Njia anuwai zinaweza kutumika kuamua eneo la pembetatu. Kati ya njia zote, rahisi na inayotumiwa mara nyingi ni kuzidisha urefu kwa urefu wa msingi na kisha kugawanya matokeo kwa mbili. Hata hivyo, njia hii ni mbali na pekee. Hapo chini unaweza kusoma jinsi ya kupata eneo la pembetatu kwa kutumia fomula tofauti.

Kando, tutazingatia njia za kuhesabu eneo la aina maalum za pembetatu - mstatili, isosceles na equilateral. Tunaandamana na kila fomula kwa maelezo mafupi ambayo yatakusaidia kuelewa kiini chake.

Njia za ulimwengu za kupata eneo la pembetatu

Fomula zifuatazo hutumia kanuni maalum. Tutafafanua kila mmoja wao:

• a, b, c - urefu wa pande tatu za takwimu tunayozingatia;
• r ni radius ya mduara ambayo inaweza kuandikwa katika pembetatu yetu;
• R ni radius ya mduara ambayo inaweza kuelezewa karibu nayo;
• α - thamani ya angle inayoundwa na pande b na c;
• β ni pembe kati ya a na c;
• γ - thamani ya angle inayoundwa na pande a na b;
• h - urefu wa pembetatu yetu, iliyopunguzwa kutoka pembe α hadi upande a;
• p - nusu ya jumla ya pande a, b na c.

Ni busara kwa nini inawezekana kupata eneo la pembetatu kwa njia hii. Pembetatu inaweza kukamilika kwa urahisi kwa parallelogram, ambayo upande mmoja wa pembetatu utafanya kama diagonal. Eneo la parallelogram hupatikana kwa kuzidisha urefu wa moja ya pande zake kwa thamani ya urefu unaotolewa kwake. Ulalo hugawanya parallelogram hii ya kawaida katika pembetatu 2 zinazofanana. Kwa hivyo, ni dhahiri kwamba eneo la pembetatu yetu ya asili inapaswa kuwa sawa na nusu ya eneo la parallelogramu hii msaidizi.

S = ½ a b dhambi γ

Kulingana na fomula hii, eneo la pembetatu linapatikana kwa kuzidisha urefu wa pande zake mbili, ambayo ni, a na b, na sine ya pembe iliyoundwa nao. Fomula hii kimantiki imetokana na ile iliyotangulia. Ikiwa tunashuka urefu kutoka kwa pembe β hadi upande b, basi, kwa mujibu wa mali ya pembetatu ya kulia, wakati wa kuzidisha urefu wa upande a na sine ya angle γ, tunapata urefu wa pembetatu, yaani. h.

Eneo la takwimu katika swali linapatikana kwa kuzidisha nusu ya radius ya mduara, ambayo inaweza kuandikwa ndani yake, kwa mzunguko wake. Kwa maneno mengine, tunapata bidhaa ya semiperimeter na radius ya mduara uliotajwa.

S = a b s / 4R

Kwa mujibu wa formula hii, thamani tunayohitaji inaweza kupatikana kwa kugawanya bidhaa za pande za takwimu na radii 4 za mduara ulioelezwa kuzunguka.

Njia hizi ni za ulimwengu wote, kwani hufanya iwezekanavyo kuamua eneo la pembetatu yoyote (ya aina nyingi, isosceles, equilateral, mstatili). Hii inaweza kufanyika kwa msaada wa mahesabu ngumu zaidi, ambayo hatuwezi kukaa kwa undani.

Maeneo ya pembetatu yenye mali maalum

Ninawezaje kupata eneo la pembetatu ya kulia? Upekee wa takwimu hii ni kwamba pande zake mbili ni urefu wake wakati huo huo. Ikiwa a na b ni miguu, na c inakuwa hypotenuse, basi eneo hilo linapatikana kama ifuatavyo.

Unapataje eneo la pembetatu ya isosceles? Ina pande mbili zenye urefu a na upande mmoja wenye urefu b. Kwa hiyo, eneo lake linaweza kuamua kwa kugawanya kwa 2 bidhaa ya mraba wa upande na sine ya angle γ.

