Bidhaa ya dot ya vectors kwa dummies. Bidhaa ya dot ya vectors: nadharia na utatuzi wa shida

Kuu / Upendo

Bidhaa ya dot ya vectors

Tunaendelea kushughulika na vectors. Katika somo la kwanza Vectors kwa dummies tulichunguza dhana ya vector, vitendo na vector, kuratibu za vector na kazi rahisi zaidi na vectors. Ikiwa ulikuja kwenye ukurasa huu kwa mara ya kwanza kutoka kwa injini ya utaftaji, ninapendekeza sana kusoma nakala ya utangulizi hapo juu, kwa sababu ili ujifunze nyenzo, unahitaji kuzunguka sheria na notisi ninazotumia, kuwa na ujuzi wa kimsingi wa vectors na kuweza suluhisha shida za msingi. Somo hili ni mwendelezo wa kimantiki wa mada, na ndani yake nitachambua kwa kina kazi za kawaida ambazo bidhaa ya dot ya vectors hutumiwa. Hii ni shughuli MUHIMU SANA.... Jaribu kutoruka mifano, zinaambatana na bonasi inayofaa - mazoezi yatakusaidia kuimarisha nyenzo ambazo umefunika na kuweka mikono yako kwenye suluhisho la shida za kawaida katika jiometri ya uchambuzi.

Ongezeko la vectors, kuzidisha kwa vector kwa idadi…. Itakuwa ujinga kufikiria kuwa wanahisabati hawajapata kitu kingine chochote. Mbali na vitendo ambavyo tayari vimezingatiwa, kuna shughuli zingine kadhaa na veki, ambazo ni: bidhaa ya dot ya vectors, bidhaa ya vector ya vectors na bidhaa mchanganyiko wa vectors... Bidhaa ya scarar ya vectors inajulikana kwetu kutoka shuleni, bidhaa zingine mbili kijadi zinahusiana na kozi ya hesabu ya juu. Mada ni rahisi, algorithm ya kutatua shida nyingi imeonyeshwa na inaeleweka. Kitu pekee. Kuna habari nyingi, kwa hivyo haifai kujaribu kujua, kutatua kila kitu mara moja. Hii ni kweli kwa teapots, niamini, mwandishi hataki kuhisi kama Chikatilo kutoka hesabu hata. Kweli, na sio kutoka kwa hisabati, kwa kweli, pia

Mwishowe, hebu tufungue mlango na tuone kwa shauku ni nini kinatokea wakati veta mbili zinakutana….

Uamuzi wa bidhaa ya dot ya vectors.
Dot mali ya bidhaa. Kazi za kawaida

Dhana ya bidhaa ya dot

Kwanza kuhusu pembe kati ya vectors... Nadhani kila mtu anaelewa intuitively ni nini pembe kati ya vectors ni, lakini ikiwa tu, kidogo zaidi kwa undani. Fikiria wachuuzi wa nonzero za bure na. Ikiwa unaahirisha vector hizi kutoka kwa kiholela, unapata picha ambayo wengi tayari wamefikiria katika akili zao:

Nakiri kwamba hapa nimeelezea hali hiyo tu katika kiwango cha uelewa. Ikiwa unahitaji ufafanuzi mkali wa pembe kati ya vectors, tafadhali rejea kitabu cha maandishi, lakini kwa shida za kiutendaji, sisi, kwa kanuni, hatuitaji. Pia HAPA NA IJAYO Nitafuata mahali pengine kupuuza vector sifuri kwa sababu ya umuhimu wao wa chini. Niliweka akiba haswa kwa wageni wa hali ya juu ambao wanaweza kunilaumu kwa kutokamilika kwa nadharia ya baadhi ya taarifa zifuatazo.

inaweza kuchukua maadili kutoka kwa digrii 0 hadi 180 (kutoka 0 hadi radians) ikijumuisha. Kwa uchanganuzi, ukweli huu umeandikwa kwa njia ya kukosekana kwa usawa mara mbili:

(katika radians).

Katika fasihi, ikoni ya pembe mara nyingi hupuuzwa na kuandikwa kwa urahisi.

Ufafanuzi: Bidhaa ya scalar ya vectors mbili ni NUMBER sawa na bidhaa ya urefu wa vectors hizi na cosine ya pembe kati yao:

Hii tayari ni ufafanuzi mkali kabisa.

Tunazingatia habari muhimu:

Uteuzi: Bidhaa ya nukta inaashiria na au kwa urahisi.

Matokeo ya operesheni ni NAMBA: Vector huongezeka na vector, na matokeo yake ni nambari. Kwa kweli, ikiwa urefu wa vectors ni nambari, cosine ya pembe ni nambari, basi bidhaa yao pia itakuwa nambari.

