Sifa za maendeleo fupi ya hesabu yenye tofauti 9. Uendelezaji wa hesabu

Matatizo ya maendeleo ya hesabu yalikuwepo tayari katika nyakati za kale. Walijitokeza na kudai suluhu kwa sababu walikuwa na hitaji la vitendo.

Kwa hiyo, katika moja ya papyri ya Misri ya Kale, ambayo ina maudhui ya hisabati - papyrus ya Rhind (karne ya XIX KK) - ina shida ifuatayo: kugawanya vipimo kumi vya mkate katika watu kumi, mradi tofauti kati ya kila mmoja wao ni moja. - ya nane ya kipimo."

Na katika kazi za hisabati za Wagiriki wa kale, kuna nadharia za kifahari zinazohusiana na maendeleo ya hesabu. Kwa hivyo, Hypsicles of Alexandria (karne ya II, ambaye aliunda shida nyingi za kupendeza na kuongeza kitabu cha kumi na nne kwa "Kanuni" za Euclid, alitunga wazo: "Katika maendeleo ya hesabu na idadi sawa ya washiriki, jumla ya washiriki wa pili. nusu ni kubwa kuliko jumla ya wanachama wa nusu ya kwanza kwa kila mraba 1/2 idadi ya wanachama ".

Mlolongo unaonyeshwa na. Nambari za mlolongo huitwa washiriki wake na kawaida huonyeshwa kwa herufi zilizo na fahirisi zinazoonyesha nambari ya kawaida ya mshiriki huyu (a1, a2, a3 ... soma: "wa 1", "wa 2", "wa 3" na kadhalika).

Mlolongo unaweza kuwa usio na mwisho au wa mwisho.

Ni nini maendeleo ya hesabu? Inaeleweka kama ile iliyopatikana kwa kuongeza neno la awali (n) na nambari sawa d, ambayo ni tofauti ya kuendelea.

Ikiwa d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, basi mwendelezo huu unachukuliwa kuwa unapanda.

Uendelezaji wa hesabu huitwa finite ikiwa ni wachache tu wa wanachama wake wa kwanza watazingatiwa. Kwa idadi kubwa sana ya wanachama, hii tayari ni maendeleo yasiyo na mwisho.

Maendeleo yoyote ya hesabu yanabainishwa na fomula ifuatayo:

an = kn + b, huku b na k ni baadhi ya nambari.

Taarifa iliyo kinyume ni kweli kabisa: ikiwa mlolongo unatolewa na fomula inayofanana, basi ni maendeleo ya hesabu ambayo yana sifa zifuatazo:

1. Kila mwanachama wa maendeleo ni maana ya hesabu ya mwanachama uliopita na ijayo.
2. Kinyume chake: ikiwa, kuanzia 2, kila neno ni maana ya hesabu ya muda uliopita na ijayo, i.e. ikiwa hali hiyo imefikiwa, basi mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu. Usawa huu pia ni ishara ya maendeleo, kwa hivyo kawaida huitwa sifa ya maendeleo.
   Vivyo hivyo, nadharia inayoakisi mali hii ni kweli: mlolongo ni mwendelezo wa hesabu ikiwa tu usawa huu ni wa kweli kwa washiriki wowote wa mlolongo, kuanzia ya 2.

Sifa ya tabia ya nambari zozote nne za maendeleo ya hesabu inaweza kuonyeshwa kwa fomula a + am = ak + al, ikiwa n + m = k + l (m, n, k ni nambari za mwendelezo).

Katika maendeleo ya hesabu, neno lolote la lazima (Nth) linaweza kupatikana kwa kutumia fomula ifuatayo:

Kwa mfano: muda wa kwanza (a1) katika maendeleo ya hesabu hutolewa na sawa na tatu, na tofauti (d) ni sawa na nne. Unahitaji kupata muhula wa arobaini na tano wa maendeleo haya. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Fomula a = ak + d (n - k) hukuruhusu kubainisha muhula wa nth wa kuendelea kwa hesabu kupitia muhula wake wowote wa kth, mradi tu inajulikana.

Jumla ya washiriki wa maendeleo ya hesabu (maana ya washiriki wa 1 wa mwendelezo wa mwisho) huhesabiwa kama ifuatavyo:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Ikiwa neno la 1 pia linajulikana, basi formula nyingine ni rahisi kwa hesabu:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Jumla ya maendeleo ya hesabu ambayo ina wanachama wa n huhesabiwa kama ifuatavyo:

Uchaguzi wa fomula kwa mahesabu inategemea hali ya shida na data ya awali.

Msururu wa asili wa nambari zozote, kama vile 1,2,3, ..., n, ..., ni mfano rahisi zaidi wa maendeleo ya hesabu.

Mbali na maendeleo ya hesabu, pia kuna moja ya kijiometri, ambayo ina mali na sifa zake.

Ikiwa kila nambari ya asili n linganisha nambari halisi n kisha wanasema kuwa imetolewa mlolongo wa nambari :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , n , . . . .

Kwa hivyo, mlolongo wa nambari ni kazi ya hoja ya asili.

Nambari a 1 zinaitwa mwanachama wa kwanza wa mlolongo , nambari a 2 — muhula wa pili , nambari a 3 — cha tatu na kadhalika. Nambari n zinaitwa muhula wa nth wa mlolongo , na nambari ya asili n — namba yake .

Ya wanachama wawili wa jirani n na n +1 mlolongo mwanachama n +1 zinaitwa baadae (kuelekea n ), a n — uliopita (kuelekea n +1 ).

Ili kutaja mlolongo, lazima ueleze njia ambayo inakuwezesha kupata mwanachama wa mlolongo na nambari yoyote.

Mara nyingi mlolongo hutolewa na fomula za muhula wa nth , yaani, formula ambayo inakuwezesha kuamua mwanachama wa mlolongo kwa nambari yake.

Kwa mfano,

mlolongo wa nambari chanya isiyo ya kawaida inaweza kubainishwa na fomula

n= 2n - 1,

na mlolongo wa kupishana 1 na -1 - kwa formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Mlolongo unaweza kuamua fomula ya kujirudia, yaani, fomula inayoonyesha mshiriki yeyote wa mfuatano huo, kuanzia na baadhi, kupitia washiriki waliotangulia (mmoja au zaidi).

Kwa mfano,

kama a 1 = 1 , a n +1 = n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kama a 1= 1, a 2 = 1, n +2 = n + n +1 , basi washiriki saba wa kwanza wa mlolongo wa nambari huwekwa kama ifuatavyo:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Mlolongo unaweza kuwa mwisho na isiyo na mwisho .

Mlolongo unaitwa mwisho ikiwa ina idadi maalum ya wanachama. Mlolongo unaitwa isiyo na mwisho ikiwa ina wanachama wengi sana.

Kwa mfano,

mlolongo wa nambari za asili za tarakimu mbili:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

mwisho.

Mlolongo wa primes:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

isiyo na mwisho. ◄

Mlolongo unaitwa kuongezeka ikiwa kila mmoja wa wanachama wake, kuanzia wa pili, ni mkubwa kuliko wa awali.

Mlolongo unaitwa kupungua ikiwa kila mmoja wa wanachama wake, kuanzia wa pili, ni chini ya uliopita.

Kwa mfano,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - kuongezeka kwa mlolongo;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - mlolongo wa kushuka. ◄

Mlolongo ambao vipengele vyake havipunguki kwa idadi inayoongezeka, au, kinyume chake, haizidi, inaitwa mlolongo wa monotonous .

Mfuatano wa monotoniki, haswa, ni mfuatano wa kupanda na mfuatano wa kushuka.

Maendeleo ya hesabu

Maendeleo ya hesabu mlolongo unaitwa, kila mwanachama ambaye, kuanzia na pili, ni sawa na uliopita, ambayo idadi sawa huongezwa.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , n, . . .

ni mwendelezo wa hesabu ikiwa kwa nambari yoyote asilia n hali imefikiwa:

n +1 = n + d,

wapi d - nambari fulani.

Kwa hivyo, tofauti kati ya washiriki wafuatayo na wa awali wa maendeleo fulani ya hesabu huwa kila wakati:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = n +1 - n = d.

Nambari d zinaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu.

Kuweka maendeleo ya hesabu, inatosha kuonyesha muda wake wa kwanza na tofauti.

Kwa mfano,

kama a 1 = 3, d = 4 , basi washiriki watano wa kwanza wa mlolongo hupatikana kama ifuatavyo:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Kwa maendeleo ya hesabu na muhula wa kwanza a 1 na tofauti d yake n

n = a 1 + (n- 1)d.

Kwa mfano,

pata muhula wa thelathini wa maendeleo ya hesabu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

ya 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

n= a 1 + (n- 1)d,

n +1 = a 1 + nd,

basi ni wazi

kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na maana ya hesabu ya wanachama wa awali na wanaofuata.

nambari a, b na c ni washiriki wanaofuatana wa maendeleo fulani ya hesabu ikiwa na iwapo moja kati yao ni sawa na wastani wa hesabu wa hizo nyingine mbili.

Kwa mfano,

n = 2n- 7 , ni maendeleo ya hesabu.

Hebu tumia kauli hiyo hapo juu. Tuna:

n = 2n- 7,

n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

Kwa hivyo,

◄

Kumbuka hilo n Muda wa -th wa maendeleo ya hesabu unaweza kupatikana sio tu kupitia a 1 , lakini pia yoyote ya awali a k

n = a k + (n- k)d.

Kwa mfano,

kwa a 5 inaweza kuandikwa

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

n = n-k + kd,

n = a n + k - kd,

basi ni wazi

mwanachama yeyote wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na nusu ya jumla ya wanachama wa maendeleo haya ya hesabu kwa usawa kutoka kwayo.

Kwa kuongeza, kwa maendeleo yoyote ya hesabu, usawa ni kweli:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Kwa mfano,

katika maendeleo ya hesabu

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = ya 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ya 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 na 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kwa sababu

a 2 + na 12= 4 + 34 = 38,

ya 5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ n,

ya kwanza n wanachama wa maendeleo ya hesabu ni sawa na bidhaa ya nusu-jumla ya maneno uliokithiri kwa idadi ya maneno:

Kwa hivyo, haswa, inafuata kwamba ikiwa ni muhimu kujumlisha masharti

a k, a k +1 , . . . , n,

basi formula iliyotangulia inabaki na muundo wake:

Kwa mfano,

katika maendeleo ya hesabu 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ikiwa maendeleo ya hesabu yanatolewa, basi maadili a 1 , n, d, n naS n imeunganishwa na fomula mbili:

Kwa hivyo, ikiwa maadili ya tatu ya kiasi hiki yamepewa, basi maadili yanayolingana ya idadi nyingine mbili imedhamiriwa kutoka kwa fomula hizi, pamoja na mfumo wa equations mbili na mbili zisizojulikana.

Maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa monotonic. Ambapo:

• kama d > 0 , basi inaongezeka;
• kama d < 0 , basi inapungua;
• kama d = 0 , basi mlolongo utakuwa wa stationary.

Maendeleo ya kijiometri

Maendeleo ya kijiometri mlolongo unaitwa, kila mwanachama ambayo, kuanzia na ya pili, ni sawa na uliopita, imeongezeka kwa idadi sawa.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ni maendeleo ya kijiometri ikiwa kwa nambari yoyote asilia n hali imefikiwa:

b n +1 = b n · q,

wapi q ≠ 0 - nambari fulani.

Kwa hivyo, uwiano wa mshiriki anayefuata wa maendeleo fulani ya kijiometri kwa ya awali ni nambari ya mara kwa mara:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nambari q zinaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Kuweka maendeleo ya kijiometri, inatosha kuonyesha muda wake wa kwanza na denominator.

Kwa mfano,

kama b 1 = 1, q = -3 , basi washiriki watano wa kwanza wa mlolongo hupatikana kama ifuatavyo:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 na dhehebu q yake n Neno la th linaweza kupatikana kwa formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Kwa mfano,

pata muhula wa saba wa maendeleo ya kijiometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

basi ni wazi

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kila mwanachama wa maendeleo ya kijiometri, kuanzia pili, ni sawa na maana ya kijiometri (sawia) ya wanachama waliotangulia na wanaofuata.

Kwa kuwa taarifa ya mazungumzo pia ni kweli, taarifa ifuatayo inashikilia:

nambari a, b na c ni washiriki wanaofuatana wa maendeleo fulani ya kijiometri ikiwa tu ikiwa mraba wa moja wapo ni sawa na bidhaa ya zingine mbili, ambayo ni, moja ya nambari ni maana ya kijiometri ya zingine mbili.

Kwa mfano,

tuthibitishe kwamba mlolongo uliotolewa na fomula b n= -3 2 n , ni mwendelezo wa kielelezo. Hebu tumia kauli hiyo hapo juu. Tuna:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kwa hivyo,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ambayo inathibitisha taarifa inayotakiwa. ◄

Kumbuka hilo n Muda wa -th ya maendeleo ya kijiometri inaweza kupatikana sio tu kupitia b 1 , lakini pia muhula wowote uliopita b k , ambayo inatosha kutumia formula

b n = b k · q n - k.

