மடக்கை செயல்பாடுகளுக்கான சூத்திரங்கள். மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

முக்கிய பண்புகள்.

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள்

பதிவு6 4 + பதிவு6 9.

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம்.

மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு பின்வரும் விதிகளின்படி மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x >

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கை logax கொடுக்கலாம். பிறகு c > 0 மற்றும் c ≠ 1 போன்ற எந்த எண்ணுக்கும், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

மேலும் பார்க்க:

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

அடுக்கு 2.718281828…. அடுக்குகளை நினைவில் கொள்ள, நீங்கள் விதியைப் படிக்கலாம்: அடுக்கு 2.7 க்கு சமம் மற்றும் லியோ நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டை விட இரண்டு முறை.

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

இந்த விதியை அறிந்தால், அடுக்குகளின் சரியான மதிப்பு மற்றும் லியோ டால்ஸ்டாயின் பிறந்த தேதி இரண்டையும் நீங்கள் அறிவீர்கள்.

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்

4. எங்கே .

எடுத்துக்காட்டு 2. x என்றால் கண்டுபிடி

எடுத்துக்காட்டு 3. மடக்கைகளின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம்

பதிவு(x) என்றால் கணக்கிடவும்

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், இங்கே விதிகள் உள்ளன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல், ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: லோகாக்ஸ் மற்றும் லோகே. பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இங்கே முக்கிய புள்ளி ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள். காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் மடக்கை வெளிப்பாட்டின் தனிப்பட்ட பகுதிகள் கருதப்படாவிட்டாலும் கணக்கிட உதவும் ("மடக்கை என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log2 48 - log2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log3 135 - log3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு3 135 - பதிவு3 5 = பதிவு3 (135: 5) = பதிவு3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பல சோதனைகள் இந்த உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

கடைசி விதி முதல் இரண்டைப் பின்பற்றுவதைப் பார்ப்பது எளிது. ஆனால் எப்படியும் அதை நினைவில் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x > 0. மேலும் ஒன்று: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள். , அதாவது மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம். இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log7 496.

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு7 496 = 6 பதிவு7 49 = 6 2 = 12

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 24; 49 = 72. எங்களிடம் உள்ளது:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? கடைசி நிமிடம் வரை நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம்.

மடக்கை சூத்திரங்கள். மடக்கை எடுத்துக்காட்டுகள் தீர்வுகள்.

அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: log2 7. log2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

குறிப்பாக, c = x ஐ அமைத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது மட்டுமே அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை மதிப்பீடு செய்ய முடியும்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log5 16 log2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:

இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு மடக்கையாக எண்ணைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், எண் n என்பது வாதத்தில் அடுக்கு ஆகும். எண் n என்பது முற்றிலும் எதுவாகவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. அதுவே அழைக்கப்படுகிறது: .

உண்மையில், b என்ற எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால் என்ன நடக்கும், இந்த சக்திக்கு b என்ற எண் a எண்ணைக் கொடுக்கும்? அது சரி: முடிவு அதே எண் a. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

log25 64 = log5 8 - மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:

யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

லோகா = 1 ஆகும். ஒருமுறை மற்றும் அனைத்தையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அந்த தளத்தின் எந்த தளத்திற்கும் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.
லோகா 1 = 0 ஆகும். அடிப்படை a எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் a0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டு வருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்! பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள ஏமாற்று தாளைப் பதிவிறக்கம் செய்து, அதை அச்சிட்டு, சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்.

மேலும் பார்க்க:

a அடிப்படையிலான b இன் மடக்கை வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கிறது. மடக்கையைக் கணக்கிடுவது என்பது சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்பட்ட ஒரு சக்தி x () ஐக் கண்டுபிடிப்பதாகும்

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள் தொடர்பான அனைத்து சிக்கல்களும் எடுத்துக்காட்டுகளும் அவற்றின் அடிப்படையில் தீர்க்கப்படுவதால், மேலே உள்ள பண்புகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம். மீதமுள்ள கவர்ச்சியான பண்புகளை இந்த சூத்திரங்களுடன் கணித கையாளுதல்கள் மூலம் பெறலாம்

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைக் கணக்கிடும் போது (3.4) நீங்கள் அடிக்கடி சந்திப்பீர்கள். மீதமுள்ளவை சற்றே சிக்கலானவை, ஆனால் பல பணிகளில் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கும் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவை இன்றியமையாதவை.