Unapataje eneo la pembetatu iliyo sawa? Ndani yake, urefu wa pande zote ni sawa na a, na ukubwa wa pembe zote ni α. Urefu wake ni sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa upande a kwa mzizi wa mraba wa 3. Ili kupata eneo la pembetatu ya kawaida, unahitaji kuzidisha mraba wa upande a kwa mzizi wa mraba wa 3 na ugawanye kwa 4.

Pembetatu ni takwimu inayojulikana kwa kila mtu. Na hii, licha ya aina nyingi za aina zake. Rectangular, equilateral, papo hapo-angled, isosceles, obtuse-angled. Kila mmoja wao ni tofauti kwa namna fulani. Lakini kwa mtu yeyote, unahitaji kujua eneo la pembetatu.

Fomula za kawaida kwa pembetatu zote ambazo urefu wa pande au urefu hutumiwa

Uteuzi uliopitishwa ndani yao: pande - a, b, c; urefu kwenye pande zinazolingana n a, n v, n s.

1. Eneo la pembetatu linahesabiwa kama bidhaa ya ½, upande na urefu ulioshuka juu yake. S = ½ * a * n a. Vivyo hivyo, unapaswa kuandika fomula za pande zingine mbili.

2. Fomu ya Heron, ambayo mzunguko wa nusu inaonekana (ni desturi kuashiria kwa barua ndogo p, tofauti na mzunguko kamili). Mzunguko wa nusu lazima uhesabiwe kama ifuatavyo: ongeza pande zote na ugawanye kwa 2. Fomula ya mzunguko wa nusu: p = (a + b + c) / 2. Kisha usawa wa eneo la takwimu inaonekana kama hii: S = √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ikiwa hutaki kutumia mzunguko wa nusu, basi formula hiyo itakuja kwa manufaa, ambayo urefu wa pande tu upo: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b) + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Ni muda mrefu zaidi kuliko uliopita, lakini itasaidia ikiwa umesahau jinsi ya kupata eneo la nusu.

Fomula za jumla ambazo pembe za pembetatu zinaonekana

Uteuzi ambao unahitajika kusoma fomula: α, β, γ - pembe. Wanalala pande tofauti a, b, c, kwa mtiririko huo.

1. Kulingana na hilo, nusu ya bidhaa za pande mbili na sine ya pembe kati yao ni sawa na eneo la pembetatu. Hiyo ni: S = ½ a * b * dhambi γ. Vivyo hivyo, unapaswa kuandika fomula za kesi zingine mbili.

2. Eneo la pembetatu linaweza kuhesabiwa kutoka upande mmoja na pembe tatu zinazojulikana. S = (a 2 * dhambi β * dhambi γ) / (2 dhambi α).

3. Pia kuna formula yenye upande mmoja unaojulikana na pembe mbili za karibu. Inaonekana kama hii: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Njia mbili za mwisho sio rahisi zaidi. Ni ngumu zaidi kuwakumbuka.

Fomula za jumla za hali wakati radii ya miduara iliyoandikwa au iliyozunguka inajulikana

Majina ya ziada: r, R - radii. Ya kwanza hutumiwa kwa radius ya mduara ulioandikwa. Ya pili ni kwa ile iliyoelezwa.

1. Fomula ya kwanza ambayo eneo la pembetatu huhesabiwa inahusishwa na nusu ya mzunguko. S = p * r. Kwa njia nyingine, inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: S = ½ r * (a + b + c).

2. Katika kesi ya pili, utahitaji kuzidisha pande zote za pembetatu na kugawanya kwa radius ya quadruple ya mzunguko wa mzunguko. Kwa maneno halisi, inaonekana kama hii: S = (a * b * c) / (4R).

3. Hali ya tatu inafanya uwezekano wa kufanya bila kujua pande, lakini maadili ya pembe zote tatu inahitajika. S = 2 R 2 * dhambi α * dhambi β * dhambi γ.

Kesi maalum: pembetatu ya kulia

Hii ndiyo hali rahisi zaidi, kwa kuwa ujuzi tu wa urefu wa miguu yote unahitajika. Wameteuliwa na herufi za Kilatini a na b. Eneo la pembetatu ya kulia ni sawa na nusu ya eneo la mstatili uliokamilishwa kwake.

