Teorya ng elementarya na pag-andar. Mga pangunahing pag-andar ng elementarya

Kaalaman basic elementary functions, ang kanilang mga katangian at mga graph hindi gaanong mahalaga kaysa sa pag-alam sa mga talahanayan ng pagpaparami. Sila ay tulad ng pundasyon, lahat ay nakabatay sa kanila, lahat ay binuo mula sa kanila at lahat ay bumaba sa kanila.

Sa artikulong ito, ililista namin ang lahat ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ibigay ang kanilang mga graph at ibigay nang walang konklusyon o patunay mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya ayon sa scheme:

• pag-uugali ng isang function sa mga hangganan ng domain ng kahulugan, vertical asymptotes (kung kinakailangan, tingnan ang pag-uuri ng artikulo ng mga discontinuity point ng isang function);
• pantay at kakaiba;
• mga pagitan ng convexity (convexity pataas) at concavity (convexity pababa), inflection point (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo convexity ng isang function, direksyon ng convexity, inflection point, kondisyon ng convexity at inflection);
• pahilig at pahalang na mga asymptotes;
• isahan na mga punto ng pag-andar;
• mga espesyal na katangian ng ilang mga function (halimbawa, ang pinakamaliit na positibong panahon ng trigonometriko function).

Kung interesado ka sa o, maaari kang pumunta sa mga seksyong ito ng teorya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay: pare-pareho ang function (constant), nth root, power function, exponential, logarithmic function, trigonometric at inverse trigonometric function.

Pag-navigate sa pahina.

Permanenteng pag-andar.

Ang isang pare-parehong pag-andar ay tinukoy sa hanay ng lahat ng mga tunay na numero sa pamamagitan ng formula , kung saan ang C ay ilang tunay na numero. Iniuugnay ng pare-parehong pag-andar ang bawat tunay na halaga ng independiyenteng variable x sa parehong halaga ng dependent variable y - ang halaga C. Ang pare-parehong pag-andar ay tinatawag ding pare-pareho.

Ang graph ng isang constant function ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis at dumadaan sa punto na may mga coordinate (0,C). Bilang halimbawa, magpapakita kami ng mga graph ng pare-parehong pag-andar y=5, y=-2 at, na sa figure sa ibaba ay tumutugma sa itim, pula at asul na mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng isang pare-parehong pag-andar.

• Domain: ang buong hanay ng mga tunay na numero.
• Ang pare-parehong pag-andar ay pantay.
• Saklaw ng mga halaga: set na binubuo ng isahan na numero C.
• Ang pare-parehong pag-andar ay hindi tumataas at hindi bumababa (kaya ito ay pare-pareho).
• Walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa convexity at concavity ng isang pare-pareho.
• Walang mga asymptotes.
• Ang function ay dumadaan sa punto (0,C) ng coordinate plane.

Root ng nth degree.

Isaalang-alang natin ang pangunahing pag-andar ng elementarya, na ibinibigay ng formula , kung saan ang n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa.

Ang ugat ng nth degree, n ay isang even na numero.

Magsimula tayo sa nth root function para sa kahit na mga halaga ng root exponent n.

Bilang halimbawa, narito ang isang larawan na may mga larawan ng mga function graph at , tumutugma ang mga ito sa itim, pula at asul na mga linya.

Ang mga graph ng even-degree na root function ay may katulad na hitsura para sa iba pang mga value ng exponent.

Mga katangian ng nth root function para sa even n.

Ang nth root, n ay isang kakaibang numero.

Ang nth root function na may kakaibang root exponent n ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Halimbawa, narito ang mga function graph at , tumutugma ang mga ito sa itim, pula at asul na mga kurba.

Para sa iba pang mga kakaibang halaga ng root exponent, ang mga function graph ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng nth root function para sa odd n.

Pag-andar ng kapangyarihan.

Ang power function ay ibinibigay ng isang formula ng form .

Isaalang-alang natin ang anyo ng mga graph ng isang power function at ang mga katangian ng isang power function depende sa halaga ng exponent.

