Ni takwimu ya polyhedral, ambayo msingi wake ni poligoni, na nyuso zingine zinawakilishwa na pembetatu zilizo na kitamba cha kawaida.

Ikiwa kuna mraba chini, basi piramidi inaitwa pembe nne, ikiwa pembetatu - basi pembetatu... Urefu wa piramidi hutolewa kutoka juu yake juu hadi msingi. Pia hutumiwa kuhesabu eneo apothem- urefu wa uso wa upande umeshuka kutoka juu.
Fomula ya eneo la uso wa piramidi ni jumla ya maeneo ya nyuso zake za nyuma, ambazo ni sawa na kila mmoja. Walakini, njia hii ya hesabu hutumiwa mara chache sana. Kimsingi, eneo la piramidi linahesabiwa kupitia mzunguko wa msingi na apothem:

Wacha tuchunguze mfano wa kuhesabu eneo la uso wa piramidi.

Acha piramidi itolewe na msingi wa ABCDE na juu F. AB = BC = CD = DE = EA = 3 cm Apothem a = 5 cm Tafuta eneo la uso wa piramidi.
Wacha tupate mzunguko. Kwa kuwa nyuso zote za msingi ni sawa, mzunguko wa pentagon utakuwa sawa na:
Sasa unaweza kupata eneo la piramidi:

Eneo la piramidi ya pembetatu ya kawaida

Piramidi ya pembetatu ya kawaida ina msingi ambao pembetatu ya usawa iko na nyuso tatu za upande ambazo ni sawa katika eneo hilo.
Fomula ya eneo lenye uso wa piramidi ya kawaida ya pembetatu inaweza kuhesabiwa kwa njia tofauti. Unaweza kutumia fomula ya kawaida ya kuhesabu kupitia mzunguko na apothem, au unaweza kupata eneo la uso mmoja na kuzidisha kwa tatu. Kwa kuwa uso wa piramidi ni pembetatu, tutatumia fomula ya eneo la pembetatu. Itahitaji apothem na urefu wa msingi. Wacha tuchunguze mfano wa kuhesabu eneo la uso wa piramidi ya kawaida ya pembetatu.

Unapewa piramidi na apothemi ya = 4 cm na uso wa msingi b = cm 2. Tafuta eneo la uso wa piramidi.
Kwanza, tunapata eneo la moja ya nyuso za upande. Katika kesi hii, itakuwa:
Badilisha maadili katika fomula:
Kwa kuwa katika piramidi ya kawaida pande zote zinafanana, eneo la uso wa piramidi litakuwa sawa na jumla ya maeneo ya nyuso tatu. Kwa mtiririko huo:

Eneo la piramidi iliyokatwa

Imepunguzwa Piramidi ni polyhedron ambayo huundwa na piramidi na sehemu yake sawa na msingi.
Fomula ya eneo la uso wa piramidi iliyokatwa ni rahisi sana. Eneo hilo ni sawa na bidhaa ya nusu jumla ya mzunguko wa besi na apothem:

Sehemu ya uso ya piramidi. Katika nakala hii, tutaangalia shida na piramidi sahihi na wewe. Wacha nikukumbushe kuwa piramidi ya kawaida ni piramidi, ambayo msingi wake ni poligoni ya kawaida, juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya poligoni hii.

Uso wa upande wa piramidi kama hiyo ni pembetatu ya isosceles.Urefu wa pembetatu hii, iliyochorwa kutoka juu ya piramidi ya kawaida, inaitwa apothem, SF ni apothem:

Katika aina ya shida zilizowasilishwa hapa chini, inahitajika kupata eneo la piramidi nzima au eneo la uso wake wa nyuma. Blogi tayari imezingatia shida kadhaa na piramidi za kawaida, ambapo swali liliulizwa juu ya kupata vitu (urefu, makali ya msingi, makali ya kando),.

Katika majukumu ya mtihani, kama sheria, piramidi za mara kwa mara za pembetatu, za mraba na za hexagonal zinazingatiwa. Sijapata shida na piramidi za mara kwa mara za pentagonal na heptagonal.

Fomula ya eneo la uso mzima ni rahisi - unahitaji kupata jumla ya eneo la msingi wa piramidi na eneo la uso wake wa nyuma:

Fikiria majukumu:

Pande za msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ni 72, kando kando ni 164. Pata eneo la piramidi hii.

Eneo la piramidi ni sawa na jumla ya maeneo ya msingi na msingi:

* Uso wa upande una pembetatu nne za eneo sawa. Msingi wa piramidi ni mraba.

Eneo la upande wa piramidi linaweza kuhesabiwa kwa kutumia:

Kwa hivyo, eneo la piramidi ni:

Jibu: 28224

Pande za msingi wa piramidi ya hexagonal ya kawaida ni 22, kingo za upande ni 61. Tafuta eneo la uso wa pembeni wa piramidi hii.

Msingi wa piramidi ya kawaida ya hexagonal ni hexagon ya kawaida.

Sehemu ya juu ya piramidi hii ina maeneo sita ya pembetatu sawa na pande 61.61 na 22:

Pata eneo la pembetatu, tumia fomula ya Heron:

Kwa hivyo, eneo la uso wa usawa ni sawa na:

Jibu: 3240

* Katika shida zilizowasilishwa hapo juu, eneo la uso wa upande linaweza kupatikana kwa kutumia fomula tofauti ya pembetatu, lakini kwa hili unahitaji kuhesabu apothem.

27155. Tafuta eneo la piramidi ya kawaida ya quadrangular, pande zake ambazo ni 6 na urefu ni 4.

Ili kupata eneo la piramidi, tunahitaji kujua eneo la msingi na eneo la uso wa nyuma:

Eneo la msingi ni 36, kwani ni mraba na upande wa 6.

Uso wa upande una nyuso nne, ambazo ni pembetatu sawa. Ili kupata eneo la pembetatu kama hiyo, unahitaji kujua msingi na urefu wake (apothem):

* Eneo la pembetatu ni sawa na nusu ya bidhaa ya msingi na urefu uliovutwa kwa msingi huu.

Msingi unajulikana, ni sawa na sita. Wacha tupate urefu. Fikiria pembetatu yenye pembe-kulia (iliyoangaziwa kwa manjano):

Mguu mmoja ni 4, kwani huu ni urefu wa piramidi, mwingine ni 3, kwani ni nusu ya ukingo wa msingi. Tunaweza kupata hypotenuse, kulingana na nadharia ya Pythagorean:

Kwa hivyo eneo la uso wa piramidi ni sawa na:

Kwa hivyo, eneo la piramidi nzima ni sawa na:

Jibu: 96

27069. Pande za msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ni 10, kingo za kando ni 13. Tafuta eneo la piramidi hii.

27070. Pande za msingi wa piramidi ya kawaida ya hexagonal ni 10, kingo za kando ni 13. Tafuta eneo la uso wa nyuma wa piramidi hii.

Pia kuna kanuni za eneo la uso wa piramidi ya kawaida. Katika piramidi ya kawaida, msingi ni makadirio ya orthogonal ya uso wa baadaye, kwa hivyo:

Uk- mzunguko wa msingi, l- apothem ya piramidi

* Fomula hii inategemea eneo la fomula ya pembetatu.

Ikiwa unataka kujifunza zaidi juu ya jinsi fomula hizi zinatokana, usikose, fuata uchapishaji wa nakala hizo.Ni hayo tu. Mafanikio kwako!

Kwa heri, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ningefurahi ikiwa ungeweza kutuambia juu ya wavuti hiyo kwenye mitandao ya kijamii.

Kwa ufupi juu ya kuu

Eneo la uso (2019)

Sehemu ya uso wa Prism

Je! Kuna fomula ya jumla? Hapana, kwa ujumla, hapana. Unahitaji tu kutafuta maeneo ya nyuso za upande na ujumlishe.

Fomula inaweza kuandikiwa prism moja kwa moja:

Mzunguko wa msingi uko wapi.

Lakini, hata hivyo, ni rahisi zaidi katika kila kisa maalum kuongeza maeneo yote kuliko kukariri fomula za ziada. Kwa mfano, wacha tuhesabu jumla ya uso wa prism ya kawaida ya hexagonal.

Nyuso zote za upande ni mstatili. Maana yake.