Kihisabati, inaonekana kama hii: S = ½ a * b. Yeye ndiye rahisi kukumbuka. Kwa sababu inaonekana kama fomula ya eneo la mstatili, bado kuna sehemu ambayo inaashiria nusu.

Kesi maalum: pembetatu ya isosceles

Kwa kuwa pande zake mbili ni sawa, fomula zingine za eneo lake zinaonekana kuwa rahisi. Kwa mfano, formula ya Heron, ambayo hutumiwa kuhesabu eneo la pembetatu ya isosceles, inachukua fomu ifuatayo:

S = ½ в √ ((a + ½ в) * (a - ½ в)).

Ikiwa utaibadilisha, basi itakuwa fupi. Katika kesi hii, formula ya Heron ya pembetatu ya isosceles imeandikwa kama ifuatavyo:

S = ¼ katika √ (4 * a 2 - b 2).

Fomula ya eneo inaonekana rahisi zaidi kuliko pembetatu ya kiholela ikiwa pande na pembe kati yao zinajulikana. S = ½ a 2 * dhambi β.

Kesi maalum: pembetatu ya usawa

Kawaida upande unajulikana juu yake katika matatizo, au unaweza kwa namna fulani kujua kuhusu hilo. Kisha fomula ambayo eneo la pembetatu kama hiyo hupatikana ni kama ifuatavyo.

S = (a 2 √3) / 4.

Matatizo ya kutafuta eneo, ikiwa pembetatu inaonyeshwa kwenye karatasi ya checkered

Hali rahisi ni wakati pembetatu ya pembe ya kulia inatolewa ili miguu yake ifanane na mistari ya karatasi. Kisha unahitaji tu kuhesabu idadi ya seli zinazoingia kwenye miguu. Kisha zizidishe na ugawanye kwa mbili.

Wakati pembetatu ni papo hapo-angled au obtuse-angled, ni lazima inayotolewa kwa mstatili. Kisha takwimu inayotokana itakuwa na pembetatu 3. Moja ni ile iliyotolewa katika kazi. Na nyingine mbili ni msaidizi na mstatili. Amua maeneo ya mbili za mwisho yanahitaji kuwa kama ilivyoelezwa hapo juu. Kisha uhesabu eneo la mstatili na uondoe kutoka kwake zile zilizohesabiwa kwa zile za msaidizi. Eneo la pembetatu limedhamiriwa.

Ngumu zaidi ni hali ambayo hakuna pande zote za pembetatu inayofanana na mistari ya karatasi. Kisha inahitaji kuandikwa kwenye mstatili ili wima ya sura ya awali iko kwenye pande zake. Katika kesi hii, kutakuwa na pembetatu tatu za pembetatu za kulia.

Mfano wa tatizo la fomula ya Heron

Hali. Pembetatu fulani ina pande zinazojulikana. Wao ni sawa na cm 3, 5 na 6. Ni muhimu kujua eneo lake.

Sasa unaweza kuhesabu eneo la pembetatu kwa kutumia fomula hapo juu. Chini ya mizizi ya mraba ni bidhaa ya namba nne: 7, 4, 2 na 1. Hiyo ni, eneo ni √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ikiwa usahihi zaidi hauhitajiki, basi mizizi ya mraba ya 14. Ni sawa na 3.74. Kisha eneo hilo litakuwa sawa na 7.48.

Jibu. S = 2 √14 cm 2 au 7.48 cm 2.

Mfano wa tatizo na pembetatu ya kulia

Hali. Mguu mmoja wa pembetatu ya kulia ni 31 cm kubwa kuliko ya pili. Inahitajika kujua urefu wao ikiwa eneo la pembetatu ni 180 cm 2.
Suluhisho. Itabidi kutatua mfumo wa milinganyo miwili. Ya kwanza inahusiana na eneo hilo. Ya pili - kwa uwiano wa miguu, ambayo hutolewa katika tatizo.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Kwanza, thamani "a" lazima ibadilishwe na kuwa mlingano wa kwanza. Inageuka: 180 = ½ (katika + 31) * ndani. Ina idadi moja tu isiyojulikana, hivyo ni rahisi kutatua. Baada ya kupanua mabano, equation ya quadratic inapatikana: saa 2 + 31 kwa - 360 = 0. Inatoa maadili mawili kwa "saa": 9 na - 40. Nambari ya pili haifai kama jibu, kwa kuwa urefu. ya upande wa pembetatu haiwezi kuwa mbaya.

Inabakia kuhesabu mguu wa pili: ongeza 31 kwa nambari inayosababisha. Inageuka 40. Hizi ndizo maadili zinazohitajika katika tatizo.

Jibu. Miguu ya pembetatu ni 9 na 40 cm.

Tatizo la kutafuta upande kupitia eneo, upande na pembe ya pembetatu

Hali. Eneo la pembetatu fulani ni 60 cm 2. Inahitajika kuhesabu moja ya pande zake ikiwa upande wa pili ni cm 15, na pembe kati yao ni 30º.

Suluhisho. Kulingana na majina yaliyokubaliwa, upande unaotakiwa "a", unaojulikana "b", pembe iliyotolewa "γ". Kisha fomula ya eneo inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

60 = ½ a * 15 * dhambi 30º. Hapa sine ya digrii 30 ni 0.5.

Baada ya mabadiliko, "a" inageuka kuwa sawa na 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Hiyo ni 16.

Jibu. Upande unaohitajika ni 16 cm.

Tatizo la mraba iliyoandikwa katika pembetatu ya kulia

Hali. Kilele cha mraba 24 cm kinapatana na pembe ya kulia ya pembetatu. Wengine wawili wamelala kwa miguu. Ya tatu ni ya hypotenuse. Urefu wa moja ya miguu ni cm 42. Je! ni eneo gani la pembetatu ya kulia?

Suluhisho. Fikiria pembetatu mbili za kulia. Ya kwanza imeainishwa katika kazi. Ya pili inategemea mguu unaojulikana wa pembetatu ya awali. Wao ni sawa kwa vile wana pembe ya kawaida na huundwa na mistari ya moja kwa moja inayofanana.

Kisha uhusiano wa miguu yao ni sawa. Miguu ya pembetatu ndogo ni 24 cm (upande wa mraba) na 18 cm (mguu uliopewa ni 42 cm, toa upande wa mraba 24 cm). Miguu inayolingana ya pembetatu kubwa ni cm 42 na x cm. Ni "x" hii ambayo inahitajika ili kuhesabu eneo la pembetatu.

18/42 = 24 / x, yaani, x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Kisha eneo hilo ni sawa na bidhaa ya 56 na 42 iliyogawanywa na mbili, yaani, 1176 cm 2.

Jibu. Eneo linalohitajika ni 1176 cm 2.

Pembetatu ni mojawapo ya maumbo ya kawaida ya kijiometri ambayo tunapata kujua tayari katika shule ya msingi. Kila mwanafunzi anakabiliwa na swali la jinsi ya kupata eneo la pembetatu katika masomo ya jiometri. Kwa hivyo, ni sifa gani za kupata eneo la takwimu fulani zinaweza kutofautishwa? Katika makala hii, tutaangalia kanuni za msingi zinazohitajika ili kukamilisha kazi hiyo, na pia kuchambua aina za pembetatu.

Aina za pembetatu

Unaweza kupata eneo la pembetatu kwa njia tofauti kabisa, kwa sababu katika jiometri, zaidi ya aina moja ya sura inajulikana, iliyo na pembe tatu. Aina hizi ni pamoja na:

• Obtuse.
• Equilateral (sahihi).
• Pembetatu ya kulia.
• Isosceles.

Hebu tuchunguze kwa karibu kila aina zilizopo za pembetatu.

Sura hii ya kijiometri inachukuliwa kuwa ya kawaida katika kutatua matatizo ya kijiometri. Wakati inakuwa muhimu kuteka pembetatu ya kiholela, chaguo hili linakuja kuwaokoa.

Katika pembetatu yenye pembe kali, kama jina linamaanisha, pembe zote ni za papo hapo na zinaongeza hadi 180 °.

Pembetatu kama hiyo pia ni ya kawaida sana, hata hivyo, inapatikana kwa kiasi kidogo mara nyingi kuliko ile yenye pembe kali. Kwa mfano, wakati wa kutatua pembetatu (ambayo ni, unajua pande na pembe zake kadhaa na unahitaji kupata vitu vilivyobaki) wakati mwingine unahitaji kuamua ikiwa pembe ni butu au la. Cosine ni nambari hasi.

Katika thamani ya moja ya pembe huzidi 90 °, hivyo pembe mbili zilizobaki zinaweza kuchukua maadili madogo (kwa mfano, 15 ° au hata 3 °).

Ili kupata eneo la pembetatu ya aina hii, unahitaji kujua baadhi ya nuances, ambayo tutazungumzia zaidi.

Pembetatu za kawaida na za isosceles

Poligoni ya kawaida ni kielelezo kinachojumuisha n pembe, ambamo pande zote na pembe ni sawa. Hii ni pembetatu ya kawaida. Kwa kuwa jumla ya pembe zote za pembetatu ni 180 °, kila moja ya pembe tatu ni 60 °.

Pembetatu ya kawaida, kwa sababu ya mali yake, pia inaitwa takwimu ya usawa.

Pia ni muhimu kuzingatia kwamba mduara mmoja tu unaweza kuandikwa katika pembetatu ya kawaida na mduara mmoja tu unaweza kuelezewa karibu nayo, na vituo vyao viko kwenye hatua moja.

Mbali na aina ya equilateral, pembetatu ya isosceles pia inaweza kutofautishwa, tofauti kidogo nayo. Katika pembetatu hiyo, pande mbili na pembe mbili ni sawa kwa kila mmoja, na upande wa tatu (ambayo pembe sawa ziko karibu) ni msingi.

Takwimu inaonyesha pembetatu ya isosceles DEF, pembe D na F ambazo ni sawa, na DF ni msingi.

Pembetatu ya kulia

Pembetatu ya kulia inaitwa hivyo kwa sababu moja ya pembe zake ni sawa, yaani, ni sawa na 90 °. Pembe zingine mbili zinaongeza hadi 90 °.

Upande mkubwa zaidi wa pembetatu kama hiyo, iko kinyume na pembe ya 90 °, ni hypotenuse, wakati pande zake mbili ni miguu. Kwa aina hii ya pembetatu, nadharia ya Pythagorean inatumika:

Jumla ya mraba wa urefu wa miguu ni sawa na mraba wa urefu wa hypotenuse.

Takwimu inaonyesha pembetatu ya kulia ya BAC yenye hypotenuse AC na miguu AB na BC.

Ili kupata eneo la pembetatu na pembe ya kulia, unahitaji kujua maadili ya nambari ya miguu yake.

Wacha tuendelee kwenye fomula za kupata eneo la takwimu hii.

Njia za kimsingi za kupata eneo

Katika jiometri, fomula mbili zinaweza kutofautishwa ambazo zinafaa kwa kupata eneo la aina nyingi za pembetatu, ambazo ni za pembetatu za papo hapo, za obtuse, za kawaida na za isosceles. Hebu tuchambue kila mmoja wao.

Kwa upande na urefu

Njia hii ni ya ulimwengu kwa kutafuta eneo la takwimu tunayozingatia. Ili kufanya hivyo, inatosha kujua urefu wa upande na urefu wa urefu uliotolewa kwake. Fomu yenyewe (nusu ya bidhaa ya msingi na urefu) ni kama ifuatavyo.

ambapo A ni upande wa pembetatu hii na H ni urefu wa pembetatu.

Kwa mfano, ili kupata eneo la pembetatu yenye pembe kali ACB, zidisha upande wake wa AB kwa urefu wa CD na ugawanye thamani inayotokana na mbili.

Walakini, sio rahisi kila wakati kupata eneo la pembetatu kwa njia hii. Kwa mfano, kutumia formula hii kwa pembetatu ya obtuse, unahitaji kuendelea moja ya pande zake na kisha tu kuchora urefu wake.

Katika mazoezi, formula hii hutumiwa mara nyingi zaidi kuliko wengine.

Kwa pande mbili na kona

Fomula hii, kama ile iliyopita, inafaa kwa pembetatu nyingi na kwa maana yake ni matokeo ya fomula ya kupata eneo kwa upande na urefu wa pembetatu. Hiyo ni, formula inayozingatiwa inaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwa uliopita. Maneno yake yanaonekana kama hii:

S = ½ * dhambiO * A * B,

ambapo A na B ni pande za pembetatu na O ni pembe kati ya pande A na B.

Kumbuka kwamba sine ya pembe inaweza kutazamwa katika jedwali maalum lililopewa jina la mwanahisabati bora wa Soviet V.M. Bradis.

Sasa hebu tuendelee kwenye fomula zingine ambazo zinafaa tu kwa aina za kipekee za pembetatu.

Eneo la pembetatu ya kulia

Mbali na formula ya ulimwengu wote, ambayo ni pamoja na hitaji la kuchora urefu katika pembetatu, eneo la pembetatu iliyo na pembe ya kulia inaweza kupatikana kwa miguu yake.

Kwa hivyo, eneo la pembetatu iliyo na pembe ya kulia ni nusu ya bidhaa ya miguu yake, au:

ambapo a na b ni miguu ya pembetatu yenye pembe ya kulia.

Pembetatu ya kawaida

Aina hii ya takwimu za kijiometri inatofautiana kwa kuwa eneo lake linaweza kupatikana kwa thamani iliyoonyeshwa ya moja tu ya pande zake (kwa kuwa pande zote za pembetatu ya kawaida ni sawa). Kwa hivyo, unakabiliwa na shida "pata eneo la pembetatu wakati pande ni sawa", unahitaji kutumia formula ifuatayo:

S = A 2 * √3 / 4,

ambapo A ni upande wa pembetatu iliyo sawa.

Fomula ya Heron

Chaguo la mwisho la kupata eneo la pembetatu ni formula ya Heron. Ili kuitumia, unahitaji kujua urefu wa pande tatu za takwimu. Fomula ya Heron inaonekana kama hii:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

ambapo a, b na c ni pande za pembetatu hii.

Wakati mwingine shida hupewa: "eneo la pembetatu ya kawaida - pata urefu wa upande wake." Katika kesi hii, unahitaji kutumia formula ambayo tayari inajulikana kwetu kupata eneo la pembetatu ya kawaida na kupata kutoka kwake thamani ya upande (au mraba wake):

A 2 = 4S / √3.

Kazi za mitihani

Katika matatizo ya GIA katika hisabati, kuna kanuni nyingi. Kwa kuongeza, mara nyingi ni muhimu kupata eneo la pembetatu kwenye karatasi ya checkered.

Katika kesi hii, ni rahisi zaidi kuteka urefu kwa moja ya pande za takwimu, kuamua urefu wake na seli na kutumia formula ya ulimwengu wote kupata eneo:

Kwa hivyo, baada ya kusoma fomula zilizowasilishwa katika kifungu hicho, hautakuwa na shida kupata eneo la pembetatu ya aina yoyote.

Sehemu ya pembetatu - fomula na mifano ya kutatua shida

Chini ni fomula za kupata eneo la pembetatu ya kiholela ambayo yanafaa kwa kupata eneo la pembetatu yoyote, bila kujali mali yake, pembe au vipimo. Njia zinawasilishwa kwa namna ya picha, hapa kuna maelezo ya matumizi au uhalali wa usahihi wao. Pia, takwimu tofauti inaonyesha mawasiliano kati ya uteuzi wa barua katika fomula na muundo wa picha kwenye mchoro.

Kumbuka ... Ikiwa pembetatu ina mali maalum (isosceles, mstatili, equilateral), unaweza kutumia fomula hapa chini, pamoja na fomula maalum ambazo ni halali kwa pembetatu zilizo na mali hizi:

• "Mfumo wa eneo la pembetatu ya usawa"

Njia za eneo kwa pembetatu

Maelezo ya fomula:
a, b, c- urefu wa pande za pembetatu, eneo ambalo tunataka kupata
r- radius ya duara iliyoandikwa katika pembetatu
R- radius ya duara iliyozunguka pembetatu
h- urefu wa pembetatu ulipungua kwa upande
uk- nusu ya mzunguko wa pembetatu, 1/2 jumla ya pande zake (mzunguko)
α - pembe kinyume na upande a wa pembetatu
β - pembe kinyume na upande b wa pembetatu
γ - pembe kinyume na upande c wa pembetatu
h a, h b , h c- urefu wa pembetatu, chini kwa upande a, b, c

Tafadhali kumbuka kuwa uteuzi hapo juu unalingana na takwimu hapo juu, ili wakati wa kutatua shida halisi katika jiometri, itakuwa rahisi kwako kuchukua nafasi ya maadili sahihi katika maeneo sahihi katika fomula.

• Eneo la pembetatu ni nusu ya bidhaa ya urefu wa pembetatu kwa urefu wa upande ambao urefu huu umepungua(Mfumo 1). Usahihi wa fomula hii inaweza kueleweka kimantiki. Urefu ulioshuka hadi msingi utagawanya pembetatu ya kiholela katika mbili za mstatili. Ikiwa tutakamilisha kila moja yao kwa mstatili na vipimo b na h, basi, ni wazi, eneo la pembetatu hizi litakuwa sawa na nusu ya eneo la mstatili (Sпр = bh)
• Eneo la pembetatu ni nusu ya bidhaa ya pande zake mbili kwa sine ya pembe kati yao(Mfumo wa 2) (tazama mfano wa kutatua tatizo kwa kutumia fomula hii hapa chini). Licha ya ukweli kwamba inaonekana tofauti na uliopita, inaweza kubadilishwa kwa urahisi ndani yake. Ikiwa tunapunguza urefu kutoka kwa pembe B hadi upande b, zinageuka kuwa bidhaa ya upande a kwa sine ya angle γ kulingana na mali ya sine katika pembetatu ya kulia ni sawa na urefu wa pembetatu tuliyochora, ambayo itatupa fomula iliyotangulia
• Eneo la pembetatu ya kiholela linaweza kupatikana hela kazi nusu ya radius ya duara iliyoandikwa kwa jumla ya urefu wa pande zake zote(Mfumo wa 3), kwa maneno mengine, unahitaji kuzidisha nusu ya mzunguko wa pembetatu na radius ya duara iliyoandikwa (hii ni rahisi kukumbuka)
• Eneo la pembetatu ya kiholela linaweza kupatikana kwa kugawanya bidhaa za pande zake zote na radii 4 za mduara uliozunguka (Mfumo wa 4)
• Mfumo wa 5 unawakilisha kupata eneo la pembetatu kupitia urefu wa pande zake na nusu ya mzunguko wake (nusu ya jumla ya pande zake zote)
• Fomula ya Heron(6) ni kiwakilishi cha fomula sawa bila kutumia dhana ya nusu-perimita, kupitia tu urefu wa pande.
• Eneo la pembetatu ya kiholela ni sawa na bidhaa ya mraba wa upande wa pembetatu na sines za pembe zilizo karibu na upande huu zimegawanywa na sine mara mbili ya pembe kinyume na upande huu (Mfumo wa 7)
• Eneo la pembetatu ya kiholela linaweza kupatikana kama bidhaa ya miraba miwili ya duara iliyozungukwa na mishipa ya kila pembe yake. (Mfumo wa 8)
• Ikiwa urefu wa upande mmoja na ukubwa wa pembe mbili za karibu hujulikana, basi eneo la pembetatu linaweza kupatikana kama mraba wa upande huu, umegawanywa na jumla ya mara mbili ya cotangents ya pembe hizi (Mfumo wa 9).
• Ikiwa tu urefu wa kila urefu wa pembetatu unajulikana (Mfumo wa 10), basi eneo la pembetatu kama hiyo ni sawia na urefu wa urefu huu, kama kulingana na Mfumo wa Heron.
• Mfumo 11 hukuruhusu kuhesabu eneo la pembetatu kwa kuratibu za wima zake, ambazo zimetolewa kama thamani (x; y) kwa kila wima. Tafadhali kumbuka kuwa thamani inayotokana lazima ichukuliwe modulo, kwani kuratibu za wima za mtu binafsi (au hata zote) zinaweza kuwa katika anuwai ya maadili hasi.

Kumbuka... Ifuatayo ni mifano ya kutatua shida za jiometri kupata eneo la pembetatu. Ikiwa unahitaji kutatua tatizo katika jiometri, ambayo si sawa na ambayo haipo hapa, andika juu yake kwenye jukwaa. Katika suluhisho, badala ya ishara ya "mzizi wa mraba", kazi ya sqrt () inaweza kutumika, ambayo sqrt ni ishara ya mizizi ya mraba, na usemi mkali unaonyeshwa kwenye mabano..Wakati mwingine kwa maneno rahisi radical ishara √

Kazi. Pata eneo kando ya pande mbili na pembe kati yao

Pande za pembetatu ni cm 5 na 6. Pembe kati yao ni digrii 60. Tafuta eneo la pembetatu.

Suluhisho.

Ili kutatua tatizo hili, tutatumia fomula namba mbili kutoka sehemu ya kinadharia ya somo.
Eneo la pembetatu linaweza kupatikana kupitia urefu wa pande mbili na sine ya pembe kati yao na itakuwa sawa na
S = 1/2 ab dhambi γ

Kwa kuwa tunayo data yote muhimu kwa suluhisho (kulingana na fomula), lazima tu tubadilishe maadili kutoka kwa hali ya shida kuwa fomula:
S = 1/2 * 5 * 6 * dhambi 60

Katika jedwali la maadili ya kazi za trigonometric, tunapata na kubadilisha thamani ya sine ya digrii 60 kwenye usemi. Itakuwa sawa na mzizi wa tatu kwa mbili.
S = 15 √3 / 2

Jibu: 7.5 √3 (kulingana na mahitaji ya mwalimu, pengine unaweza kuacha 15 √3 / 2)

Kazi. Tafuta eneo la pembetatu ya usawa

Pata eneo la pembetatu ya equilateral na upande wa 3 cm.

Suluhisho .

Eneo la pembetatu linaweza kupatikana kwa kutumia formula ya Heron:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Kwa kuwa a = b = c formula ya eneo la pembetatu ya usawa itachukua fomu:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Jibu: 9 √3 / 4.

Kazi. Kubadilisha eneo wakati wa kubadilisha urefu wa pande

Je, eneo la pembetatu litaongezeka mara ngapi ikiwa pande zinaongezeka kwa mara 4?

Suluhisho.

Kwa kuwa vipimo vya pande za pembetatu hazijulikani kwetu, basi ili kutatua tatizo tutafikiri kwamba urefu wa pande ni sawa na namba za kiholela a, b, c. Kisha, ili kujibu swali la tatizo, tutapata eneo la pembetatu hii, na kisha tutapata eneo la pembetatu ambalo pande zake ni kubwa mara nne. Uwiano wa maeneo ya pembetatu hizi zitatupa jibu la tatizo.

Chini ni maelezo ya maandishi ya suluhisho la tatizo kwa hatua. Walakini, mwishoni kabisa, suluhisho hili hili linawasilishwa kwa fomu ya picha iliyo rahisi kusoma. Wale wanaopenda wanaweza kwenda chini ya suluhisho mara moja.

Ili kutatua hili, tunatumia fomula ya Heron (tazama hapo juu katika sehemu ya kinadharia ya somo). Inaonekana kama hii:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(tazama mstari wa kwanza wa takwimu hapa chini)

Urefu wa pande za pembetatu ya kiholela hutolewa na vigezo a, b, c.
Ikiwa pande zimeongezeka kwa mara 4, basi eneo la pembetatu mpya c litakuwa:

S 2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(tazama mstari wa pili kwenye picha hapa chini)

Kama unaweza kuona, 4 ni jambo la kawaida ambalo linaweza kutolewa nje ya mabano kutoka kwa maneno yote manne kulingana na kanuni za jumla za hisabati.
Kisha

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - kwenye mstari wa tatu wa takwimu
S 2 = sqrt 1/4 (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - mstari wa nne

Mzizi wa mraba hutolewa kikamilifu kutoka kwa nambari 256, kwa hiyo tunaiondoa kutoka chini ya mizizi
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = sqrt 4 ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(tazama mstari wa tano wa takwimu hapa chini)

Ili kujibu swali lililoulizwa kwenye shida, tunahitaji tu kugawanya eneo la pembetatu inayosababishwa na eneo la asili.
Tambua uwiano wa eneo kwa kugawanya maneno kwa kila mmoja na kupunguza sehemu inayosababisha.