மடக்கைகளின் பொதுவான வழக்குகள்

மிகவும் பொதுவான மடக்கைகளில் சில அடிப்படை பத்து, அதிவேக அல்லது இரண்டுக்கு சமமாக இருக்கும்.
பத்தின் அடிப்படையிலான மடக்கை பொதுவாக தசம மடக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது வெறுமனே lg(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

பதிவில் அடிப்படைகள் எழுதப்படவில்லை என்பது பதிவின் மூலம் தெளிவாகிறது. உதாரணத்திற்கு

இயற்கை மடக்கை என்பது ஒரு மடக்கை ஆகும், அதன் அடிப்பகுதி ஒரு அடுக்கு (ln(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது).

அடுக்கு 2.718281828. அடுக்குகளை நினைவில் கொள்ள, நீங்கள் விதியைப் படிக்கலாம்: அடுக்கு 2.7 க்கு சமம் மற்றும் லியோ நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டை விட இரண்டு முறை. இந்த விதியை அறிந்தால், அடுக்குகளின் சரியான மதிப்பு மற்றும் லியோ டால்ஸ்டாயின் பிறந்த தேதி இரண்டையும் நீங்கள் அறிவீர்கள்.

மற்றும் அடிப்படை இரண்டின் மற்றொரு முக்கியமான மடக்கை குறிக்கப்படுகிறது

ஒரு செயல்பாட்டின் மடக்கையின் வழித்தோன்றல் மாறியால் வகுக்கப்படும் ஒன்றிற்கு சமம்

ஒருங்கிணைந்த அல்லது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் மடக்கை உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

மடக்கைகள் மற்றும் மடக்கைகள் தொடர்பான பல்வேறு வகையான சிக்கல்களைத் தீர்க்க கொடுக்கப்பட்ட பொருள் போதுமானது. பொருள்களைப் புரிந்துகொள்ள உங்களுக்கு உதவ, பள்ளிப் பாடத்திட்டம் மற்றும் பல்கலைக்கழகங்களிலிருந்து சில பொதுவான உதாரணங்களை மட்டும் தருகிறேன்.

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்

2.
மடக்கைகளின் வேறுபாட்டின் பண்பு மூலம் நம்மிடம் உள்ளது

3.
பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்

4. எங்கே .

வெளித்தோற்றத்தில் சிக்கலான வெளிப்பாடு பல விதிகளைப் பயன்படுத்தி எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது

மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 2. x என்றால் கண்டுபிடி

தீர்வு. கணக்கீட்டிற்கு, நாங்கள் கடைசி கால 5 மற்றும் 13 பண்புகளுக்குப் பயன்படுத்துகிறோம்

பதிவில் போட்டு புலம்புகிறோம்

அடிப்படைகள் சமமாக இருப்பதால், வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்கிறோம்

மடக்கைகள். முதல் நிலை.

மடக்கைகளின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம்

பதிவு(x) என்றால் கணக்கிடவும்

தீர்வு: அதன் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மூலம் மடக்கை எழுத மாறியின் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

மடக்கைகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் பற்றிய நமது அறிமுகத்தின் ஆரம்பம் இது. கணக்கீடுகளைப் பயிற்சி செய்யுங்கள், உங்கள் நடைமுறை திறன்களை வளப்படுத்துங்கள் - மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நீங்கள் பெறும் அறிவு விரைவில் உங்களுக்குத் தேவைப்படும். அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகளைப் படித்த பிறகு, உங்கள் அறிவை மற்றொரு சமமான முக்கியமான தலைப்புக்கு விரிவுபடுத்துவோம் - மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள் ...

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log6 4 + log6 9.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log2 48 - log2 3.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log3 135 - log3 5.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம். மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு பின்வரும் விதிகளின்படி மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log7 496.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? கடைசி நிமிடம் வரை நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம். நாங்கள் அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

குறிப்பாக, c = x ஐ அமைத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log5 16 log2 25.

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log9 100 lg 3.

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

லோகா = 1 ஆகும். ஒருமுறை மற்றும் அனைத்தையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அந்த தளத்தின் எந்த தளத்திற்கும் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.
லோகா 1 = 0 ஆகும். அடிப்படை a எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் a0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

ஆரம்பிப்போம் ஒன்றின் மடக்கையின் பண்புகள். அதன் உருவாக்கம் பின்வருமாறு: ஒற்றுமையின் மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது, பதிவு a 1=0ஏதேனும் a>0, a≠1. ஆதாரம் கடினமானது அல்ல: மேலே உள்ள நிபந்தனைகள் a>0 மற்றும் a≠1 ஆகியவற்றிற்கு 0 =1 திருப்திகரமாக இருப்பதால், சமத்துவப் பதிவு a 1=0 என்பது மடக்கையின் வரையறையிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றப்படுகிறது.

கருதப்படும் சொத்தின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்: பதிவு 3 1=0, log1=0 மற்றும் .