Hii tayari imepunguzwa wakati wa kuhesabu kiasi.

Kwa hivyo tunapata:

Sehemu ya uso wa piramidi

Kwa piramidi, sheria ya jumla pia inatumika:

Sasa wacha tuhesabu eneo la uso la piramidi maarufu zaidi.

Sehemu ya uso wa piramidi ya kawaida ya pembetatu

Wacha upande wa msingi uwe sawa na makali ya upande sawa. Unahitaji kupata na.

Acheni sasa tukumbuke hiyo

Hii ndio eneo la pembetatu ya kawaida.

Na tukumbuke jinsi ya kutafuta eneo hili. Tunatumia fomula ya eneo:

Tuna "" - hii, na "" - hii pia, na.

Sasa tutapata.

Kutumia fomula ya eneo la msingi na nadharia ya Pythagorean, tunapata

Tahadhari: ikiwa una tetrahedron ya kawaida (i.e.), basi fomula ni kama ifuatavyo:

Eneo la uso wa piramidi ya kawaida ya quadrangular

Wacha upande wa msingi uwe sawa na makali ya upande sawa.

Chini kuna mraba, na kwa hivyo.

Inabaki kupata eneo la uso wa upande

Sehemu ya uso wa piramidi ya kawaida ya hexagonal.

Wacha upande wa msingi uwe sawa, na makali ya upande.

Jinsi ya kupata? Heksoni lina pembetatu sawa sawa za kawaida. Tayari tumetafuta eneo la pembetatu ya kawaida wakati wa kuhesabu eneo la piramidi ya kawaida ya pembetatu, hapa tunatumia fomula iliyopatikana.

Kweli, tumetafuta eneo la uso wa upande tayari mara mbili.

Kweli, mada imeisha. Ikiwa unasoma mistari hii, basi uko poa sana.

Kwa sababu ni 5% tu ya watu wanaoweza kusimamia kitu peke yao. Na ikiwa unasoma hadi mwisho, basi uko katika hiyo 5%!

Sasa inakuja jambo muhimu zaidi.

Uligundua nadharia juu ya mada hii. Na, tena, hii ni ... ni nzuri tu! Tayari wewe ni bora kuliko idadi kubwa ya wenzako.

Shida ni kwamba hii inaweza kuwa haitoshi ..

Kwa nini?

Kwa kufaulu vizuri kwa mtihani, kwa kuingia kwenye taasisi kwenye bajeti na, MUHIMU ZAIDI, kwa maisha.

Sitakuhakikishia chochote, nitasema tu jambo moja ..

Watu ambao wamepata elimu nzuri hupata zaidi kuliko wale ambao hawajapata. Hizi ni takwimu.

Lakini hii sio jambo kuu pia.

Jambo kuu ni kwamba wana FURAHA ZAIDI (kuna masomo kama hayo). Labda kwa sababu kuna fursa nyingi zaidi kwao na maisha yanakuwa nyepesi? Sijui...

Lakini fikiria mwenyewe ...

Je! Inachukua nini kuwa bora zaidi kuliko wengine kwenye mtihani na mwishowe kuwa na furaha zaidi?

PATA MATATIZO YA KUTATUA MKONO KWENYE MADA HII.

Kwenye mtihani, hautaulizwa nadharia.

Utahitaji tatua kazi kwa muda.

Na, ikiwa haukuzitatua (MENGI!), Una hakika kwenda mahali potofu ukikosea au hautakuwa kwa wakati.

Ni kama katika michezo - lazima urudie tena na tena kushinda hakika.

Pata mkusanyiko ambapo unataka, lazima na suluhisho, uchambuzi wa kina na amua, amua, amua!

Unaweza kutumia majukumu yetu (hiari) na sisi, kwa kweli, tunapendekeza.

Ili kujaza mkono wako kwa msaada wa majukumu yetu, unahitaji kusaidia kupanua maisha ya kitabu cha kiada cha YouClever unachosoma hivi sasa.

Vipi? Kuna chaguzi mbili:

1. Shiriki kazi zote zilizofichwa katika nakala hii - 299 r
2. Fungua ufikiaji wa kazi zote zilizofichwa katika nakala zote 99 za mafunzo - 999 RUB

Ndio, tuna nakala 99 kama hizo katika kitabu chetu, na ufikiaji wa kazi zote na maandishi yote yaliyofichwa ndani yao yanaweza kufunguliwa mara moja.

Katika kesi ya pili tutakupa simulator "Matatizo 6000 na suluhisho na majibu, kwa kila mada, kwa kila ngazi ya utata." Kwa hakika itakuwa ya kutosha kupata ushughulikiaji wa kutatua shida kwenye mada yoyote.

Kwa kweli, hii ni zaidi ya simulator tu - mpango mzima wa mafunzo. Ikiwa inahitajika, unaweza pia kuitumia BURE.

Ufikiaji wa maandishi na programu zote hutolewa kwa maisha yote ya wavuti.

Hitimisho...

Ikiwa hupendi kazi zetu, tafuta zingine. Usikae tu kwenye nadharia.

"Kueleweka" na "Nina uwezo wa kutatua" ni ujuzi tofauti kabisa. Unahitaji zote mbili.

Pata shida na utatue!

Piramidi- moja ya aina ya polyhedron iliyoundwa kutoka kwa polygoni na pembetatu ambazo ziko chini na ni sura zake.

Kwa kuongezea, juu ya piramidi (i.e. wakati mmoja), nyuso zote zimeunganishwa.

Ili kuhesabu eneo la piramidi, ni muhimu kuamua kuwa uso wake wa nyuma una pembetatu kadhaa. Na tunaweza kupata maeneo yao kwa urahisi kwa kutumia

fomula anuwai. Kulingana na aina gani ya data ya pembetatu tunayojua, tunatafuta eneo lao.

Wacha tuorodhe fomula kadhaa ambazo unaweza kupata eneo la pembetatu:

1. S = (a * h) / 2 ... Katika kesi hii, tunajua urefu wa pembetatu h ambayo imeshushwa pembeni a .
2. S = a * b * dhambiβ ... Hapa kuna pande za pembetatu a , b , na pembe kati yao ni β .
3. S = (r * (a + b + c)) / 2 ... Hapa kuna pande za pembetatu a, b, c ... Radi ya duara ambayo imeandikwa kwenye pembetatu ni r .
4. S = (a * b * c) / 4 * R ... Radi ya duara iliyozungushwa karibu na pembetatu ni R .
5. S = (a * b) / 2 = r² + 2 * r * R ... Fomula hii inapaswa kutumika tu wakati pembetatu ni ya mstatili.
6. S = (a² * -3) / 4 ... Tunatumia fomula hii kwa pembetatu ya usawa.

Ni baada tu ya kuhesabu maeneo ya pembetatu zote ambazo ni nyuso za piramidi yetu, tunaweza kuhesabu eneo la uso wake wa nyuma. Kwa hili tutatumia fomula zilizo hapo juu.

Ili kuhesabu eneo la uso wa piramidi, hakuna shida zinazotokea: unahitaji kujua jumla ya maeneo ya pembetatu zote. Wacha tuieleze na fomula:

Sп = iSi

Hapa Si ni eneo la pembetatu ya kwanza, na S Uk - eneo la uso wa piramidi.

Wacha tuangalie mfano. Piramidi ya kawaida hutolewa, nyuso zake za nyuma zinaundwa na pembetatu kadhaa za usawa,

« Jiometri ni zana yenye nguvu zaidi ya kunoa akili zetu.».

Galileo Galilei.

na mraba ndio msingi wa piramidi. Kwa kuongezea, ukingo wa piramidi una urefu wa cm 17. Wacha tupate eneo la uso wa pembeni wa piramidi hii.

Tunasema kwa njia hii: tunajua kwamba nyuso za piramidi ni pembetatu, ni sawa. Tunajua pia ni muda gani ubavu wa piramidi uliopewa ni. Kwa hivyo inafuata kwamba pembetatu zote zina pande sawa sawa, urefu wake ni 17 cm.

Ili kuhesabu eneo la kila pembetatu hizi, unaweza kutumia fomula ifuatayo:

S = (17² * -3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 cm²

Kwa kuwa tunajua kuwa mraba uko chini ya piramidi, inageuka kuwa tuna pembetatu nne za usawa. Hii inamaanisha kuwa eneo la uso wa piramidi linaweza kuhesabiwa kwa urahisi kwa kutumia fomula ifuatayo: 125.137 cm² 4 = 500.548 cm²

Jibu letu ni kama ifuatavyo: 500.548 cm - hii ndio eneo la uso wa piramidi hii.

• Shida ya 1. Pata jumla ya eneo la piramidi
• Shida ya 2. Pata eneo la uso wa piramidi ya kawaida ya pembetatu

Tatizo 1... Pata eneo la jumla la piramidi ya kawaida

Uamuzi.

Pembetatu ya usawa iko chini ya piramidi ya kawaida ya pembetatu.
Kwa hivyo, kutatua shida, tutatumia mali ya pembetatu ya kawaida:

Tunajua urefu wa pembetatu, kutoka ambapo tunaweza kupata eneo lake.
h = -3 / 2 a
a = h / (-3 / 2)
a = 3 / (-3 / 2)
a = 6 / -3

Kutoka ambapo eneo la msingi litakuwa sawa na:
S = -3 / 4 kwa 2
S = -3 / 4 (6 / -3) 2
S = 3√3

Ili kupata eneo la uso wa upande, tunahesabu urefu wa KM. Pembe ya OKM ni digrii 45 kulingana na taarifa ya shida.
Kwa njia hii:
Sawa / MK = cos 45
Wacha tutumie jedwali la maadili ya kazi za trigonometri na badilisha maadili inayojulikana.

Sawa / MK = -2 / 2

Wacha tuzingalie kuwa OK ni sawa na eneo la duara lililoandikwa. Basi
Sawa = -3 / 6 a
Sawa = -3 / 6 * 6 / √3 = 1

Basi
Sawa / MK = -2 / 2
1 / MK = -2 / 2
MK = 2 / -2

Eneo la uso wa upande basi ni sawa na nusu ya bidhaa ya urefu na msingi wa pembetatu.
Upande = 1/2 (6 / -3) (2 / √2) = 6 / -6

Kwa hivyo, jumla ya eneo la piramidi itakuwa sawa na
S = 3√3 + 3 * 6 / -6
S = 3√3 + 18 / -6

Jibu: 3√3 + 18/√6

Kazi 2... Pata eneo la uso wa piramidi ya kawaida

Uamuzi.

Kwa kuwa msingi wa piramidi ya kawaida ya pembetatu ni pembetatu ya usawa, AO ni eneo la duara iliyozungukwa kuzunguka msingi.
(Hii inafuata kutoka)

Radi ya duara iliyozungukwa karibu na pembetatu ya usawa inapatikana kutoka kwa mali yake

Ambapo urefu wa kingo za piramidi ya kawaida ya pembetatu itakuwa sawa na:
AM 2 = MO 2 + AO 2
urefu wa piramidi unajulikana na hali (10 cm), AO = 16√3 / 3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Kila upande wa piramidi ni pembetatu ya isosceles. Tunapata eneo la pembetatu ya isosceles kutoka kwa fomula ya kwanza iliyowasilishwa hapa chini

S = 1/2 * 16 sqrt ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
S = 8 sqrt ((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Kwa kuwa nyuso zote tatu za piramidi ya kawaida ni sawa, eneo la uso wa usawa litakuwa sawa na
3S = 48 √ (91/3)

Jibu: 48 √(91/3)

Shida ya 3. Pata jumla ya eneo la piramidi ya kawaida

Upande wa piramidi ya pembetatu ya kawaida ni 3 cm na pembe kati ya uso wa upande na msingi wa piramidi ni digrii 45. Pata eneo la jumla la piramidi.

Uamuzi.
Kwa kuwa piramidi ni ya kawaida, pembetatu ya usawa iko kwenye msingi wake. Kwa hivyo, eneo la msingi ni


Kwa hivyo = 9 * -3 / 4

Ili kupata eneo la uso wa upande, tunahesabu urefu wa KM. Pembe ya OKM ni digrii 45 kulingana na taarifa ya shida.
Kwa njia hii:
Sawa / MK = cos 45
Tutatumia