ஒப்பீட்டு அளவீட்டு பிழையின் கணக்கீடு. அளவீட்டு பிழைகளின் கணக்கீடு

1. அறிமுகம்

வேதியியலாளர்கள், இயற்பியலாளர்கள் மற்றும் பிற இயற்கை அறிவியல் தொழில்களின் பிரதிநிதிகளின் பணி பெரும்பாலும் பல்வேறு அளவுகளின் அளவு அளவீடுகளைச் செய்வதை உள்ளடக்கியது. இந்த வழக்கில், பெறப்பட்ட மதிப்புகளின் நம்பகத்தன்மையை பகுப்பாய்வு செய்வது, நேரடி அளவீடுகளின் முடிவுகளை செயலாக்குவது மற்றும் நேரடியாக அளவிடப்பட்ட பண்புகளின் மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தும் கணக்கீடுகளின் பிழைகளை மதிப்பிடுவது போன்ற கேள்வி எழுகிறது (பிந்தைய செயல்முறை முடிவுகளின் செயலாக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. மறைமுகஅளவீடுகள்). பல புறநிலை காரணங்களுக்காக, மாஸ்கோ மாநில பல்கலைக்கழகத்தின் வேதியியல் பீடத்தின் பட்டதாரிகளின் பிழைகளை கணக்கிடுவது பற்றிய அறிவு பெறப்பட்ட தரவை சரியான செயலாக்கத்திற்கு எப்போதும் போதுமானதாக இல்லை. இந்த காரணங்களில் ஒன்று, அளவீட்டு முடிவுகளின் புள்ளிவிவர செயலாக்கம் குறித்த பாடத்திட்டத்தின் ஆசிரிய பாடத்திட்டத்தில் இல்லாதது ஆகும்.

இந்த கட்டத்தில், பிழைகள் கணக்கிடும் பிரச்சினை, நிச்சயமாக, முழுமையாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. ஏராளமான முறைசார் வளர்ச்சிகள், பாடப்புத்தகங்கள் போன்றவை உள்ளன, இதில் பிழைகளை கணக்கிடுவது பற்றிய தகவல்களை நீங்கள் காணலாம். துரதிர்ஷ்டவசமாக, இந்த படைப்புகளில் பெரும்பாலானவை கூடுதல் மற்றும் எப்போதும் அவசியமில்லாத தகவல்களுடன் சுமைகளாக உள்ளன. குறிப்பாக, மாணவர் பட்டறைகளின் பெரும்பாலான பணிகளுக்கு மாதிரிகளை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்பது, ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவது போன்ற செயல்கள் தேவையில்லை. எனவே, அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் கணக்கீடுகளுக்கான வழிமுறைகளை கோடிட்டுக் காட்டும் சுருக்கமான மேம்பாட்டை உருவாக்குவது பொருத்தமானதாகத் தோன்றுகிறது. அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது.

2. இந்த வேலையில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறிப்பு

அளவிடப்பட்ட மதிப்பு, - அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் சராசரி மதிப்பு, - அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் சராசரி மதிப்பின் முழுமையான பிழை, - அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் சராசரி மதிப்பின் ஒப்பீட்டு பிழை.

3. நேரடி அளவீடுகளின் பிழைகள் கணக்கீடு

எனவே, அவை மேற்கொள்ளப்பட்டன என்று வைத்துக் கொள்வோம் n அதே நிபந்தனைகளின் கீழ் அதே அளவின் அளவீடுகள். இந்த வழக்கில், எடுக்கப்பட்ட அளவீடுகளில் இந்த மதிப்பின் சராசரி மதிப்பை நீங்கள் கணக்கிடலாம்:

(1)

பிழையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? பின்வரும் சூத்திரத்தின் படி:

(2)

இந்த சூத்திரம் மாணவர் குணகத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. வெவ்வேறு நம்பிக்கை நிகழ்தகவுகள் மற்றும் மதிப்புகளில் அதன் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

3.1 நேரடி அளவீடுகளின் பிழைகளைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு:

பணி.

உலோகப் பட்டையின் நீளம் அளவிடப்பட்டது. 10 அளவீடுகள் செய்யப்பட்டன மற்றும் பின்வரும் மதிப்புகள் பெறப்பட்டன: 10 மிமீ, 11 மிமீ, 12 மிமீ, 13 மிமீ, 10 மிமீ, 10 மிமீ, 11 மிமீ, 10 மிமீ, 10 மிமீ, 11 மிமீ. அளவிடப்பட்ட அளவு (பட்டியின் நீளம்) மற்றும் அதன் பிழையின் சராசரி மதிப்பைக் கண்டறிய இது தேவைப்படுகிறது.

தீர்வு.

சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கண்டுபிடிப்போம்:

மிமீ

இப்போது, ​​ஃபார்முலா (2) ஐப் பயன்படுத்தி, சராசரி மதிப்பின் முழுமையான பிழையை நம்பிக்கை நிகழ்தகவு மற்றும் சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்கிறோம் (இதிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மதிப்பு = 2.262 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்):

முடிவை எழுதுவோம்:

10.8± 0.7 0.95 மிமீ

4. மறைமுக அளவீடுகளின் பிழைகள் கணக்கீடு

பரிசோதனையின் போது அளவுகள் அளவிடப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம் , பின்னர் c பெறப்பட்ட மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி, மதிப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது . இந்த வழக்கில், நேரடியாக அளவிடப்பட்ட அளவுகளின் பிழைகள் பத்தி 3 இல் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி கணக்கிடப்படுகின்றன.

ஒரு அளவின் சராசரி மதிப்பின் கணக்கீடு வாதங்களின் சராசரி மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி சார்புக்கு ஏற்ப மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

பிழை மதிப்பு பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

,(3)

வாதங்களின் எண்ணிக்கை எங்கே, வாதங்களைப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல், இது வாதத்தின் சராசரி மதிப்பின் முழுமையான பிழை.

முழுமையான பிழை, நேரடி அளவீடுகளைப் போலவே, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

4.1 நேரடி அளவீடுகளின் பிழைகளைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு:

பணி.

5 அளவுகளின் நேரடி அளவீடுகள் மற்றும் மேற்கொள்ளப்பட்டன. மதிப்புக்கு பின்வரும் மதிப்புகள் பெறப்பட்டன: 50, 51, 52, 50, 47; பின்வரும் மதிப்புகள் அளவுக்குப் பெறப்பட்டன: 500, 510, 476, 354, 520. சூத்திரத்தால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட அளவின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது மற்றும் பெறப்பட்ட மதிப்பின் பிழையைக் கண்டறிய வேண்டியது அவசியம்.

இயற்பியல் என்பது ஒரு சோதனை அறிவியலாகும், அதாவது இயற்பியல் சட்டங்கள் நிறுவப்பட்டு, சோதனைத் தரவைக் குவித்து ஒப்பிடுவதன் மூலம் சரிபார்க்கப்படுகின்றன. இயற்பியல் பட்டறையின் நோக்கம் மாணவர்கள் அனுபவத்தின் மூலம் அடிப்படை இயற்பியல் நிகழ்வுகளைப் படிப்பது, உடல் அளவுகளின் எண் மதிப்புகளை சரியாக அளவிடுவது மற்றும் கோட்பாட்டு சூத்திரங்களுடன் ஒப்பிடுவது.

அனைத்து அளவீடுகளையும் இரண்டு வகைகளாகப் பிரிக்கலாம் - நேராகமற்றும் மறைமுக.

மணிக்கு நேரடிஅளவீடுகளில், தேவையான அளவின் மதிப்பு நேரடியாக அளவிடும் சாதனத்தின் அளவீடுகளிலிருந்து பெறப்படுகிறது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, நீளம் ஒரு ஆட்சியாளரால் அளவிடப்படுகிறது, நேரம் ஒரு கடிகாரத்தால் அளவிடப்படுகிறது, முதலியன.

விரும்பிய உடல் அளவை சாதனத்தால் நேரடியாக அளவிட முடியாது, ஆனால் ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அளவிடப்பட்ட அளவுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டால், அத்தகைய அளவீடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன மறைமுக.

எந்த அளவையும் அளவிடுவது அந்த அளவிற்கு முற்றிலும் துல்லியமான மதிப்பைக் கொடுக்காது. ஒவ்வொரு அளவீட்டிலும் எப்போதும் சில பிழைகள் (பிழை) இருக்கும். பிழை என்பது அளவிடப்பட்ட மற்றும் உண்மையான மதிப்புக்கு இடையிலான வித்தியாசம்.

பிழைகள் பொதுவாக பிரிக்கப்படுகின்றன முறையானமற்றும் சீரற்ற.

முறையானஅளவீடுகளின் முழுத் தொடரிலும் நிலையானதாக இருக்கும் பிழை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய பிழைகள் அளவிடும் கருவியின் (உதாரணமாக, சாதனத்தின் பூஜ்ஜிய ஆஃப்செட்) அல்லது அளவீட்டு முறையின் அபூரணத்தால் ஏற்படுகின்றன மற்றும் கொள்கையளவில், பொருத்தமான திருத்தத்தை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் இறுதி முடிவிலிருந்து விலக்கப்படலாம்.

முறையான பிழைகளில் அளவிடும் கருவிகளின் பிழையும் அடங்கும். எந்தவொரு சாதனத்தின் துல்லியம் குறைவாக உள்ளது மற்றும் அதன் துல்லியம் வகுப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது பொதுவாக அளவிடும் அளவில் குறிக்கப்படுகிறது.

சீரற்றவெவ்வேறு சோதனைகளில் மாறுபடும் மற்றும் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறையாக இருக்கும் பிழை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அளவீட்டு சாதனம் (உராய்வு, இடைவெளிகள், முதலியன) மற்றும் வெளிப்புற நிலைமைகள் (அதிர்வு, நெட்வொர்க்கில் மின்னழுத்த ஏற்ற இறக்கங்கள் போன்றவை) இரண்டையும் சார்ந்து இருக்கும் காரணங்களால் சீரற்ற பிழைகள் ஏற்படுகின்றன.

சீரற்ற பிழைகளை அனுபவ ரீதியாக விலக்க முடியாது, ஆனால் மீண்டும் மீண்டும் அளவீடுகள் மூலம் அவற்றின் விளைவுகளின் தாக்கத்தை குறைக்கலாம்.

நேரடி அளவீடுகளில் பிழையின் கணக்கீடு - சராசரி மதிப்பு மற்றும் சராசரி முழுமையான பிழை.

X மதிப்பின் தொடர்ச்சியான அளவீடுகளை நாங்கள் மேற்கொள்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். சீரற்ற பிழைகள் இருப்பதால், நாம் பெறுகிறோம் nவெவ்வேறு அர்த்தங்கள்:

X 1, X 2, X 3… X n

சராசரி மதிப்பு பொதுவாக அளவீட்டு விளைவாக எடுக்கப்படுகிறது

சராசரிக்கும் முடிவுக்கும் உள்ள வேறுபாடு நான் -இந்த அளவீட்டின் முழுமையான பிழையை இந்த அளவீட்டின் முழுமையான பிழை என்று அழைப்போம்

சராசரி மதிப்பின் பிழையின் அளவீடாக, ஒரு தனிப்பட்ட அளவீட்டின் முழுமையான பிழையின் சராசரி மதிப்பை நாம் எடுக்கலாம்

(2)

அளவு
எண்கணித சராசரி (அல்லது சராசரி முழுமையான) பிழை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பின்னர் அளவீட்டு முடிவு படிவத்தில் எழுதப்பட வேண்டும்

(3)

அளவீடுகளின் துல்லியத்தை வகைப்படுத்த, தொடர்புடைய பிழை பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது பொதுவாக ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

(4)

அளவீடுகளில் முறையான பிழைகள் மிகக் குறைவாக இருக்கட்டும். அளவீடு அதிக எண்ணிக்கையிலான முறை (n→∞) மேற்கொள்ளப்படும்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

அனுபவம் காட்டுவது போல், அவற்றின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து மேல் அல்லது கீழ் அளவீட்டு முடிவுகளின் விலகல் ஒன்றுதான். சராசரி மதிப்பிலிருந்து சிறிய விலகல்களுடன் அளவீட்டு முடிவுகள் பெரிய விலகல்களைக் காட்டிலும் அடிக்கடி காணப்படுகின்றன.

அளவீட்டு முடிவுகளின் அனைத்து எண் மதிப்புகளையும் ஏறுவரிசையில் ஒரு தொடரில் ஏற்பாடு செய்து, இந்தத் தொடரை சம இடைவெளிகளாகப் பிரிப்போம்.
. விடுங்கள் - இடைவெளிக்குள் வரும் முடிவுகளுடன் அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை [
]. அளவு
ஒரு நிகழ்தகவு ΔP i (x) இடைவெளியில் ஒரு மதிப்புடன் ஒரு முடிவைப் பெறுகிறது [
].

அதை வரைபடமாக முன்வைப்போம்
, ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும் தொடர்புடையது [
] (வரைபடம். 1). படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ள படிநிலை வளைவு ஹிஸ்டோகிராம் எனப்படும். அளவிடும் சாதனம் மிக அதிக உணர்திறன் கொண்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இடைவெளியின் அகலத்தை infinitesimal dx ஆக்கலாம். இந்த வழக்கில் படிநிலை வளைவு φ(x) (படம் 2) செயல்பாட்டால் குறிக்கப்படும் வளைவால் மாற்றப்படுகிறது. φ(x) சார்பு பொதுவாக விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், தயாரிப்பு φ(x)dx என்பது x இலிருந்து x+dx வரையிலான மதிப்பைக் கொண்ட முடிவுகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு dP(x) ஆகும். வரைபட ரீதியாக, நிகழ்தகவு மதிப்பு ஒரு நிழல் கொண்ட செவ்வகத்தின் பரப்பளவாக குறிப்பிடப்படுகிறது. பகுப்பாய்வு ரீதியாக, விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

. (5)

படிவத்தில் (5) வழங்கப்பட்ட செயல்பாடு φ(x) காஸியன் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அளவீட்டு முடிவுகளின் தொடர்புடைய விநியோகம் காசியன் அல்லது இயல்பானது.

விருப்பங்கள்
மற்றும் σக்கு பின்வரும் பொருள் உள்ளது (படம் 2).

- அளவீட்டு முடிவுகளின் சராசரி மதிப்பு. மணிக்கு
=
காஸியன் செயல்பாடு அதன் அதிகபட்ச மதிப்பை அடைகிறது. பரிமாணங்களின் எண்ணிக்கை எண்ணற்றதாக இருந்தால், பிறகு
அளவிடப்பட்ட அளவின் உண்மையான மதிப்புக்கு சமம்.

σ - அவற்றின் சராசரி மதிப்பிலிருந்து அளவீட்டு முடிவுகளின் சிதறலின் அளவை வகைப்படுத்துகிறது. σ அளவுரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

. (6)

இந்த அளவுரு ரூட் சராசரி சதுரப் பிழையைக் குறிக்கிறது. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் σ 2 அளவு φ(x) செயல்பாட்டின் சிதறல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அதிக அளவீட்டு துல்லியம், அளவீட்டு முடிவுகள் அளவிடப்பட்ட அளவின் உண்மையான மதிப்புக்கு நெருக்கமாக இருக்கும், எனவே, சிறிய σ.

செயல்பாட்டின் வடிவம் φ(x) வெளிப்படையாக பரிமாணங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது அல்ல.

நிகழ்தகவு கோட்பாடு அனைத்து அளவீடுகளிலும் 68% இடைவெளியிலும், 95% இடைவெளியிலும், 99.7% இடைவெளியிலும் ஒரு முடிவைக் கொடுக்கும் என்று காட்டுகிறது.

எனவே, நிகழ்தகவு (நம்பகத்தன்மை) 68% உடன், சராசரி மதிப்பிலிருந்து அளவீட்டு விளைவின் விலகல் இடைவெளியில் உள்ளது [
], நிகழ்தகவு (நம்பகத்தன்மை) 95% - இடைவெளியில் [
] மற்றும் நிகழ்தகவு (நம்பகத்தன்மை) 99.7% - இடைவெளியில் [
].

சராசரி மதிப்பிலிருந்து விலகுவதற்கான ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடைய இடைவெளி நம்பிக்கை எனப்படும்.

உண்மையான சோதனைகளில், பரிமாணங்களின் எண்ணிக்கையானது எல்லையற்ற பெரியதாக இருக்க முடியாது, எனவே அது சாத்தியமில்லை
அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் உண்மையான மதிப்புடன் ஒத்துப்போனது
. இது சம்பந்தமாக, நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படையில், சாத்தியமான விலகலின் அளவை மதிப்பிடுவது முக்கியம்.
இருந்து
.

68% நிகழ்தகவுடன், அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை 20க்கு மேல் இருக்கும் போது கணக்கீடுகள் காட்டுகின்றன
நம்பிக்கை இடைவெளிக்குள் வரும் [
], 95% நிகழ்தகவுடன் – இடைவெளியில் [
], 99.7% நிகழ்தகவுடன் – இடைவெளியில் [
].

அளவு , இது நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகளை வரையறுக்கிறது, இது நிலையான விலகல் அல்லது வெறுமனே நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தரநிலை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

. (7)

சூத்திரம் (6) கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், வெளிப்பாடு (7) பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

. (8)

n பரிமாணங்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருந்தால், X நெருங்குகிறது
. அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை பெரியதாக இல்லாவிட்டால், 15 க்கும் குறைவாக இருந்தால், காஸியன் விநியோகத்திற்குப் பதிலாக, மாணவர் விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது X இன் சாத்தியமான விலகலின் நம்பிக்கை இடைவெளியின் அகலத்தை அதிகரிக்க வழிவகுக்கிறது.
int n, p முறை.

காரணி t n, p மாணவர் குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. P மற்றும் n குறியீடுகள் எந்த நம்பகத்தன்மையுடன் மற்றும் மாணவர் குணகம் எந்த அளவீடுகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட அளவீடுகள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மைக்கான மாணவர் குணகத்தின் மதிப்பு அட்டவணை 1 இன் படி தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

அட்டவணை 1

மாணவர் குணகம்.

எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மை 95% மற்றும் அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை n = 20, மாணவர் குணகம் t 20.95 = 2.1 (நம்பிக்கை இடைவெளி
) அளவீடுகளின் எண்ணிக்கையுடன்n=4, t 4.95 =3.2 (நம்பிக்கை இடைவெளி
) அதாவது, அளவீடுகளின் எண்ணிக்கையை 4 முதல் 20 வரை அதிகரிப்பதன் மூலம், சாத்தியமான விலகல்
fromX 1.524 மடங்கு குறைகிறது.

முழுமையான சீரற்ற பிழையைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ளது

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (2) அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் சராசரி மதிப்பைக் காண்கிறோம்
(உடல் அளவின் பரிமாணத்தைக் குறிப்பிடாமல்)

.

சூத்திரம் (8) ஐப் பயன்படுத்தி நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுகிறோம்

.

மாணவர் குணகம் n=6, மற்றும் P=95%, t 6.95 =2.6 இறுதி முடிவு:

X=20.1±2.6·0.121=20.1±0.315 (P=95% உடன்).

தொடர்புடைய பிழையை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

.

இறுதி அளவீட்டு முடிவை பதிவு செய்யும் போது, ​​​​பிழையில் ஒரே ஒரு குறிப்பிடத்தக்க எண்ணிக்கை (பூஜ்ஜியம் தவிர) மட்டுமே இருக்க வேண்டும் என்பதை மனதில் கொள்ள வேண்டும். இறுதி எண்ணிக்கை 1 ஆக இருந்தால் மட்டுமே பிழையில் இரண்டு குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிவிவரங்கள் பதிவு செய்யப்படுகின்றன. அதிக எண்ணிக்கையிலான குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிவிவரங்களை பதிவு செய்வது பயனற்றது, ஏனெனில் அவை நம்பகமானதாக இருக்காது. அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் சராசரி மதிப்பின் பதிவில், கடைசி இலக்கமானது பிழையின் பதிவில் உள்ள கடைசி இலக்கத்தின் அதே இலக்கத்துடன் இருக்க வேண்டும்.

X=(243±5)·10 2;

X=232.567±0.003.

பல அளவீடுகளை எடுப்பது ஒரே முடிவைக் கொடுக்கலாம். அளவிடும் சாதனத்தின் உணர்திறன் குறைவாக இருந்தால் இது சாத்தியமாகும். குறைந்த உணர்திறன் கொண்ட சாதனம் மூலம் அளவீடு செய்யப்படும் போது, ​​ஒரு அளவீடு போதுமானது. உதாரணமாக, சென்டிமீட்டர் பிரிவுகளுடன் டேப் அளவைக் கொண்டு அட்டவணையின் நீளத்தை மீண்டும் மீண்டும் அளவிடுவதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை. இந்த வழக்கில் அளவீட்டு முடிவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். ஒற்றை அளவீட்டின் போது ஏற்படும் பிழையானது சாதனத்தின் மிகச்சிறிய பிரிவின் மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது கருவி பிழை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பொருள்
பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

, (10)

γ என்பது சாதனத்தின் பிரிவு விலை;

t ∞, p – மாணவர் குணகம் எண்ணற்ற அளவீடுகளுடன் தொடர்புடையது.

கருவி பிழையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மையுடன் முழுமையான பிழை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

, (11)

எங்கே
.

(8) மற்றும் (10) சூத்திரங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, (11) பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

. (12)

இலக்கியத்தில், பதிவைச் சுருக்க, பிழையின் அளவு சில நேரங்களில் குறிப்பிடப்படவில்லை. பிழையின் அளவு கடந்த குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்தில் பாதியாகக் கருதப்படுகிறது. உதாரணமாக, பூமியின் ஆரம் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது
m. இதன் பொருள் பிழையானது ± க்கு சமமான மதிப்பாக எடுக்கப்பட வேண்டும்
மீ.