เศษส่วน Koch curve ขั้นตอนการรับเซตเศษส่วน

เส้นโค้ง Koch จำนวน 3 ชุดที่สร้างขึ้น (โดยมีจุดออกด้านนอก) ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมปกติ ก่อให้เกิดเส้นโค้งปิดที่มีความยาวไม่สิ้นสุดเรียกว่า เกล็ดหิมะของ Koch.

ตัวเลขนี้เป็นหนึ่งในแฟร็กทัลชิ้นแรกที่นักวิทยาศาสตร์ศึกษา มันมาจากสามสำเนา โค้งโคชซึ่งปรากฏครั้งแรกในบทความของนักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดน Helge von Koch ในปี 1904 เส้นโค้งนี้ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อเป็นตัวอย่างของเส้นต่อเนื่องที่ไม่สามารถสัมผัสจุดใดๆ ได้ เส้นที่มีคุณสมบัตินี้เป็นที่รู้จักมาก่อน (Karl Weierstrass สร้างตัวอย่างของเขาในปี 1872) แต่เส้นโค้ง Koch มีความโดดเด่นในเรื่องความเรียบง่ายของการออกแบบ ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่บทความของเขามีชื่อว่า “บนเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่มีเส้นสัมผัสซึ่งเกิดจากเรขาคณิตเบื้องต้น”

ภาพวาดและแอนิเมชั่นแสดงให้เห็นอย่างสมบูรณ์แบบถึงวิธีการสร้างเส้นโค้ง Koch ทีละขั้นตอน การวนซ้ำครั้งแรกเป็นเพียงส่วนเริ่มต้น จากนั้นแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน ส่วนกลางเสร็จสมบูรณ์เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติแล้วโยนออกมา ผลลัพธ์คือการวนซ้ำครั้งที่สอง - เส้นแบ่งที่ประกอบด้วยสี่ส่วน การดำเนินการแบบเดียวกันนี้ใช้กับแต่ละรายการและได้รับขั้นตอนที่สี่ของการก่อสร้าง ด้วยจิตวิญญาณเดียวกัน คุณสามารถได้รับบรรทัดใหม่มากขึ้นเรื่อยๆ (ทั้งหมดจะเป็นเส้นที่ขาด) และสิ่งที่เกิดขึ้นในขอบเขต (ซึ่งจะเป็นวัตถุจินตภาพอยู่แล้ว) เรียกว่าเส้นโค้งคอช

1. มีความต่อเนื่อง แต่ไม่มีที่ไหนเลยที่จะแยกความแตกต่างได้ โดยคร่าวแล้ว นี่คือสาเหตุที่มันถูกประดิษฐ์ขึ้น - เป็นตัวอย่างของ "ตัวประหลาด" ทางคณิตศาสตร์ประเภทนี้

2. มีความยาวเป็นอนันต์ ปล่อยให้ความยาวของส่วนเดิมเท่ากับ 1 ในแต่ละขั้นตอนการก่อสร้าง เราจะแทนที่แต่ละส่วนที่ประกอบกันเป็นเส้นด้วยเส้นขาด ซึ่งยาวกว่า 4/3 เท่า ซึ่งหมายความว่าความยาวของเส้นขาดทั้งหมดจะคูณด้วย 4/3 ในแต่ละขั้นตอน: ความยาวของเส้นที่มีตัวเลข nเท่ากับ (4/3) n-1 . ดังนั้นเส้นจำกัดจึงไม่มีทางเลือกนอกจากต้องยาวเป็นอนันต์

3. เกล็ดหิมะของ Koch จำกัดพื้นที่อันจำกัด และนี่ถึงแม้ว่าเส้นรอบวงจะไม่มีที่สิ้นสุดก็ตาม คุณสมบัตินี้อาจดูขัดแย้งกัน แต่ก็ชัดเจน - เกล็ดหิมะพอดีกับวงกลมอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นพื้นที่จึงมีจำกัดอย่างเห็นได้ชัด สามารถคำนวณพื้นที่ได้และคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้พิเศษสำหรับสิ่งนี้ด้วยซ้ำ - โรงเรียนสอนสูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมและผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สำหรับผู้ที่สนใจ การคำนวณจะแสดงไว้ด้านล่างนี้เป็นการพิมพ์แบบละเอียด

ให้ด้านของสามเหลี่ยมปกติเดิมเท่ากับ ก. แล้วพื้นที่ของมันคือ. ด้านแรกคือ 1 และพื้นที่คือ: จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อการวนซ้ำเพิ่มขึ้น? เราสามารถสรุปได้ว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเล็กๆ ติดอยู่กับรูปหลายเหลี่ยมที่มีอยู่ ครั้งแรกมีเพียง 3 อันเท่านั้น และในครั้งต่อไปจะมีมากกว่าครั้งก่อนถึง 4 เท่า นั่นคือบน nขั้นตอนที่ 3 จะเสร็จสิ้น ทีเอ็น= 3 4 n-1 สามเหลี่ยม ความยาวของด้านแต่ละด้านคือหนึ่งในสามของด้านของสามเหลี่ยมที่เสร็จสมบูรณ์ในขั้นตอนที่แล้ว มันจึงเท่ากับ (1/3) n. พื้นที่เป็นสัดส่วนกับกำลังสองของด้านข้าง ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละอันจึงเท่ากับ . สำหรับค่าที่มาก nโดยวิธีการนี้น้อยมาก การมีส่วนร่วมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ต่อพื้นที่ของเกล็ดหิมะคือ ทีเอ็น · ส= 3/4 · (4/9) n · ส 0 . ดังนั้นหลังจากนั้น n-ขั้น พื้นที่ของรูปจะเท่ากับผลรวม ส 0 + ต 1 · ส 1 + ต 2 · ส 2 + ... +ทีเอ็นส n = . เกล็ดหิมะจะได้มาหลังจากผ่านขั้นตอนจำนวนอนันต์ซึ่งสอดคล้องกับ n→ ∞ ผลลัพธ์คือผลรวมอนันต์ แต่นี่คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง มีสูตรดังนี้ . พื้นที่ของเกล็ดหิมะคือ

4. มิติแฟร็กทัลเท่ากับ log4/log3 = log 3 4 data 1.261859... การคำนวณที่แม่นยำจะต้องใช้ความพยายามอย่างมากและมีคำอธิบายโดยละเอียด ดังนั้น ต่อไปนี้เป็นเพียงภาพประกอบของคำจำกัดความของมิติแฟร็กทัล จากสูตรกฎกำลัง เอ็น(δ ) ~ (1/δ )ดี, ที่ไหน เอ็น- จำนวนช่องสี่เหลี่ยมที่ตัดกัน δ - ขนาดของพวกเขาและ ดีคือมิติ เราเข้าใจแล้ว ดี= บันทึก 1/ δ เอ็น. ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงขึ้นอยู่กับการบวกค่าคงที่ (เหมือนกันสำหรับทุกคน δ ). ตัวเลขแสดงการวนซ้ำครั้งที่ห้าของการสร้างเส้นโค้ง Koch โดยตารางสี่เหลี่ยมที่ตัดกับโค้งจะเป็นสีเขียว ความยาวของส่วนเดิมคือ 1 ดังนั้นในรูปด้านบนความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 1/9 แรเงาช่องสี่เหลี่ยม 12 ช่อง บันทึก 9 12 data 1.130929... . ยังไม่คล้ายกับ 1.261859 มากนัก... . มาดูกันต่อ ในภาพตรงกลาง สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีขนาดครึ่งหนึ่ง โดยมีขนาด 1/18 แรเงา 30 log 18 30 µm 1.176733... . ดีขึ้นแล้ว. ด้านล่างสี่เหลี่ยมยังคงมีขนาดใหญ่เพียงครึ่งหนึ่ง มีการทาสีทับไปแล้ว 72 ชิ้น ล็อก 72 30 data 1.193426... . ยิ่งใกล้เข้าไปอีก จากนั้นคุณต้องเพิ่มจำนวนการวนซ้ำและในเวลาเดียวกันก็ลดกำลังสองลงจากนั้นค่า "เชิงประจักษ์" ของมิติของเส้นโค้ง Koch จะเข้าใกล้บันทึก 3 4 อย่างต่อเนื่องและในขีด จำกัด มันจะตรงกันโดยสมบูรณ์

จะได้เกล็ดหิมะ Koch "ตรงกันข้าม" หากเราสร้างเส้นโค้ง Koch ภายในสามเหลี่ยมด้านเท่าดั้งเดิม

สายซีซาโร่. แทนที่จะใช้สามเหลี่ยมด้านเท่า จะใช้สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมฐานตั้งแต่ 60° ถึง 90° ในรูปมุมคือ 88°

ตัวเลือกสี่เหลี่ยม ที่นี่สี่เหลี่ยมเสร็จสมบูรณ์

สโนว์เฟลกโคช

ผ้าใบ(
เส้นขอบ: 1px ประดำ;
}

วาร์คอส = 0.5,
บาป = Math.sqrt(3) / 2,
องศา = Math.PI / 180;
canv, ctx;

ฟังก์ชั่น rebro (n, len) (
ctx.บันทึก(); // บันทึกการเปลี่ยนแปลงปัจจุบัน
if (n == 0) ( // กรณีไม่เรียกซ้ำ - ลากเส้น
ctx.lineTo(เลน, 0);
}
อื่น(
ctx.สเกล(1 / 3, 1 / 3); // ซูมออก 3 เท่า
รีโบร(n-1, เลน); //การเรียกคืนที่ขอบ
ctx.rotate(60 * องศา);
รีโบร(n-1, เลน);
ctx.rotate(-120 * องศา);
รีโบร(n-1, เลน);
ctx.rotate(60 * องศา);
รีโบร(n-1, เลน);
}
ctx.เรียกคืน(); // คืนค่าการเปลี่ยนแปลง
ctx.แปล (len, 0); //ไปจนสุดขอบ
}

ฟังก์ชั่น DrawKochSnowflake(x, y, len, n) (
x = x - เลน / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.บันทึก();
ctx.beginPath();
ctx.แปล(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
รีบอร์(n, เลน); ctx.rotate(-120 * องศา); //RECUUUURSION เป็นรูปสามเหลี่ยมอยู่แล้ว
รีบอร์(n, เลน); ctx.rotate(-120 * องศา);
รีบอร์(n, เลน); ctx.closePath();
ctx. strokeStyle = "#000";
ctx.จังหวะ();
ctx.เรียกคืน();
}

ฟังก์ชั่น clearcanvas())( //เคลียร์ canvas
ctx.บันทึก();
ctx.beginPath();

// ใช้เมทริกซ์เอกลักษณ์ในขณะที่เคลียร์แคนวาส
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);

// คืนค่าการแปลง
ctx.เรียกคืน();
}

ฟังก์ชั่นรัน () (
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").value;
DrawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, ตัวเลข);

Ctx.จังหวะ(); //กำลังเรนเดอร์
}

เกล็ดหิมะของ Koch - ตัวอย่าง

ฤดูหนาวในบอสตันมีอากาศอบอุ่นผิดปกติ แต่เรายังคงรอหิมะแรก เมื่อมองดูหิมะตกทางหน้าต่าง ฉันนึกถึงเกล็ดหิมะและโครงสร้างมันไม่ง่ายเลยที่จะอธิบายทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม มีเกล็ดหิมะชนิดพิเศษชนิดหนึ่งที่เรียกว่าเกล็ดหิมะคอช์ ซึ่งสามารถอธิบายได้ค่อนข้างง่าย วันนี้เราจะมาดูกันว่ารูปร่างของมันสามารถสร้างได้อย่างไรโดยใช้ COMSOL Multiphysics Application Builder

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วในบล็อกของเรา fractals สามารถใช้ใน . สโนว์เฟลกโคชเป็นเศษส่วน ซึ่งมีความโดดเด่นตรงที่มีกระบวนการวนซ้ำที่ง่ายมากในการสร้างมันขึ้นมา:

ขั้นตอนนี้แสดงไว้ในภาพด้านล่างสำหรับการวาดเกล็ดหิมะสี่ครั้งแรก

การทำซ้ำสี่ครั้งแรกของเกล็ดหิมะ Koch รูปภาพโดย Wxs - งานของตัวเอง ได้รับอนุญาตภายใต้ CC BY-SA 3.0 ผ่าน Wikimedia Commons

เนื่องจากตอนนี้เรารู้แล้วว่าควรใช้อัลกอริธึมใด มาดูวิธีสร้างโครงสร้างดังกล่าวโดยใช้ COMSOL Multiphysics Application Builder กัน เราจะเปิดไฟล์ใหม่และสร้างวัตถุ 2 มิติ ส่วนเรขาคณิตที่โหนด คำจำกัดความสากล. สำหรับวัตถุนี้ เราจะตั้งค่าพารามิเตอร์อินพุต 5 รายการ ได้แก่ ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เอ็กซ์- และ ย– พิกัดจุดกึ่งกลางของฐาน และส่วนประกอบของเวกเตอร์ปกติที่ลากจากกึ่งกลางฐานไปยังจุดยอดตรงข้าม ดังแสดงในรูปด้านล่าง

พารามิเตอร์ 5 ตัวที่ใช้ในการกำหนดขนาด ตำแหน่ง และการวางแนวของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

การตั้งค่าพารามิเตอร์อินพุตของส่วนเรขาคณิต
รูปหลายเหลี่ยมดั้งเดิมใช้ในการสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

วัตถุสามารถหมุนรอบจุดศูนย์กลางของขอบด้านล่างได้

วัตถุสามารถเคลื่อนย้ายโดยสัมพันธ์กับจุดกำเนิดได้

ตอนนี้เราได้กำหนดส่วนทางเรขาคณิตแล้ว เราจะใช้มันครั้งเดียวในส่วนนี้ เรขาคณิต. สามเหลี่ยมเดี่ยวนี้เทียบเท่ากับการวนซ้ำครั้งที่ 0 ของเกล็ดหิมะ Koch และตอนนี้ เรามาใช้เครื่องมือสร้างแอปพลิเคชันเพื่อสร้างเกล็ดหิมะที่ซับซ้อนมากขึ้นกันดีกว่า

แอปพลิเคชั่นนี้มีส่วนต่อประสานกับผู้ใช้ที่เรียบง่าย มีเพียงสององค์ประกอบที่ผู้ใช้สามารถโต้ตอบด้วย: สไลเดอร์ (สไลเดอร์)(ทำเครื่องหมายเป็น 1 ในรูปด้านล่าง) ซึ่งคุณสามารถกำหนดจำนวนการวนซ้ำที่จำเป็นในการสร้างเกล็ดหิมะ และ ปุ่ม(ป้ายกำกับ 2) โดยการคลิกที่เรขาคณิตผลลัพธ์ที่ถูกสร้างขึ้นและแสดง นอกจากนี้ยังมี ข้อความที่จารึกไว้(ฉลาก 3) และ การแสดงผล (Display) ของข้อมูล(ป้ายกำกับ 4) ซึ่งแสดงจำนวนการวนซ้ำที่ระบุ รวมถึงหน้าต่าง ชาร์ต(ป้ายกำกับ 5) ซึ่งแสดงรูปทรงสุดท้าย

แอปพลิเคชันมีแบบฟอร์มเดียวที่มีห้าองค์ประกอบ

แอปพลิเคชันมีสองรายการ คำจำกัดความซึ่งหนึ่งในนั้นกำหนดค่าจำนวนเต็มที่เรียกว่า Iterations ซึ่งมีค่าเริ่มต้นเป็นศูนย์ แต่ผู้ใช้สามารถเปลี่ยนแปลงได้ นอกจากนี้ยังมีการกำหนดอาร์เรย์ 1D ของ doubles ที่เรียกว่า Center องค์ประกอบเดียวในอาร์เรย์มีค่า 0.5 ซึ่งใช้เพื่อค้นหาจุดกึ่งกลางของแต่ละขอบ ค่านี้ไม่เคยเปลี่ยนแปลง

การตั้งค่าสำหรับสองคำจำกัดความ

คอมโพเนนต์ Slider ใน UI ควบคุมค่าของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ Iterations ภาพหน้าจอด้านล่างแสดงการตั้งค่าสำหรับ "ตัวเลื่อน" และค่าซึ่งกำหนดเป็นจำนวนเต็มในช่วงระหว่าง 0 ถึง 5 นอกจากนี้ แหล่งที่มาเดียวกัน (สำหรับตัวเลื่อน) ก็ถูกเลือกสำหรับส่วนประกอบด้วย การแสดงข้อมูลเพื่อแสดงจำนวนการวนซ้ำที่ระบุบนหน้าจอแอปพลิเคชัน เราจำกัดผู้ที่อาจเป็นผู้ใช้ให้ทำซ้ำได้เพียงห้าครั้ง เนื่องจากอัลกอริทึมที่ใช้ไม่มีประสิทธิภาพสูงสุดและไม่ได้มีประสิทธิภาพมากนัก แต่ง่ายพอที่จะนำไปใช้และสาธิตได้

การตั้งค่าสำหรับส่วนประกอบ "Slider"

ต่อไป มาดูการตั้งค่าสำหรับปุ่มของเราดังที่แสดงในภาพหน้าจอด้านล่าง เมื่อกดปุ่ม จะมีการดำเนินการสองคำสั่ง ขั้นแรกให้เรียกเมธอด CreateSnowFlake จากนั้นเรขาคณิตที่ได้จะแสดงในหน้าต่างกราฟิก

การตั้งค่าปุ่ม

ตอนนี้เราได้ดูอินเทอร์เฟซผู้ใช้ของแอปพลิเคชันของเราแล้ว และเราจะเห็นว่าการสร้างเรขาคณิตเกล็ดหิมะใดๆ จะต้องเกิดขึ้นผ่านวิธีการที่เรียกว่า ลองดูโค้ดสำหรับวิธีนี้ โดยเพิ่มหมายเลขบรรทัดทางด้านซ้ายและค่าคงที่สตริงไฮไลต์ด้วยสีแดง:

1 model.geom("geom1" ).feature().clear(); 2 model.geom("geom1" ).create("pi1" , "PartInstance" ); 3 model.geom("geom1" ).run("ครีบ" ); 4 สำหรับ (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = "pi" + ซ้ำ; 7 สำหรับ (int edge = 1; edge "geom1" ).getNEdges(); edge++) ( 8 สตริง newPartInstance = "pi" + iter + edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1" ); 10 with(model. geom("geom1" ).feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr" , "Length" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr" , "px" , model.geom("geom1" ).edgeX(ขอบ, กลาง)); 13 setEntry("inputexpr" , "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(ขอบ, กลาง)); 14 setEntry("inputexpr " , "nx" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(ขอบ, กลาง)); 15 setEntry("inputexpr" , "ny" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(ขอบ, กลาง)) ; 16 จบด้วย(); 17 UnionList = newPartInstance; 18 ) 19 model.geom("geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" ).selection("input" ).set(UnionList ); 20 model.geom("geom1" ).feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "ปิด" ); 21 model.geom("geom1" ).run("ครีบ" ); 22)

มาดูโค้ดทีละบรรทัดเพื่อทำความเข้าใจว่าแต่ละบรรทัดทำหน้าที่อะไร:

ดังนั้นเราจึงได้ครอบคลุมทุกแง่มุมและองค์ประกอบของแอปพลิเคชันของเรา มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า!

แอปพลิเคชันง่ายๆ ของเราสำหรับการสร้างเกล็ดหิมะ Koch

เราสามารถขยายแอปพลิเคชันของเราเพื่อเขียนเรขาคณิตลงในไฟล์ หรือแม้แต่ทำการวิเคราะห์เพิ่มเติมโดยตรง ตัวอย่างเช่น เราสามารถออกแบบเสาอากาศแฟร็กทัลได้ หากคุณสนใจในการออกแบบเสาอากาศ โปรดดูตัวอย่างของเรา หรือแม้แต่สร้างเค้าโครงตั้งแต่เริ่มต้น

หากคุณต้องการสร้างแอปพลิเคชันนี้ด้วยตนเอง แต่ยังไม่ได้สร้างแอปพลิเคชันให้เสร็จสมบูรณ์ คุณอาจพบว่าแหล่งข้อมูลต่อไปนี้มีประโยชน์:

• ดาวน์โหลดคู่มือ ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสภาพแวดล้อมการพัฒนาแอปพลิเคชันเป็นภาษาอังกฤษ
• ดูวิดีโอเหล่านี้และเรียนรู้วิธีการใช้งาน
• อ่านหัวข้อเหล่านี้เพื่อทำความคุ้นเคยกับวิธีการใช้แอปพลิเคชันการจำลอง

เมื่อคุณครอบคลุมเนื้อหานี้แล้ว คุณจะเห็นว่าฟังก์ชันของแอปสามารถขยายเพื่อปรับขนาดเกล็ดหิมะ ส่งออกรูปทรงเรขาคณิตที่สร้างขึ้น ประมาณพื้นที่และปริมณฑล และอื่นๆ อีกมากมายได้อย่างไร

คุณต้องการสร้างแอปพลิเคชันประเภทใดใน COMSOL Multiphysics เพื่อขอความช่วยเหลือ

เกล็ดหิมะแฟร็กทัลซึ่งเป็นหนึ่งในวัตถุทางเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงและลึกลับที่สุดได้รับการอธิบายโดย Helga von Koch เมื่อต้นศตวรรษของเรา ตามประเพณีในวรรณคดีของเราเรียกว่าเกล็ดหิมะของโคช์ส นี่เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ "แหลมคม" มาก ซึ่งสามารถเห็นได้ในเชิงเปรียบเทียบว่าเป็นผลมาจากการที่ดาราแห่งดาวิดถูก "คูณ" ซ้ำแล้วซ้ำเล่าด้วยตัวมันเอง รังสีหลักทั้งหกของมันถูกปกคลุมไปด้วยจุดยอด "เข็ม" ขนาดใหญ่และขนาดเล็กจำนวนอนันต์ ชิ้นส่วนที่มองเห็นด้วยกล้องจุลทรรศน์ทุกส่วนของรูปร่างของเกล็ดหิมะนั้นเปรียบเสมือนถั่วสองอันในฝัก และลำแสงขนาดใหญ่ก็บรรจุชิ้นส่วนที่มองเห็นด้วยกล้องจุลทรรศน์เดียวกันจำนวนอนันต์

ในการประชุมสัมมนาระดับนานาชาติเกี่ยวกับวิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในเมืองวาร์นาเมื่อปี 1994 ฉันได้พบกับงานของนักเขียนชาวบัลแกเรียที่บรรยายประสบการณ์ของพวกเขาในการใช้เกล็ดหิมะของ Koch และวัตถุอื่น ๆ ที่คล้ายกันในบทเรียนระดับมัธยมปลายเพื่อแสดงให้เห็นถึงปัญหาการแบ่งพื้นที่และ aporias ทางปรัชญาของ Zeno นอกจากนี้จากมุมมองทางการศึกษาในความคิดของฉันหลักการของการสร้างโครงสร้างเรขาคณิตเศษส่วนปกตินั้นน่าสนใจมาก - หลักการของการคูณแบบเรียกซ้ำขององค์ประกอบพื้นฐาน ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ธรรมชาติ "ชอบ" รูปแบบแฟร็กทัล สิ่งนี้อธิบายได้อย่างแม่นยำจากข้อเท็จจริงที่ว่าพวกมันได้มาจากการทำซ้ำอย่างง่ายและการเปลี่ยนขนาดของบล็อคการสร้างพื้นฐานบางอย่าง ดังที่คุณทราบ ธรรมชาติไม่ได้ล้นหลามด้วยเหตุผลหลายประการ และหากเป็นไปได้ ก็ใช้วิธีแก้ปัญหาอัลกอริทึมที่ง่ายที่สุด มองดูรูปทรงของใบไม้อย่างใกล้ชิด และในหลายกรณี คุณจะค้นพบความสัมพันธ์ที่ชัดเจนกับรูปร่างของเกล็ดหิมะ Koch

การแสดงโครงสร้างทางเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลสามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์เท่านั้น การสร้างเกล็ดหิมะ Koch เหนือลำดับที่สามด้วยตนเองนั้นเป็นเรื่องยากมากอยู่แล้ว แต่คุณต้องการมองไปสู่อนันต์จริงๆ! ดังนั้นทำไมไม่ลองพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ให้เหมาะสมดูล่ะ ใน RuNet คุณสามารถค้นหาคำแนะนำสำหรับการสร้างเกล็ดหิมะ Koch จากรูปสามเหลี่ยมได้ ผลลัพธ์ของอัลกอริธึมนี้ดูเหมือนเป็นเส้นที่ตัดกันสับสน การรวมตัวเลขนี้จาก "ชิ้นส่วน" น่าสนใจกว่า รูปร่างของเกล็ดหิมะ Koch ประกอบด้วยส่วนที่มีความยาวเท่ากัน โดยมีความลาดเอียงที่ 0°, 60° และ 120° เทียบกับแกน x ในแนวนอน หากเราแทนพวกมัน 1, 2 และ 3 ตามลำดับ เกล็ดหิมะในลำดับใดๆ จะประกอบด้วยแฝดสามที่ต่อเนื่องกัน - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... เป็นต้น แต่ละประเภทในสามประเภทนี้ ของเซ็กเมนต์สามารถแนบกับส่วนก่อนหน้าได้ที่ปลายด้านใดด้านหนึ่งหรืออีกด้านหนึ่ง เมื่อพิจารณาถึงสถานการณ์นี้ เราสามารถสรุปได้ว่ารูปร่างของเกล็ดหิมะประกอบด้วยส่วนต่างๆ หกประเภท สมมติว่าพวกเขาเป็น 0, 1, 2, 3, 4, 5 ดังนั้นเราจึงมีโอกาสเข้ารหัสโครงร่างของลำดับใด ๆ โดยใช้ตัวเลข 6 หลัก (ดูรูป)

เกล็ดหิมะที่มีลำดับสูงกว่าได้มาจากรุ่นก่อนหน้าที่มีลำดับต่ำกว่าโดยการแทนที่แต่ละขอบด้วยสี่อัน เชื่อมต่อกันเหมือนฝ่ามือพับ (_/\_) ประเภทขอบ 0 จะถูกแทนที่ด้วยสี่ขอบ 0, 5, 1, 0 และอื่นๆ ตามตาราง:

สามเหลี่ยมด้านเท่าธรรมดาสามารถมองได้ว่าเป็นเกล็ดหิมะ Koch ที่มีลำดับเป็นศูนย์ ในระบบการเข้ารหัสที่อธิบายไว้ จะสอดคล้องกับรายการ 0, 4, 2 อย่างอื่นสามารถรับได้จากการแทนที่ที่อธิบายไว้ ฉันจะไม่ให้รหัสขั้นตอนที่นี่และทำให้คุณขาดความสุขในการพัฒนาโปรแกรมของคุณเอง เมื่อเขียนข้อความนั้น ไม่จำเป็นต้องใช้การเรียกซ้ำอย่างชัดเจนเลย สามารถแทนที่ด้วยรอบปกติได้ ในกระบวนการทำงาน คุณจะมีเหตุผลอื่นที่จะต้องคิดถึงการเรียกซ้ำและบทบาทของมันในการก่อตัวของรูปแบบกึ่งเศษส่วนของโลกรอบตัวเราและที่จุดสิ้นสุดของเส้นทาง (ถ้าแน่นอนคุณไม่ขี้เกียจเกินไป เพื่อผ่านมันไปจนจบ) คุณจะสามารถชื่นชมรูปแบบที่ซับซ้อนของรูปทรงของเกล็ดหิมะแฟร็กทัลและในที่สุดก็มองหน้าอนันต์

หัวข้อ: เศษส่วน.

1. บทนำ. ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์โดยย่อเกี่ยวกับแฟร็กทัล 2. เศษส่วนเป็นองค์ประกอบของเรขาคณิตในธรรมชาติ

3. วัตถุที่มีคุณสมบัติแฟร็กทัลในธรรมชาติ 4. คำจำกัดความของคำศัพท์ “แฟร็กทัล”

5.คลาสของแฟร็กทัล

6.คำอธิบายกระบวนการแฟร็กทัล 7.ขั้นตอนในการรับเซตเศษส่วน

8.1 โคคาหัก (ขั้นตอนการรับ)

8.2 โคช์สสโนว์เฟลก (Koch Fractal)

8.3 ฟองน้ำ Menger

9. ตัวอย่างการใช้เศษส่วน

แฟร็กทัลเป็นสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่อง

ในปีพ.ศ. 2447 Swede Koch ได้เกิดเส้นโค้งต่อเนื่องซึ่งไม่มีเส้นสัมผัสกันที่ใดเลย นั่นคือเส้นโค้ง Koch

ในปี 1918 ชาวฝรั่งเศส Julia บรรยายถึงตระกูลแฟร็กทัลทั้งหมด

ในปีพ.ศ. 2481 ปิแอร์ เลวีได้ตีพิมพ์บทความเรื่อง "เส้นโค้งและพื้นผิวของระนาบและอวกาศที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่คล้ายคลึงกันทั้งหมด"

ในปี 1982 Benoit Mandelbrot ได้ตีพิมพ์หนังสือเรื่อง "The Fractal Geometry of Nature"

การสร้างภาพโดยใช้โครงสร้างและสูตรง่ายๆ “ภาพวาดแฟร็กทัล” ปรากฏขึ้น

ตั้งแต่ปี 1993 World Scientific ได้ตีพิมพ์วารสาร “Fractals”

เศษส่วนเป็นวิธีการในการอธิบายวัตถุต่างๆ เช่น แบบจำลองของเทือกเขา ชายฝั่งที่ขรุขระ ระบบไหลเวียนของเส้นเลือดฝอยและภาชนะจำนวนมาก มงกุฎของต้นไม้ น้ำตกที่ลดหลั่นกัน ลวดลายที่เยือกแข็งบนกระจก

หรือสิ่งเหล่านี้: ใบเฟิร์น, เมฆ, ซับ

รูปภาพของวัตถุดังกล่าวสามารถแสดงได้โดยใช้กราฟิกแฟร็กทัล

ปะการังปลาดาวและเม่นทะเลเปลือกหอย

ดอกไม้และพืช (บรอกโคลี กะหล่ำปลี) ผลไม้ (สับปะรด)

มงกุฎของต้นไม้และใบของพืช ระบบไหลเวียนโลหิตและหลอดลมของคนและสัตว์ ในธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต:

ขอบเขตของวัตถุทางภูมิศาสตร์ (ประเทศ ภูมิภาค เมือง) ชายฝั่งทะเล เทือกเขา เกล็ดหิมะ เมฆ ฟ้าผ่า

ลวดลายที่เกิดขึ้นบนแก้ว คริสตัล หินย้อย หินย้อย เฮลิคไทต์

แฟร็กทัลเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้อย่างน้อยหนึ่งประการ:

มีโครงสร้างที่ซับซ้อนไม่ซับซ้อนไม่ว่าจะขยายขนาดเท่าใด (ทุกขนาด) มีความคล้ายคลึงในตัวเอง (โดยประมาณ)

มันมีมิติ Hausdorff แบบเศษส่วน (แฟร็กทัล) หรือเกินกว่าทอพอโลยี สามารถสร้างโดยขั้นตอนแบบเรียกซ้ำ

สำหรับตัวเลขปกติ เช่น วงกลม วงรี หรือกราฟของฟังก์ชันเรียบ ชิ้นส่วนเล็กๆ ในมาตราส่วนขนาดใหญ่มากจะคล้ายกับส่วนของเส้นตรง สำหรับแฟร็กทัล การเพิ่มสเกลไม่ได้ทำให้โครงสร้างง่ายขึ้น สำหรับทุกสเกล เราจะเห็นภาพที่ซับซ้อนไม่แพ้กัน

แฟร็กทัลเป็นโครงสร้างที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ (โครงสร้างพื้นฐาน) คล้ายกับโครงสร้างทั้งหมด

แฟร็กทัลบางประเภทซึ่งเป็นองค์ประกอบของธรรมชาติสามารถจำแนกได้เป็นแฟร็กทัลเชิงเรขาคณิต (เชิงสร้างสรรค์)

ส่วนที่เหลือสามารถจัดเป็นเศษส่วนแบบไดนามิก (พีชคณิต)

นี่เป็นขั้นตอนแบบเรียกซ้ำอย่างง่ายสำหรับการรับเส้นโค้งแฟร็กทัล: ระบุเส้นแบ่งตามอำเภอใจพร้อมลิงก์จำนวนจำกัด - ตัวสร้าง จากนั้นแต่ละส่วนของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าจะถูกแทนที่ด้วย จากนั้นแต่ละส่วนในนั้นจะถูกแทนที่ด้วยเครื่องกำเนิดอีกครั้งและไม่มีที่สิ้นสุด

แสดง: การแบ่งส่วนของหน่วยออกเป็น 3 ส่วน (a) พื้นที่หน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็น 9 ส่วน (b) หน่วยลูกบาศก์ออกเป็น 27 ส่วน (c) และ 64 ส่วน (d) จำนวนชิ้นส่วนคือ n ตัวประกอบสเกลคือ k และมิติของปริภูมิคือ d เรามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: n = kd,

ถ้า n = 3, k = 3 ดังนั้น d = 1; ถ้า n = 9, k = 3 ดังนั้น d = 2; ถ้า n = 27, k = 3 แล้ว d = 3

ถ้า n = 4, k = 4 ดังนั้น d = 1; ถ้า n = 16, k = 4 ดังนั้น d = 2; ถ้า n = 64, k = 4 ดังนั้น d = 3 มิติของปริภูมิจะแสดงเป็นจำนวนเต็ม: d = 1, 2, 3; สำหรับ n = 64 ค่าของ d คือ

แสดงห้าขั้นตอนในการสร้าง Koch polyline: ส่วนของความยาวหน่วย (a) แบ่งออกเป็นสามส่วน (k = 3) จากสี่ส่วน (n = 4) - เส้นขาด (b); แต่ละส่วนตรงแบ่งออกเป็นสามส่วน (k2 = 9) และ 16 ส่วน (n2 = 16) - เส้นแบ่ง (c) ทำซ้ำขั้นตอนนี้สำหรับ k3 = 27 และ n3 = 64 – เส้นขาด (g) สำหรับ k5 = 243 และ n5 = 1,024 – เส้นขาด (d)

มิติ

นี่คือมิติเศษส่วนหรือเศษส่วน

Koch polyline เสนอโดย Helg von Koch ในปี 1904 ทำหน้าที่เป็นแฟร็กทัลที่เหมาะสำหรับการสร้างแบบจำลองความแข็งแกร่งของแนวชายฝั่ง แมนเดลโบรต์แนะนำองค์ประกอบของการสุ่มในอัลกอริทึมการสร้างแนวชายฝั่ง ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อข้อสรุปหลักเกี่ยวกับความยาวของแนวชายฝั่ง เพราะว่ามีขีดจำกัด

ความยาวของแนวชายฝั่งมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากความขรุขระที่ไม่มีที่สิ้นสุดของชายฝั่ง

ขั้นตอนการทำให้แนวชายฝั่งเรียบขึ้นเมื่อย้ายจากระดับที่มีรายละเอียดมากขึ้นไปเป็นระดับที่มีรายละเอียดน้อยลงเช่น

เป็นพื้นฐานสำหรับการก่อสร้างคุณไม่สามารถใช้ส่วนของความยาวหน่วยได้ แต่เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งแต่ละด้านคุณสามารถขยายขั้นตอนการคูณความผิดปกติได้ ในกรณีนี้ เราได้เกล็ดหิมะ Koch (รูปที่) และมีสามประเภท: สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นใหม่นั้นหันออกไปด้านนอกจากสามเหลี่ยมก่อนหน้าเท่านั้น (a) และ (b); ภายในเท่านั้น (ใน); สุ่มทั้งภายนอกหรือภายใน (d) และ (e) คุณจะกำหนดขั้นตอนการสร้าง Koch fractal ได้อย่างไร

ข้าว. สโนว์เฟลกโคช

ในรูป แสดงไดอะแกรมเวกเตอร์สองอัน ตัวเลขเหนือลูกศรอาจจะทำให้เกิดคำถาม: ตัวเลขเหล่านี้หมายถึงอะไร? เวกเตอร์ 0 เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางบวกของแกนแอบซิสซา เนื่องจากตัวประกอบเฟส exp (i2πl/6) ที่ l = 0 คงทิศทางไว้ เวกเตอร์ 1 ถูกหมุนสัมพันธ์กับเวกเตอร์ 0 ด้วยมุม 2π/6 เมื่อ l= 1 เวกเตอร์ 5 มีตัวประกอบเฟส exp (i2π5/6), l = 5 เวกเตอร์ตัวสุดท้ายมีตัวประกอบเฟสเดียวกันกับตัวแรก ( ล = 0) จำนวนเต็ม l แสดงถึงมุมของตัวประกอบเฟสของเวกเตอร์หน่วย

ขั้นตอนแรก (รูป) ระบุขั้นตอนแบบเรียกซ้ำสำหรับขั้นตอนต่อมาทั้งหมด และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับขั้นตอนที่สอง (รูป) จะไปจากชุดตัวเลข φ1 = (0 1 5 0) ถึง φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) ได้อย่างไร? คำตอบ: ผ่านการคูณเมทริกซ์โดยตรง เมื่อแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์หนึ่งคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิม เนื่องจากในกรณีนี้ เรากำลังเผชิญกับอาร์เรย์หนึ่งมิติ เช่น เนื่องจากเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์-เวกเตอร์หนึ่งตัวจึงถูกคูณด้วยองค์ประกอบของเมทริกซ์-เวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง นอกจากนี้ องค์ประกอบของเมทริกซ์-เวกเตอร์ φ1 ประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลัง exp (i2πl/6) ดังนั้น 10 เมื่อคูณตัวเลข h จะต้องบวกตาม mod (6) และไม่คูณ

รูปทรงเรขาคณิตของเกล็ดหิมะ Koch มีลักษณะเช่นนี้



วิธีการวาดเกล็ดหิมะ Koch



และยังมีปิรามิดคอชอีกด้วย



ดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการวาดเกล็ดหิมะ Koch ได้จากวิดีโอด้านล่าง อาจมีใครสักคนเข้าใจฉันก็ยอมแพ้

ก่อนอื่นเรามาดูเกล็ดหิมะ Koch นี้กันก่อน แผนภาพด้านล่างจะแสดงให้เราเห็นได้ดีที่สุด



นั่นคือในการวาดเกล็ดหิมะที่กำหนดคุณต้องใช้รูปทรงเรขาคณิตแต่ละอันซึ่งประกอบเป็นเศษส่วนทางเรขาคณิตนี้



พื้นฐานของการวาดภาพของเราคือสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ละด้านแบ่งออกเป็นสามส่วน จากนั้นจะมีการสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีขนาดเล็กกว่าถัดไป การดำเนินการเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับสามเหลี่ยมผลลัพธ์หลายครั้ง

เกล็ดหิมะของ Koch เป็นหนึ่งในเศษส่วนกลุ่มแรกที่นักวิทยาศาสตร์ศึกษา เกล็ดหิมะได้มาจากเส้นโค้ง Koch สามชุดข้อมูลเกี่ยวกับการค้นพบนี้ปรากฏในปี 1904 ในบทความโดย Helge von Koch นักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดน โดยพื้นฐานแล้ว เส้นโค้งถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อเป็นตัวอย่างของเส้นต่อเนื่องซึ่งไม่สามารถลากเส้นสัมผัสกัน ณ จุดใดๆ ได้ เส้นโค้ง Koch ได้รับการออกแบบอย่างเรียบง่าย

ตัวอย่างการวาดภาพเกล็ดหิมะ Koch พร้อมการวาดภาพทีละขั้นตอน



ในแผนภาพนี้ คุณสามารถตรวจสอบรายละเอียดเส้นที่จะสร้างเกล็ดหิมะ Koch ในภายหลังได้

และนี่คือการตีความเกล็ดหิมะใหม่โดยอิงจากเกล็ดหิมะของ Koch



ก่อนที่คุณจะเข้าใจวิธีการวาดเกล็ดหิมะ Koch คุณต้องพิจารณาว่ามันคืออะไร

ดังนั้นเกล็ดหิมะ Koch จึงเป็นภาพเรขาคณิต - เศษส่วน

คำจำกัดความทั้งหมดของเกล็ดหิมะของ Koch มีอยู่ในภาพด้านล่าง