැර කරමු ටී:

මෙම සමීකරණ වෙනත් ආකාරයකින් ලිවිය හැකිය

. (1.18)

එහි ප්‍රති ing ලයක් ලෙස සමීකරණය හැඳින්වේ සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය... දෛශිකය හැඳින්වේ සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය .

අදහස් දක්වන්න . රේඛාවට සාමාන්‍ය දෛශිකය නම් එය දැකීම පහසුය එල්, එවිට එහි දිශා දෛශිකය දෛශිකයක් විය හැකිය, මන්ද, එනම්.

උදාහරණය 1.13. ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය ලියන්න එම් 0 (1, 1) line ජු රේඛාවට සමාන්තරව 3 x + 2ඇත– 8 = 0.

තීරණය . දෛශිකය යනු දී ඇති හා අපේක්ෂිත සරල රේඛාවලට සාමාන්‍ය දෛශිකයයි. ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය භාවිතා කරමු එම්දී ඇති සාමාන්‍ය දෛශික 3 සමඟ 0 ( x –1) + 2(ඇත- 1) = 0 හෝ 3 x + 2y- 5 = 0. අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ සමීකරණය ලැබුණි.

K (x 0; y 0) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව සහ y = kx + a සරල රේඛාවට සමාන්තරව සූත්‍රයෙන් සොයාගත හැකිය:

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

K යනු සරල රේඛාවේ බෑවුමයි.

විකල්ප සූත්‍රය:
M 1 (x 1; y 1) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව හා සරල රේඛාවට සමාන්තරව Ax + By + C = 0 නිරූපණය කරන්නේ සමීකරණයෙනි

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

උදාහරණ # 2. 2x + 5y = 0 යන සරල රේඛාවට සමාන්තරව සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය 5 ක් වේ.
තීරණය ... සරල රේඛා සමාන්තර බැවින්, අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ සමීකරණය 2x + 5y + C = 0. සෘජු කෝණික ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය, a සහ b එහි කකුල් වේ. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සොයා ගන්න:
;
.
එබැවින් A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). ප්‍රදේශය සඳහා සූත්‍රයේ ආදේශ කරන්න: ... අපට විසඳුම් දෙකක් ලැබේ: 2x + 5y + 10 = 0 සහ 2x + 5y - 10 = 0.

උදාහරණ අංක 3. ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය (-2; 5) සහ 5x-7y-4 = 0 යන සරල රේඛාවට සමාන්තරව සාදන්න.
තීරණය. මෙම සරල රේඛාව y = 5/7 x - 4/7 (මෙහි a = 5/7) සමීකරණයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය. අවශ්‍ය සරල රේඛාවේ සමීකරණය y - 5 = 5/7 (x - (-2)), එනම්. 7 (y-5) = 5 (x + 2) හෝ 5x-7y + 45 = 0.

උදාහරණ අංක 4. උදාහරණ 3 (A = 5, B = -7) සූත්‍රය (2) භාවිතා කරමින් 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0 සොයා ගනිමු.

උදාහරණ අංක 5. ලක්ෂ්‍යය (-2; 5) හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය 7x + 10 = 0 යන සරල රේඛාවට සමාන්තරව සාදන්න.
තීරණය. මෙන්න A = 7, B = 0. සූත්‍රය (2) 7 (x + 2) = 0 ලබා දෙයි, එනම්. x + 2 = 0. මෙම සමීකරණය y ට සාපේක්ෂව විසඳිය නොහැකි බැවින් සූත්‍රය (1) අදාළ නොවේ (මෙම රේඛාව ඕඩිනේට් අක්ෂයට සමාන්තර වේ).

යුක්ලීඩියානු ජ්‍යාමිතියේ සරල රේඛාවක ගුණාංග.

ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ඔබට අසීමිත සරල රේඛා අඳින්න පුළුවන්.

සමපාත නොවන ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා තනි සරල රේඛාවක් අඳින්න පුළුවන්.

යානයක නොගැලපෙන සරල රේඛා දෙකක් එක් ස්ථානයක එකිනෙක හා සම්බන්ධ වේ, නැතහොත් වේ

සමාන්තර (පෙර සිට පහත දැක්වේ).

ත්‍රිමාන අවකාශයේ, සරල රේඛා දෙකක සාපේක්ෂ පිහිටීම සඳහා විකල්ප තුනක් ඇත:

• සරල රේඛා එකිනෙක ගැටේ;

• සරල රේඛා සමාන්තර වේ;

• සරල රේඛා එකිනෙක ගැටේ.

කෙලින්ම රේඛාව- පළමු අනුපිළිවෙලෙහි වීජීය වක්‍රය: කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, සරල රේඛාවක්

පළමු උපාධියේ (රේඛීය සමීකරණය) සමීකරණයක් මගින් තලය මත ලබා දෙනු ලැබේ.

සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම... යානයක ඇති ඕනෑම සරල රේඛාවක් පළමු පෙළ සමීකරණයකින් ලබා දිය හැකිය

අක්ෂය + වු + සී = 0,

නියතය සමඟ ඒ, බීඑකවර ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. මෙම පළමු ඇණවුම් සමීකරණය හැඳින්වේ පොදු

සරල රේඛාවක සමීකරණය.නියතයන්ගේ අගයන් මත පදනම්ව ඒ, බීසහ සිටපහත සඳහන් විශේෂ අවස්ථා තිබේ:

. C = 0, A ≠ 0, B 0- සරල රේඛාව සම්භවය හරහා ගමන් කරයි

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව ඔහ්

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (අක්ෂය + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව OU

. B = C = 0, A ≠ 0- සරල රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ OU

. A = C = 0, B 0- සරල රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ ඔහ්

සරල රේඛාවක සමීකරණය ඕනෑම ආකාරයකට අනුව විවිධ ස්වරූපවලින් නිරූපණය කළ හැකිය

ආරම්භක කොන්දේසි.

ලක්ෂ්‍යයක් හා සාමාන්‍ය දෛශිකයක් ඔස්සේ සරල රේඛාවක් සමීකරණය කිරීම.

අර්ථ දැක්වීම... කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, සංරචක සහිත දෛශිකයක් (A, B)

සමීකරණය මගින් ලබා දෙන සරල රේඛාවට ලම්බකව

අක්ෂය + Wu + C = 0.

උදාහරණයක්... ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගන්න ඒ (1, 2)දෛශිකයට ලම්බකව (3, -1).

තීරණය... A = 3 සහ B = -1 දී අපි සරල රේඛාවේ සමීකරණය රචනා කරමු: 3x - y + C = 0. සංගුණකය සොයා ගැනීමට C

ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ප්‍රති result ල ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන්න. අපට ලැබෙන්නේ: 3 - 2 + C = 0, එබැවින්

සී = -1. එකතුව: අවශ්‍ය සමීකරණය: 3x - y - 1 = 0.

ලක්ෂ්‍ය දෙකක් පසු කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය.

ලකුණු දෙකක් අභ්‍යවකාශයේ ලබා දෙන්න එම් 1 (x 1, y 1, z 1)සහ M2 (x 2, y 2, z 2),එවිට සරල රේඛාවක සමීකරණය,

මෙම කරුණු හරහා ගමන් කිරීම:

කිසියම් හරයක් ශුන්‍ය නම්, අනුරූප සංඛ්‍යාංකය ශුන්‍යයට සමාන කළ යුතුය. මත

තලය, ඉහත ලියා ඇති සරල රේඛාවේ සමීකරණය සරල කර ඇත:

a නම් x 1 x 2සහ x = x 1, නම් x 1 = x 2 .

භාගය = kකැඳවා බෑවුම කෙලින්ම.

උදාහරණයක්... A (1, 2) සහ B (3, 4) ලකුණු හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයා ගන්න.

තීරණය... ඉහත සූත්‍රය ක්‍රියාත්මක කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

ලක්ෂ්‍යය හා බෑවුම අනුව සරල රේඛාවක් සමීකරණය කිරීම.

සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය නම් අක්ෂය + Wu + C = 0පෝරමයට ගෙනෙන්න:

සහ නම් කරන්න , එවිට ලැබෙන සමීකරණය හැඳින්වේ

බෑවුම සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණය.

ලක්ෂ්‍යයක් හා දිශා දෛශිකයක් ඔස්සේ සරල රේඛාවක් සමීකරණය කිරීම.

සාමාන්‍ය දෛශිකය හරහා සරල රේඛාවක සමීකරණය සැලකිල්ලට ගනිමින් ඡේදය සමඟ සැසඳීමෙන් ඔබට කර්තව්‍යයට ඇතුළු විය හැකිය

ලක්ෂ්‍යයක් හරහා සරල රේඛාවක් සහ සරල රේඛාවක දිශා දෛශිකයකි.

අර්ථ දැක්වීම... සෑම nonzero දෛශිකයක් (α 1, α 2)ඒවායේ සංරචක තත්වය තෘප්තිමත් කරයි

1α 1 + Вα 2 = 0කැඳවා සෘජු රේඛාවක දෛශිකය යොමු කිරීම.

අක්ෂය + Wu + C = 0.

උදාහරණයක්... දිශා දෛශිකයක් (1, -1) සහ A (1, 2) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගන්න.

