Lecture: Vector coordinate; tuldok na produkto ng mga vector; anggulo sa pagitan ng mga vector

Vector coordinate

Kaya, tulad ng nabanggit kanina, ang mga vector ay isang nakadirekta na segment, na may sariling simula at wakas. Kung ang simula at wakas ay kinakatawan ng ilang mga punto, pagkatapos ay sa isang eroplano o sa espasyo mayroon silang sariling mga coordinate.

Kung ang bawat punto ay may sariling mga coordinate, maaari nating makuha ang mga coordinate ng buong vector.

Ipagpalagay na mayroon tayong ilang vector na ang simula at dulo ng vector ay may mga sumusunod na pagtatalaga at coordinate: A (A x; Ay) at B (B x; By)

Upang makuha ang mga coordinate ng vector na ito, kinakailangan upang ibawas ang kaukulang mga coordinate ng simula mula sa mga coordinate ng dulo ng vector:

Upang matukoy ang mga coordinate ng isang vector sa espasyo, gamitin ang sumusunod na formula:

Tuldok na produkto ng mga vector

Mayroong dalawang paraan upang tukuyin ang produkto ng tuldok:

• Geometric na paraan. Ayon sa kanya, ang produkto ng tuldok ay katumbas ng produkto ng mga halaga ng mga module na ito sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

• Algebraic na kahulugan. Mula sa punto ng view ng algebra, ang tuldok na produkto ng dalawang vector ay isang tiyak na dami na nakuha bilang resulta ng kabuuan ng mga produkto ng kaukulang mga vector.

Kung ang mga vector ay ibinigay sa espasyo, dapat kang gumamit ng katulad na formula:

Ari-arian:

• Kung paparamihin mo ang dalawang magkaparehong vector nang scalar, hindi magiging negatibo ang kanilang tuldok na produkto:

• Kung ang scalar product ng dalawang magkaparehong vector ay naging katumbas ng zero, ang mga vector na ito ay itinuturing na zero:

• Kung ang isang vector ay pinarami ng sarili nito, kung gayon ang scalar product ay magiging katumbas ng parisukat ng modulus nito:

• Ang scalar product ay may communicative property, iyon ay, ang scalar product ay hindi magbabago mula sa permutation ng mga vectors:

• Ang scalar product ng nonzero vectors ay maaari lamang maging zero kung ang vectors ay patayo sa isa't isa:

• Para sa scalar product ng mga vector, ang batas ng displacement ay may bisa sa kaso ng pag-multiply ng isa sa mga vector sa isang numero:

• Gamit ang dot product, maaari mo ring gamitin ang distributive property ng multiplication:

Anggulo sa pagitan ng mga vector

Kahulugan 1

Ang scalar product ng mga vector ay isang numero na katumbas ng produkto ng dyn ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.

Ang notasyon ng produkto ng mga vectors a → at b → ay may anyo na a →, b →. I-convert natin sa formula:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → at b → ipahiwatig ang mga haba ng mga vector, a →, b → ^ ipahiwatig ang anggulo sa pagitan ng mga ibinigay na vector. Kung ang hindi bababa sa isang vector ay zero, iyon ay, mayroon itong halaga na 0, kung gayon ang resulta ay magiging zero din, a →, b → = 0

Kapag pinarami ang vector sa kanyang sarili, nakukuha namin ang parisukat ng haba nito:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Kahulugan 2

Ang pagpaparami ng scalar ng isang vector sa kanyang sarili ay tinatawag na isang scalar square.

Kinakalkula ng formula:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Ang notasyon a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → ay nagpapakita na ang npb → a → ay ang numerical projection ng a → on b →, Ang npa → a → ay ang projection ng b → papunta sa isang →, ayon sa pagkakabanggit.

Bumuo tayo ng kahulugan ng isang produkto para sa dalawang vectors:

Ang scalar product ng dalawang vectors a → by b → ay tinatawag na product of the length of the vector a → by projection b → by the direction a → or the product of the length b → by projection a → ayon sa pagkakabanggit.

Dot product sa mga coordinate

Ang pagkalkula ng produkto ng tuldok ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vector sa isang naibigay na eroplano o sa espasyo.

Ang scalar product ng dalawang vectors sa isang eroplano, sa three-dimensional na espasyo, ay tinatawag na kabuuan ng mga coordinate ng mga ibinigay na vectors a → at b →.

Kapag kinakalkula ang scalar product ng mga ibinigay na vectors a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) sa Cartesian system, gamitin ang:

a →, b → = a x b x + a y b y,

para sa tatlong-dimensional na espasyo, nalalapat ang sumusunod na expression:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Sa katunayan, ito ang pangatlong kahulugan ng produkto ng tuldok.

Patunayan natin.

Patunay 1

Para sa patunay, gumagamit kami ng →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by para sa mga vectors a → = (ax, ay), b → = (bx, by) sa Cartesian sistema.

Dapat ipagpaliban ang mga vector

O A → = a → = a x, a y at O ​​B → = b → = b x, b y.

Pagkatapos ang haba ng vector A B → ay magiging katumbas ng A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Isaalang-alang ang isang tatsulok O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ay totoo batay sa cosine theorem.

Sa pamamagitan ng kundisyon, makikita na ang O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, samakatuwid, isinulat namin ang formula para sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga vector sa ibang paraan.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Pagkatapos ay sumusunod mula sa unang kahulugan na b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), kaya (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Ang paglalapat ng formula para sa pagkalkula ng haba ng mga vector, nakukuha namin:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

Patunayan natin ang pagkakapantay-pantay:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- ayon sa pagkakabanggit para sa mga vector ng three-dimensional na espasyo.

Ang scalar na produkto ng mga vector na may mga coordinate ay nagsasabi na ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito sa espasyo at sa isang eroplano, ayon sa pagkakabanggit. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) at (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Produktong tuldok at mga katangian nito

May mga tuldok na katangian ng produkto na naaangkop para sa a →, b →, at c →:

1. commutativity (a →, b →) = (b →, a →);
2. distributivity (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. ang kumbinasyong katangian (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ ay anumang numero;
4. ang scalar square ay palaging mas malaki kaysa sa zero (a →, a →) ≥ 0, kung saan (a →, a →) = 0 sa kaso kapag ang isang → ay zero.

Ang mga katangian ay naipaliliwanag salamat sa kahulugan ng produkto ng tuldok sa eroplano at ang mga katangian kapag nagdadagdag at nagpaparami ng mga tunay na numero.

Patunayan ang commutativity property (a →, b →) = (b →, a →). Mula sa kahulugan mayroon tayo na (a →, b →) = a y b y + a y b y at (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Sa pamamagitan ng commutativity property, ang mga equalities na a x b x = b x a x at a y b y = b y a y ay totoo, kaya a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Kasunod nito na (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Ang pamamahagi ay may bisa para sa anumang mga numero:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. . . + (a (n) →, b →)

at (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. . . + (a →, b → (n)),

kaya mayroon tayo

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. . . + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. . . + (a (2) →, b (m) →) +. . . + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. . . + (a (n) →, b (m) →)

Produktong tuldok na may mga halimbawa at solusyon

Ang anumang problema ng naturang plano ay nalulutas gamit ang mga katangian at formula tungkol sa produkto ng tuldok:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y o (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng solusyon.

Halimbawa 2

Ang haba ng a → ay 3, ang haba ng b → ay 7. Hanapin ang dot product kung ang anggulo ay 60 degrees.

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon kaming lahat ng data, kaya kinakalkula namin sa pamamagitan ng formula:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Sagot: (a →, b →) = 21 2.

Halimbawa 3

Ibinigay na mga vector a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Ano ang produkto ng tuldok.

Solusyon

Sa halimbawang ito, ang formula para sa pagkalkula ng mga coordinate ay isinasaalang-alang, dahil ang mga ito ay tinukoy sa pahayag ng problema:

(a →, b →) = ax bx + ay ni + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Sagot: (a →, b →) = - 9

Halimbawa 4

Hanapin ang tuldok na produkto A B → at A C →. Ang mga puntos A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) ay ibinibigay sa coordinate plane.

Solusyon

Upang magsimula, ang mga coordinate ng mga vector ay kinakalkula, dahil ang mga coordinate ng mga puntos ay ibinibigay ng kondisyon:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Ang pagpapalit sa formula gamit ang mga coordinate, nakukuha namin:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Sagot: (A B →, A C →) = 28.

Halimbawa 5

Dahil sa mga vectors a → = 7 m → + 3 n → at b → = 5 m → + 8 n →, hanapin ang kanilang produkto. Ang m → ay katumbas ng 3 at n → ay katumbas ng 2 yunit, sila ay patayo.

Solusyon

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Ang paglalapat ng distributive property, makuha namin ang:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Kinukuha namin ang koepisyent para sa pag-sign ng produkto at makuha:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Sa pamamagitan ng commutativity property na binago namin:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Ngayon, ilapat natin ang formula para sa produkto ng tuldok na may paunang natukoy na anggulo:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Sagot: (a →, b →) = 411

Kung mayroong isang numerical projection.

Halimbawa 6

Hanapin ang tuldok na produkto a → at b →. Ang Vector a → ay may mga coordinate a → = (9, 3, - 3), projection b → na may mga coordinate (- 3, - 1, 1).

Solusyon

Sa pamamagitan ng hypothesis, ang mga vectors a → at ang projection b → ay magkasalungat na direksyon, dahil a → = - 1 3 · npa → b → →, kaya ang projection b → ay tumutugma sa haba npa → b → →, at may sign na " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Ang pagpapalit sa formula, nakuha namin ang expression:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Sagot: (a →, b →) = - 33.

Mga problema sa isang kilalang tuldok na produkto, kung saan kinakailangan upang mahanap ang haba ng isang vector o isang numerical projection.

Halimbawa 7

Anong halaga ang dapat kunin ng λ para sa isang scalar product na a → = (1, 0, λ + 1) at b → = (λ, 1, λ) ay magiging katumbas ng -1.

Solusyon

Ang formula ay nagpapakita na ito ay kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga produkto ng mga coordinate:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Dahil mayroon tayong (a →, b →) = - 1.

Upang mahanap ang λ, kinakalkula namin ang equation:

λ 2 + 2 λ = - 1, kaya λ = - 1.

Sagot: λ = - 1.

Ang pisikal na kahulugan ng produkto ng tuldok

Ang mga mekanika ay tumatalakay sa aplikasyon ng produkto ng tuldok.

Kapag nagtatrabaho A na may pare-parehong puwersa F → ang katawan ay lumipat mula sa punto M hanggang N, mahahanap mo ang produkto ng mga haba ng mga vectors F → at MN → na may cosine ng anggulo sa pagitan nila, na nangangahulugan na ang gawain ay pantay. sa produkto ng mga vectors ng puwersa at pag-aalis:

A = (F →, M N →).

Halimbawa 8

Ang paggalaw ng isang materyal na punto sa pamamagitan ng 3 metro sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa na katumbas ng 5 tonelada ay nakadirekta sa isang anggulo na 45 degrees na may kaugnayan sa axis. Humanap ng.

Solusyon

Dahil ang trabaho ay produkto ng force vector at displacement, nangangahulugan ito na, batay sa kondisyon F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, nakukuha natin ang A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Sagot: A = 15 2 2.

Halimbawa 9

Isang materyal na punto, na gumagalaw mula M (2, - 1, - 3) hanggang N (5, 3 λ - 2, 4) sa ilalim ng puwersa F → = (3, 1, 2), gumanap ng trabaho na katumbas ng 13 J. Kalkulahin ang haba ng galaw.

Solusyon

Para sa ibinigay na mga coordinate ng vector M N → mayroon kaming M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

Gamit ang formula para sa paghahanap ng trabaho sa mga vectors F → = (3, 1, 2) at MN → = (3, 3 λ - 1, 7), nakuha namin ang A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Sa pamamagitan ng hypothesis, ibinigay na A = 13 J, na nangangahulugang 22 + 3 λ = 13. Kaya λ = - 3, kaya M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Upang mahanap ang haba ng displacement M N →, ilapat ang formula at palitan ang mga halaga:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Sagot: 158.

Kung may napansin kang error sa text, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Magkakaroon din ng mga gawain para sa isang malayang solusyon, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Kung sa problema ang parehong mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ipinakita "sa isang pilak na pinggan", kung gayon ang kalagayan ng problema at ang solusyon nito ay ganito ang hitsura:

Halimbawa 1. Ibinigay ang mga vector. Hanapin ang tuldok na produkto ng mga vector kung ang kanilang mga haba at anggulo sa pagitan ng mga ito ay kinakatawan ng mga sumusunod na halaga:

Ang isa pang kahulugan ay wasto din, na ganap na katumbas ng Depinisyon 1.

Kahulugan 2. Ang scalar product ng mga vector ay isang numero (scalar) na katumbas ng produkto ng haba ng isa sa mga vector na ito sa pamamagitan ng projection ng isa pang vector sa axis na tinutukoy ng una sa mga ipinahiwatig na vectors. Formula ayon sa Depinisyon 2:

Lutasin natin ang problema gamit ang formula na ito pagkatapos ng susunod na mahalagang teoretikal na punto.

Pagtukoy sa tuldok na produkto ng mga vector sa mga tuntunin ng mga coordinate

Ang parehong numero ay maaaring makuha kung ang mga vectors na pinaparami ay ibinibigay sa kanilang mga coordinate.

Kahulugan 3. Ang tuldok na produkto ng mga vector ay isang numero na katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kani-kanilang mga coordinate.

Sa ibabaw

Kung ang dalawang vector at nasa eroplano ay tinukoy ng kanilang dalawa Cartesian rectangular coordinate

kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kani-kanilang mga coordinate:

.

Halimbawa 2. Hanapin ang numerical value ng projection ng vector sa isang axis na parallel sa vector.

Solusyon. Nahanap namin ang tuldok na produkto ng mga vector sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga pairwise na produkto ng kanilang mga coordinate:

Ngayon ay kailangan nating i-equate ang resultang scalar product sa produkto ng haba ng vector at ang projection ng vector sa axis na kahanay ng vector (alinsunod sa formula).

Nahanap namin ang haba ng vector bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito:

.

Bumuo kami ng isang equation at lutasin ito:

Sagot. Ang gustong numerical value ay minus 8.

Sa kalawakan

Kung ang dalawang vector at nasa espasyo ay tinukoy ng kanilang tatlong Cartesian rectangular coordinate

,

kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas din ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kanilang kaukulang mga coordinate, mayroon na lamang tatlong coordinate:

.

Ang problema sa paghahanap ng produkto ng tuldok sa pamamagitan ng isinasaalang-alang na pamamaraan ay pagkatapos ng pag-parse ng mga katangian ng produkto ng tuldok. Dahil sa gawain ay kinakailangan upang matukoy kung anong anggulo ang nabuo ng mga multiply na vector.

Mga Katangian ng Dot Product ng Vectors

Mga katangian ng algebraic

1. (ari-arian ng pag-aalis: ang magnitude ng kanilang tuldok na produkto ay hindi nagbabago mula sa pagpapalit ng mga vector na pinarami).

2. (multiplier combinatory property: ang tuldok na produkto ng isang vector na pinarami ng ilang salik at isa pang vector ay katumbas ng tuldok na produkto ng mga vector na ito na pinarami ng parehong salik).

3. (distributional property na may kinalaman sa kabuuan ng mga vectors: ang tuldok na produkto ng kabuuan ng dalawang vector ng ikatlong vector ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng tuldok ng unang vector ng ikatlong vector at ang pangalawang vector ng ikatlong vector).

4. (ang scalar square ng vector ay mas malaki sa zero), kung ay isang nonzero vector, at, kung, ay isang zero vector.

Mga katangiang geometriko

Sa mga kahulugan ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral, nahawakan na natin ang konsepto ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors. Panahon na upang linawin ang konseptong ito.

Sa larawan sa itaas, dalawang vector ang makikita, na dinadala sa isang karaniwang pinagmulan. At ang unang bagay na dapat bigyang-pansin: mayroong dalawang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito - φ 1 at φ 2 . Alin sa mga anggulong ito ang makikita sa mga kahulugan at katangian ng tuldok na produkto ng mga vector? Ang kabuuan ng mga itinuturing na anggulo ay 2 π at samakatuwid ang mga cosine ng mga anggulong ito ay pantay. Kasama sa kahulugan ng produkto ng tuldok ang cosine ng isang anggulo, hindi ang halaga ng pagpapahayag nito. Ngunit sa mga ari-arian ay isang sulok lamang ang isinasaalang-alang. At ito ang isa sa dalawang anggulo na hindi hihigit π , ibig sabihin, 180 degrees. Sa figure, ang anggulong ito ay itinalaga bilang φ 1 .

1. Dalawang vector ang tinatawag orthogonal at ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay isang tuwid na linya (90 degrees o π / 2) kung ang tuldok na produkto ng mga vector na ito ay zero :

.

Ang orthogonality sa vector algebra ay ang perpendicularity ng dalawang vectors.

2. Dalawang nonzero vector ang bumubuo matalim na sulok (mula 0 hanggang 90 degrees, o, na pareho - mas mababa π dot product ay positibo .

3. Dalawang nonzero vector ang bumubuo mahinang anggulo (mula 90 hanggang 180 degrees, o, na pareho - higit pa π / 2) kung at kung ang kanilang dot product ay negatibo .

Halimbawa 3. Ang mga vector ay ibinibigay sa mga coordinate:

.

Kalkulahin ang mga produkto ng tuldok ng lahat ng mga pares ng ibinigay na mga vector. Anong anggulo (acute, straight, obtuse) ang nabubuo ng mga pares ng vectors na ito?

Solusyon. Kakalkulahin namin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate.

Nakatanggap ng negatibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang mapurol na anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

Nakakuha kami ng zero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang tamang anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot product ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Halimbawa 4 Ang mga haba ng dalawang vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ibinibigay:

.

Tukuyin kung anong halaga ng numero ang mga vector at orthogonal (perpendicular).

Solusyon. Pinaparami namin ang mga vector ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial:

Ngayon kalkulahin natin ang bawat termino:

.

Bumuo tayo ng isang equation (pagkakapantay-pantay ng produkto sa zero), magbigay ng mga katulad na termino at lutasin ang equation:

Sagot: nakuha namin ang kahulugan λ = 1.8, kung saan ang mga vector ay orthogonal.

Halimbawa 5. Patunayan na ang vector orthogonal (patayo) sa vector

Solusyon. Upang suriin ang orthogonality, pinaparami namin ang mga vector at bilang mga polynomial, na pinapalitan sa halip ang expression na ibinigay sa pahayag ng problema:

.

Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang bawat termino (term) ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawa at idagdag ang mga resultang produkto:

.

Bilang resulta, ang fraction ay nabawasan sa gastos. Ang resulta ay ang mga sumusunod:

Konklusyon: bilang isang resulta ng pagpaparami, nakakuha kami ng zero, samakatuwid, ang orthogonality (perpendicularity) ng mga vectors ay napatunayan.

Lutasin ang problema sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 6. Dahil sa haba ng mga vector at, at ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay π /4 . Tukuyin kung anong halaga μ mga vector at magkaparehong patayo.

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot product ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Ang representasyon ng matrix ng tuldok na produkto ng mga vector at produkto ng mga n-dimensional na vector

Minsan ito ay kapaki-pakinabang para sa kalinawan upang kumatawan sa dalawang vectors na pinarami sa anyo ng mga matrice. Pagkatapos ang unang vector ay kinakatawan bilang isang row matrix, at ang pangalawa - bilang isang column matrix:

Kung gayon ang scalar product ng mga vectors ay magiging produkto ng mga matrice na ito :

Ang resulta ay kapareho ng nakuha sa pamamaraang napag-isipan na natin. Ang isang solong numero ay nakuha, at ang produkto ng row matrix sa pamamagitan ng column matrix ay isang solong numero din.

Ito ay maginhawa upang kumatawan sa produkto ng abstract n-dimensional vectors sa matrix form. Kaya, ang produkto ng dalawang four-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may apat na elemento at isang column matrix din na may apat na elemento, ang produkto ng dalawang five-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may limang elemento at isang column matrix din na may limang elemento, at iba pa.

Halimbawa 7. Maghanap ng mga tuldok na produkto ng mga pares ng mga vector

,

gamit ang representasyon ng matrix.

Solusyon. Ang unang pares ng mga vector. Kinakatawan namin ang unang vector bilang isang row matrix, at ang pangalawa bilang isang column matrix. Nakikita namin ang tuldok na produkto ng mga vector na ito bilang produkto ng row matrix sa pamamagitan ng column matrix:

Katulad nito, kinakatawan namin ang pangalawang pares at nahanap namin:

Tulad ng nakikita mo, ang mga resulta ay pareho sa mga parehong pares mula sa halimbawa 2.

Anggulo sa pagitan ng dalawang vector

Ang derivation ng formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors ay napakaganda at maigsi.

Upang ipahayag ang tuldok na produkto ng mga vector

(1)

sa coordinate form, una nating mahanap ang scalar product ng unit vectors. Ang tuldok na produkto ng isang vector sa pamamagitan ng sarili nitong kahulugan:

Ang ibig sabihin ng nakasulat sa formula sa itaas ay: ang tuldok na produkto ng isang vector mismo ay katumbas ng parisukat ng haba nito. Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, kaya ang parisukat ng bawat ort ay magiging katumbas ng isa:

Dahil sa mga vectors

ay pairwise perpendicular, kung gayon ang mga pairwise na produkto ng mga unit vector ay magiging katumbas ng zero:

Ngayon gawin natin ang pagpaparami ng mga vector polynomial:

Pinapalitan namin sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ang mga halaga ng kaukulang mga produkto ng scalar ng mga vector ng yunit:

Nakukuha namin ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors:

Halimbawa 8 Binigyan ng tatlong puntos A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Hanapin ang sulok.

Solusyon. Hanapin ang mga coordinate ng mga vectors:

,

.

Ayon sa pormula para sa cosine ng isang anggulo, nakukuha natin:

Kaya naman, .

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot product ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Halimbawa 9. Ibinigay ang dalawang vectors

Hanapin ang kabuuan, pagkakaiba, haba, tuldok na produkto at anggulo sa pagitan nila.

2. Pagkakaiba

Ang produkto ng vector at tuldok ay nagpapadali sa pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga vector. Hayaang mabigyan ng dalawang vectors $ \ overline (a) $ at $ \ overline (b) $, ang oriented na anggulo sa pagitan ng kung saan ay $ \ varphi $. Kalkulahin ang mga halaga $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ at $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Pagkatapos ay $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, kung saan ang $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, at $ \ varphi $ ay ang kinakailangang anggulo, iyon ay, ang puntong $ (x, y) $ ay may polar na anggulo na katumbas ng $ \ varphi $, at samakatuwid ang $ \ varphi $ ay matatagpuan bilang atan2 (y, x).

Lugar ng isang tatsulok

Dahil ang cross product ay naglalaman ng produkto ng dalawang haba ng vector sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, ang cross product ay maaaring gamitin upang kalkulahin ang lugar ng triangle ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Isang punto na kabilang sa isang tuwid na linya

Hayaang magbigay ng isang puntong $ P $ at isang tuwid na linya na $ AB $ (ibinigay ng dalawang puntos na $ A $ at $ B $). Kinakailangang suriin kung ang punto ay kabilang sa linyang $ AB $.

Ang isang punto ay kabilang sa tuwid na linya na $ AB $ kung at kung ang mga vectors na $ AP $ at $ AB $ ay magkakaugnay, iyon ay, kung $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Pag-aari ng isang punto sa isang sinag

Hayaang ibigay ang isang puntong $ P $ at isang ray $ AB $ (ibinigay ng dalawang puntos - simula ng ray $ A $ at isang punto sa ray $ B $). Kinakailangang suriin kung ang punto ay kabilang sa ray $ AB $.

Sa kondisyon na ang puntong $ P $ ay kabilang sa linyang $ AB $, kinakailangang magdagdag ng karagdagang kundisyon - ang mga vector na $ AP $ at $ AB $ ay co-directional, iyon ay, sila ay collinear at ang kanilang scalar na produkto ay hindi negatibo, ibig sabihin, $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Ang isang punto ay kabilang sa isang segment ng linya

Hayaang magbigay ng puntong $ P $ at isang segment na $ AB $. Kinakailangang suriin kung ang punto ay kabilang sa segment na $ AB $.

Sa kasong ito, ang punto ay dapat na kabilang sa parehong ray $ AB $ at ray $ BA $, kaya ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat suriin:

$ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Distansya mula sa punto hanggang linya

Hayaang magbigay ng isang puntong $ P $ at isang tuwid na linya na $ AB $ (ibinigay ng dalawang puntos na $ A $ at $ B $). Kinakailangang hanapin ang distansya mula sa punto ng tuwid na linya $ AB $.

Isaalang-alang ang isang tatsulok na ABP. Sa isang banda, ang lugar nito ay $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

Sa kabilang banda, ang lugar nito ay $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, kung saan ang $ h $ ay ang taas na ibinaba mula sa puntong $ P $, iyon ay, ang distansya mula sa $ P $ hanggang $ AB $. Mula sa kung saan $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Ituro sa distansya ng sinag

Hayaang ibigay ang isang puntong $ P $ at isang ray $ AB $ (ibinigay ng dalawang puntos - simula ng ray $ A $ at isang punto sa ray $ B $). Ito ay kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto sa ray, iyon ay, ang haba ng pinakamaikling segment mula sa punto $ P $ sa anumang punto sa ray.

Ang distansyang ito ay katumbas ng alinman sa haba $ AP $, o ang distansya mula sa puntong $ P $ hanggang sa linya na $ AB $. Alin sa mga kaso ang magaganap ay madaling matukoy sa pamamagitan ng kamag-anak na posisyon ng sinag at ang punto. Kung ang anggulo ng PAB ay talamak, iyon ay, $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, kung gayon ang sagot ay ang distansya mula sa puntong $ P $ hanggang sa tuwid na linya $ AB $, kung hindi man ang sagot ay ang haba ng segment na $ AB $.

Distansya mula sa punto hanggang linya

Hayaang magbigay ng puntong $ P $ at isang segment na $ AB $. Kinakailangang hanapin ang distansya mula sa $ P $ hanggang sa segment na $ AB $.

Kung ang base ng perpendicular ay bumaba mula $ P $ hanggang sa linya na $ AB $ ay bumaba sa segment na $ AB $, na maaaring ma-verify ng mga kundisyon

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

pagkatapos ang sagot ay ang distansya mula sa punto $ P $ sa linya $ AB $. Kung hindi, ang distansya ay magiging katumbas ng $ \ min (AP, BP) $.

Tuldok na produkto ng mga vector

Patuloy kaming nakikitungo sa mga vectors. Sa unang aralin Mga vector para sa mga dummies isinaalang-alang namin ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vector, mga coordinate ng vector at ang pinakasimpleng mga problema sa mga vector. Kung dumating ka sa pahinang ito sa unang pagkakataon mula sa isang search engine, lubos kong inirerekumenda na basahin ang panimulang artikulo sa itaas, dahil upang ma-assimilate ang materyal, kailangan mong magabayan sa mga termino at notasyon na ginagamit ko, magkaroon ng pangunahing kaalaman sa mga vector at kayang lutasin ang mga problema sa elementarya. Ang araling ito ay isang lohikal na pagpapatuloy ng paksa, at sa loob nito ay susuriin ko nang detalyado ang mga tipikal na gawain na gumagamit ng scalar product ng mga vectors. Ito ay isang NAPAKAMAHALAGANG trabaho.. Subukan na huwag laktawan ang mga halimbawa, ang mga ito ay sinamahan ng isang kapaki-pakinabang na bonus - ang pagsasanay ay makakatulong sa iyo na pagsamahin ang materyal na sakop at "makuha ang iyong kamay" sa paglutas ng mga karaniwang problema ng analytical geometry.

Pagdaragdag ng mga vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero…. Ito ay magiging walang muwang isipin na ang mga mathematician ay hindi nakabuo ng ibang bagay. Bilang karagdagan sa mga aksyon na isinasaalang-alang na, mayroong isang bilang ng iba pang mga operasyon na may mga vector, katulad: tuldok na produkto ng mga vector, produkto ng vector ng mga vector at pinaghalong produkto ng mga vector. Ang scalar na produkto ng mga vector ay pamilyar sa amin mula sa paaralan, ang iba pang dalawang produkto ay tradisyonal na nauugnay sa kurso ng mas mataas na matematika. Ang mga paksa ay simple, ang algorithm para sa paglutas ng maraming mga problema ay stereotyped at naiintindihan. Ang tanging bagay. Mayroong isang disenteng halaga ng impormasyon, kaya hindi kanais-nais na subukang makabisado at lutasin ang LAHAT AT SABAY. Ito ay totoo lalo na para sa mga dummies, maniwala ka sa akin, ang may-akda ay talagang hindi nais na makaramdam ng Chikatilo mula sa matematika. Well, hindi mula sa matematika, siyempre, alinman =) Ang mga mas handa na mga mag-aaral ay maaaring gumamit ng mga materyales nang pili, sa isang tiyak na kahulugan, "kunin" ang nawawalang kaalaman, para sa iyo ako ay magiging isang hindi nakakapinsalang Count Dracula =)

Sa wakas, buksan natin ng kaunti ang pinto at tingnan kung ano ang mangyayari kapag nagtagpo ang dalawang vectors….

Kahulugan ng scalar product ng mga vectors.
Mga katangian ng produktong scalar. Mga karaniwang gawain

Ang konsepto ng produkto ng tuldok

Una tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector. Sa tingin ko lahat ay intuitively nauunawaan kung ano ang anggulo sa pagitan ng mga vector, ngunit kung sakali, kaunti pa. Isaalang-alang ang mga libreng nonzero vectors at . Kung ipagpaliban natin ang mga vector na ito mula sa isang di-makatwirang punto, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang larawan na marami na ang naipakita sa isip:

Aaminin ko, dito ko inilarawan ang sitwasyon sa antas lamang ng pang-unawa. Kung kailangan mo ng mahigpit na kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga vector, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin, ngunit para sa mga praktikal na gawain, sa prinsipyo, hindi namin ito kailangan. Gayundin DITO AT DAGDAG, minsan ay hindi ko papansinin ang mga zero vector dahil sa kanilang mababang praktikal na kahalagahan. Gumawa ako ng reserbasyon na partikular para sa mga advanced na bisita sa site, na maaaring sisihin ako para sa teoretikal na hindi kumpleto ng ilan sa mga sumusunod na pahayag.

Sa panitikan, ang icon ng anggulo ay madalas na tinanggal at nakasulat lamang.

Kahulugan: Ang scalar product ng dalawang vector ay isang NUMBER na katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:

Ngayon iyon ay isang medyo mahigpit na kahulugan.

Nakatuon kami sa mahahalagang impormasyon:

pagtatalaga: ang scalar product ay tinutukoy ng o simpleng .

Ang resulta ng operasyon ay isang NUMBER: I-multiply ang isang vector sa isang vector upang makakuha ng isang numero. Sa katunayan, kung ang mga haba ng mga vector ay mga numero, ang cosine ng anggulo ay isang numero, kung gayon ang kanilang produkto magiging isang numero din.

Ilan lamang sa mga halimbawa ng warm-up:

Halimbawa 1

Solusyon: Ginagamit namin ang formula . Sa kasong ito:

Sagot:

Ang mga halaga ng cosine ay matatagpuan sa trigonometriko talahanayan. Inirerekomenda ko ang pag-print nito - kakailanganin ito sa halos lahat ng mga seksyon ng tore at kakailanganin ng maraming beses.

Purong mula sa isang mathematical na punto ng view, ang scalar na produkto ay walang sukat, iyon ay, ang resulta, sa kasong ito, ay isang numero lamang at iyon na. Mula sa punto ng view ng mga problema ng pisika, ang scalar na produkto ay palaging may isang tiyak na pisikal na kahulugan, iyon ay, pagkatapos ng resulta, ang isa o isa pang pisikal na yunit ay dapat ipahiwatig. Ang canonical na halimbawa ng pagkalkula ng gawain ng isang puwersa ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin (ang formula ay eksaktong produkto ng tuldok). Ang gawain ng isang puwersa ay sinusukat sa Joules, samakatuwid, ang sagot ay isusulat nang partikular, halimbawa,.

Halimbawa 2

Hanapin kung , at ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay .

Ito ay isang halimbawa para sa pagpapasya sa sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Anggulo sa pagitan ng mga vector at tuldok na halaga ng produkto

Sa Halimbawa 1, naging positibo ang produktong scalar, at sa Halimbawa 2, naging negatibo ito. Alamin natin kung saan nakasalalay ang sign ng scalar product. Tingnan natin ang aming formula: . Ang mga haba ng mga di-zero na vector ay palaging positibo: , kaya ang tanda ay maaaring depende lamang sa halaga ng cosine.

Tandaan: Para sa mas mahusay na pag-unawa sa impormasyon sa ibaba, mas mabuting pag-aralan ang cosine graph sa manwal Mga graph at katangian ng function. Tingnan kung paano kumikilos ang cosine sa segment.

Tulad ng nabanggit na, ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay maaaring mag-iba sa loob , at posible ang mga sumusunod na kaso:

1) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector maanghang: (mula 0 hanggang 90 degrees), pagkatapos , at dot product ay magiging positibo co-directed, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na zero, at ang scalar product ay magiging positibo din. Dahil ang , kung gayon ang formula ay pinasimple: .

2) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector mapurol: (mula 90 hanggang 180 degrees), pagkatapos , at kaugnay nito, dot product ay negatibo:. Espesyal na kaso: kung ang mga vectors itinuro sa tapat, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang anggulo sa pagitan nila ipinakalat: (180 degrees). Ang scalar product ay negatibo rin, dahil

Ang kabaligtaran na mga pahayag ay totoo rin:

1) Kung , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay talamak. Bilang kahalili, ang mga vector ay codirectional.

2) Kung , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay malabo. Bilang kahalili, ang mga vector ay nakadirekta sa tapat.

Ngunit ang ikatlong kaso ay partikular na interes:

3) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector tuwid: (90 degrees) pagkatapos at dot product ay zero:. Totoo rin ang kabaligtaran: kung , kung gayon . Ang compact na pahayag ay nabuo tulad ng sumusunod: Ang scalar product ng dalawang vectors ay zero kung at kung ang mga ibinigay na vectors ay orthogonal. Maikling notasyon sa matematika:

! Tandaan : ulitin pundasyon ng lohika ng matematika: Ang icon ng double-sided na lohikal na kahihinatnan ay karaniwang binabasa "kung at pagkatapos lamang", "kung at kung lamang". Tulad ng nakikita mo, ang mga arrow ay nakadirekta sa parehong direksyon - "mula dito ay sumusunod dito, at sa kabaligtaran - mula dito ay sumusunod dito." Ano nga pala, ang pagkakaiba sa icon ng one-way na follow ? Icon claims yun lang na "mula rito ay sumusunod dito", at hindi ang katotohanan na ang kabaligtaran ay totoo. Halimbawa: , ngunit hindi lahat ng hayop ay panther, kaya hindi magagamit ang icon sa kasong ito. Kasabay nito, sa halip na ang icon pwede gumamit ng one-sided na icon. Halimbawa, habang nilulutas ang problema, nalaman namin na napagpasyahan namin na ang mga vector ay orthogonal: - ang nasabing talaan ay magiging tama, at mas angkop pa kaysa .

Ang ikatlong kaso ay may malaking praktikal na kahalagahan., dahil pinapayagan ka nitong suriin kung orthogonal o hindi ang mga vector. Lutasin natin ang problemang ito sa ikalawang bahagi ng aralin.

Mga katangian ng produkto ng tuldok

Bumalik tayo sa sitwasyon kapag ang dalawang vectors co-directed. Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay zero, , at ang scalar product formula ay nasa anyong: .

Ano ang mangyayari kung ang isang vector ay pinarami ng sarili nito? Malinaw na ang vector ay nakadirekta sa sarili nito, kaya ginagamit namin ang pinasimpleng formula sa itaas:

Tinatawag ang numero scalar square vector, at tinukoy bilang.

Sa ganitong paraan, ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng square ng haba ng ibinigay na vector:

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, maaari kang makakuha ng isang formula para sa pagkalkula ng haba ng isang vector:

Habang tila malabo, ngunit ang mga gawain ng aralin ay maglalagay ng lahat sa lugar nito. Upang malutas ang mga problema, kailangan din natin mga katangian ng produkto ng tuldok.

Para sa mga arbitrary na vector at anumang numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) - displaceable o commutative batas ng produktong scalar.

2) - pamamahagi o distributive batas ng produktong scalar. Sa madaling salita, maaari mong buksan ang mga panaklong.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay batas ng produktong scalar. Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa scalar na produkto.

Kadalasan, ang lahat ng uri ng mga ari-arian (na kailangan ding patunayan!) Ay itinuturing ng mga mag-aaral bilang hindi kinakailangang basura, na kailangan lamang isaulo at ligtas na makalimutan kaagad pagkatapos ng pagsusulit. Mukhang ang mahalaga dito, alam na ng lahat mula sa unang baitang na ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang permutasyon ng mga kadahilanan:. Dapat kong bigyan ng babala, sa mas mataas na matematika na may ganitong diskarte ay madaling guluhin ang mga bagay. Kaya, halimbawa, ang commutative property ay hindi wasto para sa algebraic matrices. Ito ay hindi totoo para sa produkto ng vector ng mga vector. Samakatuwid, ito ay hindi bababa sa mas mahusay na bungkalin ang anumang mga katangian na iyong matugunan sa kurso ng mas mataas na matematika upang maunawaan kung ano ang maaari at hindi maaaring gawin.

Halimbawa 3

.

Solusyon: Una, linawin natin ang sitwasyon gamit ang vector. Ano naman ito? Ang kabuuan ng mga vector at ay isang mahusay na tinukoy na vector, na tinutukoy ng . Ang geometric na interpretasyon ng mga aksyon na may mga vector ay matatagpuan sa artikulo Mga vector para sa mga dummies. Ang parehong perehil na may vector ay ang kabuuan ng mga vector at .

Kaya, ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang scalar product. Sa teorya, kailangan mong ilapat ang gumaganang formula , ngunit ang problema ay hindi natin alam ang mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan nila. Ngunit sa kondisyon, ang mga katulad na parameter ay ibinibigay para sa mga vector, kaya pupunta tayo sa ibang paraan:

(1) Palitan ang mga expression ng vector.

(2) Binubuksan namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial, ang isang bulgar na twister ng dila ay matatagpuan sa artikulo Mga kumplikadong numero o Pagsasama ng isang fractional-rational function. Hindi ko na uulitin ang sarili ko =) By the way, the distributive property of the scalar product allow us to open the brackets. May karapatan tayo.

(3) Sa una at huling mga termino, isinulat namin ang mga scalar square ng mga vectors: . Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang commutability ng scalar product: .

(4) Narito ang mga katulad na termino: .

(5) Sa unang termino, ginagamit namin ang scalar square formula, na nabanggit hindi pa katagal. Sa huling termino, ayon sa pagkakabanggit, ang parehong bagay ay gumagana: . Ang pangalawang termino ay pinalawak ayon sa karaniwang formula .

(6) Palitan ang mga kundisyong ito , at MABUTI na isagawa ang mga huling kalkulasyon.

Sagot:

Ang negatibong halaga ng produkto ng tuldok ay nagsasaad ng katotohanan na ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay malabo.

Ang gawain ay tipikal, narito ang isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 4

Hanapin ang scalar product ng mga vectors at , kung ito ay kilala na .

Ngayon ay isa pang karaniwang gawain, para lamang sa bagong formula ng haba ng vector. Ang mga pagtatalaga dito ay magkakapatong ng kaunti, kaya para sa kalinawan, muling isusulat ko ito sa ibang titik:

Halimbawa 5

Hanapin ang haba ng vector kung .

Solusyon ay ang mga sumusunod:

(1) Ibinibigay namin ang expression ng vector .

(2) Ginagamit namin ang formula ng haba: , habang mayroon kaming integer na expression bilang vector na "ve".

(3) Ginagamit namin ang formula ng paaralan para sa parisukat ng kabuuan. Bigyang-pansin kung paano ito kakaibang gumagana dito: - sa katunayan, ito ang parisukat ng pagkakaiba, at, sa katunayan, ito ay gayon. Ang mga nagnanais ay maaaring muling ayusin ang mga vector sa mga lugar: - ito ay naging pareho hanggang sa isang muling pagsasaayos ng mga termino.

(4) Ang mga sumusunod ay pamilyar na sa dalawang naunang problema.

Sagot:

Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba, huwag kalimutang ipahiwatig ang sukat - "mga yunit".

Halimbawa 6

Hanapin ang haba ng vector kung .

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

Patuloy naming pinipiga ang mga kapaki-pakinabang na bagay mula sa scalar na produkto. Tingnan natin muli ang ating formula . Sa pamamagitan ng panuntunan ng proporsyon, i-reset namin ang mga haba ng mga vector sa denominator ng kaliwang bahagi:

Magpalit tayo ng mga bahagi:

Ano ang kahulugan ng formula na ito? Kung ang mga haba ng dalawang vectors at ang kanilang scalar product ay kilala, kung gayon ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay maaaring kalkulahin, at, dahil dito, ang anggulo mismo.

Ang scalar product ba ay isang numero? Numero. Mga numero ba ang haba ng vector? Numero. Kaya ang isang fraction ay isang numero din. At kung ang cosine ng anggulo ay kilala: , pagkatapos ay gamit ang inverse function na madaling mahanap ang mismong anggulo: .

Halimbawa 7

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector at , kung ito ay kilala na .

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Sa huling yugto ng mga kalkulasyon, ginamit ang isang pamamaraan - ang pag-aalis ng hindi makatwiran sa denominator. Upang maalis ang irrationality, pinarami ko ang numerator at denominator sa .

Kaya kung , pagkatapos:

Ang mga halaga ng inverse trigonometric function ay matatagpuan sa pamamagitan ng trigonometriko talahanayan. Bagama't bihira itong mangyari. Sa mga problema ng analytical geometry, mas madalas na lumilitaw ang ilang clumsy na bear, at ang halaga ng anggulo ay kailangang hanapin nang humigit-kumulang gamit ang isang calculator. Sa katunayan, makikita natin ang larawang ito nang paulit-ulit.

Sagot:

Muli, huwag kalimutang tukuyin ang sukat - radian at degree. Sa personal, upang sadyang "alisin ang lahat ng mga tanong", mas gusto kong ipahiwatig ang pareho (maliban kung, siyempre, ayon sa kondisyon, kinakailangan na ipakita ang sagot lamang sa mga radian o sa mga degree lamang).

Ngayon ay magagawa mong makayanan ang isang mas mahirap na gawain sa iyong sarili:

Halimbawa 7*

Ibinigay ang mga haba ng mga vectors, at ang anggulo sa pagitan nila. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors , .

Ang gawain ay hindi gaanong mahirap bilang multi-way.
Suriin natin ang algorithm ng solusyon:

1) Ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vector at , kaya kailangan mong gamitin ang formula .

2) Nahanap namin ang scalar product (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 3, 4).

3) Hanapin ang haba ng vector at ang haba ng vector (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 5, 6).

4) Ang pagtatapos ng solusyon ay tumutugma sa Halimbawa Blg. 7 - alam natin ang numero , na nangangahulugang madaling mahanap ang mismong anggulo:

Isang maikling solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

Ang pangalawang seksyon ng aralin ay nakatuon sa parehong produkto ng tuldok. Mga coordinate. Ito ay magiging mas madali kaysa sa unang bahagi.

tuldok na produkto ng mga vector,
ibinigay ng mga coordinate sa isang orthonormal na batayan

Sagot:

Hindi na kailangang sabihin, ang pakikitungo sa mga coordinate ay mas kaaya-aya.

Halimbawa 14

Hanapin ang scalar product ng mga vectors at kung

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Dito maaari mong gamitin ang pagkakaugnay ng operasyon, iyon ay, huwag mabibilang, ngunit agad na kunin ang triple mula sa scalar na produkto at i-multiply ito sa huli. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa dulo ng talata, isang nakakapukaw na halimbawa ng pagkalkula ng haba ng isang vector:

Halimbawa 15

Maghanap ng mga haba ng mga vector , kung

Solusyon: muli ang pamamaraan ng nakaraang seksyon ay nagmumungkahi mismo: ngunit may isa pang paraan:

Hanapin natin ang vector:

At ang haba nito ayon sa trivial formula :

Ang produktong scalar ay hindi nauugnay dito sa lahat!

Gaano ito kahirap kapag kinakalkula ang haba ng isang vector:
Tumigil ka. Bakit hindi samantalahin ang halatang haba ng pag-aari ng isang vector? Ano ang masasabi tungkol sa haba ng isang vector? Ang vector na ito ay 5 beses na mas mahaba kaysa sa vector. Ang direksyon ay kabaligtaran, ngunit hindi mahalaga, dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba. Malinaw, ang haba ng vector ay katumbas ng produkto modyul mga numero sa bawat haba ng vector:
- ang tanda ng module ay "kumakain" ng posibleng minus ng numero.

Sa ganitong paraan:

Sagot:

Ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ibinibigay ng mga coordinate

Ngayon ay mayroon na kaming kumpletong impormasyon upang ipahayag ang dating nagmula na formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga vector:

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng eroplano at , ibinigay sa orthonormal na batayan , ipinahayag ng pormula:
.

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng espasyo, ibinigay sa orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:

Halimbawa 16

Tatlong vertex ng isang tatsulok ang ibinibigay. Hanapin (anggulo ng vertex ).

Solusyon: Sa kondisyon, hindi kinakailangan ang pagguhit, ngunit pa rin:

Ang kinakailangang anggulo ay minarkahan ng berdeng arko. Agad naming naaalala ang pagtatalaga ng paaralan ng anggulo: - espesyal na atensyon sa karaniwan titik - ito ang tuktok ng anggulo na kailangan natin. Para sa maikli, maaari rin itong isulat nang simple.

Mula sa pagguhit ay medyo halata na ang anggulo ng tatsulok ay tumutugma sa anggulo sa pagitan ng mga vector at , sa madaling salita: .

Ito ay kanais-nais na matutunan kung paano isagawa ang pagsusuri na isinagawa sa pag-iisip.

Maghanap ng mga vector:

Kalkulahin natin ang scalar product:

At ang haba ng mga vectors:

Cosine ng isang anggulo:

Ito ang pagkakasunud-sunod ng gawain na inirerekumenda ko sa mga dummies. Maaaring isulat ng mas advanced na mga mambabasa ang mga kalkulasyon "sa isang linya":

Narito ang isang halimbawa ng isang "masamang" halaga ng cosine. Ang resultang halaga ay hindi pinal, kaya walang gaanong punto sa pag-alis ng irrationality sa denominator.

Hanapin natin ang anggulo:

Kung titingnan mo ang pagguhit, ang resulta ay lubos na kapani-paniwala. Upang suriin ang anggulo ay maaari ding masukat sa isang protractor. Huwag sirain ang monitor coating =)

Sagot:

Sa sagot, huwag kalimutan iyon nagtanong tungkol sa anggulo ng tatsulok(at hindi tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector), huwag kalimutang ipahiwatig ang eksaktong sagot: at ang tinatayang halaga ng anggulo: natagpuan gamit ang isang calculator.

Maaaring kalkulahin ng mga nasiyahan sa proseso ang mga anggulo, at tiyaking totoo ang canonical equality

Halimbawa 17

Ang isang tatsulok ay ibinibigay sa espasyo sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vertices nito. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid at

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin

Ang isang maliit na huling seksyon ay ilalaan sa mga projection, kung saan ang scalar na produkto ay "kasangkot" din:

Projection ng isang vector sa isang vector. Vector projection papunta sa coordinate axes.
Mga cosiine ng direksyon ng isang vector

Isaalang-alang ang mga vector at:

Ipinapalabas namin ang vector sa vector , para dito ay tinanggal namin mula sa simula at dulo ng vector patayo bawat vector (mga berdeng tuldok na linya). Isipin na ang mga sinag ng liwanag ay bumabagsak nang patayo sa isang vector. Pagkatapos ang segment (pulang linya) ay magiging "anino" ng vector. Sa kasong ito, ang projection ng isang vector sa isang vector ay ang LENGTH ng segment. Ibig sabihin, PROJECTION IS A NUMBER.

Ang NUMBER na ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: , "malaking vector" ay tumutukoy sa isang vector ALING ANG proyekto, "maliit na subscript vector" ay tumutukoy sa vector SA na inaasahang.

Ang entry mismo ay nagbabasa ng ganito: "ang projection ng vector "a" papunta sa vector "be"".

Ano ang mangyayari kung ang vector na "be" ay "masyadong maikli"? Gumuhit kami ng isang tuwid na linya na naglalaman ng vector "be". At ang vector na "a" ay ipapakita na sa direksyon ng vector "be", simple - sa isang tuwid na linya na naglalaman ng vector "be". Ang parehong bagay ay mangyayari kung ang vector "a" ay itabi sa ikatatlumpung kaharian - madali pa rin itong i-project sa linya na naglalaman ng vector "be".

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector maanghang(tulad ng nasa larawan), pagkatapos

Kung mga vectors orthogonal, pagkatapos (ang projection ay isang punto na ang mga sukat ay ipinapalagay na zero).

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector mapurol(sa figure, itak na muling ayusin ang arrow ng vector), pagkatapos (parehong haba, ngunit kinuha gamit ang isang minus sign).

Itabi ang mga vector na ito mula sa isang punto:

Malinaw, kapag gumagalaw ang isang vector, ang projection nito ay hindi nagbabago