การแยกตัวประกอบพหุนาม ส่วนที่ 1

การแยกตัวประกอบเป็นเทคนิคสากลที่ช่วยแก้สมการที่ซับซ้อนและอสมการ ความคิดแรกที่ควรจะนึกถึงเมื่อแก้สมการและอสมการโดยที่ศูนย์อยู่ทางด้านขวาคือพยายามแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย

เราแสดงรายการหลัก วิธีแยกตัวประกอบพหุนาม:

• ถอดตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
• การใช้สูตรคูณแบบย่อ
• โดยสูตรการแยกตัวประกอบกำลังสองไตรนาม
• วิธีการจัดกลุ่ม
• การหารพหุนามด้วยทวินาม
• วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

ในบทความนี้เราจะพูดถึงรายละเอียดสามวิธีแรก ส่วนที่เหลือจะกล่าวถึงในบทความต่อไปนี้

1. นำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ

คุณต้องหาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บก่อน ค่าสัมประสิทธิ์ตัวคูณร่วมเท่ากับตัวหารร่วมมากของสัมประสิทธิ์ทั้งหมด

ส่วนจดหมายตัวประกอบร่วมเท่ากับผลคูณของนิพจน์ที่ประกอบขึ้นเป็นแต่ละเทอมด้วยเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุด

โครงร่างสำหรับการแยกปัจจัยทั่วไปออกมามีลักษณะดังนี้:

ความสนใจ!
จำนวนพจน์ในวงเล็บเท่ากับจำนวนพจน์ในนิพจน์เดิม หากเงื่อนไขใดเกิดขึ้นพร้อมกันกับตัวประกอบร่วม เมื่อมันถูกหารด้วยตัวประกอบร่วม เราก็จะได้ตัวประกอบหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1

แยกตัวประกอบพหุนาม:

ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ อันดับแรก เราพบมัน

1. หาตัวหารร่วมมากของสัมประสิทธิ์พหุนามทั้งหมด นั่นคือ ตัวเลข 20, 35 และ 15 เท่ากับ 5

2. เรากำหนดว่าตัวแปรมีอยู่ในทุกพจน์ และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดคือ 2 ตัวแปรนี้มีอยู่ในทุกพจน์ และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดคือ 3

ตัวแปรมีอยู่ในพจน์ที่สองเท่านั้น จึงไม่เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยร่วม

ดังนั้นปัจจัยร่วมคือ

3. เรานำปัจจัยออกโดยใช้รูปแบบด้านบน:

ตัวอย่าง 2แก้สมการ:

สารละลาย. ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการกัน ลองเอาปัจจัยออกจากวงเล็บ:

เราก็ได้สมการ

ตั้งค่าแต่ละปัจจัยให้เท่ากับศูนย์:

เราได้รับ - รูทของสมการแรก

ราก:

คำตอบ: -1, 2, 4

2. การแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ

หากจำนวนพจน์ในพหุนามที่เราจะแยกตัวประกอบมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับสาม เราก็พยายามใช้สูตรคูณแบบย่อ

1. ถ้าพหุนามคือความแตกต่างของสองคำ,แล้วเราลองสมัคร ความแตกต่างของสูตรกำลังสอง:

หรือ สูตรความแตกต่างของลูกบาศก์:

นี่คือตัวอักษร และแสดงถึงตัวเลขหรือนิพจน์พีชคณิต

2. หากพหุนามเป็นผลรวมของสองพจน์ ก็อาจแยกตัวประกอบได้โดยใช้ สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์:

3. หากพหุนามประกอบด้วยสามเทอม เราก็พยายามสมัคร สูตรผลรวมกำลังสอง:

หรือ สูตรกำลังสองต่างกัน:

หรือเราพยายามแยกตัวประกอบโดย สูตรการแยกตัวประกอบกำลังสองไตรนาม:

และนี่คือรากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 3แยกตัวประกอบนิพจน์:

สารละลาย. เรามีผลรวมของสองเทอม ลองใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์ ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นคุณต้องแสดงแต่ละเทอมเป็นลูกบาศก์ของนิพจน์ จากนั้นใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์:

ตัวอย่างที่ 4แยกตัวประกอบนิพจน์:

สารละลาย. ต่อหน้าเราคือความแตกต่างของกำลังสองของสองนิพจน์ นิพจน์แรก: นิพจน์ที่สอง:

ลองใช้สูตรสำหรับความแตกต่างของกำลังสอง:

มาเปิดวงเล็บและให้เงื่อนไขเหมือนกัน เราจะได้:

เครื่องคิดเลขออนไลน์
การเลือกกำลังสองของทวินามและการแยกตัวประกอบของจตุรัสไตรนาม

เหล่านั้น. ปัญหาจะลดลงเพื่อค้นหาตัวเลข \(p, q \) และ \(n, m \)

โปรแกรมไม่เพียงให้คำตอบสำหรับปัญหา แต่ยังแสดงกระบวนการแก้ไข

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบและการสอบ เมื่อทำการทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State สำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนเล่มใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านงานที่ต้องแก้ไขจะเพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการป้อนไตรนามกำลังสอง เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านี้

กฎการป้อนพหุนามกำลังสอง

อักษรละตินใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปรได้
ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) เป็นต้น

สามารถป้อนตัวเลขเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้
ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขเศษส่วนสามารถป้อนได้ไม่เพียงแต่ในรูปของทศนิยม แต่ยังอยู่ในรูปของเศษส่วนธรรมดาด้วย

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ในเศษส่วนทศนิยม ส่วนที่เป็นเศษส่วนจากจำนวนเต็มสามารถคั่นด้วยจุดหรือลูกน้ำก็ได้
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อนทศนิยมดังนี้: 2.5x - 3.5x^2

กฎการป้อนเศษส่วนธรรมดา
เฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นตัวเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วน

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ส่วนจำนวนเต็มแยกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมาย: &
อินพุต: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ผลลัพธ์: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

เมื่อป้อนนิพจน์ คุณสามารถใช้วงเล็บ. ในกรณีนี้ เมื่อแก้ไข นิพจน์ที่แนะนำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน
ตัวอย่างเช่น: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

ตัวอย่างโซลูชันโดยละเอียด

การเลือกกำลังสองของทวินาม$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ ตอบ:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ การแยกตัวประกอบ$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ ตอบ:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจอะไร เข้าทุ่ง.

เกม, ปริศนา, อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

การดึงข้อมูลของทวินามสี่เหลี่ยมจากไตรนามสี่เหลี่ยม

หากขวานตรีโนเมียลกำลังสอง 2 + bx + c แทนด้วย a (x + p) 2 + q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนจริง พวกเขาบอกว่าจาก ไตรนามสี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยมของทวินามถูกเน้น.

ให้เราแยกกำลังสองของทวินามออกจากทริโนเมียล 2x 2 +12x+14

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ในการทำเช่นนี้ เราแทน 6x เป็นผลคูณของ 2 * 3 * x แล้วบวกและลบ 3 2 . เราได้รับ:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

ที่. เรา เลือกกำลังสองของทวินามจากจตุรัสไตรนามและแสดงให้เห็นว่า:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสอง

หากขวานตรีโนเมียลกำลังสอง 2 +bx+c แสดงเป็น a(x+n)(x+m) โดยที่ n และ m เป็นจำนวนจริง การดำเนินการดังกล่าวจะถือว่าดำเนินการ การแยกตัวประกอบของไตรนามกำลังสอง.

ลองใช้ตัวอย่างเพื่อแสดงว่าการแปลงนี้เสร็จสิ้นอย่างไร

ลองแยกตัวประกอบกำลังสอง ไตรโนเมียล 2x 2 +4x-6

ให้เรานำสัมประสิทธิ์ a ออกจากวงเล็บเช่น 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

ลองแปลงนิพจน์ในวงเล็บ
ในการทำเช่นนี้ เราแทน 2x เป็นความแตกต่าง 3x-1x และ -3 เป็น -1*3 เราได้รับ:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

ที่. เรา แยกตัวประกอบกำลังสอง trinomialและแสดงให้เห็นว่า:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

โปรดทราบว่าการแยกตัวประกอบของไตรนามกำลังสองเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อสมการกำลังสองที่สอดคล้องกับไตรนามนี้มีราก
เหล่านั้น. ในกรณีของเรา การแยกตัวประกอบไตรโนเมียล 2x 2 +4x-6 เป็นไปได้ถ้าสมการกำลังสอง 2x 2 +4x-6 =0 มีราก ในกระบวนการแฟคตอริ่ง เราพบว่าสมการ 2x 2 +4x-6 =0 มีสองราก 1 และ -3 เพราะ ด้วยค่าเหล่านี้ สมการ 2(x-1)(x+3)=0 จะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

การแยกตัวประกอบของพหุนามเป็นการแปลงที่เหมือนกัน อันเป็นผลมาจากการที่พหุนามถูกแปลงเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ - พหุนามหรือโมโนเมียล

มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม

วิธีที่ 1 การถ่ายคร่อมปัจจัยร่วม

การแปลงนี้เป็นไปตามกฎการกระจายของการคูณ: ac + bc = c(a + b) สาระสำคัญของการเปลี่ยนแปลงคือการแยกแยะปัจจัยร่วมในองค์ประกอบทั้งสองภายใต้การพิจารณาและ "นำมันออกจาก" วงเล็บ

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม 28x 3 - 35x 4

สารละลาย.

1. เราพบตัวหารร่วมสำหรับองค์ประกอบ 28x3 และ 35x4 สำหรับ 28 และ 35 มันจะเป็น 7; สำหรับ x 3 และ x 4 - x 3 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประกอบร่วมของเราคือ 7x3

2. เราเป็นตัวแทนของแต่ละองค์ประกอบเป็นผลผลิตจากปัจจัย อย่างใดอย่างหนึ่ง
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x

3. การถ่ายคร่อมปัจจัยร่วม
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x)

วิธีที่ 2. การใช้สูตรคูณแบบย่อ "ความเชี่ยวชาญ" ของการเรียนรู้วิธีนี้คือการสังเกตในนิพจน์หนึ่งในสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม x 6 - 1

สารละลาย.

1. เราสามารถนำผลต่างของสูตรกำลังสองมาใช้กับนิพจน์นี้ได้ ในการทำเช่นนี้ เราแสดง x 6 เป็น (x 3) 2 และ 1 เป็น 1 2 เช่น 1. นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1)

2. สำหรับนิพจน์ผลลัพธ์ เราสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ได้:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1)

ดังนั้น,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

วิธีที่ 3. การจัดกลุ่ม วิธีการจัดกลุ่มประกอบด้วยการรวมองค์ประกอบของพหุนามในลักษณะที่ง่ายต่อการดำเนินการกับพหุนาม (การบวก การลบ การนำปัจจัยร่วมออก)

เราแยกตัวประกอบพหุนาม x 3 - 3x 2 + 5x - 15

สารละลาย.

1. จัดกลุ่มองค์ประกอบในลักษณะนี้: ที่ 1 กับที่ 2 และที่ 3 กับ 4
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15)

2. ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ: x 2 ในกรณีแรกและ 5 ในวงเล็บที่สอง
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3)

3. เรานำปัจจัยร่วม x - 3 ออกมาแล้วได้:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5)

ดังนั้น,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

มาแก้ไขวัสดุกัน

แยกตัวประกอบพหุนาม a 2 - 7ab + 12b 2

สารละลาย.

1. เราเป็นตัวแทนของโมโนเมียล 7ab เป็นผลรวม 3ab + 4ab นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:
2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

มาเปิดวงเล็บและรับ:
2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. จัดกลุ่มองค์ประกอบของพหุนามดังนี้: ที่ 1 กับ 2 และ 3 กับ 4 เราได้รับ:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. ลองเอาปัจจัยทั่วไปออก:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b)

4. ลองเอาปัจจัยร่วม (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b)

ดังนั้น,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b)

blog.site ที่คัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

แนวคิดของ "พหุนาม" และ "การแยกตัวประกอบของพหุนาม" ในพีชคณิตเป็นเรื่องธรรมดามาก เพราะคุณจำเป็นต้องรู้ก่อนจึงจะคำนวณได้ง่ายด้วยตัวเลขที่มีหลายค่าจำนวนมาก บทความนี้จะอธิบายวิธีการย่อยสลายหลายวิธี ทั้งหมดนี้ค่อนข้างใช้งานง่าย คุณเพียงแค่ต้องเลือกอันที่ถูกต้องในแต่ละกรณี

แนวคิดของพหุนาม

พหุนามเป็นผลรวมของโมโนเมียล กล่าวคือ นิพจน์ที่มีเฉพาะการดำเนินการคูณ

ตัวอย่างเช่น 2 * x * y เป็นโมโนเมียล แต่ 2 * x * y + 25 เป็นพหุนามซึ่งประกอบด้วยโมโนเมียล 2 ตัว: 2 * x * y และ 25 พหุนามดังกล่าวเรียกว่าทวินาม

บางครั้ง เพื่อความสะดวกในการแก้ตัวอย่างที่มีค่าหลายค่า นิพจน์ต้องถูกแปลง เช่น แยกออกเป็นปัจจัยจำนวนหนึ่ง กล่าวคือ ตัวเลขหรือนิพจน์ระหว่างการดำเนินการคูณ มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม มันคุ้มค่าที่จะพิจารณาพวกเขาโดยเริ่มจากดั้งเดิมที่สุดซึ่งใช้แม้ในชั้นเรียนหลัก

การจัดกลุ่ม (รายการทั่วไป)

สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นตัวประกอบโดยวิธีการจัดกลุ่มโดยทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

ac + bd + bc + โฆษณา = (ac + bc) + (ad + bd)

จำเป็นต้องจัดกลุ่มโมโนเมียลเพื่อให้ปัจจัยร่วมปรากฏในแต่ละกลุ่ม ในวงเล็บแรก นี่คือตัวประกอบ c และในวงเล็บที่สอง - d จะต้องดำเนินการนี้เพื่อนำออกจากวงเล็บ ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

อัลกอริธึมการสลายตัวในตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นตัวประกอบโดยใช้วิธีการจัดกลุ่มแสดงไว้ด้านล่าง:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

ในวงเล็บแรก คุณต้องใช้เงื่อนไขที่มีตัวประกอบ a ซึ่งจะเป็นเรื่องปกติ และในวงเล็บที่สอง - กับตัวประกอบ b ให้ความสนใจกับเครื่องหมาย + และ - ในนิพจน์ที่เสร็จสิ้น เราใส่เครื่องหมายที่อยู่ในนิพจน์เริ่มต้นก่อนโมโนเมียล นั่นคือ คุณต้องไม่ใช้นิพจน์ 25a แต่ใช้กับนิพจน์ -25 เครื่องหมายลบตามที่เป็นอยู่นั้น "ติด" กับนิพจน์เบื้องหลังและนำมาพิจารณาในการคำนวณเสมอ

ในขั้นตอนต่อไป คุณต้องนำปัจจัยที่เป็นเรื่องปกติออกจากวงเล็บ นั่นคือสิ่งที่การจัดกลุ่มสำหรับ การเอามันออกจากวงเล็บหมายถึงการเขียนก่อนวงเล็บเหลี่ยม (ไม่ใส่เครื่องหมายคูณ) ปัจจัยทั้งหมดที่ซ้ำกันในทุกเงื่อนไขที่อยู่ในวงเล็บ หากไม่มีคำศัพท์ 2 แต่ 3 คำขึ้นไปในวงเล็บ ต้องมีปัจจัยร่วมอยู่ในแต่ละคำ มิฉะนั้น จะไม่สามารถนำออกจากวงเล็บเหลี่ยมได้

ในกรณีของเรามีเพียง 2 คำในวงเล็บเท่านั้น ตัวคูณโดยรวมจะมองเห็นได้ทันที วงเล็บแรกคือ a วงเล็บที่สองคือ b ที่นี่คุณต้องใส่ใจกับค่าสัมประสิทธิ์ดิจิทัล ในวงเล็บเหลี่ยมแรก สัมประสิทธิ์ทั้งสอง (10 และ 25) เป็นทวีคูณของ 5 ซึ่งหมายความว่าไม่เพียงแต่ a เท่านั้น แต่ยังสามารถใส่ 5a ลงในวงเล็บได้ ก่อนวงเล็บเหลี่ยม ให้เขียน 5a แล้วแบ่งแต่ละพจน์ในวงเล็บด้วยตัวประกอบร่วมที่นำออกมา และเขียนผลหารในวงเล็บด้วย อย่าลืมเครื่องหมาย + และ - ทำเช่นเดียวกันกับวงเล็บเหลี่ยมที่สอง , นำ 7b ออกตั้งแต่ 14 และ 35 ทวีคูณของ 7

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5)

มันเปิดออก 2 เทอม: 5a (2c - 5) และ 7b (2c - 5) แต่ละรายการมีปัจจัยร่วม (นิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บนี้เหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าเป็นปัจจัยร่วม): 2c - 5. นอกจากนี้ยังต้องนำออกจากวงเล็บเหลี่ยม กล่าวคือ คำศัพท์ 5a และ 7b ยังคงอยู่ในวงเล็บที่สอง:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)

ดังนั้นนิพจน์เต็มคือ:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b)

ดังนั้น พหุนาม 10ac + 14bc - 25a - 35b จึงถูกแบ่งออกเป็น 2 ตัวประกอบ: (2c - 5) และ (5a + 7b) เครื่องหมายคูณระหว่างกันสามารถละเว้นได้เมื่อเขียน

บางครั้งมีนิพจน์ประเภทนี้: 5a 2 + 50a 3 ที่นี่คุณสามารถใส่วงเล็บไม่เฉพาะ a หรือ 5a แต่แม้กระทั่ง 5a 2 คุณควรพยายามแยกตัวประกอบร่วมที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ออกจากวงเล็บเสมอ ในกรณีของเรา หากเราหารแต่ละเทอมด้วยตัวประกอบร่วม เราจะได้:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(เมื่อคำนวณผลหารของกำลังหลาย ๆ ตัวที่มีฐานเท่ากัน ฐานจะถูกรักษาไว้ และเลขชี้กำลังจะถูกลบ) ดังนั้น หนึ่งยังคงอยู่ในวงเล็บเหลี่ยม (ไม่ว่าในกรณีใด อย่าลืมเขียนหนึ่งคำหากคุณนำเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งออกจากวงเล็บทั้งหมด) และผลหารของการหาร: 10a ปรากฎว่า:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

สูตรสี่เหลี่ยม

เพื่อความสะดวกในการคำนวณ จึงมีการนำสูตรต่างๆ มาใช้ พวกเขาจะเรียกว่าสูตรคูณลดลงและใช้ค่อนข้างบ่อย สูตรเหล่านี้ช่วยแยกตัวประกอบพหุนามที่มีกำลัง นี่เป็นอีกวิธีที่มีประสิทธิภาพในการแยกตัวประกอบ ดังนั้นนี่คือ:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -สูตรที่เรียกว่า "กำลังสองของผลรวม" เนื่องจากผลของการขยายเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสจะใช้ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในวงเล็บนั่นคือมูลค่าของผลรวมนี้คูณด้วยตัวมันเอง 2 ครั้งซึ่ง หมายความว่ามันเป็นตัวคูณ
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - สูตรกำลังสองของผลต่างก็คล้ายกับสูตรก่อนหน้า ผลที่ได้คือความแตกต่างที่อยู่ในวงเล็บ ซึ่งอยู่ในกำลังสอง
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- นี่คือสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง เนื่องจากในตอนแรกพหุนามประกอบด้วยตัวเลขหรือนิพจน์ 2 ช่องระหว่างการลบ มันอาจจะใช้กันมากที่สุดในสาม

ตัวอย่างการคำนวณตามสูตรกำลังสอง

การคำนวณนั้นทำได้ค่อนข้างง่าย ตัวอย่างเช่น:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - ใช้สูตร "กำลังสองของผลรวม"
2. 25x 2 คือกำลังสองของ 5x 20xy เป็นสองเท่าของผลคูณของ 2*(5x*2y) และ 4y 2 คือกำลังสองของ 2y
3. ดังนั้น 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y)พหุนามนี้แบ่งออกเป็น 2 ตัวประกอบ (ตัวประกอบเหมือนกัน ดังนั้นจึงเขียนเป็นนิพจน์ที่มีกำลังสอง)

การดำเนินการตามสูตรของกำลังสองของผลต่างจะดำเนินการในลักษณะนี้ สิ่งที่เหลืออยู่คือความแตกต่างของสูตรกำลังสอง ตัวอย่างสำหรับสูตรนี้ง่ายต่อการระบุและค้นหาจากนิพจน์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20) ตั้งแต่ 25a 2 \u003d (5a) 2 และ 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y) ตั้งแต่ 36x 2 \u003d (6x) 2 และ 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b) ตั้งแต่ 169b 2 = (13b) 2

เป็นสิ่งสำคัญที่แต่ละเทอมจะต้องเป็นกำลังสองของนิพจน์ จากนั้นพหุนามนี้จะแยกตัวประกอบด้วยผลต่างของสูตรกำลังสอง สำหรับสิ่งนี้ ไม่จำเป็นว่ากำลังสองจะสูงกว่าจำนวน มีพหุนามที่มีกำลังมาก แต่ก็ยังเหมาะสำหรับสูตรเหล่านี้

8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

ในตัวอย่างนี้ 8 สามารถแสดงเป็น (a 4) 2 นั่นคือกำลังสองของนิพจน์บางอย่าง 25 คือ 5 2 และ 10a คือ 4 - นี่คือผลคูณของเทอม 2*a 4 *5 นั่นคือนิพจน์นี้แม้ว่าจะมีองศาที่มีเลขชี้กำลังขนาดใหญ่ แต่ก็สามารถแบ่งออกเป็น 2 ปัจจัยเพื่อใช้งานในภายหลัง

สูตรลูกบาศก์

มีสูตรเดียวกันสำหรับพหุนามแฟคตอริ่งที่มีลูกบาศก์ พวกมันซับซ้อนกว่าสี่เหลี่ยมเล็กน้อย:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- สูตรนี้เรียกว่าผลรวมของลูกบาศก์ เนื่องจากในรูปแบบเริ่มต้น พหุนามคือผลรวมของนิพจน์สองนิพจน์หรือตัวเลขที่อยู่ในลูกบาศก์
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) -สูตรที่เหมือนกันกับสูตรก่อนหน้านี้จะแสดงเป็นความแตกต่างของลูกบาศก์
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - ผลรวมคิวบ์จากการคำนวณ จะได้ผลรวมของตัวเลขหรือนิพจน์ อยู่ในวงเล็บและคูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง นั่นคือ อยู่ในคิวบ์
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -สูตรที่รวบรวมโดยการเปรียบเทียบกับสูตรก่อนหน้าที่มีการเปลี่ยนแปลงในเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพียงบางส่วน (บวกและลบ) เรียกว่า "ลูกบาศก์ความแตกต่าง"

ในทางปฏิบัติแล้ว สูตรสองสูตรสุดท้ายนี้ไม่ได้นำมาใช้เพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม เนื่องจากพวกมันซับซ้อน และหายากมากที่จะพบพหุนามที่สอดคล้องกับโครงสร้างดังกล่าวโดยสมบูรณ์ เพื่อให้สามารถย่อยสลายตามสูตรเหล่านี้ได้ แต่คุณยังจำเป็นต้องรู้สิ่งเหล่านี้เนื่องจากจะต้องดำเนินการในทิศทางตรงกันข้าม - เมื่อเปิดวงเล็บ

ตัวอย่างสูตรลูกบาศก์

พิจารณาตัวอย่าง: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

เราได้นำจำนวนเฉพาะมาไว้ตรงนี้แล้ว ดังนั้นคุณจะเห็นได้ทันทีว่า 64a 3 คือ (4a) 3 และ 8b 3 คือ (2b) 3 ดังนั้นพหุนามนี้จึงถูกขยายโดยผลต่างของสูตรของลูกบาศก์ออกเป็น 2 ตัวประกอบ การดำเนินการกับสูตรของผลรวมของลูกบาศก์จะดำเนินการโดยการเปรียบเทียบ

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าพหุนามบางตัวไม่สามารถย่อยสลายได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งเป็นอย่างน้อย แต่มีนิพจน์ดังกล่าวที่มีพลังมากกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือลูกบาศก์ แต่พวกมันยังสามารถขยายไปสู่รูปแบบการคูณแบบย่อได้ ตัวอย่างเช่น x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2)

ตัวอย่างนี้มีมากถึง 12 องศา แต่ก็สามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้สูตรผลรวมลูกบาศก์ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแทน x 12 เป็น (x 4) 3 นั่นคือลูกบาศก์ของนิพจน์บางตัว ตอนนี้ แทนที่ a คุณต้องแทนที่มันในสูตร นิพจน์ 125y 3 คือลูกบาศก์ของ 5y ขั้นตอนต่อไปคือการเขียนสูตรและทำการคำนวณ

ในตอนแรกหรือเมื่อไม่แน่ใจ คุณสามารถตรวจสอบได้เสมอด้วยการคูณผกผัน คุณเพียงแค่ต้องเปิดวงเล็บในนิพจน์ผลลัพธ์และดำเนินการกับคำที่คล้ายคลึงกัน วิธีนี้ใช้กับวิธีการลดที่ระบุไว้ทั้งหมด: ทั้งในการดำเนินการกับปัจจัยร่วมและการจัดกลุ่ม และการดำเนินการกับสูตรของลูกบาศก์และกำลังสอง

ในบทนี้ เราจะระลึกถึงวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามที่ศึกษาก่อนหน้านี้ทั้งหมด และพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ นอกจากนี้ เราจะศึกษาวิธีการใหม่ - วิธีกำลังสองเต็มและเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ

หัวข้อ:การแยกตัวประกอบพหุนาม

บทเรียน:การแยกตัวประกอบของพหุนาม วิธีการเลือกตารางเต็ม การผสมผสานของวิธีการ

จำวิธีการหลักในการแยกตัวประกอบพหุนามที่ศึกษาก่อนหน้านี้:

วิธีการเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ นั่นคือปัจจัยที่มีอยู่ในสมาชิกทั้งหมดในพหุนาม พิจารณาตัวอย่าง:

จำไว้ว่าโมโนเมียลเป็นผลคูณของกำลังและตัวเลข ในตัวอย่างของเรา สมาชิกทั้งสองมีองค์ประกอบที่เหมือนกันและเหมือนกัน

ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

;

จำไว้ว่าการคูณตัวคูณที่แสดงผลด้วยวงเล็บ คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการเรนเดอร์ได้

วิธีการจัดกลุ่ม เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะแยกตัวประกอบร่วมในพหุนามออก ในกรณีนี้ คุณต้องแบ่งสมาชิกออกเป็นกลุ่มเพื่อให้ในแต่ละกลุ่มคุณสามารถแยกปัจจัยร่วมและพยายามแยกออกเพื่อที่ว่าหลังจากแยกปัจจัยในกลุ่มออก ปัจจัยร่วมจะปรากฏขึ้นสำหรับ การแสดงออกทั้งหมดและการขยายตัวสามารถดำเนินต่อไปได้ พิจารณาตัวอย่าง:

จัดกลุ่มเทอมแรกด้วยเทอมที่สี่ เทอมที่สองกับเทอมที่ห้า และเทอมที่สามกับเทอมที่หก ตามลำดับ:

มาดูปัจจัยทั่วไปในกลุ่มกัน:

นิพจน์มีปัจจัยร่วม เอามันออกไป:

การประยุกต์สูตรคูณแบบย่อ พิจารณาตัวอย่าง:

;

ลองเขียนนิพจน์โดยละเอียด:

เห็นได้ชัดว่า เรามีสูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างอยู่ก่อนเรา เนื่องจากมีผลรวมของกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์และผลคูณของสองของนิพจน์จะถูกลบออก ลองหมุนตามสูตร:

วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีอื่น - วิธีการเลือกตารางเต็ม มันขึ้นอยู่กับสูตรของกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของส่วนต่าง จำได้ว่า:

สูตรกำลังสองของผลรวม (ผลต่าง);

ลักษณะเฉพาะของสูตรเหล่านี้คือประกอบด้วยกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์และผลคูณของพวกมัน พิจารณาตัวอย่าง:

มาเขียนนิพจน์กัน:

ดังนั้นนิพจน์แรกคือ และนิพจน์ที่สอง

ในการสร้างสูตรกำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง ผลคูณของนิพจน์ไม่เพียงพอ จำเป็นต้องเพิ่มและลบ:

ลองยุบกำลังสองของผลรวมทั้งหมด:

ลองแปลงนิพจน์ผลลัพธ์:

เราใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง จำไว้ว่าผลต่างของกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์เป็นผลคูณและผลรวมตามผลต่าง:

ดังนั้น วิธีนี้ประกอบด้วย ประการแรก จำเป็นต้องระบุนิพจน์ a และ b ที่ยกกำลังสอง นั่นคือ เพื่อพิจารณาว่านิพจน์ใดจะถูกยกกำลังสองในตัวอย่างนี้ หลังจากนั้น คุณต้องตรวจสอบการมีอยู่ของผลิตภัณฑ์คู่ และหากไม่มีอยู่ ให้บวกและลบออก ซึ่งจะไม่เปลี่ยนความหมายของตัวอย่าง แต่พหุนามสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรสำหรับกำลังสอง ของผลรวมหรือส่วนต่างและส่วนต่างของกำลังสอง ถ้าเป็นไปได้

มาดูการแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1 - แยกตัวประกอบ:

ค้นหานิพจน์ที่เป็นกำลังสอง:

ลองเขียนว่าผลิตภัณฑ์คู่ควรเป็นอย่างไร:

มาบวกและลบผลิตภัณฑ์คู่กัน:

ยุบผลรวมกำลังสองเต็มแล้วให้ค่าที่คล้ายกัน:

เราจะเขียนตามสูตรความแตกต่างของกำลังสอง:

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:

;

มีไตรนามอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ คุณต้องแยกตัวประกอบมันออกมา เราใช้สูตรของกำลังสองของส่วนต่าง:

เรามีกำลังสองของนิพจน์แรกและผลคูณสองเท่า ไม่มีกำลังสองของนิพจน์ที่สอง มาบวกและลบกัน:

ให้เรายุบสี่เหลี่ยมเต็มและให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน:

ลองใช้ความแตกต่างของสูตรกำลังสอง:

เราก็จะได้สมการ

เรารู้ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ จากนี้เราจะเขียนสมการ:

มาแก้สมการแรกกัน:

มาแก้สมการที่สองกัน:

คำตอบ: หรือ

;

เราดำเนินการคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ - เลือกกำลังสองของผลต่าง