Jinsi ya kuongeza sehemu zisizofaa. Vitendo vilivyo na sehemu

nyumbani / Upendo

Somo hili litashughulikia kujumlisha na kutoa sehemu za aljebra na madhehebu tofauti. Tayari tunajua jinsi ya kuongeza na kutoa sehemu za kawaida na denomineta tofauti. Kwa kufanya hivyo, sehemu lazima zipunguzwe kwa kawaida. Inabadilika kuwa sehemu za algebraic zinatii sheria sawa. Zaidi ya hayo, tayari tunajua jinsi ya kuleta sehemu za algebraic kwa denominator ya kawaida. Kuongeza na kutoa sehemu zenye madhehebu tofauti ni mojawapo ya mada muhimu na ngumu katika kozi ya daraja la 8. Kwa kuongezea, mada hii itapatikana katika mada nyingi za kozi ya algebra, ambayo utasoma katika siku zijazo. Kama sehemu ya somo, tutasoma sheria za kujumlisha na kutoa sehemu za algebra na madhehebu tofauti, na pia kuchambua idadi ya mifano ya kawaida.

Wacha tuchunguze mfano rahisi zaidi wa sehemu za kawaida.

Mfano 1. Ongeza sehemu:.

Suluhisho:

Wacha tukumbuke sheria ya kuongeza sehemu. Kuanza, sehemu lazima ziletwe kwa dhehebu la kawaida. Denominator ya kawaida kwa sehemu za kawaida ni angalau nyingi za kawaida(LCM) madhehebu ya awali.

Ufafanuzi

Nambari ndogo zaidi ya asili ambayo inaweza kugawanywa na nambari na kwa wakati mmoja.

Ili kupata LCM, ni muhimu kupanua madhehebu katika mambo makuu, na kisha kuchagua mambo yote kuu ambayo yanajumuishwa katika upanuzi wa denominators zote mbili.

; ... Kisha LCM ya nambari lazima ijumuishe mbili mbili na mbili tatu:.

Baada ya kupata dhehebu la kawaida, ni muhimu kupata sababu ya ziada kwa kila sehemu (kwa kweli, kugawanya dhehebu ya kawaida na denominator ya sehemu inayofanana).

Kisha kila sehemu inazidishwa na sababu ya ziada inayosababisha. Vipande vilivyo na madhehebu sawa hupatikana, ambayo tulijifunza kuongeza na kupunguza katika masomo ya awali.

Tunapata: .

Jibu:.

Fikiria sasa nyongeza ya sehemu za aljebra na madhehebu tofauti. Kwanza, fikiria sehemu ambazo madhehebu yake ni nambari.

Mfano 2. Ongeza sehemu:.

Suluhisho:

Algorithm ya suluhisho ni sawa kabisa na mfano uliopita. Ni rahisi kupata dhehebu la kawaida kwa sehemu hizi: na mambo ya ziada kwa kila mmoja wao.

Jibu:.

Kwa hivyo, wacha tutengeneze algorithm ya kuongeza na kutoa sehemu za aljebra na denominators tofauti:

1. Tafuta dhehebu la chini kabisa la sehemu.

2. Tafuta vipengele vya ziada kwa kila sehemu (kwa kugawanya dhehebu ya kawaida na denominator ya sehemu iliyotolewa).

3. Zidisha nambari kwa vipengele vya ziada vinavyolingana.

4. Ongeza au ondoa sehemu kwa kutumia sheria za kuongeza na kutoa sehemu kwa denominator sawa.

Fikiria sasa mfano na sehemu zilizo na misemo halisi katika denominator.

Mfano 3. Ongeza sehemu:.

Suluhisho:

Kwa kuwa misemo halisi katika madhehebu yote mawili ni sawa, unapaswa kupata dhehebu la kawaida la nambari. Denominator ya mwisho ya kawaida itakuwa:. Kwa hivyo, suluhisho la mfano huu linaonekana kama:

Jibu:.

Mfano 4. Ondoa sehemu:.

Suluhisho:

Ikiwa huwezi "kudanganya" wakati wa kuchagua denominator ya kawaida (huwezi kuihesabu au kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha), basi itabidi uchukue bidhaa ya madhehebu ya sehemu zote mbili kama denominator ya kawaida.

Jibu:.

Kwa ujumla, wakati wa kutatua mifano hiyo, kazi ngumu zaidi ni kupata dhehebu la kawaida.

Hebu tuangalie mfano tata zaidi.

Mfano 5. Rahisisha:.

Suluhisho:

Unapopata dhehebu la kawaida, lazima kwanza ujaribu kuainisha madhehebu ya sehemu za asili (ili kurahisisha dhehebu la kawaida).

Katika kesi hii maalum:

Basi ni rahisi kuamua dhehebu la kawaida: .

Tunaamua mambo ya ziada na kutatua mfano huu:

Jibu:.

Sasa hebu turekebishe sheria za kuongeza na kutoa sehemu na denominators tofauti.

Mfano 6. Rahisisha:.

Suluhisho:

Jibu:.

Mfano 7. Rahisisha:.

Suluhisho:

Jibu:.

Fikiria sasa mfano ambao sio mbili, lakini sehemu tatu zinaongezwa (baada ya yote, sheria za kuongeza na kutoa kwa sehemu zaidi zinabaki sawa).

Mfano 8. Rahisisha:.

Wacha tuchunguze mfano rahisi zaidi wa sehemu za kawaida.

Mfano 1. Ongeza sehemu:.

Suluhisho:

Wacha tukumbuke sheria ya kuongeza sehemu. Kuanza, sehemu lazima ziletwe kwa dhehebu la kawaida. Denominator ya kawaida kwa sehemu za kawaida ni angalau nyingi za kawaida(LCM) madhehebu ya awali.

Ufafanuzi

Nambari ndogo zaidi ya asili ambayo inaweza kugawanywa na nambari na kwa wakati mmoja.

Ili kupata LCM, ni muhimu kupanua madhehebu katika mambo makuu, na kisha kuchagua mambo yote kuu ambayo yanajumuishwa katika upanuzi wa denominators zote mbili.

; ... Kisha LCM ya nambari lazima ijumuishe mbili mbili na mbili tatu:.

Baada ya kupata dhehebu la kawaida, ni muhimu kupata sababu ya ziada kwa kila sehemu (kwa kweli, kugawanya dhehebu ya kawaida na denominator ya sehemu inayofanana).

Kisha kila sehemu inazidishwa na sababu ya ziada inayosababisha. Vipande vilivyo na madhehebu sawa hupatikana, ambayo tulijifunza kuongeza na kupunguza katika masomo ya awali.

Tunapata: .

Jibu:.

Fikiria sasa nyongeza ya sehemu za aljebra na madhehebu tofauti. Kwanza, fikiria sehemu ambazo madhehebu yake ni nambari.

Mfano 2. Ongeza sehemu:.

Suluhisho:

Algorithm ya suluhisho ni sawa kabisa na mfano uliopita. Ni rahisi kupata dhehebu la kawaida kwa sehemu hizi: na mambo ya ziada kwa kila mmoja wao.

Jibu:.

Kwa hivyo, wacha tutengeneze algorithm ya kuongeza na kutoa sehemu za aljebra na denominators tofauti:

1. Tafuta dhehebu la chini kabisa la sehemu.

2. Tafuta vipengele vya ziada kwa kila sehemu (kwa kugawanya dhehebu ya kawaida na denominator ya sehemu iliyotolewa).

3. Zidisha nambari kwa vipengele vya ziada vinavyolingana.

4. Ongeza au ondoa sehemu kwa kutumia sheria za kuongeza na kutoa sehemu kwa denominator sawa.

Fikiria sasa mfano na sehemu zilizo na misemo halisi katika denominator.

Mfano 3. Ongeza sehemu:.

Suluhisho:

Jibu:.

Mfano 4. Ondoa sehemu:.

Suluhisho:

Jibu:.

Kwa ujumla, wakati wa kutatua mifano hiyo, kazi ngumu zaidi ni kupata dhehebu la kawaida.

Hebu tuangalie mfano tata zaidi.

Mfano 5. Rahisisha:.

Suluhisho:

Unapopata dhehebu la kawaida, lazima kwanza ujaribu kuainisha madhehebu ya sehemu za asili (ili kurahisisha dhehebu la kawaida).

Katika kesi hii maalum:

Basi ni rahisi kuamua dhehebu la kawaida: .

Tunaamua mambo ya ziada na kutatua mfano huu:

Jibu:.

Sasa hebu turekebishe sheria za kuongeza na kutoa sehemu na denominators tofauti.

Mfano 6. Rahisisha:.

Suluhisho:

Jibu:.

Mfano 7. Rahisisha:.

Suluhisho:

Jibu:.

Fikiria sasa mfano ambao sio mbili, lakini sehemu tatu zinaongezwa (baada ya yote, sheria za kuongeza na kutoa kwa sehemu zaidi zinabaki sawa).

Mfano 8. Rahisisha:.

