ශුන්\u200dයයේ ව්\u200dයුත්පන්නය. ඩම්මි සඳහා ව්\u200dයුත්පන්න විසඳුම: අර්ථ දැක්වීම, සොයා ගන්නේ කෙසේද, විසඳුම් සඳහා උදාහරණ
ලිපි අන්තර්ගතය
ව්\u200dයුත්පන්නව්\u200dයුත්පන්න ශ්\u200dරිතය y = f(x) නිශ්චිත කාල පරාසයක් මත අර්ථ දක්වා ඇත ( අ, ආ) ස්ථානයේ xමෙම පරතරය ශ්\u200dරිතයේ වර්ධනයේ සම්බන්ධතාවය නැඹුරු වන සීමාව ලෙස හැඳින්වේ f මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තර්ක වර්ධක බිංදුවට නැඹුරු වන විට අනුරූප තර්ක වර්ධකයට.
ව්\u200dයුත්පන්නය සාමාන්\u200dයයෙන් පහත පරිදි දැක්වේ:
වෙනත් අංකන බහුලව භාවිතා වේ:
ක්ෂණික වේගය.
කාරණයට ඉඩ දෙන්න එම්සරල රේඛාවක් ඔස්සේ ගමන් කරයි. දුර sචලනය වන ස්ථානය, කිසියම් ආරම්භක ස්ථානයකින් ගණනය කෙරේ එම්0 කාලය මත රඳා පවතී ටී, i.e. sකාලයෙහි ශ්\u200dරිතයක් ඇත ටී: s= f(ටී). යම් වේලාවක ඉඩ දෙන්න ටී චලනය වන ස්ථානය එම් දුරින් විය s ආරම්භක ස්ථානයේ සිට එම්0, සහ ඊළඟ මොහොතේ ටී+ ඩී ටීස්ථානයේ එම්1 - දුරින් s+ ඩී sආරම්භක ස්ථානයේ සිට ( පින්තූරය බලන්න.).
මේ අනුව, කාල සීමාව තුළ ඩී ටී දුර s D හි අගය අනුව වෙනස් කරන ලදි s. මෙම අවස්ථාවේ දී, ඔවුන් පවසන්නේ කාල පරතරය සඳහා ඩී ටී වටිනාකම s වැඩි කළ ඩී s.
සෑම අවස්ථාවකම, සාමාන්\u200dය වේගයකට ලක්ෂ්\u200dයයක වේගය නිවැරදිව විස්තර කළ නොහැක එම් වේලාවට ටී. උදාහරණයක් ලෙස, පරතරය ආරම්භයේ දී ශරීරය නම් ටී ඉතා ඉක්මණින් චලනය වූ අතර අවසානයේ ඉතා සෙමින්, සාමාන්\u200dය වේගයට ලක්ෂ්\u200dයයේ චලනයේ දැක්වෙන ලක්ෂණ පිළිබිඹු කිරීමට නොහැකි වන අතර මේ මොහොතේ එහි චලනයේ සැබෑ වේගය පිළිබඳ අදහසක් ලබා දෙනු ඇත. ටී. සාමාන්\u200dය වේගය ආධාරයෙන් සත්\u200dය වේගය වඩාත් නිවැරදිව ප්\u200dරකාශ කිරීමට නම් අපට කෙටි කාලයක් ගත යුතුය ටී. මොහොතක ලක්ෂ්\u200dයයක වේගය වඩාත් පූර්ණ ලෙස සංලක්ෂිත වේ ටී සාමාන්\u200dය ප්\u200dරවේගය D ට නැඹුරු වන සීමාව ටී Limit 0. මෙම සීමාව වත්මන් වේගය ලෙස හැඳින්වේ:
මේ අනුව, චලනයේ වේගය වර්තමානයේ D මාර්ගයේ වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ s කාල වර්ධක ඩී ටීකාලය වැඩිවීම ශුන්\u200dයයට නැඹුරු වන විට. සිට
ව්\u200dයුත්පන්නයේ ජ්\u200dයාමිතික අගය. ප්\u200dරස්ථාර ක්\u200dරියාකාරිත්වයට ස්පර්ශක.
ස්පර්ශක සෑදීම අවකලනය ගණනය කිරීමේ උපතට හේතු වූ එක් ගැටලුවකි. අවකලනය ගණනය කිරීම හා ලිබ්නිස් විසින් රචිත පළමු ප්\u200dරකාශිත කෘතිය ලෙස හැඳින්වේ භාගික හෝ අතාර්කික ප්\u200dරමාණයක් බාධාවක් ලෙස සේවය නොකරන මැක්සිමා සහ මිනිමා මෙන්ම ස්පර්ශක නව ක්\u200dරමයක් සහ විශේෂ ගණනය කිරීම්.
වක්\u200dරය ක්\u200dරියාකාරී ප්\u200dරස්ථාරයක් වීමට ඉඩ දෙන්න y = f(x) සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ( බලන්න. අත්තික්කා.).