Magsimula tayo sa isang power function na may integer exponent a. Sa kasong ito, ang hitsura ng mga graph ng mga pag-andar ng kapangyarihan at ang mga katangian ng mga pag-andar ay nakasalalay sa kapantay o kakaiba ng exponent, gayundin sa pag-sign nito. Samakatuwid, isasaalang-alang muna natin ang mga function ng kapangyarihan para sa mga kakaibang positibong halaga ng exponent a, pagkatapos ay para sa kahit na positibong exponents, pagkatapos ay para sa mga kakaibang negatibong exponent, at sa wakas, para sa kahit na negatibong a.

Ang mga katangian ng power function na may fractional at irrational exponent (pati na rin ang uri ng mga graph ng naturang power function) ay nakadepende sa halaga ng exponent a. Isasaalang-alang namin ang mga ito, una, para sa isang mula sa zero hanggang isa, pangalawa, para sa isang mas malaki kaysa sa isa, pangatlo, para sa isang mula sa minus isa hanggang zero, pang-apat, para sa isang mas mababa sa minus isa.

Sa dulo ng seksyong ito, para sa pagkakumpleto, ilalarawan namin ang isang power function na may zero exponent.

Power function na may kakaibang positibong exponent.

Isaalang-alang natin ang isang power function na may kakaibang positibong exponent, iyon ay, na may a = 1,3,5,....

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng power function - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya, - berdeng linya. Para sa a=1 mayroon kami linear function y=x.

Mga katangian ng isang power function na may kakaibang positibong exponent.

Power function na may kahit na positibong exponent.

Isaalang-alang natin ang isang power function na may pantay na positibong exponent, iyon ay, para sa a = 2,4,6,....

Bilang halimbawa, nagbibigay kami ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya. Para sa a=2 mayroon tayong quadratic function, ang graph nito ay parisukat na parabola.

Mga katangian ng isang power function na may pantay na positibong exponent.

Power function na may kakaibang negatibong exponent.

Tingnan ang mga graph ng power function para sa mga kakaibang negatibong halaga ng exponent, iyon ay, para sa isang = -1, -3, -5,....

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng power function bilang mga halimbawa - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya, - berdeng linya. Para sa isang = -1 mayroon kami baligtad na proporsyonalidad, na ang graph ay hyperbola.

Mga katangian ng power function na may kakaibang negatibong exponent.

Power function na may kahit na negatibong exponent.

Lumipat tayo sa power function sa a=-2,-4,-6,….

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng power function - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya.

Mga katangian ng isang power function na may kahit na negatibong exponent.

Isang power function na may rational o irrational exponent na ang value ay mas malaki sa zero at mas mababa sa isa.

Tandaan! Kung ang a ay isang positibong fraction na may kakaibang denominator, kung gayon ang ilang mga may-akda ay itinuturing na ang domain ng kahulugan ng power function ay ang pagitan. Itinakda na ang exponent a ay isang hindi mababawasang bahagi. Ngayon ang mga may-akda ng maraming mga aklat-aralin sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Susunod kami sa tiyak na pananaw na ito, iyon ay, isasaalang-alang namin ang set na mga domain ng kahulugan ng mga function ng kapangyarihan na may fractional positive exponents. Inirerekomenda namin na alamin ng mga mag-aaral ang opinyon ng iyong guro sa banayad na puntong ito upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo.

Isaalang-alang natin ang isang power function na may rational o irrational exponent a, at .

Ipakita natin ang mga graph ng power function para sa a=11/12 (itim na linya), a=5/7 (pulang linya), (asul na linya), a=2/5 (berdeng linya).

Isang power function na may non-integer na rational o irrational exponent na mas malaki sa isa.

Isaalang-alang natin ang isang power function na may non-integer na rational o irrational exponent a, at .

Ipakita natin ang mga graph ng power function na ibinigay ng mga formula (itim, pula, asul at berdeng mga linya ayon sa pagkakabanggit).

Para sa iba pang mga halaga ng exponent a, ang mga graph ng function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng power function sa .

Isang power function na may totoong exponent na mas malaki sa minus one at mas mababa sa zero.

Tandaan! Kung ang a ay isang negatibong fraction na may kakaibang denominator, kung gayon ang ilang mga may-akda ay isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan ng isang power function bilang ang pagitan . Itinakda na ang exponent a ay isang hindi mababawasang bahagi. Ngayon ang mga may-akda ng maraming mga aklat-aralin sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Susunod kami sa tiyak na pananaw na ito, iyon ay, isasaalang-alang namin ang mga domain ng kahulugan ng mga function ng kapangyarihan na may mga fractional fractional na negatibong exponents upang maging isang set, ayon sa pagkakabanggit. Inirerekomenda namin na alamin ng mga mag-aaral ang opinyon ng iyong guro sa banayad na puntong ito upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo.

Lumipat tayo sa power function, kgod.

Upang magkaroon ng magandang ideya sa anyo ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan para sa , nagbibigay kami ng mga halimbawa ng mga graph ng mga function (itim, pula, asul at berdeng mga kurba, ayon sa pagkakabanggit).

Mga katangian ng isang power function na may exponent a, .

Isang power function na may non-integer real exponent na mas mababa sa minus one.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga graph ng power functions para sa , ang mga ito ay inilalarawan ng itim, pula, asul at berdeng mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng power function na may non-integer na negatibong exponent na mas mababa sa minus one.

Kapag a = 0, mayroon tayong function - ito ay isang tuwid na linya kung saan ang punto (0;1) ay hindi kasama (napagkasunduan na huwag ilakip ang anumang kahalagahan sa expression na 0 0).

Exponential function.

Ang isa sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay ang pag-andar ng exponential.

Ang graph ng exponential function, kung saan at may iba't ibang anyo depende sa halaga ng base a. Alamin natin ito.

Una, isaalang-alang ang kaso kapag ang base ng exponential function ay tumatagal ng isang halaga mula sa zero hanggang isa, iyon ay, .

Bilang halimbawa, nagpapakita kami ng mga graph ng exponential function para sa a = 1/2 – asul na linya, a = 5/6 – pulang linya. Ang mga graph ng exponential function ay may katulad na hitsura para sa iba pang mga halaga ng base mula sa pagitan.

Mga katangian ng isang exponential function na may base na mas mababa sa isa.

Lumipat tayo sa kaso kapag ang base ng exponential function ay mas malaki kaysa sa isa, iyon ay, .

Bilang isang paglalarawan, nagpapakita kami ng mga graph ng exponential function - asul na linya at - pulang linya. Para sa iba pang mga halaga ng base na higit sa isa, ang mga graph ng exponential function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng exponential function na may base na mas malaki sa isa.

Logarithmic function.

Ang susunod na basic elementary function ay ang logarithmic function, kung saan , . Ang logarithmic function ay tinukoy lamang para sa mga positibong halaga ng argumento, iyon ay, para sa .

Ang graph ng isang logarithmic function ay may iba't ibang anyo depende sa halaga ng base a.

Kumpletuhin ang listahan ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya

Kasama sa klase ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya ang mga sumusunod:

1. Constant function na $y=C$, kung saan ang $C$ ay pare-pareho. Ang ganitong function ay tumatagal ng parehong halaga na $C$ para sa anumang $x$.
2. Power function na $y=x^(a) $, kung saan ang exponent na $a$ ay totoong numero.
3. Exponential function $y=a^(x) $, kung saan ang base ay degree $a>0$, $a\ne 1$.
4. Logarithmic function $y=\log _(a) x$, kung saan ang base ng logarithm ay $a>0$, $a\ne 1$.
5. Trigonometric function na $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sec\,x$.
6. Inverse trigonometric functions $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Mga function ng kapangyarihan

Isasaalang-alang namin ang pag-uugali ng power function na $y=x^(a) $ para sa mga pinakasimpleng kaso kapag tinutukoy ng exponent nito ang integer exponentiation at root extraction.

Kaso 1

Ang exponent ng function na $y=x^(a) $ ay isang natural na numero, iyon ay, $y=x^(n) $, $n\in N$.

Kung ang $n=2\cdot k$ ay isang even na numero, kung gayon ang function na $y=x^(2\cdot k) $ ay pantay at tataas nang walang katiyakan na parang ang argumento na $\left(x\to +\infty \ right )$, at kasama ang walang limitasyong pagbaba nito $\left(x\to -\infty \right)$. Ang pag-uugaling ito ng function ay maaaring ilarawan ng mga expression na $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ at $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, na nangangahulugang tumataas ang function sa parehong mga kaso nang walang limitasyon ($\lim $ ang limitasyon). Halimbawa: graph ng function na $y=x^(2) $.

Kung ang $n=2\cdot k-1$ ay isang kakaibang numero, kung gayon ang function na $y=x^(2\cdot k-1) $ ay kakaiba, tumataas nang walang katiyakan habang ang argument ay tumataas nang walang katiyakan, at bumababa nang walang katiyakan bilang argumento bumababa nang walang katapusan. Ang pag-uugaling ito ng function ay maaaring ilarawan ng mga expression na $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ at $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Halimbawa: graph ng function na $y=x^(3) $.

Kaso 2

Ang exponent ng function na $y=x^(a) $ ay isang negatibong integer, ibig sabihin, $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Kung ang $n=2\cdot k$ ay isang even na numero, kung gayon ang function na $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ ay pantay at asymptotically (unti-unting) lumalapit sa zero tulad ng walang limitasyong pagtaas ng argumento , at sa walang limitasyong pagbaba nito. Ang pag-uugaling ito ng function ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang expression na $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, na nangangahulugan na na may walang limitasyong pagtaas sa argumento sa absolute value, ang limitasyon ng function ay zero. Bilang karagdagan, dahil ang argumento ay may posibilidad na maging zero pareho sa kaliwa $\left(x\to 0-0\right)$ at sa kanan $\left(x\to 0+0\right)$, tumataas ang function nang walang limitasyon. Samakatuwid, ang mga expression na $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ at $\mathop(\lim )\ limits_ are valid (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, na nangangahulugan na ang function na $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ sa parehong mga kaso ay may walang katapusang limitasyon na katumbas ng $+\infty $. Halimbawa: graph ng function na $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Kung ang $n=2\cdot k-1$ ay isang kakaibang numero, kung gayon ang function na $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ ay kakaiba at asymptotically ay lumalapit sa zero na parang pareho kapag tumataas ang argumento at kapag bumababa ito nang walang limitasyon. Ang pag-uugaling ito ng function ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang expression na $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Bilang karagdagan, habang lumalapit ang argumento sa zero sa kaliwa, bumababa ang function nang walang limitasyon, at habang lumalapit ang argumento sa zero sa kanan, tumataas ang function nang walang limitasyon, iyon ay, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ and $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Halimbawa: graph ng function na $y=\frac(1)(x) $.

Kaso 3

Ang exponent ng function na $y=x^(a) $ ay ang kabaligtaran ng natural na numero, iyon ay, $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Kung ang $n=2\cdot k$ ay isang even na numero, kung gayon ang function na $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ ay dalawang halaga at tinukoy lamang para sa $x\ge 0 $. Sa walang limitasyong pagtaas sa argumento, ang halaga ng function na $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ ay tumataas nang walang limitasyon, at ang value ng function na $y=-\sqrt[(2\\ cdot k)](x) $ ay bumababa nang walang limitasyon , ibig sabihin, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ at $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Halimbawa: graph ng function na $y=\pm \sqrt(x) $.

Kung ang $n=2\cdot k-1$ ay isang kakaibang numero, kung gayon ang function na $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ ay kakaiba, tumataas nang walang limitasyon sa walang limitasyong pagtaas sa argumento at bumababa nang walang limitasyon kapag walang limitasyon, bumababa ito, ibig sabihin, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ at $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Halimbawa: graph ng function na $y=\sqrt[(3)](x) $.

Exponential at logarithmic function

Ang exponential $y=a^(x) $ at logarithmic $y=\log _(a) x$ function ay magkabaligtaran. Ang kanilang mga graph ay simetriko na may paggalang sa karaniwang bisector ng una at ikatlong mga anggulo ng coordinate.

Kapag ang argument na $\left(x\to +\infty \right)$ ay tumaas nang walang katiyakan, ang exponential function o $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ tataas nang walang katiyakan , kung $a>1$, o asymptotically lumalapit sa zero $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, kung $a1$, o $\mathop tumataas nang walang limitasyon (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, kung $a

Ang katangiang value para sa function na $y=a^(x) $ ay ang value na $x=0$. Sa kasong ito, lahat ng exponential function, anuman ang $a$, ay kinakailangang mag-intersect sa $Oy$ axis sa $y=1$. Mga halimbawa: mga graph ng mga function na $y=2^(x) $ at $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Ang logarithmic function na $y=\log _(a) x$ ay tinukoy lamang para sa $x > 0$.

Habang ang argument na $\left(x\to +\infty \right)$ ay tumataas nang walang katiyakan, ang logarithmic function o $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ Ang \ ay tumataas nang walang katapusan sa infty $, kung $a>1$, o bumababa nang walang limitasyon $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, kung $a1 $, o walang limitasyon $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ ay tumataas kung $a

Ang katangiang value para sa function na $y=\log _(a) x$ ay ang value na $y=0$. Sa kasong ito, lahat ng logarithmic function, anuman ang $a$, ay kinakailangang mag-intersect sa $Ox$ axis sa $x=1$. Mga halimbawa: mga graph ng mga function na $y=\log _(2) x$ at $y=\log _(1/2) x$.

Ang ilang logarithmic function ay may espesyal na notasyon. Sa partikular, kung ang base ng logarithm ay $a=10$, kung gayon ang naturang logarithm ay tinatawag na decimal, at ang kaukulang function ay isinusulat bilang $y=\lg x$. At kung ang di-makatwirang numero na $e=2.7182818\ldots $ ay pinili bilang batayan ng logarithm, kung gayon ang naturang logarithm ay tinatawag na natural, at ang kaukulang function ay isinulat bilang $y=\ln x$. Ang kabaligtaran nito ay ang function na $y=e^(x) $, na tinatawag na exponent.

Ang seksyon ay naglalaman ng reference na materyal sa mga pangunahing elementarya na pag-andar at ang kanilang mga katangian. Ang isang pag-uuri ng mga elementary function ay ibinigay. Nasa ibaba ang mga link sa mga subsection na tumatalakay sa mga katangian ng mga partikular na function - mga graph, formula, derivatives, antiderivatives (integrals), series expansions, expressions through complex variables.

Mga pahina ng sanggunian para sa mga pangunahing pag-andar

Pag-uuri ng mga pangunahing pag-andar

Algebraic function ay isang function na nakakatugon sa equation:
,
kung saan ay isang polynomial sa dependent variable y at ang independent variable x. Maaari itong isulat bilang:
,
nasaan ang mga polynomial.

Ang mga algebraic function ay nahahati sa polynomials (buong rational functions), rational functions at irrational functions.

Buong rational function, na tinatawag ding polinomyal o polinomyal, ay nakuha mula sa variable na x at isang may hangganan na bilang ng mga numero gamit ang arithmetic operations ng karagdagan (pagbabawas) at multiplikasyon. Pagkatapos buksan ang mga bracket, ang polynomial ay nabawasan sa canonical form:
.

Fractional rational function, o simple lang rational function, ay nakuha mula sa variable na x at isang may hangganang bilang ng mga numero gamit ang arithmetic operations ng karagdagan (pagbabawas), multiplikasyon at paghahati. Ang rational function ay maaaring bawasan sa anyo
,
saan at mga polynomial.

Hindi makatwiran na pag-andar ay isang algebraic function na hindi makatwiran. Bilang isang tuntunin, ang isang hindi makatwiran na pag-andar ay nauunawaan bilang mga ugat at ang kanilang mga komposisyon na may mga makatuwirang pag-andar. Ang ugat ng degree n ay tinukoy bilang ang solusyon sa equation
.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod:
.

Mga transendental na pag-andar ay tinatawag na non-algebraic function. Ang mga ito ay exponential, trigonometric, hyperbolic at ang kanilang mga inverse function.

Pangkalahatang-ideya ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya

Ang lahat ng elementarya na pag-andar ay maaaring katawanin bilang isang may hangganang bilang ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati na isinagawa sa isang pagpapahayag ng anyo:
z t .
Ang mga inverse function ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng logarithms. Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay nakalista sa ibaba.

Power function:
y(x) = xp,
kung saan ang p ay ang exponent. Depende ito sa base ng degree x.
Ang kabaligtaran ng power function ay ang power function din:
.
Para sa isang integer na hindi negatibong halaga ng exponent p, ito ay isang polynomial. Para sa isang integer na halaga p - isang rational function. Na may makatwirang kahulugan - isang hindi makatwiran na pag-andar.

Mga transendental na pag-andar

Exponential function:
y(x) = a x ,
kung saan ang a ay ang batayan ng antas. Depende ito sa exponent x.
Ang kabaligtaran na pag-andar ay ang logarithm upang ibase ang isang:
x = mag-log a y.

Exponent, e sa x power:
y(x) = e x ,
Isa itong exponential function na ang derivative ay katumbas ng function mismo:
.
Ang base ng exponent ay ang numerong e:
≈ 2,718281828459045... .
Inverse function - natural logarithm - logarithm sa base e:
x = ln y ≡ log e y.

Trigonometric function:
Sine: ;
Cosine: ;
Tangent: ;
Cotangent: ;
Narito ang i ay ang haka-haka na yunit, i 2 = -1.

Inverse trigonometriko function:
Arcsine: x = arcsin y, ;
Arc cosine: x = arccos y, ;
Arctangent: x = arctan y, ;
Arc padaplis: x = arcctg y, .

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay: pare-pareho ang pag-andar (constant), ugat n-th degree, power function, exponential, logarithmic function, trigonometric at inverse trigonometric function.

Permanenteng pag-andar.

Ang isang pare-parehong pag-andar ay ibinibigay sa hanay ng lahat ng mga tunay na numero ng formula , kung saan C– ilang totoong numero. Ang isang pare-parehong function ay nagtatalaga ng bawat aktwal na halaga ng independent variable x parehong halaga ng dependent variable y- ibig sabihin SA. Ang pare-parehong pag-andar ay tinatawag ding pare-pareho.

Ang graph ng isang pare-parehong function ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis at dumadaan sa punto na may mga coordinate (0,C). Halimbawa, ipakita natin ang mga graph ng mga pare-parehong pag-andar y=5,y=-2 at , na sa figure sa ibaba ay tumutugma sa itim, pula at asul na mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng isang pare-parehong pag-andar.

Domain: ang buong hanay ng mga totoong numero.

Ang pare-parehong pag-andar ay pantay.

Saklaw ng mga halaga: set na binubuo ng isang solong numero SA.

Ang pare-parehong pag-andar ay hindi tumataas at hindi bumababa (kaya ito ay pare-pareho).

Walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa convexity at concavity ng isang pare-pareho.

Walang mga asymptotes.

Ang function ay dumadaan sa punto (0,C) coordinate na eroplano.

Root ng nth degree.

Isaalang-alang natin ang pangunahing pag-andar ng elementarya, na ibinibigay ng formula, kung saan n– isang natural na bilang na higit sa isa.

Ang nth root, n ay isang even number.

Magsimula tayo sa root function n-ika kapangyarihan para sa pantay na mga halaga ng root exponent n.

Bilang halimbawa, narito ang isang larawan na may mga larawan ng mga function graph at , tumutugma ang mga ito sa itim, pula at asul na mga linya.

Ang mga graph ng even-degree na root function ay may katulad na hitsura para sa iba pang mga value ng exponent.

Mga katangian ng root functionn -th kapangyarihan para sa kahit nan .

Ang nth root, n ay isang kakaibang numero.

Pag-andar ng ugat n-ika kapangyarihan na may kakaibang root exponent n ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Halimbawa, narito ang mga function graph at , tumutugma ang mga ito sa itim, pula at asul na mga kurba.