Maneno ya sehemu ni ngumu kwa mtoto kuelewa. Wengi wana shida zinazohusiana na. Wakati wa kusoma mada "kuongeza sehemu na nambari", mtoto huanguka kwenye usingizi, na kupata ugumu wa kutatua kazi hiyo. Katika mifano mingi, idadi ya mahesabu lazima ifanyike kabla ya kufanya kitendo. Kwa mfano, kubadilisha sehemu au kubadilisha sehemu isiyofaa kuwa sahihi.

Hebu tuelezee mtoto kwa kuibua. Wacha tuchukue maapulo matatu, mawili ambayo yatakuwa mzima, na ya tatu yatakatwa katika sehemu 4. Tunatenganisha kipande kimoja kutoka kwa apple iliyokatwa, na kuweka nyingine tatu karibu na matunda mawili nzima. Tunapata apples ¼ kwa upande mmoja na 2 ¾ kwa upande mwingine. Ikiwa tunawaunganisha, tunapata apples tatu nzima. Hebu jaribu kupunguza apples 2 ¾ kwa ¼, yaani, kuondoa kipande kimoja zaidi, tunapata apples 2 2/4.

Wacha tuangalie kwa karibu vitendo na sehemu ambazo zina nambari kamili:

Kuanza, hebu tukumbuke sheria ya hesabu ya misemo ya sehemu na dhehebu la kawaida:

Kwa mtazamo wa kwanza, kila kitu ni rahisi na rahisi. Lakini hii inatumika tu kwa maneno ambayo hayahitaji uongofu.

Jinsi ya kupata maana ya usemi ambapo madhehebu ni tofauti

Katika kazi zingine ni muhimu kupata maana ya usemi ambapo madhehebu ni tofauti. Hebu fikiria kesi maalum:
3 2/7+6 1/3

Tutapata thamani ya usemi huu, kwa hili tutapata dhehebu la kawaida kwa sehemu mbili.

Kwa nambari 7 na 3 - hii ni 21. Tunaacha sehemu zote sawa, na sehemu za sehemu zimepunguzwa hadi 21, kwa hili tunazidisha sehemu ya kwanza na 3, ya pili na 7, tunapata:
6/21 + 7/21, usisahau kwamba sehemu nzima haiwezi kubadilishwa. Kama matokeo, tunapata sehemu mbili na dhehebu moja na kuhesabu jumla yao:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Nini ikiwa nyongeza itasababisha sehemu isiyo sahihi ambayo tayari ina sehemu kamili:
2 1/3+3 2/3
Katika kesi hii, tunaongeza sehemu zote na sehemu za sehemu, tunapata:
5 3/3, kama unavyojua, 3/3 ni kitengo, kwa hivyo 2 1/3 + 3 2/3 = 5 3/3 = 5 + 1 = 6

Kwa kupata jumla, kila kitu kiko wazi, wacha tuchambue kutoa:

Kutoka kwa yote ambayo yamesemwa, sheria ya vitendo na nambari zilizochanganywa hufuata, ambayo inasikika kama hii:

Ikiwa inahitajika kutoa nambari kamili kutoka kwa usemi wa sehemu, hauitaji kuwakilisha nambari ya pili kama sehemu, inatosha kufanya kitendo kwenye sehemu kamili tu.

Wacha tujaribu kuhesabu thamani ya misemo sisi wenyewe:

Wacha tuangalie kwa karibu mfano chini ya herufi "m":

4 5 / 11-2 8/11, nambari ya sehemu ya kwanza ni chini ya ya pili. Ili kufanya hivyo, tunachukua nambari moja kutoka kwa sehemu ya kwanza, tunapata,
3 5/11 + 11/11 = 3 nzima 16/11, toa ya pili kutoka sehemu ya kwanza:
3 16 / 11-2 8/11 = 1 nambari kamili 8/11

Kuwa mwangalifu wakati wa kukamilisha kazi, usisahau kubadilisha sehemu zisizo za kawaida kuwa mchanganyiko, ukionyesha sehemu nzima. Ili kufanya hivyo, unahitaji kugawanya thamani ya nambari kwa thamani ya dhehebu, kisha kile kilichotokea kinachukua nafasi ya sehemu nzima, iliyobaki itakuwa nambari, kwa mfano:

19/4 = 4 ¾, angalia: 4 * 4 + 3 = 19, katika denominator 4 bado haijabadilika.

Fanya muhtasari:

Kabla ya kuendelea na kazi inayohusiana na sehemu, inahitajika kuchambua ni aina gani ya usemi, ni mabadiliko gani yanahitajika kufanywa kwenye sehemu hiyo ili suluhisho liwe sahihi. Tafuta suluhisho la busara zaidi. Usichukue njia ngumu. Panga vitendo vyote, amua kwanza katika rasimu, kisha uhamishe kwenye daftari la shule.

Ili kuepuka kuchanganyikiwa wakati wa kutatua maneno ya sehemu, lazima ufuate sheria ya mlolongo. Amua kila kitu kwa uangalifu, bila kukimbilia.

Moja ya sayansi muhimu zaidi, ambayo matumizi yake yanaweza kuonekana katika taaluma kama vile kemia, fizikia na hata biolojia, ni hisabati. Utafiti wa sayansi hii hukuruhusu kukuza sifa fulani za kiakili, kuboresha na uwezo wa kuzingatia. Mojawapo ya mada ambayo yanastahili uangalifu maalum katika kozi ya "Hisabati" ni kuongeza na kutoa sehemu. Kwa wanafunzi wengi, kujifunza ni vigumu. Labda makala yetu itakusaidia kuelewa vizuri mada hii.

Jinsi ya kutoa sehemu na madhehebu sawa

Sehemu ni nambari sawa ambazo unaweza kufanya vitendo anuwai. Zinatofautiana na nambari kamili mbele ya dhehebu. Ndiyo sababu, wakati wa kufanya vitendo na sehemu, unahitaji kusoma baadhi ya vipengele na sheria zao. Kesi rahisi zaidi ni uondoaji wa sehemu za kawaida, madhehebu ambayo yanawakilishwa kama nambari sawa. Hatua hii haitakuwa ngumu ikiwa unajua sheria rahisi:

Ili kuondoa pili kutoka kwa sehemu moja, ni muhimu kutoa nambari ya sehemu iliyopunguzwa kutoka kwa nambari ya sehemu iliyopunguzwa. Tunaandika nambari hii katika nambari ya tofauti, na kuacha denominator sawa: k / m - b / m = (k-b) / m.

Mifano ya kutoa sehemu ambazo madhehebu yake ni sawa

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Tunatoa nambari ya sehemu iliyopunguzwa "3" kutoka kwa nambari ya sehemu iliyopunguzwa "7", tunapata "4". Tunaandika nambari hii katika nambari ya jibu, na katika dhehebu tunaweka nambari ile ile iliyokuwa katika madhehebu ya sehemu za kwanza na za pili - "19".

Picha hapa chini inaonyesha mifano mingine inayofanana.

Fikiria mfano mgumu zaidi, ambapo sehemu zilizo na madhehebu sawa hutolewa:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Kutoka kwa nambari ya sehemu iliyopunguzwa "29" kwa kutoa kwa zamu nambari za sehemu zote zinazofuata - "3", "8", "2", "7". Kama matokeo, tunapata matokeo "9", ambayo tunaandika katika nambari ya jibu, na katika dhehebu tunaandika nambari ambayo iko katika madhehebu ya sehemu hizi zote - "47".

Kuongeza sehemu na denominator sawa

Kuongeza na kutoa sehemu za kawaida hufanywa kulingana na kanuni hiyo hiyo.

Ili kuongeza sehemu, madhehebu ambayo ni sawa, unahitaji kuongeza nambari. Nambari inayotokana ni nambari ya jumla, na denominator inabakia sawa: k / m + b / m = (k + b) / m.

Wacha tuone jinsi inavyoonekana katika mfano:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kwa nambari ya muhula wa kwanza wa sehemu - "1" - ongeza nambari ya muhula wa pili wa sehemu - "2". Matokeo - "3" - imeandikwa katika nambari ya jumla, na denominator ni sawa na katika sehemu - "4".

Sehemu zilizo na madhehebu tofauti na uondoaji wao

Tayari tumezingatia kitendo na visehemu ambavyo vina dhehebu sawa. Kama unaweza kuona, kujua sheria rahisi, ni rahisi sana kutatua mifano kama hiyo. Lakini vipi ikiwa unahitaji kufanya kitendo na sehemu ambazo zina madhehebu tofauti? Wanafunzi wengi wa shule za upili wanachanganyikiwa na mifano hii. Lakini hata hapa, ikiwa unajua kanuni ya suluhisho, mifano haitawasilisha matatizo yoyote kwako. Pia kuna sheria hapa, bila ambayo suluhisho la sehemu kama hizo haliwezekani.

Ili kutoa sehemu na denominators tofauti, unahitaji kuwaleta kwa denominator sawa ya chini.

Tutazungumza kwa undani zaidi jinsi ya kufanya hivyo.

Mali ya sehemu

Ili kuleta sehemu kadhaa kwa dhehebu moja, unahitaji kutumia mali kuu ya sehemu katika suluhisho: baada ya kugawa au kuzidisha nambari na dhehebu kwa nambari sawa, unapata sehemu sawa na ile iliyotolewa.