Kwa mfano,

kwa b 5 inaweza kuandikwa

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

basi ni wazi

b n 2 = b n - k· b n + k

mraba wa mwanachama yeyote wa maendeleo ya kijiometri, kuanzia ya pili, ni sawa na bidhaa ya wanachama wa usawa huu wa maendeleo kutoka kwake.

Kwa kuongeza, kwa maendeleo yoyote ya kijiometri, usawa ni kweli:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Kwa mfano,

kwa kasi

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kwa sababu

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ya kwanza n wanachama wa maendeleo ya kijiometri na denominator q ≠ 0 imehesabiwa kwa formula:

Na lini q = 1 - kulingana na formula

S n= nb 1

Kumbuka kwamba ikiwa unahitaji kujumlisha masharti

b k, b k +1 , . . . , b n,

basi formula inatumika:

Kwa mfano,

kwa kasi 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ikiwa maendeleo ya kijiometri hutolewa, basi maadili b 1 , b n, q, n na S n imeunganishwa na fomula mbili:

Kwa hivyo, ikiwa maadili ya yoyote matatu ya idadi hii yamepewa, basi maadili yanayolingana ya viwango vingine viwili huamuliwa kutoka kwa fomula hizi, pamoja na kuwa mfumo wa hesabu mbili na mbili zisizojulikana.

Kwa maendeleo ya kijiometri na muhula wa kwanza b 1 na dhehebu q zifwatazo sifa za monotonicity :

• maendeleo yanapanda ikiwa moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:

b 1 > 0 na q> 1;

b 1 < 0 na 0 < q< 1;

• maendeleo yanapungua ikiwa mojawapo ya masharti yafuatayo yamefikiwa:

b 1 > 0 na 0 < q< 1;

b 1 < 0 na q> 1.

Kama q< 0 , basi maendeleo ya kijiometri yanabadilishana: wanachama wake wenye nambari isiyo ya kawaida wana ishara sawa na muda wake wa kwanza, na masharti ya nambari hata yana ishara kinyume. Ni wazi kwamba maendeleo ya kijiometri mbadala sio monotonic.

Kazi ya kwanza n wanachama wa maendeleo ya kijiometri wanaweza kuhesabiwa na formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Kwa mfano,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kupungua kwa kasi kwa maendeleo ya kijiometri

Uendelezaji wa kijiometri unaopungua sana inaitwa maendeleo ya kijiometri usio na kipimo, moduli ya denominator ambayo ni chini 1 , hiyo ni

|q| < 1 .

Kumbuka kuwa uendelezaji wa kijiometri unaopungua sana hauwezi kuwa mlolongo unaopungua. Hii inafaa kesi

1 < q< 0 .

Kwa dhehebu kama hilo, mlolongo unabadilika. Kwa mfano,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana ni nambari ambayo jumla ya ya kwanza n wanachama wa mwendelezo na ongezeko lisilo na kikomo la idadi n ... Nambari hii daima ni ya mwisho na inaonyeshwa na fomula

Kwa mfano,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Uhusiano kati ya maendeleo ya hesabu na kijiometri

Maendeleo ya hesabu na kijiometri yanahusiana kwa karibu. Hebu tuangalie mifano miwili tu.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , basi

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Kwa mfano,

1, 3, 5, . . . - maendeleo ya hesabu na tofauti 2 na

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator q , basi

logi a b1, logi a b2, logi a b3, . . . - maendeleo ya hesabu na tofauti logi aq .

Kwa mfano,

2, 12, 72, . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator 6 na

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - maendeleo ya hesabu na tofauti lg 6 . ◄

Aina ya somo: kujifunza nyenzo mpya.

Malengo ya somo:

• upanuzi na undani wa mawazo ya wanafunzi kuhusu matatizo yaliyotatuliwa kwa kutumia maendeleo ya hesabu; shirika la shughuli ya utafutaji ya wanafunzi wakati wa kupata fomula ya jumla ya wanachama wa kwanza wa maendeleo ya hesabu;
• maendeleo ya ujuzi wa kujitegemea kupata ujuzi mpya, kutumia ujuzi uliopatikana tayari kufikia kazi iliyowekwa;
• maendeleo ya tamaa na haja ya kujumlisha ukweli uliopatikana, maendeleo ya uhuru.

Kazi:

• kujumlisha na kupanga maarifa yaliyopo juu ya mada "Maendeleo ya hesabu";
• pata fomula za kukokotoa jumla ya istilahi za kwanza n za mwendelezo wa hesabu;
• kufundisha jinsi ya kutumia kanuni zilizopatikana katika kutatua matatizo mbalimbali;
• kuteka umakini wa wanafunzi kwa mpangilio wa vitendo wakati wa kupata thamani ya usemi wa nambari.

Vifaa:

• kadi zilizo na kazi za kufanya kazi katika vikundi na jozi;
• karatasi ya tathmini;
• uwasilishaji"Maendeleo ya hesabu".

I. Kusasisha maarifa ya kimsingi.

1. Kazi ya kujitegemea kwa jozi.

Chaguo la 1:

Toa ufafanuzi wa maendeleo ya hesabu. Andika fomula inayojirudia ambayo inafafanua maendeleo ya hesabu. Hujambo mfano wa maendeleo ya hesabu na onyesha tofauti yake.

Chaguo la 2:

Andika fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu. Tafuta muhula wa 100 wa maendeleo ya hesabu ( n}: 2, 5, 8 …
Kwa wakati huu, wanafunzi wawili walio nyuma ya ubao hutayarisha majibu kwa maswali sawa.
Wanafunzi hutathmini kazi ya mshirika dhidi ya bodi. (Karatasi za majibu zinakabidhiwa).

2. Wakati wa mchezo.

Zoezi 1.

Mwalimu. Ninakumbuka maendeleo ya hesabu. Niulize tu maswali mawili ili baada ya majibu uweze kutaja haraka muhula wa 7 wa mwendelezo huu. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Maswali ya wanafunzi.

1. Je, muhula wa sita katika mwendelezo ni upi na ni tofauti gani?
2. Je, muhula wa nane katika mwendelezo ni upi na ni tofauti gani?

Ikiwa hakuna maswali zaidi, basi mwalimu anaweza kuwachochea - "marufuku" kwa d (tofauti), ambayo ni, hairuhusiwi kuuliza ni tofauti gani. Unaweza kuuliza maswali: ni muda gani wa 6 wa maendeleo na ni muda gani wa 8 wa maendeleo?

Jukumu la 2.

Kuna nambari 20 zilizoandikwa kwenye ubao: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Mwalimu anasimama na mgongo wake ubaoni. Wanafunzi huita nambari ya nambari, na mwalimu huita nambari yenyewe mara moja. Eleza jinsi ninavyofanya?

Mwalimu anakumbuka fomula ya muhula wa nth n = 3n - 2 na, kubadilisha maadili yaliyotolewa ya n, hupata maadili yanayolingana n.

II. Taarifa ya tatizo la elimu.

Ninapendekeza kusuluhisha shida ya zamani ya milenia ya 2 KK, inayopatikana katika papyri za Wamisri.

Kazi:"Hebu na mwambiwe: gawanya vipimo 10 vya shayiri kati ya watu 10, tofauti kati ya kila mtu na jirani yake ni sawa na 1/8 ya kipimo."

• Je, kazi hii inahusiana vipi na mada ya maendeleo ya hesabu? (Kila anayefuata anapata 1/8 ya kipimo zaidi, ambayo inamaanisha tofauti d = 1/8, watu 10, ambayo inamaanisha n = 10.)
• Unafikiri nambari 10 inamaanisha nini? (Jumla ya wanachama wote wa mwendelezo.)
• Nini kingine unahitaji kujua ili iwe rahisi na rahisi kugawanya shayiri kulingana na hali ya kazi? (Muhula wa kwanza katika mwendelezo.)

Lengo la somo- kupata utegemezi wa jumla ya washiriki wa maendeleo kwa idadi yao, muhula wa kwanza na tofauti, na kuangalia ikiwa shida ilitatuliwa kwa usahihi hapo zamani.

Kabla ya kuteka hitimisho la formula, hebu tuone jinsi Wamisri wa kale walivyotatua tatizo hilo.

Na walitatua kama ifuatavyo:

1) hatua 10: 10 = kipimo 1 - sehemu ya wastani;
2) 1 kipimo ∙ = 2 hatua - mara mbili wastani shiriki.
Imeongezwa maradufu wastani sehemu ni jumla ya hisa za watu wa 5 na wa 6.
3) 2 hatua - 1/8 hatua = 1 7/8 hatua - mara mbili sehemu ya mtu wa tano.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - sehemu ya tano; na kadhalika, unaweza kupata sehemu ya kila mtu aliyetangulia na anayefuata.

Tunapata mlolongo:

III. Suluhisho la tatizo.

1. Kufanya kazi kwa vikundi

Kundi la I: Pata jumla ya nambari asilia 20 mfululizo: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Kwa ujumla

Kikundi cha II: Pata jumla ya nambari za asili kutoka 1 hadi 100 (Hadithi ya Gauss Kidogo).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Hitimisho:

Kikundi cha III: Pata jumla ya nambari asilia kutoka 1 hadi 21.

Suluhisho: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Hitimisho:

Kikundi cha IV: Pata jumla ya nambari asilia kutoka 1 hadi 101.

Hitimisho:

Njia hii ya kutatua shida zinazozingatiwa inaitwa "Njia ya Gauss".

2. Kila kundi liwasilishe suluhu la tatizo ubaoni.

3. Ujumla wa suluhu zinazopendekezwa kwa ajili ya kuendelea kwa hesabu kiholela:

a 1, a 2, a 3, ..., n-2, n-1, n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Wacha tupate jumla hii kwa hoja kwa njia sawa:

4. Je, tumetatua kazi iliyopo?(Ndiyo.)

IV. Uelewa wa kimsingi na matumizi ya fomula zilizopatikana katika kutatua shida.

1. Kuangalia suluhisho la tatizo la zamani kwa kutumia fomula.

2. Utumiaji wa fomula katika kutatua matatizo mbalimbali.

3. Mazoezi ya kuunda uwezo wa kutumia fomula wakati wa kutatua matatizo.

A) Nambari 613

Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tafuta: S 1500

Suluhisho: , 1 = 1, 1500 = 1500,

B) Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;
(a): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tafuta: n
Suluhisho:

V. Kazi ya kujitegemea yenye uthibitishaji wa pande zote.

Denis alienda kufanya kazi kama mjumbe. Katika mwezi wa kwanza, mshahara wake ulikuwa rubles 200, katika kila mwezi uliofuata uliongezeka kwa rubles 30. Alipata kiasi gani kwa mwaka?

Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Tafuta: S 12
Suluhisho:

Jibu: Denis alipokea rubles 4380 kwa mwaka.

Vi. Muhtasari wa kazi ya nyumbani.

1. uk 4.3 - kujifunza derivation ya formula.
2. №№ 585, 623 .
3. Unda tatizo ambalo lingetatuliwa kwa kutumia fomula ya jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya hesabu.

Vii. Kwa muhtasari wa somo.

1. Karatasi ya tathmini

2. Endelea sentensi

• Leo katika somo nililojifunza ...
• Fomula ulizojifunza...
• Nadhani kwamba…

3. Je, unaweza kupata jumla ya nambari kutoka 1 hadi 500? Je, utatumia njia gani kutatua tatizo hili?

Bibliografia.

1. Algebra, daraja la 9. Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu. Mh. G.V. Dorofeeva. M.: "Elimu", 2009.

I. V. Yakovlev | Nyenzo za Hisabati | MathUs.ru

Maendeleo ya hesabu

Maendeleo ya hesabu ni aina maalum ya mlolongo. Kwa hiyo, kabla ya kufafanua maendeleo ya hesabu (na kisha kijiometri), tunahitaji kujadili kwa ufupi dhana muhimu ya mlolongo wa nambari.

Mfuatano

Hebu fikiria kifaa kwenye skrini ambacho baadhi ya nambari zinaonyeshwa moja baada ya nyingine. Tuseme 2; 7; kumi na tatu; moja; 6; 0; 3; ::: Seti hii ya nambari ni mfano tu wa mfuatano.

Ufafanuzi. Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari ambazo kila nambari inaweza kugawiwa nambari ya kipekee (yaani, kuhusisha nambari moja asilia) 1. Nambari n inaitwa mwanachama wa nth wa mlolongo.

Kwa hiyo, katika mfano hapo juu, nambari ya kwanza ina namba 2, hii ni mwanachama wa kwanza wa mlolongo, ambayo inaweza kuashiria a1; nambari tano ina nambari 6 hii ni muhula wa tano katika mlolongo, ambao unaweza kuashiria a5. Kwa ujumla, neno la nth katika mlolongo linaashiria (au bn, cn, nk).

Hali ni rahisi sana wakati neno la n-th la mlolongo linaweza kutajwa na fomula fulani. Kwa mfano, formula = 2n 3 inafafanua mlolongo: 1; moja; 3; 5; 7; ::: Formula an = (1) n inafafanua mfuatano: 1; moja; moja; moja; :::

Sio kila seti ya nambari ni mlolongo. Kwa hivyo, sehemu sio mlolongo; ina nambari "nyingi" za kuhesabiwa upya. Seti ya R ya nambari zote halisi pia sio mlolongo. Mambo haya yanathibitishwa wakati wa uchambuzi wa hisabati.

Maendeleo ya hesabu: ufafanuzi wa kimsingi

Sasa tuko tayari kufafanua maendeleo ya hesabu.

Ufafanuzi. Kuendelea kwa hesabu ni mlolongo, kila neno ambalo (kuanzia pili) ni sawa na jumla ya muda uliopita na idadi fulani ya kudumu (inayoitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu).

Kwa mfano, mlolongo wa 2; 5; nane; kumi na moja; ::: ni mwendelezo wa hesabu na muhula wa 2 wa kwanza na tofauti 3. Mfuatano wa 7; 2; 3; nane; ::: ni mwendelezo wa hesabu na muhula wa 7 wa kwanza na tofauti 5. Mfuatano wa 3; 3; 3; ::: ni mwendelezo wa hesabu na tofauti sifuri.

Ufafanuzi sawa: mfuatano an unaitwa kuendelea kwa hesabu ikiwa tofauti ya + 1 an ni thamani ya mara kwa mara (inayojitegemea ya n).

Ukuaji wa hesabu huitwa kuongezeka ikiwa tofauti yake ni chanya, na kupungua ikiwa tofauti yake ni hasi.

1 Na hapa kuna ufafanuzi zaidi wa lakoni: mlolongo ni kazi iliyoelezwa kwenye seti ya nambari za asili. Kwa mfano, mlolongo wa nambari halisi ni kazi f: N! R.

Kwa chaguo-msingi, mlolongo unachukuliwa kuwa usio na mwisho, yaani, una idadi isiyo na kikomo ya nambari. Lakini hakuna anayejisumbua kuzingatia mifuatano yenye kikomo vile vile; kwa kweli, seti yoyote ya mwisho ya nambari inaweza kuitwa mlolongo wa mwisho. Kwa mfano, mlolongo wa mwisho ni 1; 2; 3; 4; 5 inajumuisha nambari tano.

Mfumo wa muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu

Ni rahisi kuelewa kwamba maendeleo ya hesabu imedhamiriwa kabisa na nambari mbili: muda wa kwanza na tofauti. Kwa hiyo, swali linatokea: jinsi gani, kujua muda wa kwanza na tofauti, kupata mwanachama wa kiholela wa maendeleo ya hesabu?

Si vigumu kupata fomula inayohitajika kwa muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu. Acha a

Tatizo 1. Katika maendeleo ya hesabu 2; 5; nane; kumi na moja; ::: tafuta fomula ya muhula wa nth na ukokote muhula wa mia.

Suluhisho. Kulingana na fomula (1), tunayo:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Mali na ishara ya maendeleo ya hesabu

Mali ya maendeleo ya hesabu. Katika maendeleo ya hesabu kwa yoyote

Kwa maneno mengine, kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu (kuanzia pili) ni maana ya hesabu ya wanachama wa jirani.

kama inavyotakiwa.

Kwa ujumla zaidi, maendeleo ya hesabu a yanakidhi usawa

a n = a n k + a n + k

kwa yoyote n> 2 na k yoyote asilia< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Inatokea kwamba formula (2) sio tu ya lazima, lakini pia hali ya kutosha kwa mlolongo kuwa maendeleo ya hesabu.

Ishara ya maendeleo ya hesabu. Ikiwa usawa (2) unashikilia kwa zote n> 2, basi mfuatano an ni mwendelezo wa hesabu.

Ushahidi. Wacha tuandike tena fomula (2) kama ifuatavyo:

a na n 1 = a n + 1a n:

Hii inaonyesha kuwa tofauti ya + 1 na haitegemei n, na hii inamaanisha kuwa mlolongo an ni mwendelezo wa hesabu.

Sifa na hulka ya maendeleo ya hesabu inaweza kutengenezwa kama taarifa moja; Kwa urahisi, tutafanya hivyo kwa namba tatu (hii ndiyo hali ambayo mara nyingi hutokea katika matatizo).

Tabia ya maendeleo ya hesabu. Nambari tatu a, b, c huunda mwendelezo wa hesabu ikiwa tu 2b = a + c.

Tatizo 2. (Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow, Kitivo cha Uchumi, 2007) Nambari tatu 8x, 3 x2 na 4 katika utaratibu ulioonyeshwa huunda maendeleo ya hesabu ya kupungua. Tafuta x na uonyeshe tofauti ya mwendelezo huu.

Suluhisho. Kwa mali ya maendeleo ya hesabu, tunayo:

2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ikiwa x = 1, basi tunapata maendeleo ya kupungua 8, 2, 4 na tofauti 6. Ikiwa x = 5, basi tunapata maendeleo ya kuongezeka 40, 22, 4; kesi hii haitafanya kazi.

Jibu: x = 1, tofauti ni 6.

Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu

Hadithi zinasema kwamba siku moja mwalimu aliwaambia watoto watafute jumla ya nambari kutoka 1 hadi 100 na akaketi kusoma gazeti kwa utulivu. Hata hivyo, chini ya dakika chache baadaye, mvulana mmoja alisema kwamba alikuwa ametatua tatizo hilo. Alikuwa Karl Friedrich Gauss mwenye umri wa miaka 9, baadaye mmoja wa wanahisabati wakubwa katika historia.

Wazo la Gauss mdogo lilikuwa hivi. Hebu

S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:

Wacha tuandike kiasi hiki kwa mpangilio wa nyuma:

S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;

na ongeza fomula hizi mbili:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Kila neno kwenye mabano ni sawa na 101, na kuna istilahi kama hizo 100 kwa jumla.

2S = 101 100 = 10100;

Tunatumia wazo hili kupata fomula ya jumla

S = a1 + a2 +::: + an + a n: (3)

Marekebisho muhimu ya fomula (3) hupatikana kwa kubadilisha fomula ya neno la nth = a1 + (n 1) d ndani yake:

Tatizo la 3. Tafuta jumla ya nambari zote chanya za tarakimu tatu zinazogawanywa kwa 13.

Suluhisho. Nambari za tarakimu tatu zinazogawanywa na 13 huunda mwendelezo wa hesabu na muhula wa kwanza 104 na tofauti 13; Awamu ya nne ya maendeleo haya ni:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Wacha tujue ni wanachama wangapi katika maendeleo yetu. Ili kufanya hivyo, tunatatua ukosefu wa usawa:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Kwa hivyo, kuna wanachama 69 katika maendeleo yetu. Kwa kutumia formula (4), tunapata jumla inayohitajika:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao ni "sawa ...")

Ukuaji wa hesabu ni msururu wa nambari ambapo kila nambari ni kubwa (au chini) kuliko ile ya awali kwa kiwango sawa.

Mada hii mara nyingi ni ngumu na haieleweki. Fahirisi za herufi, muhula wa n-th wa maendeleo, tofauti katika maendeleo - yote haya kwa namna fulani yanachanganya, ndiyo ... Wacha tujue maana ya maendeleo ya hesabu na kila kitu kitafanya kazi mara moja.)

Dhana ya maendeleo ya hesabu.

Kuendelea kwa hesabu ni dhana rahisi sana na iliyo wazi. Shaka? Kwa bure.) Jionee mwenyewe.

Nitaandika safu ambazo hazijakamilika:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Je, unaweza kupanua safu mlalo hii? Ni nambari gani zitafuata, baada ya zile tano? Kila mtu ... uh-uh ..., kwa kifupi, kila mtu atatambua kwamba namba 6, 7, 8, 9, nk zitaenda zaidi.

Wacha tufanye kazi ngumu. Ninatoa safu ambayo haijakamilika ya nambari:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Utaweza kupata muundo, kupanua mfululizo, na jina ya saba nambari ya safu?

Ikiwa umegundua kuwa nambari hii ni 20 - nakupongeza! Sio tu ulihisi pointi kuu za maendeleo ya hesabu, lakini pia kuzitumia kwa mafanikio katika biashara! Ikiwa haujaelewa, endelea.

Sasa hebu tutafsiri mambo muhimu kutoka kwa hisia hadi hisabati.)

Jambo kuu la kwanza.

Ukuaji wa hesabu huhusika na mfululizo wa nambari. Hii inachanganya mwanzoni. Tumezoea kusuluhisha hesabu, kupanga njama na yote ... Na kisha kupanua safu, pata nambari ya safu ...

Hakuna kitu kibaya. Ni kwamba maendeleo ni kufahamiana kwa kwanza na tawi jipya la hisabati. Sehemu hiyo inaitwa "Safu" na inafanya kazi na safu ya nambari na misemo. Izoee.)

Jambo kuu la pili.

Katika maendeleo ya hesabu, nambari yoyote ni tofauti na ile iliyopita kwa kiasi sawa.

Katika mfano wa kwanza, tofauti hii ni moja. Nambari yoyote unayochukua, ni moja zaidi ya ile iliyotangulia. Katika pili - tatu. Nambari yoyote kubwa kuliko ile ya awali kwa tatu. Kwa kweli, ni wakati huu ambao unatupa fursa ya kupata muundo na kuhesabu nambari zinazofuata.

Jambo kuu la tatu.

Wakati huu sio wa kushangaza, ndio ... Lakini ni muhimu sana. Hii hapa: kila nambari katika mwendelezo inasimama mahali pake. Kuna nambari ya kwanza, kuna ya saba, kuna ya arobaini na tano, nk. Ikiwa unawachanganya kwa nasibu, muundo utatoweka. Maendeleo ya hesabu pia yatatoweka. Safu ya nambari tu itabaki.

Hiyo ndiyo hoja nzima.

Kwa kweli, masharti na nyadhifa mpya zinaonekana kwenye mada mpya. Unahitaji kuwajua. Vinginevyo, huwezi kuelewa kazi. Kwa mfano, unapaswa kuamua kitu kama:

Andika masharti sita ya kwanza ya maendeleo ya hesabu (a n) ikiwa 2 = 5, d = -2.5.

Je, inahamasisha?) Barua, baadhi ya indexes ... Na kazi, kwa njia - haiwezi kuwa rahisi. Unahitaji tu kuelewa maana ya maneno na uteuzi. Sasa tutasimamia biashara hii na kurudi kwenye kazi hiyo.

Masharti na uteuzi.

Maendeleo ya hesabu ni msururu wa nambari ambamo kila nambari ni tofauti na ile iliyotangulia kwa kiasi sawa.

Kiasi hiki kinaitwa ... Wacha tushughulike na dhana hii kwa undani zaidi.

Tofauti ya maendeleo ya hesabu.

Tofauti ya maendeleo ya hesabu ni kiasi ambacho idadi yoyote ya maendeleo zaidi iliyotangulia.

Jambo moja muhimu. Tafadhali makini na neno "zaidi". Kihisabati, hii ina maana kwamba kila nambari katika maendeleo hupatikana kuongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu kwa nambari iliyopita.

Kwa hesabu, tuseme pili idadi ya mfululizo, ni muhimu ya kwanza nambari ongeza tofauti hii ya maendeleo ya hesabu. Kwa hesabu tano- tofauti ni muhimu ongeza Kwa nne, vizuri, nk.

Tofauti ya maendeleo ya hesabu labda chanya, basi kila nambari ya safu itageuka kuwa kweli zaidi ya ile iliyotangulia. Mwendelezo huu unaitwa kuongezeka. Kwa mfano:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Hapa kila nambari inapatikana kuongeza nambari chanya, +5 hadi iliyotangulia.

Tofauti inaweza kuwa hasi, basi kila nambari kwenye safu itakuwa chini ya ile ya awali. Maendeleo kama haya yanaitwa (hutaamini!) kupungua.

Kwa mfano:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Hapa kila nambari inapatikana pia kuongeza kwa nambari iliyotangulia, lakini tayari hasi, -5.

Kwa njia, wakati wa kufanya kazi na maendeleo, ni muhimu sana kuamua mara moja asili yake - ikiwa inaongezeka au inapungua. Husaidia sana kuabiri suluhu, kugundua makosa yako na kuyarekebisha kabla hatujachelewa.

Tofauti ya maendeleo ya hesabu inaashiria, kama sheria, na barua d.

Jinsi ya kupata d? Rahisi sana. Inahitajika kuondoa kutoka kwa nambari yoyote ya safu uliopita nambari. Ondoa. Kwa njia, matokeo ya kutoa huitwa "tofauti".)

Hebu tufafanue, kwa mfano, d kwa kuongeza maendeleo ya hesabu:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Tunachukua nambari yoyote ya safu tunayotaka, kwa mfano, 11. Ondoa kutoka kwake nambari iliyotangulia, hizo. nane:

Hili ndilo jibu sahihi. Kwa maendeleo haya ya hesabu, tofauti ni tatu.

Unaweza kuchukua hasa idadi yoyote ya maendeleo, tangu kwa maendeleo maalum d -daima sawa. Angalau mahali fulani mwanzoni mwa safu, angalau katikati, angalau mahali popote. Huwezi kuchukua nambari ya kwanza tu. Kwa sababu tu nambari ya kwanza hakuna iliyotangulia.)

Kwa njia, kujua hilo d = 3, ni rahisi sana kupata nambari ya saba ya maendeleo haya. Ongeza 3 kwa nambari ya tano - tunapata ya sita, itakuwa 17. Ongeza tatu hadi nambari ya sita, tunapata namba ya saba - ishirini.

Tunafafanua d kwa ukuaji unaopungua wa hesabu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ninakukumbusha kwamba, bila kujali ishara, kuamua d ni muhimu kutoka kwa nambari yoyote ondoa ile iliyotangulia. Tunachagua nambari yoyote ya maendeleo, kwa mfano -7. Uliopita ni -2. Kisha:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Tofauti ya maendeleo ya hesabu inaweza kuwa nambari yoyote: nzima, ya sehemu, isiyo na maana, chochote.

Masharti na majina mengine.

Kila nambari kwenye safu inaitwa mwanachama wa maendeleo ya hesabu.

Kila mwanachama wa maendeleo ina nambari yake mwenyewe. Nambari ziko kwa mpangilio, bila hila yoyote. Kwanza, pili, tatu, nne, nk. Kwa mfano, katika maendeleo 2, 5, 8, 11, 14, ... mbili ni muda wa kwanza, tano ni ya pili, kumi na moja ni ya nne, vizuri, unaelewa ...) Tafadhali elewa wazi - namba zenyewe inaweza kuwa yoyote, nzima, sehemu, hasi, chochote, lakini idadi ya nambari- madhubuti kwa utaratibu!

Jinsi ya kurekodi maendeleo ya jumla? Hakuna shida! Kila nambari kwenye safu imeandikwa kama herufi. Kama sheria, barua hutumiwa kuashiria maendeleo ya hesabu a... Nambari ya mwanachama inaonyeshwa na fahirisi chini kulia. Tunaandika washiriki waliotenganishwa na koma (au nusukoloni), kama hii:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1 ni namba ya kwanza, a 3- tatu, nk. Hakuna gumu. Unaweza kuandika mfululizo huu kwa ufupi kama hii: ( n).

Maendeleo ni yenye mwisho na isiyo na mwisho.

Ya mwisho maendeleo yana idadi ndogo ya wanachama. Tano, thelathini na nane, chochote kile. Lakini - idadi ya mwisho.

Isiyo na mwisho maendeleo - ina idadi isiyo na kikomo ya washiriki, kama unavyoweza kukisia.)

Unaweza kuandika mwendelezo wa mwisho kupitia mfululizo kama huu, washiriki wote na nukta mwishoni:

a 1, 2, 3, 4, 5.

Au hivyo, ikiwa kuna wanachama wengi:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Kwa ingizo fupi, itabidi uonyeshe idadi ya washiriki. Kwa mfano (kwa washiriki ishirini), kama hii:

(n), n = 20

Mwendelezo usio na mwisho unaweza kutambuliwa na ellipsis mwishoni mwa safu, kama katika mifano katika somo hili.

Sasa unaweza kutatua kazi. Kazi ni rahisi, kwa kuelewa maana ya maendeleo ya hesabu.

Mifano ya kazi juu ya maendeleo ya hesabu.

Wacha tuchambue kazi hiyo kwa undani, ambayo imepewa hapo juu:

1. Andika masharti sita ya kwanza ya maendeleo ya hesabu (a n), ikiwa 2 = 5, d = -2.5.

Tunatafsiri kazi hiyo kwa lugha inayoeleweka. Uendelezaji usio na kikomo wa hesabu hutolewa. Nambari ya pili ya maendeleo haya inajulikana: a 2 = 5. Tofauti ya maendeleo inajulikana: d = -2.5. Ni muhimu kupata wanachama wa kwanza, wa tatu, wa nne, wa tano na wa sita wa maendeleo haya.

Kwa uwazi, nitaandika mfululizo kulingana na hali ya tatizo. Mihula sita ya kwanza, ambapo muhula wa pili ni tano:

a 1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Badilisha katika kujieleza a 2 = 5 na d = -2.5... Usisahau kuhusu minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Muda wa tatu ni mdogo kuliko wa pili. Kila kitu ni mantiki. Ikiwa nambari ni kubwa kuliko ile iliyotangulia hasi thamani, basi nambari yenyewe itageuka kuwa chini ya ile iliyotangulia. Maendeleo yanapungua. Sawa, wacha tuizingatie.) Tunazingatia mshiriki wa nne wa mfululizo wetu:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Kwa hivyo, maneno kutoka kwa tatu hadi ya sita yanahesabiwa. Matokeo yake ni mfululizo kama huu:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Inabakia kupata muhula wa kwanza a 1 kulingana na sekunde inayojulikana. Hii ni hatua kwa upande mwingine, kushoto.) Kwa hiyo, tofauti ya maendeleo ya hesabu d sio lazima kuongeza a 2, a kuchukua:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Hayo ndiyo yote yaliyopo kwake. Jibu la kazi:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Njiani, nitatambua kwamba tulitatua kazi hii mara kwa mara njia. Neno hili la kutisha linamaanisha tu kutafuta mshiriki wa mwendelezo. kwa nambari iliyotangulia (iliyo karibu). Tutazingatia njia zingine za kufanya kazi na maendeleo baadaye.

Hitimisho moja muhimu linaweza kutolewa kutoka kwa kazi hii rahisi.

Kumbuka:

Ikiwa tunajua angalau neno moja na tofauti ya maendeleo ya hesabu, tunaweza kupata mwanachama yeyote wa maendeleo haya.

Unakumbuka? Hitimisho hili rahisi hukuruhusu kutatua kazi nyingi za kozi ya shule kwenye mada hii. Kazi zote zinahusu vigezo vitatu kuu: mwanachama wa maendeleo ya hesabu, tofauti ya maendeleo, idadi ya mwanachama wa maendeleo. Kila kitu.

Bila shaka, aljebra zote za awali hazijaghairiwa.) Kutokuwepo kwa usawa, milinganyo, na mambo mengine yameambatanishwa na mwendelezo. Lakini kwa maendeleo sana- kila kitu kinazunguka vigezo vitatu.

Hebu tuangalie baadhi ya kazi maarufu juu ya mada hii kama mfano.

2. Andika maendeleo ya mwisho ya hesabu kama mfululizo, ikiwa n = 5, d = 0.4, na 1 = 3.6.

Kila kitu ni rahisi hapa. Kila kitu tayari kimetolewa. Unahitaji kukumbuka jinsi washiriki wa maendeleo ya hesabu wanavyohesabiwa, kuhesabu, na kuziandika. Inashauriwa usikose maneno katika hali ya mgawo: "mwisho" na " n = 5". Isitoshe hadi uso wa samawati kabisa.) Kuna washiriki 5 (watano) pekee katika mwendelezo huu:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Inabakia kuandika jibu:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Kazi nyingine:

3. Amua ikiwa nambari 7 ni mwanachama wa maendeleo ya hesabu (a n), ikiwa a 1 = 4.1; d = 1.2.

Hmm ... Nani anajua? Jinsi ya kufafanua kitu?

Jinsi-jinsi ... Ndiyo, andika maendeleo katika mfumo wa mfululizo na uone ikiwa kutakuwa na saba huko, au la! Tunazingatia:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sasa inaonekana wazi kwamba sisi ni saba tu slipped kupitia kati ya 6.5 na 7.7! Wale saba hawakuingia kwenye safu yetu ya nambari, na, kwa hivyo, saba hawatakuwa mwanachama wa maendeleo yaliyotolewa.

Jibu ni hapana.

Na hapa kuna kazi kulingana na toleo halisi la GIA:

4. Wanachama kadhaa mfululizo wa maendeleo ya hesabu wameandikwa:

...; 15; X; 9; 6; ...

Safu imeandikwa hapa bila mwisho na mwanzo. Hakuna nambari za wanachama, hakuna tofauti d... Hakuna kitu kibaya. Ili kutatua tatizo, inatosha kuelewa maana ya maendeleo ya hesabu. Tunaangalia na kufikiria juu ya kile kinachowezekana gundua kutoka kwa mfululizo huu? Je, vigezo vitatu kuu ni vipi?

Nambari za wanachama? Hakuna nambari moja hapa.

Lakini kuna nambari tatu na - tahadhari! - neno "mfululizo" katika hali. Hii ina maana kwamba idadi ni madhubuti kwa utaratibu, bila mapungufu. Kuna mbili katika safu hii jirani nambari zinazojulikana? Ndio ninayo! Hizi ni 9 na 6. Kwa hivyo tunaweza kuhesabu tofauti ya maendeleo ya hesabu! Tunaondoa kutoka kwa sita uliopita nambari, i.e. tisa:

Yamebaki mambo madogo madogo tu. Nambari ya awali ya X ni ipi? Kumi na tano. Hii inamaanisha kuwa x inaweza kupatikana kwa urahisi kwa kuongeza rahisi. Ongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu hadi 15:

Ni hayo tu. Jibu: x = 12

Tunatatua matatizo yafuatayo sisi wenyewe. Kumbuka: matatizo haya si kuhusu fomula. Kwa ajili ya kuelewa maana ya maendeleo ya hesabu.) Tunaandika tu mfululizo wa herufi za nambari, angalia na ufikirie.

5. Pata muda wa kwanza mzuri wa maendeleo ya hesabu ikiwa 5 = -3; d = 1.1.

6. Inajulikana kuwa nambari 5.5 ni mwanachama wa maendeleo ya hesabu (a n), ambapo 1 = 1.6; d = 1.3. Bainisha nambari n ya mwanachama huyu.

7. Inajulikana kuwa katika maendeleo ya hesabu 2 = 4; a 5 = 15.1. Tafuta 3.

8. Imeandika washiriki kadhaa mfululizo wa maendeleo ya hesabu:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Tafuta neno katika mwendelezo unaoonyeshwa na herufi x.

9. Treni ilianza kusonga kutoka kituo, ikiongeza kasi yake kwa mita 30 kwa dakika. Je, kasi ya treni itakuwaje katika dakika tano? Toa jibu lako kwa km/h.

10. Inajulikana kuwa katika maendeleo ya hesabu 2 = 5; a 6 = -5. Tafuta 1.

Majibu (katika mkanganyiko): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Kila kitu kilifanyika? Ajabu! Unaweza kujua maendeleo ya hesabu kwa kiwango cha juu katika masomo yafuatayo.

Sio kila kitu kilifanyika? Hakuna shida. Katika Sehemu Maalum ya 555, kazi hizi zote zimepangwa vipande vipande.) Na, bila shaka, mbinu rahisi ya vitendo inaelezwa ambayo mara moja inaonyesha ufumbuzi wa kazi hizo kwa uwazi, kwa uwazi, kana kwamba katika kiganja cha mkono wako!

Kwa njia, katika puzzle kuhusu treni kuna matatizo mawili ambayo mara nyingi watu hujikwaa. Moja iko katika maendeleo, na ya pili ni ya kawaida kwa shida zozote za hisabati, na fizikia pia. Hii ni tafsiri ya vipimo kutoka kwa moja hadi nyingine. Ndani yake inaonyeshwa jinsi matatizo haya yanapaswa kutatuliwa.

Katika somo hili, tulichunguza maana ya msingi ya maendeleo ya hesabu na vigezo vyake kuu. Hii ni ya kutosha kutatua karibu matatizo yote juu ya mada hii. Ongeza d kwa nambari, andika mfululizo, kila kitu kitaamuliwa.

Suluhisho la vidole hufanya kazi vizuri kwa vipande vifupi sana vya safu, kama katika mifano katika somo hili. Ikiwa safu ni ndefu, mahesabu yanakuwa magumu zaidi. Kwa mfano, ikiwa katika tatizo la 9 katika swali, badilisha "dakika tano" kwenye "dakika thelathini na tano" tatizo litazidi kuwa hasira.)

Na pia kuna kazi ambazo ni rahisi kwa asili, lakini za kushangaza katika suala la mahesabu, kwa mfano:

Unapewa maendeleo ya hesabu (a n). Tafuta 121 ikiwa 1 = 3 na d = 1/6.

Na nini, tutaongeza nyingi, mara nyingi kwa 1/6?! Unaweza kuua!?

Unaweza.) Ikiwa hujui formula rahisi ambayo kazi hizo zinaweza kutatuliwa kwa dakika. Fomula hii itakuwa katika somo linalofuata. Na tatizo hili linatatuliwa hapo. Katika dakika.)

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Jaribio la uthibitishaji wa papo hapo. Kujifunza - kwa riba!)

unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.