அடுத்த சொத்துக்கு செல்வோம்: அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம், அது, பதிவு a = 1 a>0, a≠1க்கு. உண்மையில், எந்த a க்கும் 1 =a என்பதால், மடக்கையின் வரையறையின்படி a=1.

மடக்கைகளின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் சமத்துவ பதிவு 5 5=1, பதிவு 5.6 5.6 மற்றும் lne=1.

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 மற்றும் .

இரண்டு நேர்மறை எண்களின் பெருக்கத்தின் மடக்கை x மற்றும் y இந்த எண்களின் மடக்கைகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . ஒரு பொருளின் மடக்கையின் சொத்தை நிரூபிப்போம். பட்டத்தின் பண்புகள் காரணமாக a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, மற்றும் முக்கிய மடக்கை அடையாளத்தின் மூலம் ஒரு பதிவு a x =x மற்றும் ஒரு log a y =y, பின்னர் ஒரு log a x ·a log a y =x·y. இவ்வாறு, ஒரு பதிவு a x+log a y =x·y, இதில் இருந்து, மடக்கையின் வரையறையின்படி, சமத்துவம் பின்வருமாறு நிரூபிக்கப்படுகிறது.

ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்போம்: பதிவு 5 (2 3)=பதிவு 5 2+பதிவு 5 3 மற்றும் .

ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்பு நேர்மறை எண்கள் x 1 , x 2 , ..., x n என வரையறுக்கப்பட்ட எண் n இன் பெருக்கத்திற்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம் பதிவு a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . இந்த சமத்துவத்தை பிரச்சனைகள் இல்லாமல் நிரூபிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தியின் இயற்கை மடக்கை 4, e மற்றும் எண்களின் மூன்று இயற்கை மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படலாம்.

இரண்டு நேர்மறை எண்களின் கோட்பாட்டின் மடக்கை x மற்றும் y இந்த எண்களின் மடக்கைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம். ஒரு கோட்பாட்டின் மடக்கையின் பண்பு படிவத்தின் சூத்திரத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது, இதில் a>0, a≠1, x மற்றும் y ஆகியவை சில நேர்மறை எண்களாகும். இந்த சூத்திரத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மையும், ஒரு தயாரிப்பின் மடக்கைக்கான சூத்திரமும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது: முதல் , பின்னர் ஒரு மடக்கையின் வரையறை.

மடக்கையின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே: .

நாம் செல்லலாம் சக்தியின் மடக்கையின் சொத்து. ஒரு பட்டத்தின் மடக்கையானது அடுக்கு மற்றும் இந்த பட்டத்தின் அடிப்பகுதியின் மாடுலஸின் மடக்கையின் பெருக்கத்திற்கு சமம். ஒரு சக்தியின் மடக்கையின் இந்த பண்பை ஒரு சூத்திரமாக எழுதுவோம்: log a b p =p·log a |b|, இதில் a>0, a≠1, b மற்றும் p ஆகியவை எண்களாகும், அதாவது பட்டம் b p மற்றும் b p >0.

முதலில் இந்த சொத்தை நேர்மறை b க்கு நிரூபிக்கிறோம். அடிப்படை மடக்கை அடையாளமானது, ஒரு log a b என்ற எண்ணைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த அனுமதிக்கிறது, பின்னர் b p =(a log a b) p , மற்றும் இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடு, சக்தியின் பண்பு காரணமாக, p·log a b க்கு சமமாக இருக்கும். எனவே நாம் சமத்துவத்திற்கு வருகிறோம் b p =a p·log a b, இதிலிருந்து, ஒரு மடக்கையின் வரையறையின்படி, log a b p =p·log a b என்று முடிவு செய்கிறோம்.

இந்த சொத்தை நெகடிவ் பிக்கு நிரூபிக்க வேண்டும். எதிர்மறை bக்கான log a b p என்ற வெளிப்பாடு p என்ற அடுக்குகளுக்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை இங்கே நாம் கவனிக்கிறோம் (பிரிம் p p இன் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் மடக்கைக்கு அர்த்தம் இருக்காது), மேலும் இந்த வழக்கில் b p =|b| ப. பிறகு b p =|b| p =(ஒரு பதிவு a |b|) p =a p·log a |b|, எங்கிருந்து log a b p =p·log a |b| .

உதாரணத்திற்கு, மற்றும் ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

இது முந்தைய சொத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது மூலத்திலிருந்து மடக்கையின் பண்பு: nவது மூலத்தின் மடக்கையானது, தீவிர வெளிப்பாட்டின் மடக்கையின் மூலம் 1/n பின்னத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது, , இங்கு a>0, a≠1, n என்பது ஒன்றை விட அதிகமான இயற்கை எண், b>0.

