Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka. Pembe kati ya mseto wa mistari iliyonyooka: ufafanuzi, mifano ya kutafuta

lakini. Wacha mistari miwili iliyonyooka itolewe .. Mistari hii iliyonyooka, kama ilivyoonyeshwa katika Sura ya 1, inaunda pembe tofauti nzuri na hasi, ambazo katika kesi hii zinaweza kuwa kali na za kufifia. Kujua moja ya pembe hizi, tunaweza kupata nyingine yoyote kwa urahisi.

Kwa njia, kwa pembe hizi zote, nambari ya nambari ni sawa, tofauti inaweza kuwa tu kwenye ishara

Usawa wa mistari. Nambari ni makadirio ya vector mwelekeo wa mistari ya kwanza na ya pili ya moja kwa moja.Pembe kati ya vectors hizi ni sawa na moja ya pembe zilizoundwa na mistari iliyonyooka. Kwa hivyo, shida imepunguzwa kuamua pembe kati ya vectors, Tunapata

Kwa unyenyekevu, tunaweza kukubaliana juu ya pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka kumaanisha pembe nzuri ya papo hapo (kama, kwa mfano, kwenye Mtini. 53).

Kisha tangent ya angle hii itakuwa nzuri kila wakati. Kwa hivyo, ikiwa ishara ya minus inapatikana upande wa kulia wa fomula (1), basi lazima tuitupe, ambayo ni, tu kuweka dhamana kamili.

Mfano. Tambua pembe kati ya mistari iliyonyooka

Kwa fomula (1), tunayo

kutoka. Ikiwa imeonyeshwa ni ipi ya pande za pembe ni mwanzo wake na ambayo ni mwisho, basi, kila wakati kuhesabu mwelekeo wa pembe kinyume cha saa, tunaweza kutoa kitu zaidi kutoka kwa fomula (1). Kama ilivyo rahisi kuona kutoka kwa Mtini. Ishara ya 53 iliyopatikana upande wa kulia wa fomula (1) itaonyesha ni ipi - papo hapo au buti - pembe huunda mstari wa pili wa moja kwa moja na wa kwanza.

(Kwa kweli, kutoka kwa Mtini. 53, tunaona kwamba pembe kati ya vector ya kwanza na ya pili ni sawa na pembe inayotarajiwa kati ya mistari iliyonyooka, au inatofautiana nayo kwa ± 180 °.)

d. Ikiwa mistari iliyonyooka ni sawa, basi vector zao za mwelekeo pia zinafanana Kutumia hali ya ulinganifu wa veki mbili, tunapata!

Hii ni hali ya lazima na ya kutosha kwa ulinganifu wa mistari miwili iliyonyooka.

Mfano. Moja kwa moja

ni sambamba kwa sababu

e. Ikiwa mistari ya moja kwa moja ni ya kawaida, basi vector zao za mwelekeo pia zinaonekana. Kutumia hali ya ujanibishaji wa veki mbili, tunapata hali ya upeo wa mistari miwili iliyonyooka, ambayo ni

Mfano. Moja kwa moja

ni sawa kwa sababu ya ukweli kwamba

Kuhusiana na hali ya ulinganifu na upendeleo, tutatatua shida mbili zifuatazo.

f. Chora laini moja kwa moja kupitia hatua inayolingana na mstari huu wa moja kwa moja

Suluhisho hufanywa kama ifuatavyo. Kwa kuwa laini inayotakiwa sawa ni sawa na ile iliyopewa, basi kwa vector ya mwelekeo tunaweza kuchukua ile ile kama ya laini iliyopewa moja kwa moja, ambayo ni vector iliyo na makadirio A na B. Na kisha usawa wa laini moja kwa moja inayotaka itaandikwa kwa fomu (§ 1)

Mfano. Mlingano wa laini iliyonyooka kupita kwa nukta (1; 3) sambamba na mstari ulionyooka

itakuwa ijayo!

g. Chora laini moja kwa moja kupitia nukta moja kwa moja kwa mstari huu wa moja kwa moja

Hapa, haifai tena kuchukua vector na makadirio A na kama vector ya mwelekeo, lakini vector ambayo ni sawa na hiyo lazima ipigwe. Makadirio ya vector hii yanapaswa kuchaguliwa, kwa hivyo, kulingana na hali ya upeo wa veta zote mbili, i.e., kulingana na hali

Hali hii inaweza kutimizwa kwa njia nyingi, kwa kuwa hapa kuna mlinganyo mmoja na mbili zisizojulikana Lakini njia rahisi ni kuchukua kwenda Kisha usawa wa laini moja kwa moja utahitajika utaandikwa kwa fomu

Mfano. Mlingano wa laini moja kwa moja inayopita nukta (-7; 2) katika mstari wa kupita

itakuwa yafuatayo (kulingana na fomula ya pili)!

h. Katika kesi wakati mistari iliyonyooka hutolewa na hesabu za fomu

Maagizo

Kumbuka

Kipindi cha kazi ya trigonometric ya tangent ni digrii 180, ambayo inamaanisha kuwa mteremko wa mistari iliyonyooka hauwezi, kwa thamani kamili, kuzidi thamani hii.

Ushauri wa kusaidia

Ikiwa mteremko ni sawa na kila mmoja, basi pembe kati ya mistari kama hii ni 0, kwani mistari kama hiyo inaambatana au ni sawa.

Kuamua thamani ya pembe kati ya kuvuka mistari iliyonyooka, ni muhimu kusonga mistari miwili ya moja kwa moja (au moja yao) kwenye nafasi mpya kwa kutumia njia inayofanana ya kuhamisha kabla ya kuvuka. Baada ya hapo, unapaswa kupata thamani ya pembe kati ya mistari inayosababishwa ya kuingiliana.

Utahitaji

• Mtawala, pembetatu ya kulia, penseli, protractor.

Maagizo

Kwa hivyo, wacha vekta V = (a, b, c) na ndege A x + B y + C z = 0 itolewe, ambapo A, B na C ni kuratibu za kawaida N. Kisha cosine ya pembe α kati ya vectors V na N ni sawa na: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Ili kuhesabu thamani ya pembe kwa digrii au mionzi, unahitaji kuhesabu kazi inverse kwa cosine kutoka kwa usemi unaosababisha, i.e. cosine inverse: α = arssos ((A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Mfano: pata pembe kati vector(5, -3, 8) na ndege iliyotolewa na equation ya jumla 2 x - 5 y + 3 z = 0 Suluhisho: andika kuratibu za vector ya kawaida ya ndege N = (2, -5, 3). Badili maadili yote yanayojulikana katika fomula iliyo hapo juu: cos α = (10 + 15 + 24) / -3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.

Video Zinazohusiana

Mstari wa moja kwa moja ambao una nukta moja sawa na duara ni laini kwa duara. Kipengele kingine cha tangent ni kwamba kila wakati ni sawa na eneo linalopatikana kwa ncha tangent, ambayo ni kwamba, tangent na radius huunda laini moja kwa moja. pembe... Ikiwa kutoka hatua moja Tangents mbili hutolewa kwenye mduara AB na AC, basi kila wakati ni sawa na kila mmoja. Kuamua pembe kati ya tangents ( pembe ABC) hutengenezwa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean.

Maagizo

Kuamua pembe, unahitaji kujua eneo la mduara OB na OS na umbali wa hatua ya kuanza kwa tangent kutoka katikati ya mduara - O. Kwa hivyo, pembe za ABO na ASO ni sawa, eneo la OB , kwa mfano, 10 cm, na umbali wa katikati ya duara AO ni cm 15. Tambua urefu wa yule aliyekengeuka kando ya fomula kulingana na nadharia ya Pythagorean: AB = mzizi wa mraba wa AO2 - OB2 au 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Wacha mistari miwili ya moja kwa moja l na m kwenye ndege kwenye mfumo wa uratibu wa Cartesian itolewe na hesabu za jumla: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Wakala wa kawaida kwa mistari iliyopewa: = (A 1, B 1) - kwa laini l,

= (A 2, B 2) - kwa mstari m.

Wacha j iwe pembe kati ya mistari l na m.

Kwa kuwa pembe zilizo na pande zenye pande mbili zinaweza kuwa sawa au zinaongeza hadi p, basi , yaani, cos j =.

Kwa hivyo, tumethibitisha nadharia ifuatayo.

Nadharia. Wacha niwe pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka kwenye ndege, na acha mistari hii iliyonyooka itolewe katika mfumo wa uratibu wa Cartesian na hesabu za jumla A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 na A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Kisha cos j = .

Mazoezi.

1) Pato fomula ya kuhesabu pembe kati ya mistari iliyonyooka ikiwa:

(1) mistari yote inafafanuliwa kwa njia ya kawaida; (2) mistari yote inapewa na hesabu za kisheria; (3) mstari mmoja wa moja kwa moja umepewa kwa njia ya kihemko, mstari mwingine wa moja kwa moja - na usawa wa jumla; (4) mistari yote moja kwa moja hutolewa na equation na mteremko.

2) Wacha niwe pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka kwenye ndege, na acha mistari hii iliyonyooka itolewe na mfumo wa kuratibu wa Cartesian na hesabu y = k 1 x + b 1 na y = k 2 x + b 2

Kisha tg j =.

3) Chunguza msimamo wa jamaa wa mistari miwili iliyonyooka, iliyotolewa na hesabu za jumla katika mfumo wa uratibu wa Cartesian, na ujaze jedwali:

Umbali kutoka hatua hadi mstari ulionyooka kwenye ndege.

Wacha laini l kwenye ndege katika mfumo wa uratibu wa Cartesian itolewe na equation ya jumla Ax + Na + C = 0. Wacha tuone umbali kutoka kwa hatua M (x 0, y 0) hadi kwenye mstari l.

Umbali kutoka hatua M hadi mstari l ni urefu wa HM ya kujipamba (H Î l, HM ^ l).

Vector na vector ya kawaida kwa laini l ni koli, ili | | = | | | | na | | =.

Wacha kuratibu za uhakika H (x, y).

Kwa kuwa uhakika H ni wa laini l, basi Shoka + Na + C = 0 (*).

Kuratibu vectors na: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - Na, angalia (*))

Nadharia. Wacha laini l ipewe katika mfumo wa uratibu wa Cartesian na mlinganisho wa jumla Ax + By + C = 0. Kisha umbali kutoka kwa hatua M (x 0, y 0) hadi kwenye mstari huu umehesabiwa na fomula: r (M; l) = .

Mazoezi.

1) Pato fomula ya kuhesabu umbali kutoka kwa nukta kwenda kwa mstari ulionyooka, ikiwa: (1) laini moja kwa moja imeainishwa kihemko; (2) mstari ulionyooka umetolewa na hesabu za kisheria; (3) laini moja kwa moja hutolewa na equation na mteremko.

2) Andika mlingano wa duara tangent kwenye mstari wa 3x - y = 0 unaozingatia Q (-2.4).

3) Andika milinganyo ya mistari iliyonyooka ikigawanya pembe zilizoundwa na makutano ya mistari iliyonyooka 2x + y - 1 = 0 na x + y + 1 = 0, kwa nusu.

§ 27. Ufafanuzi wa uchambuzi wa ndege angani

Ufafanuzi. Vector ya kawaida kwa ndege tutamwita vector ya nonzero, mwakilishi yeyote ambaye ni sawa na ndege iliyopewa.

Maoni. Ni wazi kwamba ikiwa angalau mwakilishi mmoja wa vector ni sawa na ndege, basi wawakilishi wengine wa vector ni sawa na ndege hii.

Wacha mfumo wa kuratibu wa Cartesian utolewe angani.

Wacha ndege ipewe, = (A, B, C) ni vector ya kawaida kwa ndege hii, uhakika M (x 0, y 0, z 0) ni mali ya ndege a.

Kwa nukta yoyote N (x, y, z) ya ndege a, vectors na ni orthogonal, ambayo ni, bidhaa yao ya ngozi ni sifuri: = 0. Tunaandika usawa wa mwisho katika kuratibu: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0.

Wacha -Ax 0 - Na 0 - Cz 0 = D, halafu Shoka + Na + Cz + D = 0.

Chukua hatua K (x, y) kama kwamba Shoka + Na + Cz + D = 0. Tangu D = -Ax 0 - Na 0 - Cz 0, basi A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0. Kwa kuwa kuratibu za sehemu iliyoelekezwa = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), usawa wa mwisho unamaanisha kuwa ^, na kwa hivyo, K Î a.

Kwa hivyo, tumethibitisha nadharia ifuatayo:

Nadharia. Ndege yoyote angani katika mfumo wa uratibu wa Cartesian inaweza kutajwa na equation ya fomu Ax + Na + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), ambapo (A, B, C) ni kuratibu vector ya kawaida kwa ndege hii.

Mazungumzo pia ni ya kweli.

Nadharia. Mlingano wowote wa fomu Ax + Na + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian hufafanua ndege fulani, wakati (A, B, C) ni uratibu wa kawaida vector kwa ndege hii.

Ushahidi.

Chukua hatua M (x 0, y 0, z 0) kama kwamba Shoka 0 + Na 0 + Cz 0 + D = 0 na vector = (A, B, C) (≠ q).

Ndege (na, zaidi ya hayo, moja tu) hupita kupitia hatua M kwa kuzingatia vector. Kulingana na nadharia iliyopita, ndege hii imepewa na equation Ax + Na + Cz + D = 0.

Ufafanuzi. Mlingano wa fomu Ax + Na + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) inaitwa equation ya jumla ya ndege.

Mfano.

Wacha tuandike equation ya ndege inayopita kwenye alama M (0,2,4), N (1, -1,0) na K (-1,0,5).

1. Pata kuratibu za vector ya kawaida kwa ndege (MNK). Kwa kuwa bidhaa ya vector ´ ni orthogonal kwa vectors zisizo za collinear na, vector ni collinear ´.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

= (-11, 3, -5).

Kwa hivyo, kama vector ya kawaida tunachukua vector = (-11, 3, -5).

2. Sasa tunatumia matokeo ya nadharia ya kwanza:

equation ya ndege iliyopewa A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0, ambapo (A, B, C) ni uratibu wa vector ya kawaida, (x 0 , y 0, z 0) - kuratibu ya uhakika amelala kwenye ndege (kwa mfano, kumweka M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Jibu: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Mazoezi.

1) Andika usawa wa ndege ikiwa

(1) ndege hupita kupitia hatua M (-2,3,0) sambamba na ndege 3x + y + z = 0;

(2) ndege ina mhimili wa (Ox) na ni sawa na x + 2y - 5z + 7 = 0 ndege.

2) Andika equation kwa ndege inayopitia alama hizi tatu.

§ 28. Ufafanuzi wa uchambuzi wa nafasi ya nusu *

Maoni *... Wacha ndege fulani irekebishwe. Chini ya nafasi ya nusu tutaelewa seti ya alama zilizolala upande mmoja wa ndege fulani, ambayo ni kwamba, alama mbili ziko katika nafasi moja ya nusu, ikiwa sehemu inayowaunganisha haikatikani kwenye ndege hii. Ndege hii inaitwa mpaka wa nafasi hii ya nusu... Muungano wa ndege hii na nafasi ya nusu utaitwa nafasi ya nusu iliyofungwa.

Wacha mfumo wa kuratibu wa Cartesian urekebishwe angani.

Nadharia. Wacha ndege ipewe na hesabu ya jumla ya Shoka + Na + Cz + D = 0. Halafu moja ya nafasi mbili za nusu ambazo ndege hugawanya nafasi inapewa na shoka la kutokuwa na usawa + Na + Cz + D> 0 , na nusu-nafasi ya pili imepewa na kutofautisha Axe + Na + Cz + D< 0.

Ushahidi.

Wacha tuweke kando vector ya kawaida = (A, B, C) kwa ndege a kutoka hatua M (x 0, y 0, z 0) amelala kwenye ndege hii: =, M Î a, MN ^ a. Gawanya ndege katika nafasi mbili za nusu: b 1 na b 2. Ni wazi kuwa uhakika N ni wa moja ya nafasi hizi za nusu. Bila kupoteza jumla, tutafikiria kwamba N Î b 1.

Wacha tuhakikishe kwamba nusu-nafasi b 1 imetolewa na kutofautisha Axe + Na + Cz + D> 0.

1) Chukua hatua K (x, y, z) katika nafasi ya nusu b 1. Angu Л NMK ni pembe kati ya vectors na ni kali, kwa hivyo bidhaa ya scalar ya vectors hizi ni chanya:> 0. Tunaandika usawa huu katika kuratibu: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)> 0, ambayo ni, Shoka + Na + Cy - Shoka 0 - Na 0 - C z 0> 0.

Tangu M Î b 1, basi Shoka 0 + Na 0 + C z 0 + D = 0, kwa hivyo -Ax 0 - Na 0 - C z 0 = D. Kwa hivyo, usawa wa mwisho unaweza kuandikwa kama: Shoka + Na + Cz + D> 0.

2) Chukua hatua L (x, y) kama kwamba Shoka + Na + Cz + D> 0.

Tunaandika upya usawa, tukibadilisha D na (-Ax 0 - Na 0 - C z 0) (tangu M Î b 1, kisha Shoka 0 + Na 0 + C z 0 + D = 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)> 0.

Vector na kuratibu (x - x 0, y - y 0, z - z 0) ni vector, kwa hivyo usemi A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) inaweza kueleweka kama bidhaa ya dot ya vectors na. Kwa kuwa bidhaa ya scalar ya vectors na ni nzuri, pembe kati yao ni kali na uhakika L the b 1.

Vivyo hivyo, mtu anaweza kudhibitisha kuwa nafasi ya nusu b 2 imetolewa na kutofautisha Axe + Na + Cz + D< 0.

Maneno.

1) Ni wazi kwamba ushahidi hapo juu hautegemei uchaguzi wa nukta M katika ndege a.

2) Ni wazi kwamba nafasi moja na ile ile inaweza kutajwa na tofauti tofauti.

Mazungumzo pia ni ya kweli.

Nadharia. Ukosefu wowote wa usawa wa fomu ya Shoka + Na + Cz + D> 0 (au Shoka + Na + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Ushahidi.

Mlinganyo Axe + Na + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) katika nafasi hufafanua ndege fulani a (angalia §…). Kama inavyothibitishwa katika nadharia iliyopita, moja ya nafasi mbili za nusu ambazo ndege hugawanya nafasi hutolewa na kutofautisha Axe Ax + By + Cz + D> 0.

Maneno.

1) Ni wazi kwamba nusu-nafasi iliyofungwa inaweza kutajwa na kukosekana kwa usawa usio na ukali, na ukosefu wowote wa usawa usio na ukali katika mfumo wa uratibu wa Cartesian hufafanua nusu-nafasi iliyofungwa.

2) Polyhedron yoyote ya mbonyeo inaweza kuelezewa kama makutano ya nafasi zilizofungwa za nusu (ambazo mipaka yake ni ndege zilizo na nyuso za polyhedron), ambayo ni uchambuzi - na mfumo wa kutokuwa na usawa wa usawa.

Mazoezi.

1) Thibitisha nadharia hizo mbili zilizowasilishwa kwa mfumo wa kuratibu wa affine holela.

2) Je! Mazungumzo ni kweli kwamba mfumo wowote wa usawa usio na usawa unaofafanua polygon ya mbonyeo?

1) Chunguza msimamo wa jamaa wa ndege mbili, zilizopewa na hesabu za jumla katika mfumo wa uratibu wa Cartesian, na ujaze jedwali.

Nitakuwa mfupi. Pembe kati ya mistari miwili ni sawa na pembe kati ya vectors ya mwelekeo wao. Kwa hivyo, ikiwa unaweza kupata kuratibu za vector mwelekeo a = (x 1; y 1; z 1) na b = (x 2; y 2; z 2), unaweza kupata pembe. Kwa usahihi, cosine ya pembe na fomula:

Wacha tuone jinsi fomula hii inafanya kazi na mifano maalum:

Kazi. Pointi E na F zimewekwa alama kwenye mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - alama za katikati za kingo za A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AE na BF.

Kwa kuwa ukingo wa mchemraba haujaonyeshwa, tunaweka AB = 1. Tambulisha mfumo wa kuratibu wa kawaida: asili iko katika hatua A, shoka x, y, z zinaelekezwa pamoja na AB, AD na AA 1, mtawaliwa. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1. Sasa tunapata kuratibu za vector za mwelekeo kwa mistari yetu.

Wacha tupate kuratibu za vector AE. Ili kufanya hivyo, tunahitaji alama A = (0; 0; 0) na E = (0.5; 0; 1). Kwa kuwa kumweka E ni katikati ya sehemu A 1 B 1, kuratibu zake ni sawa na maana ya hesabu ya kuratibu za mwisho. Kumbuka kuwa asili ya vector AE inafanana na asili, kwa hivyo AE = (0.5; 0; 1).

Sasa wacha tushughulikie vector BF. Vivyo hivyo, tunasoma alama B = (1; 0; 0) na F = (1; 0.5; 1), kwa sababu F - katikati ya sehemu B 1 C 1. Tuna:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

Kwa hivyo vector za mwelekeo ziko tayari. Kosini ya pembe kati ya mistari iliyonyooka ni cosine ya pembe kati ya vector za mwelekeo, kwa hivyo tuna:

Kazi. Katika prism ya kawaida ya trihedral ABCA 1 B 1 C 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama D na E zimewekwa alama - alama za katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AD na BE.

Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kawaida: asili iko kwenye hatua A, mhimili wa x umeelekezwa kando ya AB, z - pamoja na AA 1 Tunaelekeza mhimili wa y ili ndege ya OXY ifanane na ndege ya ABC. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1. Pata kuratibu za vector za mwelekeo kwa laini zilizotafutwa.

Kwanza, wacha tupate kuratibu za vector ya AD. Fikiria vidokezo: A = (0; 0; 0) na D = (0.5; 0; 1), kwa sababu D - sehemu ya katikati ya sehemu A 1 B 1. Kwa kuwa asili ya vector AD inafanana na asili, tunapata AD = (0.5; 0; 1).

Sasa wacha tupate kuratibu za vector BE. Uhakika B = (1; 0; 0) ni rahisi kuhesabu. Na kumweka E - katikati ya sehemu C 1 B 1 - ni ngumu zaidi. Tuna:

Inabaki kupata cosine ya pembe:

Kazi. Katika prism ya kawaida ya hexagonal ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama K na L zimewekwa alama - alama za katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AK na BL.

Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kiwango cha prism: weka asili ya kuratibu katikati ya msingi wa chini, elekeza mhimili wa x kando ya FC, mhimili wa y kupitia vituo vya sehemu za AB na DE, na z- mhimili wima juu. Sehemu ya kitengo tena ni sawa na AB = 1. Wacha tuandike kuratibu za alama za kupendeza kwetu:

Pointi K na L ni alama za katikati za sehemu A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa, kwa hivyo kuratibu zao hupatikana kupitia maana ya hesabu. Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vector mwelekeo AK na BL:

Sasa wacha tupate cosine ya pembe:

Kazi. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama E na F zimewekwa alama - alama za katikati za pande SB na SC, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AE na BF.

Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kawaida: asili iko kwenye hatua A, shoka za x na y zinaelekezwa kando ya AB na AD, mtawaliwa, na mhimili wa z umeelekezwa wima juu. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB = 1.

Pointi E na F ni katikati ya sehemu za SB na SC, mtawaliwa, kwa hivyo kuratibu zao hupatikana kama maana ya hesabu ya mwisho. Wacha tuandike kuratibu za alama za kupendeza kwetu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vector mwelekeo AE na BF:

Kuratibu za vector AE sanjari na kuratibu za uhakika E, kwani uhakika A ndio asili. Inabaki kupata cosine ya pembe:

ANGLE KATI YA MIPANGO

Fikiria ndege mbili α 1 na α 2, iliyopewa, mtawaliwa, na equations:

Chini ya pembe kati ya ndege mbili tunamaanisha moja ya pembe za dihedral iliyoundwa na ndege hizi. Kwa wazi, pembe kati ya vectors kawaida na ndege α 1 na α 2 ni sawa na moja ya pembe zilizoonyeshwa za dihedral zilizo karibu au ... kwa hivyo ... Kwa sababu na basi

.

Mfano. Kuamua pembe kati ya ndege x+2y-3z+ 4 = 0 na 2 x+3y+z+8=0.

Hali ya kufanana kwa ndege mbili.

Ndege mbili α 1 na α 2 ni sawa ikiwa na ikiwa vectors zao za kawaida na ni sawa, ambayo inamaanisha .

Kwa hivyo, ndege mbili zinafanana kwa kila mmoja ikiwa na ikiwa tu coefficients katika kuratibu zinazofanana ni sawa:

au

Hali ya utaftaji wa ndege.

Ni wazi kwamba ndege mbili ni za dhana ikiwa na ikiwa tu veta zao za kawaida ni za kawaida, na kwa hivyo, au.

Kwa njia hii, .

Mifano.

SAWA NAFASI.

VIFAA VYA MSTARI WA VECTOR.

VIFAA VYA MFANO WA MSTARI

Msimamo wa laini moja kwa moja kwenye nafasi imedhamiriwa kabisa kwa kubainisha yoyote ya alama zake zilizowekwa M 1 na vector inayofanana na mstari huu.

Vector inayofanana na laini moja kwa moja inaitwa kuongoza vector ya mstari huu.

Kwa hivyo iwe sawa l hupitia hatua hiyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) amelala kwenye mstari wa moja kwa moja sambamba na vector.

Fikiria hatua ya kiholela M (x, y, z) kwenye mstari ulio sawa. Takwimu inaonyesha hiyo .

Vectors na ni collinear, kwa hivyo kuna idadi kama hiyo t, nini, sababu iko wapi t inaweza kuchukua thamani yoyote ya nambari kulingana na nafasi ya uhakika M kwenye mstari ulio sawa. Sababu t inaitwa parameter. Kuonyesha vectors ya radius ya alama M 1 na M mtawaliwa kupitia na, tunapata. Mlinganyo huu unaitwa vector equation ya mstari sawa. Inaonyesha kuwa kwa kila thamani ya parameta t inalingana na vector ya radius ya hatua fulani M amelala kwenye mstari ulio sawa.

Wacha tuandike usawa huu kwa fomu ya kuratibu. Angalia, kwamba, na kutoka hapa

Usawa unaosababishwa huitwa parametri equations ya mstari sawa.

Wakati wa kubadilisha parameter t inaratibu mabadiliko x, y na z na onyesha M huenda kwa mstari ulio sawa.

Usawa sawa wa Canonical

Hebu iwe M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ni hatua iliyolala kwenye laini moja kwa moja l, na Je, ni vector ya mwelekeo wake. Tena, chukua hatua ya kiholela kwenye mstari ulio sawa M (x, y, z) na fikiria vector.

Ni wazi kuwa vectors na ni collinear, kwa hivyo kuratibu zao zinazolingana lazima ziwe sawia, kwa hivyo

– kanuni equations ya mstari wa moja kwa moja.

Sema 1. Kumbuka kuwa hesabu za kisheria za laini moja kwa moja zinaweza kupatikana kutoka kwa zile za parametric kwa kuondoa parameter t... Kwa kweli, kutoka kwa hesabu za parametric tunapata au .

Mfano. Andika equation ya mstari sawa kwa fomu ya parametric.

Tunaashiria , kutoka hapa x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Sema 2. Wacha laini moja kwa moja iwe sawa na moja ya shoka za kuratibu, kwa mfano, mhimili Ng'ombe... Kisha vector inayoongoza ni ya kawaida Ng'ombe, kwa hivyo, m= 0. Kwa hivyo, hesabu za parametric ya laini moja kwa moja huchukua fomu

Kuondoa parameter kutoka kwa equations t, tunapata equations ya mstari wa moja kwa moja kwa fomu

Walakini, katika kesi hii pia, tunakubali kuandika rasmi hesabu za kisheria za laini moja kwa moja katika fomu ... Kwa hivyo, ikiwa dhehebu la moja ya sehemu ni sifuri, basi hii inamaanisha kuwa mstari huo ni sawa na mhimili unaofanana wa uratibu.

Vivyo hivyo, hesabu za kisheria inalingana na mstari wa moja kwa moja sawa na shoka Ng'ombe na Oy au sambamba na mhimili Oz.

Mifano.

VIFAA VYA JUMLA VYA MSTARI KWA AJILI YA BARAZA LA KUPITIA MIPANGO MIWILI

Idadi zisizohesabika za ndege hupita kila mstari wa moja kwa moja angani. Wawili kati yao, wakikatiza, wanafafanua katika nafasi. Kwa hivyo, hesabu za ndege hizo mbili, zinazozingatiwa pamoja, zinawakilisha usawa wa laini hii iliyonyooka.

Kwa ujumla, ndege zozote mbili zisizo sawa zinazotolewa na hesabu za jumla

fafanua mstari wa makutano yao. Hesabu hizi zinaitwa equations jumla sawa.

Mifano.

Jenga laini moja kwa moja iliyotolewa na equations

Ili kujenga laini moja kwa moja, inatosha kupata alama zake mbili. Njia rahisi ni kuchagua alama za makutano ya mstari na ndege za kuratibu. Kwa mfano, hatua ya makutano na ndege xOy sisi kupata kutoka equations ya mstari wa moja kwa moja, kuweka z= 0:

Baada ya kutatua mfumo huu, tunapata uhakika M 1 (1;2;0).

Vivyo hivyo, kuweka y= 0, tunapata uhakika wa makutano ya mstari ulionyooka na ndege xOz:

Kutoka kwa equations ya jumla ya mstari wa moja kwa moja, unaweza kwenda kwa hesabu zake za kisheria au parametric. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata hatua M 1 kwenye mstari na vector ya mwelekeo wa mstari.

Kuratibu za uhakika M 1 itapatikana kutoka kwa mfumo huu wa equations kwa kupeana thamani ya kiholela kwa moja ya kuratibu. Ili kupata vector ya mwelekeo, kumbuka kuwa vector hii lazima iwe sawa kwa vectors zote za kawaida na ... Kwa hivyo, nyuma ya vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja l tunaweza kuchukua bidhaa ya msalaba ya vectors kawaida:

.

Mfano. Toa hesabu za jumla za laini iliyonyooka kwa fomu ya kisheria.

Pata nukta iliyolala kwenye mstari ulionyooka. Ili kufanya hivyo, sisi huchagua moja ya kuratibu, kwa mfano, y= 0 na utatue mfumo wa equations:

Wataalamu wa kawaida wa ndege wanaofafanua mstari ulio sawa wana kuratibu Kwa hivyo, vector inayoongoza ya laini moja kwa moja itakuwa

... Kwa hivyo, l: .

ANGLE KATI YA UWANGO

Kona kati ya mistari iliyonyooka katika nafasi tutaita pembe yoyote iliyo karibu inayoundwa na mistari miwili iliyonyooka iliyochorwa kwa njia ya kiholela sawa na data.

Wacha mistari miwili iliyonyooka ipewe katika nafasi:

Kwa wazi, pembe kati ya mistari iliyonyooka inaweza kuchukuliwa kama pembe kati ya vectors ya mwelekeo wao na. Kwa kuwa, basi, kulingana na fomula ya cosine ya pembe kati ya vectors, tunapata