එක්තරා අගයකට xක්\u200dරියාකාරී කරුණු y = f(x) මෙම අගයන් වෙත xසහ y වක්\u200dරයෙහි ලක්ෂ්\u200dයයක් ඇත එම්0(x, y) තර්කය නම් x දෙන්න වර්ධක ඩී x, පසුව තර්කයේ නව අගය x + ඩී x ශ්\u200dරිතයේ නව අගයට අනුරූප වේ y +ඩී y = f(x + ඩී x) වක්\u200dරයෙහි අනුරූප ලක්ෂ්\u200dයය ලක්ෂ්\u200dයය වේ එම්1(x + ඩී x, y + ඩී y) ඔබ තත්පරයක් අඳින්නේ නම් එම්0එම්1 සහ j මගින් දක්වන්න ධනාත්මක අක්ෂ දිශාව සහිත තත්පරයෙන් සාදන ලද කෝණය ඔක්ස්, එය සෘජුවම එම රූපයෙන් දැකිය හැකිය.
දැන් නම් ඩී x එවිට ශුන්\u200dයයට නැඹුරු වේ එම්1 වක්\u200dරය දිගේ චලනය වන අතර ලක්ෂ්\u200dයයට ළඟා වේ එම්0 සහ කෝණය j වෙනස සමඟ වෙනස් වීම D. x. දී Dx® 0, j කෝණය යම් සීමාවකට නැඹුරු වන අතර ලක්ෂ්\u200dයය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව එම්0 සහ කෝණය අබ්සිස්සා අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සහිත සං component ටකයක් අපේක්ෂිත ස්පර්ශක වේ. එහි කෝණික සංගුණකය:
එබැවින් f´( x) \u003d tga
i.e. ව්\u200dයුත්පන්න අගය f´( x) තර්කයේ දී ඇති අගය සඳහා x ශ්\u200dරිතයේ ප්\u200dරස්ථාරයට ස්පර්ශක මගින් සාදන ලද කෝණයේ ස්පර්ශකයට සමාන වේ f(x) අනුරූප ස්ථානයේ එම්0(x,y) ධනාත්මක අක්ෂ දිශාව සමඟ ඔක්ස්.
කාර්යයන්හි අවකලනය.
අර්ථ දැක්වීම ශ්\u200dරිතය නම් y = f(x) හි ව්\u200dයුත්පන්නයක් ඇත x = x0, එවිට ශ්\u200dරිතය මෙම අවස්ථාවෙහිදී වෙනස් වේ.
ව්\u200dයුත්පන්නයක් ඇති ශ්\u200dරිතයක අඛණ්ඩතාව. ප්\u200dරමේයය
ශ්\u200dරිතය නම් y = f(x) යම් අවස්ථාවක දී අවකලනය කළ හැකිය x = x0, එවිට එය මෙම අවස්ථාවෙහිදී අඛණ්ඩව පවතී.
මේ අනුව, අත්හිටුවීමේ ලක්ෂ්\u200dයවලදී, ශ්\u200dරිතයට ව්\u200dයුත්පන්නයක් තිබිය නොහැක. සංවාදය සත්\u200dය නොවේ, එනම්. යම් අවස්ථාවක දී x = x0 ශ්\u200dරිතය y = f(x) අඛණ්ඩව එය මෙම අවස්ථාවේදී අවකලනය කළ හැකි බව අනුගමනය නොකරයි. උදාහරණයක් ලෙස, ශ්\u200dරිතය y = |x| සෑම කෙනෙකුටම අඛණ්ඩව x (–Ґ x x \u003d 0 ව්\u200dයුත්පන්නයක් නොමැත. මේ අවස්ථාවේදී ප්\u200dරස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් නොමැත. දකුණු ස්පර්ශකයක් සහ වම්පස ඇත, නමුත් ඒවා සමපාත නොවේ.
අවකලනය කළ හැකි කාර්යයන් පිළිබඳ සමහර ප්\u200dරමේයයන්. ව්\u200dයුත්පන්න මූල ප්\u200dරමේයය (රෝල්ගේ ප්\u200dරමේයය).ශ්\u200dරිතය නම් f(x) කොටසෙහි අඛණ්ඩව පවතී [අ,ආ], මෙම කොටසේ සියලුම අභ්\u200dයන්තර ස්ථානවල සහ කෙළවරේ වෙනස් වේ x = අ සහ x = ආ අතුරුදහන් වේ ( f(අ) = f(ආ) \u003d 0), ඉන්පසු පරතරය තුළ [ අ,ආ] අවම වශයෙන් එක් කරුණක්වත් තිබේ x= සමඟ, අ c b එහි ව්\u200dයුත්පන්නය fў( x) අතුරුදහන් වේ, i.e. fў( ඇ) = 0.
සීමිත වර්ධක ප්\u200dරමේයය (ලැග්\u200dරැන්ජ් ප්\u200dරමේයය).ශ්\u200dරිතය නම් f(x) කොටසෙහි අඛණ්ඩව පවතී [ අ, ආ] සහ මෙම කොටසේ සියලුම අභ්\u200dයන්තර ස්ථානවල වෙනස් කළ හැකිය, ඉන්පසු කොටස ඇතුළත [ අ, ආ] අවම වශයෙන් එක් කරුණක්වත් තිබේ සමඟ, අ ඇ
f(ආ) – f(අ) = fў( ඇ)(ආ– අ).
