Upeo wa utendaji. Upeo wa kipengele cha kukokotoa ni nini: pointi muhimu za Upeo wa juu zaidi na wa chini zaidi wa upeo wa juu na wa chini wa chaguo la kukokotoa

Sehemu ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa ni sehemu katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ambapo thamani ya chaguo za kukokotoa huchukua thamani ya chini au ya juu zaidi. Thamani za chaguo za kukokotoa katika sehemu hizi huitwa extrema (kiwango cha chini na cha juu) cha chaguo la kukokotoa.

Ufafanuzi. Nukta x1 kikoa cha kazi f(x) inaitwa kiwango cha juu cha chaguo za kukokotoa , ikiwa thamani ya kazi katika hatua hii ni kubwa kuliko maadili ya kazi katika pointi za kutosha karibu nayo, ziko kulia na kushoto kwake (hiyo ni, usawa unashikilia. f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 upeo.

Ufafanuzi. Nukta x2 kikoa cha kazi f(x) inaitwa kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa, ikiwa thamani ya kazi katika hatua hii ni chini ya maadili ya kazi katika pointi za kutosha karibu nayo, ziko kulia na kushoto kwake (hiyo ni, usawa unashikilia. f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ) Katika kesi hii tunasema kwamba kazi ina katika hatua x2 kiwango cha chini.

Hebu tuseme uhakika x1 - hatua ya juu ya kazi f(x). Kisha katika muda hadi x1 kazi huongezeka, kwa hivyo derivative ya chaguo la kukokotoa ni kubwa kuliko sifuri ( f "(x) > 0 ), na katika muda baada ya x1 kazi inapungua, kwa hivyo, derivative ya kipengele cha kukokotoa chini ya sifuri ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Wacha pia tuchukue kwamba hatua hiyo x2 - hatua ya chini ya kazi f(x). Kisha katika muda hadi x2 kazi inapungua, na derivative ya kazi ni chini ya sifuri ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 kazi inaongezeka, na derivative ya kazi ni kubwa kuliko sifuri ( f "(x) > 0). Katika kesi hii pia katika hatua x2 derivative ya kazi ni sifuri au haipo.

Nadharia ya Fermat (ishara ya lazima ya kuwepo kwa upeo wa kazi). Ikiwa uhakika x0 - hatua ya mwisho ya kazi f(x) basi katika hatua hii derivative ya kazi ni sawa na sifuri ( f "(x) = 0 ) au haipo.

Ufafanuzi. Pointi ambazo derivative ya chaguo za kukokotoa ni sifuri au haipo zinaitwa pointi muhimu .

Mfano 1. Hebu fikiria kazi.

Kwa uhakika x= 0 derivative ya kazi ni sifuri, kwa hiyo uhakika x= 0 ni hatua muhimu. Walakini, kama inavyoweza kuonekana kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa, inaongezeka katika kikoa kizima cha ufafanuzi, kwa hivyo uhakika x= 0 sio sehemu ya mwisho ya chaguo hili la kukokotoa.

Kwa hivyo, masharti kwamba derivative ya kazi katika hatua ni sawa na sifuri au haipo ni hali muhimu kwa uliokithiri, lakini haitoshi, kwa kuwa mifano mingine ya kazi inaweza kutolewa ambayo masharti haya yametimizwa, lakini kazi. haina uliokithiri katika hatua inayolingana. Ndiyo maana lazima kuwe na ushahidi wa kutosha, kuruhusu mtu kuhukumu ikiwa kuna msimamo mkali katika hatua fulani muhimu na ni aina gani ya kali - ya juu au ya chini.

Theorem (ishara ya kwanza ya kutosha ya kuwepo kwa upeo wa kazi). Jambo muhimu x0 f(x) ikiwa, wakati wa kupitia hatua hii, derivative ya kazi inabadilisha ishara, na ikiwa ishara inabadilika kutoka "plus" hadi "minus", basi ni hatua ya juu, na ikiwa kutoka "minus" hadi "plus", basi ni kiwango cha chini zaidi.

Ikiwa karibu na uhakika x0 , kushoto na kulia kwake, derivative huhifadhi ishara yake, hii ina maana kwamba kazi inapungua tu au inaongezeka tu katika kitongoji fulani cha uhakika. x0 . Katika kesi hii, katika hatua x0 hakuna uliokithiri.

Kwa hiyo, ili kuamua pointi za mwisho za kazi, unahitaji kufanya zifuatazo :

1. Pata derivative ya chaguo za kukokotoa.
2. Sawazisha derivative kwa sifuri na ubaini pointi muhimu.
3. Kwa akili au kwenye karatasi, alama pointi muhimu kwenye mstari wa nambari na uamua ishara za derivative ya kazi katika vipindi vinavyotokana. Ikiwa ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka "plus" hadi "minus", basi hatua muhimu ni hatua ya juu, na ikiwa kutoka "minus" hadi "plus", basi hatua ya chini.
4. Hesabu thamani ya chaguo za kukokotoa katika sehemu za juu zaidi.