Kwa hivyo, kwa mfano, sehemu ya 2/3 inaweza kuwa na madhehebu kama "6", "9", "12", nk, ambayo ni, inaweza kuwa na fomu ya nambari yoyote ambayo ni nyingi ya "3". Baada ya kuzidisha nambari na denominator kwa "2", tunapata sehemu 4/6. Baada ya kuzidisha nambari na denominator ya sehemu ya asili na "3", tunapata 6/9, na ikiwa tunafanya kitendo sawa na nambari "4", tunapata 8/12. Kwa usawa mmoja, inaweza kuandikwa kama hii:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jinsi ya kubadilisha sehemu nyingi kuwa dhehebu moja

Wacha tuchunguze jinsi ya kuleta sehemu kadhaa kwa dhehebu moja. Kwa mfano, chukua sehemu zilizoonyeshwa kwenye picha hapa chini. Kwanza, unahitaji kuamua ni nambari gani inaweza kuwa dhehebu kwa wote. Ili kurahisisha, tunazingatia madhehebu yanayopatikana.

Denominator ya 1/2 na 2/3 haiwezi kuwa factorized. Denominator 7/9 ina mambo mawili 7/9 = 7 / (3 x 3), denominator ya sehemu 5/6 = 5 / (2 x 3). Sasa unahitaji kuamua ni sababu gani zitakuwa ndogo zaidi kwa sehemu hizi zote nne. Kwa kuwa sehemu ya kwanza katika dhehebu ina nambari "2", ambayo ina maana kwamba lazima iwepo katika madhehebu yote, kuna mara tatu katika sehemu ya 7/9, ambayo ina maana kwamba wote wawili lazima pia wawepo katika denominator. Kuzingatia hapo juu, tunaamua kuwa denominator ina mambo matatu: 3, 2, 3 na ni sawa na 3 x 2 x 3 = 18.

Fikiria sehemu ya kwanza - 1/2. Denominator yake ina "2", lakini hakuna tarakimu moja "3", lakini inapaswa kuwa mbili. Ili kufanya hivyo, tunazidisha dhehebu kwa mara tatu, lakini, kulingana na mali ya sehemu, lazima tuzidishe nambari kwa mara tatu:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18.

Vile vile, tunafanya vitendo na sehemu zilizobaki.

2/3 - moja tatu na moja mbili haipo katika dhehebu:
2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 au 7 / (3 x 3) - mbili hazipo kwenye dhehebu:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
5/6 au 5 / (2 x 3) - denominator inakosa mara tatu:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Pamoja, inaonekana kama hii:

Jinsi ya kutoa na kuongeza sehemu na denominators tofauti

Kama ilivyoelezwa hapo juu, ili kuongeza au kutoa sehemu zilizo na dhehebu tofauti, lazima zipunguzwe kwa dhehebu moja, na kisha utumie sheria za kutoa sehemu na denominator sawa, ambayo tayari imeelezewa.

Hebu tuangalie mfano: 4/18 - 3/15.

Tafuta nyingi ya 18 na 15:

Nambari 18 inaundwa na 3 x 2 x 3.
Nambari 15 inaundwa na 5 x 3.
Nambari ya kawaida itakuwa 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Baada ya kupatikana kwa dhehebu, inahitajika kuhesabu sababu ambayo itakuwa tofauti kwa kila sehemu, ambayo ni, nambari ambayo sio dhehebu tu, bali pia nambari itahitaji kuzidishwa. Ili kufanya hivyo, nambari ambayo tumepata (zaidi ya kawaida) imegawanywa na denominator ya sehemu ambayo mambo ya ziada yanahitajika kuamua.

90 imegawanywa na 15. Nambari inayotokana "6" itakuwa sababu ya 3/15.
90 imegawanywa na 18. Nambari inayotokana "5" itakuwa ya kuzidisha kwa 4/18.

Hatua inayofuata katika suluhisho letu ni kuleta kila sehemu kwa denominator "90".

Tayari tumejadili jinsi hii inafanywa. Wacha tuone jinsi hii imeandikwa katika mfano:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ikiwa sehemu ziko na nambari ndogo, basi dhehebu la kawaida linaweza kuamua, kama katika mfano ulioonyeshwa kwenye picha hapa chini.

Vile vile, huzalishwa na kuwa na madhehebu tofauti.

Kutoa na kuwa na sehemu nzima

Tayari tumeshughulikia utoaji wa sehemu na kuongeza kwao kwa undani. Lakini unawezaje kutoa ikiwa sehemu ina sehemu kamili? Tena, hebu tumia sheria chache:

Sehemu zote ambazo zina sehemu kamili zinapaswa kubadilishwa kuwa zisizo sahihi. Kwa maneno rahisi, ondoa sehemu nzima. Ili kufanya hivyo, zidisha nambari ya sehemu kamili na denominator ya sehemu, ongeza bidhaa inayotokana na nambari. Nambari ambayo itapatikana baada ya vitendo hivi ni nambari ya sehemu isiyofaa. Denominator bado haijabadilika.
Ikiwa sehemu zina madhehebu tofauti, unapaswa kuwaleta sawa.
Ongeza au ondoa kwa kutumia madhehebu sawa.
Ikiwa unapata sehemu isiyo sahihi, chagua sehemu nzima.

Kuna njia nyingine ambayo unaweza kuongeza na kutoa sehemu na sehemu nzima. Kwa hili, vitendo hufanywa kando na sehemu nzima, na vitendo tofauti na sehemu, na matokeo yanarekodiwa pamoja.

Mfano hapo juu unajumuisha sehemu ambazo zina dhehebu sawa. Katika kesi wakati madhehebu ni tofauti, lazima yapunguzwe sawa, na kisha kufanya vitendo, kama inavyoonekana katika mfano.

Kutoa sehemu kutoka kwa nambari kamili

Mwingine wa aina za vitendo na sehemu ni kesi wakati sehemu lazima iondolewe kwa mtazamo wa kwanza, mfano huu unaonekana kuwa mgumu kutatua. Walakini, kila kitu ni rahisi sana hapa. Ili kuisuluhisha, inahitajika kubadilisha nambari kuwa sehemu, na kwa dhehebu sawa, ambayo iko katika sehemu ya kupunguzwa. Ifuatayo, tunafanya uondoaji, sawa na kutoa na madhehebu sawa. Kwa mfano, inaonekana kama hii:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Utoaji wa sehemu (daraja la 6) iliyotolewa katika kifungu hiki ndio msingi wa kutatua mifano ngumu zaidi, ambayo inazingatiwa katika madarasa yanayofuata. Ujuzi wa mada hii hutumika baadaye kutatua kazi, derivatives, na kadhalika. Kwa hivyo, ni muhimu sana kuelewa na kuelewa vitendo na sehemu zilizojadiliwa hapo juu.

§ 87. Ongezeko la sehemu.

Nyongeza ya sehemu ina mfanano mwingi na nyongeza ya nambari nzima. Ongezeko la sehemu ni kitendo kinachojumuisha ukweli kwamba nambari kadhaa (masharti) kadhaa zimejumuishwa kuwa nambari moja (jumla), ambayo ina vitengo na sehemu zote za vitengo vya maneno.

Tutazingatia kesi tatu kwa mlolongo:

1. Kuongeza sehemu na madhehebu sawa.
2. Kuongeza sehemu na madhehebu tofauti.
3. Ongezeko la namba mchanganyiko.

1. Kuongeza sehemu na madhehebu sawa.

Fikiria mfano: 1/5 + 2/5.

Chukua sehemu ya AB (Mchoro 17), ichukue kama kitengo na ugawanye katika sehemu 5 sawa, kisha sehemu ya AC ya sehemu hii itakuwa sawa na 1/5 ya sehemu ya AB, na sehemu ya CD ya sehemu hiyo hiyo. itakuwa sawa na 2/5 AB.

Mchoro unaonyesha kwamba ikiwa unachukua sehemu ya AD, basi itakuwa sawa na 3/5 AB; lakini sehemu ya AD ni jumla tu ya sehemu za AC na CD. Kwa hivyo, tunaweza kuandika:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Kwa kuzingatia masharti haya na jumla inayotokana, tunaona kwamba nambari ya jumla ilipatikana kutokana na kuongezwa kwa nambari za maneno, na denominator ilibakia bila kubadilika.

Kuanzia hapa tunapata sheria ifuatayo: ili kuongeza sehemu na denominator sawa, ongeza nambari zao na uache denominator sawa.

Hebu tuchunguze mfano:

2. Kuongeza sehemu na madhehebu tofauti.

Tunaongeza sehemu: 3/4 + 3/8 Kwanza, zinahitaji kupunguzwa hadi dhehebu la chini kabisa:

Kiungo cha kati 6/8 + 3/8 hakingeweza kuandikwa; tuliandika hapa kwa uwazi.

Kwa hivyo, ili kuongeza sehemu zilizo na madhehebu tofauti, lazima kwanza uwalete kwa kiwango cha chini kabisa cha kawaida, ongeza nambari zao na usaini dhehebu la kawaida.