ශ්\u200dරිත දෙකක වර්ධක සම්බන්ධය පිළිබඳ ප්\u200dරමේයයක් (Cauchy ප්\u200dරමේයය).එසේ නම් f(x) සහ උ(x) ශ්\u200dරිත දෙකක් කොටසක අඛණ්ඩව පවතී [අ, ආ] සහ මෙම කොටසේ සියලුම අභ්\u200dයන්තර ස්ථානවල වෙනස් වේ උў( x) මෙම කොටසේ ඕනෑම තැනක අතුරුදහන් නොවේ, ඉන්පසු කොටස තුළ [ අ, ආ] එවැනි කරුණක් තිබේ x = සමඟ, අ ඇ
විවිධ ඇණවුම් වල ව්\u200dයුත්පන්නයන්.
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න y = f(x) සමහර කොටසේ වෙනස් කළ හැකිය [ අ, ආ]. ව්\u200dයුත්පන්න අගයන් f ў( x), පොදුවේ ගත් කල, රඳා පවතී x, i.e. ව්\u200dයුත්පන්නය f ў( x) යනු ද ශ්\u200dරිතයකි x. මෙම ශ්\u200dරිතය අවකලනය කිරීමෙන්, අපි ශ්\u200dරිතයේ ඊනියා දෙවන ව්\u200dයුත්පන්නය ලබා ගනිමු f(x), මගින් දක්වනු ලැබේ f ўў ( x).
ව්\u200dයුත්පන්න n-ශ්\u200dරිත අනුපිළිවෙල f(x) ව්\u200dයුත්පන්නයේ ව්\u200dයුත්පන්නය (පළමු අනුපිළිවෙල) ලෙස හැඳින්වේ n-1- යන්න සහ එයින් ඇඟවෙන්නේ y(n) = (y(n - 1)).
විවිධ ඇණවුම්වල අවකලනය.
ශ්\u200dරිත අවකලනය y = f(x), කොහෙද x ස්වාධීන විචල්යයක් ඇත, තිබේ dy = f ў( x)dx, හි යම් කාර්යයක් x, නමුත් සිට x රඳා පවතින්නේ පළමු සාධකය පමණි f ў( x), දෙවන සාධකය ( dx) යනු ස්වාධීන විචල්\u200dයයක වැඩිවීමකි xසහ මෙම විචල්\u200dයයේ වටිනාකම මත රඳා නොපවතී. සිට dy සිට ශ්\u200dරිතයක් ඇත x, එවිට මෙම ශ්\u200dරිතයේ අවකලනය තීරණය කළ හැකිය. ශ්\u200dරිතයක අවකලනයෙන් අවකලනය මෙම ශ්\u200dරිතයේ දෙවන අවකලනය හෝ දෙවන අනුපිළිවෙල අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ. ..2y:
..(dx) = ..2y = f ўў( x)(dx) 2 .
අවකලනය n-ඇණවුම අවකලනයෙහි පළමු අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ n-1- ඇණවුම:
d n y = ..(d n–1 y) = f(n)(x)dx(n).
පුද්ගලික ව්\u200dයුත්පන්නය.
ශ්\u200dරිතය රඳා පවතින්නේ එකක් මත නොව තර්ක කිහිපයක් මත ය x i(i1 සිට වෙනස් වේ n, i= 1, 2,… n), f(x1, x2,… x n), පසුව අවකලනය ගණනය කිරීමේදී අර්ධ ව්\u200dයුත්පන්නය පිළිබඳ සංකල්පය හඳුන්වා දෙනු ලැබේ, එය එක් තර්කයක් පමණක් වෙනස් වන විට විචල්\u200dය කිහිපයක ශ්\u200dරිතයේ වෙනස් වීමේ වේගය නිරූපණය කරයි, උදාහරණයක් ලෙස x i. පළමු අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්\u200dයුත්පන්නය සම්බන්ධයෙන් x iසාමාන්\u200dය ව්\u200dයුත්පන්නයක් ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති අතර හැර අනෙක් සියලුම තර්ක හැර x i, නියත අගයන් තබා ගන්න. අර්ධ ව්\u200dයුත්පන්නයන් සඳහා අපි අංකනය හඳුන්වා දෙමු
මේ ආකාරයට අර්ථ දක්වා ඇති පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්\u200dයුත්පන්නයන් (එකම තර්කවල කාර්යයන් ලෙස) අනෙක් අතට අර්ධ ව්\u200dයුත්පන්නයන් ද තිබිය හැකිය, මේවා දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්\u200dයුත්පන්නයන් ය. විවිධ තර්ක සමඟ ගත් විට, එවැනි ව්\u200dයුත්පන්නයන් මිශ්\u200dර ලෙස හැඳින්වේ. එකම අනුපිළිවෙලෙහි අඛණ්ඩ මිශ්\u200dර ව්\u200dයුත්පන්නයන් අවකලනය කිරීමේ අනුපිළිවෙලින් ස්වාධීන වන අතර ඒවා එකිනෙකට සමාන වේ.
ඇනා චුගිනෝවා
දිනය: 11/20/2014
ව්\u200dයුත්පන්නය යනු කුමක්ද?
ව්\u200dයුත්පන්න වගුව.
ව්\u200dයුත්පන්නය යනු උසස් ගණිතයේ ප්\u200dරධාන සංකල්පයකි. මෙම පාඩමෙන් අපට මෙම සංකල්පය දැනගත හැකිය. දැඩි ගණිතමය සූත්\u200dර හා සාක්ෂි නොමැතිව අපි එකිනෙකා දැන හඳුනා ගන්නෙමු.
මෙම දැන හඳුනා ගැනීම ඉඩ දෙනු ඇත:
ව්\u200dයුත්පන්නයක් සමඟ සරල කාර්යයන්හි සාරය තේරුම් ගන්න;
මෙම ඉතා සරල කාර්යයන් සාර්ථකව විසඳන්න;
වඩාත් බරපතල ව්\u200dයුත්පන්න පාඩම් සඳහා සූදානම් වන්න.
මුලදී ප්\u200dරසන්න පුදුමයක්.)
ව්\u200dයුත්පන්නයේ දැඩි අර්ථ දැක්වීම පදනම් වන්නේ න්\u200dයාය මත වන අතර එය තරමක් සංකීර්ණ ය. මෙය අවුල් සහගතය. නමුත් ව්\u200dයුත්පන්නයේ ප්\u200dරායෝගික භාවිතයට රීතියක් ලෙස එවැනි පුළුල් හා ගැඹුරු දැනුමක් අවශ්\u200dය නොවේ!
පාසලේ හා විශ්ව විද්\u200dයාලයේ බොහෝ කාර්යයන් සාර්ථකව නිම කිරීම සඳහා එය දැන ගැනීම ප්\u200dරමාණවත්ය පද කිහිපයක් - කාර්යය තේරුම් ගැනීමට, සහ නීති කිහිපයක් - එය විසඳීමට. ඒක තමයි. එය සතුටු වේ.
අපි එකිනෙකා දැන හඳුනා ගනිමු?)
නියමයන් සහ අංකනය.
මූලික ගණිතයේ බොහෝ ගණිතමය මෙහෙයුම් ඇත. එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, on ාතීයකරණය, ල ar ු ගණකය යනාදිය. ඔබ මෙම මෙහෙයුම් සඳහා තවත් එකක් එකතු කළහොත්, ප්\u200dරාථමික ගණිතය ඉහළ යයි. මෙම නව මෙහෙයුම හැඳින්වේ අවකලනය. මෙම මෙහෙයුමේ අර්ථ දැක්වීම සහ අර්ථය වෙනම පාඩම් වලින් සාකච්ඡා කෙරේ.
අවකලනය යනු ශ්\u200dරිතයක් මත ගණිතමය මෙහෙයුමක් පමණක් බව මෙහිදී වටහා ගැනීම වැදගත්ය. අපි ඕනෑම කාර්යයක් කරන අතර, යම් නීතිරීතිවලට අනුව එය පරිවර්තනය කරමු. ප්රති result ලය නව අංගයකි. මෙම නව ශ්\u200dරිතය හැඳින්වෙන්නේ: ව්\u200dයුත්පන්නය.
අවකලනය - ශ්\u200dරිතයක් මත ක්\u200dරියා කිරීම.
ව්\u200dයුත්පන්න මෙම ක්\u200dරියාවෙහි ප්\u200dරති result ලයකි.
උදාහරණයක් ලෙස, ප්\u200dරමාණය - එකතු කිරීමේ ප්\u200dරති result ලය. නැත්නම් පුද්ගලික බෙදීමේ ප්\u200dරති result ලයකි.
නියමයන් දැන ගැනීමෙන් ඔබට අවම වශයෙන් කාර්යයන් තේරුම් ගත හැකිය.) සූත්\u200dර පහත පරිදි වේ: ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය සොයා ගන්න; ව්\u200dයුත්පන්නය ගන්න; ශ්\u200dරිතය වෙන්කර හඳුනා ගැනීම; ව්\u200dයුත්පන්නය ගණනය කරන්න ආදිය. එච්චරයි එකම දේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, වඩාත් සංකීර්ණ කාර්යයන් ඇත, එහිදී ව්\u200dයුත්පන්නය (අවකලනය) සොයා ගැනීම කාර්යය විසඳීමේ එක් පියවරක් පමණක් වනු ඇත.
ව්\u200dයුත්පන්නය ශ්\u200dරිතයට ඉහළින් ඉහළ දකුණේ ඇති තීරුව භාවිතා කර දැක්වේ. මේ වගේ: y " හෝ f "(x) හෝ එස් "(ටී) සහ එසේ ය.
කියවන්න igrek ආ roke ාතය, X වෙතින් eff ආ roke ාතය, te වෙතින් es ආ roke ාතය, හොඳයි, ඔබට තේරෙනවා ...)
තීරුවක යම් ශ්\u200dරිතයක ව්\u200dයුත්පන්නය දැක්විය හැක, උදාහරණයක් ලෙස: (2x + 3) ”, (x 3 )" , (sinx) " ආදිය. බොහෝ විට ව්\u200dයුත්පන්නය අවකලනයන් මගින් දක්වනු ලැබේ, නමුත් මෙම පාඩමේදී එවැනි තනතුරක් අපි සලකා බලන්නේ නැත.
අපි කාර්යයන් තේරුම් ගැනීමට ඉගෙන ගෙන ඇතැයි සිතමු. ඉතිරිව ඇත්තේ ඒවා විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීම පමණි.) මම ඔබට නැවත මතක් කර දෙන්නම්: ව්\u200dයුත්පන්නයක් සොයා ගැනීම සමහර නීතිරීති අනුව ක්\u200dරියාකාරී පරිවර්තනය. පුදුමයට කරුණක් නම්, මෙම නීති ස්වල්පයක් පමණි.
ශ්\u200dරිතයක ව්\u200dයුත්පන්නය සොයා ගැනීමට ඔබට දැනගත යුත්තේ කරුණු තුනක් පමණි. තල්මසුන් තිදෙනෙකු මත සියලු අවකලනය පවතී. මෙන්න ඔවුන් මේ තල්මසුන් තිදෙනා:
1. ව්\u200dයුත්පන්න වගුව (අවකලනය කිරීමේ සූත්\u200dර).
3. සංකීර්ණ ශ්\u200dරිතයක ව්\u200dයුත්පන්නය.
පිළිවෙලට ආරම්භ කරමු. මෙම පාඩමේදී අපි ව්\u200dයුත්පන්න වගුව සලකා බලමු.
ව්\u200dයුත්පන්න වගුව.
ලෝකයේ - අසීමිත ශ්\u200dරිත සංඛ්\u200dයාවක්. මෙම කට්ටලය අතර ප්\u200dරායෝගික භාවිතය සඳහා වඩාත් වැදගත් වන කාර්යයන් ඇත. මෙම කාර්යයන් ස්වභාව ධර්මයේ සියලුම නීති වලට අනුකූල වේ. ගඩොල් වැනි මෙම කාර්යයන්ගෙන් ඔබට ඉතිරි සියල්ල ඉදි කළ හැකිය. මෙම ශ්\u200dරිත පන්තිය හැඳින්වේ මූලික කාර්යයන්. පාසලේදී අධ්\u200dයයනය කරනු ලබන්නේ මෙම කාර්යයන් ය - රේඛීය, චතුරස්රාකාර, හයිපර්බෝලා යනාදිය.
"මුල සිට" ශ්\u200dරිත වෙනස් කිරීම, එනම් ව්\u200dයුත්පන්නයේ අර්ථ දැක්වීම සහ සීමාවන් පිළිබඳ න්\u200dයාය මත පදනම්ව - තරමක් වෙහෙසකර දෙයක්. ගණිත ians යන් ද මිනිසුන් ය, ඔව්!) එබැවින් ඔවුන් ඔවුන්ගේ ජීවිතය සරල කර ගත්හ (සහ අප වෙනුවෙන්). ඔවුන් අප ඉදිරියේ ඇති මූලික කාර්යයන්හි ව්\u200dයුත්පන්නයන් ගණනය කළහ. ප්\u200dරති result ලය ව්\u200dයුත්පන්න වගුවකි, එහිදී සියල්ල සූදානම්.)
මෙන්න එය, වඩාත් ජනප්රිය අංග සඳහා මෙම තහඩුව. වම් පසින් මූලික ශ්\u200dරිතයක් ඇත, දකුණු පසින් එහි ව්\u200dයුත්පන්නය වේ.
| ක්රියාකාරිත්වය y |
Y හි ව්\u200dයුත්පන්නය y " |
|
| 1 | සී (නියත අගය) | සී "\u003d 0 |
| 2 | x | x "\u003d 1 |
| 3 | x n (n යනු ඕනෑම අංකයකි) | (x n) "\u003d nx n-1 |
| x 2 (n \u003d 2) | (x 2) "\u003d 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x) "\u003d cosx |
| cos x | (cos x) "\u003d - පාප x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | අ x |  |
| ඊ x | ||
| 5 | ලොග් වන්න අx |  |
| ln x ( a \u003d ඊ) |
මෙම ව්\u200dයුත්පන්න වගුවේ තුන්වන කාණ්ඩයේ කාර්යයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීමට මම නිර්දේශ කරමි. බල ශ්\u200dරිතයක ව්\u200dයුත්පන්නය වඩාත් සුලභ නොවේ නම් වඩාත් සුලභ සූත්\u200dරයකි! ඉඟිය පැහැදිලිද?) ඔව්, ව්\u200dයුත්පන්න වගුව හදවතින්ම දැනගැනීම යෝග්\u200dය වේ. මාර්ගය වන විට, මෙය පෙනෙන තරම් අපහසු නොවේ. තවත් උදාහරණ විසඳීමට උත්සාහ කරන්න, මේසයම මතකයේ රැඳෙනු ඇත!)
ඔබ දන්නා පරිදි ව්\u200dයුත්පන්නයේ වගු අගය සොයා ගැනීම සඳහා කාර්යය වඩාත්ම දුෂ්කර නොවේ. එමනිසා, බොහෝ විට එවැනි කාර්යයන් වලදී අතිරේක චිප්ස් ඇත. එක්කෝ කර්තව්\u200dයයේ ප්\u200dරකාශයේ හෝ මුල් ශ්\u200dරිතයේ වගුවේ නොමැති බව පෙනේ ...
උදාහරණ කිහිපයක් දෙස බලමු:
1. y \u003d x ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය සොයා ගන්න 3
වගුවේ එවැනි කාර්යයක් නොමැත. නමුත් සාමාන්\u200dය ස්වරූපයෙන් (තුන්වන කණ්ඩායම) බල ශ්\u200dරිතයක ව්\u200dයුත්පන්නයක් ඇත. අපගේ නඩුවේදී, n \u003d 3. එබැවින් අපි n වෙනුවට ත්\u200dරිත්වය ආදේශ කර ප්\u200dරති result ලය ප්\u200dරවේශමෙන් ලියන්නෙමු.
(x 3) "\u003d 3x 3-1 = 3x 2
එපමණයි.
පිළිතුර: y "\u003d 3x 2
2. x \u003d 0 හි y \u003d sinx ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නයේ අගය සොයා ගන්න.
මෙම කර්තව්\u200dයයෙන් අදහස් වන්නේ ඔබ මුලින්ම සයින් වල ව්\u200dයුත්පන්නය සොයා ගත යුතු අතර පසුව අගය ආදේශ කළ යුතු බවයි x \u003d 0 මෙම ව්\u200dයුත්පන්නයට. එම අනුපිළිවෙල අනුව! එවිට එය සිදු වේ, ඔවුන් වහාම මුල් ශ්\u200dරිතයේ ශුන්\u200dයය ආදේශ කරයි ... මුල් ශ්\u200dරිතයේ වටිනාකම නොව වටිනාකම සොයා ගැනීමට අපෙන් ඉල්ලා සිටිමු එහි ව්\u200dයුත්පන්නය. ව්\u200dයුත්පන්න, මට මතකයි - මෙය නව ලක්ෂණයකි.
තහඩුව මත අපට සයින් සහ ඊට අනුරූප ව්\u200dයුත්පන්නය හමු වේ:
y "\u003d (sin x)" \u003d cosx
ව්\u200dයුත්පන්නයට ශුන්\u200dයය ආදේශ කරන්න:
y "(0) \u003d cos 0 \u003d 1
මෙය පිළිතුර වනු ඇත.
3. ශ්\u200dරිතය වෙනස් කරන්න:
දේවානුභාවයෙන් කුමක් ද?) ව්\u200dයුත්පන්න වගුවේ එවැනි කාර්යයක් නොමැත.
ශ්\u200dරිතයක් වෙන්කර හඳුනා ගැනීම යනු මෙම ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය සොයා ගැනීම පමණක් බව මම ඔබට මතක් කරමි. මූලික ත්\u200dරිකෝණමිතිය අපට අමතක වුවහොත්, අපගේ ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය සෙවීම තරමක් කරදරකාරී ය. මේසය උදව් කරන්නේ නැත ...
නමුත් අපගේ කාර්යය බව ඔබ දුටුවහොත් ද්විත්ව කෝණ කොසයින්එවිට සියල්ල වහාම හොඳ අතට හැරේ!
ඔව්, ඔව්! මුල් ශ්\u200dරිතයේ පරිවර්තනය බව මතක තබා ගන්න අවකලනය කිරීමට පෙර තරමක් අවසර ඇත! ජීවිතය පහසු කිරීම සඳහා එය සිදු වේ. ද්විත්ව කෝණයක කොසයින් සූත්\u200dරය අනුව:
එනම්. අපගේ උපක්\u200dරමශීලී ක්\u200dරියාව අන් කිසිවක් නොවේ y \u003d cosx. මෙය වගු ශ්\u200dරිතයකි. වහාම අපට ලැබෙන්නේ:
පිළිතුර: y "\u003d - පාපය x.
උසස් උපාධිධාරීන් සහ සිසුන් සඳහා උදාහරණයක්:
4. ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය සොයා ගන්න:
ව්\u200dයුත්පන්න වගුවේ එවැනි කාර්යයක් නොමැත. නමුත් ඔබට ප්\u200dරාථමික ගණිතය, උපාධි සමඟ ක්\u200dරියා කිරීම සිහිපත් වුවහොත් ... එවිට මෙම ශ්\u200dරිතය සරල කළ හැකිය. මේ වගේ:
X දහයෙන් එකක බලයට දැනටමත් වගු ශ්\u200dරිතයක් ඇත! තෙවන කණ්ඩායම, n \u003d 1/10. සූත්\u200dරය මගින් කෙලින්ම ලියන්න:
එපමණයි. එය පිළිතුර වනු ඇත.
පළමු තල්මසුන්ගේ අවකලනය - ව්\u200dයුත්පන්න වගුව - සියල්ල පැහැදිලි යැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි. ඉතිරි තල්මසුන් දෙදෙනා සමඟ කටයුතු කිරීමට එය ඉතිරිව ඇත. ඊළඟ පාඩමේදී, අපි අවකලනය කිරීමේ නීති ප්\u200dරගුණ කරමු.
ව්\u200dයුත්පන්නය ගණනය කිරීම බොහෝ විට විභාගයේ කාර්යයන්හි දක්නට ලැබේ. මෙම පිටුවේ ව්\u200dයුත්පන්නයන් සොයා ගැනීම සඳහා සූත්\u200dර ලැයිස්තුවක් අඩංගු වේ.
අවකලනය කිරීමේ නීති
- (k⋅ f (x)) ′ \u003d k⋅ f ′ (x).
- (f (x) + g (x)) ′ \u003d f (x) + g ′ (x).
- (f (x) g (x)) ′ \u003d f ′ (x) ⋅ g (x) + f (x) g ′ (x).
- සංකීර්ණ ශ්\u200dරිතයක ව්\u200dයුත්පන්නය. Y \u003d F (u) සහ u \u003d u (x) නම්, y \u003d f (x) \u003d F (u (x)) ශ්\u200dරිතය x හි සංකීර්ණ ශ්\u200dරිතයක් ලෙස හැඳින්වේ. සමාන වන්නේ y ′ (x) \u003d Fu′⋅ ux.
- ව්\u200dයංග ශ්\u200dරිතයක ව්\u200dයුත්පන්නය. Y \u003d f (x) ශ්\u200dරිතය F (x, y) \u003d 0 සම්බන්ධතාවය F (x, f (x)) if0 නම් ලබා දෙන ව්\u200dයංග ශ්\u200dරිතය ලෙස හැඳින්වේ.
- ප්\u200dරතිලෝම ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය. G (f (x)) \u003d x නම්, g (x) ශ්\u200dරිතය y \u003d f (x) ශ්\u200dරිතය සඳහා ප්\u200dරතිලෝම ශ්\u200dරිතය ලෙස හැඳින්වේ.
- පරාමිතිකව අර්ථ දක්වා ඇති ශ්\u200dරිතයක ව්\u200dයුත්පන්නය. X සහ y විචල්\u200dයයේ ශ්\u200dරිත ලෙස ලබා දෙමු: x \u003d x (t), y \u003d y (t). Y \u003d y (x) යනු x∈ (a; b) පරතරය මත පරාමිතිකව අර්ථ දක්වා ඇති ශ්\u200dරිතයක් යැයි කියනු ලැබේ, මෙම පරතරය මත x \u003d x (t) සමීකරණය t \u003d t (x) ලෙස ප්\u200dරකාශ කළ හැකි අතර y \u003d y (ශ්\u200dරිතය) t (x)) \u003d y (x).
- On ාතීය ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය. ස්වාභාවික ල ar ු ගණකයේ පාමුල ල ar ු ගණකය මගින් එය සොයාගත හැකිය.
X \u003d අන්තරයේ y \u003d f (x) ශ්\u200dරිතය අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. ව්\u200dයුත්පන්න x o ලක්ෂ්\u200dයයේ y \u003d f (x) ශ්\u200dරිතය සීමාව ලෙස හැඳින්වේ
=
.
මෙම සීමාව නම් අවසාන එවිට f (x) ශ්\u200dරිතය හැඳින්වේ අවකලනය කළ හැකි මොහොතේ x o ; ඒ සමගම, මෙම අවස්ථාවෙහිදී එය අත්\u200dයවශ්\u200dයයෙන්ම හා අඛණ්ඩව පවතී.
සලකා බලන සීමාව (හෝ - ) ට සමාන නම්, එම අවස්ථාවේ දී එම ශ්\u200dරිතය සපයනු ලැබේ x o අඛණ්ඩව, අපි කියන්නේ f (x) ශ්\u200dරිතයට ලක්ෂ්\u200dයයේ ඇති බවයි x o අනන්ත ව්\u200dයුත්පන්නය.
ව්\u200dයුත්පන්නය මගින් දැක්වේ
y, f (x o) ,,.
ව්\u200dයුත්පන්නයක් සොයා ගැනීම හැඳින්වේ අවකලනය කාර්යයන්. ව්\u200dයුත්පන්නයේ ජ්\u200dයාමිතික අර්ථය ව්\u200dයුත්පන්නය යනු යම් අවස්ථාවක දී y \u003d f (x) වක්\u200dරය වෙත ස්පර්ශකයේ කෝණික සංගුණකයයි. x o ; භෞතික අර්ථය -කාලයට සාපේක්ෂව මාර්ගයේ ව්\u200dයුත්පන්නය යනු t o වේලාවේ සෘජුකෝණාස්රාකාර චලිතය s \u003d s (t) සමඟ චලනය වන ලක්ෂ්\u200dයයේ ක්ෂණික වේගයයි.
එසේ නම් සමඟ නියත සංඛ්\u200dයාවක් වන අතර u \u003d u (x), v \u003d v (x) යනු අවකලනය කළ හැකි කාර්යයන් කිහිපයකි, එවිට පහත දැක්වෙන අවකලනය කිරීමේ නීති වලංගු වේ:
1) (ඇ) "\u003d 0, (කියු)" \u003d කියු ";
2) (u + v) "\u003d u" + v ";
3) (uv) "\u003d u" v + v "u;
4) (u / v) "\u003d (u" v-v "u) / v 2;
5) y \u003d f (u) නම්, u \u003d (x), i.e. y \u003d f ( (x)) - සංකීර්ණ කාර්යය හෝ සුපිරි පිහිටීමඅවකල්\u200dය ශ්\u200dරිත වලින් සමන්විත composed සහ f, එසේ නම්, හෝ
6) y \u003d f (x) ශ්\u200dරිතය සඳහා ප්\u200dරතිලෝම අවකල්\u200dය ශ්\u200dරිතයක් x \u003d g (y) පවතී නම්, එපමනක් නොව, 0, එවිට.
ව්\u200dයුත්පන්න සහ අවකලනය කිරීමේ රීති අර්ථ දැක්වීම මත පදනම්ව, මූලික මූලික කාර්යයන්හි වගු ව්\u200dයුත්පන්නයන් ලැයිස්තුවක් සම්පාදනය කළ හැකිය.
