Pembe zinazolingana ni sawa. Ishara za usawa wa mistari miwili iliyonyooka

Acha mstari c uingie mistari sambamba a na b. Hii inaunda pembe nane. Pembe kwenye mistari ya moja kwa moja na mistari ya siri hutumiwa mara nyingi katika shida hivi kwamba hupewa majina maalum katika jiometri.

Pembe 1 na 3 - wima. Ni wazi, pembe za wima ni sawa, hiyo ni
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Bila shaka, pembe 5 na 7, 6 na 8 pia ni wima.

Pembe 1 na 2 - karibu, tayari tunajua hilo. Jumla ya pembe za karibu ni 180º.

Pembe 3 na 5 (pamoja na 2 na 8, 1 na 7, 4 na 6) zinavuka. Pembe zilizolala kwa njia ya kupita ni sawa.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Pembe 1 na 6 - upande mmoja. Wanalala upande mmoja wa "muundo" wote. Pembe 4 na 7 pia ni za upande mmoja. Jumla ya pembe za upande mmoja ni 180 °, hiyo ni
∠1 + ∠6 = 180 °,
∠4 + ∠7 = 180 °.

Pembe 2 na 6 (pamoja na 3 na 7, 1 na 5, 4 na 8) zinaitwa. husika.

Pembe zinazolingana ni sawa, hiyo ni
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

Pembe 3 na 5 (pamoja na 2 na 8, 1 na 7, 4 na 6) zinaitwa. kulala kinyume chake.

Pembe za uongo za kuvuka ni sawa, hiyo ni
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Ili kutumia ukweli huu wote katika kutatua matatizo ya USE, unahitaji kujifunza kuwaona kwenye kuchora. Kwa mfano, ukiangalia parallelogram au trapezoid, unaweza kuona jozi ya mistari sambamba na secant, pamoja na pembe za upande mmoja. Baada ya kuchora diagonal ya parallelogram, tunaona pembe za uongo kwenye msalaba. Hii ni moja ya hatua zinazounda suluhisho.

1. Bisector ya pembe ya obtuse ya parallelogram inagawanya upande wa kinyume kwa uwiano wa 3: 4, kuhesabu kutoka kwenye kilele cha angle ya obtuse. Tafuta upande mkubwa zaidi wa msambamba ikiwa mzunguko wake ni 88.

Kumbuka kwamba sehemu-mbili ya pembe ni miale inayojitokeza kutoka kwenye kilele cha pembe na kugawanya pembe hiyo mara mbili.

Ruhusu BM iwe sehemu mbili ya pembe ya butu B. Kwa hali, sehemu MD na AB ni sawa na 3x na 4x, mtawalia.

Fikiria pembe za CBM na VMA. Kwa kuwa AD na ВС ni sambamba, ВМ ni secant, pembe za CBM na ВМА ni za uwongo. Tunajua kwamba pembe zilizolala ni sawa. Hii ina maana kwamba pembetatu ABM ni isosceles, kwa hiyo, AB = AM = 4x.

Mzunguko wa parallelogram ni jumla ya pande zake zote, yaani
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
Kwa hivyo x = 4, 7x = 28.

2. Ulalo wa parallelogramu hufanya pembe za 26º na 34º na pande zake mbili. Tafuta pembe kubwa ya parallelogram. Toa jibu lako kwa digrii.

Chora parallelogram na diagonal yake. Kugundua katika kuchora pembe za uongo na pembe za upande mmoja, utapata jibu kwa urahisi: 120º.

3. Je! ni pembe gani kubwa ya trapezoid ya isosceles ikiwa inajulikana kuwa tofauti kati ya pembe za kinyume ni digrii 50? Toa jibu lako kwa digrii.

Tunajua hilo isosceles(au isosceles) inaitwa trapezoid, ambayo pande ni sawa. Kwa hiyo, pembe kwenye msingi wa juu ni sawa, pamoja na pembe kwenye msingi wa chini.

Hebu tuangalie mchoro. Kwa hali, α - β = 50 °, yaani, α = β + 50 °.

Pembe α na β ni za upande mmoja na mistari iliyo sawa na sekanti, kwa hivyo,
α + β = 180 °.

Hivyo 2β + 50 ° = 180 °
β = 65 °, kisha α = 115 °.

Jibu: 115.

Utafiti wa EGE »Nyenzo za kimbinu» Jiometri: kutoka sifuri hadi C4 »Urefu, wapatanishi, sehemu mbili za pembetatu

Ishara za usawa wa mistari miwili iliyonyooka

Nadharia 1. Ikiwa kwenye makutano ya mistari miwili ya sekunde:

pembe za kuvuka criss ni sawa, au

pembe zinazolingana ni sawa, au

jumla ya pembe za upande mmoja ni 180 °, basi

mistari iliyonyooka ni sambamba(Mtini. 1).

Ushahidi. Tunajiwekea kikomo kwa uthibitisho wa kesi 1.

Tuseme kwamba katika makutano ya mistari a na b secant AB, pembe za kuingiliana ni sawa. Kwa mfano, ∠ 4 = ∠ 6. Hebu tuthibitishe kwamba || b.

Tuseme kwamba mistari a na b haiwiani. Kisha wanaingiliana kwa wakati fulani M na, kwa hiyo, moja ya pembe 4 au 6 itakuwa kona ya nje ya pembetatu ABM. Acha, kwa uhakika, ∠ 4 iwe kona ya nje ya pembetatu ABM, na ∠ 6 - ya ndani. Kutoka kwa nadharia kwenye pembe ya nje ya pembetatu inafuata kwamba ∠ 4 ni kubwa kuliko ∠ 6, na hii inapingana na hali hiyo, ambayo ina maana kwamba mistari a na 6 haiwezi kuingiliana, kwa hiyo ni sawa.

Muhimu 1. Mistari miwili tofauti ya moja kwa moja katika ndege perpendicular kwa mstari sawa sawa ni sambamba(Mtini. 2).

Maoni. Njia ambayo tumethibitisha kisa cha 1 cha Nadharia ya 1 inaitwa kupingana au kupunguza kwa upuuzi. Njia hii ilipata jina lake la kwanza kwa sababu mwanzoni mwa hoja, dhana inafanywa ambayo ni kinyume (kinyume) na kile kinachohitajika kuthibitishwa. Inaitwa kupunguzwa kwa upuuzi kutokana na ukweli kwamba, tukibishana kwa misingi ya dhana iliyofanywa, tunafikia hitimisho la upuuzi (kwa upuuzi). Upokeaji wa hitimisho kama hilo hutulazimisha kukataa dhana iliyofanywa mwanzoni na kukubali ile ambayo ilihitajika kuthibitishwa.

Lengo 1. Tengeneza mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu uliyopewa M na sambamba na mstari uliotolewa moja kwa moja a, usipitie hatua ya M.

Suluhisho. Chora kwa njia ya uhakika M mstari wa moja kwa moja p perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja a (Mchoro 3).

Kisha tunatoa mstari wa moja kwa moja b kupitia hatua M perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja p. Mstari b ni sambamba na mstari a kulingana na mfululizo wa Nadharia ya 1.

Hitimisho muhimu linafuata kutoka kwa shida inayozingatiwa:
kupitia hatua ambayo haipo kwenye mstari uliopewa, unaweza daima kuchora mstari wa moja kwa moja sambamba na uliopewa.

Sifa kuu ya mistari inayofanana ni kama ifuatavyo.

Axiom ya mistari sambamba. Kupitia hatua fulani, ambayo haina uongo kwenye mstari uliopewa, mstari mmoja tu wa moja kwa moja, sawa na uliopewa, hupita.

Fikiria baadhi ya sifa za mistari sambamba inayofuata kutoka kwa axiom hii.

1) Ikiwa mstari unaingilia moja ya mistari miwili inayofanana, basi pia inapita nyingine (Mchoro 4).

2) Ikiwa mistari miwili tofauti ni sawa na mstari wa tatu, basi ni sawa (Mchoro 5).

Nadharia ifuatayo pia ni kweli.

Nadharia ya 2. Ikiwa mistari miwili inayofanana imekatizwa na sekanti, basi:

pembe za kuvuka criss ni sawa;

pembe zinazofanana ni sawa;

jumla ya pembe za upande mmoja ni 180 °.

Muhimu 2. Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari miwili sambamba, basi ni perpendicular kwa nyingine.(tazama tini. 2).

Maoni. Nadharia ya 2 inaitwa mwongozo wa Nadharia 1. Hitimisho la Nadharia 1 ni sharti la Nadharia 2. Na hali ya Nadharia 1 ni hitimisho la Nadharia 2. Sio kila nadharia ina mwongozo, yaani ikiwa nadharia hii ni ya kweli. , basi mazungumzo ya nadharia inaweza kuwa sio kweli.

Hebu tueleze hili kwa kutumia mfano wa nadharia kwenye pembe za wima. Nadharia hii inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: ikiwa pembe mbili ni wima, basi ni sawa. Nadharia inayozungumza nayo itakuwa kama ifuatavyo: ikiwa pembe mbili ni sawa, basi ziko wima. Na hii, bila shaka, si kweli. Pembe mbili sawa sio lazima ziwe wima hata kidogo.

Mfano 1. Mistari miwili sambamba huvukwa na theluthi. Inajulikana kuwa tofauti kati ya pembe mbili za ndani za upande mmoja ni 30 °. Tafuta pembe hizi.

Suluhisho. Hebu Mchoro wa 6 ukidhi hali hiyo.

Swali 1. Ni pembe gani zinazoitwa karibu?
Jibu. Pembe mbili zinaitwa karibu ikiwa zina upande mmoja, na pande nyingine za pembe hizi ni mistari ya ziada ya nusu.
Katika Mchoro 31, pembe (a 1 b) na (a 2 b) ziko karibu. Zina upande b wa kawaida, na pande 1 na 2 ni nusu ya ziada.

Swali la 2. Thibitisha kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 °.
Jibu. Nadharia 2.1. Jumla ya pembe za karibu ni 180 °.
Ushahidi. Hebu angle (a 1 b) na angle (a 2 b) iwe pembe zilizopewa zilizo karibu (tazama Mchoro 31). Ray b hupita kati ya pande 1 na 2 ya kona iliyoendelezwa. Kwa hiyo, jumla ya pembe (a 1 b) na (a 2 b) ni sawa na angle iliyopanuliwa, yaani 180 °. Q.E.D.

Swali la 3. Thibitisha kwamba ikiwa pembe mbili ni sawa, basi pembe zilizo karibu nao pia ni sawa.
Jibu.

Kutoka kwa nadharia 2.1 inafuata kwamba ikiwa pembe mbili ni sawa, basi pembe zilizo karibu nao ni sawa.
Wacha tuseme pembe (a 1 b) na (c 1 d) ni sawa. Tunahitaji kuthibitisha kwamba pembe (a 2 b) na (c 2 d) pia ni sawa.
Jumla ya pembe za karibu ni 180 °. Inafuata kutoka kwa hili kwamba 1 b + a 2 b = 180 ° na c 1 d + c 2 d = 180 °. Kwa hiyo, 2 b = 180 ° - a 1 b na c 2 d = 180 ° - c 1 d. Kwa kuwa pembe (a 1 b) na (c 1 d) ni sawa, tunapata kwamba 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. Kwa mali ya transitivity ya ishara sawa, inafuata kwamba 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Swali la 4. Ni pembe gani inayoitwa kulia (papo hapo, butu)?
Jibu. Pembe sawa na 90 ° inaitwa pembe ya kulia.
Pembe chini ya 90 ° inaitwa pembe ya papo hapo.
Pembe kubwa kuliko 90 ° na chini ya 180 ° inaitwa obtuse.

Swali la 5. Thibitisha kuwa pembe iliyo karibu na pembe ya kulia ni pembe ya kulia.
Jibu. Kutoka kwa nadharia juu ya jumla ya pembe za karibu inafuata kwamba pembe iliyo karibu na pembe ya kulia ni pembe ya kulia: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Swali la 6. Ni pembe gani zinazoitwa wima?
Jibu. Pembe mbili huitwa wima ikiwa pande za kona moja ni za ziada za nusu-moja kwa nyingine.

Swali la 7. Thibitisha kuwa pembe za wima ni sawa.
Jibu. Nadharia 2.2. Pembe za wima ni sawa.
Ushahidi. Hebu (a 1 b 1) na (a 2 b 2) iwe pembe za wima zilizopewa (mtini 34). Pembe (a 1 b 2) iko karibu na pembe (a 1 b 1) na kwa pembe (a 2 b 2). Kwa hiyo, kwa nadharia juu ya jumla ya pembe za karibu, tunahitimisha kwamba kila moja ya pembe (a 1 b 1) na (a 2 b 2) inakamilisha angle (a 1 b 2) hadi 180 °, i.e. pembe (a 1 b 1) na (a 2 b 2) ni sawa. Q.E.D.

Swali la 8. Thibitisha kwamba ikiwa kwenye makutano ya mistari miwili ya moja kwa moja moja ya pembe ni mstari wa moja kwa moja, basi pembe nyingine tatu pia ni mistari ya moja kwa moja.
Jibu. Tuseme mistari AB na CD zikutane kwenye sehemu ya O. Tuseme pembe AOD ni 90 °. Kwa kuwa jumla ya pembe za karibu ni 180 °, tunapata kwamba AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. Pembe ya COB ni wima kwa pembe ya AOD, kwa hiyo ni sawa. Hiyo ni, angle ya COB = 90 °. COA ni wima kwa BOD, hivyo ni sawa. Hiyo ni, angle ya BOD ni 90 °. Hivyo, pembe zote ni sawa na 90 °, yaani, wote ni sawa. Q.E.D.

Swali la 9. Ni mistari ipi iliyonyooka inayoitwa perpendicular? Je! ni ishara gani inayotumika kuonyesha upenyo wa mistari iliyonyooka?
Jibu. Mistari miwili iliyonyooka inaitwa perpendicular ikiwa inaingiliana kwa pembe za kulia.
Perpendicularity ya mistari inaonyeshwa na \ (\ perp \). Ingizo \ (a \ perp b \) inasomeka: "Mstari a ni wa mstari wa b".

Swali la 10. Thibitisha kuwa kupitia hatua yoyote ya mstari wa moja kwa moja unaweza kuchora mstari wa moja kwa moja kwa hiyo, na moja tu.
Jibu. Nadharia 2.3. Kupitia kila mstari wa moja kwa moja, unaweza kuchora mstari wa moja kwa moja kwa hiyo, na moja tu.
Ushahidi. Wacha iwe mstari uliopeanwa na A iwe nukta fulani juu yake. Hebu tuonyeshe kwa 1 moja ya mstari wa nusu ya mstari wa moja kwa moja na hatua ya awali A (Mchoro 38). Wacha tutenge pembe (1 b 1) sawa na 90 ° kutoka kwa mstari wa nusu a 1. Kisha mstari wa moja kwa moja ulio na ray b 1 utakuwa perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja a.

Tuseme kwamba kuna mstari mwingine, pia unapitia hatua A na perpendicular kwa mstari a. Acha c 1 ionyeshe mstari wa nusu wa mstari huu ulio katika nusu-ndege sawa na ray b 1.
Pembe (a 1 b 1) na (a 1 c 1), kila moja sawa na 90 °, zimepangwa katika nusu ya ndege kutoka mstari wa nusu a 1. Lakini kutoka kwa mstari wa nusu 1 hadi nusu ya ndege hii, pembe moja tu, sawa na 90 °, inaweza kuahirishwa. Kwa hiyo, haipaswi kuwa na mstari mwingine wa moja kwa moja unaopitia hatua A na perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja a. Nadharia imethibitishwa.

Swali la 11. Je, perpendicular kwa mstari ni nini?
Jibu. Perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja uliopewa ni sehemu ya mstari wa moja kwa moja perpendicular kwa moja iliyotolewa, ambayo ina moja ya mwisho wake hatua yao ya makutano. Mwisho wa sehemu hii inaitwa msingi perpendicular.

Swali la 12. Eleza uthibitisho wa kinyume ni upi.
Jibu. Njia ya uthibitisho ambayo tulitumia katika Theorem 2.3 inaitwa uthibitisho kwa kupingana. Njia hii ya kuthibitisha ni kwamba kwanza tunafanya dhana kinyume na kile nadharia inadai. Kisha, kwa hoja, kutegemea axioms na nadharia zilizothibitishwa, tunafikia hitimisho ambalo linapingana na hali ya theorem, au moja ya axioms, au theorem iliyothibitishwa mapema. Kwa msingi huu, tunahitimisha kwamba dhana yetu haikuwa sahihi, ambayo ina maana kwamba taarifa ya theorem ni kweli.

Swali la 13. Ni nini kinachoitwa bisector ya pembe?
Jibu. Bisector ya pembe ni ray inayotoka kwenye kilele cha pembe, hupita kati ya pande zake na kugawanya angle kwa nusu.