Fikiria mfano (tutaandika mambo ya ziada juu ya sehemu zinazolingana):

3. Ongezeko la namba mchanganyiko.

Ongeza nambari: 2 3/8 + 3 5/6.

Kwanza, tunaleta sehemu za sehemu za nambari zetu kwa dhehebu moja na kuziandika tena:

Sasa wacha tuongeze sehemu zote na za sehemu kwa mlolongo:

§ 88. Utoaji wa sehemu.

Kutoa sehemu hufafanuliwa kwa njia sawa na kutoa nambari nzima. Hiki ni kitendo ambacho, kwa jumla fulani ya istilahi mbili na moja wapo, istilahi nyingine hupatikana. Wacha tuzingatie kesi tatu kwa mlolongo:

1. Utoaji wa sehemu na denominator sawa.
2. Utoaji wa sehemu na denominators tofauti.
3. Utoaji wa namba mchanganyiko.

1. Utoaji wa sehemu na denominator sawa.

Hebu tuchunguze mfano:

13 / 15 - 4 / 15

Chukua sehemu ya AB (Mchoro 18), chukua kama kitengo na ugawanye katika sehemu 15 sawa; basi sehemu ya AC ya sehemu hii itakuwa 1/15 ya AB, na sehemu ya AD ya sehemu hiyo hiyo italingana na 13/15 AB. Wacha tuweke kando sehemu ya ED, sawa na 4/15 AB.

Tunahitaji kutoa 4/15 kutoka 13/15. Katika kuchora, hii ina maana kwamba unahitaji kuondoa sehemu ED kutoka sehemu AD. Matokeo yake, sehemu ya AE itabaki, ambayo ni 9/15 ya sehemu ya AB. Kwa hivyo tunaweza kuandika:

Mfano wetu unaonyesha kwamba nambari ya tofauti hupatikana kwa kutoa nambari, lakini denominator inabaki sawa.

Kwa hivyo, ili kuondoa sehemu na dhehebu sawa, unahitaji kuondoa nambari ya nambari iliyopunguzwa kutoka kwa nambari iliyopunguzwa na kuacha dhehebu sawa.

2. Utoaji wa sehemu na denominators tofauti.

Mfano. 3/4 - 5/8

Kwanza, tunaleta sehemu hizi kwa dhehebu la chini kabisa:

6/8 - 5/8 imeandikwa hapa kwa uwazi, lakini inaweza kuachwa baadaye.

Kwa hivyo, ili kuondoa sehemu kutoka kwa sehemu, lazima kwanza uwalete kwa dhehebu la kawaida la chini kabisa, kisha uondoe nambari iliyopunguzwa kutoka kwa nambari iliyopunguzwa na usaini dhehebu la kawaida chini ya tofauti zao.

Hebu tuchunguze mfano:

3. Utoaji wa namba mchanganyiko.

Mfano. 10 3/4 - 7 2/3.

Wacha tulete sehemu za sehemu za iliyopunguzwa na kutolewa kwa dhehebu la kawaida la chini kabisa:

Tunatoa nzima kutoka kwa nzima na sehemu kutoka kwa sehemu. Lakini kuna nyakati ambapo sehemu ya sehemu ya iliyopunguzwa ni kubwa kuliko sehemu ya sehemu iliyopunguzwa. Katika hali kama hizi, unahitaji kuchukua kitengo kimoja kutoka kwa sehemu nzima ya ile iliyopunguzwa, ugawanye katika sehemu hizo ambazo sehemu ya sehemu imeonyeshwa, na uiongeze kwenye sehemu ya sehemu iliyopunguzwa. Na kisha kutoa kutafanywa kwa njia ile ile kama katika mfano uliopita:

§ 89. Kuzidisha kwa sehemu.

Wakati wa kusoma kuzidisha kwa sehemu, tutazingatia maswali yafuatayo:

1. Kuzidisha kwa sehemu kwa nambari kamili.
2. Kupata sehemu ya nambari fulani.
3. Kuzidisha nambari kamili kwa sehemu.
4. Kuzidisha sehemu kwa sehemu.
5. Kuzidisha namba mchanganyiko.
6. Dhana ya riba.
7. Kupata asilimia ya nambari fulani. Hebu tuzingatie kwa mfuatano.

1. Kuzidisha kwa sehemu kwa nambari kamili.

Kuzidisha sehemu kwa nambari kamili kuna maana sawa na kuzidisha nambari kamili kwa nambari kamili. Kuzidisha sehemu (kuzidisha) kwa nambari kamili (kuzidisha) inamaanisha kuunda jumla ya maneno sawa, ambayo kila neno ni sawa na kizidishi, na idadi ya istilahi ni sawa na kizidishi.

Kwa hivyo, ikiwa unahitaji kuzidisha 1/9 kwa 7, basi hii inaweza kufanywa kama hii:

Tulipata matokeo kwa urahisi, kwani hatua ilipunguzwa ili kuongeza sehemu na denominators sawa. Kwa hivyo,

Uzingatiaji wa kitendo hiki unaonyesha kuwa kuzidisha sehemu kwa nambari kamili ni sawa na kuongeza sehemu hii mara nyingi kama kuna vitengo katika nambari nzima. Na kwa kuwa ongezeko la sehemu linapatikana ama kwa kuongeza nambari yake

au kwa kupunguza dhehebu lake , basi tunaweza kuzidisha nambari kwa nambari kamili, au kugawanya dhehebu nayo, ikiwa mgawanyiko kama huo unawezekana.

Kuanzia hapa tunapata sheria:

Ili kuzidisha sehemu kwa nambari kamili, zidisha nambari kwa nambari hiyo kamili na uache kiashiria sawa, au, ikiwezekana, gawanya nambari kwa nambari hiyo, ukiacha nambari bila kubadilika.

Wakati wa kuzidisha, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:

2. Kupata sehemu ya nambari fulani. Kuna shida nyingi katika suluhisho ambalo unapaswa kupata, au kuhesabu, sehemu ya nambari fulani. Tofauti kati ya kazi hizi kutoka kwa wengine ni kwamba wanatoa idadi ya vitu au vitengo vya kipimo na inahitajika kupata sehemu ya nambari hii, ambayo pia imeonyeshwa hapa na sehemu fulani. Ili iwe rahisi kuelewa, kwanza tutatoa mifano ya matatizo hayo, na kisha tutakujulisha njia ya kutatua.

Lengo 1. Nilikuwa na rubles 60; Nilitumia 1/3 ya pesa hizi kwa ununuzi wa vitabu. Vitabu viligharimu kiasi gani?

Lengo 2. Treni lazima isafiri umbali kati ya miji A na B, sawa na kilomita 300. Tayari amefunika 2/3 ya umbali huu. Ni kilomita ngapi?

Lengo 3. Kuna nyumba 400 katika kijiji, ambayo 3/4 ni matofali, iliyobaki ni ya mbao. Je, kuna nyumba ngapi za matofali?

Hapa kuna baadhi ya matatizo mengi ya kupata sehemu ya nambari fulani ambayo tunapaswa kukabiliana nayo. Kawaida huitwa shida za kupata sehemu ya nambari fulani.

Suluhisho la Tatizo 1. Kutoka rubles 60. Nilitumia kwenye vitabu 1/3; Kwa hivyo, ili kupata gharama ya vitabu, unahitaji kugawanya nambari 60 na 3:

Suluhisho la Tatizo 2. Maana ya shida ni kwamba unahitaji kupata 2/3 ya 300 km. Hebu tuhesabu kwanza 1/3 ya 300; hii inafanikiwa kwa kugawanya km 300 kwa 3:

300: 3 = 100 (hii ni 1/3 ya 300).

Ili kupata theluthi mbili ya 300, unahitaji kuongeza mgawo unaosababishwa, ambayo ni, kuzidisha kwa 2:

100 x 2 = 200 (hii ni 2/3 ya 300).

Suluhisho la tatizo 3. Hapa unahitaji kuamua idadi ya nyumba za matofali, ambayo ni 3/4 ya 400. Hebu tupate kwanza 1/4 ya 400,

400: 4 = 100 (hii ni 1/4 ya 400).

Ili kuhesabu robo tatu ya 400, mgawo unaosababishwa lazima uongezeke mara tatu, yaani, kuzidishwa na 3:

100 x 3 = 300 (hii ni 3/4 ya 400).

Kulingana na suluhisho la shida hizi, tunaweza kupata sheria ifuatayo:

Ili kupata thamani ya sehemu ya nambari fulani, unahitaji kugawanya nambari hii kwa denominator ya sehemu na kuzidisha mgawo unaotokana na nambari yake.

3. Kuzidisha nambari kamili kwa sehemu.

Hapo awali (§ 26) ilianzishwa kuwa kuzidisha kwa nambari lazima ieleweke kama nyongeza ya maneno sawa (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). Katika aya hii (kipengee cha 1), ilithibitishwa kuwa kuzidisha sehemu kwa nambari kamili kunamaanisha kupata jumla ya maneno sawa na sehemu hii.

Katika visa vyote viwili, kuzidisha kulihusisha kupata jumla ya maneno sawa.

