แม่นยำกว่านั้น จากชื่อจริงของสามเหลี่ยม "มุมฉาก" เป็นที่ชัดเจนว่ามุมหนึ่งในนั้นคือ 90 องศา มุมที่เหลือสามารถพบได้โดยการระลึกถึงทฤษฎีบทอย่างง่ายและคุณสมบัติของสามเหลี่ยม

คุณจะต้องการ

• ตารางไซน์และโคไซน์, ตารางแบรดิส

การเรียนการสอน

1. ให้แสดงมุมของสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร A, B และ C ดังแสดงในรูป มุม BAC เท่ากับ 90º อีกสองมุมเขียนแทนด้วยตัวอักษร α และ β ขาของสามเหลี่ยมจะแสดงด้วยตัวอักษร a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยตัวอักษร c

2. จากนั้น sinα = b/c และ cosα = a/c ในทำนองเดียวกันสำหรับมุมแหลมที่สองของสามเหลี่ยม: sinβ = a/c และ cosβ = b/c เราคำนวณไซน์หรือโคไซน์ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับด้านที่เราทราบ ของมุมและเราดูที่ตาราง Bradis สำหรับค่าของ α และ β

3. เมื่อพบมุมใดมุมหนึ่งแล้ว จะจำได้ว่าผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมคือ180º ซึ่งหมายความว่าผลรวมของ α และ β เท่ากับ 180º - 90º = 90º จากนั้น เมื่อคำนวณค่าของ α จากตารางแล้ว เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อค้นหา β: β = 90º - α

4. หากด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมไม่คุ้นเคย ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: a² + b² = c² เราได้มาจากนิพจน์สำหรับด้านที่ไม่คุ้นเคยผ่านอีกสองด้าน และแทนที่มันลงในสูตรเพื่อหาไซน์หรือโคไซน์ของมุมใดมุมหนึ่ง

เคล็ดลับ 2: วิธีหาด้านตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านที่เหลือในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าขา

คุณจะต้องการ

• ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิต

การเรียนการสอน

1. กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา นั่นคือ ในการหากำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก คุณต้องยกกำลังสองความยาวของขาแล้วบวก

2. ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับสแควร์รูทของความยาวกำลังสอง ในการหาความยาวของมัน เราแยกสแควร์รูทของจำนวนที่เท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา จำนวนผลลัพธ์จะเป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก!
ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นถูกต้อง ดังนั้นเมื่อทำการแยกราก นิพจน์รากต้องมากกว่าศูนย์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากสามารถคำนวณได้โดยการคูณขาด้วยรากของ 2

เคล็ดลับ 3: วิธีตรวจจับมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

โดยตรง คาร์บอนิกสามเหลี่ยมอาจเป็นหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุดจากมุมมองทางประวัติศาสตร์ "กางเกง" ของพีทาโกรัสสามารถแข่งขันกับ "ยูเรก้า!" เท่านั้น อาร์คิมิดีส.

คุณจะต้องการ

• - การวาดภาพสามเหลี่ยม
• - ไม้บรรทัด;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์

การเรียนการสอน

1. ตามปกติ จุดยอดของมุมของรูปสามเหลี่ยมจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ (A, B, C) และด้านตรงข้ามด้วยอักษรละตินตัวเล็ก (a, b, c) หรือตามชื่อของจุดยอดสามเหลี่ยมที่ก่อตัว ด้านนี้ (AC, BC, AB)

2. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 องศา เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมมุมหนึ่ง (ขวา) จะเป็น 90 องศาอย่างสม่ำเสมอ และส่วนที่เหลือจะเป็นแบบเฉียบพลัน เช่น น้อยกว่า 90 องศาทั้งหมด เพื่อกำหนดมุมในรูปสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมเป็นเส้นตรงวัดด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ไม้บรรทัดและกำหนดขนาดที่ใหญ่ที่สุด เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก (AB) และตั้งอยู่ตรงข้ามมุมฉาก (C) อีกสองด้านที่เหลือทำมุมฉากเรียกว่า ขา (AC, BC)

3. เมื่อคุณกำหนดมุมแหลมได้แล้ว คุณสามารถวัดมุมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์หรือคำนวณโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ที่รองรับ

4. เพื่อที่จะกำหนดค่าของมุมด้วยการรองรับของไม้โปรแทรกเตอร์ ให้จัดตำแหน่งด้านบน (แสดงด้วยตัวอักษร A) ด้วยเครื่องหมายพิเศษบนไม้บรรทัดที่อยู่ตรงกลางของไม้โปรแทรกเตอร์ ขา AC จะต้องตรงกับขอบด้านบน ทำเครื่องหมายบนส่วนครึ่งวงกลมของไม้โปรแทรกเตอร์ที่จุดที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ผ่าน ค่า ณ จุดนี้สอดคล้องกับค่ามุมในหน่วยองศา หากมีการระบุค่า 2 ค่าบนไม้โปรแทรกเตอร์ดังนั้นสำหรับมุมแหลมจำเป็นต้องเลือกค่าที่เล็กกว่าสำหรับค่าทื่อ - ค่าขนาดใหญ่

6. ค้นหาค่าผลลัพธ์ในตารางอ้างอิงของ Bradis และพิจารณาว่าค่าตัวเลขที่ได้นั้นตรงกับมุมใด คุณยายของเราใช้วิธีนี้

7. ทุกวันนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้เครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชันสำหรับคำนวณสูตรตรีโกณมิติ สมมติว่ามีเครื่องคิดเลข Windows ในตัว เปิดแอปพลิเคชัน "เครื่องคิดเลข" ในรายการเมนู "มุมมอง" เลือกรายการ "วิศวกรรม" คำนวณไซน์ของมุมที่ต้องการ เช่น sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

8. เปลี่ยนเครื่องคิดเลขเป็นโหมดฟังก์ชันผกผันโดยคลิกที่ปุ่ม INV บนหน้าจอเครื่องคิดเลข จากนั้นคลิกปุ่มสำหรับคำนวณฟังก์ชัน arcsine (ทำเครื่องหมายเป็นค่าบาปเป็นลบหนึ่งองศาบนจอแสดงผล) คำจารึกเพิ่มเติมจะปรากฏในหน้าต่างการคำนวณ: asind (0.5) = 30 นั่นคือ ค่าของมุมที่ต้องการคือ 30 องศา

เคล็ดลับ 4: วิธีหาด้านที่ไม่รู้จักในรูปสามเหลี่ยม

วิธีการคำนวณด้านที่ไม่รู้จักของรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของงานเท่านั้น แต่ยังขึ้นกับสิ่งที่ทำไปด้วย งานที่คล้ายกันนี้ไม่เพียงต้องเผชิญในชั้นเรียนเรขาคณิตของเด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังต้องเผชิญกับวิศวกรที่ทำงานในอุตสาหกรรมต่างๆ นักออกแบบภายใน เครื่องตัดและตัวแทนของอาชีพอื่นๆ อีกมากมาย ความแม่นยำในการคำนวณเพื่อวัตถุประสงค์ต่างกันอาจแตกต่างกัน แต่กฎยังคงเหมือนเดิมในหนังสือปัญหาของโรงเรียน

คุณจะต้องการ

• – สามเหลี่ยมที่มีพารามิเตอร์ที่กำหนด
• - เครื่องคิดเลข;
• - ปากกา;
• - ดินสอ;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - กระดาษ;
• - คอมพิวเตอร์พร้อมซอฟต์แวร์ AutoCAD
• - ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์

การเรียนการสอน

1. วาดรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของงาน สามเหลี่ยมสามารถสร้างขึ้นจากสามด้าน สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา หรือด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกัน วิทยานิพนธ์ของการทำงานในโน้ตบุ๊กและบนคอมพิวเตอร์ในโปรแกรม AutoCAD นั้นเหมือนกันในเรื่องนี้ ดังนั้นในงานจึงจำเป็นต้องระบุขนาดของด้านหนึ่งหรือ 2 ด้านและหนึ่งหรือ 2 มุมอย่างเคร่งครัด

2. เมื่อสร้างสองด้านและมุม ให้วาดส่วนบนแผ่นเท่ากับด้านตะกั่ว ด้วยการสนับสนุนของไม้โปรแทรกเตอร์ ให้วางมุมนี้ไว้ข้าง ๆ แล้ววาดเส้นที่สอง ด้านข้าง,เลื่อนขนาดที่กำหนดในสภาพ. หากคุณได้รับด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกัน ให้วาดก่อน ด้านข้างจากนั้นวางมุมจากปลายทั้งสองของส่วนที่เป็นผลลัพธ์แล้ววาดอีกสองด้าน ติดป้ายสามเหลี่ยมเป็น ABC

3. ในโปรแกรม AutoCAD จะสะดวกกว่าสำหรับทุกคนที่จะสร้างสามเหลี่ยมที่ไม่ถูกต้องด้วยความช่วยเหลือของเครื่องมือแบ่งกลุ่ม คุณจะพบมันผ่านแท็บหลัก โดยเลือกหน้าต่างรูปวาด กำหนดพิกัดของด้านที่คุณทราบ หลังจากนั้น - จุดสุดท้ายของส่วนที่กำหนดที่สอง

4. กำหนดประเภทของสามเหลี่ยม หากเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านที่ไม่คุ้นเคยจะคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับสแควร์รูทของผลบวกกำลังสองของขา นั่นคือ c=?a2+b2 ดังนั้น ขาแต่ละข้างของพวกมันจะเท่ากับสแควร์รูทของผลต่างระหว่างกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาที่มีชื่อเสียง: a=?c2-b2

5. ในการคำนวณด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมที่ให้ด้านหนึ่งและมุมรวมสองมุม ให้ใช้ทฤษฎีบทไซน์ ด้าน a เกี่ยวข้องกับบาป ? ด้าน b เกี่ยวข้องกับบาป ? ? และ? ในกรณีนี้มุมตรงข้าม มุมที่ไม่ได้กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหาสามารถหาได้โดยจำไว้ว่าผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมคือ 180° ลบด้วยผลบวกของมุม 2 มุมที่คุณทราบ ค้นพบ ไม่รู้จักถึงคุณ ด้านข้างข. แก้สัดส่วนโดยวิธีปกติ คือ คูณค่านิยม ด้านข้างและบาป? และแบ่งผลิตภัณฑ์นี้ด้วยบาป? คุณจะได้สูตร b=a*sin?/sin?

6. หากคุณมีชื่อเสียงในด้าน a และ b และ มุม? ระหว่างพวกเขา ใช้กฎของโคไซน์ ด้านที่ไม่คุ้นเคย c จะเท่ากับสแควร์รูทของผลบวกกำลังสองของอีก 2 ด้าน ลบสองเท่าของผลคูณของด้านเดียวกันนี้ คูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน นั่นคือ c=?a2+b2-2ab*cos?

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เคล็ดลับ 5: วิธีคำนวณมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

โดยตรง คาร์บอนิกสามเหลี่ยมประกอบด้วยมุมแหลมสองมุม ค่าที่ขึ้นอยู่กับความยาวของด้าน เช่นเดียวกับมุมหนึ่งของค่าคงที่คงที่ 90 ° เป็นไปได้ที่จะคำนวณขนาดของมุมแหลมในหน่วยองศาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมที่จุดยอดของสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิด

การเรียนการสอน

1. ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติหากกำหนดขนาดของด้านสามเหลี่ยมในเงื่อนไขของปัญหาเท่านั้น สมมติว่าตามความยาวของ 2 ขา (ด้านสั้นที่อยู่ติดกับมุมฉาก) เป็นไปได้ที่จะคำนวณมุมแหลม 2 มุมใดๆ แทนเจนต์ของมุมนั้น (?) ซึ่งอยู่ติดกับขา A หาได้จากการหารความยาวของด้านตรงข้าม (ขา B) ด้วยความยาวของด้าน A: tg (?) = B / A และเมื่อทราบแทนเจนต์แล้ว ก็สามารถคำนวณค่ามุมที่สอดคล้องกันเป็นองศาได้ สำหรับสิ่งนี้ ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ถูกเตรียม: ? = arctg(tg(?)) = arctg(B/A)

2. การใช้สูตรเดียวกันนี้ทำให้สามารถตรวจจับค่าของมุมแหลมอีกมุมหนึ่งที่วางอยู่บนขาอีกข้าง A ได้ เปลี่ยนการกำหนดลักษณะของด้านข้างในขั้นต้น แต่ก็เป็นไปได้เช่นกันที่จะทำในทางกลับกันด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกคู่หนึ่ง - โคแทนเจนต์และโคแทนเจนต์อาร์ค โคแทนเจนต์ของมุม b ถูกกำหนดโดยการหารความยาวของขาที่อยู่ติดกัน A ด้วยความยาวของขาอีกข้างหนึ่ง B: tg(?) = A/B และอาร์คแทนเจนต์จะช่วยดึงค่ามุมที่ได้มาเป็นองศา: ? = arcctg(ctg(?)) = arcctg(A/B).

3. หากในเงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดความยาวของขาข้างหนึ่ง (A) และด้านตรงข้ามมุมฉาก (C) จากนั้นในการคำนวณมุม ให้ใช้ฟังก์ชันที่ผกผันกับไซน์และโคไซน์ - อาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์ ไซน์ของมุมแหลม? เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขา B ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก C: บาป (?) \u003d B / C ดังนั้น ในการคำนวณค่าของมุมนี้เป็นองศา ให้ใช้สูตรต่อไปนี้: = อาร์คซิน(V/C)

4. ค่าของโคไซน์ของมุมคือเท่าไร? ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของความยาวของขา A ที่อยู่ติดกับจุดยอดของสามเหลี่ยมนี้กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก C ซึ่งหมายความว่าในการคำนวณมุมเป็นองศา โดยการเปรียบเทียบกับสูตรก่อนหน้า คุณต้องใช้สิ่งต่อไปนี้ สมการ: = อาร์คคอส (A/C)

5. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมทำให้ไม่เหมาะสมที่จะใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ถ้าค่าของมุมแหลมมุมใดมุมหนึ่งถูกกำหนดไว้ในเงื่อนไขของปัญหา ในกรณีนี้ ในการคำนวณมุมที่ไม่รู้จัก (?) ให้ลบค่าของมุมที่รู้จัก 2 มุมจาก 180° อย่างง่ายดาย (90°) และเฉียบพลัน (?): = 180° – 90° – ? = 90° -?.

บันทึก!
ความสูง h แบ่งสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่คล้ายกัน นี่คือสัญลักษณ์ของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมในสามมุม

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมดั้งเดิมที่ล้อมรอบด้วยระนาบด้วยจุดสามจุดและส่วนของเส้นตรงสามส่วนเชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่ มุมในรูปสามเหลี่ยมมีความแหลม มุมป้าน และด้านขวา ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมมีความต่อเนื่องและเท่ากับ 180 องศา

คุณจะต้องการ

• ความรู้พื้นฐานทางเรขาคณิตและตรีโกณมิติ

การเรียนการสอน

1. ให้ระบุความยาวของด้านของสามเหลี่ยม a=2, b=3, c=4 และมุมของมัน u, v, w ซึ่งแต่ละอันอยู่ด้านตรงข้ามของด้านหนึ่ง ตามกฎของโคไซน์ กำลังสองของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านอื่น 2 ด้านลบสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน นั่นคือ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u) เราแทนที่ความยาวของด้านลงในนิพจน์นี้และรับ: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u)

2. ให้เราแสดง cos(u) จากความเท่าเทียมกันที่ได้รับ เราได้ข้อมูลต่อไปนี้: cos(u) = 7/8 ต่อไป เราจะหามุมจริงของ u ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณ arccos(7/8) นั่นคือมุม u = arccos(7/8)

3. ในทำนองเดียวกัน เมื่อแสดงด้านอื่นๆ ในรูปของส่วนที่เหลือ เราจะพบมุมที่เหลือ

บันทึก!
ค่าของหนึ่งมุมต้องไม่เกิน 180 องศา เครื่องหมาย arccos() ต้องไม่มีตัวเลขที่มากกว่า 1 และน้อยกว่า -1

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ในการตรวจจับทั้งสามมุม ไม่จำเป็นต้องแสดงทั้งสามด้าน อนุญาตให้ตรวจจับได้เพียง 2 มุม และมุมที่ 3 สามารถรับได้โดยการลบค่าของ 2 ที่เหลือจาก 180 องศา จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมนั้นต่อเนื่องกันและเท่ากับ 180 องศา

เครื่องคิดเลขออนไลน์
คำตอบของสามเหลี่ยม

คำตอบของรูปสามเหลี่ยมคือการหาองค์ประกอบทั้งหกของมัน (นั่นคือ ด้านสามด้านและมุมสามมุม) โดยองค์ประกอบที่กำหนดทั้งสามซึ่งกำหนดรูปสามเหลี่ยม

โปรแกรมคณิตศาสตร์นี้หาด้าน \(b, c\) และมุม \(\alpha \) จากด้านที่ผู้ใช้ระบุ \(a \) และมุมที่อยู่ติดกันสองมุม \(\beta \) และ \(\gamma \ )

โปรแกรมไม่เพียงให้คำตอบของปัญหา แต่ยังแสดงกระบวนการค้นหาวิธีแก้ไข

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้สามารถเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบและการสอบ เมื่อทำการทดสอบความรู้ก่อนการสอบแบบรวมศูนย์ และสำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนเล่มใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านงานที่ต้องแก้ไขจะเพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎการป้อนตัวเลข เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านี้

กฎการป้อนตัวเลข

ตัวเลขสามารถตั้งค่าได้ไม่เพียงแค่ทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังตั้งค่าเป็นเศษส่วนได้อีกด้วย
ส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนในเศษส่วนทศนิยมสามารถคั่นด้วยจุดหรือลูกน้ำ
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อนทศนิยมเช่น 2.5 หรือชอบ 2.5

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจอะไร เข้าทุ่ง.

เกม, ปริศนา, อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

ทฤษฎีบทไซน์

ทฤษฎีบท

ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบท
ให้ในรูปสามเหลี่ยม ABC AB = c, BC = a, CA = b แล้ว
สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านของสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ลบสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านั้น คูณ โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

การแก้สามเหลี่ยม

คำตอบของรูปสามเหลี่ยมคือการหาองค์ประกอบทั้งหกของมัน (เช่น ด้านสามด้านและมุมสามมุม) โดยองค์ประกอบที่กำหนดทั้งสามซึ่งกำหนดรูปสามเหลี่ยม

พิจารณาสามปัญหาในการแก้สามเหลี่ยม ในกรณีนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับด้านข้างของสามเหลี่ยม ABC: AB = c, BC = a, CA = b

คำตอบของรูปสามเหลี่ยมที่ให้สองด้านกับมุมระหว่างพวกมัน

ให้: \(a, b, \angle C \) ค้นหา \(c, \angle A, \angle B \)

สารละลาย
1. ตามกฎของโคไซน์เราพบ \(c\):

3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

คำตอบของสามเหลี่ยมที่กำหนดมุมด้านและมุมประชิด

ให้: \(a, \angle B, \angle C \) ค้นหา \(\มุม A, b, c \)

สารละลาย
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

การแก้สามเหลี่ยมที่มีสามด้าน

ให้: \(a, b, c\) ค้นหา \(\มุม A, \มุม B, \มุม C \)

สารละลาย
1. ตามทฤษฎีบทโคไซน์ เราได้รับ:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. ในทำนองเดียวกัน เราพบมุม B
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

การแก้สามเหลี่ยมที่ให้สองด้านและมุมตรงข้ามกับด้านที่รู้จัก

กำหนด: \(a, b, \angle A \) ค้นหา \(c, \angle B, \angle C \)

สารละลาย
1. โดยทฤษฎีบทไซน์เราพบ \(\sin B \) เราได้รับ:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

มาแนะนำสัญกรณ์: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \) ขึ้นอยู่กับหมายเลข D กรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:
ถ้า D > 1 สามเหลี่ยมดังกล่าวไม่มีอยู่เพราะ \(\sin B \) ต้องไม่มากกว่า 1
ถ้า D = 1 จะมีค่าเฉพาะ \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
ถ้า D ถ้า D 2 \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. ใช้ทฤษฎีบทไซน์ เราคำนวณด้าน c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

ซึ่งทราบความยาวด้าน (a, b, c) ให้ใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เธอกล่าวว่ากำลังสองของความยาวของด้านใดด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของอีกสองด้าน จากผลคูณสองของความยาวของด้านทั้งสองเดียวกันและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ถูกหักออก คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทนี้ในการคำนวณมุมที่จุดยอดใดๆ ได้ สิ่งสำคัญคือต้องทราบตำแหน่งที่สัมพันธ์กับด้านข้างเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ในการหามุม α ที่อยู่ระหว่างด้าน b และ c จะต้องเขียนทฤษฎีบทดังนี้: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)

แสดงค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการจากสูตร: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c) ใช้ฟังก์ชันโคไซน์ผกผันกับทั้งสองส่วนของสมการ - โคไซน์ส่วนโค้ง ช่วยให้คุณสามารถคืนค่ามุมในหน่วยองศาด้วยค่าของโคไซน์: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)) ด้านซ้ายสามารถทำให้ง่ายขึ้น และการคำนวณมุมระหว่างด้าน b และ c จะใช้ในรูปแบบสุดท้าย: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c)

เมื่อหาขนาดของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ไม่จำเป็นต้องรู้ความยาวของทุกด้าน สองอันก็เพียงพอแล้ว หากสองข้างนี้เป็นขา (a และ b) ให้แบ่งความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่ต้องการ (α) ด้วยความยาวของอีกด้านหนึ่ง ดังนั้นคุณจะได้ค่าแทนเจนต์ของมุมที่ต้องการ tg (α) = a / b และใช้ฟังก์ชันผกผัน - อาร์คแทนเจนต์กับทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน - และทำให้ง่ายขึ้น เช่นเดียวกับในขั้นตอนก่อนหน้า ด้านซ้าย ได้มา สูตรสุดท้าย: α = arctg (a / b )

ถ้าด้านที่ทราบคือขา (a) และด้านตรงข้ามมุมฉาก (c) ในการคำนวณมุม (β) ที่เกิดจากด้านเหล่านี้ ให้ใช้ฟังก์ชันโคไซน์และค่าผกผันของด้านนั้น - โคไซน์ส่วนโค้ง โคไซน์ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของความยาวของขาต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก และสูตรสุดท้ายสามารถเขียนได้ดังนี้: β = arccos(a/c) ในการคำนวณมุมแหลมเริ่มต้น (α) เดียวกันซึ่งอยู่ตรงข้ามกับขาที่ทราบ ให้ใช้อัตราส่วนเดียวกัน แทนที่อาร์คโคไซน์ด้วยอาร์กไซน์: α = arcsin(a/c)

ที่มา:

• สูตรสามเหลี่ยม 2 ด้าน

เคล็ดลับ 2: วิธีหามุมของสามเหลี่ยมด้วยความยาวของด้าน

มีหลายทางเลือกในการค้นหาค่าของมุมทั้งหมดในรูปสามเหลี่ยม ถ้าทราบความยาวของทั้งสามมุม ปาร์ตี้. วิธีหนึ่งคือการใช้สูตรพื้นที่ที่แตกต่างกันสองสูตร สามเหลี่ยม. เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทกับผลรวมของมุมได้ สามเหลี่ยม.

การเรียนการสอน

ใช้ตัวอย่างสองสูตรในการคำนวณพื้นที่ สามเหลี่ยมซึ่งหนึ่งในนั้นเกี่ยวข้องกับเพียงสามคนที่รู้จักของเขา ปาร์ตี้ s (Gerona) และในอีก - สอง ปาร์ตี้ s และไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน การใช้คู่ต่าง ๆ ในสูตรที่สอง ปาร์ตี้คุณสามารถกำหนดขนาดของแต่ละมุมได้ สามเหลี่ยม.

แก้ปัญหาในแง่ทั่วไป สูตรของนกกระสากำหนดพื้นที่ สามเหลี่ยมเป็นรากที่สองของผลิตภัณฑ์ของเซมิปริมิเตอร์ (ครึ่งหนึ่งของทั้งหมด ปาร์ตี้) เกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างกึ่งปริมณฑลและแต่ละส่วนของ ปาร์ตี้. ถ้าเราเปลี่ยนผลรวม ปาร์ตี้จากนั้นสูตรสามารถเขียนได้ดังนี้: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C อื่น ปาร์ตี้พื้นที่s สามเหลี่ยมสามารถแสดงเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของสอง ปาร์ตี้โดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ตัวอย่างเช่น สำหรับ ปาร์ตี้ a และ b โดยมีมุม γ อยู่ระหว่างทั้งสอง สูตรนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: S=a∗b∗sin(γ) แทนที่ด้านซ้ายของสมการด้วยสูตรของเฮรอน: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ) มาจากสมการนี้สูตรสำหรับ

สามเหลี่ยมมุมฉากมีอยู่เกือบทุกมุม ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขนี้ ตลอดจนความสามารถในการคำนวณพื้นที่ จะเป็นประโยชน์กับคุณอย่างไม่ต้องสงสัย ไม่เพียงแต่สำหรับการแก้ปัญหาในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในสถานการณ์ในชีวิตด้วย

เรขาคณิตสามเหลี่ยม

ในเรขาคณิตเบื้องต้น สามเหลี่ยมมุมฉากคือตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนที่เชื่อมต่อกันสามส่วนซึ่งประกอบเป็นมุมสามมุม (มุมแหลมสองมุมและมุมตรงหนึ่งมุม) สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปดั้งเดิม โดยมีลักษณะสำคัญหลายประการที่เป็นรากฐานของตรีโกณมิติ ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่างจากรูปสามเหลี่ยมทั่วไป:

• ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก
• ขา - ส่วนที่เป็นมุมฉาก ขึ้นอยู่กับมุมที่พิจารณา ขาอาจอยู่ติดกับมัน (สร้างมุมนี้ด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก) หรืออยู่ตรงข้าม (นอนอยู่ตรงข้ามมุม) ไม่มีขาสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม

มันคืออัตราส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากที่เป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ: ไซน์ แทนเจนต์ และซีแคนต์ ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากในความเป็นจริง

ตัวเลขนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในความเป็นจริง สามเหลี่ยมถูกใช้ในการออกแบบและเทคโนโลยี ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของรูปจึงต้องทำโดยวิศวกร สถาปนิก และนักออกแบบ ฐานของจัตุรมุขหรือปริซึมมีรูปทรงสามเหลี่ยม - ตัวเลขสามมิติที่ง่ายต่อการพบในชีวิตประจำวัน นอกจากนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสยังเป็นตัวแทนที่ง่ายที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก "แบน" ในความเป็นจริง สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นเครื่องมือช่างทำกุญแจ, การวาดภาพ, การก่อสร้างและช่างไม้ที่ใช้ในการสร้างมุมโดยทั้งเด็กนักเรียนและวิศวกร

พื้นที่สามเหลี่ยม

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นการประมาณการเชิงปริมาณของระนาบที่ล้อมรอบด้วยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมธรรมดาหาได้ 5 วิธี โดยใช้สูตรของนกกระสาหรือการคำนวณโดยใช้ตัวแปรต่างๆ เช่น ฐาน ด้าน มุม และรัศมีของวงกลมที่จารึกหรือล้อมรอบ สูตรพื้นที่ที่ง่ายที่สุดจะแสดงเป็น:

โดยที่ a คือด้านของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูง

สูตรคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นง่ายกว่า:

โดยที่ a และ b คือขา

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรา คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้พารามิเตอร์สามคู่:

• สองขา;
• ขาและมุมที่อยู่ติดกัน
• ขาและมุมตรงข้าม

ในงานหรือสถานการณ์ในชีวิตประจำวัน คุณจะได้รับชุดค่าผสมต่างๆ ดังนั้นเครื่องคิดเลขรูปแบบนี้จึงช่วยให้คุณคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้หลายวิธี ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างชีวิตจริง

กระเบื้องเซรามิก

สมมติว่าคุณต้องการวางแนวผนังห้องครัวด้วยกระเบื้องเซรามิกซึ่งมีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อกำหนดปริมาณการใช้กระเบื้อง คุณต้องหาพื้นที่ขององค์ประกอบของการหุ้มและพื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวที่จะรับการรักษา สมมติว่าคุณต้องดำเนินการ 7 ตารางเมตร ความยาวของขาขององค์ประกอบหนึ่งคือ 19 ซม. จากนั้นพื้นที่ของกระเบื้องจะเท่ากับ:

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ขององค์ประกอบหนึ่งคือ 24.5 ตารางเซนติเมตรหรือ 0.01805 ตารางเมตร เมื่อทราบพารามิเตอร์เหล่านี้แล้ว คุณสามารถคำนวณได้ว่าหากต้องการสร้างกำแพงให้เสร็จ 7 ตารางเมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องหันหน้าไปทาง 7 / 0.01805 = 387

งานโรงเรียน

สมมติว่าในโจทย์เรขาคณิตของโรงเรียน จำเป็นต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยรู้เพียงว่าด้านหนึ่งของขาข้างหนึ่งคือ 5 ซม. และค่าของมุมตรงข้ามคือ 30 องศา เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรามีภาพประกอบแสดงด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้าน a = 5 ซม. แล้วมุมตรงข้ามของมันคือมุมอัลฟา เท่ากับ 30 องศา ป้อนข้อมูลนี้ลงในแบบฟอร์มเครื่องคิดเลขและรับผลลัพธ์:

ดังนั้นเครื่องคิดเลขไม่เพียงแต่คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนด แต่ยังกำหนดความยาวของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉากตลอดจนค่าของมุมที่สอง

บทสรุป

สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมมีอยู่ในชีวิตของเราอย่างแท้จริงในทุกมุม การกำหนดพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวจะเป็นประโยชน์กับคุณไม่เพียง แต่ในการแก้ปัญหาการมอบหมายของโรงเรียนในเรขาคณิต แต่ยังรวมถึงกิจกรรมประจำวันและในวิชาชีพด้วย