Mfano 2. Pata mwisho wa chaguo la kukokotoa .

Suluhisho. Wacha tupate derivative ya kazi:

Wacha tulinganishe derivative na sifuri ili kupata alama muhimu:

.

Kwa kuwa kwa maadili yoyote ya "x" denominator sio sawa na sifuri, tunalinganisha nambari na sifuri:

Nimepata hoja moja muhimu x= 3 . Wacha tuamue ishara ya derivative katika vipindi vilivyowekwa na nukta hii:

katika masafa kutoka minus infinity hadi 3 - ishara minus, ambayo ni, kazi inapungua,

katika muda kutoka 3 hadi pamoja na infinity kuna ishara ya pamoja, yaani, kazi huongezeka.

Hiyo ni, kipindi x= 3 ni hatua ya chini.

Wacha tupate thamani ya chaguo la kukokotoa kwa kiwango cha chini:

Kwa hivyo, hatua ya mwisho ya kazi inapatikana: (3; 0), na ni hatua ya chini.

Theorem (ishara ya pili ya kutosha ya kuwepo kwa upeo wa kazi). Jambo muhimu x0 ndio sehemu ya juu zaidi ya chaguo la kukokotoa f(x) ikiwa derivative ya pili ya chaguo la kukokotoa katika hatua hii si sawa na sifuri ( f ""(x) ≠ 0 ), na ikiwa kiingilio cha pili ni kikubwa kuliko sifuri ( f ""(x) > 0 ), basi kiwango cha juu, na ikiwa derivative ya pili ni chini ya sifuri ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Kumbuka 1. Ikiwa kwa uhakika x0 Ikiwa derivatives zote za kwanza na za pili zinatoweka, basi katika hatua hii haiwezekani kuhukumu uwepo wa uliokithiri kulingana na kigezo cha pili cha kutosha. Katika kesi hii, unahitaji kutumia kigezo cha kwanza cha kutosha kwa upeo wa kazi.

Kumbuka 2. Kigezo cha pili cha kutosha cha upeo wa mwisho wa chaguo za kukokotoa hakitumiki hata wakati derivati ​​ya kwanza haipo katika hatua ya kusimama (basi derivatiti ya pili haipo pia). Katika kesi hii, unahitaji pia kutumia ishara ya kwanza ya kutosha ya upeo wa kazi.

Asili ya eneo la mwisho wa chaguo la kukokotoa

Kutoka kwa ufafanuzi hapo juu inafuata kwamba upeo wa chaguo za kukokotoa ni wa ndani katika asili - ni thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa ikilinganishwa na maadili ya karibu.

Tuseme unaangalia mapato yako kwa muda wa mwaka mmoja. Ikiwa mnamo Mei ulipata rubles 45,000, na Aprili 42,000 rubles na Juni 39,000 rubles, basi mapato ya Mei ni upeo wa kazi ya mapato ikilinganishwa na maadili ya karibu. Lakini mnamo Oktoba ulipata rubles 71,000, mnamo Septemba 75,000 rubles, na mnamo Novemba rubles 74,000, kwa hivyo mapato ya Oktoba ni kiwango cha chini cha kazi ya mapato ikilinganishwa na maadili ya karibu. Na unaweza kuona kwa urahisi kuwa kiwango cha juu kati ya maadili ya Aprili-Mei-Juni ni chini ya kiwango cha chini cha Septemba-Oktoba-Novemba.

Kwa ujumla, kwa muda kitendakazi kinaweza kuwa na miiko kadhaa, na inaweza kuibuka kuwa kima cha chini cha chaguo za kukokotoa ni kikubwa kuliko kiwango cha juu zaidi. Kwa hiyo, kwa kazi iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu,.

Hiyo ni, mtu haipaswi kufikiria kuwa kiwango cha juu na cha chini cha kazi ni, mtawaliwa, maadili yake makubwa na madogo kwenye sehemu nzima inayozingatiwa. Katika hatua ya juu, chaguo la kukokotoa lina thamani kubwa zaidi kwa kulinganisha na maadili hayo ambayo ina pointi zote za kutosha karibu na kiwango cha juu, na kwa kiwango cha chini ina thamani ndogo zaidi kwa kulinganisha na maadili hayo. kwamba ina katika pointi zote za kutosha karibu na kiwango cha chini.

