Pagkalkula ng kamag-anak na error sa pagsukat. Pagkalkula ng mga error sa pagsukat

1. Panimula

Ang gawain ng mga chemist, physicist at mga kinatawan ng iba pang mga propesyon sa natural na agham ay kadalasang nagsasangkot ng pagsasagawa ng mga quantitative measurements ng iba't ibang dami. Sa kasong ito, ang tanong ay lumitaw sa pagsusuri ng pagiging maaasahan ng mga nakuha na halaga, pagproseso ng mga resulta ng mga direktang pagsukat at pagtatasa ng mga pagkakamali ng mga kalkulasyon na gumagamit ng mga halaga ng mga direktang sinusukat na katangian (ang huling proseso ay tinatawag ding pagproseso ng mga resulta. hindi direkta mga sukat). Para sa isang bilang ng mga layunin na kadahilanan, ang kaalaman ng mga nagtapos ng Faculty of Chemistry ng Moscow State University tungkol sa pagkalkula ng mga error ay hindi palaging sapat para sa tamang pagproseso ng natanggap na data. Isa sa mga kadahilanang ito ay ang kawalan sa kurikulum ng faculty ng isang kurso sa pagpoproseso ng istatistika ng mga resulta ng pagsukat.

Sa puntong ito, ang isyu ng pagkalkula ng mga pagkakamali, siyempre, ay lubusang pinag-aralan. Mayroong isang malaking bilang ng mga pag-unlad ng pamamaraan, mga aklat-aralin, atbp., kung saan makakahanap ka ng impormasyon tungkol sa pagkalkula ng mga error. Sa kasamaang palad, karamihan sa mga gawang ito ay napuno ng karagdagang at hindi palaging kinakailangang impormasyon. Sa partikular, ang karamihan sa mga gawain ng mga workshop ng mag-aaral ay hindi nangangailangan ng mga aksyon tulad ng paghahambing ng mga sample, pagtatasa ng convergence, atbp. Samakatuwid, tila angkop na lumikha ng isang maikling pag-unlad na binabalangkas ang mga algorithm para sa mga pinaka-madalas na ginagamit na mga kalkulasyon, na kung ano ang pag-unlad na ito. ay nakatuon sa.

2. Notasyon na pinagtibay sa gawaing ito

Ang sinusukat na halaga, - ang average na halaga ng sinusukat na halaga, - ang ganap na error ng average na halaga ng sinusukat na halaga, - ang kamag-anak na error ng average na halaga ng sinusukat na halaga.

3. Pagkalkula ng mga pagkakamali ng mga direktang sukat

Kaya, ipagpalagay natin na sila ay natupad n mga sukat ng parehong dami sa ilalim ng parehong mga kondisyon. Sa kasong ito, maaari mong kalkulahin ang average na halaga ng halagang ito sa mga sukat na ginawa:

(1)

Paano makalkula ang error? Ayon sa sumusunod na formula:

(2)

Ginagamit ng formula na ito ang Student coefficient. Ang mga halaga nito sa iba't ibang posibilidad ng kumpiyansa at mga halaga ay ibinibigay sa.

3.1. Isang halimbawa ng pagkalkula ng mga error ng direktang pagsukat:

Gawain.

Sinukat ang haba ng metal bar. 10 mga sukat ang ginawa at ang mga sumusunod na halaga ay nakuha: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Kinakailangang hanapin ang average na halaga ng sinusukat na dami (haba ng bar) at ang error nito.

Solusyon.

Gamit ang formula (1) makikita natin:

mm

Ngayon, gamit ang formula (2), nakita namin ang ganap na error ng average na halaga na may posibilidad ng kumpiyansa at ang bilang ng mga antas ng kalayaan (ginagamit namin ang halaga = 2.262, kinuha mula sa):

Isulat natin ang resulta:

10.8±0.7 0.95 mm

4. Pagkalkula ng mga error ng hindi direktang mga sukat

Ipagpalagay natin na sa panahon ng eksperimento ang mga dami ay sinusukat , at pagkatapos c Gamit ang nakuha na mga halaga, ang halaga ay kinakalkula gamit ang formula . Sa kasong ito, ang mga error ng direktang nasusukat na dami ay kinakalkula gaya ng inilarawan sa talata 3.

Ang pagkalkula ng average na halaga ng isang dami ay isinasagawa ayon sa pag-asa gamit ang mga average na halaga ng mga argumento.

Ang halaga ng error ay kinakalkula gamit ang sumusunod na formula:

,(3)

kung saan ang bilang ng mga argumento, ay ang partial derivative ng function na may paggalang sa mga argumento, ay ang ganap na error ng average na halaga ng argumento.

Ang ganap na error, tulad ng sa kaso ng mga direktang sukat, ay kinakalkula gamit ang formula.

4.1. Isang halimbawa ng pagkalkula ng mga error ng direktang pagsukat:

Gawain.

5 direktang pagsukat at isinagawa. Ang mga sumusunod na halaga ay nakuha para sa halaga: 50, 51, 52, 50, 47; ang mga sumusunod na halaga ay nakuha para sa dami: 500, 510, 476, 354, 520. Kinakailangang kalkulahin ang halaga ng dami na tinutukoy ng formula at hanapin ang error ng nakuhang halaga.

Ang pisika ay isang pang-eksperimentong agham, na nangangahulugan na ang mga pisikal na batas ay itinatag at napatunayan sa pamamagitan ng pag-iipon at paghahambing ng pang-eksperimentong data. Ang layunin ng pagawaan ng pisika ay para sa mga mag-aaral na pag-aralan ang mga pangunahing pisikal na phenomena sa pamamagitan ng karanasan, matutong sukatin nang tama ang mga numerical na halaga ng mga pisikal na dami at ihambing ang mga ito sa mga teoretikal na pormula.

Ang lahat ng mga sukat ay maaaring nahahati sa dalawang uri - tuwid At hindi direkta.

Sa direkta Sa mga sukat, ang halaga ng nais na dami ay direktang nakuha mula sa mga pagbabasa ng aparato sa pagsukat. Kaya, halimbawa, ang haba ay sinusukat gamit ang isang ruler, ang oras ay sinusukat ng isang orasan, atbp.

Kung ang nais na pisikal na dami ay hindi masusukat nang direkta ng aparato, ngunit ipinahayag sa pamamagitan ng mga sinusukat na dami gamit ang isang formula, kung gayon ang mga naturang sukat ay tinatawag na hindi direkta.

Ang pagsukat ng anumang dami ay hindi nagbibigay ng ganap na tumpak na halaga para sa dami na iyon. Ang bawat pagsukat ay palaging naglalaman ng ilang error (error). Ang error ay ang pagkakaiba sa pagitan ng sinusukat at totoong halaga.

Ang mga pagkakamali ay karaniwang nahahati sa sistematiko At random.

Sistematiko tinatawag na error na nananatiling pare-pareho sa buong serye ng mga sukat. Ang ganitong mga error ay sanhi ng di-kasakdalan ng instrumento sa pagsukat (halimbawa, ang zero offset ng device) o ang paraan ng pagsukat at maaaring, sa prinsipyo, ay hindi kasama sa panghuling resulta sa pamamagitan ng pagpapakilala ng naaangkop na pagwawasto.

Kasama rin sa mga sistematikong pagkakamali ang pagkakamali ng mga instrumento sa pagsukat. Ang katumpakan ng anumang aparato ay limitado at nailalarawan sa pamamagitan ng klase ng katumpakan nito, na karaniwang ipinahiwatig sa sukat ng pagsukat.

Random tinatawag na error na nag-iiba-iba sa iba't ibang eksperimento at maaaring parehong positibo at negatibo. Ang mga random na error ay sanhi ng mga dahilan na nakasalalay sa parehong aparato sa pagsukat (friction, gaps, atbp.) at sa mga panlabas na kondisyon (vibration, pagbabagu-bago ng boltahe sa network, atbp.).

Ang mga random na error ay hindi maaaring ibukod sa empirically, ngunit ang kanilang impluwensya sa resulta ay maaaring mabawasan ng paulit-ulit na mga sukat.

Pagkalkula ng error sa mga direktang sukat - average na halaga at average na ganap na error.

Ipagpalagay natin na nagsasagawa tayo ng isang serye ng mga sukat ng halagang X. Dahil sa pagkakaroon ng mga random na error, nakukuha natin n iba't ibang kahulugan:

X 1, X 2, X 3… X n

Karaniwang kinukuha ang average na halaga bilang resulta ng pagsukat

Pagkakaiba sa pagitan ng average at resulta ako – ng ika-ika pagsukat tatawagin natin ang ganap na pagkakamali ng pagsukat na ito

Bilang isang sukatan ng error ng average na halaga, maaari naming kunin ang average na halaga ng ganap na error ng isang indibidwal na pagsukat

(2)

Magnitude
tinatawag na arithmetic mean (o mean absolute) error.

Pagkatapos ang resulta ng pagsukat ay dapat na nakasulat sa form

(3)

Upang makilala ang katumpakan ng mga sukat, ginagamit ang kamag-anak na error, na karaniwang ipinahayag bilang isang porsyento

(4)

Hayaan ang mga sistematikong pagkakamali sa mga sukat ay bale-wala. Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang pagsukat ay isinasagawa ng maraming beses (n→∞).

Tulad ng ipinapakita ng karanasan, ang paglihis ng mga resulta ng pagsukat mula sa kanilang average na halaga pataas o pababa ay pareho. Ang mga resulta ng pagsukat na may maliliit na paglihis mula sa average na halaga ay mas madalas na sinusunod kaysa sa malalaking paglihis.

Ayusin natin ang lahat ng mga numerical na halaga ng mga resulta ng pagsukat sa isang serye sa pataas na pagkakasunud-sunod at hatiin ang seryeng ito sa pantay na pagitan
. Hayaan – bilang ng mga sukat na may mga resultang pumapasok sa pagitan [
]. Magnitude
may posibilidad na ΔP i (x) na makakuha ng resulta na may halaga sa pagitan [
].

Ilahad natin ito nang grapiko
, naaayon sa bawat pagitan [
] (Larawan 1). Ang stepped curve na ipinapakita sa Fig. 1 ay tinatawag na histogram. Ipagpalagay natin na ang aparato sa pagsukat ay may napakataas na sensitivity. Pagkatapos ang lapad ng agwat ay maaaring gawing infinitesimal dx. Ang stepped curve sa kasong ito ay pinalitan ng isang curve na kinakatawan ng function na φ(x) (Fig. 2). Ang function na φ(x) ay karaniwang tinatawag na distribution density function. Ang kahulugan nito ay ang produkto φ(x)dx ay ang posibilidad na dP(x) na makakuha ng mga resulta na may halaga sa hanay mula x hanggang x+dx. Sa graphically, ang halaga ng posibilidad ay kinakatawan bilang ang lugar ng isang may kulay na parihaba. Analytically, ang distribution density function ay nakasulat bilang mga sumusunod:

. (5)

Ang function na φ(x) na ipinakita sa anyo (5) ay tinatawag na Gaussian function, at ang katumbas na distribusyon ng mga resulta ng pagsukat ay Gaussian o normal.

Mga pagpipilian
at ang σ ay may sumusunod na kahulugan (Larawan 2).

– average na halaga ng mga resulta ng pagsukat. Sa
=
ang Gaussian function ay umabot sa pinakamataas na halaga nito. Kung ang bilang ng mga sukat ay walang hanggan malaki, kung gayon
katumbas ng tunay na halaga ng sinusukat na dami.

σ – nailalarawan ang antas ng scatter ng mga resulta ng pagsukat mula sa kanilang average na halaga. Ang parameter σ ay kinakalkula gamit ang formula:

. (6)

Kinakatawan ng parameter na ito ang root mean square error. Ang quantity σ 2 sa probability theory ay tinatawag na dispersion ng function na φ(x).

Kung mas mataas ang katumpakan ng pagsukat, mas malapit ang mga resulta ng pagsukat sa tunay na halaga ng sinusukat na dami, at, samakatuwid, ang mas maliit na σ.

Ang anyo ng function na φ(x) ay malinaw na hindi nakadepende sa bilang ng mga sukat.

Ipinakikita ng teorya ng probabilidad na 68% ng lahat ng mga sukat ay magbibigay ng resulta na nasa pagitan, 95% sa pagitan at 99.7% sa pagitan.

Kaya, na may probabilidad (kaasahan) na 68%, ang paglihis ng resulta ng pagsukat mula sa average na halaga ay nasa pagitan [
], na may probabilidad (kaasahan) na 95% – sa pagitan [
] at may probabilidad (kaasahan) na 99.7% – sa pagitan [
].

Ang pagitan na tumutugma sa isang partikular na posibilidad ng paglihis mula sa average na halaga ay tinatawag na kumpiyansa.

Sa totoong mga eksperimento, ang bilang ng mga dimensyon ay malinaw na hindi maaaring maging walang hanggan na malaki, kaya malamang na hindi ganoon
kasabay ng tunay na halaga ng sinusukat na halaga
. Kaugnay nito, mahalagang tantiyahin, batay sa probability theory, ang laki ng posibleng paglihis.
mula sa
.

Ipinapakita ng mga kalkulasyon na kapag ang bilang ng mga sukat ay higit sa 20, na may posibilidad na 68%
nasa loob ng confidence interval [
], na may posibilidad na 95% – sa pagitan[
], na may posibilidad na 99.7% – sa pagitan [
].

Magnitude , na tumutukoy sa mga hangganan ng agwat ng kumpiyansa, ay tinatawag na standard deviation o simpleng pamantayan.

Pamantayan kinakalkula ng formula:

. (7)

Isinasaalang-alang ang formula (6), ang expression (7) ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

. (8)

Kung mas malaki ang bilang ng mga dimensyon n, mas malapit ang X sa
. Kung ang bilang ng mga sukat ay hindi malaki, mas mababa sa 15, pagkatapos ay sa halip na ang Gaussian distribution, ang Student distribution ay ginagamit, na humahantong sa isang pagtaas sa lapad ng confidence interval ng posibleng deviation ng X mula sa
int n, p beses.

Ang factor t n, p ay tinatawag na Student coefficient. Ang mga indeks na P at n ay nagpapahiwatig kung anong pagiging maaasahan at kung anong bilang ng mga sukat ang tumutugma sa koepisyent ng Mag-aaral. Ang halaga ng Student coefficient para sa isang naibigay na bilang ng mga sukat at isang naibigay na pagiging maaasahan ay tinutukoy ayon sa Talahanayan 1.

Talahanayan 1

Koepisyent ng mag-aaral.

Halimbawa, na may ibinigay na pagiging maaasahan na 95% at ang bilang ng mga sukat n = 20, ang koepisyent ng mag-aaral t 20.95 = 2.1 (agwat ng kumpiyansa
) na may bilang ng mga sukatn=4, t 4.95 =3.2 (agwat ng kumpiyansa
). Iyon ay, na may pagtaas sa bilang ng mga sukat mula 4 hanggang 20, isang posibleng paglihis
fromX ay bumababa ng 1.524 beses.

Nasa ibaba ang isang halimbawa ng pagkalkula ng ganap na random na error

Gamit ang formula (2) hinahanap natin ang average na halaga ng sinusukat na halaga
(nang hindi ipinapahiwatig ang sukat ng pisikal na dami)

.

Gamit ang formula (8) kinakalkula namin ang standard deviation

.

Natukoy ang koepisyent ng mag-aaral para sa n=6, at P=95%, t 6.95 =2.6 huling resulta:

X=20.1±2.6·0.121=20.1±0.315 (na may P=95%).

Kinakalkula namin ang kamag-anak na error:

.

Kapag nagre-record ng huling resulta ng pagsukat, dapat tandaan na ang error ay dapat maglaman lamang ng isang makabuluhang figure (maliban sa zero). Ang dalawang makabuluhang numero sa error ay naitala lamang kung ang penultimate figure ay 1. Walang silbi na magtala ng mas malaking bilang ng mga makabuluhang numero, dahil hindi sila maaasahan. Sa pagtatala ng average na halaga ng sinusukat na halaga, ang huling digit ay dapat na kabilang sa parehong digit bilang ang huling digit sa pagtatala ng error.

X=(243±5)·10 2;

X=232.567±0.003.

Ang pagkuha ng ilang mga sukat ay maaaring magbunga ng parehong resulta. Posible ito kung mababa ang sensitivity ng aparato sa pagsukat. Kapag ang pagsukat ay ginawa gamit ang isang aparato na may mababang sensitivity, isang solong pagsukat ay sapat. Walang saysay, halimbawa, na paulit-ulit na sukatin ang haba ng mesa gamit ang tape measure na may mga dibisyon ng sentimetro. Magiging pareho ang resulta ng pagsukat sa kasong ito. Ang error sa panahon ng isang pagsukat ay tinutukoy ng halaga ng pinakamaliit na dibisyon ng device. Ito ay tinatawag na error sa instrumento. Kahulugan nito
kinakalkula gamit ang sumusunod na formula:

, (10)

kung saan ang γ ay ang presyo ng paghahati ng aparato;

t ∞, p – Koepisyent ng mag-aaral na tumutugma sa isang walang katapusang malaking bilang ng mga sukat.

Isinasaalang-alang ang error sa instrumento, ang ganap na error na may ibinigay na pagiging maaasahan ay tinutukoy ng formula:

, (11)

saan
.

Isinasaalang-alang ang mga pormula (8) at (10), (11) ay nakasulat tulad ng sumusunod:

. (12)

Sa panitikan, upang paikliin ang rekord, kung minsan ay hindi ipinahiwatig ang laki ng pagkakamali. Ang magnitude ng error ay ipinapalagay na kalahati ng isa sa huling makabuluhang digit. Kaya, halimbawa, ang halaga ng radius ng Earth ay nakasulat sa form
m. Nangangahulugan ito na ang error ay dapat kunin bilang isang halaga na katumbas ng ±
m.