1. (u) "\u003d u 1 u" ( ආර්).
2. (a u) "\u003d a u lna u".
3. (e u) "\u003d e u u".
4. (ලොග් a u) "\u003d u" / (u ln a).
5. (ln u) "\u003d u" / u.
6. (sin u) "\u003d cos u u".
7. (cos u) "\u003d - sin u u".
8. (tg u) "\u003d 1 / cos 2 u u".
9. (ctg u) "\u003d - u" / sin 2 u.
10. (arcsin u) "\u003d u" /.
11. (arccos u) "\u003d - u" /.
12. (arctan u) "\u003d u" / (1 + u 2).
13. (arcctg u) "\u003d - u" / (1 + u 2).
බලය- on ාතීය ප්\u200dරකාශනයේ ව්\u200dයුත්පන්නය අපි ගණනය කරන්නේ y \u003d u v, (u\u003e 0), කොහේද යූ සහ v සිට ශ්\u200dරිතයේ සාරය xඑක්තරා අවස්ථාවක ව්\u200dයුත්පන්නයන් තිබීම u ", v ".
ල ar ු ගණකය y \u003d u v ඇති විට අපට ලැබෙන්නේ ln y \u003d v ln u.
සාපේක්ෂව ව්\u200dයුත්පන්නයන් සමාන කිරීම x 3, 5 රීති සහ ල ar ු ගණක ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය සඳහා වූ සූත්\u200dරය භාවිතා කරමින් ලබාගත් සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තෙන්ම අපට ඇත්තේ:
y "/ y \u003d vu" / u + v "ln u, කොහෙන්ද y" \u003d y (vu "/ u + v" ln u).
(u v) "\u003d u v (vu" / u + v "ln u), u\u003e 0.
උදාහරණයක් ලෙස, y \u003d x sin x නම්, y "\u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x).
Y \u003d f (x) ශ්\u200dරිතය දී අවකලනය කළ හැකි නම් x, i.e. මෙම අවස්ථාවෙහිදී සීමිත ව්\u200dයුත්පන්නයක් ඇත y ", ඉන්පසු \u003d y "+ , එහිදී 0 සඳහා 0; එබැවින් y \u003d y" х + x.
ශ්\u200dරිතයේ වර්ධනයේ ප්\u200dරධාන කොටස to ට සාපේක්ෂව රේඛීය ලෙස හැඳින්වේ අවකලනය කාර්යයන් එය dy: dy \u003d y "x මගින් දක්වනු ලැබේ. අපි මෙම සූත්\u200dරයට y \u003d x දැමුවහොත්, අපට dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x ලැබේ, එබැවින් dy \u003d y "dx, එනම්, සංකේතය ව්\u200dයුත්පන්නයේ අංකනය භාගයක් ලෙස සැලකිය හැකිය.
ක්\u200dරියාකාරී වර්ධක y යනු වක්\u200dරයේ ඕඩිනේටයේ වැඩිවීම සහ අවකලනය d y ස්පර්ශකයේ ආ in ාපනතේ වැඩි වීමක් ඇත.
Y \u003d f (x) ශ්\u200dරිතය සඳහා එහි ව්\u200dයුත්පන්නය y \u003d f (x) සොයා ගනී යැයි සිතමු. මෙම ව්\u200dයුත්පන්නයේ ව්\u200dයුත්පන්නය හැඳින්වේ දෙවන අනුපිළිවෙල ව්\u200dයුත්පන්නයශ්\u200dරිත f (x), හෝ දෙවන ව්\u200dයුත්පන්නය සහ නම් කර ඇත 
.
ඒ හා සමානව අර්ථ දක්වා ඇති සහ නම් කරන ලද:
තෙවන අනුපිළිවෙල ව්\u200dයුත්පන්නය
-
,
සිව්වන අනුපිළිවෙල ව්\u200dයුත්පන්නය -
සහ පොදුවේ n-th ව්\u200dයුත්පන්නය
-
.
උදාහරණ 3.15. Y \u003d (3x 3 -2x + 1) insin x ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය ගණනය කරන්න.
විසඳුම.3 වන රීතිය අනුව, y "\u003d (3x 3 -2x + 1)" sin x + (3x 3 -2x + 1) (sin x) "\u003d \u003d (9x 2 -2) sin x + (3x 3 -2x +1) cos x.
උදාහරණය 3.16 . Y සොයා ගන්න ", y \u003d tg x +.
විසඳුම.උපුටා දැක්වීමෙන් මුදල වෙන්කර හඳුනා ගැනීමේ නීති භාවිතා කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: y "\u003d (tgx +)" \u003d (tgx) "+ ()" \u003d + 
=
.
උදාහරණ 3.17. Y \u003d, u \u003d x 4 +1 යන සංකීර්ණ ශ්\u200dරිතයේ ව්\u200dයුත්පන්නය සොයා ගන්න.
විසඳුම.සංකීර්ණ ශ්\u200dරිතයක අවකලනය කිරීමේ රීතියට අනුව, අපි ලබා ගන්නේ: y "x \u003d y" uu "x \u003d ()" u (x 4 +1) "x \u003d (2u +. U \u003d x 4 + 1 සිට, එවිට (2 x 4 +) 2+ 
.