තීරණය... අවශ්‍ය සරල රේඛාවේ සමීකරණය ස්වරූපයෙන් සොයනු ඇත: අක්ෂය + විසින් + සී = 0.අර්ථ දැක්වීම අනුව,

සංගුණක කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

එවිට සරල රේඛාවේ සමීකරණයට ස්වරූපයක් ඇත: අක්ෂය + අයි + සී = 0,හෝ x + y + C / A = 0.

හිදී x = 1, y = 2අපිට ලැබෙනවා සී / ඒ = -3, i.e. අවශ්‍ය සමීකරණය:

x + y - 3 = 0

කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය.

සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණයේදී Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 නම්, -C මගින් බෙදූ විට අපට ලැබෙන්නේ:

හෝ කොහෙද

සංගුණකවල ජ්‍යාමිතික අර්ථය වන්නේ සංගුණකය a යනු ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකයයි

කෙළින්ම අක්ෂය සමඟ ඔහ්,නමුත් බී- අක්ෂය සමඟ සරල රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකය OU.

උදාහරණයක්... සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය ලබා දී ඇත x - y + 1 = 0.මෙම සරල රේඛාවේ සමීකරණය කොටස් වශයෙන් සොයා ගන්න.

C = 1 ,, a = -1, b = 1.

සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය.

සමීකරණයේ දෙපැත්ත නම් අක්ෂය + Wu + C = 0අංකයෙන් බෙදන්න එය හැඳින්වේ

සාමාන්‍යකරණය කිරීමේ සාධකය, එහෙනම් අපිට ලැබෙනවා

xcosφ + ysinφ - p = 0 -රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය.

සාමාන්‍යකරණය කිරීමේ සාධකයේ ± ලකුණ තෝරා ගත යුතුය μ * සී< 0.

ආර්- ආරම්භයේ සිට සරල රේඛාව දක්වා පහත වැටුණු ලම්බක දිග,

නමුත් φ - අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ මෙම ලම්බකයෙන් සාදන ලද කෝණය ඔහ්.

උදාහරණයක්... සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණය ලබා දී ඇත 12x - 5y - 65 = 0... විවිධ වර්ගයේ සමීකරණ ලිවීම අවශ්‍ය වේ

මෙම සරල රේඛාව.

මෙම රේඛාවේ කොටස්වල සමීකරණය:

මෙම සරල රේඛාව බෑවුම සමඟ සමීකරණය කිරීම: (5 න් බෙදන්න)

සරල රේඛාවක සමීකරණය:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

සෑම සරල රේඛාවක්ම කොටස්වල සමීකරණයකින් නිරූපණය කළ නොහැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස සරල රේඛා,

අක්ෂ වලට සමාන්තරව හෝ සම්භවය හරහා ගමන් කිරීම.

යානයේ සරල රේඛා අතර කෝණය.

අර්ථ දැක්වීම... පේළි දෙකක් ලබා දෙන්නේ නම් y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ඉන්පසු මෙම රේඛා අතර තියුණු කෝණයක්

ලෙස අර්ථ දක්වනු ඇත

නම් පේළි දෙකක් සමාන්තර වේ k 1 = k 2... සරල රේඛා දෙකක් ලම්බක වේ,

a නම් k 1 = -1 / k 2 .

ප්‍රමේයය.

සෘජු අක්ෂය + Wu + C = 0සහ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0සංගුණක සමානුපාතික වන විට සමාන්තර වේ

1 =, В 1 =... එසේ නම් 1 =, එවිට සරල රේඛා සමපාත වේ. පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක

මෙම සරල රේඛා සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගෙන ඇත.

දී ඇති සරල රේඛාවකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම... ලක්ෂ්‍යය හරහා රේඛාව එම් 1 (x 1, y 1)සහ රේඛාවට ලම්බකව y = kx + b

සමීකරණයෙන් නිරූපණය කෙරේ:

ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාවට දුර.

ප්‍රමේයය... කරුණක් ලබා දෙන්නේ නම් එම් (x 0, y 0), line ජු රේඛාවට ඇති දුර අක්ෂය + Wu + C = 0අර්ථ දක්වා ඇත්තේ:

සාක්ෂි... කාරණයට ඉඩ දෙන්න එම් 1 (x 1, y 1)- ලක්ෂ්‍යයේ සිට සිරස් අතට වැටී ඇත එම්දී ඇති සඳහා

සරල රේඛාව. එවිට ලකුණු අතර දුර එම්සහ එම් 1:

(1)

ඛණ්ඩාංක x 1සහ 1 ටසමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගත හැකිය:

පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය යනු එම් 0 සිට ලම්බකව ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයයි

දී ඇති සරල රේඛාවක්. අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ස්වරූපයට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

එවිට, විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙම ප්‍රකාශන (1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට පෙනී යන්නේ:

ප්‍රමේයය සනාථ වේ.