ஆதாரம் சமத்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது (பார்க்க), இது எந்த நேர்மறை b க்கும் செல்லுபடியாகும், மற்றும் சக்தியின் மடக்கையின் பண்பு: .

இந்த சொத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே: .

இப்போது நிரூபிப்போம் புதிய மடக்கை தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரம்கருணை . இதைச் செய்ய, சமத்துவப் பதிவேடு c b=log a b·log c a இன் செல்லுபடியை நிரூபிக்க போதுமானது. அடிப்படை மடக்கை அடையாளம், b எண்ணை ஒரு log a b ஆகக் குறிப்பிட அனுமதிக்கிறது, பின்னர் log c b=log c a log a b . பட்டத்தின் மடக்கையின் சொத்தைப் பயன்படுத்த இது உள்ளது: log c a log a b =log a b log c a. இது சமத்துவ பதிவு c b=log a b·log c a ஐ நிரூபிக்கிறது, அதாவது மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரமும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

மடக்கைகளின் இந்த பண்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்பிப்போம்: மற்றும் .

புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரம், "வசதியான" தளத்தைக் கொண்ட மடக்கைகளுடன் பணிபுரிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இது இயற்கை அல்லது தசம மடக்கைகளுக்கு நகர்த்துவதற்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், இதன் மூலம் மடக்கைகளின் அட்டவணையில் இருந்து மடக்கையின் மதிப்பைக் கணக்கிடலாம். ஒரு புதிய மடக்கை தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரம், சில சமயங்களில், மற்ற தளங்களுடனான சில மடக்கைகளின் மதிப்புகள் அறியப்படும் போது கொடுக்கப்பட்ட மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் அனுமதிக்கிறது.

படிவத்தின் c=b க்கான புதிய மடக்கை தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. . இது log a b மற்றும் log b a – என்று காட்டுகிறது. எ.கா. .

சூத்திரமும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது , மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிய இது வசதியானது. எங்கள் வார்த்தைகளை உறுதிப்படுத்த, படிவத்தின் மடக்கையின் மதிப்பைக் கணக்கிட அதை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் காண்பிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது . சூத்திரத்தை நிரூபிக்க மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும் a: .

மடக்கைகளின் ஒப்பீட்டு பண்புகளை நிரூபிக்க இது உள்ளது.

எந்த நேர்மறை எண்களுக்கும் b 1 மற்றும் b 2, b 1 என்பதை நிரூபிப்போம் log a b 2 , மற்றும் a>1 க்கு – சமத்துவமின்மை பதிவு a b 1

இறுதியாக, மடக்கைகளின் பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளில் கடைசியாக நிரூபிக்க இது உள்ளது. அதன் முதல் பகுதியின் ஆதாரத்திற்கு நம்மை மட்டுப்படுத்துவோம், அதாவது, 1 >1, 2 >1 மற்றும் 1 என நிரூபிப்போம். 1 உண்மை பதிவு a 1 b>log a 2 b . மடக்கைகளின் இந்த சொத்தின் மீதமுள்ள அறிக்கைகள் இதேபோன்ற கொள்கையின்படி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

எதிர் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். ஒரு 1 >1, a 2 >1 மற்றும் a 1 என்று வைத்துக்கொள்வோம் 1 உண்மை பதிவு a 1 b≤log a 2 b . மடக்கைகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில், இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம் மற்றும் முறையே, அவற்றிலிருந்து முறையே log b a 1 ≤log b a 2 மற்றும் log b a 1 ≥log b a 2 எனப் பின்தொடர்கிறது. பின்னர், அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளின் பண்புகளின்படி, சமத்துவங்கள் b log b a 1 ≥b log b a 2 மற்றும் b log b a 1 ≥b log b a 2 ஆகியவற்றை வைத்திருக்க வேண்டும், அதாவது a 1 ≥a 2 . எனவே நாங்கள் நிபந்தனை a 1 க்கு முரண்பட்டோம்

நூல் பட்டியல்.

கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.

குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், இங்கே விதிகள் உள்ளன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல், ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: பதிவு அ எக்ஸ்மற்றும் பதிவு அ ஒய். பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

பதிவு அ எக்ஸ்+ பதிவு அ ஒய்= பதிவு அ (எக்ஸ் · ஒய்);

பதிவு அ எக்ஸ்- பதிவு அ ஒய்= பதிவு அ (எக்ஸ் : ஒய்).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இங்கே முக்கிய புள்ளி ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள். காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் மடக்கை வெளிப்பாட்டின் தனிப்பட்ட பகுதிகள் கருதப்படாவிட்டாலும் கணக்கிட உதவும் ("மடக்கை என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

பதிவு 6 4 + பதிவு 6 9.

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
பதிவு 6 4 + பதிவு 6 9 = பதிவு 6 (4 9) = பதிவு 6 36 = 2.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 2 48 - பதிவு 2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
பதிவு 2 48 - பதிவு 2 3 = பதிவு 2 (48: 3) = பதிவு 2 16 = 4.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 3 135 - பதிவு 3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு 3 135 - பதிவு 3 5 = பதிவு 3 (135: 5) = பதிவு 3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பல சோதனைகள் இந்த உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்கு பிரித்தெடுத்தல்

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம். மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு பின்வரும் விதிகளின்படி மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

கடைசி விதி முதல் இரண்டைப் பின்பற்றுவதைப் பார்ப்பது எளிது. ஆனால் எப்படியும் அதை நினைவில் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: அ > 0, அ ≠ 1, எக்ஸ்> 0. மேலும் ஒரு விஷயம்: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள், அதாவது. மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம். இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 7 49 6 .

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு 7 49 6 = 6 பதிவு 7 49 = 6 2 = 12

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
[படத்திற்கான தலைப்பு]

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. எங்களிடம் உள்ளது:
[படத்திற்கான தலைப்பு]
கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? கடைசி நிமிடம் வரை நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம். நாங்கள் அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: பதிவு 2 7. பதிவு 2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

மடக்கைப் பதிவைக் கொடுக்கலாம் அ எக்ஸ். பிறகு எந்த எண்ணுக்கும் cஅதுபோல் c> 0 மற்றும் c≠ 1, சமத்துவம் உண்மை:
[படத்திற்கான தலைப்பு]
குறிப்பாக, நாம் வைத்தால் c = எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்:
[படத்திற்கான தலைப்பு]

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது மட்டுமே அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை மதிப்பீடு செய்ய முடியும்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 5 16 பதிவு 2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: பதிவு 5 16 = பதிவு 5 2 4 = 4log 5 2; பதிவு 2 25 = பதிவு 2 5 2 = 2log 2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:
[படத்திற்கான தலைப்பு]
காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: பதிவு 9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:
[படத்திற்கான தலைப்பு]
இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:
[படத்திற்கான தலைப்பு]
அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு மடக்கையாக எண்ணைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், எண் nவாதத்தில் நிற்கும் பட்டத்தின் குறிகாட்டியாகிறது. எண் nமுற்றிலும் எதுவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு மட்டுமே.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. அதுதான் அழைக்கப்படுகிறது: அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்.

உண்மையில், எண் இருந்தால் என்ன நடக்கும் பிஎண் போன்ற ஒரு சக்தியை உயர்த்த பிஇந்த சக்தி எண்ணைக் கொடுக்கிறது அ? அது சரி: இதே எண்ணைப் பெறுவீர்கள் அ. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:
[படத்திற்கான தலைப்பு]

பதிவு 25 64 = பதிவு 5 8 - மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:
[படத்திற்கான தலைப்பு]
யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

பதிவு அ அ= 1 என்பது மடக்கை அலகு. ஒருமுறை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: எந்த தளத்திற்கும் மடக்கை அஇந்த அடித்தளத்திலிருந்து ஒன்றுக்கு சமம்.

பதிவு அ 1 = 0 என்பது மடக்கை பூஜ்ஜியம். அடித்தளம் அஎதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் அ 0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டு வருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்! பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள ஏமாற்று தாளைப் பதிவிறக்கம் செய்து, அதை அச்சிட்டு, சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.
என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:
நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:
நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.

அவ்வப்போது, முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.

பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.

மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பாக இருப்பதை உறுதிசெய்ய, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

மடக்கைகள் மற்றும் அவற்றுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகள் மிகவும் விரிவானவை மற்றும் எளிமையானவை. எனவே, இந்த தலைப்பைப் புரிந்துகொள்வது உங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது. இயற்கை மடக்கைகளின் அனைத்து விதிகளையும் நீங்கள் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, எந்தவொரு சிக்கலையும் சுயாதீனமாக தீர்க்க முடியும். இந்த தலைப்புடன் முதல் அறிமுகம் சலிப்பாகவும் அர்த்தமற்றதாகவும் தோன்றலாம், ஆனால் மடக்கைகளின் உதவியுடன் 16 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர்களின் பல சிக்கல்கள் தீர்க்கப்பட்டன. "அது எதைப்பற்றி?" - நீ நினைத்தாய். கட்டுரையை இறுதிவரை படித்து, “அறிவியல் ராணி” இன் இந்த பகுதி கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் சரியான அறிவியலின் விஞ்ஞானிகளுக்கு மட்டுமல்ல, சாதாரண மேல்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கும் ஆர்வமாக இருக்கலாம் என்பதைக் கண்டறியவும்.
மடக்கையின் வரையறை
மடக்கையின் வரையறையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். பல பாடப்புத்தகங்கள் கூறுவது போல்: b என்ற எண்ணின் மடக்கை a (logab) ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட எண் c ஆகும், இதற்கு பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது: b=ac. அதாவது, எளிமையான வார்த்தைகளில், ஒரு மடக்கை என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சக்தியாகும், இது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைப் பெறுவதற்கு நாம் அடித்தளத்தை உயர்த்துகிறோம். ஆனால் லோகப் படிவத்தின் மடக்கை எப்போது மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம்: a>0; a - 1 ஐத் தவிர வேறு ஒரு எண்; b>0, எனவே, மடக்கை நேர்மறை எண்களுக்கு மட்டுமே கண்டறிய முடியும் என்று முடிவு செய்கிறோம்.
தளத்தின் அடிப்படையில் மடக்கைகளின் வகைப்பாடு
மடக்கைகள் அடிவாரத்தில் எந்த நேர்மறை எண்ணையும் கொண்டிருக்கலாம். ஆனால் இரண்டு வகைகள் உள்ளன: இயற்கை மற்றும் தசம மடக்கைகள்.
இயற்கை மடக்கை - அடிப்படை e உடன் மடக்கை (e என்பது ஆய்லரின் எண், எண்ணியல் ரீதியாக தோராயமாக 2.7 க்கு சமம், y = ex என்ற அதிவேக செயல்பாட்டிற்காக அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பகுத்தறிவற்ற எண்), ln a = logea என குறிக்கப்படுகிறது;
ஒரு தசம மடக்கை என்பது 10 இன் அடித்தளத்துடன் கூடிய மடக்கை ஆகும், அதாவது log10a = log a.

மடக்கைகளின் அடிப்படை விதிகள்
முதலில் நீங்கள் அடிப்படை மடக்கை அடையாளத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்: alogab=b, தொடர்ந்து இரண்டு அடிப்படை விதிகள்:
loga1 = 0 - பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் 1 க்கு சமமாக இருப்பதால்;
லோகா = 1.

மடக்கையின் கண்டுபிடிப்புக்கு நன்றி, எந்தவொரு அதிவேக சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பது எங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது, அதன் பதிலை இயற்கை எண்ணில் வெளிப்படுத்த முடியாது, ஆனால் ஒரு பகுத்தறிவற்ற ஒன்றில் மட்டுமே. எடுத்துக்காட்டாக: 5x = 9, x = log59 (இந்த சமன்பாட்டிற்கு இயற்கையான x இல்லை என்பதால்).
மடக்கைகளுடன் செயல்பாடுகள்
loga(x · y) = logax+ logay - தயாரிப்பின் மடக்கையைக் கண்டறிய, காரணிகளின் மடக்கைகளைச் சேர்க்க வேண்டும். மடக்கைகளின் அடிப்படைகள் ஒன்றே என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இதை தலைகீழ் வரிசையில் எழுதினால், மடக்கைச் சேர்ப்பதற்கான விதி கிடைக்கும்.
loga xy = logax - logay - ஒரு பகுதியின் மடக்கையைக் கண்டறிய, நீங்கள் ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியின் மடக்கைகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும். தயவு செய்து கவனிக்கவும்: மடக்கைகள் அதே அடிப்படைகளைக் கொண்டுள்ளன. தலைகீழ் வரிசையில் எழுதும்போது, மடக்கைகளைக் கழிப்பதற்கான விதியைப் பெறுகிறோம்.

logakxp = (p/k)*logax - இவ்வாறு, மடக்கையின் வாதம் மற்றும் அடிப்படை சக்திகளைக் கொண்டிருந்தால், அவை மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்.
logax = logac xc - முந்தைய விதியின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, அடுக்குகள் சமமாக இருக்கும் போது, அவை குறைக்கப்படலாம்.
logax = (logbx)(logba) - மாற்றம் தொகுதி என அழைக்கப்படும், மடக்கை மற்றொரு தளத்திற்குக் குறைப்பதற்கான செயல்முறை.
logax = 1/logxa - ஒரு சிறப்பு நிலை மாற்றம், அடிப்படை மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இடங்களை மாற்றுதல். அடையாளப்பூர்வமாகப் பேசினால், முழு வெளிப்பாடும் தலைகீழாக மாற்றப்படுகிறது, மேலும் ஒரு புதிய தளத்துடன் கூடிய மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

மடக்கைகளின் வரலாறு
16 ஆம் நூற்றாண்டில், நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்க்க பல தோராயமான கணக்கீடுகளைச் செய்ய வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது, முக்கியமாக வானவியலில் (உதாரணமாக, சூரியன் அல்லது நட்சத்திரங்களில் இருந்து ஒரு கப்பலின் நிலையை தீர்மானித்தல்).

