Výpočet relatívnej chyby merania. Výpočet chýb merania

1. Úvod

Práca chemikov, fyzikov a predstaviteľov iných prírodovedných profesií často zahŕňa vykonávanie kvantitatívnych meraní rôznych veličín. V tomto prípade vyvstáva otázka analýzy spoľahlivosti získaných hodnôt, spracovania výsledkov priamych meraní a hodnotenia chýb výpočtov, ktoré využívajú hodnoty priamo meraných charakteristík (tento proces sa nazýva aj spracovanie výsledkov). nepriamy merania). Z viacerých objektívnych dôvodov nie sú znalosti absolventov Chemickej fakulty Moskovskej štátnej univerzity o výpočte chýb vždy dostatočné na správne spracovanie prijatých údajov. Jedným z týchto dôvodov je absencia predmetu štatistického spracovania výsledkov meraní v osnovách fakulty.

V tomto bode je problematika výpočtu chýb, samozrejme, dôkladne preštudovaná. Existuje veľké množstvo metodických vývojov, učebníc atď., v ktorých nájdete informácie o chybách vo výpočte. Žiaľ, väčšina týchto prác je preplnená ďalšími a nie vždy potrebnými informáciami. Najmä väčšina prác študentských workshopov si nevyžaduje také činnosti, ako je porovnávanie vzoriek, hodnotenie konvergencie atď. Preto sa javí ako vhodné vytvoriť krátky vývoj, ktorý načrtne algoritmy pre najčastejšie používané výpočty, čo je tento vývoj sa venuje.

2. Notácia prijatá v tejto práci

Nameraná hodnota, - priemerná hodnota nameranej hodnoty, - absolútna chyba priemernej hodnoty nameranej hodnoty, - relatívna chyba priemernej hodnoty nameranej hodnoty.

3. Výpočet chýb priamych meraní

Predpokladajme teda, že boli vykonané n merania rovnakej veličiny za rovnakých podmienok. V tomto prípade môžete vypočítať priemernú hodnotu tejto hodnoty z vykonaných meraní:

(1)

Ako vypočítať chybu? Podľa nasledujúceho vzorca:

(2)

Tento vzorec používa študentský koeficient. Jeho hodnoty pri rôznych pravdepodobnostiach a hodnotách spoľahlivosti sú uvedené v.

3.1. Príklad výpočtu chýb priamych meraní:

Úloha.

Merala sa dĺžka kovovej tyče. Urobilo sa 10 meraní a získali sa nasledujúce hodnoty: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Je potrebné nájsť priemernú hodnotu meranej veličiny (dĺžku tyče) a jej chybu.

Riešenie.

Pomocou vzorca (1) zistíme:

mm

Teraz pomocou vzorca (2) nájdeme absolútnu chybu priemernej hodnoty s pravdepodobnosťou spoľahlivosti a počtom stupňov voľnosti (použijeme hodnotu = 2,262, prevzatú z):

Zapíšme si výsledok:

10,8 ± 0,7 0,95 mm

4. Výpočet chýb nepriamych meraní

Predpokladajme, že počas experimentu sa merajú veličiny , a potom c Pomocou získaných hodnôt sa hodnota vypočíta pomocou vzorca . V tomto prípade sa chyby priamo meraných veličín vypočítajú tak, ako je opísané v odseku 3.

Výpočet priemernej hodnoty množstva sa vykonáva podľa závislosti pomocou priemerných hodnôt argumentov.

Hodnota chyby sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

,(3)

kde je počet argumentov, je čiastočná derivácia funkcie vzhľadom na argumenty, je absolútna chyba priemernej hodnoty argumentu.

Absolútna chyba, ako v prípade priamych meraní, sa vypočíta pomocou vzorca.

4.1. Príklad výpočtu chýb priamych meraní:

Úloha.

Uskutočnilo sa 5 priamych meraní a. Pre hodnotu boli získané nasledujúce hodnoty: 50, 51, 52, 50, 47; pre veličinu boli získané tieto hodnoty: 500, 510, 476, 354, 520. Je potrebné vypočítať hodnotu veličiny určenú vzorcom a nájsť chybu získanej hodnoty.

Fyzika je experimentálna veda, čo znamená, že fyzikálne zákony sa stanovujú a overujú zhromažďovaním a porovnávaním experimentálnych údajov. Účelom fyzikálneho workshopu je, aby si študenti prostredníctvom skúseností naštudovali základné fyzikálne javy, naučili sa správne merať číselné hodnoty fyzikálnych veličín a porovnávať ich s teoretickými vzorcami.

Všetky merania možno rozdeliť do dvoch typov - rovno A nepriamy.

O priamy Pri meraniach sa hodnota požadovanej veličiny získava priamo z údajov meracieho zariadenia. Takže napríklad dĺžka sa meria pravítkom, čas sa meria hodinami atď.

Ak požadovanú fyzikálnu veličinu nemožno merať priamo prístrojom, ale vyjadruje sa prostredníctvom meraných veličín pomocou vzorca, potom sa takéto merania nazývajú nepriamy.

