สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันถ้าสามารถทับซ้อนกันได้ รูปที่ 1 แสดงสามเหลี่ยมเท่ากัน ABC และ A 1 B 1 C 1 สามเหลี่ยมแต่ละรูปเหล่านี้สามารถซ้อนทับกันเพื่อให้เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือจุดยอดและด้านข้างของพวกมันถูกจับคู่เข้าด้วยกัน เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีนี้มุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะรวมกันเป็นคู่

ดังนั้น หากสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน องค์ประกอบ (เช่น ด้านและมุม) ของสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับองค์ประกอบของอีกรูปสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ สังเกตว่า ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากันกับด้านเท่ากันตามลำดับ(เช่น ซ้อนทับกันเมื่อซ้อนทับ) นอนมุมเท่ากันและกลับ: ด้านตรงข้ามมุมเท่ากันจะอยู่ด้านเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ ABC และ A 1 B 1 C 1 แสดงในรูปที่ 1 มุมที่เท่ากัน C และ C 1 อยู่กับด้านที่เท่ากัน AB และ A 1 B 1 ตามลำดับ ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จะแสดงดังนี้: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 ปรากฎว่าความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบบางอย่าง

ทฤษฎีบทที่ 1 สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมหากด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองด้านตามลำดับ และมุมระหว่างพวกมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน (รูปที่ 2)

การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 ซึ่ง AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (ดูรูปที่ 2) ให้เราพิสูจน์ว่า Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

เนื่องจาก ∠ A \u003d ∠ A 1 จากนั้นสามเหลี่ยม ABC สามารถซ้อนทับบนสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เพื่อให้จุดยอด A อยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด A 1 และด้าน AB และ AC จะซ้อนทับกันตามลำดับ รังสี A 1 B 1 และ A 1 C หนึ่ง ตั้งแต่ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 จากนั้นด้าน AB จะถูกรวมเข้ากับด้าน A 1 B 1 และด้าน AC - กับด้าน A 1 C 1; โดยเฉพาะจุด B และ B 1 , C และ C 1 จะตรงกัน ดังนั้นด้าน BC และ B 1 C 1 จะอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น สามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จึงเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าเท่ากัน

ทฤษฎีบท 2 ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันโดยวิธีการทับซ้อน

ทฤษฎีบท 2 เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมหากด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้านตามลำดับและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน (รูปที่ 34)

ความคิดเห็น จากทฤษฎีบท 2 ทฤษฎีบท 3 ถูกสร้างขึ้น

ทฤษฎีบทที่ 3 ผลรวมของมุมภายในสองมุมใดๆ ของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่า 180°

ทฤษฎีบทที่ 4 ต่อจากทฤษฎีบทที่แล้ว

ทฤษฎีบทที่ 4 มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมภายในใดๆ ที่ไม่ติดกับมุม

ทฤษฎีบทที่ 5 เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากับ ()

ตัวอย่างที่ 1ในรูปสามเหลี่ยม ABC และ DEF (รูปที่ 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 ซม., AC = 18 ซม., DE = 18 ซม., EF = 20 ซม. เปรียบเทียบสามเหลี่ยม ABC และ DEF มุมใดในรูปสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B

สารละลาย. สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากันในเครื่องหมายแรก มุม F ของสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B ของสามเหลี่ยม ABC เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกับด้านเท่ากัน DE และ AC

ตัวอย่าง 2ส่วน AB และ CD (รูปที่ 5) ตัดกันที่จุด O ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของแต่ละส่วน เซ็กเมนต์ BD เท่ากับเท่าใดหากเซกเมนต์ AC เท่ากับ 6 เมตร

สารละลาย. สามเหลี่ยม AOC และ BOD เท่ากัน (ตามเกณฑ์แรก): ∠ AOC = ∠ BOD (แนวตั้ง), AO = OB, CO = OD (ตามเงื่อนไข)
จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นไปตามความเท่าเทียมกันของด้านของมัน นั่นคือ AC = BD แต่เนื่องจากตามเงื่อนไข AC = 6 m แล้ว BD = 6 m.

สามเหลี่ยม - ความหมายและแนวคิดทั่วไป

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมธรรมดา ซึ่งประกอบด้วยด้านสามด้านและมีจำนวนมุมเท่ากัน ระนาบของมันถูก จำกัด ด้วย 3 จุดและ 3 ส่วนเชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่

จุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมใดๆ โดยไม่คำนึงถึงความหลากหลายของมันถูกระบุด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ และด้านข้างของมันถูกวาดด้วยการกำหนดจุดยอดที่ตรงกันข้ามกัน ไม่ใช่แค่ตัวพิมพ์ใหญ่ แต่เป็นตัวอักษรขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดกำกับว่า A, B และ C มีด้าน a, b, c

หากเราพิจารณารูปสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิด นี่คือรูปเรขาคณิตที่สร้างขึ้นโดยใช้สามส่วนที่เชื่อมต่อสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

ดูภาพด้านบนอย่างใกล้ชิด ที่จุดนั้น จุด A, B และ C คือจุดยอดของสามเหลี่ยมนี้ และส่วนของมันถูกเรียกว่าด้านข้างของสามเหลี่ยม จุดยอดแต่ละอันของรูปหลายเหลี่ยมนี้จะสร้างมุมภายใน

ประเภทของสามเหลี่ยม

ตามขนาดมุมของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งออกเป็นพันธุ์ต่างๆเช่น: สี่เหลี่ยม;
มุมแหลม;
ป้าน.

สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากหนึ่งมุมและอีกสองมุมมีมุมแหลม

สามเหลี่ยมมุมแหลมคือรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมทั้งหมด

และถ้าสามเหลี่ยมมีมุมป้านหนึ่งมุม และอีกสองมุมเป็นมุมแหลม แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นอยู่ในมุมป้าน

ทุกท่านทราบดีว่าสามเหลี่ยมบางรูปไม่มีด้านเท่ากัน และตามความยาวของด้าน สามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็น:

หน้าจั่ว;
ด้านเท่ากันหมด;
อเนกประสงค์

ภารกิจ: วาดรูปสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ ให้คำจำกัดความแก่พวกเขา คุณเห็นความแตกต่างอะไรระหว่างพวกเขา?

คุณสมบัติพื้นฐานของสามเหลี่ยม

แม้ว่ารูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายเหล่านี้อาจแตกต่างกันไปตามขนาดของมุมหรือด้าน แต่ในแต่ละรูปสามเหลี่ยมจะมีคุณสมบัติพื้นฐานที่เป็นลักษณะของรูปนี้

ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ:

ผลรวมของมุมทั้งหมดคือ 180º
หากเป็นด้านเท่ากันหมด แต่ละมุมจะเท่ากับ60º
สามเหลี่ยมด้านเท่ามีมุมเท่ากันและเท่ากัน
ยิ่งด้านของรูปหลายเหลี่ยมเล็ก มุมตรงข้ามก็ยิ่งเล็ก และในทางกลับกัน มุมที่ใหญ่กว่าจะตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่า
หากด้านเท่ากัน ด้านตรงข้ามจะเป็นมุมเท่ากัน และในทางกลับกัน
หากเราเอาสามเหลี่ยมแล้วขยายด้านของมัน ในที่สุด เราก็จะได้มุมภายนอก เท่ากับผลรวมของมุมภายใน
ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ด้านของมัน ไม่ว่าคุณจะเลือกอันไหน จะยังน้อยกว่าผลรวมของอีก 2 ด้านที่เหลือ แต่จะมากกว่าผลต่าง:

1.a< b + c, a >ขค;
2.b< a + c, b >ค;
3.c< a + b, c >ข.

งาน

ตารางแสดงมุมสองมุมที่ทราบกันดีอยู่แล้วของสามเหลี่ยม เมื่อทราบผลรวมของมุมทั้งหมดแล้ว ให้หาว่ามุมที่สามของสามเหลี่ยมเท่ากับเท่าใดแล้วป้อนในตาราง:

1. มุมที่สามมีกี่องศา?
2. เป็นรูปสามเหลี่ยมประเภทใด

สามเหลี่ยมสมมูล

ฉันเซ็น

เครื่องหมายที่สอง

เครื่องหมายที่สาม

ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ความสูงของรูปสามเหลี่ยม - เส้นตั้งฉากที่ลากจากด้านบนของรูปไปด้านตรงข้าม เรียกว่า ความสูงของรูปสามเหลี่ยม ความสูงทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดตัดของระดับความสูงทั้ง 3 ของรูปสามเหลี่ยมคือจุดศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์

ส่วนที่ลากจากจุดยอดที่กำหนดและเชื่อมต่อไว้ตรงกลางด้านตรงข้ามคือค่ามัธยฐาน ค่ามัธยฐานเช่นเดียวกับความสูงของสามเหลี่ยม มีจุดตัดร่วมจุดเดียว ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมหรือเซนทรอยด์

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดของมุมกับจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม และยังแบ่งมุมนี้ออกเป็นครึ่งด้วย เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

ส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าเส้นกึ่งกลาง

ประวัติอ้างอิง

รูปทรงดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมเป็นที่รู้จักในสมัยโบราณ ตัวเลขนี้และคุณสมบัติของมันถูกกล่าวถึงในกระดาษปาปิริอียิปต์เมื่อสี่พันปีก่อน ต้องขอบคุณทฤษฎีบทพีทาโกรัสและสูตรของนกกระสาที่ทำให้การศึกษาคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมได้เลื่อนระดับขึ้นไปสู่ระดับที่สูงขึ้น แต่ถึงกระนั้นก็เกิดขึ้นเมื่อสองพันกว่าปีก่อน

ในศตวรรษที่ 15-16 การวิจัยจำนวนมากเริ่มต้นขึ้นเกี่ยวกับคุณสมบัติของสามเหลี่ยม และด้วยเหตุนี้ วิทยาศาสตร์เช่น planimetry จึงเกิดขึ้นซึ่งเรียกว่า "New Triangle Geometry"

นักวิทยาศาสตร์จากรัสเซีย N.I. Lobachevsky มีส่วนอย่างมากต่อความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของสามเหลี่ยม ผลงานของเขาพบการประยุกต์ใช้ทั้งในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์และไซเบอร์เนติกส์

ด้วยความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของสามเหลี่ยม วิทยาศาสตร์เช่นตรีโกณมิติจึงเกิดขึ้น กลายเป็นว่ามีความจำเป็นสำหรับบุคคลในความต้องการในทางปฏิบัติของเขา เนื่องจากการใช้งานมีความจำเป็นเพียงแค่ในการรวบรวมแผนที่ วัดพื้นที่ และแม้กระทั่งเมื่อออกแบบกลไกต่างๆ

สามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงที่สุดคืออะไร? แน่นอนว่านี่คือสามเหลี่ยมเบอร์มิวดา! มันได้ชื่อมาในช่วงทศวรรษที่ 50 เนื่องจากตำแหน่งทางภูมิศาสตร์ของจุดต่างๆ (จุดยอดของสามเหลี่ยม) ซึ่งตามทฤษฎีที่มีอยู่ ความผิดปกติที่เกี่ยวข้องกับจุดนั้นได้เกิดขึ้น ยอดเขาของสามเหลี่ยมเบอร์มิวดา ได้แก่ เบอร์มิวดา ฟลอริดา และเปอร์โตริโก

การบ้าน: คุณเคยได้ยินทฤษฎีอะไรเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเบอร์มิวดาบ้าง

คุณรู้หรือไม่ว่าในทฤษฎีของ Lobachevsky เมื่อบวกมุมของสามเหลี่ยม ผลรวมของพวกมันจะมีผลลัพธ์น้อยกว่า 180º เสมอ ในเรขาคณิตของรีมันเนียน ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่า 180º ในขณะที่ในงานเขียนของยุคลิดจะเท่ากับ 180 องศา

การบ้าน

ไขปริศนาอักษรไขว้ในหัวข้อที่กำหนด

คำถามไขว้:

1. เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมถึงเส้นตรงที่อยู่ฝั่งตรงข้ามชื่ออะไร
2. คุณเรียกผลรวมของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างไรในหนึ่งคำ?
3. ตั้งชื่อสามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน?
4. ตั้งชื่อสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากับ 90°?
5. ด้านที่ใหญ่กว่าด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมชื่ออะไร
6. ชื่อด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว?
7. ในสามเหลี่ยมใด ๆ จะมีสามรูปเสมอ
8. สามเหลี่ยมที่มีมุมเกิน 90 องศาชื่ออะไร?
9. ชื่อของส่วนที่เชื่อมต่อส่วนบนของร่างของเรากับตรงกลางของฝั่งตรงข้าม?
10. ในรูปหลายเหลี่ยม ABC อย่างง่าย ตัวพิมพ์ใหญ่ A คือ...?
11. ส่วนที่แบ่งมุมของสามเหลี่ยมครึ่งวงกลมชื่ออะไร

คำถามเกี่ยวกับสามเหลี่ยม:

1. ให้คำจำกัดความ
2. มีความสูงเท่าไร?
3. รูปสามเหลี่ยมมีครึ่งเสี้ยวกี่ตัว?
4. ผลรวมของมุมเป็นเท่าใด
5. คุณรู้จักรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาประเภทใด
6. ตั้งชื่อจุดของสามเหลี่ยมที่เรียกว่ามหัศจรรย์
7. เครื่องมืออะไรวัดมุมได้?
8. หากเข็มนาฬิกาแสดง 21 ชั่วโมง เข็มชั่วโมงทำมุมอะไร
9. บุคคลจะหันไปทางมุมใดหากได้รับคำสั่ง "ไปทางซ้าย", "รอบ"?
10. คุณรู้คำจำกัดความอื่นใดที่เกี่ยวข้องกับรูปที่มีสามมุมและสามด้าน

ระดับแรก

สามเหลี่ยม. คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

ในเรื่องของ "สามเหลี่ยม" บางทีเราอาจเขียนหนังสือทั้งเล่มได้ แต่หนังสือทั้งเล่มยาวเกินไปที่จะอ่านใช่ไหม ดังนั้น เราจะพิจารณาเฉพาะข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ โดยทั่วไป และหัวข้อพิเศษทุกประเภท เช่น ฯลฯ เน้นในหัวข้อแยกต่างหาก - อ่านหนังสือทีละชิ้น แล้วสามเหลี่ยมล่ะ

1. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม มุมด้านนอก

จำไว้ให้มั่นและอย่าลืม เราจะไม่พิสูจน์สิ่งนี้ (ดูทฤษฎีระดับต่อไป)

สิ่งเดียวที่ทำให้คุณสับสนในถ้อยคำของเราคือคำว่า "ภายใน"

ทำไมมันถึงอยู่ที่นี่? แต่อย่างแม่นยำแล้ว เพื่อเน้นว่าเรากำลังพูดถึงมุมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม แล้วข้างนอกมีมุมอื่นอีกไหม? ลองนึกภาพว่ามี สามเหลี่ยมก็มี มุมด้านนอก. และผลที่สำคัญที่สุดของการที่ผลรวม มุมภายในสามเหลี่ยมเท่ากับ สัมผัสแค่สามเหลี่ยมนอก ลองหาว่ามุมด้านนอกของสามเหลี่ยมนี้คืออะไร

ดูภาพ: เราเอาสามเหลี่ยมและด้านหนึ่ง (พูด) เราดำเนินการต่อ

แน่นอน เราสามารถออกจากด้านข้างและดำเนินการต่อด้านข้างได้ แบบนี้:

แต่เกี่ยวกับมุมของเรื่องนี้ที่จะพูดในทุกกรณี เป็นสิ่งต้องห้าม!

ดังนั้นไม่ใช่ทุกมุมนอกรูปสามเหลี่ยมจะเรียกว่ามุมภายนอก แต่มีเพียงมุมที่เกิดจาก ด้านหนึ่งและส่วนต่อขยายของอีกด้านหนึ่ง

แล้วเราต้องรู้อะไรเกี่ยวกับมุมด้านนอกบ้าง?

ดูในรูปของเรานี่หมายความว่า

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมอย่างไร

ลองคิดออก ผลรวมของมุมภายในเท่ากับ

แต่ - เพราะและอยู่ติดกัน

นี่คือ:

ง่ายแค่ไหนมาดูกัน! แต่ สำคัญมาก. ดังนั้นจำไว้ว่า:

ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน และมุมภายนอกของสามเหลี่ยมคือผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่อยู่ประชิดมุมนั้น

2. อสมการของสามเหลี่ยม

ข้อเท็จจริงต่อไปไม่เกี่ยวกับมุม แต่เกี่ยวข้องกับด้านข้างของสามเหลี่ยม

หมายความว่า

คุณเดาแล้วหรือยังว่าทำไมข้อเท็จจริงนี้ถึงเรียกว่าอสมการสามเหลี่ยม?

อสมการสามเหลี่ยมนี้มีประโยชน์ตรงไหน?

และจินตนาการว่าคุณมีเพื่อนสามคน: Kolya, Petya และ Sergey ดังนั้น Kolya จึงพูดว่า: "จากบ้านของฉันถึง Petya เป็นเส้นตรง" และ Petya: "จากบ้านของฉันถึงบ้านของ Sergei เป็นเส้นตรง" และ Sergey: "คุณรู้สึกดี แต่จากบ้านของฉันถึง Kolinoy เป็นเส้นตรงแล้ว" ที่นี่คุณควรจะพูดว่า: "หยุด หยุด! พวกเจ้าบางคนกำลังโกหก!”

ทำไม? ใช่เพราะถ้าจาก Kolya ถึง Petya m และจาก Petya ถึง Sergey m จากนั้นจาก Kolya ถึง Sergey จะต้องน้อยกว่า () เมตรอย่างแน่นอน - มิฉะนั้นจะละเมิดความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมาก แน่นอนว่าสามัญสำนึกถูกละเมิดอย่างแน่นอน: ทุกคนรู้ตั้งแต่วัยเด็กว่าเส้นทางสู่เส้นตรง () ควรสั้นกว่าเส้นทางไปยังจุด (). ดังนั้นอสมการสามเหลี่ยมจึงสะท้อนถึงข้อเท็จจริงที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ตอนนี้คุณรู้วิธีตอบคำถามแล้วพูดว่า:

สามเหลี่ยมมีด้านหรือไม่?

คุณต้องตรวจสอบว่าตัวเลขสองในสามตัวนี้รวมกันเป็นตัวเลขที่สามจริงหรือไม่ ตรวจสอบ: หมายความว่าไม่มีสามเหลี่ยมที่มีด้าน! แต่กับงานปาร์ตี้ - มันเกิดขึ้นเพราะ

3. ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

และถ้าไม่ใช่หนึ่ง แต่สองรูปขึ้นไป จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าเท่ากัน? จริงๆแล้วตามคำจำกัดความ:

แต่... นั่นเป็นคำจำกัดความที่น่าอึดอัดใจชะมัด! อธิษฐานบอกจะกำหนดสามเหลี่ยมสองรูปแม้ในสมุดบันทึกได้อย่างไร! แต่สำหรับความสุขของเรามี สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมซึ่งช่วยให้คุณใช้ความคิดได้โดยไม่ทำอันตรายต่อโน้ตบุ๊ก

