ลำดับของการกระทำในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ วัสดุการศึกษาและระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์ (เกรด 3) ในหัวข้อ: ตัวอย่างลำดับของการกระทำ

สมมติว่าอคิลลิสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและอยู่ข้างหลังเต่าพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งระยะทางนี้ เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลิสวิ่งไปร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว เป็นต้น กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด Achilles จะไม่มีวันไล่ตามเต่า

เหตุผลนี้กลายเป็นเรื่องที่น่าตกใจสำหรับคนรุ่นหลังทั้งหมด อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, กิลเบิร์ต... ทั้งหมดนี้ถือว่าไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ถือว่าอาพอเรียของซีโน ช็อกหนักมากจน" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในขณะนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่มีความคิดเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาประเด็นนี้ ; ไม่มีใครกลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล ..."[วิกิพีเดีย" Aporias ของ Zeno "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะปกติของเรานำเราไปสู่กับดัก โดยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับส่วนกลับกัน จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะค่อยๆ ช้าลงจนหยุดนิ่งในขณะที่ Achilles ไล่ตามเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ เส้นทางที่ตามมาแต่ละส่วนจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะมันจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อินฟินิตี้" ในสถานการณ์นี้ ก็คงถูกต้องที่จะบอกว่า "อคิลลิสจะแซงเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยของเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนเป็นค่าส่วนกลับ ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในช่วงเวลาที่อคิลลิสวิ่งพันก้าว เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก จุดอ่อนจะวิ่งต่อไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้ Achilles เร็วกว่าเต่าแปดร้อยก้าว

วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีข้อขัดแย้งเชิงตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจเทียบได้นั้นคล้ายกับคำว่าอคิลลีสกับเต่าของซีโนมาก เรายังไม่ได้ศึกษา คิดใหม่ และแก้ปัญหานี้ และจะต้องไม่ค้นหาวิธีแก้ปัญหาในจำนวนมาก แต่ในหน่วยการวัด

aporia ที่น่าสนใจอีกอย่างของ Zeno เล่าถึงลูกศรที่บินได้:

ลูกศรที่บินได้นั้นไม่มีการเคลื่อนไหว เนื่องจากมันหยุดนิ่งทุกขณะ และเนื่องจากมันหยุดนิ่งอยู่ทุกขณะ มันจึงหยุดนิ่งเสมอ

ใน Aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะถูกเอาชนะได้ง่ายมาก - เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินได้หยุดนิ่งอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นการเคลื่อนไหว มีจุดอื่นที่จะสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายรถหนึ่งภาพบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะห่างของรถคันดังกล่าว ในการพิจารณาข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องใช้ภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ จุดต่างๆ ในเวลาที่ต่างกัน แต่ไม่สามารถใช้เพื่อกำหนดระยะทางได้ ในการกำหนดระยะทางไปยังรถ คุณต้องมีรูปถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่างๆ ในอวกาศพร้อมกัน แต่คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่จากจุดเหล่านั้นได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) . สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็นโดยเฉพาะคือจุดสองจุดในเวลาและจุดสองจุดในอวกาศเป็นสองสิ่งที่แตกต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเนื่องจากให้โอกาสในการสำรวจที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2561

มีการอธิบายความแตกต่างระหว่าง set และ multiset ใน Wikipedia พวกเรามอง.

อย่างที่คุณเห็น "เซตต้องไม่มีสององค์ประกอบที่เหมือนกัน" แต่ถ้ามีองค์ประกอบเหมือนกันในชุด เซตดังกล่าวจะเรียกว่า "มัลติเซ็ต" สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะของความไร้สาระดังกล่าว นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัด ซึ่งจิตไม่มีคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนทั่วไป โดยเทศนาแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่งวิศวกรที่สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานระหว่างการทดสอบสะพาน หากสะพานพังลง วิศวกรระดับกลางๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังแห่งการสร้างของเขา หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มากความสามารถได้สร้างสะพานอื่นๆ

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนตัวอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "mind me, I'm in the house" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือสายหนึ่งที่เชื่อมโยงมันกับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ให้เรานำทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่โต๊ะเงินสด จ่ายเงินเดือน ที่นี่นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่าง ๆ ซึ่งเราใส่เงินในสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเรานำบิลหนึ่งใบจากแต่ละกองและให้ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" แก่นักคณิตศาสตร์ เราอธิบายคณิตศาสตร์ว่าเขาจะได้รับตั๋วเงินที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีองค์ประกอบเหมือนกันไม่เท่ากับเซตที่มีองค์ประกอบเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะใช้ได้: "คุณสามารถนำไปใช้กับคนอื่นได้ แต่ไม่ใช่กับฉัน!" นอกจากนี้ การรับรองจะเริ่มขึ้นว่ามีหมายเลขธนบัตรที่แตกต่างกันในธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกันได้ เรานับเงินเดือนเป็นเหรียญ - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะระลึกถึงฟิสิกส์อย่างเมามัน: เหรียญต่าง ๆ มีปริมาณสิ่งสกปรกต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมสำหรับแต่ละเหรียญมีเอกลักษณ์เฉพาะ ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: ขอบเขตที่เกินกว่าที่องค์ประกอบของชุดมัลติเซ็ตเปลี่ยนเป็นองค์ประกอบของเซตและในทางกลับกันคืออะไร ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - หมอทุกอย่างตัดสินใจทุกอย่างวิทยาศาสตร์ที่นี่ไม่ได้ใกล้เคียงเลย

ดูนี่. เราเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ของทุ่งจะเท่ากันซึ่งหมายความว่าเรามีมัลติเซ็ต แต่ถ้าพิจารณาชื่อสนามเดียวกัน ได้เยอะ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น องค์ประกอบชุดเดียวกันเป็นทั้งชุดและชุดหลายชุดพร้อมกัน ถูกยังไง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์-ชาแมน-ชูลเลอร์หยิบไพ่ที่กล้าหาญออกจากแขนเสื้อและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับเซตหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวใจเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อให้เข้าใจว่าหมอผีสมัยใหม่ทำงานอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริง ก็เพียงพอแล้วที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็นโดยไม่มี

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีน ซึ่งไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์ ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราถูกสอนให้ค้นหาผลรวมของตัวเลขและใช้มัน แต่พวกเขาเป็นหมอเพื่อสอนทักษะและสติปัญญาให้ลูกหลานของพวกเขา มิฉะนั้นหมอผีก็จะตาย

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia และลองค้นหาหน้า "Sum of Digits of a Number" เธอไม่มีตัวตน ไม่มีสูตรในวิชาคณิตศาสตร์ที่คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขของตัวเลขใดๆ ท้ายที่สุด ตัวเลขก็คือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลข และในภาษาของคณิตศาสตร์ งานนี้ฟังในลักษณะนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกแทนตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้

มาดูกันว่าเราจะทำอย่างไรและอย่างไรเพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขของตัวเลขที่กำหนด สมมุติว่าเรามีเลข 12345 สิ่งที่ต้องทำเพื่อหาผลรวมของตัวเลขนี้ ลองพิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนตัวเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรลงไปบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขเป็นสัญลักษณ์กราฟิกตัวเลขแล้ว นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดภาพที่ได้รับหนึ่งภาพออกเป็นหลายภาพที่มีตัวเลขแยกจากกัน การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงอักขระกราฟิกแต่ละรายการเป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. บวกตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดและเย็บผ้า" จากหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของหลักเลขเดียวกันจะต่างกัน ในวิชาคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข ด้วยจำนวน 12345 จำนวนมากฉันไม่ต้องการที่จะหลอกฉันให้พิจารณาหมายเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่พิจารณาแต่ละขั้นตอนภายใต้กล้องจุลทรรศน์ที่เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กัน

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันนั้นต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ มันเหมือนกับการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร จะให้ผลลัพธ์ที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์ในระบบตัวเลขทั้งหมดมีลักษณะเหมือนกันและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: ในวิชาคณิตศาสตร์ อันไหนไม่ใช่ตัวเลข แทนตัวเลขอย่างไร? สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้ว ไม่มีอะไรเลยนอกจากตัวเลข? สำหรับหมอผี ฉันอนุญาต แต่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ไม่ ความเป็นจริงไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข เพราะเราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยวัดต่างๆ ได้ หากการกระทำแบบเดียวกันกับหน่วยวัดปริมาณเดียวกันที่ต่างกันทำให้เกิดผลลัพธ์ที่ต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว สิ่งนี้ไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเวลาที่ผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวเลข หน่วยวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

อุ๊ย! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- สาววาย! นี่คือห้องทดลองสำหรับศึกษาความศักดิ์สิทธิ์ของวิญญาณเมื่อเสด็จขึ้นสู่สวรรค์อย่างไม่มีกำหนด! Nimbus อยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

ตัวเมีย...รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรลงเป็นตัวผู้

หากคุณมีผลงานการออกแบบดังกล่าวปรากฏต่อหน้าต่อตาวันละหลายๆ ครั้ง

จึงไม่น่าแปลกใจที่จู่ๆ คุณจะพบไอคอนแปลกๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้ว ฉันพยายามดูตัวเองที่จะเห็นลบสี่องศาในตัวคนเซ่อ (หนึ่งภาพ) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ หมายเลขสี่ การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้เป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติแบบเหมารวมของการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนเซ่อ" หรือตัวเลข "ยี่สิบหก" ในระบบเลขฐานสิบหก คนที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรโดยอัตโนมัติเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียว

ในบทเรียนนี้ มีการพิจารณาขั้นตอนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บและวงเล็บโดยละเอียด นักเรียนจะได้รับโอกาสในระหว่างการทำภารกิจให้เสร็จเพื่อพิจารณาว่าความหมายของนิพจน์ขึ้นอยู่กับลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หรือไม่ เพื่อหาว่าลำดับของการดำเนินการเลขคณิตแตกต่างกันในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บและวงเล็บหรือไม่เพื่อฝึกใช้ กฎที่เรียนรู้เพื่อค้นหาและแก้ไขข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการกำหนดลำดับของการกระทำ

ในชีวิตเราดำเนินการบางอย่างอย่างต่อเนื่อง: เราเดิน, ศึกษา, อ่าน, เขียน, นับ, ยิ้ม, ทะเลาะวิวาทและแต่งหน้า เราดำเนินการตามขั้นตอนเหล่านี้ในลำดับที่ต่างออกไป บางครั้งก็เปลี่ยนได้ บางครั้งก็เปลี่ยนไม่ได้ เช่น ไปโรงเรียนตอนเช้า ออกกำลังกายก่อน แล้วค่อยจัดเตียง หรือในทางกลับกัน แต่คุณไม่สามารถไปโรงเรียนก่อนแล้วจึงใส่เสื้อผ้า

และในวิชาคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องดำเนินการเลขคณิตในลำดับที่แน่นอนหรือไม่?

มาเช็คกัน

ลองเปรียบเทียบนิพจน์:
8-3+4 และ 8-3+4

เราเห็นว่านิพจน์ทั้งสองเหมือนกันทุกประการ

เรามาดำเนินการกระทำในนิพจน์หนึ่งจากซ้ายไปขวา และในอีกนิพจน์หนึ่งจากขวาไปซ้าย ตัวเลขสามารถระบุลำดับการดำเนินการได้ (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ขั้นตอน

ในนิพจน์แรก เราจะดำเนินการลบก่อน แล้วจึงบวกเลข 4 เข้ากับผลลัพธ์

ในนิพจน์ที่สอง เราจะหาค่าของผลรวมก่อน แล้วจึงลบผลลัพธ์ 7 ออกจาก 8

เราเห็นว่าค่าของนิพจน์ต่างกัน

มาสรุปกัน: ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้.

มาเรียนรู้กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บกัน

หากนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บรวมเฉพาะการบวกและการลบ หรือการคูณและการหารเท่านั้น การดำเนินการจะดำเนินการตามลำดับที่เขียน

มาฝึกกันเถอะ

พิจารณานิพจน์

นิพจน์นี้มีการดำเนินการบวกและลบเท่านั้น การกระทำเหล่านี้เรียกว่า การดำเนินการขั้นตอนแรก.

เราดำเนินการจากซ้ายไปขวาตามลำดับ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ขั้นตอน

พิจารณานิพจน์ที่สอง

ในนิพจน์นี้ มีเพียงการดำเนินการของการคูณและการหาร - นี่คือการดำเนินการขั้นตอนที่สอง

เราดำเนินการจากซ้ายไปขวาตามลำดับ (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. ขั้นตอน

การดำเนินการเลขคณิตดำเนินการในลำดับใดหากนิพจน์ประกอบด้วยการบวกและการลบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการคูณและการหารด้วย

หากนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บไม่เพียงแต่รวมการบวกและการลบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการคูณและการหาร หรือการดำเนินการทั้งสองอย่าง ให้ทำการคูณและหารตามลำดับ (จากซ้ายไปขวา) ก่อน แล้วจึงบวกและลบ

พิจารณาการแสดงออก

เราให้เหตุผลแบบนี้ นิพจน์นี้มีการดำเนินการของการบวกและการลบการคูณและการหาร เราปฏิบัติตามกฎ ขั้นแรก เราดำเนินการตามลำดับ (จากซ้ายไปขวา) การคูณและการหาร จากนั้นบวกและลบ มาวางขั้นตอนกัน

มาคำนวณค่าของนิพจน์กัน

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการในลำดับใดหากนิพจน์มีวงเล็บ

หากนิพจน์มีวงเล็บ ค่าของนิพจน์ในวงเล็บจะถูกคำนวณก่อน

พิจารณาการแสดงออก

30 + 6 * (13 - 9)

เราเห็นว่าในนิพจน์นี้มีการกระทำในวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าเราจะดำเนินการนี้ก่อน จากนั้นจึงเรียงลำดับการคูณและการบวก มาวางขั้นตอนกัน

30 + 6 * (13 - 9)

มาคำนวณค่าของนิพจน์กัน

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

เหตุผลหนึ่งควรทำอย่างไรเพื่อสร้างลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ตัวเลขได้อย่างถูกต้อง

ก่อนดำเนินการคำนวณ จำเป็นต้องพิจารณานิพจน์ (ดูว่ามีวงเล็บหรือไม่ มีการดำเนินการใดบ้าง) และดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้เท่านั้น:

1. การกระทำที่เขียนในวงเล็บ

2. การคูณและการหาร

3. การบวกและการลบ

แผนภาพจะช่วยให้คุณจำกฎง่ายๆ นี้ได้ (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. ขั้นตอน

มาฝึกกันเถอะ

พิจารณานิพจน์ กำหนดลำดับของการดำเนินการ และทำการคำนวณ

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

มาทำตามกติกากัน นิพจน์ 43 - (20 - 7) +15 มีการดำเนินการในวงเล็บ เช่นเดียวกับการดำเนินการของการบวกและการลบ มากำหนดแนวทางปฏิบัติกัน ขั้นตอนแรกคือดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นจึงเรียงลำดับจากซ้ายไปขวา การลบและการบวก

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

นิพจน์ 32 + 9 * (19 - 16) มีการดำเนินการในวงเล็บ เช่นเดียวกับการดำเนินการของการคูณและการบวก ตามกฎ อันดับแรก เราทำการดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นจึงคูณ (จำนวน 9 คูณด้วยผลลัพธ์ที่ได้จากการลบ) และบวก

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

ในนิพจน์ 2*9-18:3 ไม่มีวงเล็บ แต่มีการดำเนินการของการคูณ การหาร และการลบ เราปฏิบัติตามกฎ ขั้นแรก เราทำการคูณและหารจากซ้ายไปขวา จากนั้นจากผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณ เราลบผลลัพธ์ที่ได้จากการหาร นั่นคือ การกระทำแรกคือการคูณ การกระทำที่สองคือการหาร และการกระทำที่สามคือการลบ

2*9-18:3=18-6=12

มาดูกันว่ามีการกำหนดลำดับของการกระทำในนิพจน์ต่อไปนี้อย่างถูกต้องหรือไม่

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

เราให้เหตุผลแบบนี้

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

ไม่มีวงเล็บในนิพจน์นี้ ซึ่งหมายความว่าในขั้นแรกเราจะทำการคูณหรือหารจากซ้ายไปขวา จากนั้นทำการบวกหรือลบ ในนิพจน์นี้ การกระทำแรกคือการหาร ที่สองคือการคูณ การกระทำที่สามควรเป็นการบวก ครั้งที่สี่ - การลบ สรุป: ลำดับของการกระทำถูกกำหนดอย่างถูกต้อง

ค้นหาค่าของนิพจน์นี้

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

เรายังคงเถียง

นิพจน์ที่สองมีวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าในขั้นแรกเราทำการกระทำในวงเล็บ จากนั้นคูณหรือหารจากซ้ายไปขวา บวกหรือลบ เราตรวจสอบ: การกระทำแรกอยู่ในวงเล็บ ที่สองคือการหาร ที่สามคือการบวก สรุป: ลำดับของการกระทำถูกกำหนดอย่างไม่ถูกต้อง แก้ไขข้อผิดพลาด ค้นหาค่าของนิพจน์

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

นิพจน์นี้ยังประกอบด้วยวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าในขั้นแรกเราจะดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นจึงคูณหรือหาร บวก หรือลบจากซ้ายไปขวา เราตรวจสอบ: การกระทำแรกอยู่ในวงเล็บ ที่สองคือการคูณ ที่สามคือการลบ สรุป: ลำดับของการกระทำถูกกำหนดอย่างไม่ถูกต้อง แก้ไขข้อผิดพลาด ค้นหาค่าของนิพจน์

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

มาทำภารกิจให้เสร็จกันเถอะ

มาจัดเรียงลำดับของการกระทำในนิพจน์โดยใช้กฎที่ศึกษา (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. ขั้นตอน

เราไม่เห็นค่าตัวเลข ดังนั้นเราจึงไม่สามารถค้นหาความหมายของนิพจน์ได้ แต่เราจะฝึกใช้กฎที่เรียนรู้

เราดำเนินการตามอัลกอริทึม

นิพจน์แรกมีวงเล็บ ดังนั้นการดำเนินการแรกจึงอยู่ในวงเล็บ จากนั้นจากซ้ายไปขวาคูณและหารจากนั้นจากซ้ายไปขวาการลบและการบวก

นิพจน์ที่สองยังมีวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าเราดำเนินการแรกในวงเล็บ หลังจากนั้นจากซ้ายไปขวาการคูณและการหารหลังจากนั้น - การลบ

ลองตรวจสอบตัวเอง (รูปที่ 6)

ข้าว. 6. ขั้นตอน

วันนี้ในบทเรียนนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับกฎของคำสั่งการดำเนินการในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บและวงเล็บ

บรรณานุกรม

1. เอ็มไอ โมโร, แมสซาชูเซตส์ Bantova และอื่น ๆ คณิตศาสตร์: ตำราเรียน. เกรด 3: ใน 2 ส่วน ตอนที่ 1 - ม.: "การตรัสรู้", 2555
2. เอ็มไอ โมโร, แมสซาชูเซตส์ Bantova และอื่น ๆ คณิตศาสตร์: ตำราเรียน. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3: ใน 2 ส่วนตอนที่ 2 - ม.: "การตรัสรู้", 2555
3. เอ็มไอ โมโร. บทเรียนคณิตศาสตร์: แนวทางปฏิบัติสำหรับครูผู้สอน เกรด 3 - ม.: การศึกษา, 2555.
4. เอกสารกำกับดูแล การติดตามและประเมินผลการเรียนรู้ - ม.: "การตรัสรู้", 2554.
5. "โรงเรียนแห่งรัสเซีย": โปรแกรมสำหรับโรงเรียนประถม - ม.: "การตรัสรู้", 2554.
6. เอสไอ วอลคอฟ. คณิตศาสตร์: งานทดสอบ เกรด 3 - ม.: การศึกษา, 2555.
7. ว.น. รุดนิทสกายา การทดสอบ - ม.: "สอบ", 2555.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

การบ้าน

1. กำหนดลำดับของการกระทำในนิพจน์เหล่านี้ ค้นหาความหมายของนิพจน์

2. กำหนดนิพจน์ลำดับการดำเนินการนี้ดำเนินการ:

1. การคูณ; 2. กอง;. 3. นอกจากนี้; 4. การลบ; 5. นอกจากนี้ ค้นหาค่าของนิพจน์นี้

3. เขียนสามนิพจน์ซึ่งดำเนินการตามลำดับการกระทำต่อไปนี้:

1. การคูณ; 2. นอกจากนี้; 3. การลบ

1. นอกจากนี้; 2. การลบ; 3. นอกจากนี้

1. การคูณ; 2. กอง; 3. นอกจากนี้

ค้นหาความหมายของนิพจน์เหล่านี้

ลำดับของการกระทำ - คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 (โมโร)

คำอธิบายสั้น:

สมมติว่าอคิลลิสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและอยู่ข้างหลังเต่าพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งระยะทางนี้ เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลิสวิ่งไปร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว เป็นต้น กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด Achilles จะไม่มีวันไล่ตามเต่า

เหตุผลนี้กลายเป็นเรื่องที่น่าตกใจสำหรับคนรุ่นหลังทั้งหมด อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, กิลเบิร์ต... ทั้งหมดนี้ถือว่าไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ถือว่าอาพอเรียของซีโน ช็อกหนักมากจน" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในขณะนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่มีความคิดเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาประเด็นนี้ ; ไม่มีใครกลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล ..."[วิกิพีเดีย" Aporias ของ Zeno "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะปกติของเรานำเราไปสู่กับดัก โดยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับส่วนกลับกัน จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะค่อยๆ ช้าลงจนหยุดนิ่งในขณะที่ Achilles ไล่ตามเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ เส้นทางที่ตามมาแต่ละส่วนจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะมันจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อินฟินิตี้" ในสถานการณ์นี้ ก็คงถูกต้องที่จะบอกว่า "อคิลลิสจะแซงเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยของเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนเป็นค่าส่วนกลับ ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในช่วงเวลาที่อคิลลิสวิ่งพันก้าว เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก จุดอ่อนจะวิ่งต่อไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้ Achilles เร็วกว่าเต่าแปดร้อยก้าว

วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีข้อขัดแย้งเชิงตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจเทียบได้นั้นคล้ายกับคำว่าอคิลลีสกับเต่าของซีโนมาก เรายังไม่ได้ศึกษา คิดใหม่ และแก้ปัญหานี้ และจะต้องไม่ค้นหาวิธีแก้ปัญหาในจำนวนมาก แต่ในหน่วยการวัด

aporia ที่น่าสนใจอีกอย่างของ Zeno เล่าถึงลูกศรที่บินได้:

ลูกศรที่บินได้นั้นไม่มีการเคลื่อนไหว เนื่องจากมันหยุดนิ่งทุกขณะ และเนื่องจากมันหยุดนิ่งอยู่ทุกขณะ มันจึงหยุดนิ่งเสมอ

ใน Aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะถูกเอาชนะได้ง่ายมาก - เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินได้หยุดนิ่งอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นการเคลื่อนไหว มีจุดอื่นที่จะสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายรถหนึ่งภาพบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะห่างของรถคันดังกล่าว ในการพิจารณาข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องใช้ภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ จุดต่างๆ ในเวลาที่ต่างกัน แต่ไม่สามารถใช้เพื่อกำหนดระยะทางได้ ในการกำหนดระยะทางไปยังรถ คุณต้องมีรูปถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่างๆ ในอวกาศพร้อมกัน แต่คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่จากจุดเหล่านั้นได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) . สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็นโดยเฉพาะคือจุดสองจุดในเวลาและจุดสองจุดในอวกาศเป็นสองสิ่งที่แตกต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเนื่องจากให้โอกาสในการสำรวจที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2561

มีการอธิบายความแตกต่างระหว่าง set และ multiset ใน Wikipedia พวกเรามอง.

อย่างที่คุณเห็น "เซตต้องไม่มีสององค์ประกอบที่เหมือนกัน" แต่ถ้ามีองค์ประกอบเหมือนกันในชุด เซตดังกล่าวจะเรียกว่า "มัลติเซ็ต" สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะของความไร้สาระดังกล่าว นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัด ซึ่งจิตไม่มีคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนทั่วไป โดยเทศนาแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่งวิศวกรที่สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานระหว่างการทดสอบสะพาน หากสะพานพังลง วิศวกรระดับกลางๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังแห่งการสร้างของเขา หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มากความสามารถได้สร้างสะพานอื่นๆ

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนตัวอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "mind me, I'm in the house" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือสายหนึ่งที่เชื่อมโยงมันกับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ให้เรานำทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่โต๊ะเงินสด จ่ายเงินเดือน ที่นี่นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่าง ๆ ซึ่งเราใส่เงินในสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเรานำบิลหนึ่งใบจากแต่ละกองและให้ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" แก่นักคณิตศาสตร์ เราอธิบายคณิตศาสตร์ว่าเขาจะได้รับตั๋วเงินที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีองค์ประกอบเหมือนกันไม่เท่ากับเซตที่มีองค์ประกอบเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะใช้ได้: "คุณสามารถนำไปใช้กับคนอื่นได้ แต่ไม่ใช่กับฉัน!" นอกจากนี้ การรับรองจะเริ่มขึ้นว่ามีหมายเลขธนบัตรที่แตกต่างกันในธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกันได้ เรานับเงินเดือนเป็นเหรียญ - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะระลึกถึงฟิสิกส์อย่างเมามัน: เหรียญต่าง ๆ มีปริมาณสิ่งสกปรกต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมสำหรับแต่ละเหรียญมีเอกลักษณ์เฉพาะ ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: ขอบเขตที่เกินกว่าที่องค์ประกอบของชุดมัลติเซ็ตเปลี่ยนเป็นองค์ประกอบของเซตและในทางกลับกันคืออะไร ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - หมอทุกอย่างตัดสินใจทุกอย่างวิทยาศาสตร์ที่นี่ไม่ได้ใกล้เคียงเลย

ดูนี่. เราเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ของทุ่งจะเท่ากันซึ่งหมายความว่าเรามีมัลติเซ็ต แต่ถ้าพิจารณาชื่อสนามเดียวกัน ได้เยอะ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น องค์ประกอบชุดเดียวกันเป็นทั้งชุดและชุดหลายชุดพร้อมกัน ถูกยังไง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์-ชาแมน-ชูลเลอร์หยิบไพ่ที่กล้าหาญออกจากแขนเสื้อและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับเซตหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวใจเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อให้เข้าใจว่าหมอผีสมัยใหม่ทำงานอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริง ก็เพียงพอแล้วที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็นโดยไม่มี

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีน ซึ่งไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์ ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราถูกสอนให้ค้นหาผลรวมของตัวเลขและใช้มัน แต่พวกเขาเป็นหมอเพื่อสอนทักษะและสติปัญญาให้ลูกหลานของพวกเขา มิฉะนั้นหมอผีก็จะตาย

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia และลองค้นหาหน้า "Sum of Digits of a Number" เธอไม่มีตัวตน ไม่มีสูตรในวิชาคณิตศาสตร์ที่คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขของตัวเลขใดๆ ท้ายที่สุด ตัวเลขก็คือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลข และในภาษาของคณิตศาสตร์ งานนี้ฟังในลักษณะนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกแทนตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้

มาดูกันว่าเราจะทำอย่างไรและอย่างไรเพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขของตัวเลขที่กำหนด สมมุติว่าเรามีเลข 12345 สิ่งที่ต้องทำเพื่อหาผลรวมของตัวเลขนี้ ลองพิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนตัวเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรลงไปบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขเป็นสัญลักษณ์กราฟิกตัวเลขแล้ว นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดภาพที่ได้รับหนึ่งภาพออกเป็นหลายภาพที่มีตัวเลขแยกจากกัน การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงอักขระกราฟิกแต่ละรายการเป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. บวกตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดและเย็บผ้า" จากหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของหลักเลขเดียวกันจะต่างกัน ในวิชาคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข ด้วยจำนวน 12345 จำนวนมากฉันไม่ต้องการที่จะหลอกฉันให้พิจารณาหมายเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่พิจารณาแต่ละขั้นตอนภายใต้กล้องจุลทรรศน์ที่เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กัน

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันนั้นต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ มันเหมือนกับการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร จะให้ผลลัพธ์ที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์ในระบบตัวเลขทั้งหมดมีลักษณะเหมือนกันและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: ในวิชาคณิตศาสตร์ อันไหนไม่ใช่ตัวเลข แทนตัวเลขอย่างไร? สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้ว ไม่มีอะไรเลยนอกจากตัวเลข? สำหรับหมอผี ฉันอนุญาต แต่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ไม่ ความเป็นจริงไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข เพราะเราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยวัดต่างๆ ได้ หากการกระทำแบบเดียวกันกับหน่วยวัดปริมาณเดียวกันที่ต่างกันทำให้เกิดผลลัพธ์ที่ต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว สิ่งนี้ไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเวลาที่ผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวเลข หน่วยวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

อุ๊ย! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- สาววาย! นี่คือห้องทดลองสำหรับศึกษาความศักดิ์สิทธิ์ของวิญญาณเมื่อเสด็จขึ้นสู่สวรรค์อย่างไม่มีกำหนด! Nimbus อยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

ตัวเมีย...รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรลงเป็นตัวผู้

หากคุณมีผลงานการออกแบบดังกล่าวปรากฏต่อหน้าต่อตาวันละหลายๆ ครั้ง

จึงไม่น่าแปลกใจที่จู่ๆ คุณจะพบไอคอนแปลกๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้ว ฉันพยายามดูตัวเองที่จะเห็นลบสี่องศาในตัวคนเซ่อ (หนึ่งภาพ) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ หมายเลขสี่ การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้เป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติแบบเหมารวมของการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนเซ่อ" หรือตัวเลข "ยี่สิบหก" ในระบบเลขฐานสิบหก คนที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรโดยอัตโนมัติเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียว

เมื่อเราทำงานกับนิพจน์ต่างๆ รวมถึงตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปร เราจะต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์เป็นจำนวนมาก เมื่อเราทำการแปลงหรือคำนวณค่า การทำตามลำดับที่ถูกต้องของการกระทำเหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญมาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง การดำเนินการเลขคณิตมีลำดับการดำเนินการพิเศษของตัวเอง

Yandex.RTB R-A-339285-1

ในบทความนี้ เราจะบอกคุณว่าควรทำอะไรก่อนและหลังทำอะไร อันดับแรก มาดูนิพจน์ง่ายๆ สองสามรายการที่มีเฉพาะตัวแปรหรือค่าตัวเลข ตลอดจนเครื่องหมายการหาร การคูณ การลบ และการบวก จากนั้นเราจะยกตัวอย่างด้วยวงเล็บและพิจารณาว่าควรประเมินตามลำดับใด ในส่วนที่สาม เราจะให้ลำดับการแปลงและการคำนวณที่ถูกต้องในตัวอย่างเหล่านั้น ซึ่งรวมถึงเครื่องหมายของราก พลัง และฟังก์ชันอื่นๆ

ในกรณีของนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ลำดับของการกระทำจะถูกกำหนดอย่างชัดเจน:

1. การดำเนินการทั้งหมดจะดำเนินการจากซ้ายไปขวา
2. ก่อนอื่น เราทำการหารและการคูณ และประการที่สอง การลบและการบวก

ความหมายของกฎเหล่านี้เข้าใจง่าย ลำดับการเขียนแบบดั้งเดิมจากซ้ายไปขวาจะกำหนดลำดับพื้นฐานของการคำนวณ และความจำเป็นในการคูณหรือหารก่อนนั้นอธิบายได้จากสาระสำคัญของการดำเนินการเหล่านี้

มาทำงานสองสามอย่างเพื่อความชัดเจน เราใช้เฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุดเพื่อให้การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้ทางจิตใจ เพื่อให้คุณสามารถจำคำสั่งที่ต้องการได้อย่างรวดเร็ว และตรวจสอบผลลัพธ์ได้อย่างรวดเร็ว

ตัวอย่างที่ 1

สภาพ:คำนวณเท่าไหร่ 7 − 3 + 6 .

สารละลาย

ไม่มีวงเล็บในนิพจน์ของเรา การคูณและการหารก็หายไป ดังนั้นเราจึงดำเนินการทั้งหมดตามลำดับที่ระบุ ขั้นแรก ลบสามจากเจ็ด แล้วบวกหกเข้ากับเศษที่เหลือ และด้วยเหตุนี้ เราจะได้สิบ นี่คือบันทึกของโซลูชันทั้งหมด:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

ตอบ: 7 − 3 + 6 = 10 .

ตัวอย่าง 2

สภาพ:การคำนวณควรทำตามลำดับใดในนิพจน์ 6:2 8:3?

สารละลาย

เพื่อตอบคำถามนี้ เราอ่านกฎสำหรับนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บซ้ำ ซึ่งเรากำหนดไว้ก่อนหน้านี้ เรามีการคูณและการหารที่นี่เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเราเก็บลำดับการคำนวณและนับตามลำดับจากซ้ายไปขวา

ตอบ:อันดับแรก เราหารหกด้วยสอง คูณผลลัพธ์ด้วยแปด และหารจำนวนผลลัพธ์ด้วยสาม

ตัวอย่างที่ 3

สภาพ:คำนวณว่าจะเป็น 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 เท่าไหร่

สารละลาย

อันดับแรก มากำหนดลำดับการดำเนินการที่ถูกต้องกันก่อน เนื่องจากเรามีการดำเนินการเลขคณิตพื้นฐานทั้งหมดที่นี่ - การบวก การลบ การคูณ การหาร สิ่งแรกที่เราต้องทำคือหารและคูณ การกระทำเหล่านี้ไม่มีลำดับความสำคัญเหนือกัน ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามลำดับที่เป็นลายลักษณ์อักษรจากขวาไปซ้าย นั่นคือ 5 ต้องคูณด้วย 6 แล้วได้ 30 จากนั้น 30 หารด้วย 3 ได้ 10 หลังจากนั้นเราหาร 4 ด้วย 2 นั่นคือ 2 แทนที่ค่าที่พบในนิพจน์ดั้งเดิม:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

ไม่มีการหารหรือการคูณในที่นี้ ดังนั้นเราจึงทำการคำนวณที่เหลือตามลำดับและได้คำตอบ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

ตอบ:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

จนกว่าจะเรียนรู้ลำดับของการดำเนินการอย่างแน่นหนา คุณสามารถใส่ตัวเลขทับเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อระบุลำดับการคำนวณได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับปัญหาข้างต้น เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

ถ้าเรามีนิพจน์ตามตัวอักษร เราก็ทำเช่นเดียวกันกับพวกมัน: ก่อนอื่นเราคูณและหาร จากนั้นเราบวกและลบ

อะไรคือขั้นตอนที่หนึ่งและสอง

บางครั้งในหนังสืออ้างอิงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นการดำเนินการของขั้นตอนแรกและขั้นตอนที่สอง ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่ต้องการ

การดำเนินการของด่านแรกรวมถึงการลบและการบวก ครั้งที่สอง - การคูณและการหาร

เมื่อทราบชื่อเหล่านี้แล้ว เราสามารถเขียนกฎที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับลำดับการกระทำได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 2

ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ก่อนอื่นให้ดำเนินการขั้นตอนที่ 2 ในทิศทางจากซ้ายไปขวา จากนั้นดำเนินการขั้นตอนแรก (ไปในทิศทางเดียวกัน)

ลำดับของการประเมินในนิพจน์พร้อมวงเล็บ

วงเล็บเองเป็นสัญญาณที่บอกเราถึงลำดับที่ต้องการในการดำเนินการ ในกรณีนี้ สามารถเขียนกฎที่ต้องการได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 3

หากมีวงเล็บในนิพจน์ การดำเนินการในวงเล็บจะถูกดำเนินการก่อน หลังจากนั้นเราจะคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบในทิศทางจากซ้ายไปขวา

สำหรับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บนั้น ถือได้ว่าเป็นส่วนประกอบของนิพจน์หลัก เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ในวงเล็บ เราจะทราบขั้นตอนเดียวกัน ลองแสดงความคิดของเราด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

สภาพ:คำนวณเท่าไหร่ 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

สารละลาย

นิพจน์นี้มีวงเล็บ เรามาเริ่มกันที่ ก่อนอื่น มาคำนวณกันก่อนว่า 7 − 2 · 3 จะเป็นเท่าไหร่ ที่นี่เราต้องคูณ 2 ด้วย 3 และลบผลลัพธ์จาก 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

เราพิจารณาผลลัพธ์ในวงเล็บที่สอง มีเพียงการกระทำเดียวเท่านั้น: 6 − 4 = 2 .

ตอนนี้เราต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นนิพจน์ดั้งเดิม:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

เริ่มต้นด้วยการคูณและการหาร จากนั้นลบและรับ:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

เสร็จสิ้นการคำนวณ

ตอบ: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

อย่าตื่นตระหนกหากเงื่อนไขมีนิพจน์ที่วงเล็บบางอันล้อมรอบส่วนอื่น เราต้องใช้กฎข้างต้นอย่างสม่ำเสมอกับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทั้งหมดเท่านั้น มาทำภารกิจนี้กันเถอะ

ตัวอย่างที่ 5

สภาพ:คำนวณเท่าไหร่ 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

สารละลาย

เรามีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราเริ่มต้นด้วย 3 + 1 + 4 (2 + 3) คือ 2 + 3 . มันจะเป็น 5 ค่าจะต้องถูกแทนที่ในนิพจน์และคำนวณว่า 3 + 1 + 4 5 เราจำได้ว่าเราต้องคูณก่อนแล้วจึงบวก: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. แทนค่าที่พบในนิพจน์ดั้งเดิม เราคำนวณคำตอบ: 4 + 24 = 28 .

ตอบ: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อประเมินค่าของนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับวงเล็บภายในวงเล็บ เราเริ่มต้นด้วยวงเล็บด้านในและหาทางไปวงเล็บด้านนอก

สมมุติว่าเราต้องหาว่าจะเป็นเท่าไหร่ (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1 เราเริ่มต้นด้วยนิพจน์ในวงเล็บด้านใน ตั้งแต่ 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 นิพจน์ดั้งเดิมสามารถเขียนได้เป็น (4 + (4 + 1) − 1) − 1 เราหันไปที่วงเล็บด้านในอีกครั้ง: 4 + 1 = 5 . เรามาถึงนิพจน์ (4 + 5 − 1) − 1 . พวกเราเชื่อว่า 4 + 5 − 1 = 8 และด้วยเหตุนี้เราจึงได้ผลต่าง 8 - 1 ซึ่งผลลัพธ์จะเป็น 7

ลำดับของการคำนวณในนิพจน์ที่ยกกำลัง รูท ลอการิทึม และฟังก์ชันอื่นๆ

หากเรามีนิพจน์ในเงื่อนไขที่มีดีกรี รูท ลอการิทึม หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์) หรือฟังก์ชันอื่นๆ อันดับแรก เราจะคำนวณค่าของฟังก์ชันนั้นก่อน หลังจากนั้นเราดำเนินการตามกฎที่ระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันมีความสำคัญเท่าเทียมกันกับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ

ลองดูตัวอย่างการคำนวณดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 6

สภาพ:หาว่าจะเป็นเท่าไหร่ (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

สารละลาย

เรามีนิพจน์ที่มีดีกรีซึ่งต้องค้นหาค่าก่อน เราพิจารณา: 6 2 \u003d 36. ตอนนี้เราแทนที่ผลลัพธ์ลงในนิพจน์ หลังจากนั้นจะมีรูปแบบ (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

ตอบ: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

ในบทความแยกต่างหากที่เกี่ยวกับการคำนวณค่าของนิพจน์ เรามีตัวอย่างการคำนวณอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่าในกรณีของนิพจน์ที่มีราก องศา ฯลฯ เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับมัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter