ஒரு எண்ணின் முழுமையான மதிப்பு அதோற்றத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம் ஆனால்(அ).

இந்த வரையறையைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு மாறிக்கு பதிலாக மாற்றுகிறோம் அஎந்த எண்ணும், எடுத்துக்காட்டாக 3 மற்றும் அதை மீண்டும் படிக்க முயற்சிக்கவும்:

ஒரு எண்ணின் முழுமையான மதிப்பு 3 தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம் ஆனால்(3 ).

தொகுதி வழக்கமான தூரத்தை விட அதிகமாக இல்லை என்பது தெளிவாகிறது. தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி A(க்கு) உள்ள தூரத்தைப் பார்க்க முயற்சிப்போம். 3 )

ஆயங்களின் தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி A( 3 ) என்பது 3 (மூன்று அலகுகள் அல்லது மூன்று படிகள்) க்கு சமம்.

ஒரு எண்ணின் மாடுலஸ் இரண்டு செங்குத்து கோடுகளால் குறிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக:

எண் 3 இன் மாடுலஸ் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: |3|

எண் 4 இன் மாடுலஸ் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: |4|

எண் 5 இன் மாடுலஸ் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: |5|

எண் 3 இன் மாடுலஸை நாங்கள் தேடினோம், அது 3 க்கு சமம் என்பதைக் கண்டுபிடித்தோம். எனவே நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

படிக்கிறது: "மூன்றின் மாடுலஸ் மூன்று"

இப்போது எண் -3 இன் மாடுலஸைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். மீண்டும், நாங்கள் வரையறைக்குத் திரும்பி, அதில் எண் -3 ஐ மாற்றுகிறோம். ஒரு புள்ளிக்குப் பதிலாக மட்டுமே ஏபுதிய புள்ளி பயன்படுத்த பி. புள்ளி ஏநாம் ஏற்கனவே முதல் எடுத்துக்காட்டில் பயன்படுத்தியுள்ளோம்.

எண்ணின் மாடுலஸ் 3 தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரத்தை அழைக்கவும் பி(—3 ).

ஒரு புள்ளியிலிருந்து இன்னொரு புள்ளிக்கு உள்ள தூரம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது. எனவே, எந்த எதிர்மறை எண்ணின் மாடுலஸ், தூரமாக இருப்பதால், எதிர்மறையாக இருக்காது. எண் -3 இன் தொகுதி எண் 3 ஆக இருக்கும். தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி B(-3) க்கு உள்ள தூரமும் மூன்று அலகுகளுக்கு சமம்:

படிக்கிறது: "ஒரு எண்ணின் மாடுலஸ் மூன்று கழித்தல் மூன்று"

எண் 0 இன் மாடுலஸ் 0 ஆகும், ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பு 0 உடன் புள்ளி தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது. தோற்றத்திலிருந்து புள்ளிக்கு தூரம் O(0)பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

"பூஜ்ஜியத்தின் மாடுலஸ் பூஜ்யம்"

நாங்கள் முடிவுகளை எடுக்கிறோம்:

• ஒரு எண்ணின் மாடுலஸ் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது;
• நேர்மறை எண் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு, மாடுலஸ் எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும், மற்றும் எதிர்மறை ஒன்றுக்கு, எதிர் எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும்;
• எதிரெதிர் எண்கள் சம தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன.

எதிர் எண்கள்

அடையாளங்களில் மட்டுமே வேறுபடும் எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன எதிர். எடுத்துக்காட்டாக, எண்கள் −2 மற்றும் 2 எதிரெதிர். அவை அறிகுறிகளில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. எண் −2 க்கு மைனஸ் அடையாளம் உள்ளது, 2 க்கு கூட்டல் குறி உள்ளது, ஆனால் நாங்கள் அதைப் பார்க்கவில்லை, ஏனென்றால் பிளஸ், நாங்கள் முன்பு கூறியது போல், பாரம்பரியமாக எழுதப்படவில்லை.

எதிர் எண்களின் கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகள்:

எதிரெதிர் எண்கள் சம தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, −2 மற்றும் 2க்கான தொகுதிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்

தோற்றத்திலிருந்து புள்ளிகளுக்கான தூரத்தை படம் காட்டுகிறது A(-2)மற்றும் பி(2)இரண்டு படிகளுக்கு சமம்.

பாடம் பிடித்திருக்கிறதா?
எங்கள் புதிய Vkontakte குழுவில் சேர்ந்து புதிய பாடங்களின் அறிவிப்புகளைப் பெறத் தொடங்குங்கள்

நாங்கள் கணிதத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதில்லைஅவளுடைய தொழில், அவள் எங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறாள்.

ரஷ்ய கணிதவியலாளர் யு.ஐ. மனின்

மாடுலோ சமன்பாடுகள்

பள்ளிக் கணிதத்தில் தீர்க்க மிகவும் கடினமான சிக்கல்கள் தொகுதி அடையாளத்தின் கீழ் மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள் ஆகும். அத்தகைய சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, தொகுதியின் வரையறை மற்றும் அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம். இயற்கையாகவே, மாணவர்கள் இந்த வகை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் பண்புகள்

ஒரு உண்மையான எண்ணின் மாடுலஸ் (முழுமையான மதிப்பு).குறிக்கப்பட்டது மற்றும் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

தொகுதியின் எளிய பண்புகள் பின்வரும் உறவுகளை உள்ளடக்கியது:

குறிப்பு, கடைசி இரண்டு பண்புகள் எந்த சமமான பட்டத்திற்கும் வைத்திருக்கின்றன.

மேலும், என்றால் , எங்கே , பின்னர் மற்றும்

மிகவும் சிக்கலான தொகுதி பண்புகள், தொகுதிகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் திறம்படப் பயன்படுத்தப்படலாம், பின்வரும் கோட்பாடுகள் மூலம் உருவாக்கப்படுகின்றன:

தேற்றம் 1.எந்த பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுக்கும்மற்றும் சமத்துவமின்மை

தேற்றம் 2.சமத்துவமும் சமத்துவமின்மையும் ஒன்றுதான்.

தேற்றம் 3.சமத்துவம் சமத்துவமின்மைக்கு சமம்.

"சமன்பாடுகள்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள், தொகுதி அடையாளத்தின் கீழ் மாறிகள் கொண்டிருக்கும்.

மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

சமன்பாடுகளை மாடுலஸ் மூலம் தீர்க்க பள்ளிக் கணிதத்தில் மிகவும் பொதுவான முறையாகும், தொகுதி விரிவாக்கத்தின் அடிப்படையில். இந்த முறை பொதுவானது, இருப்பினும், பொது வழக்கில், அதன் பயன்பாடு மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கும். இதில், மாணவர்கள் மற்றவற்றையும் அறிந்து கொள்ள வேண்டும், அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் திறமையான முறைகள் மற்றும் நுட்பங்கள். குறிப்பாக, தேற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், இந்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 1சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (ஒன்று)

முடிவு. சமன்பாடு (1) "கிளாசிக்கல்" முறை மூலம் தீர்க்கப்படும் - தொகுதி விரிவாக்க முறை. இதைச் செய்ய, எண் அச்சை உடைக்கிறோம்புள்ளிகள் மற்றும் இடைவெளிகள் மற்றும் மூன்று நிகழ்வுகளை கருத்தில் கொள்ளுங்கள்.

1. , பின்னர் , , , மற்றும் சமன்பாடு (1) வடிவத்தை எடுத்தால் . அது இங்கிருந்து தொடர்கிறது. இருப்பினும், இங்கே, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பு சமன்பாட்டின் மூலமல்ல (1).

2. என்றால், பின்னர் (1) சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்அல்லது .

அன்றிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர் (1).

3. என்றால், பின்னர் சமன்பாடு (1) வடிவம் எடுக்கும்அல்லது . என்பதை கவனிக்கவும்.

பதில்:, .

பின்வரும் சமன்பாடுகளை ஒரு தொகுதியுடன் தீர்க்கும் போது, ​​அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் செயல்திறனை அதிகரிக்க தொகுதிகளின் பண்புகளை தீவிரமாகப் பயன்படுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

முடிவு.மற்றும் பின்னர் அது சமன்பாட்டிலிருந்து பின்வருமாறு. இது குறித்து, , , மற்றும் சமன்பாடு மாறும். இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம். எனினும் , எனவே அசல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

உதாரணம் 3சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

முடிவு.அப்போதிருந்து . அப்படியானால், மற்றும் சமன்பாடு மாறும்.

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

முடிவு.சமன்பாட்டை சமமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். (2)

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு வகையின் சமன்பாடுகளுக்கு சொந்தமானது.

தேற்றம் 2ஐ கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், சமன்பாடு (2) சமத்துவமின்மைக்கு சமமானது என்று கூறலாம். இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 5சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

முடிவு. இந்த சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது. அதனால் , தேற்றம் 3 இன் படி, இங்கே சமத்துவமின்மை உள்ளதுஅல்லது .

எடுத்துக்காட்டு 6சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

முடிவு.என்று வைத்துக் கொள்வோம். என, பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இருபடி சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும், (3)

எங்கே . சமன்பாடு (3) ஒற்றை நேர்மறை மூலத்தைக் கொண்டிருப்பதால்மற்றும் , பின்னர் . இங்கிருந்து அசல் சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்:மற்றும் .

எடுத்துக்காட்டு 7 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (4)

முடிவு. சமன்பாடு இருந்துஇரண்டு சமன்பாடுகளின் கலவைக்கு சமம்:மற்றும், சமன்பாட்டை (4) தீர்க்கும் போது இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

1. என்றால் , பின்னர் அல்லது .

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம், மற்றும் .

2. என்றால் , பின்னர் அல்லது .

அப்போதிருந்து .

பதில்: , , , .

எடுத்துக்காட்டு 8சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் . (5)

முடிவு.முதல் மற்றும் , பின்னர். இங்கிருந்து மற்றும் சமன்பாடு (5) இலிருந்து அது பின்வருமாறு மற்றும் , அதாவது. இங்கே சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது

இருப்பினும், இந்த சமன்பாடு அமைப்பு சீரற்றது.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 9 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (6)

முடிவு.நாம் நியமித்தால் மற்றும் சமன்பாட்டிலிருந்து (6) நாம் பெறுகிறோம்

அல்லது . (7)

சமன்பாடு (7) வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதால், இந்த சமன்பாடு சமத்துவமின்மைக்கு சமமானது. இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம். முதல் , பின்னர் அல்லது .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 10சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (8)

முடிவு.தேற்றம் 1ன் படி எழுதலாம்

(9)

சமன்பாடு (8) கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டு சமத்துவமின்மைகளும் (9) சமமாக மாறும் என்று முடிவு செய்கிறோம், அதாவது. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது

இருப்பினும், தேற்றம் 3 மூலம், மேலே உள்ள சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கு சமமானது.

(10)

சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்ப்பது (10) நாம் பெறுகிறோம் . ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு (10) சமன்பாடு (8) க்கு சமமானதாக இருப்பதால், அசல் சமன்பாடு ஒற்றை ரூட்டைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 11. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (11)

முடிவு.நாம் மற்றும் , பின்னர் சமன்பாடு (11) சமத்துவத்தை குறிக்கிறது.

இதிலிருந்து அது பின்வருமாறு மற்றும் . எனவே, இங்கு சமத்துவமின்மை அமைப்பு உள்ளது

இந்த சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வுமற்றும் .

பதில்:, .

எடுத்துக்காட்டு 12.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (12)

முடிவு. சமன்பாடு (12) தொகுதிகளின் தொடர்ச்சியான விரிவாக்க முறையால் தீர்க்கப்படும். இதைச் செய்ய, பல வழக்குகளைக் கவனியுங்கள்.

1. என்றால் , பிறகு .

1.1 என்றால் , பின்னர் மற்றும் , .

1.2 என்றால் . எனினும் , எனவே, இந்த வழக்கில், சமன்பாடு (12) க்கு வேர்கள் இல்லை.

2. என்றால் , பிறகு .

2.1 என்றால் , பின்னர் மற்றும் , .

2.2 என்றால் , பின்னர் மற்றும் .

பதில்: , , , , .

எடுத்துக்காட்டு 13சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (13)

முடிவு.சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் (13) எதிர்மறையாக இல்லாததால், மற்றும் . இது சம்பந்தமாக, மற்றும் சமன்பாடு (13)

வடிவம் எடுக்கிறது அல்லது .

சமன்பாடு என்பது தெரிந்ததே இரண்டு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு சமம்மற்றும், நாம் பெறும் தீர்வு, . என, பின்னர் சமன்பாடு (13) ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 14 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் (14)

முடிவு.இருந்து மற்றும் , பின்னர் மற்றும் . எனவே, சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து (14) நாம் நான்கு சமன்பாடு அமைப்புகளைப் பெறுகிறோம்:

மேலே உள்ள சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் வேர்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வேர்கள் (14).

பதில்: , , , , , , , .

எடுத்துக்காட்டு 15 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் (15)

முடிவு.அப்போதிருந்து . இது சம்பந்தமாக, சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து (15) நாம் இரண்டு சமன்பாடு அமைப்புகளைப் பெறுகிறோம்

சமன்பாடுகளின் முதல் அமைப்பின் வேர்கள் மற்றும் , மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளில் இருந்து நாம் பெறுகிறோம் மற்றும் .

பதில்: , , , .

எடுத்துக்காட்டு 16 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் (16)

முடிவு.இது அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து (16) பின்பற்றுகிறது.

அன்றிலிருந்து . அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இது வரையில், பிறகு , மற்றும் சமன்பாடு மாறும், , அல்லது .

நாம் மதிப்பை மாற்றினால்அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டில் (16), பின்னர், அல்லது.

பதில்:, .

சிக்கலைத் தீர்க்கும் முறைகள் பற்றிய ஆழமான ஆய்வுக்கு, சமன்பாடுகளின் தீர்வு தொடர்பானது, தொகுதி அடையாளத்தின் கீழ் மாறிகள் கொண்டிருக்கும், பரிந்துரைக்கப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியலிலிருந்து பயிற்சிகளை நீங்கள் ஆலோசனை செய்யலாம்.

1. தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகங்களுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கான கணிதத்தில் பணிகளின் சேகரிப்பு / எட். எம்.ஐ. ஸ்கானாவி. - எம் .: உலகம் மற்றும் கல்வி, 2013. - 608 பக்.

2. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: அதிகரித்த சிக்கலான பணிகள். - எம் .: கேடி "லிப்ரோகாம்" / யுஆர்எஸ்எஸ், 2017. - 200 பக்.

3. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான தரமற்ற முறைகள். - எம் .: கேடி "லிப்ரோகாம்" / யுஆர்எஸ்எஸ், 2017. - 296 பக்.

உங்களுக்கு ஏதேனும் கேள்விகள் உள்ளனவா?

ஒரு ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற - பதிவு செய்யுங்கள்.

தளத்தில், உள்ளடக்கத்தின் முழு அல்லது பகுதி நகலுடன், மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

மாணவர்களுக்கான மிகவும் கடினமான தலைப்புகளில் ஒன்று மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதாகும். இது எதனுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை முதலில் பார்ப்போம்? எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடுகளில் பெரும்பாலான குழந்தைகள் கொட்டைகள் போல் கிளிக் செய்கிறார்கள், ஆனால் ஒரு தொகுதி போன்ற மிகவும் சிக்கலான கருத்தாக்கத்திலிருந்து இவ்வளவு தூரம் இருப்பதால் பல சிக்கல்கள் உள்ளன?

என் கருத்துப்படி, இந்த சிரமங்கள் அனைத்தும் ஒரு மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தெளிவாக வடிவமைக்கப்பட்ட விதிகளின் பற்றாக்குறையுடன் தொடர்புடையவை. எனவே, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​மாணவர் முதலில் பாரபட்சமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், பின்னர் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை நிச்சயமாக அறிவார். ஆனால் சமன்பாட்டில் ஒரு தொகுதி ஏற்பட்டால் என்ன செய்வது? சமன்பாடு மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​தேவையான செயல் திட்டத்தை தெளிவாக விவரிக்க முயற்சிப்போம். ஒவ்வொரு வழக்குக்கும் பல உதாரணங்களை தருகிறோம்.

ஆனால் முதலில், நினைவில் கொள்வோம் தொகுதி வரையறை. எனவே, எண்ணின் மாடுலஸ் அஎண் தன்னை என்றால் அழைக்கப்படுகிறது அஎதிர்மறை அல்லாத மற்றும் -அஎண் என்றால் அபூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக. நீங்கள் இதை இப்படி எழுதலாம்:

|அ| = a என்றால் a ≥ 0 மற்றும் |a| = -a என்றால் a< 0

தொகுதியின் வடிவியல் பொருளைப் பற்றி பேசுகையில், ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணும் எண் அச்சில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் - அது ஒருங்கிணைக்க. எனவே, தொகுதி அல்லது ஒரு எண்ணின் முழுமையான மதிப்பு இந்த புள்ளியிலிருந்து எண் அச்சின் தோற்றத்திற்கான தூரமாகும். தூரம் எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாகவே வழங்கப்படுகிறது. எனவே, எந்த எதிர்மறை எண்ணின் மாடுலஸ் நேர்மறை எண்ணாகும். மூலம், இந்த கட்டத்தில் கூட, பல மாணவர்கள் குழப்பமடையத் தொடங்குகிறார்கள். எந்த எண்ணும் தொகுதியில் இருக்கலாம், ஆனால் தொகுதியைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாக எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும்.

இப்போது சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்லலாம்.

1. |x| படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் = c, c என்பது உண்மையான எண். இந்த சமன்பாட்டை மாடுலஸின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

அனைத்து உண்மையான எண்களையும் மூன்று குழுக்களாகப் பிரிக்கிறோம்: பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமானவை, பூஜ்ஜியத்தை விடக் குறைவானவை, மற்றும் மூன்றாவது குழு எண் 0. வரைபட வடிவில் தீர்வை எழுதுகிறோம்:

(±c என்றால் c > 0

என்றால் |x| = c, பின்னர் x = (0 என்றால் c = 0

(உடன் இருந்தால் வேர்கள் இல்லை< 0

1) |x| = 5, ஏனெனில் 5 > 0, பின்னர் x = ±5;

2) |x| = -5, ஏனெனில் -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, பின்னர் x = 0.

2. படிவத்தின் சமன்பாடு |f(x)| = b, எங்கே b > 0. இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, மாடுலஸை அகற்றுவது அவசியம். நாங்கள் இதை இப்படி செய்கிறோம்: f(x) = b அல்லது f(x) = -b. இப்போது பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளையும் தனித்தனியாக தீர்க்க வேண்டியது அவசியம். அசல் சமன்பாட்டில் இருந்தால் b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, ஏனெனில் 4 > 0, பின்னர்

x + 2 = 4 அல்லது x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, ஏனெனில் 11 > 0, பின்னர்

x 2 - 5 = 11 அல்லது x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 வேர்கள் இல்லை

3) |x 2 – 5x| = -8 , ஏனெனில் -எட்டு< 0, то уравнение не имеет корней.

3. படிவத்தின் சமன்பாடு |f(x)| = g(x). தொகுதியின் பொருளின் படி, அத்தகைய சமன்பாடு அதன் வலது பக்கம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால் தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது. g(x) ≥ 0. பிறகு நம்மிடம் உள்ளது:

f(x) = g(x)அல்லது f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. இந்த சமன்பாடு 5x - 10 ≥ 0 எனில் வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். அத்தகைய சமன்பாடுகளின் தீர்வு இங்குதான் தொடங்குகிறது.

1. ஓ.டி.இசட். 5x - 10 ≥ 0

2. தீர்வு:

2x - 1 = 5x - 10 அல்லது 2x - 1 = -(5x - 10)

3. O.D.Z ஐ இணைக்கவும். மற்றும் தீர்வு, நாம் பெறுகிறோம்:

O.D.Z. இன் படி ரூட் x \u003d 11/7 பொருந்தாது, இது 2 ஐ விட குறைவாக உள்ளது, மேலும் x \u003d 3 இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது.

பதில்: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. ஓ.டி.இசட். 1 - x 2 ≥ 0. இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்போம்:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. தீர்வு:

x - 1 \u003d 1 - x 2 அல்லது x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 அல்லது x = 1 x = 0 அல்லது x = 1

3. தீர்வு மற்றும் O.D.Z.

x = 1 மற்றும் x = 0 ஆகிய வேர்கள் மட்டுமே பொருத்தமானவை.

பதில்: x = 0, x = 1.

4. படிவத்தின் சமன்பாடு |f(x)| = |g(x)|. அத்தகைய சமன்பாடு பின்வரும் இரண்டு சமன்பாடுகளான f(x) = g(x) அல்லது f(x) = -g(x) க்கு சமம்.

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. இந்த சமன்பாடு பின்வரும் இரண்டிற்குச் சமம்:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 அல்லது x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 அல்லது x = 4 x = 2 அல்லது x = 1

பதில்: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. மாற்று முறை மூலம் தீர்க்கப்படும் சமன்பாடுகள் (மாறியின் மாற்றம்). இந்த தீர்வு முறை ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்துடன் விளக்க எளிதானது. எனவே, ஒரு மாடுலஸுடன் ஒரு இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட வேண்டும்:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. தொகுதி x 2 = |x| 2 , எனவே சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. மாற்றத்தை செய்வோம் |x| = t ≥ 0, பிறகு எங்களிடம் இருக்கும்:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், t \u003d 1 அல்லது t \u003d 5 ஐப் பெறுகிறோம். மாற்றீட்டிற்குத் திரும்புவோம்:

|x| = 1 அல்லது |x| = 5

x = ±1 x = ±5

பதில்: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

x 2 + |x| – 2 = 0. தொகுதி x 2 = |x| 2, அதனால்

|x| 2 + |x| – 2 = 0. மாற்றத்தை செய்வோம் |x| = t ≥ 0, பின்னர்:

t 2 + t - 2 \u003d 0. இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், t \u003d -2 அல்லது t \u003d 1 ஐப் பெறுகிறோம். மாற்றீட்டிற்குத் திரும்புவோம்:

|x| = -2 அல்லது |x| = 1

வேர்கள் இல்லை x = ± 1

பதில்: x = -1, x = 1.

6. மற்றொரு வகை சமன்பாடுகள் "சிக்கலான" மாடுலஸ் கொண்ட சமன்பாடுகள் ஆகும். இத்தகைய சமன்பாடுகளில் "ஒரு தொகுதிக்குள் தொகுதிகள்" கொண்ட சமன்பாடுகள் அடங்கும். இந்த வகை சமன்பாடுகளை தொகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

1) |3 – |x|| = 4. நாம் இரண்டாவது வகையின் சமன்பாடுகளைப் போலவே செயல்படுவோம். ஏனெனில் 4 > 0, பின்னர் நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:

3 – |x| = 4 அல்லது 3 – |x| = -4.

இப்போது ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் x தொகுதியை வெளிப்படுத்துவோம், பிறகு |x| = -1 அல்லது |x| = 7.

இதன் விளைவாக வரும் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளையும் நாங்கள் தீர்க்கிறோம். முதல் சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் - ஒன்று< 0, а во втором x = ±7.

பதில் x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. இந்த சமன்பாட்டை இதே வழியில் தீர்க்கிறோம்:

3 + |x + 1| = 5 அல்லது 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 அல்லது x + 1 = -2. வேர்கள் இல்லை.

பதில்: x = -3, x = 1.

மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உலகளாவிய முறையும் உள்ளது. இதுவே இடைவெளி முறை. ஆனால் நாங்கள் அதை மேலும் கருத்தில் கொள்வோம்.

blog.site, பொருளின் முழு அல்லது பகுதி நகலுடன், மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

இந்த ஆன்லைன் கணித கால்குலேட்டர் உங்களுக்கு உதவும் தொகுதிகள் மூலம் ஒரு சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும். இதற்கான திட்டம் தொகுதிகள் மூலம் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதுபிரச்சனைக்கான பதிலை மட்டும் கொடுக்கவில்லை, அது வழிநடத்துகிறது விளக்கங்களுடன் விரிவான தீர்வு, அதாவது முடிவைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையைக் காட்டுகிறது.

இந்த திட்டம் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்கான தயாரிப்பில் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கு முன் அறிவை சோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோருக்கு. அல்லது ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது உங்களது கணிதம் அல்லது அல்ஜீப்ரா வீட்டுப்பாடத்தை கூடிய விரைவில் முடிக்க வேண்டுமா? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளின் பயிற்சியை நடத்தலாம், அதே நேரத்தில் தீர்க்கப்பட வேண்டிய பணிகளின் துறையில் கல்வியின் நிலை அதிகரிக்கிறது.

சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையை மாடுலியுடன் உள்ளிடவும்

இந்தப் பணியைத் தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.
நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க விரும்பும் பலர் உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.
சில வினாடிகளுக்குப் பிறகு, தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவு செய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு அதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறவாதே எந்த பணியைக் குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

கொஞ்சம் கோட்பாடு.

தொகுதிகளுடன் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

அடிப்படை பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்தில், நீங்கள் தொகுதிகள் மூலம் எளிமையான சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை சந்திக்க முடியும். அவற்றைத் தீர்க்க, x மற்றும் a ) \). எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டைத் தீர்க்க \(|x-3|=2 \), புள்ளி 3 இலிருந்து 2 தொலைவில் உள்ள எண் கோட்டில் புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும். அத்தகைய இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன: \(x_1=1 \) மற்றும் \(x_2=5 \) .

சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது \(|2x+7|

ஆனால் தொகுதிகளுடன் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய வழி "வரையறையின்படி தொகுதி விரிவாக்கம்" என்று அழைக்கப்படுவதோடு தொடர்புடையது:
\(a \geq 0 \), \(|a|=a \);
\(a ஒரு விதியாக, தொகுதிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு (சமத்துவமின்மை) தொகுதியின் அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடுகளின் (சமத்துவமின்மை) தொகுப்பாகக் குறைக்கிறது.

மேலே உள்ள வரையறைக்கு கூடுதலாக, பின்வரும் வலியுறுத்தல்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:
1) \(c > 0 \) எனில், \(|f(x)|=c \) சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமம்: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) \(c > 0 \), சமத்துவமின்மை \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \) எனில், சமத்துவமின்மை \(|f(x)| > c \) ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பிற்கு சமமானது: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) சமத்துவமின்மையின் இரு பகுதிகளும் \(f(x) எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

\(x-1 \geq 0 \) எனில், \(|x-1| = x-1 \) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு மாறும்
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
என்றால் \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இரண்டு நிகழ்வுகளில் ஒவ்வொன்றிலும் தனித்தனியாகக் கருதப்பட வேண்டும்.
1) விடு \(x-1 \geq 0 \), அதாவது. \(x \geq 1 \). சமன்பாட்டிலிருந்து \(x^2 +2x -8 = 0 \) \(x_1=2, \; x_2=-4\) ஐக் காணலாம். \(x \geq 1 \) நிபந்தனை \(x_1=2\) மதிப்பால் மட்டுமே திருப்தி அடையும்.
2) \(x-1 விடை: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

முதல் வழி(வரையறையின்படி தொகுதி விரிவாக்கம்).
எடுத்துக்காட்டு 1 இல் உள்ளதைப் போல வாதிடுகையில், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரண்டு நிபந்தனைகளின் கீழ் தனித்தனியாகக் கருதப்பட வேண்டும் என்று முடிவு செய்கிறோம்: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) அல்லது \(x^2-6x+7

1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \), பின்னர் \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(x^2 ஆக மாறும் -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் பெறுவது: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6 \) மதிப்பு \(x^2-6x+7 \geq 0 \) நிபந்தனையைப் பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்பை இருபடி சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றுகிறோம். நாம் பெறுவது: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), அதாவது. \(7 \geq 0 \) சரியான சமத்துவமின்மை. எனவே, \(x_1=6 \) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும்.
\(x_2=\frac(5)(3) \) நிபந்தனையை \(x^2-6x+7 \geq 0 \) திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்பை இருபடி சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றுகிறோம். நாம் பெறுவது: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), அதாவது. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) என்பது தவறான சமத்துவமின்மை. எனவே \(x_2=\frac(5)(3) \) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல.

2) \(x^2-6x+7 மதிப்பு \(x_3=3\) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால் \(x^2-6x+7 மதிப்பு \(x_4=\frac(4)(3) \) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை \ (x^2-6x+7 எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: \(x=6, \; x=3 \).

இரண்டாவது வழி.ஒரு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால் \(|f(x)| = h(x) \), பின்னர் \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\வலது. \)
இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளும் மேலே தீர்க்கப்பட்டுள்ளன (கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் முதல் முறையுடன்), அவற்றின் வேர்கள் பின்வருமாறு: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). இந்த நான்கு மதிப்புகளின் நிபந்தனை \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) இரண்டால் மட்டுமே திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது: 6 மற்றும் 3. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன: \(x=6, \; x=3 \ ).

மூன்றாவது வழி(கிராஃபிக்).
1) செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம் \(y = |x^2-6x+7| \). முதலில் நாம் ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்குகிறோம் \(y = x^2-6x+7\). எங்களிடம் \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) உள்ளது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் \(y = (x-3)^2-2 \) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து \(y = x^2 \) 3 அளவு அலகுகளை வலதுபுறமாக மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம் x-axis) மற்றும் 2 அளவு அலகுகள் கீழே (y- அச்சில்). நேர்கோடு x=3 என்பது நாம் விரும்பும் பரவளையத்தின் அச்சாகும். மிகவும் துல்லியமான சதித்திட்டத்திற்கான கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளாக, புள்ளி (3; -2) - பரவளையத்தின் மேற்பகுதி, புள்ளி (0; 7) மற்றும் புள்ளி (6; 7) அச்சுடன் தொடர்புடைய சமச்சீர் ஆகியவற்றை எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது. பரவளையத்தின்.
செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை இப்போது உருவாக்க \(y = |x^2-6x+7| \), x-அச்சுக்கு கீழே இல்லாத கட்டப்பட்ட பரவளையத்தின் பகுதிகளை நீங்கள் மாற்றாமல் விட்டு, அதன் பகுதியை பிரதிபலிக்க வேண்டும். x அச்சில் x அச்சுக்குக் கீழே இருக்கும் parabola.
2) நேரியல் செயல்பாடு \(y = \frac(5x-9)(3) \). புள்ளிகள் (0; –3) மற்றும் (3; 2) கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகளாக எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது.

abscissa அச்சுடன் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி x \u003d 1.8 என்பது பரவளையத்தின் இடது வெட்டுப் புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் abscissa அச்சுடன் அமைந்திருப்பது அவசியம் - இது புள்ளி \(x=3-\ sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) வரைதல் மூலம் ஆராயும்போது, ​​வரைபடங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன - A (3; 2) மற்றும் B (6; 7) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் புள்ளிகள் x \u003d 3 மற்றும் x \u003d 6, மற்றொரு மதிப்பு இரண்டும் சரியான எண் சமத்துவத்தை வழங்குவதை உறுதிசெய்கிறோம். எனவே, எங்கள் கருதுகோள் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது - சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன: x \u003d 3 மற்றும் x \u003d 6 பதில்: 3; 6.

கருத்து. வரைகலை முறை, அதன் அனைத்து நேர்த்தியுடன், மிகவும் நம்பகமானதாக இல்லை. கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்களாக இருப்பதால் மட்டுமே அது வேலை செய்தது.

எடுத்துக்காட்டு 3. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

முதல் வழி
2x–4 என்ற வெளிப்பாடு x = 2 புள்ளியில் 0 ஆகவும், x = –3 என்ற புள்ளியில் x + 3 வெளிப்பாடு 0 ஆகவும் மாறும். இந்த இரண்டு புள்ளிகளும் எண் கோட்டை மூன்று இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கின்றன: \(x

முதல் இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \((-\infty; \; -3) \).
x இரண்டாவது இடைவெளியைக் கருத்தில் கொண்டால்: \([-3; \; 2) \).
\(-3 \leq x என்றால் மூன்றாவது இடைவெளியைக் கவனியுங்கள்: \()