และนอกจากการทิ้งเรื่องตลกเล็กๆ น้อยๆ ฉันจะบอกความลับแก่คุณ สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้ว คำว่า "impose triangles" ไม่ได้หมายความว่าจะตัดมันออกแล้วซ้อนทับเลย แต่พูดหลายคำหลายคำที่จะพิสูจน์ได้ว่าสอง สามเหลี่ยมจะตรงกันเมื่อซ้อนทับ ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใดคุณควรเขียนงานของคุณว่า "ฉันตรวจสอบแล้ว - สามเหลี่ยมตรงเมื่อซ้อนทับ" - พวกเขาจะไม่นับมันสำหรับคุณและพวกเขาจะถูกต้องเพราะไม่มีใครรับประกันว่าคุณไม่ได้ทำผิดพลาดเมื่อวางซ้อน กล่าวคือหนึ่งในสี่ของมิลลิเมตร

ดังนั้น นักคณิตศาสตร์บางคนจึงพูดเป็นหมู่คำ เราจะไม่พูดคำเหล่านี้ซ้ำหลังจากนั้น (ยกเว้นในระดับสุดท้ายของทฤษฎี) แต่เราจะใช้อย่างแข็งขัน สามสัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

ในชีวิตประจำวัน (ทางคณิตศาสตร์) เป็นที่ยอมรับในสูตรที่สั้นลง - ง่ายต่อการจดจำและนำไปใช้

1. ป้ายแรกอยู่สองด้านและเป็นมุมระหว่างพวกเขา
2. ป้ายที่สอง - สองมุมและด้านที่อยู่ติดกัน
3. ป้ายที่สามอยู่บนสามด้าน

สามเหลี่ยม. สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

สามเหลี่ยมเป็นรูปเรขาคณิตที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงสามส่วนซึ่งเชื่อมจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

แนวคิดพื้นฐาน.

คุณสมบัติพื้นฐาน:

1. ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมใดๆ มีค่าเท่ากัน นั่นคือ
2. มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่อยู่ประชิดกัน นั่นคือ
   หรือ
3. ผลรวมของความยาวของสองด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่าความยาวของด้านที่สาม นั่นคือ
4. ในรูปสามเหลี่ยม ด้านที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามมุมที่ใหญ่กว่า มุมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่า กล่าวคือ
   ถ้าเช่นนั้นและในทางกลับกัน
   ถ้าอย่างนั้น

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

1. สัญญาณแรก- ทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา

2. สัญญาณที่สอง- ที่มุมทั้งสองและด้านที่อยู่ติดกัน

3. เครื่องหมายที่สาม- สามด้าน.

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้ยังไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบที่ประสบความสำเร็จสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะได้รับมากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่ทราบ...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ปัญหา (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยการแก้ปัญหาการวิเคราะห์รายละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - 499 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

การแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ด้านขวา และมุมป้าน การจำแนกตามอัตราส่วนกว้างยาวจะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นมาตราส่วน ด้านเท่า และหน้าจั่ว นอกจากนี้ สามเหลี่ยมแต่ละรูปยังเป็นของสองรูปพร้อมกัน ตัวอย่างเช่น สามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเอนกประสงค์ได้ในเวลาเดียวกัน

เมื่อกำหนดประเภทตามประเภทของมุมโปรดใช้ความระมัดระวัง สามเหลี่ยมมุมป้านจะเรียกว่าสามเหลี่ยมดังกล่าว ซึ่งมุมหนึ่งคือ มากกว่า 90 องศา สามเหลี่ยมมุมฉากสามารถคำนวณได้โดยมีมุมฉากหนึ่งมุม (เท่ากับ 90 องศา) อย่างไรก็ตาม ในการจำแนกสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมแหลม คุณจะต้องแน่ใจว่ามุมทั้งสามของสามเหลี่ยมนั้นแหลม

การกำหนดมุมมอง สามเหลี่ยมตามอัตราส่วนกว้างยาว คุณต้องหาความยาวของทั้งสามด้านก่อน อย่างไรก็ตาม หากโดยเงื่อนไขแล้ว ความยาวของด้านที่ไม่ได้กำหนดไว้ มุมสามารถช่วยคุณได้ สามเหลี่ยมจะใช้งานได้หลากหลาย โดยทั้งสามด้านมีความยาวต่างกัน หากไม่ทราบความยาวของด้าน สามารถจำแนกสามเหลี่ยมเป็นมาตราส่วนได้หากมุมทั้งสามต่างกัน สามเหลี่ยมมุมฉากอาจเป็นมุมป้าน มุมฉาก หรือมุมแหลมก็ได้

สามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่วถ้าสองในสามด้านเท่ากัน หากไม่กำหนดความยาวของด้าน ให้นำมุมสองมุมเท่ากัน สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เช่น สามเหลี่ยมมุมฉาก สามารถเป็นมุมป้าน มุมฉาก และมุมแหลมได้

สามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถเป็นได้เฉพาะด้านทั้งสามที่มีความยาวเท่ากัน มุมทั้งหมดของมันมีค่าเท่ากัน และแต่ละมุมมีค่าเท่ากับ 60 องศา จากนี้ เป็นที่ชัดเจนว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีมุมแหลมเสมอ

คำแนะนำ 2: วิธีการระบุรูปสามเหลี่ยมป้านและรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน

รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดคือสามเหลี่ยม มันถูกสร้างขึ้นด้วยความช่วยเหลือของสามจุดที่อยู่บนระนาบเดียวกัน แต่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเชื่อมต่อเป็นคู่โดยส่วน อย่างไรก็ตาม รูปสามเหลี่ยมมีหลายประเภท ซึ่งหมายความว่ามีคุณสมบัติต่างกัน

การเรียนการสอน

เป็นเรื่องปกติที่จะแยกแยะสามประเภท: ป้าน, เฉียบพลันและสี่เหลี่ยม มันเหมือนกับมุม สามเหลี่ยมป้านคือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมป้านด้านหนึ่ง มุมป้านคือมุมที่มากกว่าเก้าสิบองศาแต่น้อยกว่าหนึ่งร้อยแปดสิบ ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม ABC คือ 65 ° มุม BCA คือ 95 ° และมุม CAB คือ 20° มุม ABC และ CAB นั้นน้อยกว่า 90° แต่มุม BCA นั้นมากกว่า สามเหลี่ยมนั้นจึงป้าน

สามเหลี่ยมมุมแหลมคือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมแหลมทุกมุม มุมแหลมคือมุมที่น้อยกว่าเก้าสิบและมากกว่าศูนย์องศา ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม ABC คือ 60° มุม BCA คือ 70° และมุม CAB คือ 50° ทั้งสามมุมมีค่าน้อยกว่า 90° จึงเป็นรูปสามเหลี่ยม ถ้าคุณรู้ว่าสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด หมายความว่ามุมทั้งหมดของมันมีค่าเท่ากัน ขณะที่มีค่าเท่ากับหกสิบองศา ดังนั้น ทุกมุมในสามเหลี่ยมดังกล่าวจึงน้อยกว่าเก้าสิบองศา ดังนั้น สามเหลี่ยมดังกล่าวจึงเป็นมุมแหลม

หากในรูปสามเหลี่ยมมุมใดมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับเก้าสิบองศา แสดงว่ามุมนั้นไม่ได้อยู่ในประเภทมุมกว้างหรือมุมแหลม นี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก

หากประเภทของสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยอัตราส่วนกว้างยาว พวกมันจะเป็นด้านเท่ากันหมด มาตราส่วน และหน้าจั่ว ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ด้านทุกด้านเท่ากัน และอย่างที่คุณพบว่าสามเหลี่ยมนั้นแหลม หากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันสองด้านเท่านั้น หรือถ้าด้านไม่เท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นอาจเป็นมุมป้าน มุมฉาก หรือมุมแหลม ดังนั้น ในกรณีเหล่านี้ จำเป็นต้องคำนวณหรือวัดมุมและสรุปผลตามย่อหน้าที่ 1, 2 หรือ 3

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

ที่มา:

• สามเหลี่ยมป้าน

ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปขึ้นไปจะสอดคล้องกับกรณีที่ด้านและมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากัน อย่างไรก็ตาม มีเกณฑ์ที่ง่ายกว่าหลายประการในการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้

คุณจะต้องการ

• ตำราเรขาคณิต แผ่นกระดาษ ดินสอธรรมดา ไม้โปรแทรกเตอร์ ไม้บรรทัด

การเรียนการสอน

เปิดตำราเรขาคณิตเกรดเจ็ดของคุณไปที่ย่อหน้าบนเครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม คุณจะเห็นว่ามีสัญญาณพื้นฐานจำนวนหนึ่งที่พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูป หากรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำลังทดสอบความเท่าเทียมกันนั้นเป็นกฎเกณฑ์ เกณฑ์ความเท่าเทียมกันหลักสามรูปสำหรับรูปเหล่านั้น หากทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมแล้ว สัญญาณหลักสามประการจะเสริมด้วยสัญญาณอื่นๆ อีกหลายประการ ตัวอย่างเช่น ในกรณีของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อ่านกฎข้อแรกเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าช่วยให้เราสามารถพิจารณาสามเหลี่ยมที่เท่ากันได้หากสามารถพิสูจน์ได้ว่ามุมใดมุมหนึ่งและด้านที่อยู่ติดกันสองด้านของสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน เพื่อให้เข้าใจกฎข้อนี้ ให้วาดบนแผ่นกระดาษที่มีมุมแน่นอนสองมุมเหมือนกันซึ่งเกิดจากรังสีสองเส้นที่เปล่งออกมาจากจุดหนึ่ง วัดด้วยไม้บรรทัดด้านเดียวกันจากด้านบนของมุมที่วาดในทั้งสองกรณี ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดขึ้น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเท่ากัน

เพื่อที่จะไม่ใช้มาตรการเชิงปฏิบัติดังกล่าวเพื่อทำความเข้าใจเกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม โปรดอ่านข้อพิสูจน์ของเกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกัน ความจริงก็คือกฎแต่ละข้อเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมีหลักฐานทางทฤษฎีที่เข้มงวด ไม่สะดวกที่จะใช้เพื่อจดจำกฎ

อ่านเครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม มันบอกว่าสามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากัน ถ้าด้านใดด้านหนึ่งและมุมประชิดสองมุมของสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากัน เพื่อที่จะจำกฎนี้ ให้นึกภาพด้านที่วาดของสามเหลี่ยมและสองมุมที่อยู่ติดกัน ลองนึกภาพว่าความยาวของด้านข้างของมุมค่อยๆ เพิ่มขึ้น ในที่สุดพวกมันจะตัดกันเป็นมุมที่สาม ในงานจิตนี้ เป็นสิ่งสำคัญที่จุดตัดของด้านที่เพิ่มขึ้นทางจิตใจ เช่นเดียวกับมุมที่เป็นผล ถูกกำหนดโดยด้านที่สามและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันอย่างมีเอกลักษณ์

หากคุณไม่ได้รับข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยมที่ทำการศึกษา ให้ใช้การทดสอบครั้งที่สามเพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ตามกฎนี้ สามเหลี่ยมสองรูปจะถือว่าเท่ากัน ถ้าทั้งสามด้านของหนึ่งในนั้นเท่ากับสามด้านที่สอดคล้องกันของอีกด้านหนึ่ง ดังนั้น กฎข้อนี้กล่าวว่าความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมจะกำหนดมุมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมโดยไม่ซ้ำกัน ซึ่งหมายความว่าพวกมันจะกำหนดสามเหลี่ยมนั้นเองโดยไม่ซ้ำกัน

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง