Sine ni sawa na uwiano. Sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe ya papo hapo

Hotuba: Sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe ya kiholela

Sine, cosine ya pembe ya kiholela

Ili kuelewa ni nini kazi za trigonometric, wacha tugeukie mduara na eneo la kitengo. Mduara huu umejikita katika asili kwenye ndege ya kuratibu. Kuamua kazi zilizopewa, tutatumia vector ya radius AU ambayo huanza katikati ya duara na kumweka R ni hatua ya mduara. Vector hii ya radius huunda alpha ya pembe na mhimili OH... Kwa kuwa mduara una radius sawa na moja, basi OP = R = 1.

Ikiwa kutoka kwa hatua R punguza kielelezo kwa mhimili OH, basi tunapata pembetatu yenye pembe-kulia na hypotenuse sawa na moja.

Ikiwa vector ya radius inakwenda kwa saa, basi mwelekeo huu unaitwa hasi, ikiwa inakwenda kinyume cha saa - chanya.

Pembe ya Sine AU, ni upangishaji wa hoja R vectors kwenye mduara.

Hiyo ni, kupata thamani ya sine ya alpha ya pembe iliyopewa, ni muhimu kuamua uratibu Kuwa na juu ya uso.

Thamani hii ilipatikanaje? Kwa kuwa tunajua kwamba sine ya pembe holela katika pembetatu iliyo na pembe ya kulia ni uwiano wa mguu wa kinyume na hypotenuse, tunapata hiyo

Na tangu R = 1 basi dhambi (α) = y 0 .

Katika mduara wa kitengo, thamani ya upangiaji haiwezi kuwa chini ya -1 na zaidi ya 1, ambayo inamaanisha kuwa

Sine ni chanya katika robo ya kwanza na ya pili ya mzunguko wa kitengo, na hasi katika tatu na nne.

Mchanganyiko wa pembe mduara uliopewa iliyoundwa na vector ya radius AU, ni abscissa ya uhakika R vectors kwenye mduara.

Hiyo ni, kupata thamani ya cosine ya alpha ya pembe iliyopewa, ni muhimu kuamua uratibu X juu ya uso.

Cosine ya pembe holela katika pembetatu iliyo na pembe ya kulia ni uwiano wa mguu ulio karibu na hypotenuse, tunapata hiyo

Na tangu R = 1 basi cos (α) = x 0 .

Katika mduara wa kitengo, thamani ya abscissa haiwezi kuwa chini ya -1 na zaidi ya 1, ambayo inamaanisha kuwa

Cosine ni chanya katika robo ya kwanza na ya nne ya mduara wa kitengo, na hasi katika pili na ya tatu.

Tangentpembe holela uwiano wa sine na cosine inachukuliwa.

Ikiwa tunazingatia pembetatu iliyo na pembe ya kulia, basi hii ndio uwiano wa mguu wa kinyume na ule wa karibu. Ikiwa tunazungumza juu ya mduara wa kitengo, basi hii ndio uwiano wa kuamuru kwa abscissa.

Kwa kuzingatia uwiano huu, mtu anaweza kuelewa kuwa tangent haiwezi kuwepo ikiwa thamani ya abscissa ni sifuri, ambayo ni kwa pembe ya digrii 90. Tangent inaweza kuchukua maadili mengine yote.

Tangent ni chanya katika robo ya kwanza na ya tatu ya mzunguko wa kitengo, na hasi katika pili na ya nne.

Trigonometry, kama sayansi, ilianzia Mashariki ya Kale. Mahusiano ya kwanza ya trigonometri yalitokana na wanaastroniki kuunda kalenda sahihi na mwelekeo wa nyota. Hesabu hizi zilihusiana na trigonometry ya duara, wakati katika kozi ya shule wanasoma uwiano wa pembe na pembe ya pembetatu tambarare.

Trigonometry ni tawi la hisabati ambalo linahusika na mali ya kazi za trigonometri na uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu.

Wakati wa siku ya utamaduni na sayansi ya milenia ya 1 BK, maarifa yalisambaa kutoka Mashariki ya Kale hadi Ugiriki. Lakini uvumbuzi kuu wa trigonometry ni sifa ya wanaume wa Ukhalifa wa Kiarabu. Hasa, mwanasayansi wa Turkmen al-Marazvi alianzisha kazi kama vile tangent na cotangent, aliunda meza za kwanza za maadili ya dhambi, tangents na cotangents. Dhana ya sine na cosine ilianzishwa na wanasayansi wa India. Makini mengi hutolewa kwa trigonometry katika kazi za takwimu kama hizo za zamani kama Euclid, Archimedes na Eratosthenes.

Kiasi cha kimsingi cha trigonometry

Kazi za kimsingi za trigonometri ya hoja ya nambari ni sine, cosine, tangent, na cotangent. Kila mmoja wao ana graph yake mwenyewe: sinusoid, cosine, tangent na cotangent.

Njia za kuhesabu maadili ya idadi hizi zinategemea nadharia ya Pythagorean. Watoto wa shule wanaijua vizuri katika maneno: "suruali ya Pythagorean, sawa katika pande zote", kwani uthibitisho umetolewa kwa mfano wa pembetatu iliyo na angled kulia.

Sine, cosine, na utegemezi mwingine huanzisha uhusiano kati ya pembe kali na pande za pembetatu yoyote ya kulia. Wacha tutoe fomula za kuhesabu maadili haya kwa pembe A na tuangalie uhusiano wa kazi za trigonometri:

Kama unavyoona, tg na ctg ni kazi tofauti. Ikiwa tunawakilisha mguu a kama bidhaa ya dhambi A na hypotenuse c, na mguu b kama cos A * c, basi tunapata fomula zifuatazo za tangent na cotangent:

Mzunguko wa trigonometric

Kwa kielelezo, uwiano wa idadi hii inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:

Mduara, katika kesi hii, inawakilisha maadili yote yanayowezekana ya pembe α - kutoka 0 ° hadi 360 °. Kama unavyoona kutoka kwa takwimu, kila kazi inachukua nambari hasi au chanya, kulingana na thamani ya pembe. Kwa mfano, dhambi α itakuwa na ishara "+" ikiwa α ni ya robo ya I na II ya mduara, ambayo ni kati ya 0 ° hadi 180 °. Wakati α ni kutoka 180 ° hadi 360 ° (Robo ya III na IV), dhambi α inaweza tu kuwa hasi.

Wacha tujaribu kujenga meza za trigonometric kwa pembe maalum na kujua thamani ya idadi.

Thamani za α sawa na 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° na kadhalika huitwa kesi maalum. Maadili ya kazi za trigonometri kwao huhesabiwa na kuwasilishwa kwa njia ya meza maalum.

Pembe hizi hazikuchaguliwa kwa bahati. Uteuzi π kwenye meza unasimama kwa radians. Rad ni pembe ambayo urefu wa safu ya duara inalingana na eneo lake. Thamani hii ilianzishwa ili kuanzisha utegemezi kwa ulimwengu wote; wakati wa kuhesabu katika radians, urefu halisi wa eneo katika cm haijalishi.

Pembe kwenye meza kwa kazi za trigonometri zinahusiana na maadili ya mionzi:

Kwa hivyo, sio ngumu kudhani kuwa 2π ni duara kamili au 360 °.

Mali ya kazi za trigonometric: sine na cosine

Ili kuzingatia na kulinganisha mali kuu ya sine na cosine, tangent na cotangent, ni muhimu kuteka kazi zao. Hii inaweza kufanywa kwa njia ya curve iliyo katika mfumo wa kuratibu wa pande mbili.

Fikiria meza ya kulinganisha ya mali kwa wimbi la sine na wimbi la cosine:

Kuamua ikiwa kazi ni sawa au la ni rahisi sana. Inatosha kufikiria mduara wa trigonometri na ishara za idadi ya trigonometri na kiakili "ongeza" grafu kuhusu mhimili wa OX. Ikiwa ishara zinalingana, kazi ni sawa; vinginevyo, ni isiyo ya kawaida.

Kuanzishwa kwa mionzi na hesabu ya mali kuu ya sinusoid na cosine huruhusu tupe mfano ufuatao:

Ni rahisi sana kudhibitisha usahihi wa fomula. Kwa mfano, kwa x = π / 2 sine ni 1, kama vile cosine x = 0. Cheki inaweza kufanywa kwa kutaja meza au kwa kufuatilia safu za kazi kwa maadili yaliyopewa.

Sifa za Tangentoid na Cotangentoid

Viwanja vya kazi tangent na cotangent ni tofauti sana na sine na cosine. Thamani za tg na ctg zinapingana kwa kila mmoja.

1. Y = tg x.
2. Tangentoid huwa na maadili y kwa x = π / 2 + πk, lakini huwafikia kamwe.
3. Kipindi kidogo kabisa cha tangentoid ni π.
4. Tg (- x) = - tg x, ambayo ni kwamba, kazi hiyo sio ya kawaida.
5. Tg x = 0, kwa x = πk.
6. Kazi inaongezeka.
7. Tg x ›0, kwa x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, kwa x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Inayotokana (tg x) ’= 1 / cos 2 ⁡x.

Fikiria uwakilishi wa picha ya cotangentoid hapa chini katika maandishi.

Mali kuu ya cotangensoid:

1. Y = ctg x.
2. Tofauti na kazi za sine na cosine, katika tangentoid Y inaweza kuchukua maadili ya seti ya nambari zote halisi.
3. Cotangensoid huwa na maadili y kwa x = πk, lakini huwafikia kamwe.
4. Kipindi kidogo kabisa cha cotangensoid ni π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, ambayo ni kwamba, kazi hiyo sio ya kawaida.
6. Ctg x = 0, kwa x = π / 2 + πk.
7. Kazi inapungua.
8. Ctg x ›0, kwa x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹, kwa x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Inayotokana (ctg x) ’= - 1 / dhambi 2 ⁡x Sahihi

Ninawezaje kupata sine?

Kusoma jiometri husaidia kukuza kufikiria. Somo hili lazima lijumuishwe katika mafunzo ya shule. Katika maisha, ujuzi wa mada hii unaweza kuwa muhimu - kwa mfano, wakati wa kupanga nyumba.

Kutoka kwa historia

Kama sehemu ya kozi ya jiometri, trigonometry pia inasoma, ambayo inachunguza kazi za trigonometri. Katika trigonometry, tunasoma dhambi, vipodozi, tangents, na cotangents ya pembe.

Lakini kwa sasa, wacha tuanze na jambo rahisi - sine. Wacha tuangalie kwa karibu dhana ya kwanza kabisa - sine ya pembe katika jiometri. Sine ni nini na unapataje?

Dhana ya "sine angle" na sinusoids

Sine ya pembe ni uwiano wa maadili ya mguu wa kinyume na hypotenuse ya pembetatu ya kulia. Hii ni kazi ya moja kwa moja ya trigonometri, ambayo kwa maandishi inaashiria "dhambi (x)", ambapo (x) ni pembe ya pembetatu.

Kwenye grafu, sine ya pembe inaashiria sinusoid na sifa zake. Sinusoid inaonekana kama laini ya wavy inayoendelea ambayo iko ndani ya mipaka fulani kwenye ndege ya kuratibu. Kazi ni isiyo ya kawaida, kwa hivyo ni ulinganifu juu ya 0 kwenye ndege ya kuratibu (inaacha asili ya kuratibu).

Upeo wa kazi hii upo kati ya -1 hadi +1 katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Kipindi cha kazi ya pembe ya sine ni 2 Pi. Hii inamaanisha kuwa kila 2 pi muundo hurudiwa na sinusoid hupitia mzunguko kamili.

Usawa wa Sinusoid

• dhambi x = a / c
• ambapo mguu uko kinyume na pembe ya pembetatu
• c - hypotenuse ya pembetatu ya kulia

Sine Angle Properties

1. dhambi (x) = - dhambi (x). Kipengele hiki kinaonyesha kuwa kazi ni ya ulinganifu, na ikiwa tutatoa maadili ya x na (-x) kwenye mfumo wa kuratibu kwa pande zote mbili, basi kanuni za alama hizi zitakuwa kinyume. Watakuwa sawa kutoka kwa kila mmoja.
2. Kipengele kingine cha kazi hii ni kwamba grafu ya utendaji huongezeka kwa muda [- P / 2 + 2 Pn]; [П / 2 + 2Пn], ambapo n ni nambari yoyote. Kupungua kwa grafu ya sine ya pembe kutazingatiwa kwenye sehemu: [P / 2 + 2 Pn]; [3P / 2 + 2Pn].
3. dhambi (x)> 0 wakati x imelala katika masafa (2Пn, П + 2Пn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Maadili ya dhambi za pembe huamua kulingana na meza maalum. Jedwali kama hizo zimeundwa kuwezesha mchakato wa kuhesabu fomula tata na hesabu. Ni rahisi kutumia na ina maadili ya sio tu kazi ya dhambi (x), lakini pia maadili ya kazi zingine.

Kwa kuongezea, jedwali la maadili ya kawaida ya kazi hizi ni pamoja na kwenye somo la lazima la kumbukumbu, kama jedwali la kuzidisha. Hii ni kweli haswa kwa madarasa yenye upendeleo wa kimaumbile na kihesabu. Katika jedwali unaweza kuona maadili ya pembe kuu zinazotumiwa katika trigonometry: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 na digrii 360.

Kuna pia meza ambayo huamua maadili ya kazi za trigonometri ya pembe zisizo za kawaida. Kutumia meza tofauti, unaweza kuhesabu kwa urahisi sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe zingine.

Usawa hujumuishwa na kazi za trigonometri. Ni rahisi kutatua hesabu hizi ikiwa unajua vitambulisho rahisi vya trigonometri na ubadilishaji wa kazi, kwa mfano, kama dhambi (P / 2 + x) = cos (x) na wengine. Jedwali tofauti pia limekusanywa kwa wahusika hao.

Jinsi ya kupata sine ya pembe

Wakati kazi ni kupata sine ya pembe, na kwa hali tunayo tu cosine, tangent, au cotangent ya pembe, tunaweza kuhesabu kwa urahisi kile tunachohitaji kutumia vitambulisho vya trigonometric.

• dhambi 2 x + cos 2 x = 1

Kulingana na equation hii, tunaweza kupata sine na cosine, kulingana na nambari ambayo haijulikani. Tunapata equation ya trigonometric na moja isiyojulikana:

• dhambi 2 x = 1 - cos 2 x
• dhambi x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / dhambi 2 x

Kutoka kwa equation hii, unaweza kupata thamani ya sine, ukijua thamani ya cotangent ya pembe. Kwa unyenyekevu, badilisha dhambi 2 x = y, halafu una equation rahisi. Kwa mfano, thamani ya cotangent ni 1, basi:

• 1 + 1 = 1 / y
• 2 = 1 / y
• 2y = 1
• y = 1/2

Sasa tunafanya uingizwaji wa nyuma wa mchezo:

• dhambi 2 x = ½
• dhambi x = 1 / √2

Kwa kuwa tulichukua thamani ya cotangent kwa pembe ya kawaida (45 0), maadili yaliyopatikana yanaweza kuchunguzwa dhidi ya meza.

Ikiwa umetoa dhamana ya tangent, lakini unahitaji kupata sine, kitambulisho kingine cha trigonometri kitasaidia:

• tg x * ctg x = 1

Inafuata kwamba:

• ctg x = 1 / tg x

Ili kupata sine ya pembe isiyo ya kawaida, kwa mfano, 240 0, unahitaji kutumia fomula za kupunguza pembe. Tunajua kuwa π inalingana na 180 0 kwetu. Kwa hivyo, tutaelezea usawa wetu kulingana na pembe za kawaida na upanuzi.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Tunahitaji kupata yafuatayo: dhambi (180 0 + 60 0). Trigonometry ina njia za kupunguza ambazo zinafaa katika kesi hii. Hii ndio fomula:

• dhambi (π + x) = - dhambi (x)

Kwa hivyo, sine ya pembe ya digrii 240 ni:

• dhambi (180 0 + 60 0) = - dhambi (60 0) = - -3 / 2

Kwa upande wetu, x = 60, na P, mtawaliwa, digrii 180. Tulipata thamani (-√3 / 2) kutoka kwenye jedwali la maadili ya kazi za pembe za kawaida.

Kwa hivyo, unaweza kupanua pembe zisizo za kawaida, kwa mfano: 210 = 180 + 30.

Sinus pembe ya papo hapo α ya pembetatu ya kulia ni uwiano kupinga mguu kwa hypotenuse.
Imeteuliwa kama: dhambi α.

Cosine pembe ya papo hapo α ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu ulio karibu na hypotenuse.
Imeteuliwa kama: cos α.

Tangent angle ya papo hapo α ni uwiano wa mguu wa kinyume na mguu wa karibu.
Imeteuliwa kama ifuatavyo: tg α.

Mchanganyiko pembe ya papo hapo α ni uwiano wa mguu wa karibu na ule wa kinyume.
Imeteuliwa kama ifuatavyo: ctg α.

Sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe hutegemea tu ukubwa wa pembe.

Kanuni:

Utambulisho wa kimsingi wa trigonometri kwenye pembetatu ya kulia:

(α - pembe kali pembeni ya mguu b na karibu na mguu a ... Upande kutoka - hypotenuse. β Je! Pembe ya pili ya papo hapo).

Na pembe inayoongezeka ya papo hapodhambi α natg α ongezeko, nacos α hupungua.

Kwa pembe yoyote ya papo hapo α:

dhambi (90 ° - α) = cos α

cos (90 ° - α) = dhambi α

Ufafanuzi wa mfano:

Wacha katika pembetatu iliyo na angled ya kulia ABC
AB = 6,
KK = 3,
pembe A = 30º.

Tafuta sine ya pembe A na cosine ya pembe B.

Uamuzi.

1) Kwanza, tunapata thamani ya pembe B. Kila kitu ni rahisi hapa: kwani katika pembetatu iliyo na pembe ya kulia jumla ya pembe za papo hapo ni 90º, halafu pembe B = 60º:

B = 90º - 30º = 60º.

2) Hesabu dhambi A. Tunajua kwamba sine ni sawa na uwiano wa mguu wa kinyume na hypotenuse. Kwa pembe A, mguu wa kinyume ni upande wa BC. Kwa hivyo:

BC 3 1
dhambi A = - = - = -
AB 6 2

3) Sasa tunahesabu cos B. Tunajua kwamba cosine ni sawa na uwiano wa mguu ulio karibu na hypotenuse. Kwa pembe B, mguu wa karibu ni upande sawa BC. Hii inamaanisha kuwa tunahitaji tena kugawanya BC na AB - ambayo ni kwamba, fanya vitendo sawa na wakati wa kuhesabu sine ya pembe A:

BC 3 1
cos B = - = - = -
AB 6 2

Matokeo yake ni:
dhambi A = cos B = 1/2.

dhambi 30º = cos 60º = 1/2.

Inafuata kutoka kwa hii kwamba katika pembetatu iliyo na pembe ya kulia sine ya pembe moja kali ni sawa na cosine ya pembe nyingine ya papo hapo - na kinyume chake. Hii ndio maana ya kanuni zetu mbili:
dhambi (90 ° - α) = cos α
cos (90 ° - α) = dhambi α

Wacha tuhakikishe hii tena:

1) Wacha α = 60º. Kubadilisha thamani ya α katika fomula ya sine, tunapata:
dhambi (90º - 60º) = cos 60º.
dhambi 30º = cos 60º.

2) Wacha α = 30º. Kubadilisha thamani ya α katika fomula ya cosine, tunapata:
cos (90 ° - 30 °) = dhambi 30 °.
cos 60 ° = dhambi 30 °.

(Kwa habari zaidi juu ya trigonometry, angalia sehemu ya Algebra)

Tutaanza utafiti wa trigonometry na pembetatu iliyo na pembe ya kulia. Wacha tufafanue ni nini sine na cosine, na vile vile tangent na cotangent ya pembe ya papo hapo. Hizi ni misingi ya trigonometry.

Kumbuka kwamba pembe ya kulia ni pembe ya digrii 90. Kwa maneno mengine, nusu ya kona iliyopangwa.

Kona kali- chini ya digrii 90.

Pembe ya kutumia- zaidi ya digrii 90. Wakati inatumika kwenye kona kama hiyo, "bubu" sio tusi, lakini neno la kihesabu :-)

Wacha tuvute pembetatu yenye pembe-kulia. Pembe ya kulia kawaida huonyeshwa. Kumbuka kuwa upande ulio karibu na kona unaonyeshwa na herufi ile ile, ndogo tu. Kwa hivyo, upande ulio karibu na kona A umeashiria.

Pembe inaonyeshwa na herufi inayofanana ya Uigiriki.

Hypotenuse pembetatu iliyo na pembe ya kulia ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia.

Miguu- pande zinazoelekeana na pembe kali.

Mguu ulio kinyume na kona unaitwa kupinga(kuhusiana na kona). Mguu mwingine, ambao uko upande mmoja wa kona, unaitwa karibu.

Sinus pembe ya papo hapo kwenye pembetatu iliyo na pembe ya kulia ni uwiano wa mguu ulio kinyume na hypotenuse:

Cosine pembe ya papo hapo kwenye pembetatu iliyo na pembe ya kulia ni uwiano wa mguu ulio karibu na hypotenuse:

Tangent pembe ya papo hapo katika pembetatu iliyo na pembe ya kulia - uwiano wa mguu wa kinyume na ule wa karibu:

Ufafanuzi mwingine (sawa): tangent ya pembe ya papo hapo ni uwiano wa sine ya pembe na cosine yake:

Mchanganyiko pembe ya papo hapo kwenye pembetatu iliyo na pembe ya kulia ni uwiano wa mguu ulio karibu na ule wa kinyume (au, ambayo ni sawa, uwiano wa cosine na sine):

Kumbuka uhusiano wa kimsingi wa sine, cosine, tangent na cotangent hapa chini. Zitatufaa wakati wa kutatua shida.

Wacha tuhakikishe zingine.

Sawa, tumetoa ufafanuzi na tumeandika fomula. Je! Sine, cosine, tangent na cotangent ni ya nini?

Tunajua hilo jumla ya pembe za pembetatu yoyote ni.

Tunajua uhusiano kati ya vyama pembetatu ya kulia. Hii ndio nadharia ya Pythagorean:.

Inageuka kuwa kujua pembe mbili kwenye pembetatu, unaweza kupata ya tatu. Kujua pande hizo mbili kwenye pembetatu iliyo na pembe ya kulia, unaweza kupata ya tatu. Hii inamaanisha kuwa kwa pembe - uwiano wake mwenyewe, kwa pande - yake mwenyewe. Lakini ni nini ikiwa katika pembetatu iliyo na pembe moja inajulikana (isipokuwa ile ya kulia) na upande mmoja, lakini unahitaji kupata pande zingine?

Hivi ndivyo watu wamekumbana nazo huko nyuma, na kutengeneza ramani za eneo hilo na anga yenye nyota. Baada ya yote, sio kila wakati inawezekana kupima moja kwa moja pande zote za pembetatu.

Sine, cosine na tangent - pia huitwa kazi za trigonometri ya pembe- toa uhusiano kati ya vyama na pembe pembetatu. Kujua pembe, unaweza kupata kazi zake zote za trigonometri ukitumia meza maalum. Na kujua dhambi, vipodozi na tangents za pembe za pembetatu na moja ya pande zake, unaweza kupata zingine.

Pia tutachora meza ya sine, cosine, tangent na cotangent maadili ya pembe "nzuri" kutoka kwa.

Kumbuka dashi mbili nyekundu mezani. Tangent na cotangent haipo kwa pembe zinazofanana.

Wacha tuchambue kazi kadhaa za trigonometry kutoka FIPI Job Bank.

1. Katika pembetatu, pembe ni,. Pata.

Tatizo linatatuliwa kwa sekunde nne.

Kwa kadiri,.

2. Katika pembetatu, pembe ni ,,. Pata.

Pata na nadharia ya Pythagorean.

Tatizo limetatuliwa.

Pembetatu zilizo na pembe na au zenye pembe na mara nyingi hukutana na shida. Kariri uwiano wa kimsingi kwao!

Kwa pembetatu na pembe na mguu ulio kinyume na pembe b ni sawa na nusu ya hypotenuse.

Pembetatu na pembe na isosceles. Ndani yake, hypotenuse ni mara kubwa kuliko mguu.

Tulichunguza shida ya kusuluhisha pembetatu zenye pembe-kulia - ambayo ni kupata pande zisizojulikana au pembe. Lakini sio hayo tu! Katika matoleo ya mtihani katika hisabati, kuna shida nyingi ambapo sine, cosine, tangent au cotangent ya kona ya nje ya pembetatu inaonekana. Zaidi juu ya hii katika nakala inayofuata.