Meranie akejkoľvek veličiny neposkytuje absolútne presnú hodnotu tejto veličiny. Každé meranie vždy obsahuje nejakú chybu (chybu). Chyba je rozdiel medzi nameranou a skutočnou hodnotou.

Chyby sa zvyčajne delia na systematický A náhodný.

Systematický sa nazýva chyba, ktorá zostáva konštantná počas celej série meraní. Takéto chyby sú spôsobené nedokonalosťou meracieho prístroja (napríklad nulový posun prístroja) alebo metódou merania a v zásade sa dajú vylúčiť z konečného výsledku zavedením vhodnej korekcie.

K systematickým chybám patrí aj chyba meracích prístrojov. Presnosť akéhokoľvek zariadenia je obmedzená a vyznačuje sa triedou presnosti, ktorá je zvyčajne uvedená na meracej stupnici.

Náhodný nazývaná chyba, ktorá sa líši v rôznych experimentoch a môže byť pozitívna aj negatívna. Náhodné chyby sú spôsobené príčinami, ktoré závisia jednak od meracieho zariadenia (trenie, medzery a pod.), ako aj od vonkajších podmienok (vibrácie, kolísanie napätia v sieti atď.).

Náhodné chyby nie je možné empiricky vylúčiť, ale ich vplyv na výsledok možno znížiť opakovaným meraním.

Výpočet chyby v priamych meraniach - priemerná hodnota a priemerná absolútna chyba.

Predpokladajme, že vykonáme sériu meraní hodnoty X. V dôsledku prítomnosti náhodných chýb získame n rôzne významy:

X 1, X 2, X 3… X n

Priemerná hodnota sa zvyčajne považuje za výsledok merania

Rozdiel medzi priemerom a výsledkom ja – tého merania budeme nazývať absolútna chyba tohto merania

Ako mieru chyby priemernej hodnoty môžeme vziať priemernú hodnotu absolútnej chyby jednotlivého merania

(2)

Rozsah
aritmetický priemer (alebo stredná absolútna) chyba.

Potom by sa mal výsledok merania zapísať do formulára

(3)

Na charakterizáciu presnosti meraní sa používa relatívna chyba, ktorá sa zvyčajne vyjadruje v percentách

(4)

Systematické chyby v meraniach nech sú zanedbateľné. Zoberme si prípad, keď sa meranie vykonáva veľakrát (n→∞).

Ako ukazujú skúsenosti, odchýlka výsledkov meraní od ich priemernej hodnoty nahor alebo nadol je rovnaká. Výsledky meraní s malými odchýlkami od priemernej hodnoty sa pozorujú oveľa častejšie ako s veľkými odchýlkami.

Usporiadajme všetky číselné hodnoty výsledkov meraní do série vo vzostupnom poradí a rozdeľme túto sériu na rovnaké intervaly
. Nechaj – počet meraní s výsledkami spadajúcimi do intervalu [
]. Rozsah
existuje pravdepodobnosť ΔP i (x) získania výsledku s hodnotou v intervale [
].

Predstavme si to graficky
, zodpovedajúce každému intervalu [
] (obr. 1). Stupňovitá krivka znázornená na obr. 1 sa nazýva histogram. Predpokladajme, že meracie zariadenie má extrémne vysokú citlivosť. Potom môže byť šírka intervalu nekonečne malá dx. Stupňovitú krivku v tomto prípade nahrádza krivka reprezentovaná funkciou φ(x) (obr. 2). Funkcia φ(x) sa zvyčajne nazýva funkcia hustoty rozdelenia. Jeho význam je, že súčin φ(x)dx je pravdepodobnosť dP(x) získania výsledkov s hodnotou v rozsahu od x do x+dx. Graficky je hodnota pravdepodobnosti znázornená ako plocha tieňovaného obdĺžnika. Analyticky je funkcia hustoty distribúcie napísaná takto:

. (5)

Funkcia φ(x) uvedená v tvare (5) sa nazýva Gaussova funkcia a zodpovedajúce rozdelenie výsledkov meraní je Gaussovské alebo normálne.

možnosti
a σ majú nasledujúci význam (obr. 2).

– priemerná hodnota výsledkov merania. O
=
Gaussova funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu. Ak je počet rozmerov nekonečne veľký, potom
rovná skutočnej hodnote meranej veličiny.

σ – charakterizuje mieru rozptylu výsledkov meraní od ich priemernej hodnoty. Parameter σ sa vypočíta podľa vzorca:

. (6)

Tento parameter predstavuje strednú kvadratickú chybu. Veličina σ 2 sa v teórii pravdepodobnosti nazýva disperzia funkcie φ(x).

Čím vyššia je presnosť merania, tým bližšie sú výsledky merania k skutočnej hodnote meranej veličiny, a teda tým menšie σ.

Tvar funkcie φ(x) zjavne nezávisí od počtu rozmerov.

Teória pravdepodobnosti ukazuje, že 68 % všetkých meraní poskytne výsledok, ktorý je v intervale, 95 % v intervale a 99,7 % v intervale.

