Prednáška: Vektorové súradnice; bodový súčin vektorov; uhol medzi vektormi

Vektorové súradnice

Takže, ako už bolo spomenuté, vektory sú riadený segment, ktorý má svoj vlastný začiatok a koniec. Ak začiatok a koniec predstavujú nejaké body, potom v rovine alebo v priestore majú svoje vlastné súradnice.

Ak má každý bod svoje súradnice, potom môžeme získať súradnice celého vektora.

Predpokladajme, že máme nejaký vektor, ktorého začiatok a koniec vektora majú nasledujúce označenia a súradnice: A (A x; Ay) a B (B x; By)

Na získanie súradníc tohto vektora je potrebné odpočítať zodpovedajúce súradnice začiatku od súradníc konca vektora:

Na určenie súradníc vektora v priestore použite nasledujúci vzorec:

Bodový súčin vektorov

Existujú dva spôsoby, ako definovať bodový súčin:

• Geometrickým spôsobom. Bodový súčin sa podľa neho rovná súčinu hodnôt týchto modulov o kosínus uhla medzi nimi.

• Algebraický význam. Z hľadiska algebry je bodový súčin dvoch vektorov určitá veličina, ktorá sa získa ako výsledok súčtu súčinov zodpovedajúcich vektorov.

Ak sú vektory uvedené v priestore, mali by ste použiť podobný vzorec:

Vlastnosti:

• Ak skalárne vynásobíte dva rovnaké vektory, ich bodový súčin nebude záporný:

• Ak sa skalárny súčin dvoch identických vektorov rovná nule, potom sa tieto vektory považujú za nulové:

• Ak sa vektor vynásobí sám o sebe, skalárny súčin sa bude rovnať druhej mocnine jeho modulu:

• Skalárny súčin má komunikačnú vlastnosť, to znamená, že skalárny súčin sa nezmení z permutácie vektorov:

• Skalárny súčin nenulových vektorov môže byť nulový iba vtedy, ak sú vektory na seba kolmé:

• Pre skalárny súčin vektorov platí zákon posunutia v prípade vynásobenia jedného z vektorov číslom:

• S bodovým súčinom môžete použiť aj distribučnú vlastnosť násobenia:

Uhol medzi vektormi

Definícia 1

Skalárny súčin vektorov je číslo rovné súčinu dyn týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.

Zápis súčinu vektorov a → a b → má tvar a →, b →. Prevedieme na vzorec:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → a b → označujú dĺžky vektorov, a →, b → ^ označujú uhol medzi danými vektormi. Ak je aspoň jeden vektor nulový, to znamená, že má hodnotu 0, výsledok bude tiež nula, a →, b → = 0

Keď vynásobíme vektor sám o sebe, dostaneme druhú mocninu jeho dĺžky:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definícia 2

Samotné skalárne násobenie vektora sa nazýva skalárny štvorec.

Vypočítané podľa vzorca:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Zápis a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → ukazuje, že npb → a → je číselná projekcia a → na b →, npa → a → je projekcia b → na a →, resp.

Sformulujme definíciu produktu pre dva vektory:

Skalárny súčin dvoch vektorov a → by b → sa nazýva súčin dĺžky vektora a → priemetom b → smerom a → alebo súčin dĺžky b → priemetom a → resp.

Bodový produkt v súradniciach

Výpočet bodového súčinu možno vykonať pomocou súradníc vektorov v danej rovine alebo v priestore.

Skalárny súčin dvoch vektorov v rovine, v trojrozmernom priestore, sa nazýva súčet súradníc daných vektorov a → a b →.

Pri výpočte skalárneho súčinu daných vektorov a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) v karteziánskom systéme použite:

a →, b → = a x b x + a y b y,

pre trojrozmerný priestor platí tento výraz:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

V skutočnosti ide o tretiu definíciu bodkového produktu.

Poďme to dokázať.

Dôkaz 1

Na dôkaz používame a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by pre vektory a → = (ax, ay), b → = (bx, by) na karteziáne systém.

Vektory by sa mali odložiť

O A → = a → = a x, a y a O B → = b → = b x, b y.

Potom bude dĺžka vektora A B → rovná A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Uvažujme trojuholník O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) je pravdivé na základe kosínusovej vety.

Podmienkou je vidieť, že O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, preto vzorec na nájdenie uhla medzi vektormi napíšeme inak

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Potom z prvej definície vyplýva, že b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), teda (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Použitím vzorca na výpočet dĺžky vektorov dostaneme:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + po 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (pri - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (podľa - ay) 2) = = ax bx + ay podľa

Dokážme rovnosť:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- respektíve pre vektory trojrozmerného priestoru.

Skalárny súčin vektorov so súradnicami hovorí, že skalárny štvorec vektora sa rovná súčtu druhých mocnín jeho súradníc v priestore a v rovine. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) a (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Bodový produkt a jeho vlastnosti

Existujú vlastnosti bodového produktu, ktoré sú použiteľné pre a →, b → a c →:

1. komutatívnosť (a →, b →) = (b →, a →);
2. distributivita (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. kombinačná vlastnosť (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ je ľubovoľné číslo;
4. skalárny štvorec je vždy väčší ako nula (a →, a →) ≥ 0, kde (a →, a →) = 0 v prípade, keď a → je nula.

Vlastnosti sú vysvetliteľné vďaka definícii bodového súčinu na rovine a vlastnostiam pri sčítaní a násobení reálnych čísel.