Kwa hivyo, tunaweza kufafanua wazo la hapo juu la alama za juu zaidi za chaguo la kukokotoa na kupiga simu alama za chini za kiwango cha chini cha kawaida, na alama za juu za kiwango cha juu cha kawaida.

Tunatafuta mwisho wa kazi pamoja

Mfano 3.

Suluhisho: Kitendaji kinafafanuliwa na kinaendelea kwenye mstari mzima wa nambari. Derivative yake pia ipo kwenye mstari mzima wa nambari. Kwa hiyo, katika kesi hii, pointi muhimu ni zile tu ambazo, i.e. , kutoka wapi na. Hoja muhimu na ugawanye kikoa kizima cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa katika vipindi vitatu vya monotonicity: . Wacha tuchague sehemu moja ya udhibiti katika kila moja yao na tupate ishara ya derivative katika hatua hii.

Kwa muda, hatua ya udhibiti inaweza kuwa: kupata. Kuchukua hatua katika muda, tunapata, na kuchukua hatua katika muda, tunayo. Kwa hivyo, katika vipindi na, na kwa muda. Kwa mujibu wa kigezo cha kwanza cha kutosha cha uliokithiri, hakuna upeo katika hatua (kwani derivative huhifadhi ishara yake katika muda), na katika hatua ya kazi ina kiwango cha chini (kwani mabadiliko ya derivative ishara kutoka minus hadi plus wakati wa kupita. kupitia hatua hii). Wacha tupate maadili yanayolingana ya chaguo la kukokotoa: , a . Katika muda kazi hupungua, kwa kuwa katika muda huu, na katika muda huongezeka, kwa kuwa katika muda huu.

Ili kufafanua ujenzi wa grafu, tunapata pointi za makutano yake na axes za kuratibu. Tunapopata equation ambayo mizizi yake ni na, yaani, pointi mbili (0; 0) na (4; 0) za grafu ya kazi hupatikana. Kutumia habari zote zilizopokelewa, tunaunda grafu (tazama mwanzo wa mfano).

Kwa kujiangalia wakati wa mahesabu, unaweza kutumia kikokotoo cha derivative mtandaoni .

Mfano 4. Pata mwisho wa kazi na ujenge grafu yake.

Kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni mstari mzima wa nambari, isipokuwa kwa uhakika, i.e. .

Ili kufupisha utafiti, unaweza kutumia ukweli kwamba kazi hii ni hata, tangu . Kwa hiyo, grafu yake ni ya ulinganifu kuhusu mhimili Oy na utafiti unaweza tu kufanywa kwa muda.

Kutafuta derivative na pointi muhimu za kazi:

1) ;

2) ,

lakini chaguo la kukokotoa linakabiliwa na kutoendelea kwa wakati huu, kwa hivyo haiwezi kuwa hatua ya mwisho.

Kwa hivyo, kazi iliyotolewa ina pointi mbili muhimu: na. Kwa kuzingatia usawa wa chaguo za kukokotoa, tutaangalia nukta tu kwa kutumia kigezo cha pili cha kutosha cha upeo. Ili kufanya hivyo, tunapata derivative ya pili na kuamua ishara yake kwa: tunapata . Tangu na , ni hatua ya chini ya kazi, na .

Ili kupata picha kamili zaidi ya grafu ya chaguo la kukokotoa, hebu tujue tabia yake kwenye mipaka ya kikoa cha ufafanuzi:

(hapa ishara inaonyesha hamu x hadi sifuri kutoka kulia, na x inabaki kuwa chanya; vile vile ina maana ya kutamani x hadi sifuri kutoka kushoto, na x inabaki kuwa hasi). Kwa hivyo, ikiwa, basi. Ifuatayo, tunapata

,

hizo. kama, basi.

Grafu ya chaguo za kukokotoa haina sehemu za makutano na shoka. Picha iko mwanzoni mwa mfano.

Kwa kujiangalia wakati wa mahesabu, unaweza kutumia kikokotoo cha derivative mtandaoni .

Tunaendelea kutafuta ukali wa chaguo la kukokotoa pamoja

Mfano 8. Pata mwisho wa chaguo la kukokotoa.

Suluhisho. Wacha tupate kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Kwa kuwa kukosekana kwa usawa lazima kuridhishwe, tunapata kutoka.

Wacha tupate derivative ya kwanza ya chaguo la kukokotoa.

Algorithm rahisi ya kutafuta extrema..

• Kutafuta derivative ya kazi
• Tunalinganisha derivative hii kwa sifuri
• Tunapata maadili ya kutofautisha kwa usemi unaosababishwa (maadili ya kutofautisha ambayo derivative inabadilishwa kuwa sifuri)
• Kwa kutumia maadili haya, tunagawanya mstari wa kuratibu katika vipindi (usisahau kuhusu pointi za mapumziko, ambazo zinahitaji pia kupangwa kwenye mstari), pointi hizi zote huitwa pointi za "tuhuma" kwa uliokithiri.
• Tunahesabu ni kipi kati ya vipindi hivi kitokezi kitakuwa chanya na kipi kitakuwa hasi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kubadilisha thamani kutoka kwa muda hadi kwenye derivative.

Kati ya pointi zinazotiliwa shaka kwa mtu aliyekithiri, ni muhimu kupata . Ili kufanya hivyo, tunaangalia vipindi vyetu kwenye mstari wa kuratibu. Ikiwa, wakati wa kupita katika hatua fulani, ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka plus hadi minus, basi hatua hii itakuwa. upeo, na ikiwa kutoka minus hadi plus, basi kiwango cha chini.

Ili kupata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa, unahitaji kuhesabu thamani ya chaguo la kukokotoa katika miisho ya sehemu na katika sehemu za juu zaidi. Kisha chagua thamani kubwa na ndogo zaidi.

Hebu tuangalie mfano
Tunapata derivative na kuilinganisha na sifuri:

Tunapanga maadili yaliyopatikana ya vijiti kwenye mstari wa kuratibu na kuhesabu ishara ya derivative kwenye kila vipindi. Kweli, kwa mfano, kwa wa kwanza wacha tuchukue-2 , basi derivative itakuwa sawa-0,24 , kwa pili tutachukua0 , basi derivative itakuwa2 , na kwa tatu tunachukua2 , basi derivative itakuwa-0.24. Tunaweka alama zinazofaa.

Tunaona kwamba wakati wa kupitia hatua -1, ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka minus hadi plus, yaani, hii itakuwa hatua ya chini, na wakati wa kupita 1, itabadilisha ishara kutoka kwa plus hadi minus, kwa mtiririko huo, hii itakuwa kiwango cha juu.

Kazi na utafiti wa vipengele vyake huchukua moja ya sura muhimu katika hisabati ya kisasa. Sehemu kuu ya kazi yoyote ni grafu zinazoonyesha si mali zake tu, bali pia vigezo vya derivative ya kazi hii. Hebu tuelewe mada hii ngumu. Kwa hivyo ni ipi njia bora ya kupata alama za juu na za chini za kazi?

Kazi: ufafanuzi

Tofauti yoyote ambayo kwa namna fulani inategemea maadili ya wingi mwingine inaweza kuitwa kazi. Kwa mfano, chaguo za kukokotoa f(x 2) ni quadratic na huamua thamani za seti nzima ya x. Wacha tuseme kwamba x = 9, basi thamani ya kazi yetu itakuwa sawa na 9 2 = 81.

Kazi huja katika aina nyingi tofauti: mantiki, vector, logarithmic, trigonometric, numeric na wengine. Walisoma na akili bora kama Lacroix, Lagrange, Leibniz na Bernoulli. Kazi zao hutumika kama msingi katika njia za kisasa za kusoma kazi. Kabla ya kupata pointi za chini, ni muhimu sana kuelewa maana halisi ya kazi na derivative yake.

Derivative na jukumu lake

Kazi zote hutegemea vigezo vyao, ambayo ina maana kwamba wanaweza kubadilisha thamani yao wakati wowote. Kwenye grafu, hii itaonyeshwa kama mkunjo ambao huanguka au kuinuka kando ya mhimili wa kuratibu (hii ndiyo seti nzima ya nambari za "y" kwenye grafu wima). Kwa hivyo, kuamua kiwango cha juu na cha chini cha alama za kukokotoa kunahusiana haswa na "oscillations" hizi. Wacha tueleze uhusiano huu ni nini.

Toleo la chaguo za kukokotoa lolote limechorwa ili kusoma sifa zake za msingi na kukokotoa jinsi chaguo za kukokotoa hubadilika haraka (yaani, hubadilisha thamani yake kulingana na kigezo cha "x"). Kwa sasa wakati kazi inapoongezeka, grafu ya derivative yake pia itaongezeka, lakini kwa sekunde yoyote kazi inaweza kuanza kupungua, na kisha grafu ya derivative itapungua. Pointi hizo ambazo derivative inabadilika kutoka ishara ya minus hadi ishara ya kuongeza huitwa alama za chini. Ili kujua jinsi ya kupata alama za chini, unapaswa kuelewa vizuri zaidi

Jinsi ya kuhesabu derivative?

Ufafanuzi na kazi zinamaanisha dhana kadhaa kutoka Kwa ujumla, ufafanuzi wa derivative unaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo: hii ni kiasi kinachoonyesha kiwango cha mabadiliko ya kazi.

Njia ya hisabati ya kuamua inaonekana kuwa ngumu kwa wanafunzi wengi, lakini kwa kweli kila kitu ni rahisi zaidi. Unahitaji tu kufuata mpango wa kawaida wa kutafuta derivative ya kazi yoyote. Hapo chini tunaelezea jinsi unaweza kupata kiwango cha chini cha kazi bila kutumia sheria za kutofautisha na bila kukariri meza ya derivatives.

1. Unaweza kuhesabu derivative ya chaguo za kukokotoa kwa kutumia grafu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuonyesha kitendakazi chenyewe, kisha uchukue nukta moja juu yake (pointi A kwenye kielelezo).Chora mstari wima chini hadi kwenye mhimili wa abscissa (point x 0), na kwa uhakika A chora tanjiti. grafu ya kipengele. Mhimili wa x na tanjenti huunda pembe fulani a. Ili kuhesabu thamani ya jinsi chaguo za kukokotoa inavyoongezeka kwa haraka, unahitaji kukokotoa tanjenti ya pembe hii a.
2. Inatokea kwamba tangent ya angle kati ya tangent na mwelekeo wa mhimili wa x ni derivative ya kazi katika eneo ndogo na uhakika A. Njia hii inachukuliwa kuwa njia ya kijiometri ya kuamua derivative.

Mbinu za kusoma kazi

Katika mtaala wa hisabati wa shule, inawezekana kupata kiwango cha chini cha kazi kwa njia mbili. Tayari tumejadili njia ya kwanza kwa kutumia grafu, lakini tunawezaje kuamua thamani ya nambari ya derivative? Ili kufanya hivyo, utahitaji kujifunza fomula kadhaa zinazoelezea sifa za derivative na kusaidia kubadilisha vigeu kama "x" kuwa nambari. Njia ifuatayo ni ya ulimwengu wote, kwa hivyo inaweza kutumika kwa karibu aina zote za kazi (zote za kijiometri na logarithmic).

1. Inahitajika kusawazisha kazi na kazi ya derivative, na kisha kurahisisha usemi kwa kutumia sheria za utofautishaji.
2. Katika baadhi ya matukio, inapopewa kazi ambayo kutofautisha "x" iko kwenye kigawanyiko, ni muhimu kuamua anuwai ya maadili yanayokubalika, ukiondoa nukta "0" kutoka kwayo (kwa sababu rahisi kwamba katika hisabati mtu haipaswi kamwe. gawanya kwa sifuri).
3. Baada ya hayo, unapaswa kubadilisha umbo la asili la kitendakazi kuwa mlinganyo rahisi, ukisawazisha usemi mzima hadi sifuri. Kwa mfano, ikiwa kitendakazi kilionekana hivi: f(x) = 2x 3 +38x, basi kwa mujibu wa sheria za upambanuzi derivative yake ni sawa na f"(x) = 3x 2 +1. Kisha tunabadilisha usemi huu kuwa an equation ya fomu ifuatayo: 3x 2 +1 = 0.
4. Baada ya kutatua equation na kupata pointi "x", unapaswa kuzipanga kwenye mhimili wa x na kuamua ikiwa derivative katika sehemu hizi kati ya pointi zilizowekwa alama ni chanya au hasi. Baada ya kuteuliwa, itakuwa wazi ni wakati gani kazi inaanza kupungua, ambayo ni, mabadiliko ya ishara kutoka kwa minus kwenda kinyume. Ni kwa njia hii kwamba unaweza kupata alama za chini na za juu.

Kanuni za kutofautisha

Sehemu ya msingi zaidi katika kusoma kazi na derivative yake ni maarifa ya sheria za utofautishaji. Ni kwa msaada wao tu unaweza kubadilisha maneno magumu na kazi kubwa ngumu. Wacha tujue nao, kuna mengi yao, lakini yote ni rahisi sana kwa sababu ya mali asili ya kazi za nguvu na logarithmic.

1. Derivative ya mara kwa mara yoyote ni sawa na sifuri (f(x) = 0). Hiyo ni, derivative f(x) = x 5 + x - 160 itachukua fomu ifuatayo: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Derivative ya jumla ya maneno mawili: (f+w)" = f"w + fw".
3. Nyingi ya chaguo za kukokotoa za logarithmic: (logi a d)" = d/ln a*d. Fomula hii inatumika kwa aina zote za logariti.
4. Derivative ya nguvu: (x n)"= n*x n-1. Kwa mfano, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Derivative ya utendaji kazi wa sinusoidal: (sin a)" = cos a. Ikiwa dhambi ya pembe a ni 0.5, basi derivative yake ni √3/2.

