คุณรู้วิธีใดในการพิจารณาความน่าจะเป็น อายุการใช้งานเป็นตัวแปรสุ่ม

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตามความเป็นจริงหรือในจินตนาการของเราแบ่งได้เป็น 3 กลุ่ม เหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือซึ่งจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้และเหตุการณ์สุ่ม ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาเหตุการณ์สุ่มเช่น เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น บทความนี้จะนำเสนอใน แบบสั้น สูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นและตัวอย่างการแก้ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งจะอยู่ในภารกิจที่ 4 ของการสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ระดับโปรไฟล์)

เหตุใดจึงต้องใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น

ในอดีตความจำเป็นในการศึกษาปัญหาเหล่านี้เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพัฒนาและความเป็นมืออาชีพของการพนันและการเกิดขึ้นของคาสิโน นี่เป็นปรากฏการณ์จริงที่ต้องมีการศึกษาค้นคว้า

การเล่นไพ่การเล่นลูกเต๋าชนิดหนึ่งรูเล็ตได้สร้างสถานการณ์ขึ้นเมื่อเหตุการณ์ใด ๆ ที่เป็นไปได้ที่มีจำนวน จำกัด เท่ากันอาจเกิดขึ้นได้ ความจำเป็นที่เกิดขึ้นเพื่อให้ประมาณการเชิงตัวเลขของความเป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง

ในศตวรรษที่ XX เป็นที่ชัดเจนว่าวิทยาศาสตร์ที่ดูเหมือนไร้สาระนี้มีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจกระบวนการพื้นฐานที่เกิดขึ้นในพิภพพิภพ ถูกสร้าง ทฤษฎีสมัยใหม่ ความน่าจะเป็น

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

เป้าหมายของการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์และความน่าจะเป็น หากเหตุการณ์มีความซับซ้อนก็สามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบง่ายๆความน่าจะเป็นที่หาได้ง่าย

ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นพร้อมกัน

ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B

เหตุการณ์ A และ B เรียกว่าไม่สอดคล้องกันหากไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในเวลาเดียวกัน

เหตุการณ์ A เรียกว่าเป็นไปไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เหตุการณ์ดังกล่าวระบุด้วยสัญลักษณ์

เหตุการณ์ A เรียกว่าน่าเชื่อถือหากจำเป็นต้องเกิดขึ้น เหตุการณ์ดังกล่าวระบุด้วยสัญลักษณ์

ให้แต่ละเหตุการณ์ A กำหนดหมายเลข P (A) หมายเลข P (A) นี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากมีการปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับการติดต่อนี้

กรณีพิเศษที่สำคัญคือสถานการณ์เมื่อมีผลลัพธ์เบื้องต้นที่สามารถปรับเปลี่ยนได้และผลลัพธ์เหล่านี้จะก่อตัวเป็นเหตุการณ์ A โดยพลการในกรณีนี้ความน่าจะเป็นสามารถป้อนได้โดยใช้สูตร ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก สามารถพิสูจน์ได้ว่าในกรณีนี้คุณสมบัติ 1-4 เป็นที่พอใจ

ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งพบในข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก งานดังกล่าวสามารถทำได้ง่ายมาก ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นง่ายมาก ตัวเลือกการสาธิต... ง่ายต่อการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่ดีจำนวนของผลลัพธ์ทั้งหมดถูกเขียนไว้ในเงื่อนไข

เราได้รับคำตอบตามสูตร

ตัวอย่างปัญหาจากการสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็น

มีพาย 20 ชิ้นบนโต๊ะ - มีกะหล่ำปลี 5 อัน, แอปเปิ้ล 7 ลูกและกับข้าว 8 อย่าง มารีน่าต้องการพาย ความเป็นไปได้ที่เธอจะเอาพายข้าวเป็นอย่างไร?

การตัดสินใจ.

มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่สามารถทำได้ทั้งหมด 20 รายการกล่าวคือ Marina สามารถรับพายได้ 20 ชนิด แต่เราต้องประมาณความเป็นไปได้ที่มาริน่าจะพายกับข้าวนั่นคือโดยที่ A เป็นตัวเลือกของพายพร้อมข้าว ดังนั้นเราจึงมีจำนวนผลลัพธ์ที่ดี (การเลือกพายกับข้าว) เท่านั้น 8 จากนั้นความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดโดยสูตร:

เหตุการณ์ที่เป็นอิสระตรงข้ามและโดยพลการ

อย่างไรก็ตามใน เปิดธนาคาร งานเริ่มตอบสนองและงานที่ซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นให้เราดึงความสนใจของผู้อ่านไปยังประเด็นอื่น ๆ ที่ศึกษาในทฤษฎีความน่าจะเป็น

เหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่

เหตุการณ์ B หมายความว่าเหตุการณ์ A ไม่ได้เกิดขึ้นนั่นคือ เหตุการณ์ B ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามเท่ากับหนึ่งลบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยตรงนั่นคือ ...

ทฤษฎีบทการบวกและการคูณสำหรับความน่าจะเป็นสูตร

สำหรับเหตุการณ์โดยพลการ A และ B ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นโดยไม่มีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมนั่นคือ ...

สำหรับเหตุการณ์อิสระ A และ B ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นนั่นคือ ในกรณีนี้ .

2 ประโยคสุดท้ายเรียกว่าทฤษฎีบทของการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น

การนับจำนวนผลลัพธ์ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ในบางกรณีจำเป็นต้องใช้สูตรผสม ในกรณีนี้สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการนับจำนวนเหตุการณ์ที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ บางครั้งการคำนวณแบบนี้อาจกลายเป็นงานอิสระ

นักเรียน 6 คนสามารถนั่ง 6 ที่นั่งว่างได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกจะได้ที่นั่ง 6 ที่นั่ง แต่ละตัวเลือกเหล่านี้สอดคล้องกับ 5 วิธีในการเข้ามาแทนที่นักเรียนคนที่สอง สำหรับนักเรียนคนที่สามมีที่ว่าง 4 ที่สำหรับคนที่สี่ - 3 สำหรับคนที่ห้า - 2 คนที่หกจะเข้าที่ที่เหลือเพียงแห่งเดียว หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมดคุณต้องหาผลิตภัณฑ์ซึ่งระบุด้วยสัญลักษณ์ 6! และอ่านว่า "six factorial"

ในกรณีทั่วไปคำตอบสำหรับคำถามนี้จะได้รับจากสูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n ในกรณีของเรา

ลองพิจารณาอีกกรณีหนึ่งกับนักเรียนของเรา นักเรียน 2 คนสามารถนั่ง 6 ที่นั่งว่างได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกจะได้ที่นั่ง 6 ที่นั่ง แต่ละตัวเลือกเหล่านี้สอดคล้องกับ 5 วิธีในการเข้ามาแทนที่นักเรียนคนที่สอง หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมดคุณต้องหาผลิตภัณฑ์

ในกรณีทั่วไปคำตอบสำหรับคำถามนี้จะได้รับจากสูตรสำหรับจำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ n สำหรับองค์ประกอบ k

ในกรณีของเรา

และ กรณีสุดท้าย จากซีรีส์นี้ นักเรียนสามคนจาก 6 คนมีกี่วิธี? นักเรียนคนแรกสามารถเลือกได้ 6 วิธีคนที่สองใน 5 วิธีคนที่สามในสี่ แต่ในบรรดาตัวเลือกเหล่านี้นักเรียนสามคนเดียวกันพบ 6 ครั้ง ในการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมดคุณต้องคำนวณค่า:. โดยทั่วไปคำตอบสำหรับคำถามนี้จะได้รับจากสูตรสำหรับจำนวนการรวมกันขององค์ประกอบตามองค์ประกอบ:

ในกรณีของเรา

ตัวอย่างการแก้ปัญหาจากข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็น

ปัญหา 1. จากคอลเลกชัน ed. Yashchenko

มีพาย 30 ชิ้นในจาน: 3 ชิ้นพร้อมเนื้อ 18 ชิ้นพร้อมกะหล่ำปลีและ 9 ชิ้นพร้อมเชอร์รี่ Sasha เลือกหนึ่งพายแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาลงเอยด้วยเชอร์รี่

.

คำตอบ: 0.3.

ปัญหา 2. จากคอลเลกชัน ed. Yashchenko

หลอดไฟ 1,000 หลอดแต่ละชุดมีหลอดไฟที่ชำรุดโดยเฉลี่ย 20 หลอด ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟแบบสุ่มจากชุดงานจะใช้งานได้

วิธีแก้ไข: จำนวนหลอดไฟที่ใช้งานได้คือ 1,000-20 \u003d 980 จากนั้นความน่าจะเป็นที่หลอดไฟที่สุ่มมาจากแบทช์จะสามารถให้บริการได้:

คำตอบ: 0.98

ความน่าจะเป็นที่นักเรียน U. จะแก้ปัญหามากกว่า 9 ข้อในแบบทดสอบคณิตศาสตร์ได้อย่างถูกต้องคือ 0.67 ความน่าจะเป็นที่ U. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 8 ปัญหาคือ 0.73 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ U จะแก้ปัญหา 9 ข้อได้ถูกต้อง

ถ้าเราจินตนาการถึงเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายจุด 8 และ 9 ไว้บนนั้นเราจะเห็นว่าเงื่อนไข“ Y. จะแก้ปัญหา 9 ข้อได้อย่างถูกต้อง "รวมอยู่ในเงื่อนไข" W. จะแก้ปัญหามากกว่า 8 ข้อได้อย่างถูกต้อง "แต่ใช้ไม่ได้กับเงื่อนไข" W. จะแก้ปัญหาได้ถูกต้องมากกว่า 9 ข้อ”

อย่างไรก็ตามสภาพ“ ว. จะแก้ปัญหาได้มากกว่า 9 ข้ออย่างถูกต้อง "อยู่ในเงื่อนไข" ว. จะแก้ปัญหาได้ถูกต้องมากกว่า 8 ข้อ”. ดังนั้นหากเรากำหนดเหตุการณ์:“ W. จะแก้ปัญหา 9 ข้อได้อย่างถูกต้อง "- ถึง A," Y. จะแก้ปัญหาได้มากกว่า 8 ปัญหาอย่างถูกต้อง "- ถึง B," U. จะแก้ปัญหาได้มากกว่า 9 ปัญหาอย่างถูกต้อง "ถึง C โซลูชันนั้นจะมีลักษณะดังนี้:

คำตอบ: 0.06

ในการสอบเรขาคณิตนักเรียนจะตอบคำถามหนึ่งข้อจากรายการคำถามในการสอบ ความน่าจะเป็นที่นี่คือคำถามตรีโกณมิติคือ 0.2 ความน่าจะเป็นที่นี่คือคำถามมุมมองภายนอกคือ 0.15 ไม่มีคำถามที่เกี่ยวข้องกับสองหัวข้อนี้พร้อมกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคำถามหนึ่งในสองหัวข้อนี้ในการสอบ

ลองคิดดูว่าเรามีเหตุการณ์แบบไหน เราได้รับสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ นั่นคือคำถามจะเกี่ยวข้องกับหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" หรือกับหัวข้อ "มุมภายนอก" ตามทฤษฎีบทความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์เราต้องหาผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้นั่นคือ:

คำตอบ: 0.35

ห้องสว่างไสวด้วยโคมไฟสามดวง ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟหนึ่งดวงจะดับในหนึ่งปีเท่ากับ 0.29 ค้นหาความเป็นไปได้ที่หลอดไฟอย่างน้อยหนึ่งหลอดจะไม่ไหม้ภายในหนึ่งปี

ลองพิจารณาเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ เรามีหลอดไฟสามหลอดซึ่งแต่ละหลอดอาจไหม้หรือไม่เป็นอิสระจากหลอดไฟอื่น ๆ สิ่งเหล่านี้เป็นเหตุการณ์อิสระ

จากนั้นเราจะระบุตัวเลือกสำหรับเหตุการณ์ดังกล่าว ลองสังเกต: - ไฟติด - ไฟดับ และถัดจากนั้นเราคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ 3 เหตุการณ์“ หลอดไฟหมด”“ หลอดไฟติด”“ หลอดไฟเปิดอยู่” เกิดขึ้น: ...

โปรดทราบว่ามีเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันเพียง 7 เหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยต่อเราความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์:

คำตอบ: 0.975608

คุณสามารถเห็นปัญหาอื่น ๆ ในภาพ:

ดังนั้นคุณและฉันเข้าใจว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นของสูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คุณสามารถพบได้ในเวอร์ชันของข้อสอบคืออะไร

ไม่น่าเป็นไปได้ที่หลายคนคิดว่าจะสามารถคำนวณเหตุการณ์ที่สุ่มได้มากหรือน้อย แสดงออก ในคำง่ายๆเป็นเรื่องจริงหรือไม่ที่จะรู้ว่าครั้งต่อไปจะกลิ้งตายด้านไหน คำถามนี้ถูกถามโดยนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่สองคนที่วางรากฐานสำหรับวิทยาศาสตร์เช่นทฤษฎีความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง

การเริ่มต้น

หากคุณพยายามกำหนดแนวคิดดังกล่าวเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็นคุณจะได้รับสิ่งต่อไปนี้: นี่เป็นหนึ่งในสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาความคงที่ของเหตุการณ์สุ่ม แน่นอน, แนวคิดนี้ ไม่เปิดเผยประเด็นทั้งหมดอย่างแท้จริงดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม

ฉันต้องการเริ่มต้นด้วยผู้สร้างทฤษฎี ดังที่ได้กล่าวมาแล้วมีสองคนนี้และพวกเขาเป็นคนแรก ๆ ที่พยายามคำนวณผลลัพธ์ของเหตุการณ์โดยใช้สูตรและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ โดยรวมพื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้ปรากฏในยุคกลาง ในเวลานั้นนักคิดและนักวิชาการต่างๆพยายามวิเคราะห์ การพนันเช่นเทปวัดลูกเต๋าและอื่น ๆ จึงกำหนดรูปแบบและเปอร์เซ็นต์ของการเกิดจำนวนเฉพาะ รากฐานดังกล่าวถูกวางไว้ในศตวรรษที่สิบเจ็ดโดยนักวิทยาศาสตร์ดังกล่าว

ในตอนแรกผลงานของพวกเขาไม่สามารถนำมาประกอบกับความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ในด้านนี้ได้เนื่องจากทุกสิ่งที่พวกเขาทำนั้นเป็นเพียงข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์เท่านั้นและการทดลองถูกสร้างขึ้นด้วยสายตาโดยไม่ต้องใช้สูตร เมื่อเวลาผ่านไปมันกลายเป็นผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมซึ่งเป็นผลมาจากการสังเกตการขว้างปาของกระดูก เป็นเครื่องมือนี้ที่ช่วยให้ได้มาซึ่งสูตรแรกที่เข้าใจได้

คนที่มีใจเดียวกัน

ไม่มีใครพลาดที่จะกล่าวถึงบุคคลเช่น Christian Huygens ในกระบวนการศึกษาหัวข้อที่เรียกว่า "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นครอบคลุมอยู่ในศาสตร์นี้) คนนี้น่าสนใจมาก เขาพยายามที่จะสรุปความสม่ำเสมอของเหตุการณ์สุ่มในรูปแบบของสูตรทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับนักวิทยาศาสตร์ เป็นที่น่าสังเกตว่าเขาไม่ได้ทำสิ่งนี้ร่วมกับปาสคาลและแฟร์มาต์นั่นคือผลงานทั้งหมดของเขาไม่ได้ตัดกันกับจิตใจเหล่านี้ Huygens นำมา

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจก็คือผลงานของเขาออกมานานก่อนผลงานของผู้ค้นพบหรือก่อนหน้านั้นยี่สิบปี ในบรรดาแนวคิดที่กำหนดมีชื่อเสียงที่สุด ได้แก่ :

• แนวคิดของความน่าจะเป็นเป็นขนาดของโอกาส
• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกรณีที่ไม่ต่อเนื่อง
• ทฤษฎีบทของการคูณและการบวกความน่าจะเป็น

นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่จำว่าใครมีส่วนสำคัญในการศึกษาปัญหานี้ ทำการทดสอบโดยอิสระของเขาเองเขาสามารถแสดงหลักฐานทางกฎหมายได้ จำนวนมาก... ในทางกลับกันนักวิทยาศาสตร์ปัวซองและลาปลาซซึ่งทำงานในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้าก็สามารถพิสูจน์ทฤษฎีดั้งเดิมได้ จากช่วงเวลานี้เองที่เริ่มมีการใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดในการสังเกตการณ์ นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียหรือ Markov, Chebyshev และ Dyapunov ก็ไม่สามารถเข้าใจวิทยาศาสตร์นี้ได้เช่นกัน พวกเขาอาศัยผลงานของอัจฉริยะผู้ยิ่งใหญ่ได้รวมวิชานี้เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ตัวเลขเหล่านี้ใช้งานได้แล้วในตอนท้ายของศตวรรษที่สิบเก้าและด้วยการมีส่วนร่วมของพวกเขาปรากฏการณ์ดังกล่าวได้รับการพิสูจน์ว่า:

• กฎหมายจำนวนมาก
• ทฤษฎีโซ่มาร์คอฟ;
• ทฤษฎีบทข้อ จำกัด กลาง

ดังนั้นด้วยประวัติศาสตร์การกำเนิดของวิทยาศาสตร์และบุคคลหลักที่มีอิทธิพลต่อสิ่งนี้ทุกอย่างจึงชัดเจนไม่มากก็น้อย ตอนนี้เป็นเวลาที่จะสรุปข้อเท็จจริงทั้งหมด

แนวคิดพื้นฐาน

ก่อนที่จะสัมผัสกับกฎหมายและทฤษฎีคุณควรศึกษาแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น เหตุการณ์นี้มีบทบาทนำในนั้น หัวข้อนี้ ค่อนข้างใหญ่โต แต่ถ้าไม่มีมันจะไม่สามารถเข้าใจทุกสิ่งทุกอย่างได้

เหตุการณ์ในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือชุดของผลลัพธ์ของการทดลอง มีแนวคิดเกี่ยวกับปรากฏการณ์นี้ไม่มากนัก ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์ Lotman ที่ทำงานในพื้นที่นี้กล่าวว่าในกรณีนี้ มันมา เกี่ยวกับสิ่งที่ "เกิดขึ้นแม้ว่ามันอาจจะไม่เกิดขึ้นก็ตาม"

เหตุการณ์สุ่ม (ทฤษฎีความน่าจะเป็นให้ ความสนใจเป็นพิเศษ) เป็นแนวคิดที่บ่งบอกถึงปรากฏการณ์ใด ๆ ที่มีความสามารถที่จะเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน หรือในทางกลับกันสถานการณ์นี้อาจไม่เกิดขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขหลายประการ นอกจากนี้ยังควรค่าแก่การรู้ว่าเป็นเหตุการณ์สุ่มที่จับภาพปรากฏการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นบ่งชี้ว่าเงื่อนไขทั้งหมดสามารถทำซ้ำได้ตลอดเวลา เป็นการกระทำของพวกเขาที่เรียกว่า "การทดลอง" หรือ "การทดสอบ"

เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือคือเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นหนึ่งร้อยเปอร์เซ็นต์ในการทดสอบหนึ่ง ๆ ดังนั้นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือเหตุการณ์ที่จะไม่เกิดขึ้น

การรวมคู่ของการกระทำ (ตามเงื่อนไขกรณี A และกรณี B) เป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน พวกเขาเรียกว่า AB

ผลรวมของคู่ของเหตุการณ์ A และ B คือ C กล่าวอีกนัยหนึ่งคือถ้าอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น (A หรือ B) มันจะกลายเป็น C สูตรสำหรับปรากฏการณ์ที่อธิบายไว้เขียนไว้ดังนี้: C \u003d A + ข.

เหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันในทฤษฎีความน่าจะเป็นหมายความว่าสองกรณีเป็นกรณีพิเศษซึ่งกันและกัน พวกเขาไม่สามารถเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน เหตุการณ์ร่วมในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือแอนติบอดีของพวกเขา นี่ก็หมายความว่าถ้า A เกิดขึ้นก็ไม่ยุ่งกับ B

เหตุการณ์ตรงข้าม (ทฤษฎีความน่าจะเป็นพิจารณาโดยละเอียด) นั้นเข้าใจง่าย วิธีที่ดีที่สุดในการจัดการกับพวกเขาคือการเปรียบเทียบ มันเหมือนกับเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันในทฤษฎีความน่าจะเป็น แต่ความแตกต่างของพวกเขาอยู่ที่ความจริงที่ว่าหนึ่งในหลาย ๆ ปรากฏการณ์จะต้องเกิดขึ้นไม่ว่าในกรณีใด ๆ

เหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่เท่าเทียมกันคือการกระทำเหล่านั้นความสามารถในการทำซ้ำซึ่งเท่ากัน เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นคุณสามารถจินตนาการถึงการโยนเหรียญ: การตกของด้านใดด้านหนึ่งมีแนวโน้มที่จะตกอีกด้านเท่า ๆ กัน

งานมงคลดูง่ายกว่าด้วยตัวอย่าง สมมติว่ามีตอน B และตอน A อย่างแรกคือการทอยลูกเต๋าที่มีลักษณะเป็นเลขคี่และตอนที่สองคือการปรากฏตัวของเลขห้าบนหน้าตาย แล้วปรากฎว่า A โปรดปราน B

เหตุการณ์อิสระในทฤษฎีความน่าจะเป็นถูกคาดการณ์ไว้ในสองกรณีขึ้นไปเท่านั้นและบ่งบอกถึงความเป็นอิสระของการกระทำจากอีกกรณีหนึ่ง ตัวอย่างเช่น A คือก้อยเมื่อพลิกเหรียญและ B กำลังรับแจ็คจากเด็ค เป็นเหตุการณ์อิสระในทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อครู่นี้มันชัดเจนขึ้น

เหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นยอมรับได้สำหรับฉากของมันเท่านั้น พวกเขาบ่งบอกถึงการพึ่งพาอาศัยกันและกันนั่นคือปรากฏการณ์ B สามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ A เกิดขึ้นแล้วหรือในทางกลับกันไม่ได้เกิดขึ้นเมื่อนี่เป็นเงื่อนไขหลักสำหรับ B

ผลของการทดลองสุ่มที่มีองค์ประกอบเดียวคือเหตุการณ์เบื้องต้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นอธิบายว่านี่เป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว

สูตรพื้นฐาน

ดังนั้นแนวคิด "เหตุการณ์" "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" จึงได้รับการพิจารณาข้างต้นจึงให้คำจำกัดความของเงื่อนไขพื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้ด้วย ตอนนี้เป็นเวลาทำความคุ้นเคยกับสูตรที่สำคัญโดยตรง นิพจน์เหล่านี้ยืนยันแนวคิดหลักทั้งหมดในเรื่องที่ซับซ้อนเช่นทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ก็มีบทบาทอย่างมากเช่นกัน

ดีกว่าที่จะเริ่มต้นด้วยคนหลักและก่อนที่จะดำเนินการกับพวกเขาควรพิจารณาว่าพวกเขาคืออะไร

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์เป็นหลักโดยเกี่ยวข้องกับการศึกษาจำนวนเต็มจำนวนมากตลอดจนการเรียงสับเปลี่ยนต่างๆของทั้งตัวเลขและองค์ประกอบข้อมูลต่างๆ ฯลฯ ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของชุดค่าผสมต่างๆ นอกเหนือจากทฤษฎีความน่าจะเป็นอุตสาหกรรมนี้ยังมีความสำคัญสำหรับสถิติวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเข้ารหัส

ดังนั้นตอนนี้คุณสามารถดำเนินการนำเสนอสูตรเองและคำจำกัดความได้

อย่างแรกจะเป็นนิพจน์สำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนซึ่งมีลักษณะดังนี้:

P_n \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

สมการจะใช้เฉพาะในกรณีที่องค์ประกอบต่างกันตามลำดับการจัดเรียงเท่านั้น

ตอนนี้เราจะพิจารณาสูตรตำแหน่งซึ่งมีลักษณะดังนี้:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (น - ม)!

นิพจน์นี้ใช้ได้ไม่เพียง แต่กับลำดับที่วางองค์ประกอบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงองค์ประกอบด้วย

สมการที่สามจากชุดค่าผสมและเป็นค่าสุดท้ายเรียกว่าสูตรสำหรับจำนวนชุดค่าผสม:

C_n ^ m \u003d น! : ((น - ม))! : ม!

การรวมกันหมายถึงการเลือกที่ไม่ได้เรียงลำดับตามลำดับและกฎนี้ใช้กับการเลือกเหล่านั้น

มันกลายเป็นเรื่องง่ายที่จะหาสูตรของ Combinatorics ตอนนี้คุณสามารถไปที่นิยามแบบคลาสสิกของความน่าจะเป็นได้ นิพจน์นี้มีลักษณะดังนี้:

ในสูตรนี้ m คือจำนวนเงื่อนไขที่เหมาะกับเหตุการณ์ A และ n คือจำนวนของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และผลลัพธ์เบื้องต้นเท่า ๆ กัน

มีอยู่ จำนวนมาก นิพจน์บทความจะไม่พิจารณาทั้งหมด แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดจะถูกสัมผัสเช่นความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - ทฤษฎีบทนี้มีไว้สำหรับการเพิ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เท่านั้น

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) - และนี่คือการเพิ่มเฉพาะที่เข้ากันได้

ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์:

P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B) - ทฤษฎีบทนี้มีไว้สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ

(P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (A∣B)) - และขึ้นอยู่กับ

สูตรเหตุการณ์จะสิ้นสุดรายการ ความน่าจะเป็นบอกเราเกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Bayes ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

P (H_m∣A) \u003d (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m \u003d 1, ... , n

ในสูตรนี้ H 1, H 2, ... , H n คือ กลุ่มเต็ม สมมติฐาน

ตัวอย่างของ

หากคุณศึกษาวิชาคณิตศาสตร์อย่างรอบคอบจะไม่สมบูรณ์หากไม่มีแบบฝึกหัดและตัวอย่างเฉลย ทฤษฎีความน่าจะเป็นก็เช่นกัน: เหตุการณ์ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นส่วนประกอบสำคัญที่ยืนยันการคำนวณทางวิทยาศาสตร์

สูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน

สมมติว่ามีไพ่สามสิบใบในสำรับไพ่เริ่มต้นด้วยมูลค่าหน้าหนึ่ง คำถามต่อไป. มีกี่วิธีในการวางสำรับเพื่อไม่ให้ไพ่ที่มีนิกายหนึ่งและสองอยู่เคียงข้างกัน?

ตั้งค่างานแล้วตอนนี้ไปแก้กัน ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของสามสิบองค์ประกอบสำหรับสิ่งนี้เราใช้สูตรข้างต้นเราจะได้ P_30 \u003d 30!

จากกฎนี้เราจะพบว่ามีตัวเลือกมากมายในการพับเด็คในรูปแบบต่างๆ แต่เราจำเป็นต้องลบออกจากการ์ดที่มีไพ่ใบแรกและใบที่สองอยู่ติดกัน โดยเริ่มจากตัวเลือกเมื่อตัวเลือกแรกอยู่เหนือตัวเลือกที่สอง ปรากฎว่าไพ่ใบแรกสามารถรับได้ยี่สิบเก้าที่ - จากใบที่หนึ่งถึงยี่สิบเก้าและไพ่ใบที่สองจากใบที่สองถึงสามสิบจะกลายเป็นเพียงยี่สิบเก้าที่สำหรับไพ่คู่ ในทางกลับกันส่วนที่เหลือสามารถรับได้ยี่สิบแปดที่นั่งและไม่มีลำดับใดเป็นพิเศษ นั่นคือสำหรับการเปลี่ยนไพ่ยี่สิบแปดใบมียี่สิบแปดตัวเลือก P_28 \u003d 28!

ผลปรากฎว่าหากเราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาเมื่อไพ่ใบแรกอยู่เหนือไพ่ใบที่สองจะมีโอกาสพิเศษ 29 ⋅ 28! \u003d 29!

ด้วยวิธีการเดียวกันคุณจะต้องคำนวณจำนวนตัวเลือกที่ซ้ำซ้อนสำหรับกรณีที่การ์ดใบแรกอยู่ต่ำกว่าใบที่สอง ปรากฎว่า 29 ⋅ 28 ด้วย! \u003d 29!

จากนี้มีตัวเลือกพิเศษ 2 ⋅ 29 ตัวเลือก! ในขณะที่มี 30 วิธีที่จำเป็นในการสร้างเด็ค! - 2 นาที 29! ยังคงเป็นเพียงการนับ

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

ตอนนี้คุณต้องคูณตัวเลขทั้งหมดจากหนึ่งถึงยี่สิบเก้าจากนั้นในตอนท้ายให้คูณทุกอย่างด้วย 28 คำตอบคือ 2.4757335 ⋅〖 10 〗 ^ 32

ตัวอย่างโซลูชัน สูตรสำหรับหมายเลขตำแหน่ง

ในงานนี้คุณต้องหาวิธีที่จะวางหนังสือสิบห้าเล่มบนชั้นวางได้กี่วิธี แต่ต้องมีเงื่อนไขว่ามีทั้งหมดสามสิบเล่ม

ในปัญหานี้วิธีแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าข้อก่อนหน้าเล็กน้อย การใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้วจำเป็นต้องคำนวณจำนวนสถานที่ทั้งหมดจากสามสิบเล่มจากสิบห้า

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 \u003d 202 843 204 931 727 360000

คำตอบตามลำดับจะเท่ากับ 202 843 204 931 727 360000

ตอนนี้เรามาแก้ปัญหาให้หนักกว่าเดิม มีความจำเป็นที่จะต้องค้นหาว่ามีกี่วิธีในการจัดเรียงหนังสือสามสิบเล่มบนชั้นวางหนังสือสองชั้นโดยมีเพียงสิบห้าเล่มเท่านั้น

ก่อนที่จะเริ่มการแก้ปัญหาฉันขอชี้แจงว่าปัญหาบางอย่างได้รับการแก้ไขในหลายวิธีและในหนึ่งนี้มีสองวิธี แต่จะใช้ทั้งสองสูตรเดียวกัน

ในปัญหานี้คุณสามารถหาคำตอบจากข้อก่อนหน้าได้เนื่องจากเราคำนวณจำนวนครั้งที่คุณสามารถเติมหนังสือสิบห้าเล่มในชั้นวางได้หลายวิธี ปรากฎว่า A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16

ชั้นที่สองคำนวณโดยใช้สูตรการเรียงลำดับเนื่องจากสามารถวางหนังสือได้สิบห้าเล่มในขณะที่มีทั้งหมด 15 เล่ม เราใช้สูตร P_15 \u003d 15!

ปรากฎว่าผลรวมจะเป็น A_30 ^ 15 ⋅ P_15 วิธี แต่นอกจากนี้ผลคูณของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่สามสิบถึงสิบหกจะต้องคูณด้วยผลคูณของตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงสิบห้าด้วยเหตุนี้ผลคูณจึง ของตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่หนึ่งถึงสามสิบนั่นคือคำตอบคือ 30!

แต่ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น - ง่ายกว่า ในการทำเช่นนี้คุณสามารถจินตนาการได้ว่ามีชั้นวางหนังสือหนึ่งชั้นสำหรับหนังสือสามสิบเล่ม ทั้งหมดวางอยู่บนระนาบนี้ แต่เนื่องจากเงื่อนไขกำหนดให้มีชั้นวางสองชั้นเราจึงตัดครึ่งยาวออกหนึ่งชั้นกลายเป็นสองถึงสิบห้า จากนี้ปรากฎว่าตัวเลือกตำแหน่งสามารถเป็น P_30 \u003d 30!

ตัวอย่างโซลูชัน สูตรสำหรับเลขผสม

ตอนนี้เราจะพิจารณาตัวแปรของปัญหาที่สามจาก combinatorics คุณต้องหาวิธีในการจัดเรียงหนังสือสิบห้าเล่มโดยมีเงื่อนไขว่าคุณต้องเลือกเหมือนกันทั้งหมดสามสิบเล่ม

แน่นอนสำหรับวิธีแก้ปัญหาจะใช้สูตรสำหรับจำนวนชุดค่าผสม จากเงื่อนไขจะเห็นได้ชัดว่าลำดับของหนังสือสิบห้าเล่มเดียวกันนั้นไม่สำคัญ ดังนั้นในตอนแรกคุณต้องหาจำนวนรวมของหนังสือสามสิบเล่มจากสิบห้าเล่ม

ค _30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : 15! \u003d 155117 520

นั่นคือทั้งหมด ใช้สูตรนี้ใน เวลาที่สั้นที่สุด จัดการเพื่อแก้ปัญหาดังกล่าวคำตอบตามลำดับคือ 155 117 520

ตัวอย่างโซลูชัน นิยามคลาสสิกของความน่าจะเป็น

เมื่อใช้สูตรข้างต้นคุณจะพบคำตอบในโจทย์ง่ายๆ แต่จะช่วยในการมองเห็นและติดตามวิถีการดำเนินการ

ในปัญหานั้นมีลูกบอลที่เหมือนกันอย่างแน่นอนสิบลูกในโกศ ในจำนวนนี้มีสี่สีเหลืองและหกเป็นสีน้ำเงิน ลูกบอลหนึ่งลูกถูกนำมาจากโกศ คุณต้องหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดสีน้ำเงิน

ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องกำหนดการเข้าถึง ลูกบอลสีฟ้า เหตุการณ์ A. ประสบการณ์นี้อาจมีผลลัพธ์สิบประการซึ่งในทางกลับกันก็เป็นพื้นฐานและเป็นไปได้เท่าเทียมกัน ในเวลาเดียวกันหกในสิบเหมาะสำหรับเหตุการณ์ A เราตัดสินใจโดยใช้สูตร:

P (A) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

เมื่อใช้สูตรนี้เราได้เรียนรู้ว่าความสามารถในการเข้าถึงลูกบอลสีฟ้าคือ 0.6

ตัวอย่างโซลูชัน ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์

ตอนนี้จะมีการนำเสนอตัวแปรซึ่งแก้ไขได้โดยใช้สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ ดังนั้นในเงื่อนไขที่ระบุว่ามีสองกล่องกล่องแรกมีลูกบอลสีเทาหนึ่งลูกและสีขาวห้าลูกและกล่องที่สองมีลูกบอลสีเทาแปดลูกและสีขาวสี่ลูก เป็นผลให้หนึ่งในนั้นถูกนำมาจากกล่องแรกและกล่องที่สอง คุณต้องหาโอกาสที่ลูกบอลที่คุณได้รับจะเป็นสีเทาและสีขาว

ในการแก้ปัญหานี้จำเป็นต้องกำหนดเหตุการณ์

• ดังนั้น A - หยิบลูกบอลสีเทาจากช่องแรก: P (A) \u003d 1/6
• A '- พวกเขาหยิบลูกบอลสีขาวจากช่องแรกด้วย: P (A ") \u003d 5/6
• B - ลูกบอลสีเทาถูกลบออกจากช่องที่สอง: P (B) \u003d 2/3
• B '- หยิบลูกบอลสีเทาจากช่องที่สอง: P (B ") \u003d 1/3

ตามเงื่อนไขของปัญหาจำเป็นที่จะต้องเกิดปรากฏการณ์อย่างใดอย่างหนึ่ง: AB 'หรือ AB เมื่อใช้สูตรเราจะได้: P (AB ") \u003d 1/18, P (A" B) \u003d 10/18

ขณะนี้มีการใช้สูตรสำหรับการคูณความน่าจะเป็นแล้ว นอกจากนี้ในการหาคำตอบคุณต้องใช้สมการของการบวก:

P \u003d P (AB "+ A" B) \u003d P (AB ") + P (A" B) \u003d 11/18

นี่คือวิธีการใช้สูตรคุณสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกันได้

ผล

บทความนี้ให้ข้อมูลในหัวข้อ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เล่น บทบาทสำคัญ... แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกสิ่งที่ถูกนำมาพิจารณา แต่จากข้อความที่นำเสนอคุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ส่วนนี้ได้ในทางทฤษฎี ศาสตร์ที่เป็นปัญหานั้นมีประโยชน์ไม่เพียง แต่ในธุรกิจมืออาชีพเท่านั้น แต่ยังรวมถึง ชีวิตประจำวัน... ด้วยความช่วยเหลือคุณสามารถคำนวณความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ใด ๆ

ข้อความยังสัมผัส วันสำคัญ ในประวัติศาสตร์ของการก่อตัวของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นวิทยาศาสตร์และชื่อของบุคคลที่มีการลงทุนในผลงาน นี่คือวิธีที่ความอยากรู้อยากเห็นของมนุษย์ทำให้ผู้คนเรียนรู้วิธีการคำนวณแม้กระทั่งเหตุการณ์สุ่ม เมื่อพวกเขาสนใจ แต่วันนี้ทุกคนก็รู้แล้ว และไม่มีใครจะบอกว่าสิ่งที่รอเราอยู่ในอนาคตจะมีการค้นพบที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีที่กำลังพิจารณาอยู่ แต่สิ่งหนึ่งที่แน่นอนคือการวิจัยไม่หยุดนิ่ง!

หลายคนต้องเผชิญกับแนวคิด "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เริ่มกลัวคิดว่านี่เป็นสิ่งที่ซับซ้อนและซับซ้อนมาก แต่จริงๆแล้วทุกอย่างไม่ได้น่าเศร้า วันนี้เราจะพิจารณาแนวคิดพื้นฐานและเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

วิทยาศาสตร์

สาขาคณิตศาสตร์เช่น "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เรียนอะไร? เธอจดบันทึกรูปแบบและปริมาณ เป็นครั้งแรกที่นักวิทยาศาสตร์ให้ความสนใจในประเด็นนี้ในศตวรรษที่สิบแปดเมื่อพวกเขาศึกษาการพนัน แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์ นี่คือข้อเท็จจริงใด ๆ ที่ยืนยันได้จากประสบการณ์หรือการสังเกต แต่ประสบการณ์คืออะไร? อีกแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น หมายความว่าสถานการณ์นี้ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นโดยบังเอิญ แต่เพื่อจุดประสงค์เฉพาะ สำหรับการสังเกตที่นี่ผู้วิจัยเองไม่ได้มีส่วนร่วมในการทดลอง แต่เพียงแค่เป็นพยานเหตุการณ์เหล่านี้เขาไม่ได้ส่งผลต่อสิ่งที่เกิดขึ้น

เหตุการณ์

เราได้เรียนรู้ว่าแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์ แต่เราไม่ได้พิจารณาการจำแนกประเภท ทั้งหมดอยู่ในหมวดหมู่ต่อไปนี้:

• น่าเชื่อถือ.
• เป็นไปไม่ได้
• สุ่ม

ไม่ว่าเหตุการณ์แบบใดจะถูกสังเกตหรือสร้างขึ้นในระหว่างการทดลองพวกเขาทั้งหมดอยู่ภายใต้การจัดประเภทนี้ เราขอเชิญชวนให้คุณทำความคุ้นเคยกับแต่ละประเภทแยกกัน

เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือ

นี่เป็นสถานการณ์ดังกล่าวซึ่งด้านหน้ามีการใช้มาตรการที่จำเป็น เพื่อให้เข้าใจสาระสำคัญได้ดีขึ้นควรยกตัวอย่างบางส่วน ฟิสิกส์เคมีเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ขั้นสูงอยู่ภายใต้กฎหมายนี้ ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีดังต่อไปนี้ แนวคิดที่สำคัญเป็นเหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือ นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

• เราทำงานและได้รับค่าตอบแทนในรูปของค่าจ้าง
• เราผ่านการสอบอย่างดีผ่านการแข่งขันสำหรับสิ่งนี้เราได้รับรางวัลในรูปแบบของการรับเข้าศึกษา สถาบันการศึกษา.
• เราได้นำเงินไปลงทุนในธนาคารหากจำเป็นเราจะได้รับคืน

เหตุการณ์ดังกล่าวน่าเชื่อถือ หากเราปฏิบัติตามเงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดแล้วเราจะได้รับผลลัพธ์ที่คาดหวังอย่างแน่นอน

เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

ตอนนี้เรากำลังดูองค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็น เราขอเสนอให้ไปยังคำอธิบายของเหตุการณ์ประเภทต่อไปนั่นคือสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ ก่อนอื่นขอพูดมากที่สุด กฎสำคัญ - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์

เราไม่สามารถเบี่ยงเบนไปจากถ้อยคำนี้ได้เมื่อแก้ปัญหา เพื่อความกระจ่างนี่คือตัวอย่างของเหตุการณ์ดังกล่าว:

• น้ำจะแข็งตัวที่อุณหภูมิบวกสิบ (เป็นไปไม่ได้)
• การขาดไฟฟ้าไม่ส่งผลกระทบต่อการผลิต แต่อย่างใด (เช่นเดียวกับที่เป็นไปไม่ได้เหมือนในตัวอย่างก่อนหน้านี้)

ไม่ควรยกตัวอย่างเพิ่มเติมเนื่องจากคำอธิบายข้างต้นสะท้อนถึงสาระสำคัญของหมวดหมู่นี้อย่างชัดเจน เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้จะไม่เกิดขึ้นในระหว่างประสบการณ์ไม่ว่าในสถานการณ์ใด ๆ

เหตุการณ์สุ่ม

การศึกษาองค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็นควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับเหตุการณ์ประเภทนี้โดยเฉพาะ เป็นพวกที่เขาศึกษา ให้วิทยาศาสตร์... ผลจากประสบการณ์บางอย่างสามารถเกิดขึ้นได้หรือไม่ นอกจากนี้การทดสอบสามารถทำได้ไม่ จำกัด จำนวนครั้ง ตัวอย่างที่โดดเด่น สามารถให้บริการ:

• การโยนเหรียญเป็นประสบการณ์หรือการทดสอบการล้มหัวเป็นเหตุการณ์
• การดึงลูกบอลออกจากถุงสุ่มสี่สุ่มห้าเป็นการทดสอบลูกบอลสีแดงถูกจับ - นี่คือเหตุการณ์และอื่น ๆ

ตัวอย่างดังกล่าวสามารถมีได้ไม่ จำกัด จำนวน แต่โดยทั่วไปสาระสำคัญควรมีความชัดเจน เพื่อสรุปและจัดระบบความรู้ที่ได้รับเกี่ยวกับเหตุการณ์จะได้รับตาราง ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาเฉพาะสิ่งมีชีวิตสุดท้ายของทั้งหมดที่นำเสนอ

กฎหมาย

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นศาสตร์ที่ศึกษาถึงความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เช่นเดียวกับคนอื่น ๆ มันมีกฎบางอย่าง มีอยู่ ตามกฎหมาย ทฤษฎีความน่าจะเป็น:

• การรวมกันของลำดับของตัวแปรสุ่ม
• กฎหมายจำนวนมาก

เมื่อคำนวณความเป็นไปได้ของคอมเพล็กซ์คุณสามารถใช้ชุดเหตุการณ์ง่ายๆเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ด้วยวิธีที่ง่ายและเร็วขึ้น สังเกตว่ากฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นพิสูจน์ได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบางอย่าง เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎหมายข้อแรกก่อน

การรวมกันของลำดับของตัวแปรสุ่ม

โปรดทราบว่าการลู่เข้ามีหลายประเภท:

• ลำดับของตัวแปรสุ่มจะมาบรรจบกันในความน่าจะเป็น
• แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย
• รูท - ค่าเฉลี่ย - กำลังสองคอนเวอร์เจนซ์
• การบรรจบกันของการกระจาย

ดังนั้นในทันทีจึงเป็นเรื่องยากมากที่จะเข้าใจสาระสำคัญ นี่คือคำจำกัดความที่จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อนี้ อันดับแรกมุมมองแรก ลำดับที่เรียกว่า มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: n มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนที่ลำดับมีแนวโน้มมากกว่าศูนย์และใกล้เคียงกับหนึ่ง

ย้ายไปที่ ชนิดต่อไปนี้, เกือบจะแน่นอน... ลำดับกล่าวว่ามาบรรจบกัน เกือบจะแน่นอน ไปยังตัวแปรสุ่มเนื่องจาก n มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดและ P มีแนวโน้มที่จะมีค่าใกล้เคียงกับเอกภาพ

ประเภทต่อไปคือ การบรรจบกันของ rms... เมื่อใช้คอนเวอร์เจนซ์ SC การศึกษากระบวนการสุ่มเวกเตอร์จะลดลงเป็นการศึกษากระบวนการสุ่มพิกัด

ประเภทสุดท้ายยังคงอยู่เรามาวิเคราะห์สั้น ๆ เพื่อดำเนินการแก้ไขปัญหาโดยตรง คอนเวอร์เจนซ์ในการกระจายมีอีกชื่อหนึ่ง - "อ่อนแอ" ด้านล่างเราจะอธิบายว่าทำไม การบรรจบกันที่อ่อนแอ คือการบรรจบกันของฟังก์ชันการกระจายที่ทุกจุดของความต่อเนื่องของฟังก์ชันการกระจายแบบ จำกัด

เราจะรักษาสัญญาของเราอย่างแน่นอน: คอนเวอร์เจนซ์ที่อ่อนแอแตกต่างจากที่กล่าวมาทั้งหมดตรงที่ตัวแปรสุ่มไม่ได้กำหนดไว้บนพื้นที่ความน่าจะเป็น เป็นไปได้เนื่องจากเงื่อนไขถูกสร้างขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันการกระจายเท่านั้น

กฎหมายจำนวนมาก

ทฤษฎีบทของทฤษฎีความน่าจะเป็นจะเป็นตัวช่วยที่ดีเยี่ยมในการพิสูจน์กฎหมายนี้เช่น:

• ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev
• ทฤษฎีบทของ Chebyshev
• ทฤษฎีบททั่วไปของ Chebyshev
• ทฤษฎีบทของ Markov

หากเราพิจารณาทฤษฎีบทเหล่านี้ทั้งหมดคำถามนี้สามารถลากไปได้หลายสิบหน้า ภารกิจหลักของเราคือการนำทฤษฎีความน่าจะเป็นไปใช้ในทางปฏิบัติ เราขอเชิญคุณทำสิ่งนี้ตอนนี้ แต่ก่อนหน้านั้นให้พิจารณาสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งจะเป็นตัวช่วยหลักในการแก้ปัญหา

สัจพจน์

เราได้พบคนแรกแล้วเมื่อเราพูดถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ จำไว้ว่า: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ เราให้ตัวอย่างที่สดใสและน่าจดจำมากหิมะตกที่อุณหภูมิอากาศ 30 องศาเซลเซียส

ประการที่สองมีดังนี้เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้เกิดขึ้นโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง ตอนนี้เราจะแสดงวิธีการเขียนโดยใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์: P (B) \u003d 1

ประการที่สาม: เหตุการณ์สุ่มอาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ แต่ความเป็นไปได้จะแตกต่างกันไปจากศูนย์ถึงหนึ่งเสมอ กว่า ความหมายที่ใกล้ชิดยิ่งขึ้น ต่อหนึ่งโอกาสก็ยิ่งมากขึ้น ถ้าค่าเข้าใกล้ศูนย์ความน่าจะเป็นจะน้อยมาก มาเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์: 0<Р(С)<1.

พิจารณาสัจพจน์สุดท้ายประการที่สี่ซึ่งมีลักษณะดังนี้: ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น เราเขียนด้วยภาษาทางคณิตศาสตร์: P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

สัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นกฎที่ง่ายที่สุดที่จะจำได้ไม่ยาก มาลองแก้ปัญหากันบ้างโดยอาศัยความรู้ที่ได้รับมา

สลากกินแบ่งรัฐบาล

เริ่มจากตัวอย่างที่ง่ายที่สุด - ลอตเตอรี ลองนึกภาพคุณซื้อสลากใบเดียวเพื่อความโชคดี ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะอย่างน้อยยี่สิบรูเบิลคืออะไร? โดยรวมแล้วตั๋วหนึ่งพันใบเข้าร่วมในการวาดภาพหนึ่งในนั้นมีรางวัลห้าร้อยรูเบิลสิบสำหรับหนึ่งร้อยรูเบิลห้าสิบสำหรับยี่สิบรูเบิลและหนึ่งร้อยสำหรับห้า ปัญหาความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับการค้นหาโอกาสในการเสี่ยงโชค ตอนนี้เราจะร่วมกันวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของงานที่นำเสนอข้างต้น

หากเราแสดงว่าชนะห้าร้อยรูเบิลด้วยตัวอักษร A ความน่าจะเป็นที่จะได้รับ A จะเป็น 0.001 เราได้รับมันมาได้อย่างไร? คุณเพียงแค่ต้องหารจำนวนตั๋ว "lucky" ด้วยจำนวนทั้งหมด (ในกรณีนี้คือ 1/1000)

B คือการชนะหนึ่งร้อยรูเบิลความน่าจะเป็นคือ 0.01 ตอนนี้เราทำตามหลักการเดียวกันกับการกระทำก่อนหน้านี้ (10/1000)

С - เงินที่ได้มาจะเท่ากับยี่สิบรูเบิล เราพบว่าความน่าจะเป็นมันเท่ากับ 0.05

ตั๋วที่เหลือไม่เป็นที่สนใจของเราเนื่องจากเงินรางวัลของพวกเขาน้อยกว่าที่ระบุไว้ในเงื่อนไข ลองใช้สัจพจน์ที่สี่: ความน่าจะเป็นที่จะชนะอย่างน้อยยี่สิบรูเบิลคือ P (A) + P (B) + P (C) ตัวอักษร P หมายถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เราได้พบแล้วในการกระทำก่อนหน้านี้ ยังคงเป็นเพียงการเพิ่มข้อมูลที่จำเป็นในคำตอบที่เราได้รับ 0.061 หมายเลขนี้จะเป็นคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับงาน

สำรับไพ่

ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นอาจมีความซับซ้อนมากขึ้นตัวอย่างเช่นเรามาทำงานต่อไปนี้ นี่คือสำรับไพ่สามสิบหกใบ งานของคุณคือการจั่วไพ่สองใบติดต่อกันโดยไม่ต้องผสมกองไพ่ใบแรกและใบที่สองจะต้องเป็นเอซชุดนั้นไม่สำคัญ

ก่อนอื่นเรามาหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบแรกจะเป็นเอซซึ่งเราหารสี่ด้วยสามสิบหก พวกเขาวางไว้ข้างๆ เรานำไพ่ใบที่สองออกมามันจะเป็นเอซที่มีความน่าจะเป็นสามสามสิบห้า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองขึ้นอยู่กับไพ่ที่เราจั่วก่อนเราสงสัยว่ามันเป็นเอซหรือไม่ ตามมาจากเหตุการณ์นี้ว่าเหตุการณ์ B ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ A

ขั้นตอนต่อไปคือการค้นหาความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นพร้อมกันนั่นคือเราคูณ A และ B พบผลคูณของพวกเขาดังนี้: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งคูณด้วยความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่งซึ่งเราคำนวณโดยสมมติว่าเหตุการณ์แรก เหตุการณ์เกิดขึ้นนั่นคือเราวาดเอซด้วยไพ่ใบแรก

เพื่อให้ทุกอย่างชัดเจนเราจะกำหนดองค์ประกอบเช่นเหตุการณ์ คำนวณโดยสมมติว่ามีเหตุการณ์ A เกิดขึ้น คำนวณได้ดังนี้ P (B / A).

มาแก้ปัญหาของเรากันต่อ: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) หรือ P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B) ความน่าจะเป็นคือ (4/36) * ((3/35) / (4/36) คำนวณปัดเศษเป็นร้อยที่ใกล้ที่สุดเรามี: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09 ความน่าจะเป็น เราจะวาดเอซสองตัวติดกันเท่ากับเก้าในร้อยค่านั้นน้อยมากซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์นั้นน้อยมาก

ลืมหมายเลข

เราเสนอให้วิเคราะห์ตัวเลือกเพิ่มเติมสำหรับงานที่ใช้ทฤษฎีการศึกษาความน่าจะเป็น คุณได้เห็นตัวอย่างการแก้ปัญหาบางส่วนในบทความนี้แล้วเรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้เด็กชายลืมหมายเลขโทรศัพท์ของเพื่อนตัวสุดท้าย แต่เนื่องจากการโทรมีความสำคัญมากเขาจึงเริ่มหมุนทุกอย่าง เราจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาจะโทรไม่เกินสามครั้ง วิธีแก้ปัญหาจะง่ายที่สุดหากรู้จักกฎเกณฑ์กฎหมายและสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ก่อนที่จะดูวิธีแก้ปัญหาให้ลองแก้ด้วยตัวเอง เรารู้ว่าตัวเลขสุดท้ายอาจมีค่าตั้งแต่ศูนย์ถึงเก้านั่นคือมีเพียงสิบค่าเท่านั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้สิ่งที่ต้องการคือ 1/10

ต่อไปเราต้องพิจารณาตัวเลือกสำหรับที่มาของเหตุการณ์สมมติว่าเด็กชายเดาถูกและพิมพ์สิ่งที่ต้องการทันทีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวคือ 1/10 ตัวเลือกที่สอง: สายแรกพลาดและครั้งที่สองเป็นไปตามเป้าหมาย ลองคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: คูณ 9/10 ด้วย 1/9 ในที่สุดเราก็จะได้ 1/10 ตัวเลือกที่สาม: การโทรครั้งแรกและครั้งที่สองเป็นที่อยู่ที่ไม่ถูกต้องจากที่สามเท่านั้นที่เด็กชายไปถึงที่ที่เขาต้องการ เราคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: คูณ 9/10 ด้วย 8/9 และ 1/8 เราจะได้ผลลัพธ์เป็น 1/10 เราไม่สนใจตัวเลือกอื่น ๆ ตามเงื่อนไขของปัญหาดังนั้นจึงยังคงให้เรารวมผลลัพธ์ที่ได้รับในที่สุดเราก็มี 3/10 คำตอบ: ความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชายจะโทรหาไม่เกินสามครั้งคือ 0.3

บัตรตัวเลข

มีไพ่เก้าใบอยู่ข้างหน้าคุณแต่ละใบมีตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงเก้าเขียนตัวเลขจะไม่ซ้ำกัน พวกเขาใส่กล่องและผสมให้ละเอียด คุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่

• เลขคู่จะถูกทิ้ง
• สองหลัก

ก่อนดำเนินการแก้ไขปัญหาให้เรากำหนดว่า m คือจำนวนกรณีที่ประสบความสำเร็จและ n คือจำนวนตัวเลือกทั้งหมด ลองหาความน่าจะเป็นที่จำนวนจะเป็นคู่กัน มันจะไม่ยากที่จะคำนวณว่ามีเลขคู่สี่ตัวนี่จะเป็น m ของเราทั้งหมดมีเก้าตัวเลือกนั่นคือ m \u003d 9 จากนั้นความน่าจะเป็นคือ 0.44 หรือ 4/9

ลองพิจารณากรณีที่สอง: จำนวนตัวเลือกคือเก้าตัว แต่อาจไม่มีผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จเลยนั่นคือ m เท่ากับศูนย์ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่จั่วจะมีตัวเลขสองหลักก็เป็นศูนย์เช่นกัน

แต่เดิมเป็นเพียงการรวบรวมข้อมูลและการสังเกตเชิงประจักษ์ของลูกเต๋าทฤษฎีความน่าจะเป็นได้กลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่มั่นคง คนแรกที่ให้กรอบทางคณิตศาสตร์แก่ Fermat และ Pascal

จากการคิดถึงทฤษฎีนิรันดร์สู่ความน่าจะเป็น

บุคคลสองคนที่ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนี้สูตรพื้นฐานหลายประการคือเบลสปาสคาลและโธมัสเบย์สเป็นที่รู้จักกันในนามผู้เคร่งศาสนาอย่างลึกซึ้งคนหลังเป็นนักบวชเพรสไบทีเรียน เห็นได้ชัดว่าความปรารถนาของนักวิทยาศาสตร์สองคนนี้ในการพิสูจน์ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับโชคลาภบางอย่างการมอบโชคดีให้กับสัตว์เลี้ยงของพวกเขาทำให้เกิดแรงผลักดันในการวิจัยในพื้นที่นี้ อันที่จริงเกมการพนันใด ๆ ที่มีการชนะและการสูญเสียเป็นเพียงซิมโฟนีของหลักการทางคณิตศาสตร์

ด้วยความตื่นเต้นของคาวาเลียร์เดอเมียร์ผู้ซึ่งเป็นผู้เล่นและบุคคลที่ไม่สนใจวิทยาศาสตร์ทำให้ปาสคาลต้องหาวิธีคำนวณความน่าจะเป็น เดอเมียร์สนใจคำถามต่อไปนี้: "คุณต้องทอยลูกเต๋าสองลูกเป็นคู่กี่ครั้งเพื่อให้ความน่าจะเป็นที่จะได้ 12 แต้มเกิน 50%" คำถามที่สองที่เป็นที่สนใจของสุภาพบุรุษ: "จะแบ่งเงินเดิมพันระหว่างผู้เข้าร่วมในเกมที่ยังเล่นไม่เสร็จได้อย่างไร" แน่นอนปาสคาลตอบคำถามทั้งสองข้อได้สำเร็จเดอเมียร์ซึ่งกลายเป็นผู้บุกเบิกการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นโดยไม่รู้ตัว เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่ persona de Mere ยังคงมีชื่อเสียงในสาขานี้ไม่ใช่ในวรรณคดี

ก่อนหน้านี้ไม่เคยมีนักคณิตศาสตร์คนใดพยายามคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เนื่องจากเชื่อว่านี่เป็นเพียงวิธีการเดาเท่านั้น Blaise Pascal ให้คำจำกัดความแรกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และแสดงให้เห็นว่านี่เป็นตัวเลขเฉพาะที่สามารถพิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็นกลายเป็นพื้นฐานสำหรับสถิติและใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่

การสุ่มคืออะไร

หากเราพิจารณาการทดสอบที่สามารถทำซ้ำได้ไม่ จำกัด จำนวนครั้งเราสามารถกำหนดเหตุการณ์แบบสุ่มได้ นี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของประสบการณ์

ประสบการณ์คือการนำการกระทำที่เฉพาะเจาะจงภายใต้สภาวะคงที่

เพื่อให้สามารถทำงานกับผลการทดลองได้มักจะกำหนดเหตุการณ์ด้วยตัวอักษร A, B, C, D, E ...

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม

เพื่อให้สามารถเริ่มต้นส่วนทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นได้จำเป็นต้องกำหนดส่วนประกอบทั้งหมด

ความเป็นไปได้ของเหตุการณ์คือการวัดเชิงตัวเลขของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ (A หรือ B) ที่เกิดขึ้นจากประสบการณ์ ความน่าจะเป็นแสดงเป็น P (A) หรือ P (B)

ทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นโดดเด่นด้วย:

• เชื่อถือได้ รับประกันว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นเนื่องจากการทดลอง P (Ω) \u003d 1;
• เป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้Р (Ø) \u003d 0;
• โดยบังเอิญ เหตุการณ์อยู่ระหว่างสิ่งที่แน่นอนและเป็นไปไม่ได้นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นนั้นเป็นไปได้ แต่ไม่รับประกัน (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะอยู่ในช่วง0≤P (A) ≤ 1)

ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์

พิจารณาทั้งหนึ่งและผลรวมของเหตุการณ์ A + B เมื่อเหตุการณ์ถูกนับเมื่อมีส่วนประกอบ A หรือ B อย่างน้อยหนึ่งอย่างหรือทั้ง A และ B เกิดขึ้น

ในความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันเหตุการณ์สามารถ:

• เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน
• เข้ากันได้.
• เข้ากันไม่ได้.
• ตรงข้าม (ไม่รวมกัน)
• ติดยา

หากสองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน.

ถ้าการเกิดเหตุการณ์ A ไม่ลดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ให้เป็นศูนย์ดังนั้น เข้ากันได้

หากเหตุการณ์ A และ B ไม่เคยเกิดขึ้นพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกันจะเรียกว่า เข้ากันไม่ได้... การโยนเหรียญเป็นตัวอย่างที่ดี: หางจะไม่ใช่หัวโดยอัตโนมัติ

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ดังกล่าวประกอบด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

หากการโจมตีของเหตุการณ์หนึ่งทำให้การโจมตีของเหตุการณ์อื่นเป็นไปไม่ได้พวกเขาจะเรียกว่าตรงกันข้าม จากนั้นหนึ่งในนั้นถูกกำหนดให้เป็น A และอีกอัน - Ā (อ่านว่า "ไม่ใช่ A") การเกิดเหตุการณ์ A หมายความว่าĀไม่ได้เกิดขึ้น เหตุการณ์ทั้งสองนี้รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์โดยมีผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ 1

เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพามีอิทธิพลซึ่งกันและกันลดลงหรือเพิ่มความเป็นไปได้ของกันและกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ ตัวอย่างของ

เมื่อใช้ตัวอย่างจะง่ายกว่ามากที่จะเข้าใจหลักการของทฤษฎีความน่าจะเป็นและการรวมกันของเหตุการณ์

การทดลองที่จะดำเนินการประกอบด้วยการนำลูกบอลออกจากกล่องและผลของการทดลองแต่ละครั้งเป็นผลลัพธ์เบื้องต้น

เหตุการณ์เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลอง - ลูกบอลสีแดงลูกบอลสีน้ำเงินลูกบอลหมายเลขหกเป็นต้น

การทดสอบครั้งที่ 1. เข้าร่วม 6 ลูกโดยสามลูกเป็นสีน้ำเงินที่มีเลขคี่และอีกสามลูกเป็นสีแดงพร้อมเลขคู่

ทดสอบหมายเลข 2. ลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูกที่มีตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงหกเข้าร่วม

จากตัวอย่างนี้คุณสามารถตั้งชื่อชุดค่าผสม:

• เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือ ใน isp. ลำดับที่ 2 เหตุการณ์“ รับลูกบอลสีน้ำเงิน” มีความน่าเชื่อถือเนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นคือ 1 เนื่องจากลูกบอลทั้งหมดเป็นสีฟ้าและไม่มีใครพลาด ในขณะที่เหตุการณ์ "รับลูกบอลด้วยหมายเลข 1" เป็นแบบสุ่ม
• เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ใน isp. №1ด้วยลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดงเหตุการณ์ "รับลูกบอลสีม่วง" เป็นไปไม่ได้เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นคือ 0
• เหตุการณ์ที่เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน ใน isp. ลำดับที่ 1 ของเหตุการณ์ "รับลูกบอลด้วยหมายเลข 2" และ "รับลูกบอลด้วยหมายเลข 3" เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันและเหตุการณ์ "รับลูกบอลด้วยหมายเลขคู่" และ "รับลูกบอลด้วยหมายเลข 2 "มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน
• เหตุการณ์ที่เข้ากันได้ การได้รับหกในแถวสองครั้งติดต่อกันเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันได้
• เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ใน isp เดียวกัน ข้อที่ 1 เหตุการณ์“ ได้ลูกบอลสีแดง” และ“ ได้ลูกบอลด้วยจำนวนคี่” ไม่สามารถรวมกันในการทดสอบเดียวกันได้
• เหตุการณ์ตรงข้าม. ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดของสิ่งนี้คือการโยนเหรียญโดยที่หัววาดมีค่าเท่ากับไม่วาดหางและผลรวมของความน่าจะเป็นจะเป็น 1 เสมอ (กลุ่มเต็ม)
• เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา... ดังนั้นใน isp # 1 คุณสามารถตั้งเป้าหมายเพื่อสกัดลูกบอลสีแดงสองครั้งติดต่อกัน การดึงข้อมูลหรือไม่ดึงข้อมูลในครั้งแรกมีผลต่อโอกาสในการดึงข้อมูลเป็นครั้งที่สอง

จะเห็นได้ว่าเหตุการณ์แรกส่งผลต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองอย่างมีนัยสำคัญ (40% และ 60%)

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

การเปลี่ยนจากความคิดหมอดูไปสู่ข้อมูลที่ถูกต้องเกิดขึ้นโดยการแปลหัวข้อเป็นระนาบทางคณิตศาสตร์ นั่นคือการตัดสินเกี่ยวกับเหตุการณ์สุ่มเช่น "ความน่าจะเป็นสูง" หรือ "ความน่าจะเป็นขั้นต่ำ" สามารถแปลเป็นข้อมูลตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงได้ วัสดุดังกล่าวได้รับอนุญาตให้ประเมินเปรียบเทียบและเข้าสู่การคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นแล้ว

จากมุมมองของการคำนวณคำจำกัดความของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เชิงบวกพื้นฐานต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของประสบการณ์เกี่ยวกับเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ความน่าจะเป็นแสดงผ่าน P (A) โดยที่ P หมายถึงคำว่า "ความน่าจะเป็น" ซึ่งแปลจากภาษาฝรั่งเศสว่า "ความน่าจะเป็น"

ดังนั้นสูตรสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:

โดยที่ m คือจำนวนผลลัพธ์ที่ดีสำหรับเหตุการณ์ A, n คือผลรวมของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับประสบการณ์นี้ ในกรณีนี้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่าง

มาเรียนภาษาสเปนกันเถอะ บอลลูน # 1 ตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้: ลูกโป่งสีน้ำเงิน 3 ลูกที่มีหมายเลข 1/3/5 และสีแดง 3 ลูกที่มีหมายเลข 2/4/6

สามารถพิจารณางานต่างๆได้จากการทดสอบนี้:

• A - ลูกบอลสีแดงตกลงมา ลูกบอลสีแดงมี 3 ลูกและมีทั้งหมด 6 ตัวแปรนี่คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดซึ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ P (A) \u003d 3/6 \u003d 0.5
• B - เลขคู่หลุดออกไป มีจำนวนคู่ทั้งหมด 3 (2,4,6) และจำนวนตัวแปรตัวเลขทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ 6 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ P (B) \u003d 3/6 \u003d 0.5
• C - หลุดจากจำนวนที่มากกว่า 2 มี 4 ตัวเลือกดังกล่าว (3,4,5,6) จากจำนวนทั้งหมดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ C คือ P (C) \u003d 4/6 \u003d 0.67

ดังที่เห็นได้จากการคำนวณเหตุการณ์ C มีความเป็นไปได้สูงเนื่องจากจำนวนผลลัพธ์เชิงบวกที่เป็นไปได้สูงกว่าใน A และ B

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ดังกล่าวไม่สามารถปรากฏพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกัน เช่นเดียวกับใน isp. หมายเลข 1 เป็นไปไม่ได้ที่จะไปถึงลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดงในเวลาเดียวกัน นั่นคือคุณจะได้ลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีแดง ในทำนองเดียวกันเลขคู่และเลขคี่จะไม่สามารถปรากฏบนดายพร้อมกันได้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ถือเป็นความน่าจะเป็นของผลรวมหรือผลคูณ ผลรวมของเหตุการณ์ดังกล่าว A + B ถือเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยลักษณะของเหตุการณ์ A หรือ B และผลิตภัณฑ์ AB อยู่ในลักษณะของทั้งสองอย่าง ตัวอย่างเช่นการปรากฏตัวของสองหกพร้อมกันที่ขอบของลูกเต๋าสองลูกในหนึ่งทอย

ผลรวมของหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่คาดเดาว่าจะมีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ การผลิตหลายเหตุการณ์เป็นลักษณะร่วมกันของเหตุการณ์ทั้งหมด

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นตามกฎแล้วการใช้ยูเนี่ยน "และ" หมายถึงผลรวมยูเนี่ยน "หรือ" - การคูณ สูตรพร้อมตัวอย่างจะช่วยให้คุณเข้าใจตรรกะของการบวกและการคูณในทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกัน

หากพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์จะเท่ากับการเพิ่มความน่าจะเป็น:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

ตัวอย่างเช่นคำนวณความน่าจะเป็นใน isp หมายเลข 1 ที่มีลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดงจะทิ้งตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 4 ลองคำนวณไม่ใช่ในการกระทำเดียว แต่เป็นผลรวมของความน่าจะเป็นขององค์ประกอบพื้นฐาน ดังนั้นในประสบการณ์ดังกล่าวมีเพียง 6 ลูกหรือ 6 ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไขคือ 2 และ 3 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 2 คือ 1/6 ความน่าจะเป็นของเลข 3 ก็คือ 1/6 เช่นกัน ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 4 จะถูกทิ้งคือ:

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ของกลุ่มทั้งหมดคือ 1

ดังนั้นหากในการทดลองกับลูกบาศก์บวกความน่าจะเป็นของการหลุดออกจากตัวเลขทั้งหมดผลลัพธ์ก็คือหนึ่ง

นอกจากนี้ยังเป็นจริงสำหรับเหตุการณ์ที่ตรงกันข้ามเช่นในประสบการณ์กับเหรียญโดยที่ด้านหนึ่งของมันคือเหตุการณ์ A และอีกด้านหนึ่งคือเหตุการณ์ตรงข้ามĀอย่างที่คุณทราบ

P (A) + P (Ā) \u003d 1

ความน่าจะเป็นในการสร้างเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกัน

การคูณความน่าจะเป็นใช้เมื่อพิจารณาลักษณะของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ตั้งแต่สองเหตุการณ์ขึ้นไปในการสังเกตครั้งเดียว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B จะปรากฏพร้อมกันนั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นหรือ:

P (A * B) \u003d P (A) * P (B)

ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นในภาษาสเปน №1จากความพยายามสองครั้งลูกบอลสีน้ำเงินจะปรากฏขึ้นสองครั้งเท่ากัน

นั่นคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อเป็นผลมาจากความพยายามสองครั้งในการสกัดลูกบอลจะมีเพียงลูกบอลสีน้ำเงินเท่านั้นที่ถูกสกัดได้เท่ากับ 25% การทดลองเชิงปฏิบัติในงานนี้ทำได้ง่ายมากและดูว่าเป็นเช่นนั้นจริงหรือไม่

กิจกรรมร่วม

เหตุการณ์จะถือเป็นข้อต่อเมื่อการปรากฏตัวของเหตุการณ์หนึ่งสามารถตรงกับการปรากฏของอีกเหตุการณ์หนึ่งได้ แม้ว่าพวกเขาจะร่วมกัน แต่ก็มีการพิจารณาความเป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ ตัวอย่างเช่นการทอยลูกเต๋าสองลูกสามารถให้ผลลัพธ์ได้เมื่อทั้งคู่ได้หมายเลข 6 แม้ว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นพร้อมกันและปรากฏขึ้นในเวลาเดียวกัน แต่ก็มีความเป็นอิสระจากกัน - มีเพียงหนึ่งในหกเท่านั้นที่สามารถล้มได้ลูกเต๋าที่สองไม่มีผลต่อ มัน.

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมถือเป็นความน่าจะเป็นของผลรวม

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วม ตัวอย่าง

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ A และ B ซึ่งเป็นข้อต่อที่สัมพันธ์กันจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ลบด้วยความน่าจะเป็นของผลคูณ (นั่นคือการนำไปใช้ร่วมกัน):

ข้อต่อ R (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

สมมติว่าความน่าจะเป็นของการยิงโดนเป้าหมายคือ 0.4 จากนั้นเหตุการณ์ A - ตีเป้าหมายในความพยายามครั้งแรก B - ในครั้งที่สอง เหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันเนื่องจากมีความเป็นไปได้ที่จะยิงโดนเป้าหมายทั้งจากนัดแรกและนัดที่สอง แต่เหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่กระทบเป้าหมายด้วยการยิงสองนัด (อย่างน้อยหนึ่งนัด) คืออะไร? ตามสูตร:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

คำตอบสำหรับคำถามคือ: "ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยสองนัดคือ 64%"

สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้สามารถนำไปใช้กับเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันได้โดยที่ความน่าจะเป็นของการเกิดร่วมกันของเหตุการณ์ P (AB) \u003d 0 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของ สูตรที่เสนอ

เรขาคณิตของความน่าจะเป็นเพื่อความชัดเจน

เป็นที่น่าสนใจที่ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมสามารถแสดงเป็นสองภูมิภาค A และ B ซึ่งตัดกันซึ่งกันและกัน ดังที่คุณเห็นจากภาพพื้นที่ของสหภาพมีค่าเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดลบด้วยพื้นที่ของจุดตัด คำอธิบายทางเรขาคณิตเหล่านี้ทำให้สูตรมีเหตุผลเมื่อมองแวบแรกชัดเจนขึ้น โปรดทราบว่าการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตไม่ใช่เรื่องแปลกในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การกำหนดความน่าจะเป็นของผลรวมของเซต (มากกว่าสอง) ของเหตุการณ์ร่วมนั้นค่อนข้างยุ่งยาก ในการคำนวณคุณต้องใช้สูตรที่มีให้สำหรับกรณีเหล่านี้

เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

เหตุการณ์ที่อ้างอิงจะถูกเรียกว่าหากการเกิดขึ้นของหนึ่ง (A) มีผลต่อความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อื่น (B) ยิ่งไปกว่านั้นอิทธิพลของทั้งการปรากฏตัวของเหตุการณ์ A และการไม่ปรากฏจะถูกนำมาพิจารณาด้วย แม้ว่าเหตุการณ์จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ แต่มีเพียงเหตุการณ์เดียวเท่านั้นที่ขึ้นอยู่กับ (B) ความน่าจะเป็นตามปกติแสดงเป็น P (B) หรือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ในกรณีของการพึ่งพาจะมีการนำแนวคิดใหม่มาใช้ - ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข P A (B) ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นกับ B ภายใต้เงื่อนไขของเหตุการณ์ A (สมมติฐาน) ซึ่งขึ้นอยู่กับ

แต่เหตุการณ์ A ก็เป็นแบบสุ่มเช่นกันดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นที่ต้องนำมาพิจารณาในการคำนวณด้วย ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงวิธีการทำงานกับเหตุการณ์และสมมติฐานที่ขึ้นต่อกัน

ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่อ้างอิง

ตัวอย่างที่ดีสำหรับการคำนวณเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาคือสำรับไพ่มาตรฐาน

ใช้สำรับไพ่ 36 ใบเป็นตัวอย่างพิจารณาเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้อง จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองที่ดึงมาจากสำรับจะเป็นเพชรหากไพ่ใบแรกถูกดึงออกมา:

1. เพชร.
2. อีกชุด.

เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง B ขึ้นอยู่กับ A แรกดังนั้นหากตัวเลือกแรกเป็นจริงแสดงว่ามีไพ่ 1 ใบ (35) ในเด็คและ 1 แทมบูรีน (8) น้อยกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0.23

หากตัวเลือกที่สองถูกต้องแสดงว่ามีการ์ด 35 ใบในเด็คและแทมบูรีน (9) จำนวนเต็มยังคงถูกเก็บไว้ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ต่อไปนี้:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26

จะเห็นได้ว่าถ้าเหตุการณ์ A ตกลงกันว่าไพ่ใบแรกเป็นรำมะนาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B จะลดลงและในทางกลับกัน

การคูณเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้อง

ตามบทก่อนหน้าเราใช้เหตุการณ์แรก (A) ตามความเป็นจริง แต่โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือการดึงแทมบูรีนออกจากสำรับไพ่เท่ากับ:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 1/4

เนื่องจากทฤษฎีไม่ได้มีอยู่ในตัวเอง แต่มีจุดมุ่งหมายเพื่อใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติจึงเป็นเรื่องที่ยุติธรรมที่จะกล่าวได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะก่อให้เกิดเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาบ่อยที่สุด

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นกับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่ขึ้นกับร่วมกัน A และ B จะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หนึ่งครั้งคูณด้วยความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของเหตุการณ์ B (ขึ้นอยู่กับ A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

จากนั้นในตัวอย่างที่มีสำรับความน่าจะเป็นของการจั่วไพ่สองใบด้วยชุดรำมะนาคือ:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571 หรือ 5.7%

และความน่าจะเป็นของการสกัดในตอนแรกไม่ใช่แทมบูรีนแล้วแทมบูรีนเท่ากับ:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19 หรือ 19%

จะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ B นั้นมีมากกว่าโดยที่ไพ่ของชุดอื่นที่ไม่ใช่รำมะนาจะถูกดึงออกมาก่อน ผลลัพธ์นี้ค่อนข้างมีเหตุผลและเข้าใจได้

ความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์

เมื่อปัญหาเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขกลายเป็นหลายแง่มุมจะไม่สามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการทั่วไป เมื่อมีมากกว่าสองสมมติฐาน ได้แก่ A1, A2, ... , และ n, .. สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ภายใต้เงื่อนไข:

• P (A ผม)\u003e 0, ผม \u003d 1,2, ...
• ฉัน∩ A j \u003d Ø, ฉัน≠ j
• Σ k A k \u003d Ω

ดังนั้นสูตรสำหรับความน่าจะเป็นทั้งหมดสำหรับเหตุการณ์ B ที่มีกลุ่มเหตุการณ์สุ่มแบบเต็ม A1, A2, ... และ n เท่ากับ:

มองไปในอนาคต

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเป็นสิ่งที่จำเป็นอย่างยิ่งในหลาย ๆ ด้านของวิทยาศาสตร์: เศรษฐมิติสถิติฟิสิกส์ ฯลฯ เนื่องจากกระบวนการบางอย่างไม่สามารถอธิบายโดยกำหนดได้เนื่องจากกระบวนการเหล่านี้มีลักษณะความน่าจะเป็นจึงจำเป็นต้องใช้วิธีการพิเศษในการทำงาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถใช้ในสาขาเทคโนโลยีใดก็ได้เพื่อระบุความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาดหรือความผิดปกติ

เราสามารถพูดได้ว่าเมื่อตระหนักถึงความน่าจะเป็นเราจะก้าวไปสู่อนาคตในทางทฤษฎีโดยมองผ่านปริซึมของสูตร

• ความน่าจะเป็นคือระดับ (การวัดสัมพัทธ์การประเมินเชิงปริมาณ) ของความเป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์บางอย่างขึ้น เมื่อสาเหตุของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้บางอย่างเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลตรงกันข้ามเหตุการณ์นั้นจึงเรียกว่าน่าจะเป็นไม่น่าจะเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้ ความเหนือกว่าของพื้นที่บวกมากกว่าค่าลบและในทางกลับกันอาจอยู่ในระดับที่แตกต่างกันซึ่งเป็นผลมาจากความน่าจะเป็น (และความไม่น่าจะเป็นไปได้) มากกว่าหรือน้อย ดังนั้นจึงมักประเมินความน่าจะเป็นในระดับคุณภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่การประเมินเชิงปริมาณที่แม่นยำมากหรือน้อยนั้นเป็นไปไม่ได้หรือทำได้ยากมาก การไล่ระดับความน่าจะเป็น "ระดับ" ต่างๆเป็นไปได้

  การศึกษาความน่าจะเป็นจากมุมมองทางคณิตศาสตร์เป็นวินัยพิเศษ - ทฤษฎีความน่าจะเป็น ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์แนวคิดของความน่าจะเป็นถูกทำให้เป็นทางการเป็นลักษณะตัวเลขของเหตุการณ์ - การวัดความน่าจะเป็น (หรือค่าของมัน) - การวัดชุดของเหตุการณ์ (ชุดย่อยของชุดเหตุการณ์เบื้องต้น) โดยรับค่า จาก

  (\\ displaystyle 0)

  (\\ displaystyle 1)

  ค่า

  (\\ displaystyle 1)

  สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่ถูกต้อง เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีความน่าจะเป็นเป็น 0 (โดยทั่วไปการสนทนาไม่เป็นจริงเสมอไป) หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ

  (\\ displaystyle p)

  จากนั้นความน่าจะเป็นของการไม่เกิดขึ้นคือ

  (\\ displaystyle 1-p)

  โดยเฉพาะอย่างยิ่งความน่าจะเป็น

  (\\ displaystyle 1/2)

  หมายถึงความน่าจะเป็นเท่ากันของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและไม่เกิดขึ้น

  นิยามแบบคลาสสิกของความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับแนวคิดของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ อัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่า ๆ กันทำหน้าที่เป็นความน่าจะเป็น ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นที่จะได้รับ "หัว" หรือ "ก้อย" โดยการโยนเหรียญแบบสุ่มคือ 1/2 หากสันนิษฐานว่ามีเพียงสองความเป็นไปได้ที่มีอยู่และเป็นไปได้เท่าเทียมกัน "นิยาม" ของความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกนี้สามารถนำไปใช้กับกรณีของจำนวนค่าที่เป็นไปได้ไม่สิ้นสุดตัวอย่างเช่นหากเหตุการณ์บางอย่างสามารถเกิดขึ้นโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง (จำนวนจุดไม่สิ้นสุด) ในพื้นที่ จำกัด ของพื้นที่ (ระนาบ) จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในบางส่วนของพื้นที่ที่ยอมรับได้นี้จะเท่ากับอัตราส่วนของปริมาตร (พื้นที่) ของส่วนนี้ต่อปริมาตร (พื้นที่) ของพื้นที่ทั้งหมดที่เป็นไปได้ คะแนน

  "คำจำกัดความ" เชิงประจักษ์ของความน่าจะเป็นนั้นเกี่ยวข้องกับความถี่ของการเกิดเหตุการณ์บนพื้นฐานที่ว่าด้วยการทดสอบจำนวนมากเพียงพอความถี่ควรมีแนวโน้มที่จะเป็นไปตามวัตถุประสงค์ของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์นี้ ในการนำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ทันสมัยความน่าจะเป็นถูกกำหนดตามความเป็นจริงเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีนามธรรมของการวัดเซต อย่างไรก็ตามความเชื่อมโยงระหว่างการวัดเชิงนามธรรมกับความน่าจะเป็นซึ่งแสดงถึงระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์คือความถี่ของการสังเกตอย่างแม่นยำ

  คำอธิบายความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์บางอย่างได้กลายเป็นที่แพร่หลายในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเศรษฐมิติฟิสิกส์เชิงสถิติของระบบมหภาค (อุณหพลศาสตร์) ซึ่งแม้ในกรณีของคำอธิบายเชิงกำหนดแบบคลาสสิกของการเคลื่อนที่ของอนุภาคคำอธิบายเชิงกำหนดของทั้งหมด ระบบของอนุภาคดูเหมือนจะไม่เป็นไปได้ในทางปฏิบัติและเหมาะสม ในฟิสิกส์ควอนตัมกระบวนการที่อธิบายตัวเองนั้นมีลักษณะที่น่าจะเป็นไปได้