Dokážte vlastnosť komutativity (a →, b →) = (b →, a →). Z definície máme, že (a →, b →) = a y b y + a y b y a (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Podľa vlastnosti komutativity sú rovnosti a x b x = b x a x a a y b y = b y a y pravdivé, teda a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Z toho vyplýva, že (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Distributivita platí pre všetky čísla:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

a (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

preto máme

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Bodový produkt s príkladmi a riešeniami

Akýkoľvek problém takéhoto plánu sa rieši pomocou vlastností a vzorcov týkajúcich sa bodového produktu:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y alebo (a →, b →) = a x b x + a y b y + az b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Pozrime sa na niekoľko príkladov riešení.

Príklad 2

Dĺžka a → je 3, dĺžka b → je 7. Nájdite bodový súčin, ak je uhol 60 stupňov.

Riešenie

Podľa podmienky máme všetky údaje, takže vypočítame podľa vzorca:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Odpoveď: (a →, b →) = 21 2.

Príklad 3

Dané vektory a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Čo je to bodkový produkt.

Riešenie

V tomto príklade sa berie do úvahy vzorec na výpočet podľa súradníc, pretože sú špecifikované v probléme:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Odpoveď: (a →, b →) = - 9

Príklad 4

Nájdite bodový súčin A B → a A C →. Na rovine súradníc sú uvedené body A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Riešenie

Na začiatok sa vypočítajú súradnice vektorov, pretože súradnice bodov sú dané podmienkou:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Dosadením do vzorca pomocou súradníc dostaneme:

(A B →, AC →) = 40 + 74 = 0 + 28 = 28.

Odpoveď: (A B →, A C →) = 28.

Príklad 5

Dané vektory a → = 7 m → + 3 n → a b → = 5 m → + 8 n → nájdite ich súčin. m → sa rovná 3 a n → sa rovná 2 jednotkám, sú kolmé.

Riešenie

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Aplikovaním distribučnej vlastnosti dostaneme:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Vyberieme koeficient pre znamienko súčinu a dostaneme:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Vlastnosťou komutativity transformujeme:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

V dôsledku toho dostaneme:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Teraz aplikujme vzorec pre bodový produkt s vopred určeným uhlom:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Odpoveď: (a →, b →) = 411

Ak existuje numerická projekcia.

Príklad 6

Nájdite bodový súčin a → a b →. Vektor a → má súradnice a → = (9, 3, - 3), projekcia b → so súradnicami (- 3, - 1, 1).

Riešenie

Podľa hypotézy vektory a → a projekcia b → smerujú opačne, pretože a → = - 1 3 · npa → b → →, teda projekcia b → zodpovedá dĺžke npa → b → →, a so znamienkom " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Dosadením do vzorca dostaneme výraz:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Odpoveď: (a →, b →) = - 33.

Problémy so známym bodovým súčinom, kde je potrebné nájsť dĺžku vektora alebo numerickej projekcie.

Príklad 7

Akú hodnotu má mať λ pre daný skalárny súčin a → = (1, 0, λ + 1) a b → = (λ, 1, λ) sa bude rovnať -1.

Riešenie

Vzorec ukazuje, že je potrebné nájsť súčet súčinov súradníc:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Vzhľadom na to, že máme (a →, b →) = - 1.

Aby sme našli λ, vypočítame rovnicu:

λ 2 + 2 λ = - 1, teda λ = - 1.

Odpoveď: λ = - 1.

Fyzikálny význam bodového produktu

Mechanika sa zaoberá aplikáciou bodového produktu.

Pri práci A konštantnou silou F → teleso sa pohybovalo z bodu M do N, môžete nájsť súčin dĺžok vektorov F → a MN → s kosínusom uhla medzi nimi, čo znamená, že práca je rovnaká na súčin vektorov sily a posunutia:

A = (F →, M N →).

Príklad 8

Pohyb hmotného bodu o 3 metre pôsobením sily rovnajúcej sa 5 ntonám smeruje k osi pod uhlom 45 stupňov. Nájsť.

Riešenie

Keďže práca je súčinom vektora sily a posunutia, znamená to, že na základe podmienky F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° dostaneme A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Odpoveď: A = 15 2 2.

Príklad 9

Hmotný bod pohybujúci sa z M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod silou F → = (3, 1, 2) vykonal prácu rovnajúcu sa 13 J. Vypočítajte dĺžka pohybu.

Riešenie

Pre dané súradnice vektora M N → máme M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

Pomocou vzorca na hľadanie práce s vektormi F → = (3, 1, 2) a MN → = (3, 3 λ - 1, 7) dostaneme A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Hypotézou je dané, že A = 13 J, čo znamená 22 + 3 λ = 13. Preto λ = - 3, teda MN → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Ak chcete nájsť dĺžku posunutia M N →, použite vzorec a nahraďte hodnoty:

MN -> = 32 + (-10)2 + 72 = 158.

odpoveď: 158.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Chýbať nebudú ani úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Ak sú v úlohe dĺžky vektorov a uhol medzi nimi prezentované „na striebornom podnose“, potom podmienka úlohy a jej riešenie vyzerajú takto:

Príklad 1 Dané vektory. Nájdite bodový súčin vektorov, ak ich dĺžky a uhol medzi nimi predstavujú nasledujúce hodnoty:

Platná je aj iná definícia, ktorá je úplne ekvivalentná s definíciou 1.

Definícia 2... Skalárny súčin vektorov je číslo (skalár), ktoré sa rovná súčinu dĺžky jedného z týchto vektorov priemetom druhého vektora na os určenú prvým z uvedených vektorov. Vzorec podľa definície 2:

Úlohu vyriešime pomocou tohto vzorca po ďalšom dôležitom teoretickom bode.

Určenie bodového súčinu vektorov z hľadiska súradníc

Rovnaké číslo možno získať, ak sú násobené vektory dané ich súradnicami.

Definícia 3. Bodový súčin vektorov je číslo, ktoré sa rovná súčtu párových súčinov ich príslušných súradníc.

Na povrchu

Ak sú dva vektory a na rovine definované svojimi dvoma Kartézske pravouhlé súradnice

potom sa skalárny súčin týchto vektorov rovná súčtu párových súčinov ich príslušných súradníc:

.

Príklad 2 Nájdite číselnú hodnotu priemetu vektora na os rovnobežnú s vektorom.

Riešenie. Bodový súčin vektorov nájdeme sčítaním párových súčinov ich súradníc:

Teraz musíme výsledný skalárny súčin prirovnať k súčinu dĺžky vektora a priemetu vektora na os rovnobežnú s vektorom (v súlade so vzorcom).

Dĺžku vektora nájdeme ako druhú odmocninu súčtu druhých mocnín jeho súradníc:

.

Zostavíme rovnicu a vyriešime ju:

Odpoveď. Požadovaná číselná hodnota je mínus 8.

Vo vesmíre

Ak sú dva vektory a v priestore definované ich tromi pravouhlými súradnicami

,

potom sa skalárny súčin týchto vektorov rovná súčtu párových súčinov ich zodpovedajúcich súradníc, ibaže už existujú tri súradnice:

.

Problém nájdenia bodového súčinu uvažovanou metódou je po analýze vlastností bodového súčinu. Pretože v úlohe bude potrebné určiť, aký uhol zvierajú vynásobené vektory.

Vlastnosti vektorového bodového produktu

Algebraické vlastnosti

1. (výtlaková vlastnosť: veľkosť ich bodového súčinu sa nemení zámenou vektorov, ktoré sa násobia).

2. (multiplikačná kombinovaná vlastnosť: bodový súčin vektora vynásobený nejakým faktorom a iný vektor sa rovná bodovému súčinu týchto vektorov vynásobenému rovnakým faktorom).

3. (distribučná vlastnosť vzhľadom na súčet vektorov: bodový súčin súčtu dvoch vektorov tretím vektorom sa rovná súčtu bodových súčinov prvého vektora tretím vektorom a druhého vektora tretím vektorom).

4. (skalárny štvorec vektora je väčší ako nula), if je nenulový vektor, a if, je nulový vektor.

Geometrické vlastnosti

V definíciách skúmanej operácie sme sa už dotkli pojmu uhol medzi dvoma vektormi. Je čas objasniť tento pojem.

Na obrázku vyššie sú viditeľné dva vektory, ktoré sú privedené do spoločného pôvodu. A prvá vec, na ktorú treba venovať pozornosť: medzi týmito vektormi sú dva uhly - φ 1 a φ 2 ... Ktorý z týchto uhlov sa objavuje v definíciách a vlastnostiach bodového súčinu vektorov? Súčet uvažovaných uhlov je 2 π a preto sú kosínusy týchto uhlov rovnaké. Definícia bodového súčinu zahŕňa iba kosínus uhla, nie hodnotu jeho vyjadrenia. Ale vo vlastnostiach sa berie do úvahy iba jeden roh. A toto je jeden z dvoch uhlov, ktorý neprekoná π , teda 180 stupňov. Na obrázku je tento uhol označený ako φ 1 .

1. Volajú sa dva vektory ortogonálne a uhol medzi týmito vektormi je priamka (90 stupňov resp π / 2) ak bodový súčin týchto vektorov je nula :

.

Ortogonalita vo vektorovej algebre je kolmosť dvoch vektorov.

2. Dva nenulové vektory tvoria ostrý roh (od 0 do 90 stupňov, alebo, čo je rovnaké - menej π bodový produkt je pozitívny .

3. Dva nenulové vektory tvoria Tupý uhol (od 90 do 180 stupňov, alebo, čo je to isté - viac π / 2) vtedy a len vtedy, ak ich bodový súčin je negatívny .

Príklad 3 Vektory sú uvedené v súradniciach:

.

Vypočítajte bodové súčiny všetkých párov daných vektorov. Aký uhol (ostrý, rovný, tupý) zvierajú tieto dvojice vektorov?

Riešenie. Vypočítame pridaním produktov zodpovedajúcich súradníc.

Prijaté záporné číslo, takže vektory zvierajú tupý uhol.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

Dostali sme nulu, takže vektory tvoria pravý uhol.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Príklad 4 Dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi sú dané:

.

Určte, pri akej hodnote čísla sú vektory a ortogonálne (kolmé).

Riešenie. Vektory násobíme podľa pravidla násobenia polynómov:

Teraz vypočítajme každý výraz:

.

Zostavme rovnicu (rovnosť súčinu k nule), dajme podobné pojmy a vyriešme rovnicu:

Odpoveď: pochopili sme význam λ = 1,8, pre ktoré sú vektory ortogonálne.

Príklad 5. Dokážte, že vektor ortogonálne (kolmé) k vektoru

Riešenie. Aby sme skontrolovali ortogonalitu, vynásobíme vektory a ako polynómy, pričom namiesto toho nahradíme výraz uvedený v probléme:

.

Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť každý člen (člen) prvého polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty:

.

V dôsledku toho sa zlomok zníži na náklady. Výsledok je nasledujúci:

Záver: ako výsledok násobenia sme dostali nulu, preto je dokázaná ortogonalita (kolmosť) vektorov.

Vyriešte problém sami a potom si pozrite riešenie

Príklad 6. Vzhľadom na dĺžky vektorov a a uhol medzi týmito vektormi je π /4 . Určte v akej hodnote μ vektory a sú navzájom kolmé.

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Maticová reprezentácia bodového súčinu vektorov a súčinu n-rozmerných vektorov

Niekedy je pre prehľadnosť výhodné znázorniť dva násobené vektory vo forme matíc. Potom je prvý vektor reprezentovaný ako riadková matica a druhý - ako stĺpcová matica:

Potom bude skalárny súčin vektorov produkt týchto matríc :

Výsledok je rovnaký ako výsledok získaný metódou, ktorú sme už uvažovali. Získa sa jedno jediné číslo a súčin riadkovej matice a stĺpcovej matice je tiež jedno číslo.

Je vhodné reprezentovať súčin abstraktných n-rozmerných vektorov v maticovej forme. Takže súčin dvoch štvorrozmerných vektorov bude súčin riadkovej matice so štyrmi prvkami a stĺpcovej matice tiež so štyrmi prvkami, súčin dvoch päťrozmerných vektorov bude súčin riadkovej matice s piatimi prvkami a stĺpcová matica tiež s piatimi prvkami atď.

Príklad 7. Nájdite bodové súčiny párov vektorov

,

pomocou maticovej reprezentácie.

Riešenie. Prvý pár vektorov. Prvý vektor reprezentujeme ako riadkovú maticu a druhý ako stĺpcovú maticu. Bodový súčin týchto vektorov nájdeme ako súčin riadkovej matice stĺpcovou maticou:

Podobne reprezentujeme druhý pár a nájdeme:

Ako vidíte, výsledky sú rovnaké ako výsledky rovnakých párov z príkladu 2.

Uhol medzi dvoma vektormi

Odvodenie vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi je veľmi krásne a výstižné.

Na vyjadrenie bodového súčinu vektorov

(1)

v súradnicovom tvare najskôr nájdeme skalárny súčin jednotkových vektorov. Bodový súčin vektora sám osebe podľa definície:

To, čo je napísané vo vzorci vyššie, znamená: bodový súčin vektora sa sám osebe rovná štvorcu jeho dĺžky... Kosínus nuly sa rovná jednej, takže druhá mocnina každého ortu sa bude rovnať jednej:

Od vektorov

sú párovo kolmé, potom sa párové súčiny jednotkových vektorov budú rovnať nule:

Teraz urobme násobenie vektorových polynómov:

Na pravej strane rovnosti dosadíme hodnoty zodpovedajúcich skalárnych produktov jednotkových vektorov:

Dostaneme vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi:

Príklad 8. Dané tri body A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Nájdite roh.

Riešenie. Nájdite súradnice vektorov:

,

.

Podľa vzorca pre kosínus uhla dostaneme:

Preto, .

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Príklad 9. Sú uvedené dva vektory

Nájdite súčet, rozdiel, dĺžku, bodový súčin a uhol medzi nimi.

2. Rozdiel

Vektorový a bodový súčin uľahčuje výpočet uhla medzi vektormi. Nech sú dané dva vektory $ \ overline (a) $ a $ \ overline (b) $, ktorých orientovaný uhol je $ \ varphi $. Vypočítajte hodnoty $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ a $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Potom $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, kde $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $ a $ \ varphi $ je požadovaný uhol, teda bod $ (x, y) $ má polárny uhol rovný $ \ varphi $, a preto $ \ varphi $ možno nájsť ako atan2 (y, x).

Oblasť trojuholníka

Pretože krížový súčin obsahuje súčin dvoch vektorových dĺžok kosínusom uhla medzi nimi, krížový súčin možno použiť na výpočet plochy trojuholníka ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Bod patriaci priamke

Nech je daný bod $ P $ a priamka $ AB $ (daná dvoma bodmi $ A $ a $ B $). Je potrebné skontrolovať, či bod patrí do priamky $ AB $.

Bod patrí k priamke $ AB $ vtedy a len vtedy, ak sú vektory $ AP $ a $ AB $ kolineárne, teda ak $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Príslušnosť bodu k lúču

Nech je daný bod $ P $ a lúč $ AB $ (daný dvoma bodmi - začiatok lúča $ A $ a bod na lúči $ B $). Je potrebné skontrolovať, či bod patrí lúču $ AB $.

K podmienke, že bod $ P $ patrí priamke $ AB $, je potrebné pridať dodatočnú podmienku - vektory $ AP $ a $ AB $ sú ko-smerné, to znamená, že sú kolineárne a ich skalárny súčin je nezáporné, to znamená $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Bod patrí do úsečky

Nech je daný bod $ P $ a segment $ AB $. Je potrebné skontrolovať, či bod patrí do segmentu $ AB $.

V tomto prípade musí bod patriť do lúča $ AB $ aj do lúča $ BA $, preto je potrebné skontrolovať nasledujúce podmienky:

$ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Vzdialenosť od bodu k čiare

Nech je daný bod $ P $ a priamka $ AB $ (daná dvoma bodmi $ A $ a $ B $). Je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu priamky $ AB $.

Uvažujme trojuholník ABP. Na jednej strane je jeho plocha $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

Na druhej strane, jeho plocha je $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, kde $ h $ je výška znížená od bodu $ P $, teda vzdialenosť od $ P $ až $ AB $. Odkiaľ $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Vzdialenosť od bodu k lúču

Nech je daný bod $ P $ a lúč $ AB $ (daný dvoma bodmi - začiatok lúča $ A $ a bod na lúči $ B $). Je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu k lúču, to znamená dĺžku najkratšieho segmentu od bodu $ P $ k akémukoľvek bodu na lúči.

Táto vzdialenosť sa rovná buď dĺžke $ AP $, alebo vzdialenosti od bodu $ P $ k priamke $ AB $. Ktorý z prípadov nastane, je ľahké určiť podľa vzájomnej polohy lúča a bodu. Ak je uhol PAB ostrý, to znamená $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, potom bude odpoveďou vzdialenosť od bodu $ P $ k priamke $ AB $, inak odpoveďou bude dĺžka segmentu $ AB $.

Vzdialenosť od bodu k čiare

Nech je daný bod $ P $ a segment $ AB $. Je potrebné nájsť vzdialenosť od $ P $ k segmentu $ AB $.

Ak základňa kolmice klesla z $ P $ na priamku $ AB $ pripadá na segment $ AB $, čo je možné overiť podmienkami

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

potom je odpoveďou vzdialenosť od bodu $ P $ k priamke $ AB $. V opačnom prípade bude vzdialenosť rovná $ \ min (AP, BP) $.

Bodový súčin vektorov

Naďalej sa zaoberáme vektormi. V prvej lekcii Vektory pre figuríny skúmali sme pojem vektor, akcie s vektormi, súradnice vektora a najjednoduchšie úlohy s vektormi. Ak ste sa na túto stránku dostali prvýkrát z vyhľadávača, dôrazne odporúčam prečítať si vyššie uvedený úvodný článok, pretože na zvládnutie látky sa musíte orientovať v termínoch a zápisoch, ktoré používam, mať základné znalosti o vektoroch a byť schopný riešiť elementárne problémy. Táto lekcia je logickým pokračovaním témy a podrobne v nej rozoberiem typické úlohy, v ktorých sa používa bodový súčin vektorov. Toto je VEĽMI DÔLEŽITÁ aktivita.... Snažte sa nepreskakovať príklady, sú sprevádzané užitočným bonusom - prax vám pomôže upevniť si prebratú látku a dostať sa do rúk pri riešení bežných problémov v analytickej geometrii.

Sčítanie vektorov, násobenie vektora číslom…. Bolo by naivné si myslieť, že matematici na nič iné neprišli. Okrem už uvažovaných akcií existuje množstvo ďalších operácií s vektormi, a to: bodový súčin vektorov, vektorový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov... Skalárny súčin vektorov je nám známy zo školy, ďalšie dva súčine už tradične súvisia s kurzom vyššej matematiky. Témy sú jednoduché, algoritmus riešenia mnohých problémov stereotypný a zrozumiteľný. Jediná vec. Informácií je slušné množstvo, preto je nežiaduce snažiť sa VŠETKO RAZ zvládnuť, riešiť. To platí najmä pre čajníky, verte, že autor sa vôbec nechce cítiť ako Chikatilo z matematiky. No a z matematiky samozrejme tiež nie =) Pripravenejší študenti môžu materiály využiť selektívne, v istom zmysle „dostať“ chýbajúce vedomosti, pre vás budem neškodný gróf Drakula =)

Nakoniec pootvorme dvere a s nadšením sa pozrime, čo sa stane, keď sa stretnú dva vektory....

Stanovenie bodového súčinu vektorov.
Bodové vlastnosti produktu. Typické úlohy

Bodový koncept produktu

Najprv o uhol medzi vektormi... Myslím, že každý intuitívne chápe, aký je uhol medzi vektormi, ale pre každý prípad trochu podrobnejšie. Zvážte voľné nenulové vektory a. Ak tieto vektory odložíte z ľubovoľného bodu, získate obrázok, ktorý si už mnohí v mysli predstavili:

Priznám sa, že tu som načrtol situáciu len v rovine porozumenia. Ak potrebujete presné definovanie uhla medzi vektormi, pozrite si učebnicu, ale pre praktické problémy to v zásade nepotrebujeme. Aj TU A ĎALEJ budem miestami ignorovať nulové vektory z dôvodu ich nízkeho praktického významu. Urobil som rezerváciu špeciálne pre pokročilých návštevníkov stránky, ktorí mi môžu vyčítať teoretickú neúplnosť niektorých z nasledujúcich tvrdení.

V literatúre sa ikona uhla často prehliada a píše sa jednoducho.

Definícia: Skalárny súčin dvoch vektorov je ČÍSLO rovné súčinu dĺžok týchto vektorov kosínusom uhla medzi nimi:

Toto je už dosť prísna definícia.

Zameriavame sa na základné informácie:

Označenie: bodový súčin je označený alebo jednoducho.

Výsledkom operácie je ČÍSLO: Vektor sa vynásobí vektorom a výsledkom je číslo. V skutočnosti, ak sú dĺžky vektorov čísla, kosínus uhla je číslo, potom ich súčin bude tiež číslo.

Len pár príkladov zahrievania:

Príklad 1

Riešenie: Používame vzorec ... V tomto prípade:

odpoveď:

Kosínusové hodnoty možno nájsť v trigonometrická tabuľka... Odporúčam si to vytlačiť - bude sa vyžadovať takmer vo všetkých častiach veže a bude sa vyžadovať veľakrát.

Z čisto matematického hľadiska je bodový súčin bezrozmerný, to znamená, že výsledkom je v tomto prípade iba číslo a je to. Z hľadiska fyzikálnych problémov má skalárny súčin vždy určitý fyzikálny význam, to znamená, že po výsledku musí byť označená jedna alebo druhá fyzikálna jednotka. Kanonický príklad výpočtu práce sily možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici (vzorec je presne bodový súčin). Práca sily sa teda meria v jouloch a odpoveď bude napísaná celkom konkrétne, napr.

Príklad 2

Nájdite ak a uhol medzi vektormi je.

Toto je príklad pre svoje vlastné riešenie, odpoveď je na konci tutoriálu.

Uhol medzi vektormi a hodnotou bodového súčinu

V príklade 1 sa bodový produkt ukázal ako pozitívny a v príklade 2 sa ukázal ako negatívny. Poďme zistiť, od čoho závisí znamenie bodového produktu. Pozrime sa na náš vzorec: ... Dĺžky nenulových vektorov sú vždy kladné:, takže znamienko môže závisieť iba od hodnoty kosínusu.

Poznámka: Pre lepšie pochopenie nižšie uvedených informácií je lepšie preštudovať si kosínusový graf v príručke Funkčné grafy a vlastnosti... Pozrite sa, ako sa kosínus správa v segmente.

Ako už bolo uvedené, uhol medzi vektormi sa môže meniť a sú možné tieto prípady:

1) Ak injekciou medzi vektormi pikantné: (od 0 do 90 stupňov), potom a bodový súčin bude pozitívny spolurežírovaný, potom sa uhol medzi nimi považuje za nulový a bodový súčin bude tiež kladný. Pretože vzorec je zjednodušený:.

2) Ak injekciou medzi vektormi tupý: (od 90 do 180 stupňov), potom a zodpovedajúcim spôsobom bodový súčin je negatívny:. Špeciálny prípad: ak vektory opačný smer, potom sa berie do úvahy uhol medzi nimi nasadené: (180 stupňov). Bodový súčin je tiež negatívny, keďže

Aj opačné tvrdenia sú pravdivé:

1) Ak, potom je uhol medzi týmito vektormi ostrý. Alternatívne sú vektory kosmerné.

2) Ak, tak uhol medzi danými vektormi je tupý. Alternatívne sú vektory orientované opačne.

Tretí prípad je však obzvlášť zaujímavý:

3) Ak injekciou medzi vektormi rovno: (90 stupňov), teda bodový súčin je nula:. Platí to aj naopak: ak, tak. Vyhlásenie je kompaktne formulované takto: Skalárny súčin dvoch vektorov je nula práve vtedy, ak sú tieto vektory ortogonálne... Krátky matematický zápis:

! Poznámka : opakovať základy matematickej logiky: ikona obojstranného logického dôsledku sa zvyčajne číta „vtedy a len vtedy“, „ak a len vtedy“. Ako vidíte, šípky sú nasmerované oboma smermi - "z tohto vyplýva toto a naopak - z toho, čo vyplýva z tohto." Mimochodom, aký je rozdiel od ikony jednosmerného sledovania? Ikona tvrdí len to, žeže „z tohto vyplýva“ a nie je pravdou, že opak je pravdou. Napríklad: ale nie každé zviera je panter, takže ikonu v tomto prípade nemožno použiť. Zároveň namiesto ikony môcť použite jednosmernú ikonu. Napríklad pri riešení problému sme zistili, že sme dospeli k záveru, že vektory sú ortogonálne: - takýto záznam bude správny a ešte vhodnejší ako .

Tretí prípad má veľký praktický význam. pretože vám umožňuje skontrolovať, či sú vektory ortogonálne alebo nie. Tento problém vyriešime v druhej časti lekcie.

Bodové vlastnosti produktu

Vráťme sa k situácii, keď dva vektory spolurežírovaný... V tomto prípade je uhol medzi nimi rovný nule a vzorec bodového súčinu má tvar:.

Čo sa stane, ak sa vektor vynásobí sám od seba? Je jasné, že vektor je kodirectný sám so sebou, takže použijeme vyššie uvedený zjednodušený vzorec:

Číslo sa volá skalárny štvorec vektor a označuje sa ako.

Touto cestou, skalárny štvorec vektora sa rovná štvorcu dĺžky daného vektora:

Z tejto rovnosti môžete získať vzorec na výpočet dĺžky vektora:

Aj keď sa to zdá nejasné, ale úlohy lekcie umiestnia všetko na svoje miesto. Na riešenie problémov potrebujeme aj my bodové vlastnosti produktu.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) - posuvné resp komutatívny skalárny produktový zákon.

2) - distribúcia resp distributívny skalárny produktový zákon. Jednoducho, môžete rozšíriť zátvorky.

3) - kombinácia resp asociatívne skalárny produktový zákon. Konštanta môže byť vyňatá z bodového súčinu.

Často sú všelijaké vlastnosti (ktoré treba aj dokazovať!) študentmi vnímané ako nepotrebný odpad, ktorý si treba len zapamätať a bezpečne zabudnúť hneď po skúške. Zdalo by sa, že čo je tu dôležité, každý vie od prvej triedy, že produkt sa nemení z preskupenia faktorov:. Musím vás varovať, vo vyššej matematike s týmto prístupom je ľahké lámať drevo. Takže napríklad vlastnosť posunutia nie je platná algebraické matice... Tiež to nie je pravda pre vektorový súčin vektorov... Preto je prinajmenšom lepšie zahĺbiť sa do akýchkoľvek vlastností, s ktorými sa stretnete na kurze vyššej matematiky, aby ste pochopili, čo sa dá a čo nie.

Príklad 3

.

Riešenie: Najprv si objasnime situáciu s vektorom. Čo je to vôbec? Súčet vektorov a je dobre definovaný vektor, ktorý sa označuje ako. Geometrický výklad akcií s vektormi nájdete v článku Vektory pre figuríny... Rovnaký petržlen s vektorom je súčtom vektorov a.

Takže podľa podmienok je potrebné nájsť bodový produkt. Teoreticky musíte použiť pracovný vzorec , ale problém je, že nepoznáme dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Ale podmienka dáva podobné parametre pre vektory, takže pôjdeme iným spôsobom:

(1) Náhradné vektorové výrazy.

(2) Zátvorky rozširujeme podľa pravidla o násobení mnohočlenov, vulgárny jazykolam nájdete v článku Komplexné čísla alebo Integrácia zlomkovej racionálnej funkcie... Nebudem sa opakovať =) Mimochodom, distribučná vlastnosť skalárneho súčinu nám umožňuje rozšíriť zátvorky. máme právo.

(3) V prvom a poslednom člene kompaktne píšeme skalárne štvorce vektorov: ... V druhom člene používame permutabilitu skalárneho súčinu:.

(4) Dávame podobné výrazy:.

(5) V prvom člene používame vzorec skalárneho štvorca, ktorý bol spomenutý nie tak dávno. V poslednom termíne, respektíve, to isté funguje:. Druhý člen rozširujeme podľa štandardného vzorca .

(6) Tieto podmienky nahrádzame a OPATRNE urobte konečné výpočty.

odpoveď:

Záporná hodnota bodového súčinu vyjadruje skutočnosť, že uhol medzi vektormi je tupý.

Úloha je typická, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 4

Nájdite bodový súčin vektorov a ak je známy .

Teraz ďalšia bežná úloha, len pre nový vzorec pre dĺžku vektora. Označenia sa tu budú trochu prekrývať, takže pre prehľadnosť to prepíšem na iné písmeno:

Príklad 5

Nájdite dĺžku vektora if .

Riešenie bude nasledovný:

(1) Dodajte vektorový výraz.

(2) Používame vzorec dĺžky:, pričom celý výraz funguje ako vektor „ve“.

(3) Na druhú mocninu súčtu použijeme školský vzorec. Všimnite si, ako to tu kuriózne funguje: - v skutočnosti je to druhá mocnina rozdielu a v skutočnosti je. Záujemcovia si môžu vektory preusporiadať na miestach: - dopadlo to rovnako až po preskupenie termínov.

(4) Zvyšok je už známy z dvoch predchádzajúcich problémov.

odpoveď:

Keďže hovoríme o dĺžke, nezabudnite uviesť rozmer – „jednotky“.

Príklad 6

Nájdite dĺžku vektora if .

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Pokračujeme vo vytláčaní užitočných vecí z bodkového produktu. Pozrime sa znova na náš vzorec ... Podľa pravidla proporcie prestavme dĺžky vektorov na menovateľ ľavej strany:

A vymeníme diely:

Aký je význam tohto vzorca? Ak poznáte dĺžky dvoch vektorov a ich bodový súčin, môžete vypočítať kosínus uhla medzi týmito vektormi, a teda aj samotný uhol.

Je bodový súčin číslo? číslo. Sú dĺžky vektorov číslami? čísla. Zlomok je teda tiež určité číslo. A ak je známy kosínus uhla: , potom pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol: .

Príklad 7

Nájdite uhol medzi vektormi a, ak je to známe.

Riešenie: Používame vzorec:

V záverečnej fáze výpočtov bola použitá technika - odstránenie iracionality v menovateli. Aby som odstránil iracionalitu, vynásobil som čitateľa a menovateľa o.

Ak teda , potom:

Hodnoty inverzných goniometrických funkcií možno nájsť pomocou trigonometrická tabuľka... Aj keď sa to stáva zriedka. V úlohách analytickej geometrie sa oveľa častejšie objavuje nejaký nemotorný medveď a hodnotu uhla je potrebné zistiť približne pomocou kalkulačky. V skutočnosti takýto obrázok uvidíme viackrát.

odpoveď:

Opäť nezabudnite uviesť rozmer – radiány a stupne. Osobne, aby som vedome „vyčistil všetky otázky“, uprednostňujem uvedenie toho aj toho (pokiaľ, samozrejme, nie je podľa podmienky povinné uvádzať odpoveď iba v radiánoch alebo len v stupňoch).

Teraz sa budete môcť sami vyrovnať s ťažšou úlohou:

Príklad 7 *

Dané sú dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Nájdite uhol medzi vektormi.

Úloha nie je ani taká náročná ako viackroková.
Poďme analyzovať algoritmus riešenia:

1) Podľa podmienky je potrebné nájsť uhol medzi vektormi, a preto musíte použiť vzorec .

2) Nájdite bodový súčin (pozri príklady č. 3, 4).

3) Nájdite dĺžku vektora a dĺžku vektora (pozri Príklady č. 5, 6).

4) Koniec riešenia sa zhoduje s príkladom č.7 - poznáme číslo, čo znamená, že je ľahké nájsť samotný uhol:

Krátke riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Druhá časť lekcie sa zameriava na rovnaký bodový produkt. Súradnice. Bude to ešte jednoduchšie ako v prvej časti.

Bodový súčin vektorov,
daný súradnicami na ortonormálnom základe

odpoveď:

Netreba dodávať, že narábanie so súradnicami je oveľa príjemnejšie.

Príklad 14

Nájdite bodový súčin vektorov a ak

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Tu môžete využiť asociatívnosť operácie, teda nepočítať, ale hneď presunúť trojku zo skalárneho súčinu a vynásobiť ňou ako poslednú. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Na konci odseku provokatívny príklad výpočtu dĺžky vektora:

Príklad 15

Nájdite dĺžky vektorov , ak

Riešenie: opäť sa naznačuje spôsob predchádzajúcej časti:, ale existuje aj iný spôsob:

Nájdite vektor:

A jeho dĺžka podľa triviálneho vzorca :

Bodkový produkt tu vôbec neprichádza do úvahy!

Ako mimo podnikania je to pri výpočte dĺžky vektora:
Stop. Prečo nevyužiť očividnú vlastnosť dĺžky vektora? A čo dĺžka vektora? Tento vektor je 5-krát dlhší ako vektor. Smer je opačný, ale to nevadí, lebo reč je o dĺžke. Je zrejmé, že dĺžka vektora sa rovná súčinu modul počet na dĺžku vektora:
- znamienko modulu "žerie" prípadné mínus čísla.

Touto cestou:

odpoveď:

Vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi, ktoré sú dané súradnicami

Teraz máme úplné informácie na vyjadrenie predtým odvodeného vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi z hľadiska súradníc vektorov:

Kosínus uhla medzi vektormi roviny a podávané na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:
.

Kosínus uhla medzi priestorovými vektormi podávané na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Príklad 16

Sú dané tri vrcholy trojuholníka. Nájdite (vrcholový uhol).

Riešenie: Podľa podmienky sa kresba nemusí vykonať, ale stále:

Požadovaný uhol je označený zeleným oblúkom. Hneď sa nám vybaví školské označenie uhla: - osobitná pozornosť priemer písmeno - to je vrchol rohu, ktorý potrebujeme. Pre stručnosť by sa to dalo napísať aj jednoducho.

Z výkresu je celkom zrejmé, že uhol trojuholníka sa zhoduje s uhlom medzi vektormi a inými slovami: .

Je žiaduce naučiť sa vykonávať analýzu vykonanú mentálne.

Nájsť vektory:

Vypočítajme bodový súčin:

A dĺžky vektorov:

Kosínus uhla:

Toto je poradie plnenia úlohy, ktoré odporúčam čajníkom. Pokročilejší čitatelia môžu písať výpočty „v jednom riadku“:

Tu je príklad „zlej“ hodnoty kosínusu. Výsledná hodnota nie je konečná, preto nemá zmysel zbavovať sa iracionality v menovateli.

Poďme nájsť samotný roh:

Ak sa pozriete na kresbu, výsledok je celkom vierohodný. Pre kontrolu je možné uhol merať aj uhlomerom. Nepoškoďte kryt monitora =)

odpoveď:

V odpovedi na to nezabudnite spýtal sa na uhol trojuholníka(a nie o uhle medzi vektormi), nezabudnite uviesť presnú odpoveď: a približnú hodnotu uhla: nájsť pomocou kalkulačky.

Tí, ktorí si tento proces užili, môžu vypočítať uhly a uistiť sa, že kanonická rovnosť je pravdivá

Príklad 17

Trojuholník je definovaný v priestore súradnicami jeho vrcholov. Nájdite uhol medzi stranami a

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu

Krátka záverečná časť bude venovaná projekciám, v ktorých sa „namieša“ aj skalárny súčin:

Projekcia vektor-vektor. Priemet vektora na súradnicové osi.
Smerové kosínusy vektora

Zvážte vektory a:

Vektor premietneme na vektor, preto vynecháme začiatok a koniec vektora kolmice na vektor (zelené bodkované čiary). Predstavte si lúče svetla dopadajúce kolmo na vektor. Potom bude segment (červená čiara) "tieňom" vektora. V tomto prípade je projekcia vektora na vektor DĹŽKA segmentu. To znamená, že PROJEKCIA JE ČÍSLO.

Toto ČÍSLO je označené nasledovne: "veľký vektor" označuje vektor KTORÝ projekt, "malý dolný index" označuje vektor NA ktorý sa premieta.

Samotný záznam znie takto: "projekcia vektora" a "na vektor" bh "".

Čo sa stane, ak je vektor „bs“ „príliš krátky“? Nakreslíme priamku obsahujúcu vektor „byť“. A vektor "a" sa už premietne v smere vektora "bh", jednoducho - na priamke obsahujúcej vektor "byť". To isté sa stane, ak sa vektor "a" odloží v tridsiatom kráľovstve - stále sa bude ľahko premietať na priamku obsahujúcu vektor "bh".

Ak uhol medzi vektormi pikantné(ako na obrázku), teda

Ak vektory ortogonálne, potom (projekcia je bod, ktorého rozmery sa považujú za nulové).

Ak uhol medzi vektormi tupý(na obrázku mentálne preusporiadajte šípku vektora), potom (rovnaká dĺžka, ale so znamienkom mínus).

Odložme tieto vektory z jedného bodu:

Je zrejmé, že keď sa vektor pohybuje, jeho projekcia sa nemení.