Pointi za hali ya juu

Tayari tumejadili jinsi ya kupata alama za chini, lakini pia kuna wazo la alama za juu za kazi. Ikiwa kiwango cha chini kinaashiria alama hizo ambazo kazi hubadilika kutoka ishara ya minus hadi plus, basi pointi za juu ni zile pointi kwenye mhimili wa x ambapo derivative ya kazi hubadilika kutoka plus hadi kinyume - minus.

Unaweza kuipata kwa kutumia njia iliyoelezwa hapo juu, lakini unapaswa kuzingatia kwamba zinaonyesha maeneo hayo ambayo kazi huanza kupungua, yaani, derivative itakuwa chini ya sifuri.

Katika hisabati, ni kawaida kujumuisha dhana zote mbili, na kuzibadilisha na kifungu cha maneno "alama za kupindukia." Wakati kazi inakuuliza kuamua pointi hizi, ina maana kwamba unahitaji kuhesabu derivative ya kazi fulani na kupata pointi za chini na za juu.

Fikiria kazi y = f (x), ambayo inazingatiwa kwa muda (a, b).

Ikiwezekana kuashiria kitongoji cha b cha nukta x1 inayomilikiwa na muda (a, b) hivi kwamba kwa wote x (x1, b), ukosefu wa usawa f(x1) > f(x) unashikilia, basi y1 = f1(x1) inaitwa upeo wa chaguo za kukokotoa y = f(x) tazama mtini.

Tunaashiria upeo wa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwa max f(x). Ikiwezekana kuashiria kitongoji cha b cha nukta x2 inayomilikiwa na muda (a, b) hivi kwamba kwa wote x ni ya O (x2, 6), x si sawa na x2, usawa unashikilia. f(x2)< f(x) , kisha y2= f(x2) inaitwa kima cha chini cha chaguo za kukokotoa y-f(x) (angalia kielelezo).

Kwa mfano wa kupata kiwango cha juu, angalia video ifuatayo

Utendaji wa chini kabisa

Tunaashiria kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa y = f(x) kwa min f(x). Kwa maneno mengine, kiwango cha juu au cha chini cha chaguo za kukokotoa y = f(x) kuitwa thamani yake ambayo ni kubwa zaidi (chini) kuliko maadili mengine yote yanayokubaliwa kwa pointi karibu na ile iliyotolewa na tofauti nayo.

Kumbuka 1. Upeo wa utendakazi, iliyofafanuliwa na usawa inaitwa upeo mkali; kiwango cha juu kisicho na masharti kinaamuliwa na ukosefu wa usawa f(x1) > = f(x2)

Kumbuka 2. kuwa na tabia ya ndani (hizi ni maadili makubwa na ndogo zaidi ya kazi katika kitongoji kidogo cha kutosha cha hatua inayolingana); minima mahususi ya chaguo za kukokotoa inaweza kuwa kubwa kuliko upeo wa chaguo za kukokotoa sawa

Matokeo yake, kiwango cha juu (kiwango cha chini) cha kazi kinaitwa upeo wa ndani(kima cha chini cha ndani) tofauti na kiwango cha juu kabisa (kiwango cha chini) - thamani kubwa zaidi (ndogo) katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa.

Kiwango cha juu na cha chini zaidi cha chaguo za kukokotoa huitwa extremum . Extrema in hupatikana kuunda grafu za vitendaji

Kilatini uliokithiri maana yake ni "uliokithiri" maana. Thamani ya hoja x ambapo upeo unafikiwa inaitwa sehemu ya juu zaidi. Hali ya lazima kwa extremum inaonyeshwa na theorem ifuatayo.

Nadharia. Katika hatua ya mwisho ya kazi inayoweza kutofautishwa, derivative yake ni sawa na sifuri.

Nadharia ina maana rahisi ya kijiometri: tangent kwa grafu ya kazi inayoweza kutofautishwa katika hatua inayolingana ni sambamba na mhimili wa Ox.

1°. Uamuzi wa upeo wa chaguo za kukokotoa.

Dhana za upeo, kiwango cha chini, na upeo wa kazi ya vigeu viwili ni sawa na dhana zinazolingana za kazi ya kigezo kimoja huru.

Hebu kazi z =f (x ; y) hufafanuliwa katika eneo fulani D nukta N (x 0;y 0) D.

Nukta (x 0;y 0) inayoitwa uhakika upeo kazi z= f (x ;y), ikiwa kuna -jirani ya uhakika (x 0;y 0), hiyo kwa kila nukta (x;y), tofauti na (x 0;y 0) kutoka kwa kitongoji hiki ukosefu wa usawa unashikilia f (x ;y)< f (x 0;y 0). Katika Mchoro 12: N 1 - kiwango cha juu, a N 2 - kiwango cha chini cha kipengele cha kukokotoa z =f (x ;y).

Hatua imedhamiriwa sawa kiwango cha chini kazi: kwa pointi zote (x 0;y 0), tofauti na (x 0;y 0), kutoka kwa d -jirani ya uhakika (x 0;y 0) ukosefu wa usawa unashikilia: f (x 0;y 0) >f (x 0;y 0).

Upeo wa kazi ya vigeu vitatu au zaidi huamuliwa vile vile.

Thamani ya kazi katika kiwango cha juu (kiwango cha chini) inaitwa upeo (kiwango cha chini) kazi.

Upeo na wa chini wa chaguo za kukokotoa huitwa uliokithiri.

Kumbuka kuwa, kwa ufafanuzi, sehemu ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa iko ndani ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa; kiwango cha juu na cha chini kuwa nacho mtaa(local) character: thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua moja (x 0;y 0) inalinganishwa na maadili yake katika sehemu zilizo karibu vya kutosha (x 0;y 0). Katika eneo D chaguo la kukokotoa linaweza kuwa na misimamo mingi au isiwe na yoyote.

2°. Masharti ya lazima kwa uliokithiri.

Hebu tuzingatie masharti ya kuwepo kwa upeo wa kazi.

Usawa wa kijiometri f"y (x 0;y 0)= 0 na f"y (x 0;y 0) = 0 inamaanisha kuwa katika sehemu ya mwisho ya chaguo la kukokotoa z = f (x ; y) ndege tangent kwenye uso inayowakilisha chaguo za kukokotoa f (x ; y), sambamba na ndege Oh ho kwa kuwa equation ya ndege ya tangent ni z =z 0.

Maoni. Chaguo za kukokotoa zinaweza kuwa na upeo wa juu katika sehemu ambazo angalau mojawapo ya sehemu ya derivatives haipo. Kwa mfano, kazi ina upeo katika hatua KUHUSU(0;0), lakini haina baadhi ya sehemu ya derivatives katika hatua hii.

Sehemu ambayo agizo la kwanza ni sehemu ya sehemu za chaguo za kukokotoa z = f (x ;y) ni sawa na sifuri, i.e. f"x = 0, f" y = 0, kuitwa hatua ya stationary kazi z.

Pointi za stationary na vidokezo ambavyo angalau derivative moja ya sehemu haipo huitwa pointi muhimu.

Katika maeneo muhimu, chaguo la kukokotoa linaweza au lisiwe na upeo. Usawa wa derivatives ya sehemu hadi sifuri ni hali ya lazima lakini haitoshi kwa kuwepo kwa uliokithiri. Fikiria, kwa mfano, kazi z = hu. Kwa ajili yake, hatua 0(0; 0) ni muhimu (inageuka sifuri). Hata hivyo, kazi ya mwisho ndani yake ni z = xy haina, kwa sababu katika kitongoji cha kutosha cha uhakika O (0;0) kuna pointi ambazo z> 0 (alama za robo ya 1 na ya 3) na z< 0 (alama za robo ya II na IV).

Kwa hivyo, ili kupata upeo wa kazi katika eneo fulani, ni muhimu kuzingatia kila hatua muhimu ya kazi kwa utafiti wa ziada.

Pointi za stationary zinapatikana kwa kutatua mfumo wa equations

(masharti muhimu kwa uliokithiri).

Mfumo (1) ni sawa na mlinganyo mmoja df(x, y)=0. Kwa ujumla, katika hatua ya mwisho P (a, b) kazi f(x,y) au df(x, y)=0, au df (a, b) haipo.

3°. Masharti ya kutosha kwa waliokithiri. Hebu P (a; b)- hatua ya stationary ya kazi f(x,y), i.e. . df(a, b) = 0. Kisha:

na kama d2f (a, b)< 0 saa, basi f(a, b) Kuna upeo kazi f (x, y);

b) ikiwa d2f (a, b) > 0 saa, basi f(a, b)Kuna kiwango cha chini kazi f (x,y);

c) ikiwa d2f (a, b) mabadiliko ishara, basi f (a, b) sio upeo wa chaguo la kukokotoa f (x, y).

Masharti yaliyotolewa ni sawa na yafuatayo: basi Na. Hebu kutunga kibaguzi Δ=AC -B².

1) ikiwa Δ > 0, basi kazi ina upeo katika hatua P(a;b) yaani, kiwango cha juu kama A<0 (au NA<0 ), na kiwango cha chini ikiwa A>0(au С>0);

2) ikiwa Δ< 0, то экстремума в точке P (a; b) Hapana;

3) ikiwa Δ =0, basi swali la kuwepo kwa upeo wa kazi kwenye hatua P (a; b) inabaki wazi (utafiti zaidi unahitajika).

4°. Kesi ya kazi ya vigezo kadhaa. Kwa kazi ya vigezo vitatu au zaidi, hali muhimu kwa kuwepo kwa uliokithiri ni sawa na hali (1), na hali ya kutosha ni sawa na hali a), b), c) 3 °.

Mfano. Chunguza utendaji kazi uliokithiri z=x³+3xy²-15x-12y.

Suluhisho. Wacha tupate derivatives za sehemu na tuunde mfumo wa hesabu (1):

Kutatua mfumo, tunapata alama nne za stationary:

Wacha tupate derivatives za agizo la 2

na kujenga ubaguzi Δ=AC - B² kwa kila nukta ya kusimama.

1) Kwa uhakika: , Δ=AC-B²=36-144<0 . Hii ina maana hakuna extremum katika uhakika.

2) Kwa uhakika P2: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. Katika hatua ya P2 kazi ina kiwango cha chini. Kiwango hiki cha chini ni sawa na thamani ya chaguo za kukokotoa x=2, y=1: zmin=8+6-30-12=-28.

3) Kwa uhakika: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . Hakuna uliokithiri.

4) Kwa nukta P 4: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. Katika hatua ya P4 kazi ina upeo sawa na Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Upeo wa masharti. Katika kesi rahisi zaidi ukali wa masharti kazi f(x,y) ni upeo au kiwango cha chini zaidi cha chaguo hili la kukokotoa, linalopatikana chini ya sharti kwamba hoja zake zinahusiana na mlingano φ(x,y)=0 (equation ya uunganisho) Ili kupata upeo wa masharti wa chaguo za kukokotoa f(x, y) mbele ya uhusiano φ(x,y) = 0, kuanzisha kinachojulikana Kazi ya Lagrange

F (x,y)=f (x,y )+λφ (x,y),

ambapo λ ni sababu ya mara kwa mara isiyojulikana, na upeo wa kawaida wa kazi hii msaidizi hutafutwa. Masharti muhimu kwa uliokithiri hupunguzwa kwa mfumo wa equations tatu

na watatu wasiojulikana x, y, λ, ambayo haya haijulikani yanaweza, kwa ujumla, kuamua.

Swali la uwepo na asili ya ukali wa masharti hutatuliwa kwa msingi wa kusoma ishara ya tofauti ya pili ya kazi ya Lagrange.

kwa mfumo wa thamani chini ya majaribio x, y, λ, iliyopatikana kutoka (2) ili mradi tu dx Na dу inayohusiana na equation

.

Yaani, kazi f(x,y) ina kiwango cha juu cha masharti ikiwa d²F< 0, na kima cha chini cha masharti ikiwa d²F>0. Hasa, ikiwa kibaguzi Δ kwa chaguo la kukokotoa F(x,y) ni chanya katika hatua ya stationary, basi katika hatua hii kuna upeo wa masharti ya kazi f(x, y), Kama A< 0 (au NA< 0), na kima cha chini cha masharti ikiwa A > O(au С>0).

Vile vile, upeo wa masharti ya kazi ya vigezo vitatu au zaidi hupatikana mbele ya equations moja au zaidi ya uunganisho (idadi ambayo, hata hivyo, lazima iwe chini ya idadi ya vigezo). Hapa tunapaswa kuanzisha sababu nyingi zisizo na uhakika katika chaguo za kukokotoa za Lagrange kama vile kuna milinganyo ya kuunganisha.

Mfano. Pata upeo wa chaguo la kukokotoa z =6-4x -3y mradi vigezo X Na katika kukidhi equation x²+y²=1.

Suluhisho. Kijiometri, shida inakuja kupata maadili makubwa na madogo ya programu z ndege z=6 - 4x - Zu kwa pointi za makutano yake na silinda x2+y2=1.

Kukusanya kazi ya Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Tuna . Masharti muhimu hutoa mfumo wa equations

kutatua ambayo tunapata:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

Ikiwa na, basi d²F >0, na, kwa hiyo, katika hatua hii kazi ina kiwango cha chini cha masharti. Kama na, basi d²F<0, na, kwa hiyo, katika hatua hii kazi ina kiwango cha juu cha masharti.

Hivyo,

6°. Thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa.

Hebu kazi z =f (x ; y) imefafanuliwa na kuendelea katika eneo dogo lililofungwa . Kisha yeye hufikia hatua fulani wako mkuu M na mdogo zaidi T maadili (kinachojulikana wenye msimamo mkali wa kimataifa). Maadili haya yanafikiwa na chaguo la kukokotoa katika sehemu zilizo ndani ya eneo , au katika maeneo yaliyo kwenye mpaka wa eneo hilo.