இந்தத் தேவை வேகமாக வளர்ந்தது மற்றும் பல இலக்க எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவு குறிப்பிடத்தக்க சிரமத்தை உருவாக்கியது. கணிதவியலாளர் நேப்பியர், முக்கோணவியல் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, உழைப்பு-தீவிர பெருக்கத்தை சாதாரண கூட்டலுடன் மாற்ற முடிவு செய்தார், இதற்கான சில முன்னேற்றங்களை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தார். பின்னர் வகுத்தல், இதேபோல், எளிமையான மற்றும் நம்பகமான செயல்முறையால் மாற்றப்படுகிறது - கழித்தல், மற்றும் n வது மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க, நீங்கள் தீவிர வெளிப்பாட்டின் மடக்கையை n ஆல் வகுக்க வேண்டும். கணிதத்தில் இத்தகைய கடினமான சிக்கலைத் தீர்ப்பது அறிவியலில் நேப்பியரின் இலக்குகளை தெளிவாகப் பிரதிபலித்தது. இதைப் பற்றி அவர் தனது "Rhabdology" புத்தகத்தின் தொடக்கத்தில் எழுதியது இங்கே:
எனது பலம் மற்றும் திறன்கள் அனுமதிக்கும் வரை, கணக்கீடுகளின் சிரமம் மற்றும் சோர்விலிருந்து மக்களை விடுவிக்க நான் எப்போதும் முயற்சித்தேன், இதன் சோர்வு பொதுவாக பலரை கணிதம் படிப்பதை ஊக்கப்படுத்துகிறது.
மடக்கையின் பெயர் நேப்பியரால் பரிந்துரைக்கப்பட்டது, இது கிரேக்க சொற்களை இணைப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டது, இது "விகிதங்களின் எண்ணிக்கை" என்று பொருள்படும்.
மடக்கையின் அடிப்படை ஸ்பீடால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஆய்லர் அதை சக்திகளின் கோட்பாட்டிலிருந்து கடன் வாங்கி மடக்கைக் கோட்பாட்டிற்கு மாற்றினார். மடக்கைகளின் கருத்து 19 ஆம் நூற்றாண்டில் கோப்பேக்கு புகழ் பெற்றது. மற்றும் இயற்கை மற்றும் தசம மடக்கைகளின் பயன்பாடு மற்றும் அவற்றின் குறியீடானது, Cauchy க்கு நன்றி தோன்றியது.
1614 ஆம் ஆண்டில், ஜான் நேப்பியர் லத்தீன் மொழியில் ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டார், "மடக்கைகளின் அற்புதமான அட்டவணையின் விளக்கம்." மடக்கைகள், விதிகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் பற்றிய சுருக்கமான விளக்கம் இருந்தது. சரியான அறிவியலில் "மடக்கை" என்ற சொல் எவ்வாறு நிறுவப்பட்டது.
மடக்கை செயல்பாடு மற்றும் அதன் முதல் குறிப்பு வாலிஸ் மற்றும் ஜோஹன் பெர்னௌலி ஆகியோருக்கு நன்றி தெரிவிக்கப்பட்டது, மேலும் இது இறுதியாக 18 ஆம் நூற்றாண்டில் ஆய்லரால் நிறுவப்பட்டது.

y = logax வடிவத்தின் மடக்கைச் செயல்பாட்டை சிக்கலான டொமைனுக்கு விரிவுபடுத்துவது யூலரின் தகுதியாகும். 18 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் பாதியில், அவரது புத்தகம் "முடிவிலிகளின் பகுப்பாய்வு அறிமுகம்" வெளியிடப்பட்டது, இதில் அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் நவீன வரையறைகள் உள்ளன.
மடக்கை செயல்பாடு
y = logax படிவத்தின் செயல்பாடு (ஒரு > 0, a ≠ 1 எனில் மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்).
மடக்கை செயல்பாடு அனைத்து நேர்மறை எண்களின் தொகுப்பால் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் நுழைவு லோகக்ஸ் நிபந்தனையின் கீழ் மட்டுமே உள்ளது - x > 0;.
இந்த செயல்பாடு R (உண்மையான எண்கள்) தொகுப்பிலிருந்து அனைத்து மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம். ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணும் b நேர்மறை x ஐக் கொண்டிருப்பதால், சமத்துவம் logax = b திருப்தியடைகிறது, அதாவது, இந்த சமன்பாட்டில் ஒரு ரூட் உள்ளது - x = ab (logaab = b என்பதிலிருந்து பின்தொடர்கிறது).
செயல்பாடு a>0 இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது, மற்றும் இடைவெளி 0 இல் குறைகிறது. a>0 எனில், செயல்பாடு x>1க்கு நேர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும்.

y = logax என்ற மடக்கைச் செயல்பாட்டின் எந்த வரைபடமும் ஒரு நிலையான புள்ளி (1; 0) உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், ஏனெனில் லோகா 1 = 0. இது கீழே உள்ள வரைபடத்தின் விளக்கத்தில் தெளிவாகத் தெரியும்.

படங்களில் நாம் பார்ப்பது போல, செயல்பாட்டிற்கு சமநிலை அல்லது ஒற்றைப்படை இல்லை, அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்புகள் இல்லை, மேலும் மேலே அல்லது கீழே வரையறுக்கப்படவில்லை.
மடக்கைச் சார்பு y = logаx மற்றும் அதிவேகச் செயல்பாடு y = aх, இதில் (а>0, а≠1), ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது. இதை அவர்களின் வரைபடங்களின் படத்தில் காணலாம்.
மடக்கைகளுடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
பொதுவாக, மடக்கைகளைக் கொண்ட சிக்கலுக்கான தீர்வு, அவற்றை நிலையான வடிவமாக மாற்றுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது அல்லது மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதை நோக்கமாகக் கொண்டது. அல்லது சாதாரண இயற்கை எண்களை தேவையான தளத்துடன் மடக்கைகளாக மாற்றுவது மதிப்புக்குரியதா, மேலும் வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த மேலும் செயல்பாடுகளை மேற்கொள்வது.
மறக்கக்கூடாத சில நுணுக்கங்கள் உள்ளன:
சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும் போது இருபுறமும் ஒரே அடிப்படையுடன் விதியின்படி மடக்கைகளின் கீழ் இருக்கும்போது, மடக்கையின் அடையாளத்தை "தூக்கி எறிய" அவசரப்பட வேண்டாம். மடக்கைச் செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி இடைவெளிகளைப் பற்றி எச்சரிக்கையாக இருங்கள். அடிப்படை 1 ஐ விட அதிகமாக இருந்தால் (செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது), சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாமல் இருக்கும், ஆனால் அடிப்படை 0 ஐ விட அதிகமாகவும் 1 ஐ விட குறைவாகவும் இருக்கும்போது (செயல்பாடு குறையும் போது), சமத்துவமின்மை அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறும்;
மடக்கையின் வரையறைகளை மறந்துவிடாதீர்கள்: logax = b, a>0, a≠1 மற்றும் x>0, எனவே ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் கணக்கிடப்படாத வரம்பினால் வேர்களை இழக்கக்கூடாது. கிட்டத்தட்ட அனைத்து சிக்கலான செயல்பாடுகளுக்கும் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்பு வரம்பு (VA) உள்ளது.

இவை அற்பமானவை, ஆனால் ஒரு பணிக்கான சரியான பதிலைக் கண்டுபிடிக்கும் வழியில் பலர் சந்தித்த பெரிய அளவிலான தவறுகள். மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கு பல விதிகள் இல்லை, எனவே இந்த தலைப்பு மற்றவர்களை விட எளிமையானது மற்றும் அடுத்தடுத்தவற்றை விட எளிமையானது, ஆனால் அதை நன்கு புரிந்துகொள்வது மதிப்பு.
முடிவுரை

இந்த தலைப்பு முதல் பார்வையில் சிக்கலானதாகவும் சிக்கலானதாகவும் தோன்றலாம், ஆனால் நீங்கள் அதை ஆழமாகவும் ஆழமாகவும் படிக்கும்போது, தலைப்பு வெறுமனே முடிவடைகிறது, எதுவும் எந்த சிரமத்தையும் ஏற்படுத்தவில்லை என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள ஆரம்பிக்கிறீர்கள். மடக்கைகள் தலைப்பு தொடர்பான அனைத்து பண்புகள், விதிகள் மற்றும் பிழைகள் கூட நாங்கள் உள்ளடக்கியுள்ளோம். உங்கள் படிப்பில் நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

மடக்கை சூத்திரங்கள். மடக்கை எடுத்துக்காட்டுகள் தீர்வுகள்.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளின் பொதுவான வழக்குகள்

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்

மடக்கைகள். முதல் நிலை.

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

மடக்கையிலிருந்து அடுக்கு பிரித்தெடுத்தல்

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

மடக்கையின் வரையறை

தளத்தின் அடிப்படையில் மடக்கைகளின் வகைப்பாடு

மடக்கைகளின் அடிப்படை விதிகள்

மடக்கைகளுடன் செயல்பாடுகள்

மடக்கைகளின் வரலாறு

மடக்கை செயல்பாடு

மடக்கைகளுடன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

முடிவுரை

ஆசிரியர் தேர்வு