Mifano michache tu ya joto:

Mfano 1

Uamuzi: Tunatumia fomula ... Kwa kesi hii:

Jibu:

Thamani za cosine zinaweza kupatikana katika Jedwali la trigonometric... Ninapendekeza kuichapisha - itahitajika karibu na sehemu zote za mnara na itahitajika mara nyingi.

Kutoka kwa maoni ya kihesabu tu, bidhaa ya nukta haina kipimo, ambayo ni, matokeo, katika kesi hii, ni nambari tu na ndio hiyo. Kutoka kwa mtazamo wa shida za fizikia, bidhaa ya scalar kila wakati ina maana fulani ya kimaumbile, ambayo ni, baada ya matokeo, sehemu moja au nyingine ya mwili lazima ionyeshwe. Mfano wa kisheria wa kuhesabu kazi ya nguvu unaweza kupatikana katika kitabu chochote cha maandishi (fomula ndio bidhaa ya nukta haswa). Kazi ya nguvu imepimwa katika Joules, kwa hivyo, na jibu litaandikwa haswa, kwa mfano ,.

Mfano 2

Tafuta ikiwa , na pembe kati ya vectors ni.

Huu ni mfano wa suluhisho la kujifanya mwenyewe, jibu liko mwisho wa mafunzo.

Angle kati ya vectors na thamani ya bidhaa ya nukta

Katika Mfano 1, bidhaa ya nukta iliibuka kuwa chanya, na katika Mfano wa 2, ikawa hasi. Wacha tujue ni nini ishara ya bidhaa ya nukta inategemea. Tunaangalia fomula yetu: ... Urefu wa vectors ya nonzero daima ni chanya:, kwa hivyo ishara inaweza kutegemea tu thamani ya cosine.

Kumbuka: Kwa uelewa mzuri wa habari hapa chini, ni bora kusoma grafu ya cosine kwenye mwongozo Grafu za kazi na mali... Angalia jinsi cosine inavyotenda kwenye sehemu.

Kama ilivyoonyeshwa tayari, pembe kati ya vectors inaweza kutofautiana ndani , na kesi zifuatazo zinawezekana:

1) Ikiwa pembe kati ya vectors papo hapo: (kutoka digrii 0 hadi 90), basi , na bidhaa ya dot itakuwa nzuri iliyoongozwa pamoja, basi pembe kati yao inachukuliwa kuwa sifuri, na bidhaa ya nukta pia itakuwa nzuri. Kwa kuwa, fomula imerahisishwa:.

2) Ikiwa pembe kati ya vectors mjinga: (kutoka digrii 90 hadi 180), basi , na vile vile, bidhaa ya nukta ni hasi:. Kesi maalum: ikiwa vectors mwelekeo kinyume, basi pembe kati yao inachukuliwa kupelekwa: (Digrii 180). Bidhaa ya nukta pia ni hasi, kwani

Kauli za mazungumzo pia ni za kweli:

1) Ikiwa, basi pembe kati ya vectors hizi ni papo hapo. Vinginevyo, vectors ni codirectional.

2) Ikiwa, basi pembe kati ya vectors hizi ni butu. Vinginevyo, vectors wameelekezwa kinyume.

Lakini kesi ya tatu ni ya kupendeza sana:

3) Ikiwa pembe kati ya vectors sawa: (Digrii 90), basi bidhaa ya nukta ni sifuri:. Mazungumzo pia ni ya kweli: ikiwa, basi. Taarifa hiyo imeundwa kwa usawa kama ifuatavyo: Bidhaa ya scalar ya vectors mbili ni sifuri ikiwa na ikiwa tu vectors hizi ni orthogonal... Nukuu fupi ya hesabu:

! Kumbuka : kurudia misingi ya mantiki ya kihesabu: ikoni ya matokeo yenye mantiki mara mbili husomwa kawaida "basi na hapo tu", "ikiwa na ikiwa tu". Kama unavyoona, mishale imeelekezwa kwa pande zote mbili - "kutoka kwa hii inafuata hii, na kinyume chake - kutoka kwa kile kinachofuata kutoka kwa hii." Kwa njia, ni nini tofauti kutoka kwa ikoni ya kufuata njia moja? Ikoni inadai hiyo tu kwamba "inafuata kutoka kwa hii," na sio ukweli kwamba kinyume ni kweli. Kwa mfano: lakini sio kila mnyama ni panther, kwa hivyo ikoni haiwezi kutumika katika kesi hii. Wakati huo huo, badala ya ikoni unaweza tumia ikoni ya njia moja. Kwa mfano, kutatua shida, tuligundua kuwa tulihitimisha kuwa vectors ni orthogonal: - kiingilio kama hicho kitakuwa sahihi, na inafaa zaidi kuliko .

Kesi ya tatu ni ya umuhimu mkubwa wa vitendo. kwani hukuruhusu kukagua ikiwa vektor ni orthogonal au la. Tutatatua shida hii katika sehemu ya pili ya somo.

Dot mali ya bidhaa

Wacha turudi kwa hali hiyo wakati wauzaji wawili iliyoongozwa pamoja... Katika kesi hii, pembe kati yao ni sawa na sifuri, na fomula ya bidhaa ya nukta huchukua fomu:.

Ni nini kinachotokea ikiwa vector imeongezeka yenyewe? Ni wazi kwamba vector inajumuisha yenyewe, kwa hivyo tunatumia fomula iliyorahisishwa hapo juu:

Nambari inaitwa mraba wa mraba vector, na inaashiria kama.

Kwa njia hii, mraba wa vector ni sawa na mraba wa urefu wa vector iliyopewa:

Kutoka kwa usawa huu, unaweza kupata fomula ya kuhesabu urefu wa vector:

Ingawa inaonekana haijulikani, lakini majukumu ya somo yataweka kila kitu mahali pake. Ili kutatua shida, tunahitaji pia mali ya bidhaa za nukta.

Kwa veki holela na nambari yoyote, mali zifuatazo ni halali:

1) - kubadilishwa au kubadilika sheria ya bidhaa scalar.

2) - usambazaji au kusambaza sheria ya bidhaa scalar. Kwa urahisi, unaweza kupanua mabano.

3) - mchanganyiko au ushirika sheria ya bidhaa scalar. Mara kwa mara inaweza kutolewa kutoka kwa bidhaa ya nukta.

Mara nyingi, kila aina ya mali (ambayo pia inahitaji kudhibitishwa!) Inatambuliwa na wanafunzi kama takataka isiyo ya lazima, ambayo inahitaji tu kukariri na mara tu baada ya mtihani, imesahaulika salama. Inaonekana kwamba ni muhimu hapa, kila mtu anajua kutoka daraja la kwanza kwamba bidhaa haibadiliki kutoka kwa idhini ya sababu: Lazima nikuonye, katika hesabu ya juu na njia hii, ni rahisi kuvunja kuni. Kwa hivyo, kwa mfano, mali ya kuhamishwa sio halali kwa matrices ya algebra... Sio kweli pia kwa bidhaa ya vector ya vectors... Kwa hivyo, angalau ni bora kukagua mali yoyote ambayo unapata wakati wa hesabu ya juu ili kuelewa ni nini kinachoweza kufanywa na ambacho hakiwezi kufanywa.

Mfano 3

Uamuzi: Kwanza, wacha tufafanue hali hiyo na vector. Je! Hii ni nini? Jumla ya vectors na ni vector iliyoainishwa vizuri, ambayo inaashiria na. Tafsiri ya kijiometri ya vitendo na vectors inaweza kupatikana katika kifungu hicho Vectors kwa dummies... Parsley sawa na vector ni jumla ya vectors na.

Kwa hivyo, kwa hali inahitajika kupata bidhaa ya nukta. Kwa nadharia, unahitaji kutumia fomula ya kufanya kazi , lakini shida ni kwamba hatujui urefu wa vectors na angle kati yao. Lakini hali hiyo inatoa vigezo sawa kwa vectors, kwa hivyo tutakwenda kwa njia nyingine:

(1) Kubadilisha maonyesho ya vector.

(2) Tunapanua mabano kulingana na kanuni ya kuzidisha kwa polynomials, twist ya ulimi mbaya inaweza kupatikana katika kifungu Nambari ngumu au Ujumuishaji wa sehemu ya busara ya busara... Sitarudia mwenyewe =) Kwa njia, mali ya usambazaji wa bidhaa ya nukta inaturuhusu kupanua mabano. Tuna haki.

(3) Katika maneno ya kwanza na ya mwisho, tunaandika kwa usawa viwanja vya wauzaji: ... Katika kipindi cha pili, tunatumia ruhusa ya bidhaa ya scalar:.

(4) Tunatoa maneno sawa:

(5) Katika kipindi cha kwanza, tunatumia fomula ya mraba, ambayo ilitajwa sio zamani sana. Katika kipindi cha mwisho, mtawaliwa, kitu kimoja kinafanya kazi:. Tunapanua kipindi cha pili kulingana na fomula ya kawaida .

(6) Tunabadilisha masharti haya , na kwa uangalifu fanya mahesabu ya mwisho.

Jibu:

Thamani hasi ya bidhaa ya nukta inasema ukweli kwamba angle kati ya vectors ni buti.

Kazi ni ya kawaida, hapa kuna mfano wa suluhisho la kujitegemea:

Mfano 4

Pata bidhaa ya dot ya vectors na, ikiwa inajulikana kuwa .

Sasa kazi nyingine ya kawaida, tu kwa fomula mpya ya urefu wa vector. Uainishaji hapa utaingiliana kidogo, kwa hivyo kwa uwazi, nitaiandika tena na barua tofauti:

Mfano 5

Pata urefu wa vector ikiwa .

Uamuzi itakuwa kama ifuatavyo:

(1) Toa usemi wa vector.

(2) Tunatumia fomula ya urefu:, wakati usemi mzima hufanya kama vector "ve".

(3) Tunatumia fomula ya shule kwa mraba wa jumla. Kumbuka jinsi inavyofanya kazi kwa kushangaza hapa: - kwa kweli, ni mraba wa tofauti, na, kwa kweli, ndio. Wale wanaopenda wanaweza kupanga upya vector katika maeneo: - ikawa sawa hadi upangaji upya wa masharti.

(4) Zilizobaki tayari zinajulikana kutoka kwa shida mbili zilizopita.

Jibu:

Kwa kuwa tunazungumza juu ya urefu, usisahau kuonyesha mwelekeo - "vitengo".

Mfano 6

Pata urefu wa vector ikiwa .

Huu ni mfano wa suluhisho la kujifanya mwenyewe. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa mafunzo.

Tunaendelea kubana vitu muhimu kutoka kwa bidhaa ya nukta. Wacha tuangalie fomula yetu tena ... Kulingana na sheria ya uwiano, wacha tuweke upya urefu wa vectors kwenye dhehebu la upande wa kushoto:

Na tutabadilishana sehemu:

Nini maana ya fomula hii? Ikiwa unajua urefu wa vectors mbili na bidhaa yao ya nukta, basi unaweza kuhesabu cosine ya pembe kati ya vectors hizi, na, kwa hivyo, angle yenyewe.

Je! Bidhaa ya nukta ni nambari? Nambari. Je! Urefu wa nambari za vectors? Hesabu. Kwa hivyo, sehemu hiyo pia ni nambari fulani. Na ikiwa cosine ya pembe inajulikana: , kisha kutumia kazi ya kugeuza ni rahisi kupata pembe yenyewe: .

Mfano 7

Pata pembe kati ya vectors na, ikiwa inajulikana kuwa.

Uamuzi: Tunatumia fomula:

Katika hatua ya mwisho ya mahesabu, mbinu ilitumika - kuondoa kutokuwa na ujinga katika dhehebu. Ili kuondoa ujinga, nilizidisha hesabu na nambari kwa.

Kwa hivyo ikiwa kisha:

Thamani za inverse trigonometric function zinaweza kupatikana na Jedwali la trigonometric... Ingawa hii hufanyika mara chache. Katika shida za jiometri za uchambuzi, aina fulani ya kubeba ngumu inaonekana mara nyingi zaidi, na thamani ya pembe inapaswa kupatikana takriban kwa kutumia kikokotoo. Kwa kweli, tutaona picha kama hii zaidi ya mara moja.

Jibu:

Tena, usisahau kuonyesha mwelekeo - radians na digrii. Binafsi, ili kujua "wazi maswali yote", napendelea kuonyesha yote hayo na hayo (isipokuwa, kwa kweli, kwa hali hiyo, inahitajika kuwasilisha jibu tu kwa mionzi au kwa digrii tu).

Sasa utaweza kukabiliana na kazi ngumu zaidi peke yako:

Mfano 7 *

Imepewa urefu wa vectors, na pembe kati yao. Pata pembe kati ya vectors,.

Kazi sio ngumu hata kama hatua nyingi.
Wacha tuchambue algorithm ya suluhisho:

1) Kulingana na hali hiyo, inahitajika kupata pembe kati ya vectors na, kwa hivyo, unahitaji kutumia fomula .

2) Tafuta bidhaa ya nukta (tazama Mifano Na. 3, 4).

3) Tafuta urefu wa vector na urefu wa vector (angalia Mifano Na. 5, 6).

4) Mwisho wa suluhisho unafanana na Mfano Namba 7 - tunajua nambari, ambayo inamaanisha kuwa ni rahisi kupata pembe yenyewe:

Suluhisho fupi na jibu mwishoni mwa mafunzo.

Sehemu ya pili ya somo inazingatia bidhaa hiyo hiyo ya nukta. Kuratibu. Itakuwa rahisi hata kuliko sehemu ya kwanza.

Bidhaa ya dot ya vectors,
iliyotolewa na kuratibu kwa misingi ya kawaida

Jibu:

Bila kusema, kushughulika na kuratibu ni ya kupendeza zaidi.

Mfano 14

Pata bidhaa ya dot ya vectors na, ikiwa

Huu ni mfano wa suluhisho la kujifanya mwenyewe. Hapa unaweza kutumia ushirika wa operesheni, ambayo sio hesabu, lakini songa mara tatu nje ya bidhaa ya scalar na uzidishe nayo mwisho. Suluhisho na jibu mwishoni mwa somo.

Mwisho wa aya, mfano wa kuchochea wa kuhesabu urefu wa vector:

Mfano 15

Pata urefu wa vectors , ikiwa a

Uamuzi: tena njia ya sehemu iliyotangulia inajidokeza:, lakini kuna njia nyingine:

Pata vector:

Na urefu wake kulingana na fomula ndogo :

Bidhaa ya nukta haijaulizwa hapa!

Kama nje ya biashara, ni wakati wa kuhesabu urefu wa vector:
Acha. Kwa nini usichukue faida ya mali dhahiri ya urefu wa vector? Je! Juu ya urefu wa vector? Vector hii ni ndefu mara 5 kuliko vector. Mwelekeo ni kinyume, lakini haijalishi, kwa sababu mazungumzo ni juu ya urefu. Kwa wazi, urefu wa vector ni sawa na bidhaa moduli nambari kwa urefu wa vector:
- ishara ya moduli "inakula" uwezekano mdogo wa nambari.

Kwa njia hii:

Jibu:

Fomula ya cosine ya pembe kati ya vectors, ambayo hutolewa na kuratibu

Sasa tuna habari kamili ili fomula inayotokana hapo awali ya cosine ya pembe kati ya vectors eleza kwa mujibu wa kuratibu za vectors:

Mchanganyiko wa pembe kati ya vectors ya ndege na kutolewa kwa msingi wa kawaida, imeonyeshwa na fomula:
.

Mchanganyiko wa pembe kati ya venga za nafasi iliyotolewa kwa msingi wa kawaida, imeonyeshwa na fomula:

Mfano 16

Vipeo vitatu vya pembetatu vinapewa. Pata (pembe ya vertex).

Uamuzi: Kwa hali, mchoro hauhitajiki kutekelezwa, lakini bado:

Pembe inayohitajika imewekwa alama na safu ya kijani kibichi. Mara moja kumbuka jina la shule ya pembe: - tahadhari maalum kwa wastani barua - hii ndio vertex ya kona tunayohitaji. Kwa ufupi, inaweza pia kuandikwa kwa urahisi.

Kutoka kwa kuchora ni dhahiri kabisa kwamba pembe ya pembetatu inafanana na pembe kati ya vectors na, kwa maneno mengine: .

Inashauriwa kujifunza jinsi ya kufanya uchambuzi uliofanywa kiakili.

Pata vectors:

Wacha tuhesabu bidhaa ya nukta:

Na urefu wa vectors:

Mchanganyiko wa pembe:

Huu ndio utaratibu wa kukamilisha kazi ambayo ninapendekeza kwa teapots. Wasomaji wa kisasa zaidi wanaweza kuandika mahesabu "katika mstari mmoja":

Hapa kuna mfano wa "mbaya" thamani ya cosine. Thamani inayosababishwa sio ya mwisho, kwa hivyo kuna maana kidogo katika kuondoa ujinga katika dhehebu.

Wacha tupate kona yenyewe:

Ukiangalia uchoraji, matokeo yake yanaonekana kabisa. Kwa kuangalia, pembe inaweza pia kupimwa na protractor. Usiharibu kifuniko cha mfuatiliaji =)

Jibu:

Katika jibu, usisahau hiyo aliuliza juu ya pembe ya pembetatu(na sio juu ya pembe kati ya vectors), usisahau kuonyesha jibu halisi: na thamani ya takriban ya pembe: kupatikana na kikokotoo.

Wale ambao wamefurahia mchakato wanaweza kuhesabu pembe na kuthibitisha uhalali wa usawa wa kisheria

Mfano 17

Pembetatu inafafanuliwa katika nafasi na kuratibu za vipeo vyake. Pata pembe kati ya pande na

Huu ni mfano wa suluhisho la kujifanya mwenyewe. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa mafunzo

Sehemu fupi ya mwisho itatolewa kwa makadirio, ambayo bidhaa ya scalar pia "imechanganywa":

Makadirio ya Vector-to-vector. Makadirio ya vector kwa shoka za kuratibu.
Vipodozi vya mwelekeo wa vector

Fikiria vectors na:

Tunapanga vector kwenye vector, kwa hili tunaacha kutoka mwanzo na mwisho wa vector perpendiculars kwa vector (mistari ya kijani yenye dotted). Fikiria miale ya mwanga inayoangukia kwa vector. Kisha sehemu (laini nyekundu) itakuwa "kivuli" cha vector. Katika kesi hii, makadirio ya vector kwenye vector ni LENGTH ya sehemu hiyo. Hiyo ni, RUFAA NI NAMBA.

Nambari hii inaashiria kama ifuatavyo :, "vector kubwa" inaashiria vector AMBAYO mradi, "vector ndogo ya usajili" inaashiria vector KWENYE ambayo inakadiriwa.

Rekodi yenyewe inasoma hivi: "makadirio ya vector" a "kwenye vector" bh "".

Ni nini hufanyika ikiwa vector "bs" ni "fupi sana"? Tunachora laini moja kwa moja iliyo na vector "kuwa". Na vector "a" itakadiriwa tayari juu ya mwelekeo wa vector "bs", kwa urahisi - kwenye laini moja kwa moja iliyo na vector "be". Vile vile vitafanyika ikiwa vector "a" imeahirishwa katika ufalme wa thelathini - bado itaangaziwa kwa urahisi kwenye laini moja kwa moja iliyo na vector "bh".

Ikiwa pembe kati ya vectors papo hapo(kama kwenye picha), basi

Ikiwa vectors orgonal, basi (makadirio ni hatua ambayo vipimo vyake hufikiriwa kuwa sifuri).

Ikiwa pembe kati ya vectors mjinga(katika kielelezo, panga tena mshale wa vector), halafu (urefu sawa, lakini umechukuliwa na ishara ya kuondoa).

Wacha tuahirishe vector hizi kutoka hatua moja:

Kwa wazi, wakati vector inahamia, makadirio yake hayabadilika

Bidhaa ya nukta hutoweka ikiwa na ikiwa tu moja ya viboreshaji ni sifuri au kama vektari ni za kipekee. Hakika, ikiwa au, au basi.

Kinyume chake, ikiwa veta zinazozidishwa sio sifuri, basi kwa sababu kutoka kwa hali hiyo

wakati ifuatavyo:

Kwa kuwa mwelekeo wa vector ya sifuri haujafafanuliwa, vector ya sifuri inaweza kuzingatiwa kuwa sawa kwa vector yoyote. Kwa hivyo, mali iliyoonyeshwa ya bidhaa ya scalar inaweza kutengenezwa kwa njia fupi: bidhaa ya scalar hupotea ikiwa tu na ikiwa vektari zinaonekana.

II. Bidhaa ya nukta ina mali ya ubadilishaji:

Mali hii ifuatavyo moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi:

kwa sababu majina tofauti kwa pembe moja.

III. Sheria ya usambazaji ni ya umuhimu mkubwa. Matumizi yake ni sawa na hesabu ya kawaida au algebra, ambapo imeundwa kama ifuatavyo: kuzidisha jumla, unahitaji kuzidisha kila neno na kuongeza bidhaa zinazosababishwa, i.e.

Kwa wazi, kuzidisha kwa nambari zenye hesabu nyingi katika hesabu au polynomials katika algebra inategemea mali hii ya kuzidisha.

Sheria hii ina maana sawa ya kimsingi katika algebra ya vector, kwani kwa msingi wake tunaweza kutumia kanuni ya kawaida ya kuzidisha polynomials kwa vectors.

Wacha tudhibitishe kuwa kwa veki tatu yoyote A, B, C usawa

Kulingana na ufafanuzi wa pili wa bidhaa ya nukta, iliyoonyeshwa na fomula, tunapata:

Kutumia sasa mali 2 ya makadirio kutoka § 5, tunapata:

Q.E.D.

IV. Bidhaa ya nukta ina mali ya kuchanganya kwa heshima na sababu ya nambari; mali hii imeonyeshwa na fomula ifuatayo:

Hiyo ni, kuzidisha bidhaa ya dot ya vectors kwa idadi, inatosha kuzidisha moja ya sababu na nambari hii.

Kutakuwa pia na kazi za suluhisho huru, ambalo unaweza kuona majibu.

Ikiwa katika shida urefu wote wa vectors na pembe kati yao zinawasilishwa "kwenye sinia la fedha", basi hali ya shida na suluhisho lake inaonekana kama hii:

Mfano 1. Vector iliyopewa. Pata bidhaa ya dot ya vektari ikiwa urefu na pembe kati yao zinawakilishwa na maadili yafuatayo:

Ufafanuzi mwingine pia ni halali, ambayo ni sawa kabisa na Ufafanuzi 1.

Ufafanuzi 2... Bidhaa ya scalar ya vectors ni idadi (scalar) sawa na bidhaa ya urefu wa moja ya vectors hizi na makadirio ya vector nyingine kwenye mhimili uliowekwa na wa kwanza wa vectors zilizoonyeshwa. Mfumo kulingana na Ufafanuzi 2:

Tutatatua shida kwa kutumia fomula hii baada ya hatua muhimu inayofuata ya nadharia.