S pravdepodobnosťou (spoľahlivosťou) 68% teda odchýlka výsledku merania od priemernej hodnoty leží v intervale [
], s pravdepodobnosťou (spoľahlivosťou) 95 % – v intervale [
] a s pravdepodobnosťou (spoľahlivosťou) 99,7 % – v intervale [
].

Interval zodpovedajúci konkrétnej pravdepodobnosti odchýlky od priemernej hodnoty sa nazýva spoľahlivosť.

V skutočných experimentoch počet rozmerov zjavne nemôže byť nekonečne veľký, takže je to nepravdepodobné
sa zhodoval so skutočnou hodnotou nameranej hodnoty
. V tejto súvislosti je dôležité na základe teórie pravdepodobnosti odhadnúť veľkosť možnej odchýlky
od
.

Výpočty ukazujú, že keď je počet meraní väčší ako 20, s pravdepodobnosťou 68 %
spadá do intervalu spoľahlivosti [
], s pravdepodobnosťou 95 % – v intervale[
], s pravdepodobnosťou 99,7 % – v intervale [
].

Rozsah , ktorý definuje hranice intervalu spoľahlivosti, sa nazýva štandardná odchýlka alebo jednoducho štandard.

Štandardné vypočítané podľa vzorca:

. (7)

Ak vezmeme do úvahy vzorec (6), výraz (7) má nasledujúcu formu:

. (8)

Čím väčší je počet rozmerov n, tým bližšie je X
. Ak počet meraní nie je veľký, menší ako 15, potom sa namiesto Gaussovho rozdelenia použije Studentovo rozdelenie, čo vedie k zvýšeniu šírky intervalu spoľahlivosti možnej odchýlky X od
int n, p krát.

Faktor t n, p sa nazýva Studentov koeficient. Indexy P a n udávajú, s akou spoľahlivosťou a akým počtom meraní zodpovedá Studentov koeficient. Hodnota Studentovho koeficientu pre daný počet meraní a danú spoľahlivosť sa určí podľa tabuľky 1.

stôl 1

Študentov koeficient.

Napríklad pri danej spoľahlivosti 95 % a počte meraní n = 20 je Studentov koeficient t 20,95 = 2,1 (interval spoľahlivosti
) s počtom meraní n=4, t 4,95 = 3,2 (interval spoľahlivosti
). To znamená, že pri zvýšení počtu meraní zo 4 na 20 je možná odchýlka
fromX sa zníži 1,524-krát.

Nižšie je uvedený príklad výpočtu absolútnej náhodnej chyby

Pomocou vzorca (2) zistíme priemernú hodnotu nameranej hodnoty
(bez uvedenia rozmeru fyzikálnej veličiny)

.

Pomocou vzorca (8) vypočítame smerodajnú odchýlku

.

Študentov koeficient určený pre n=6 a P=95 %, t 6,95 = 2,6 konečný výsledok:

X = 20,1 ± 2,6 0,121 = 20,1 ± 0,315 (s P = 95 %).

Vypočítame relatívnu chybu:

.

Pri zaznamenávaní konečného výsledku merania treba mať na pamäti, že chyba musí obsahovať iba jednu platnú číslicu (okrem nuly). Dve platné číslice v chybe sa zaznamenajú iba vtedy, ak je predposledná číslica 1. Je zbytočné zaznamenávať väčší počet platných číslic, pretože nebudú spoľahlivé. V zázname priemernej hodnoty nameranej hodnoty musí posledná číslica patriť tej istej číslici ako posledná číslica v zázname chyby.

X = (243±5)-102;

X = 232,567 ± 0,003.

Vykonanie niekoľkých meraní môže priniesť rovnaký výsledok. To je možné, ak je citlivosť meracieho zariadenia nízka. Keď sa meranie vykonáva pomocou zariadenia s nízkou citlivosťou, stačí jedno meranie. Nemá zmysel napríklad opakovane merať dĺžku stola metrom s centimetrovými dielikmi. Výsledok merania bude v tomto prípade rovnaký. Chyba pri jedinom meraní je určená hodnotou najmenšieho dielika prístroja. Hovorí sa tomu chyba prístroja. Jeho význam
vypočíta sa pomocou nasledujúceho vzorca:

, (10)

kde γ je deliaca cena zariadenia;

t ∞, p – Studentov koeficient zodpovedajúci nekonečne veľkému počtu meraní.

Ak vezmeme do úvahy chybu prístroja, absolútna chyba s danou spoľahlivosťou je určená vzorcom:

, (11)

Kde
.

Berúc do úvahy vzorce (8) a (10), (11) je napísané takto:

. (12)

V literatúre sa na skrátenie záznamu veľkosť chyby niekedy neuvádza. Predpokladá sa, že veľkosť chyby je polovica jednej poslednej platnej číslice. Napríklad polomer Zeme je zapísaný v tvare
m To znamená, že chyba by sa mala brať ako hodnota rovnajúca sa ±
m.