Sasa tunageukia kuzidisha nambari kamili kwa sehemu. Hapa tutakutana na vile, kwa mfano, kuzidisha: 9 2/3. Ni dhahiri kabisa kwamba ufafanuzi uliopita wa kuzidisha haufanani na kesi hii. Hii inaweza kuonekana kutokana na ukweli kwamba hatuwezi kuchukua nafasi ya kuzidisha vile kwa kuongeza idadi sawa na kila mmoja.

Kutokana na hili, tutalazimika kutoa ufafanuzi mpya wa kuzidisha, yaani, kwa maneno mengine, kujibu swali la nini kinapaswa kueleweka kwa kuzidisha kwa sehemu, jinsi hatua hii inapaswa kueleweka.

Maana ya kuzidisha nambari kamili kwa sehemu inafafanuliwa kutoka kwa ufafanuzi ufuatao: kuzidisha nambari kamili (kuzidisha) kwa sehemu (kizidishio) inamaanisha kupata sehemu hii ya kizidishi.

Yaani, kuzidisha 9 kwa 2/3 kunamaanisha kupata 2/3 ya vitengo tisa. Katika aya iliyotangulia, kazi kama hizo zilitatuliwa; kwa hivyo ni rahisi kujua kuwa tutamaliza na 6.

Lakini sasa swali la kufurahisha na muhimu linatokea: kwa nini vitendo vinavyoonekana kuwa tofauti, kama vile kupata jumla ya nambari sawa na kupata sehemu ya nambari, huitwa katika hesabu kwa neno moja "kuzidisha"?

Hii hutokea kwa sababu hatua ya awali (kurudia nambari kwa muhtasari mara kadhaa) na hatua mpya (kupata sehemu ya nambari) hutoa jibu kwa maswali ya homogeneous. Hii ina maana kwamba tunaendelea hapa kutoka kwa mazingatio kwamba maswali au matatizo ya homogeneous yanatatuliwa kwa hatua sawa.

Ili kuelewa hili, fikiria shida ifuatayo: "mita 1 ya kitambaa inagharimu rubles 50. Je, 4 m ya nguo kama hiyo itagharimu kiasi gani?"

Tatizo hili linatatuliwa kwa kuzidisha idadi ya rubles (50) kwa idadi ya mita (4), yaani 50 x 4 = 200 (rubles).

Wacha tuchukue shida sawa, lakini ndani yake kiasi cha kitambaa kitaonyeshwa kama nambari ya sehemu: "M 1 ya kitambaa inagharimu rubles 50. Je, 3/4 m ya nguo kama hiyo itagharimu kiasi gani?"

Tatizo hili pia linahitaji kutatuliwa kwa kuzidisha idadi ya rubles (50) kwa idadi ya mita (3/4).

Inawezekana na mara kadhaa zaidi, bila kubadilisha maana ya tatizo, kubadili namba ndani yake, kwa mfano, kuchukua 9/10 m au 2 3/10 m, nk.

Kwa kuwa kazi hizi zina maudhui sawa na hutofautiana kwa nambari tu, tunaita vitendo vinavyotumiwa kutatua kwa neno moja - kuzidisha.

Je, nambari kamili huzidishwa kwa sehemu gani?

Wacha tuchukue nambari zilizokutana kwenye shida ya mwisho:

Kwa mujibu wa ufafanuzi, tunapaswa kupata 3/4 ya 50. Kwanza tunapata 1/4 ya 50, na kisha 3/4.

1/4 ya nambari 50 ni 50/4;

3/4 ya nambari 50 ni.

Kwa hivyo.

Fikiria mfano mwingine: 12 5/8 =?

1/8 ya 12 ni 12/8,

5/8 ya nambari 12 ni.

Kwa hivyo,

Kuanzia hapa tunapata sheria:

Ili kuzidisha nambari kamili kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari nzima kwa nambari ya sehemu na kufanya bidhaa hii kuwa nambari, na utie saini kiashiria cha sehemu hii kama denominator.

Wacha tuandike sheria hii kwa kutumia herufi:

Ili kufanya sheria hii iwe wazi kabisa, ikumbukwe kwamba sehemu inaweza kutazamwa kama mgawo. Kwa hivyo, ni muhimu kulinganisha sheria inayopatikana na sheria ya kuzidisha nambari na mgawo, ambayo iliwasilishwa katika § 38.

Ni lazima ikumbukwe kwamba kabla ya kufanya kuzidisha, unapaswa kufanya (ikiwezekana) kupunguzwa, Kwa mfano:

4. Kuzidisha sehemu kwa sehemu. Kuzidisha sehemu kwa sehemu kuna maana sawa na kuzidisha nambari kwa sehemu, ambayo ni, wakati wa kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kupata sehemu katika sababu kutoka kwa sehemu ya kwanza (kuzidisha).

Yaani, kuzidisha 3/4 kwa 1/2 (nusu) inamaanisha kupata nusu ya 3/4.

Je, kuzidisha kwa sehemu kwa sehemu kunafanywaje?

Hebu tuchukue mfano: 3/4 mara 5/7. Hii ina maana kwamba unahitaji kupata 5/7 ya 3/4. Tafuta kwanza 1/7 ya 3/4, na kisha 5/7

1/7 ya 3/4 itaonyeshwa kama hii:

5/7 ya 3/4 itaonyeshwa kama hii:

Kwa njia hii,

Mfano mwingine: 5/8 mara 4/9.

1/9 ya 5/8 ni,

4/9 ya nambari 5/8 ni.

Kwa njia hii,

Kwa kuzingatia mifano hii, sheria zifuatazo zinaweza kuzingatiwa:

Ili kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari kwa nambari, na denominator kwa denominator, na kufanya bidhaa ya kwanza kuwa nambari, na pili, denominator ya bidhaa.

Kwa ujumla, sheria hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Wakati wa kuzidisha, ni muhimu kufanya (ikiwa inawezekana) kupunguzwa. Hebu tuchunguze baadhi ya mifano:

5. Kuzidisha namba mchanganyiko. Kwa kuwa nambari zilizochanganywa zinaweza kubadilishwa kwa urahisi na sehemu zisizofaa, hali hii kawaida hutumiwa wakati wa kuzidisha nambari zilizochanganywa. Hii ina maana kwamba katika hali ambapo multiplier, au sababu, au mambo yote mawili yanaonyeshwa kwa namba mchanganyiko, basi hubadilishwa na sehemu zisizo sahihi. Wacha tuzidishe, kwa mfano, nambari zilizochanganywa: 2 1/2 na 3 1/5. Wacha tubadilishe kila moja yao kuwa sehemu isiyo ya kawaida na kisha tutazidisha sehemu zinazosababishwa kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu kwa sehemu:

Kanuni. Ili kuzidisha nambari zilizochanganywa, lazima kwanza ubadilishe kuwa sehemu zisizofaa na kisha uzizidishe kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu kwa sehemu.

Kumbuka. Ikiwa moja ya sababu ni nambari kamili, basi kuzidisha kunaweza kufanywa kulingana na sheria ya usambazaji kama ifuatavyo.

6. Dhana ya riba. Wakati wa kutatua matatizo na kufanya mahesabu mbalimbali ya vitendo, tunatumia kila aina ya sehemu. Lakini ni lazima ikumbukwe kwamba kiasi kikubwa huruhusu si yoyote, lakini ugawaji wa asili kwao. Kwa mfano, unaweza kuchukua mia moja (1/100) ya ruble, itakuwa kopeck, mia mbili ni kopecks 2, mia tatu - kopecks 3. Unaweza kuchukua 1/10 ya ruble, itakuwa "kopecks 10, au dime. Unaweza kuchukua robo ya ruble, yaani, kopecks 25, nusu ya ruble, yaani, kopecks 50 (kopecks hamsini). Lakini kwa kivitendo hawachukui, kwa mfano, 2/7 rubles kwa sababu ruble haijagawanywa katika saba.

Sehemu ya kipimo cha uzito, ambayo ni, kilo, inaruhusu kwanza ya mgawanyiko wote wa decimal, kwa mfano, 1/10 kg, au g 100. Na sehemu kama hizo za kilo kama 1/6, 1/11, 1/13 ni kawaida.

Kwa ujumla, vipimo vyetu (metric) ni desimali na huruhusu mgawanyiko wa desimali.

Hata hivyo, ni lazima ieleweke kwamba ni muhimu sana na rahisi katika aina mbalimbali za matukio kutumia njia sawa (ya sare) ya kugawanya kiasi. Uzoefu wa miaka mingi umeonyesha kuwa mgawanyiko huo uliothibitishwa vizuri ni mgawanyiko wa "mia". Fikiria mifano michache kutoka kwa anuwai ya maeneo ya utendaji wa mwanadamu.

1. Bei ya vitabu imeshuka kwa 12/100 ya bei ya awali.

Mfano. Bei ya awali ya kitabu ni rubles 10. Ilipungua kwa ruble 1. 20 kopecks

2. Benki za akiba hulipa wenye amana 2/100 ya kiasi kilichotengwa kwa ajili ya akiba katika mwaka huo.

Mfano. Keshia ina rubles 500, mapato kutoka kwa kiasi hiki kwa mwaka ni rubles 10.

3. Idadi ya wahitimu wa shule moja ilikuwa 5/100 ya wanafunzi wote.

MFANO Wanafunzi 1,200 pekee walisoma katika shule hiyo, 60 kati yao walihitimu kutoka shule hiyo.

Moja ya mia ya nambari inaitwa asilimia..

Neno "asilimia" limekopwa kutoka kwa lugha ya Kilatini na mzizi wake "senti" unamaanisha mia moja. Pamoja na kihusishi ( pro centum ), neno hili linamaanisha "zaidi ya mia." Maana ya usemi huu ifuatavyo kutokana na ukweli kwamba awali katika Roma ya kale, riba iliitwa pesa ambayo mdaiwa alilipa kwa mkopeshaji "kwa kila mia." Neno "senti" linasikika kwa maneno ya kawaida: katikati (kilo mia moja), sentimita (ilisema sentimita).

Kwa mfano, badala ya kusema kwamba mmea kwa mwezi uliopita ulitoa chakavu 1/100 ya bidhaa zake zote, tutasema hivi: mmea wa mwezi uliopita ulitoa asilimia moja ya chakavu. Badala ya kusema: mmea ulizalisha 4/100 zaidi ya mpango ulioanzishwa, tutasema: mmea ulizidi mpango kwa asilimia 4.

Mifano hapo juu inaweza kusemwa tofauti:

1. Bei ya vitabu imeshuka kwa asilimia 12 kutoka bei ya awali.

2. Benki za akiba hulipa wenye amana asilimia 2 kwa mwaka ya kiasi kilichotengwa kwa ajili ya akiba.

3. Idadi ya wahitimu kutoka shule moja ilikuwa asilimia 5 ya wanafunzi wote shuleni.

Ili kufupisha barua, ni desturi kuandika alama% badala ya neno "asilimia".

Walakini, ikumbukwe kwamba katika mahesabu ishara% kawaida haijaandikwa; inaweza kuandikwa katika taarifa ya shida na katika matokeo ya mwisho. Wakati wa kufanya mahesabu, unahitaji kuandika sehemu na denominator ya 100 badala ya nambari na ishara hii.

Unahitaji kuweza kubadilisha nambari kamili na ikoni iliyoonyeshwa na sehemu na denominator ya 100:

Kinyume chake, unahitaji kuzoea kuandika nambari kamili na ishara iliyoonyeshwa badala ya sehemu iliyo na dhehebu la 100:

7. Kupata asilimia ya nambari fulani.

Lengo 1. Shule ilipokea mita za ujazo 200. m ya kuni, na kuni za birch zinachukua 30%. Kulikuwa na kuni ngapi za birch?

Maana ya shida hii ni kwamba kuni za birch zilikuwa sehemu tu ya kuni ambazo zilipelekwa shuleni, na sehemu hii inaonyeshwa kama sehemu ya 30/100. Hii ina maana kwamba tunakabiliwa na kazi ya kutafuta sehemu ya nambari. Ili kuisuluhisha, lazima tuzidishe 200 kwa 30/100 (shida za kupata sehemu ya nambari hutatuliwa kwa kuzidisha nambari kwa sehemu.).

Hii ina maana kwamba 30% ya 200 ni sawa na 60.

Sehemu ya 30/100, iliyokutana na tatizo hili, inaweza kupunguzwa kwa 10. Mtu angeweza kufanya upunguzaji huu tangu mwanzo; suluhu la tatizo lisingebadilika.

Lengo 2. Kulikuwa na watoto 300 wa rika mbalimbali katika kambi hiyo. Watoto wenye umri wa miaka 11 walichangia 21%, watoto wa miaka 12 walichangia 61% na mwishowe watoto wa miaka 13 walichangia 18%. Je! ni watoto wangapi wa kila rika walikuwepo kambini?

Katika tatizo hili, unahitaji kufanya mahesabu matatu, yaani, sequentially kupata idadi ya watoto wa miaka 11, kisha umri wa miaka 12, na hatimaye miaka 13.

Hii inamaanisha kuwa hapa utahitaji kupata sehemu ya nambari mara tatu. Hebu tufanye:

1) Je! ni watoto wangapi walikuwa na umri wa miaka 11?

2) Je! ni watoto wangapi walikuwa na umri wa miaka 12?

3) Je! ni watoto wangapi walikuwa na umri wa miaka 13?

Baada ya kutatua tatizo, ni muhimu kuongeza nambari zilizopatikana; jumla yao inapaswa kuwa 300:

63 + 183 + 54 = 300

Unapaswa pia kuzingatia ukweli kwamba jumla ya riba iliyotolewa katika hali ya shida ni 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Hii inaonyesha kuwa jumla ya watoto katika kambi hiyo ilichukuliwa kama 100%.

3 kesi 3. Mfanyakazi alipokea rubles 1,200 kwa mwezi. Kati ya hizi, alitumia 65% kwa chakula, 6% - kwenye ghorofa na joto, 4% - kwa gesi, umeme na redio, 10% - kwa mahitaji ya kitamaduni na 15% - kuokolewa. Ni pesa ngapi zilitumika kwa mahitaji yaliyoainishwa katika kazi hiyo?

Ili kutatua tatizo hili, unahitaji kupata sehemu ya namba 1 200 mara 5. Hebu tufanye.

1) Je! ni pesa ngapi zilitumika kununua chakula? Shida inasema kwamba gharama hii ni 65% ya jumla ya mapato, ambayo ni, 65/100 ya nambari 1200. Wacha tufanye hesabu:

2) Ni pesa ngapi zilizolipwa kwa ghorofa yenye joto? Kuzingatia kama ile iliyopita, tunafikia hesabu ifuatayo:

3) Ulilipa pesa ngapi kwa gesi, umeme na redio?

4) Je! ni pesa ngapi zilitumika kwa mahitaji ya kitamaduni?

5) Je, mfanyakazi aliokoa pesa ngapi?

Ni muhimu kuongeza nambari zinazopatikana katika maswali haya 5 ili kujaribu. Kiasi kinapaswa kuwa rubles 1,200. Mapato yote yanachukuliwa kama 100%, ambayo ni rahisi kuangalia kwa kujumlisha asilimia iliyotolewa katika taarifa ya tatizo.

Tumetatua matatizo matatu. Licha ya ukweli kwamba matatizo haya yalishughulikiwa na mambo tofauti (utoaji wa kuni kwa shule, idadi ya watoto wa umri tofauti, gharama za mfanyakazi), yalitatuliwa kwa njia sawa. Hii ilitokea kwa sababu katika matatizo yote ilikuwa ni lazima kupata asilimia chache ya idadi iliyotolewa.

§ 90. Mgawanyiko wa sehemu.

Wakati wa kusoma mgawanyiko wa sehemu, tutazingatia maswala yafuatayo:

1. Mgawanyiko wa nambari kamili kwa nambari kamili.
2. Mgawanyiko wa sehemu kwa nambari kamili
3. Mgawanyiko wa nambari kamili katika sehemu.
4. Mgawanyiko wa sehemu katika sehemu.
5. Mgawanyiko wa namba mchanganyiko.
6. Kupata nambari ya sehemu fulani.
7. Kupata nambari kwa asilimia yake.

Hebu tuzingatie kwa mfuatano.

1. Mgawanyiko wa nambari kamili kwa nambari kamili.

Kama ilivyoonyeshwa katika sehemu ya nambari, mgawanyiko ni hatua inayojumuisha ukweli kwamba kwa bidhaa fulani ya mambo mawili (yanayoweza kugawanywa) na moja ya mambo haya (kigawanyiko), sababu nyingine hupatikana.

Tuliangalia mgawanyo wa nambari kamili kwa nambari kamili katika idara ya nambari kamili. Tulikumbana na visa viwili vya mgawanyiko huko: mgawanyiko bila salio, au "kabisa" (150: 10 = 15), na mgawanyiko na salio (100: 9 = 11 na 1 katika salio). Kwa hivyo, tunaweza kusema kwamba katika uwanja wa nambari nzima, mgawanyiko halisi hauwezekani kila wakati, kwa sababu gawio sio kila wakati bidhaa ya mgawanyiko na nambari kamili. Baada ya kuanzishwa kwa kuzidisha kwa sehemu, tunaweza kuzingatia kesi yoyote ya mgawanyiko wa nambari kamili (mgawanyiko tu kwa sifuri haujajumuishwa).

Kwa mfano, kugawanya 7 kwa 12 kunamaanisha kupata nambari ambayo bidhaa yake kwa 12 itakuwa 7. Nambari hiyo ni 7/12 kwa sababu 7/12 12 = 7. Mfano mwingine: 14:25 = 14/25, kwa sababu 14/25 25 = 14.

Kwa hivyo, ili kugawanya nambari kamili na nambari, unahitaji kutunga sehemu, nambari ambayo ni gawio na denominator ni mgawanyiko.

2. Mgawanyiko wa sehemu kwa nambari kamili.

Gawanya sehemu ya 6/7 na 3. Kwa mujibu wa ufafanuzi wa mgawanyiko uliotolewa hapo juu, tuna hapa bidhaa (6/7) na moja ya mambo (3); inahitajika kupata sababu ya pili, ambayo kutoka kwa kuzidisha na 3 ingetoa bidhaa iliyotolewa 6/7. Kwa wazi, inapaswa kuwa mara tatu chini ya kipande hiki. Hii ina maana kwamba kazi iliyowekwa mbele yetu ilikuwa kupunguza sehemu 6/7 kwa mara 3.

Tayari tunajua kuwa kupunguza sehemu kunaweza kufanywa ama kwa kupunguza nambari yake, au kwa kuongeza dhehebu lake. Kwa hivyo, mtu anaweza kuandika:

Katika kesi hii, nambari ya 6 inaweza kugawanywa na 3, kwa hivyo nambari inapaswa kupunguzwa mara 3.

Hebu tuchukue mfano mwingine: gawanya 5/8 kwa 2. Hapa nambari ya 5 haigawanyiki sawasawa na 2, kwa hivyo unapaswa kuzidisha kiashiria kwa nambari hii:

Kulingana na hili, tunaweza kuunda sheria: ili kugawanya sehemu kwa nambari kamili, unahitaji kugawanya nambari ya sehemu na nambari hii kamili(ikiwezekana), ukiacha dhehebu sawa, au zidisha dhehebu la sehemu kwa nambari hii, ukiacha nambari sawa.

3. Mgawanyiko wa nambari kamili katika sehemu.

Tuseme inahitajika kugawanya 5 kwa 1/2, yaani, kupata nambari ambayo, baada ya kuzidisha kwa 1/2, inatoa bidhaa 5. Kwa wazi, nambari hii lazima iwe kubwa kuliko 5, kwa kuwa 1/2 ni sehemu ya kawaida. , na wakati wa kuzidisha nambari kwa sehemu ya kawaida, bidhaa lazima iwe chini ya kuzidisha. Ili kuifanya iwe wazi zaidi, hebu tuandike matendo yetu kama ifuatavyo: 5: 1/2 = X , kwa hivyo x 1/2 = 5.

Tunapaswa kupata nambari kama hiyo X , ambayo, ikizidishwa na 1/2, ingetoa 5. Kwa kuwa kuzidisha nambari fulani kwa 1/2 - hii inamaanisha kupata 1/2 ya nambari hii, basi, kwa hivyo, 1/2 ya nambari isiyojulikana. X ni sawa na 5, na nambari nzima X mara mbili zaidi, yaani 5 2 = 10.

Kwa hivyo 5: 1/2 = 5 2 = 10

Hebu tuangalie:

Hebu tuchukue mfano mwingine. Tuseme unataka kugawanya 6 kwa 2/3. Hebu jaribu kwanza kupata matokeo yaliyohitajika kwa kutumia kuchora (Mchoro 19).

Kielelezo 19

Wacha tuchore sehemu ya AB, sawa na vitengo 6, na tugawanye kila kitengo katika sehemu 3 sawa. Katika kila kitengo, theluthi tatu (3/3) katika sehemu nzima ya AB ni mara 6 zaidi, i.e. e. 18/3. Tunaunganisha kwa msaada wa mabano madogo 18 yaliyopatikana makundi ya 2; kutakuwa na sehemu 9 tu. Hii inamaanisha kuwa sehemu 2/3 iko katika vitengo 6 mara 9, au, kwa maneno mengine, sehemu 2/3 ni mara 9 chini ya vitengo 6 nzima. Kwa hivyo,

Unawezaje kupata matokeo haya bila mchoro kwa kutumia mahesabu pekee? Tutasema kama ifuatavyo: inahitajika kugawanya 6 na 2/3, yaani, inahitajika kujibu swali mara ngapi 2/3 zimo katika 6. Hebu tujue kwanza: ni mara ngapi 1/3 ni. zilizomo katika 6? Katika kitengo kizima - theluthi 3, na katika vitengo 6 - mara 6 zaidi, yaani, theluthi 18; ili kupata nambari hii, tunapaswa kuzidisha 6 kwa 3. Hii ina maana kwamba 1/3 iko katika vitengo 6 mara 18, na 2/3 iko katika 6 si mara 18, lakini nusu mara nyingi, yaani, 18: 2. = 9. Kwa hivyo, wakati wa kugawanya 6 na 2/3, tulifanya yafuatayo:

Kutoka kwa hili tunapata sheria ya kugawanya nambari kwa sehemu. Ili kugawanya nambari katika sehemu, unahitaji kuzidisha nambari hii kwa dhehebu la sehemu uliyopewa na, baada ya kufanya bidhaa hii kuwa nambari, ugawanye na nambari ya sehemu uliyopewa.

Wacha tuandike sheria kwa kutumia herufi:

Ili kufanya sheria hii iwe wazi kabisa, ikumbukwe kwamba sehemu inaweza kutazamwa kama mgawo. Kwa hivyo, ni muhimu kulinganisha sheria inayopatikana na sheria ya kugawa nambari na mgawo, ambayo iliwasilishwa katika § 38. Kumbuka kwamba fomula sawa ilipatikana hapo.

Wakati wa kugawanya, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:

4. Mgawanyiko wa sehemu katika sehemu.

Tuseme unataka kugawanya 3/4 na 3/8. Nambari gani itakuwa matokeo ya mgawanyiko? Itajibu swali la mara ngapi sehemu ya 3/8 iko katika sehemu ya 3/4. Ili kuelewa suala hili, hebu tufanye kuchora (Mchoro 20).

Chukua sehemu ya AB, ichukue kama kitengo, ugawanye katika sehemu 4 sawa na uweke alama 3 sehemu kama hizo. Sehemu ya AC itakuwa sawa na 3/4 ya sehemu ya AB. Wacha sasa tugawanye kila moja ya sehemu nne za mwanzo kwa nusu, kisha sehemu ya AB itagawanywa katika sehemu 8 sawa na kila sehemu kama hiyo itakuwa sawa na 1/8 ya sehemu ya AB. Hebu tuunganishe sehemu 3 kama hizo na arcs, basi kila moja ya sehemu AD na DC itakuwa sawa na 3/8 ya sehemu ya AB. Mchoro unaonyesha kuwa sehemu sawa na 3/8 iko katika sehemu sawa na 3/4 haswa mara 2; kwa hivyo, matokeo ya mgawanyiko yanaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Hebu tuchukue mfano mwingine. Wacha tugawanye 15/16 na 3/32:

Tunaweza kusababu kama hii: unahitaji kupata nambari ambayo, baada ya kuzidisha na 3/32, itatoa bidhaa sawa na 15/16. Wacha tuandike mahesabu kama haya:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nambari isiyojulikana X ni 15/16

1/32 ya nambari isiyojulikana X ni,

Nambari 32/32 X make up.

Kwa hivyo,

Kwa hivyo, ili kugawanya sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari ya sehemu ya kwanza na dhehebu ya pili, na kuzidisha dhehebu la sehemu ya kwanza na nambari ya pili, na kufanya bidhaa ya kwanza kuwa nambari. na ya pili, denominator.

Wacha tuandike sheria kwa kutumia herufi:

Wakati wa kugawanya, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:

5. Mgawanyiko wa namba mchanganyiko.

Wakati wa kugawanya nambari zilizochanganywa, lazima kwanza zibadilishwe kuwa sehemu zisizofaa, na kisha kugawanya sehemu zinazosababishwa kulingana na sheria za kugawa nambari za sehemu. Hebu tuchunguze mfano:

Wacha tubadilishe nambari zilizochanganywa kuwa sehemu zisizofaa:

Sasa wacha tugawanye:

Kwa hivyo, kugawanya nambari zilizochanganywa, unahitaji kuzibadilisha kuwa sehemu zisizofaa na kisha ugawanye na sheria ya mgawanyiko wa sehemu.

6. Kupata nambari ya sehemu fulani.

Miongoni mwa matatizo mbalimbali juu ya sehemu, wakati mwingine kuna wale ambao thamani ya sehemu fulani ya nambari isiyojulikana hutolewa na inahitajika kupata nambari hii. Aina hii ya shida itakuwa kinyume kwa heshima na tatizo la kupata sehemu ya nambari fulani; kuna nambari ilitolewa na ilitakiwa kupata sehemu fulani ya nambari hii, hapa sehemu ya nambari inatolewa na inahitajika kupata nambari hii yenyewe. Wazo hili litakuwa wazi zaidi ikiwa tutageuka kwenye suluhisho la aina hii ya tatizo.

Lengo 1. Siku ya kwanza, glaziers ziliangazia madirisha 50, ambayo ni 1/3 ya madirisha yote katika nyumba iliyojengwa. Je, kuna madirisha mangapi katika nyumba hii?

Suluhisho. Tatizo linasema kuwa madirisha 50 ya glazed hufanya 1/3 ya madirisha yote ndani ya nyumba, ambayo ina maana kwamba kuna madirisha mara 3 zaidi kwa jumla, i.e.

Nyumba hiyo ilikuwa na madirisha 150.

Lengo 2. Duka hilo liliuza kilo 1,500 za unga, ambayo ni 3/8 ya unga wote wa duka. Ugavi wa unga asili wa duka ulikuwa nini?

Suluhisho. Inaweza kuonekana kutokana na taarifa ya tatizo kwamba kilo 1,500 za unga zinazouzwa ni 3/8 ya jumla ya hisa; Hii inamaanisha kuwa 1/8 ya hisa hii itakuwa chini mara 3, ambayo ni, kuhesabu, unahitaji kupunguza 1500 kwa mara 3:

1,500: 3 = 500 (hiyo ni 1/8 ya hisa).

Kwa wazi, hisa nzima itakuwa kubwa mara 8. Kwa hivyo,

500 8 = 4000 (kg).

Hifadhi ya asili ya unga katika duka ilikuwa kilo 4,000.

Kwa kuzingatia shida hii, sheria ifuatayo inaweza kuzingatiwa.

Ili kupata nambari kwa thamani fulani ya sehemu yake, inatosha kugawanya thamani hii na nambari ya sehemu na kuzidisha matokeo na denominator ya sehemu.

Tumetatua shida mbili za kupata nambari kutoka kwa sehemu fulani. Shida kama hizo, kama inavyoonekana wazi kutoka kwa mwisho, hutatuliwa na vitendo viwili: mgawanyiko (wakati sehemu moja inapatikana) na kuzidisha (wakati nambari nzima inapatikana).

Walakini, baada ya kusoma mgawanyiko wa sehemu, shida zilizo hapo juu zinaweza kutatuliwa kwa hatua moja, ambayo ni: mgawanyiko kwa sehemu.

Kwa mfano, kazi ya mwisho inaweza kutatuliwa kwa hatua moja kama hii:

Katika siku zijazo, tutasuluhisha shida ya kupata nambari kwa sehemu yake katika hatua moja - mgawanyiko.

7. Kupata nambari kwa asilimia yake.

Katika kazi hizi, utahitaji kupata nambari, kujua asilimia chache ya nambari hii.

Lengo 1. Mwanzoni mwa mwaka huu, nilipokea rubles 60 kutoka kwa benki ya akiba. mapato kutoka kwa kiasi nilichoweka akiba mwaka mmoja uliopita. Je! ni pesa ngapi niliweka kwenye benki ya akiba? (Madawati ya fedha huwapa wachangiaji mapato 2% kwa mwaka.)

Maana ya tatizo ni kwamba kiasi fulani cha fedha kiliwekwa na mimi kwenye benki ya akiba na kukaa huko kwa mwaka. Baada ya mwaka mmoja, nilipokea rubles 60 kutoka kwake. mapato, ambayo ni 2/100 ya pesa nilizoweka. Nimeweka pesa ngapi?

Kwa hiyo, kujua sehemu ya fedha hii, iliyoonyeshwa kwa njia mbili (kwa rubles na kwa sehemu), tunapaswa kupata nzima, hadi sasa haijulikani, kiasi. Hii ni kazi ya kawaida ya kupata nambari kutoka kwa sehemu fulani. Kazi zifuatazo zinatatuliwa kwa mgawanyiko:

Hii ina maana kwamba rubles 3000 ziliwekwa kwenye benki ya akiba.

Lengo 2. Wavuvi walitimiza mpango wa kila mwezi kwa 64% katika wiki mbili, baada ya kuvuna tani 512 za samaki. Mpango wao ulikuwa upi?

Inajulikana kutokana na taarifa ya tatizo kwamba wavuvi wametimiza sehemu ya mpango huo. Sehemu hii ni sawa na tani 512, ambayo ni 64% ya mpango. Hatujui ni tani ngapi za samaki zinahitajika kutayarishwa kulingana na mpango. Kupata nambari hii itakuwa suluhisho la shida.

Kazi kama hizo zinatatuliwa kwa kugawanya:

Hii ina maana kuwa kulingana na mpango huo, tani 800 za samaki zinahitajika kutayarishwa.

Lengo 3. Treni ilitoka Riga kwenda Moscow. Alipopita kilomita 276, mmoja wa abiria alimuuliza kondakta aliyekuwa akipita sehemu gani tayari walikuwa wamepita. Kwa hili kondakta alijibu: "Tayari tumeshughulikia 30% ya njia nzima." Ni umbali gani kutoka Riga hadi Moscow?

Inaweza kuonekana kutoka kwa taarifa ya tatizo kwamba 30% ya njia kutoka Riga hadi Moscow ni 276 km. Tunahitaji kupata umbali mzima kati ya miji hii, ambayo ni, kwa sehemu fulani, pata nzima:

§ 91. Nambari za kuheshimiana. Kubadilisha mgawanyiko kwa kuzidisha.

Chukua sehemu 2/3 na usogeze nambari kwa dhehebu, ili upate 3/2. Tulipata kinyume cha sehemu hii.

Ili kupata inverse ya sehemu iliyotolewa, unahitaji kuweka nambari yake mahali pa denominator, na denominator mahali pa nambari. Kwa njia hii, tunaweza kupata usawa wa sehemu yoyote. Kwa mfano:

3/4, kinyume 4/3; 5/6, kinyume 6/5

Sehemu mbili zilizo na mali ambayo nambari ya kwanza ni dhehebu ya pili, na denominator ya kwanza ni nambari ya pili, huitwa. kinyume.

Sasa hebu tufikirie ni sehemu gani itakuwa kinyume cha 1/2. Kwa wazi, itakuwa 2/1, au 2 tu. Kutafuta kinyume cha sehemu iliyotolewa, tulipata nambari kamili. Na kesi hii si ya pekee; kinyume chake, kwa sehemu zote zilizo na nambari 1 (moja), nambari kamili zitakuwa kinyume, kwa mfano:

1/3, kinyume cha 3; 1/5, kinyume 5

Kwa kuwa wakati wa kutafuta sehemu za kuheshimiana pia tulikutana na nambari kamili, katika kile kinachofuata hatutazungumza juu ya sehemu za kurudisha nyuma, lakini juu ya nambari zinazofanana.

Wacha tuangalie jinsi ya kuandika ulinganifu wa nambari kamili. Kwa sehemu, hii inaweza kutatuliwa kwa urahisi: unahitaji kuweka denominator mahali pa nambari. Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kupata nambari ya inverse kwa integer, kwa kuwa integer yoyote inaweza kuwa na denominator 1. Kwa hiyo, nambari inverse hadi 7 itakuwa 1/7, kwa sababu 7 = 7/1; kwa nambari 10, inverse itakuwa 1/10, kwani 10 = 10/1

Wazo hili linaweza kuonyeshwa kwa njia nyingine: kinyume cha nambari fulani hupatikana kwa kugawanya moja kwa nambari fulani... Taarifa hii ni kweli sio tu kwa nambari kamili, lakini pia kwa sehemu. Hakika, ikiwa tunataka kuandika uwiano wa sehemu 5/9, basi tunaweza kuchukua 1 na kuigawanya kwa 5/9, i.e.

Sasa hebu tuonyeshe moja mali nambari za kuheshimiana, ambazo zitakuwa muhimu kwetu: bidhaa ya nambari zinazofanana ni sawa na moja. Hakika:

Kwa kutumia mali hii, tunaweza kupata reciprocals kwa njia ifuatayo. Tuseme unahitaji kupata kinyume cha 8.

Wacha tuonyeshe kwa barua X , kisha 8 X = 1, kwa hivyo X = 1/8. Wacha tutafute nambari nyingine, kinyume cha 7/12, iashiria kwa herufi X , kisha 7/12 X = 1, kwa hivyo X = 1: 7/12 au X = 12 / 7 .

Tulianzisha hapa wazo la nambari za kuheshimiana ili kuongeza kidogo habari juu ya mgawanyiko wa sehemu.

Tunapogawanya nambari 6 na 3/5, basi tunafanya yafuatayo:

Zingatia sana usemi na ulinganishe na uliyopewa :.

Ikiwa tunachukua usemi kando, bila kuunganishwa na uliopita, basi haiwezekani kutatua swali la wapi lilitoka: kutoka kwa kugawanya 6 na 3/5 au kutoka kwa kuzidisha 6 kwa 5/3. Katika visa vyote viwili, matokeo ni sawa. Kwa hiyo tunaweza kusema kwamba kugawanya nambari moja na nyingine kunaweza kubadilishwa na kuzidisha mgao na mgawanyiko wa mgawanyiko.

Mifano tunayotoa hapa chini inaunga mkono kikamilifu hitimisho hili.

Wacha tuangalie kwa karibu vitendo na sehemu ambazo zina nambari kamili:

Jinsi ya kupata maana ya usemi ambapo madhehebu ni tofauti

Jinsi ya kutoa sehemu na madhehebu sawa

Mifano ya kutoa sehemu ambazo madhehebu yake ni sawa

Kuongeza sehemu na denominator sawa

Sehemu zilizo na madhehebu tofauti na uondoaji wao

Mali ya sehemu

Jinsi ya kubadilisha sehemu nyingi kuwa dhehebu moja

Jinsi ya kutoa na kuongeza sehemu na denominators tofauti

Kutoa na kuwa na sehemu nzima

Kutoa sehemu kutoka kwa nambari kamili

Chaguo la Mhariri