Mga halimbawa ng factoring polynomial. Paano i-factor ang isang quadratic trinomial: formula

bahay / Manloloko ng asawa

Ang square trinomial ay isang polynomial ng anyong ax^2 + bx + c, kung saan ang x ay variable, a, b at c ay ilang mga numero, at a ≠ 0.

Upang i-factor ang isang trinomial, kailangan mong malaman ang mga ugat ng trinomial na iyon. (karagdagang halimbawa sa trinomial 5x^2 + 3x- 2)

Tandaan: ang halaga ng quadratic trinomial 5x^2 + 3x - 2 ay depende sa halaga ng x. Halimbawa: Kung x = 0, pagkatapos ay 5x^2 + 3x - 2 = -2

Kung x = 2, pagkatapos ay 5x^2 + 3x - 2 = 24

Kung x = -1, pagkatapos ay 5x^2 + 3x - 2 = 0

Sa x = -1, ang parisukat na trinomial na 5x^2 + 3x - 2 ay nawawala, sa kasong ito ang numerong -1 ay tinatawag ugat ng isang square trinomial.

Paano makuha ang ugat ng isang equation

Ipaliwanag natin kung paano natin nakuha ang ugat ng equation na ito. Una, kailangan mong malinaw na malaman ang theorem at ang formula kung saan kami gagana:

"Kung ang x1 at x2 ay ang mga ugat ng quadratic trinomial ax^2 + bx + c, pagkatapos ay ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a\

Ang formula na ito para sa paghahanap ng mga ugat ng isang polynomial ay ang pinaka-primitive na formula, gamit na hindi ka malito.

Ang expression ay 5x^2 + 3x – 2.

1. Equate sa zero: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation, upang gawin ito ay pinapalitan natin ang mga halaga sa formula (a ay ang koepisyent ng X^2, b ay ang koepisyent ng X, ang libreng termino, iyon ay, ang figure na walang X ):

Nakita namin ang unang ugat na may plus sign sa harap ng square root:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

Ang pangalawang ugat na may minus sign sa harap ng square root:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Kaya nahanap namin ang mga ugat ng quadratic trinomial. Upang matiyak na tama ang mga ito, maaari mong suriin: una naming pinapalitan ang unang ugat sa equation, pagkatapos ay ang pangalawa:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Kung, pagkatapos palitan ang lahat ng mga ugat, ang equation ay nagiging zero, kung gayon ang equation ay malulutas nang tama.

3. Ngayon ay gamitin natin ang formula mula sa theorem: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), tandaan na ang X1 at X2 ay ang mga ugat ng quadratic equation. Kaya: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. Upang matiyak na tama ang agnas, maaari mong i-multiply lang ang mga bracket:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. Alin ang nagpapatunay sa pagiging tama ng desisyon.

Ang pangalawang opsyon para sa paghahanap ng mga ugat ng isang square trinomial

Ang isa pang opsyon para sa paghahanap ng mga ugat ng isang square trinomial ay ang inverse theorem sa Viette's theorem. Dito matatagpuan ang mga ugat ng quadratic equation gamit ang mga formula: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Ngunit mahalagang maunawaan na ang theorem na ito ay magagamit lamang kung ang koepisyent a = 1, iyon ay, ang numero sa harap ng x^2 = 1.

Halimbawa: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Nalutas namin ang: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Ngayon mahalagang isipin kung anong mga numero sa produkto ang nagbibigay ng isa? Natural ito 1 * 1 At -1 * (-1) . Mula sa mga numerong ito pipiliin namin ang mga tumutugma sa expression na x1 + x2 = 2, siyempre - ito ay 1 + 1. Kaya natagpuan namin ang mga ugat ng equation: x1 = 1, x2 = 1. Madali itong suriin kung kami palitan ang x^2 sa expression - 2x + 1 = 0.

Sa araling ito, matututunan natin kung paano i-factor ang quadratic trinomals sa linear factor. Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang teorama ni Vieta at ang kabaligtaran nito. Ang kasanayang ito ay makakatulong sa amin nang mabilis at maginhawang palawakin ang mga quadratic trinomial sa mga linear na kadahilanan, at pasimplehin din ang pagbabawas ng mga fraction na binubuo ng mga expression.

Kaya bumalik tayo sa quadratic equation, kung saan .

Ang mayroon tayo sa kaliwang bahagi ay tinatawag na quadratic trinomial.

Ang teorama ay totoo: Kung ang mga ugat ng isang quadratic trinomial, kung gayon ang pagkakakilanlan ay humahawak

Nasaan ang nangungunang koepisyent, ang mga ugat ng equation.

Kaya, mayroon kaming isang quadratic equation - isang quadratic trinomial, kung saan ang mga ugat ng quadratic equation ay tinatawag ding mga ugat ng quadratic trinomial. Samakatuwid, kung mayroon tayong mga ugat ng isang square trinomial, ang trinomial na ito ay maaaring mabulok sa mga linear na kadahilanan.

Patunay:

Patunay itong katotohanan ay isinagawa gamit ang teorama ni Vieta, na tinalakay natin sa mga nakaraang aralin.

Tandaan natin kung ano ang sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta:

Kung ang mga ugat ng isang quadratic trinomial kung saan , kung gayon .

Ang sumusunod na pahayag ay sumusunod mula sa teorama na ito:

Nakikita namin na, ayon sa teorama ng Vieta, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang ito sa pormula sa itaas, nakukuha namin ang sumusunod na expression

Q.E.D.

Alalahanin na napatunayan namin ang teorama na kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial, kung gayon ang pagpapalawak ay wasto.

Ngayon tandaan natin ang isang halimbawa ng isang quadratic equation, kung saan pinili natin ang mga ugat gamit ang Vieta's theorem. Mula sa katotohanang ito maaari nating makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay salamat sa napatunayang teorama:

Ngayon suriin natin ang kawastuhan ng katotohanang ito sa pamamagitan lamang ng pagbubukas ng mga bracket:

Nakikita namin na kami ay nag-factor nang tama, at anumang trinomial, kung ito ay may mga ugat, ay maaaring i-factorize ayon sa theorem na ito sa mga linear na kadahilanan ayon sa formula

Gayunpaman, suriin natin kung posible ang naturang factorization para sa anumang equation:

Kunin, halimbawa, ang equation . Una, suriin natin ang discriminant sign

At naaalala natin na upang matupad ang teorama na ating natutunan, ang D ay dapat na higit sa 0, kaya sa kasong ito, ang factorization ayon sa theorem na ating natutunan ay imposible.

Samakatuwid, magbalangkas tayo bagong teorama: Kung ang isang quadratic trinomial ay walang mga ugat, kung gayon hindi ito maisasaliksik sa mga linear na salik.

Kaya, tiningnan namin ang teorama ni Vieta, ang posibilidad na mabulok ang isang quadratic trinomial sa mga linear na kadahilanan, at ngayon ay malulutas namin ang ilang mga problema.

Gawain Blg. 1

Sa grupong ito ay talagang malulutas natin ang problema na kabaliktaran sa ipinupunta. Nagkaroon kami ng equation, at natagpuan namin ang mga ugat nito sa pamamagitan ng pag-factor nito. Dito gagawin natin ang kabaligtaran. Sabihin nating mayroon tayong mga ugat ng isang quadratic equation

Ang kabaligtaran na problema ay ito: sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito.

Mayroong 2 paraan upang malutas ang problemang ito.

Dahil ang mga ugat ng equation, kung gayon ay isang quadratic equation na ang mga ugat ay binigay na mga numero. Ngayon buksan natin ang mga bracket at suriin:

Ito ang unang paraan kung saan gumawa kami ng quadratic equation na may mga ibinigay na ugat, na walang iba pang mga ugat, dahil ang anumang quadratic equation ay may hindi hihigit sa dalawang ugat.

Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng inverse Vieta theorem.

Kung ang mga ugat ng equation, kung gayon natutugunan nila ang kundisyon na .

Para sa pinababang quadratic equation , , ibig sabihin, sa kasong ito, at .

Kaya, lumikha kami ng isang parisukat na equation na may ibinigay na mga ugat.

Gawain Blg. 2

Ito ay kinakailangan upang bawasan ang fraction.

Mayroon tayong trinomial sa numerator at trinomial sa denominator, at ang trinomial ay maaaring maging factorized o hindi. Kung ang numerator at ang denamineytor ay pinagsama-sama, kung gayon sa kanila ay maaaring may pantay na mga kadahilanan na maaaring mabawasan.

Una sa lahat, kailangan mong i-factor ang numerator.

Una, kailangan mong suriin kung ang equation na ito ay maaaring i-factorize, hanapin natin ang discriminant. Dahil , nakadepende ang sign sa produkto (dapat mas mababa sa 0), in sa halimbawang ito, ibig sabihin, ang ibinigay na equation ay may mga ugat.

Upang malutas, ginagamit namin ang teorama ng Vieta:

Sa kasong ito, dahil pinag-uusapan natin ang mga ugat, magiging mahirap na piliin lamang ang mga ugat. Ngunit nakikita natin na ang mga coefficient ay balanse, ibig sabihin, kung ipagpalagay natin na , at i-substitute ang halagang ito sa equation, makukuha natin ang sumusunod na sistema: , ibig sabihin, 5-5=0. Kaya, napili namin ang isa sa mga ugat ng quadratic equation na ito.

Hahanapin natin ang pangalawang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit ng alam na sa sistema ng mga equation, halimbawa, , i.e. .

Kaya, natagpuan namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation at maaaring palitan ang kanilang mga halaga sa orihinal na equation upang i-factor ito:

Tandaan natin ang orihinal na problema, kailangan nating bawasan ang fraction .

Subukan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalit ng .

Kinakailangan na huwag kalimutan na sa kasong ito ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng 0, ibig sabihin, .

Kung matutugunan ang mga kundisyong ito, binawasan namin ang orihinal na fraction sa anyo .

Problema No. 3 (gawain na may parameter)

Sa anong mga halaga ng parameter ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation

Kung ang mga ugat ng equation na ito ay umiiral, kung gayon , tanong: kailan.

Kaya bumalik tayo sa quadratic equation, kung saan .

Ang mayroon tayo sa kaliwang bahagi ay tinatawag na quadratic trinomial.

Ang teorama ay totoo: Kung ang mga ugat ng isang quadratic trinomial, kung gayon ang pagkakakilanlan ay humahawak

Nasaan ang nangungunang koepisyent, ang mga ugat ng equation.

Patunay:

Ang patunay ng katotohanang ito ay isinasagawa gamit ang teorama ni Vieta, na tinalakay natin sa mga nakaraang aralin.

Tandaan natin kung ano ang sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta:

Kung ang mga ugat ng isang quadratic trinomial kung saan , kung gayon .

Ang sumusunod na pahayag ay sumusunod mula sa teorama na ito:

Nakikita namin na, ayon sa teorama ng Vieta, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang ito sa pormula sa itaas, nakukuha namin ang sumusunod na expression

Q.E.D.

Alalahanin na napatunayan namin ang teorama na kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial, kung gayon ang pagpapalawak ay wasto.

Ngayon suriin natin ang kawastuhan ng katotohanang ito sa pamamagitan lamang ng pagbubukas ng mga bracket:

Nakikita namin na kami ay nag-factor nang tama, at anumang trinomial, kung ito ay may mga ugat, ay maaaring i-factorize ayon sa theorem na ito sa mga linear na kadahilanan ayon sa formula

Gayunpaman, suriin natin kung posible ang naturang factorization para sa anumang equation:

Kunin, halimbawa, ang equation . Una, suriin natin ang discriminant sign

At naaalala natin na upang matupad ang teorama na ating natutunan, ang D ay dapat na higit sa 0, kaya sa kasong ito, ang factorization ayon sa theorem na ating natutunan ay imposible.

Samakatuwid, bumubuo kami ng isang bagong teorama: kung ang isang parisukat na trinomial ay walang mga ugat, kung gayon hindi ito mabulok sa mga linear na kadahilanan.

Kaya, tiningnan namin ang teorama ni Vieta, ang posibilidad na mabulok ang isang quadratic trinomial sa mga linear na kadahilanan, at ngayon ay malulutas namin ang ilang mga problema.

Gawain Blg. 1

Ang kabaligtaran na problema ay ito: sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito.

Mayroong 2 paraan upang malutas ang problemang ito.

Dahil ang mga ugat ng equation, kung gayon ay isang quadratic equation na ang mga ugat ay binibigyan ng mga numero. Ngayon buksan natin ang mga bracket at suriin:

Ito ang unang paraan kung saan gumawa kami ng quadratic equation na may mga ibinigay na ugat, na walang iba pang mga ugat, dahil ang anumang quadratic equation ay may hindi hihigit sa dalawang ugat.

Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng inverse Vieta theorem.

Kung ang mga ugat ng equation, kung gayon natutugunan nila ang kundisyon na .

Para sa pinababang quadratic equation , , ibig sabihin, sa kasong ito, at .

Kaya, lumikha kami ng isang parisukat na equation na may ibinigay na mga ugat.

Gawain Blg. 2

Ito ay kinakailangan upang bawasan ang fraction.

Una sa lahat, kailangan mong i-factor ang numerator.

Una, kailangan mong suriin kung ang equation na ito ay maaaring i-factorize, hanapin natin ang discriminant. Dahil ang , ang tanda ay nakasalalay sa produkto (dapat mas mababa sa 0), sa halimbawang ito, ibig sabihin, ang ibinigay na equation ay may mga ugat.

Upang malutas, ginagamit namin ang teorama ng Vieta:

Hahanapin natin ang pangalawang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit ng alam na sa sistema ng mga equation, halimbawa, , i.e. .

Kaya, natagpuan namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation at maaaring palitan ang kanilang mga halaga sa orihinal na equation upang i-factor ito:

Tandaan natin ang orihinal na problema, kailangan nating bawasan ang fraction .

Subukan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalit ng .

Kinakailangan na huwag kalimutan na sa kasong ito ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng 0, ibig sabihin, .

Kung matutugunan ang mga kundisyong ito, binawasan namin ang orihinal na fraction sa anyo .

Problema No. 3 (gawain na may parameter)

Sa anong mga halaga ng parameter ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation

Kung ang mga ugat ng equation na ito ay umiiral, kung gayon , tanong: kailan.

Ang pagpapalawak ng mga polynomial upang makakuha ng isang produkto ay maaaring minsan ay tila nakakalito. Ngunit hindi ganoon kahirap kung naiintindihan mo ang proseso nang hakbang-hakbang. Inilalarawan ng artikulo nang detalyado kung paano i-factor ang isang quadratic trinomial.

Maraming tao ang hindi nakakaintindi kung paano i-factor ang isang square trinomial at kung bakit ito ginagawa. Sa una ay maaaring mukhang isang walang saysay na ehersisyo. Ngunit sa matematika walang ginagawa para sa wala. Ang pagbabago ay kinakailangan upang gawing simple ang expression at kadalian ng pagkalkula.

Isang polynomial ng anyo – ax²+bx+c, tinatawag na quadratic trinomial. Ang terminong "a" ay dapat negatibo o positibo. Sa pagsasagawa, ang expression na ito ay tinatawag na isang quadratic equation. Samakatuwid, minsan iba ang sinasabi nila: kung paano palawakin ang isang quadratic equation.

Interesting! Ang polynomial ay tinatawag na parisukat dahil sa pinakamalaking antas nito, ang parisukat. At isang trinomial - dahil sa 3 sangkap.

Ilang iba pang uri ng polynomial:

linear binomial (6x+8);
kubiko quadrinomial (x³+4x²-2x+9).

Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Una, ang expression ay katumbas ng zero, pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang mga halaga ng mga ugat x1 at x2. Maaaring walang ugat, maaaring may isa o dalawang ugat. Ang pagkakaroon ng mga ugat ay tinutukoy ng discriminant. Kailangan mong malaman ang formula nito ayon sa puso: D=b²-4ac.

Kung ang resulta D ay negatibo, walang mga ugat. Kung positibo, mayroong dalawang ugat. Kung ang resulta ay zero, ang ugat ay isa. Ang mga ugat ay kinakalkula din gamit ang formula.

Kung, kapag kinakalkula ang discriminant, ang resulta ay zero, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula. Sa pagsasagawa, ang formula ay pinaikli lamang: -b / 2a.

Mga formula para sa iba't ibang kahulugan magkaiba ang mga diskriminasyon.

Kung ang D ay positibo:

Kung ang D ay zero:

Mga online na calculator

Sa internet meron online na calculator. Maaari itong magamit upang maisagawa ang factorization. Ang ilang mga mapagkukunan ay nagbibigay ng pagkakataon na tingnan ang solusyon sa hakbang-hakbang. Nakakatulong ang mga ganitong serbisyo upang mas maunawaan ang paksa, ngunit kailangan mong subukang maunawaan ito nang mabuti.

Kapaki-pakinabang na video: Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Mga halimbawa

Inaanyayahan ka naming manood mga simpleng halimbawa, kung paano i-factor ang isang quadratic equation.

Halimbawa 1

Ito ay malinaw na nagpapakita na ang resulta ay dalawang x dahil ang D ay positibo. Kailangang mapalitan ang mga ito sa formula. Kung ang mga ugat ay naging negatibo, ang tanda sa formula ay nagbabago sa kabaligtaran.

Alam natin ang formula para sa pag-factor ng isang quadratic trinomial: a(x-x1)(x-x2). Inilalagay namin ang mga halaga sa mga bracket: (x+3)(x+2/3). Walang numero bago ang isang termino sa isang kapangyarihan. Ibig sabihin meron dun, bumababa.

Halimbawa 2

Ang halimbawang ito ay malinaw na nagpapakita kung paano lutasin ang isang equation na may isang ugat.

Pinapalitan namin ang nagresultang halaga:

Halimbawa 3

Ibinigay: 5x²+3x+7

Una, kalkulahin natin ang discriminant, tulad ng sa mga nakaraang kaso.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Ang discriminant ay negatibo, ibig sabihin ay walang mga ugat.

Pagkatapos matanggap ang resulta, dapat mong buksan ang mga bracket at suriin ang resulta. Dapat lumitaw ang orihinal na trinomial.

Alternatibong solusyon

Ang ilang mga tao ay hindi kailanman nagawang makipagkaibigan sa discriminator. May isa pang paraan para i-factor ang isang quadratic trinomial. Para sa kaginhawahan, ang pamamaraan ay ipinapakita na may isang halimbawa.

Ibinigay: x²+3x-10

Alam namin na dapat kaming makakuha ng 2 bracket: (_)(_). Kapag ganito ang ekspresyon: x²+bx+c, sa simula ng bawat bracket ay inilalagay namin ang x: (x_)(x_). Ang natitirang dalawang numero ay ang produkto na nagbibigay ng "c", ibig sabihin, sa kasong ito -10. Ang tanging paraan upang malaman kung anong mga numero ang mga ito ay sa pamamagitan ng pagpili. Ang mga pinalit na numero ay dapat tumugma sa natitirang termino.

Halimbawa, ang pagpaparami ng mga sumusunod na numero ay nagbibigay ng -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Hindi.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Hindi.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Hindi.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Angkop.

Nangangahulugan ito na ang pagbabago ng expression na x2+3x-10 ay ganito ang hitsura: (x-2)(x+5).

Mahalaga! Dapat kang mag-ingat na huwag malito ang mga palatandaan.

Pagpapalawak ng isang kumplikadong trinomial

Kung ang "a" ay mas malaki kaysa sa isa, magsisimula ang mga paghihirap. Ngunit ang lahat ay hindi mahirap gaya ng tila.

Upang ma-factorize, kailangan mo munang makita kung anumang bagay ang maaaring i-factor out.

Halimbawa, ibinigay ang expression: 3x²+9x-30. Dito ang numero 3 ay inalis sa mga bracket:

3(x²+3x-10). Ang resulta ay ang kilalang trinomial. Ang sagot ay ganito: 3(x-2)(x+5)

Paano mabulok kung negatibo ang termino na nasa parisukat? Sa kasong ito, ang numero -1 ay inalis sa mga bracket. Halimbawa: -x²-10x-8. Ang expression ay magiging ganito:

Ang scheme ay naiiba nang kaunti mula sa nauna. Mayroong ilang mga bagong bagay. Sabihin nating ang expression ay ibinigay: 2x²+7x+3. Ang sagot ay nakasulat din sa 2 bracket na kailangang punan ng (_)(_). Sa 2nd bracket ay nakasulat x, at sa 1st kung ano ang natitira. Mukhang ganito: (2x_)(x_). Kung hindi, ang nakaraang scheme ay paulit-ulit.

Ang numero 3 ay ibinibigay ng mga numero:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Nilulutas namin ang mga equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numerong ito. Ang huling pagpipilian ay angkop. Nangangahulugan ito na ang pagbabago ng expression na 2x²+7x+3 ay ganito ang hitsura: (2x+1)(x+3).

Iba pang mga kaso

Hindi laging posible na i-convert ang isang expression. Sa pangalawang paraan, hindi kinakailangan ang paglutas ng equation. Ngunit ang posibilidad ng pagbabago ng mga termino sa isang produkto ay sinusuri lamang sa pamamagitan ng discriminant.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasanay upang magpasya quadratic equation upang walang mga kahirapan kapag gumagamit ng mga formula.

Kapaki-pakinabang na video: pag-factor ng trinomial

Konklusyon

Magagamit mo ito sa anumang paraan. Ngunit mas mahusay na magsanay pareho hanggang sa maging awtomatiko sila. Gayundin, ang pag-aaral kung paano lutasin nang maayos ang mga quadratic equation at factor polynomial ay kinakailangan para sa mga nagpaplanong ikonekta ang kanilang buhay sa matematika. Ang lahat ng mga sumusunod na paksa sa matematika ay binuo dito.

Pag-factor ng isang quadratic trinomial maaaring maging kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay mula sa problema C3 o problema sa parameter C5. Gayundin, maraming B13 word problem ang mas mabilis na malulutas kung alam mo ang theorem ni Vieta.

Ang teorama na ito, siyempre, ay maaaring isaalang-alang mula sa pananaw ng ika-8 baitang, kung saan ito ay itinuro sa unang pagkakataon. Ngunit ang aming gawain ay upang maghanda nang mabuti para sa Pinag-isang Estado ng Pagsusulit at matutong lutasin ang mga gawain sa pagsusulit nang mahusay hangga't maaari. Samakatuwid, isinasaalang-alang ng araling ito ang isang diskarte na bahagyang naiiba mula sa isang paaralan.

Formula para sa mga ugat ng equation gamit ang Vieta's theorem Alam ng maraming tao (o hindi bababa sa nakakita):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

kung saan ang `a, b` at `c` ay ang mga coefficient ng quadratic trinomial `ax^2+bx+c`.

Upang matutunan kung paano madaling gamitin ang theorem, unawain natin kung saan ito nanggaling (ito ay talagang gagawing mas madaling matandaan).

Magkaroon tayo ng equation na `ax^2+ bx+ c = 0`. Para sa karagdagang kaginhawahan, hatiin ito sa `a` at kunin ang `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Ang equation na ito ay tinatawag na pinababang quadratic equation.

Mahalagang ideya sa aralin: anumang quadratic polynomial na may mga ugat ay maaaring palawakin sa mga panaklong. Ipagpalagay natin na ang atin ay maaaring katawanin bilang `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, kung saan `k` at ` l` - ilang mga pare-pareho.

Tingnan natin kung paano nagbubukas ang mga bracket:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Kaya, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ito ay medyo naiiba sa klasikong interpretasyon Ang teorama ni Vieta- dito hinahanap natin ang mga ugat ng equation. Iminumungkahi kong maghanap ng mga termino para sa pagkabulok ng bracket- sa ganitong paraan hindi mo na kailangang tandaan ang tungkol sa minus mula sa formula (ibig sabihin `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Ito ay sapat na upang pumili ng dalawang tulad na mga numero, ang kabuuan ng kung saan ay katumbas ng average na koepisyent, at ang produkto ay katumbas ng libreng termino.

Kung kailangan natin ng solusyon sa equation, kung gayon ito ay malinaw: ang mga ugat `x=-k` o `x=-l` (dahil sa mga kasong ito ang isa sa mga bracket ay magiging zero, na nangangahulugan na ang buong expression ay magiging zero. ).

Ipapakita ko sa iyo ang algorithm bilang isang halimbawa: Paano palawakin ang isang quadratic polynomial sa mga bracket.

Halimbawa ng isa. Algorithm para sa factoring ng isang quadratic trinomial

Ang landas na mayroon kami ay isang quadrant trinomial `x^2+5x+4`.

Ito ay nabawasan (ang coefficient ng `x^2` ay katumbas ng isa). May mga ugat siya. (Upang makatiyak, maaari mong tantyahin ang discriminant at tiyaking mas malaki ito sa zero.)

Mga karagdagang hakbang (kailangan mong matutunan ang mga ito sa pamamagitan ng pagkumpleto ng lahat ng mga gawain sa pagsasanay):

Kumpletuhin ang sumusunod na entry: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Sa halip na tuldok, mag-iwan ng libreng espasyo, magdadagdag kami doon angkop na mga numero at mga palatandaan.
Tingnan lahat posibleng mga opsyon, paano mo made-decompose ang numerong `4` sa produkto ng dalawang numero. Kumuha kami ng mga pares ng "kandidato" para sa mga ugat ng equation: `2, 2` at `1, 4`.
Alamin kung saang pares mo makukuha ang average na koepisyent. Malinaw na ito ay `1, 4`.
Isulat ang $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Ang susunod na hakbang ay maglagay ng mga karatula sa harap ng mga nakapasok na numero.
Paano mauunawaan at maalala magpakailanman kung anong mga palatandaan ang dapat lumitaw bago ang mga numero sa mga bracket? Subukang buksan ang mga ito (mga bracket). Ang koepisyent bago ang `x` sa unang kapangyarihan ay magiging `(± 4 ± 1)` (hindi pa natin alam ang mga palatandaan - kailangan nating pumili), at dapat itong katumbas ng `5`. Malinaw, magkakaroon ng dalawang plus $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Gawin ang operasyong ito nang maraming beses (hello, mga gawain sa pagsasanay!) at mas maraming problema hinding hindi ito mangyayari.

Kung kailangan mong lutasin ang equation na `x^2+5x+4`, ngayon ay hindi na ito magiging mahirap. Ang mga ugat nito ay `-4, -1`.

Halimbawang dalawa. Factorization ng isang quadratic trinomial na may mga coefficient ng iba't ibang mga palatandaan

Kailangan nating lutasin ang equation na `x^2-x-2=0`. Offhand, ang discriminant ay positibo.

Sinusunod namin ang algorithm.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Mayroon lamang isang factorization ng dalawa sa integer factor: `2 · 1`.
Nilaktawan namin ang punto - walang mapagpipilian.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Ang produkto ng aming mga numero ay negatibo (`-2` ay ang libreng termino), na nangangahulugan na ang isa sa mga ito ay magiging negatibo at ang isa ay magiging positibo.
Dahil ang kanilang kabuuan ay katumbas ng `-1` (ang coefficient ng `x`), kung gayon ang `2` ay magiging negatibo (ang intuitive na paliwanag ay ang dalawa ay ang mas malaki sa dalawang numero, ito ay "huhila" nang mas malakas sa negatibong panig). Nakukuha namin ang $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Pangatlong halimbawa. Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Ang equation ay `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Factorization ng 84 sa integer factor: `4·21, 6·14, 12·7, 2·42`.
Dahil kailangan natin ang pagkakaiba (o kabuuan) ng mga numero upang maging 5, tayo gagawin ng isang pares `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

pag-asa, pagpapalawak ng quadratic trinomial na ito sa mga bracket Malinaw na.

Kung kailangan mo ng solusyon sa isang equation, narito: `12, -7`.

Mga gawain sa pagsasanay

Dinadala ko sa iyong pansin ang ilang mga halimbawa na madali ay nalutas gamit ang teorama ni Vieta.(Mga halimbawang kinuha mula sa magazine na "Mathematics", 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Ilang taon matapos isulat ang artikulo, lumitaw ang isang koleksyon ng 150 gawain para sa pagpapalawak ng isang quadratic polynomial gamit ang teorem ni Vieta.

I-like at magtanong sa mga komento!