Kuamua bidhaa ya dot ya vectors kulingana na kuratibu

Nambari hiyo hiyo inaweza kupatikana ikiwa veta zinazozidishwa zinapewa na kuratibu zao.

Ufafanuzi 3. Bidhaa ya nukta ya vectors ni idadi sawa na jumla ya bidhaa za jozi za kuratibu zao.

Juu ya uso

Ikiwa veki mbili na kwenye ndege hufafanuliwa na mbili zao Uratibu wa Mistari ya Cartesian

basi bidhaa ya scalar ya vectors hizi ni sawa na jumla ya bidhaa za jozi za kuratibu zao:

Mfano 2. Pata thamani ya nambari ya makadirio ya vector kwenye mhimili sawa na vector.

Uamuzi. Tunapata bidhaa ya dot ya vectors kwa kuongeza bidhaa za jozi za kuratibu zao:

Sasa tunahitaji kulinganisha bidhaa inayosababishwa na bidhaa kwa bidhaa ya urefu wa vector na makadirio ya vector kwenye mhimili sawa na vector (kulingana na fomula).

Tunapata urefu wa vector kama mzizi wa mraba wa jumla ya mraba wa kuratibu zake:

Tunatengeneza equation na kuitatua:

Jibu. Thamani ya nambari inayotakiwa ni minus 8.

Katika nafasi

Ikiwa veki mbili na katika nafasi zimefafanuliwa na kuratibu zao tatu za Mstari wa Cartesian

basi bidhaa ya scalar ya vectors hizi pia ni sawa na jumla ya bidhaa za jozi za kuratibu zao zinazofanana, tu tayari kuna kuratibu tatu:

Shida ya kupata bidhaa ya nukta kwa njia iliyozingatiwa ni baada ya kuchanganua mali ya bidhaa ya nukta. Kwa sababu katika kazi hiyo itakuwa muhimu kuamua ni veki zipi zilizoongezeka zinaunda.

Vector dot bidhaa za bidhaa

Mali ya algebra

1. (mali ya kuhamishwa: Thamani ya bidhaa yao ya nukta haibadiliki kutoka kwa mabadiliko katika sehemu za veta zinazozidishwa).

2. (kuzidisha mali ya mchanganyiko: bidhaa ya nukta ya vector iliyozidishwa na sababu fulani na vector nyingine ni sawa na bidhaa ya nukta ya vectors hizi zilizozidishwa na sababu hiyo hiyo).

3. (mali ya usambazaji kwa heshima ya jumla ya vectors: bidhaa ya nukta ya jumla ya vector mbili na vector ya tatu ni sawa na jumla ya bidhaa za nukta ya vector ya kwanza na vector ya tatu na vector ya pili na vector ya tatu).

4. (mraba wa vector ni kubwa kuliko sifuri), ikiwa ni vector ya nonzero, na, ikiwa, ni vector zero.

Mali ya kijiometri

Katika ufafanuzi wa operesheni iliyo chini ya utafiti, tayari tumegusa wazo la pembe kati ya veki mbili. Ni wakati wa kufafanua dhana hii.

Katika picha hapo juu, veki mbili zinaonekana, ambazo huletwa kwa asili ya kawaida. Na jambo la kwanza kuzingatia: kuna pembe mbili kati ya vectors hizi - φ 1 na φ 2 ... Je! Ni ipi kati ya pembe hizi inayoonekana katika ufafanuzi na mali ya bidhaa ya dot ya vectors? Jumla ya pembe zinazozingatiwa ni 2 π na kwa hivyo vipodozi vya pembe hizi ni sawa. Ufafanuzi wa bidhaa ya nukta ni pamoja na cosine tu ya pembe, sio thamani ya usemi wake. Lakini katika mali kona moja tu inachukuliwa. Na hii ndio moja ya pembe mbili ambazo hazizidi π , ambayo ni digrii 180. Katika takwimu, pembe hii imeteuliwa kama φ 1 .

1. Vector mbili zinaitwa orgonal na pembe kati ya vectors hizi ni mstari wa moja kwa moja (Digrii 90 au π / 2) ikiwa bidhaa ya nukta ya vectors hizi ni sifuri :

Orthogonality katika algebra ya vector ni upendeleo wa veki mbili.

2. Vector mbili za nonzero hufanya kona kali (kutoka digrii 0 hadi 90, au, ambayo ni sawa - chini π bidhaa ya nukta ni chanya .

3. Vector mbili za nonzero hufanya pembe ya kufifia (kutoka digrii 90 hadi 180, au, ambayo ni sawa - zaidi π / 2) ikiwa na ikiwa tu zao bidhaa ya nukta ni hasi .

Mfano 3. Wakala hupewa kwa kuratibu:

Mahesabu ya bidhaa za nukta za jozi zote za vectors zilizopewa. Je! Ni pembe gani (papo hapo, sawa, butu) ambazo jozi za vectors huunda?

Uamuzi. Tutahesabu kwa kuongeza bidhaa za kuratibu zinazofanana.

Imepokea nambari hasi, kwa hivyo wauzaji huunda pembe ya kufifia.

Tulipata nambari nzuri, kwa hivyo vectors huunda pembe ya papo hapo.

Tulipata sifuri, kwa hivyo vectors huunda pembe ya kulia.

Tulipata nambari nzuri, kwa hivyo vectors huunda pembe ya papo hapo.

Kwa kujipima, unaweza kutumia Kikokotoo mkondoni Dot bidhaa ya vectors na cosine ya pembe kati yao .

Mfano 4. Urefu wa veki mbili na pembe kati yao hutolewa:

Tambua kwa thamani gani ya nambari vectors na ni orthogonal (perpendicular).

Uamuzi. Tunazidisha vectors kulingana na sheria ya kuzidisha polynomials:

Sasa wacha tuhesabu kila neno:

Wacha tutunge equation (usawa wa bidhaa hadi sifuri), toa maneno sawa na tusuluhishe equation:

Jibu: tulipata maana λ = 1.8, ambayo vectors ni orthogonal.

Mfano 5. Thibitisha kwamba vector orthogonal (perpendicular) kwa vector

Uamuzi. Kuangalia orthogonality, tunazidisha vectors na kama polynomials, tukibadilisha usemi uliotolewa katika taarifa ya shida:

Ili kufanya hivyo, unahitaji kuzidisha kila neno (muda) wa polynomial ya kwanza kwa kila kipindi cha pili na kuongeza bidhaa zinazosababishwa:

Kama matokeo, sehemu hiyo imepunguzwa kwa gharama. Matokeo yake ni yafuatayo:

Hitimisho: kama matokeo ya kuzidisha, tulipata sifuri, kwa hivyo, ukweli wa ukweli (upendeleo) wa vectors unathibitishwa.

Tatua shida mwenyewe, na kisha uone suluhisho

Mfano 6. Kwa kuzingatia urefu wa vectors na, na angle kati ya vectors hizi ni π / nne. Tambua kwa thamani gani μ vectors na ni pande zote mbili.

Kwa kujipima, unaweza kutumia Kikokotoo mkondoni Dot bidhaa ya vectors na cosine ya pembe kati yao .

Uwakilishi wa tumbo la bidhaa ya nukta ya vectors na bidhaa ya ve-n-dimensional

Wakati mwingine ni faida kwa uwazi kuwakilisha vectors mbili zinazozidishwa kwa njia ya matrices. Halafu vector ya kwanza inawakilishwa kama matrix ya safu, na ya pili - kama tumbo la safu:

Kisha bidhaa ya scalar ya vectors itakuwa bidhaa ya matrices haya :

Matokeo yake ni sawa na yale yaliyopatikana kwa njia ambayo tumezingatia tayari. Nambari moja moja hupatikana, na bidhaa ya matrix ya safu na matrix ya safu pia ni nambari moja.

Ni rahisi kuwakilisha bidhaa ya vector abstract n-dimensional katika fomu ya tumbo. Kwa hivyo, bidhaa ya vectors mbili-dimensional itakuwa bidhaa ya matrix ya safu na vitu vinne na safu ya safu pia na vitu vinne, bidhaa ya vectors mbili-dimensional itakuwa bidhaa ya matrix ya safu na vitu vitano na safu ya safu pia na vitu vitano, na kadhalika.

Mfano 7. Pata bidhaa za dot za jozi za vectors

kutumia uwakilishi wa tumbo.

Uamuzi. Jozi ya kwanza ya vectors. Tunawakilisha vector ya kwanza kama matrix ya safu, na ya pili kama tumbo la safu. Tunapata bidhaa ya nukta ya vectors kama bidhaa ya matrix ya safu na matrix ya safu:

Vivyo hivyo, tunawakilisha jozi ya pili na kupata:

Kama unavyoona, matokeo ni sawa na yale ya jozi sawa kutoka kwa mfano 2.

Angle kati ya vectors mbili

Utoaji wa fomula ya cosine ya pembe kati ya veki mbili ni nzuri sana na fupi.

Kuelezea bidhaa ya dot ya vectors

(1)

katika fomu ya kuratibu, tunapata kwanza bidhaa ya scalar ya vectors ya vitengo. Bidhaa ya nukta ya vector yenyewe kwa ufafanuzi:

Kilichoandikwa katika fomula hapo juu inamaanisha: bidhaa ya nukta ya vector yenyewe ni sawa na mraba wa urefu wake... Cosine ya sifuri ni sawa na moja, kwa hivyo mraba wa kila ort utakuwa sawa na moja: