Nilalaman ng artikulo

DERIVATIVE-Derivative function   y = f(x) tinukoy sa isang tiyak na agwat ( a, b) sa puntong   xang agwat na ito ay tinatawag na limitasyon kung saan ang kaugnayan ng pagdaragdag ng pag-andar ay may gawi f  sa puntong ito, sa kaukulang pagdaragdag ng argumento, kapag ang pagdaragdag ng argumento ay may posibilidad na maging zero.

Ang derivative ay karaniwang tinutukoy bilang mga sumusunod:

Ang iba pang mga notasyon ay malawakang ginagamit:

Mabilis na bilis.

Hayaan ang punto Mgumagalaw sa isang tuwid na linya. Distansya spaglipat ng punto, binibilang mula sa ilang paunang posisyon M0 nakasalalay sa oras t, i.e. smay function ng oras t: s= f(t). Hayaan sa isang oras sa oras t  gumagalaw na punto M  ay nasa malayo s  mula sa panimulang posisyon M0, at sa ilang susunod na sandali t+ D tnasa posisyon M1 - sa di kalayuan s+ D smula sa panimulang posisyon ( tingnan ang pic.).

Kaya, sa tagal ng panahon D t  distansya s  binago ng halaga ng D s. Sa kasong ito, sinabi nila na para sa agwat ng oras D t  halaga s  nadagdagan D s.

Sa lahat ng mga kaso, ang average na bilis ay hindi maaaring tumpak na makilala ang bilis ng isang punto M  sa oras t. Kung, halimbawa, ang katawan sa simula ng agwat D t  lumipat nang napakabilis, at sa huli napakabagal, ang average na bilis ay hindi maipakita ang mga ipinahiwatig na mga tampok ng paggalaw ng punto at magbigay ng isang ideya ng totoong bilis ng paggalaw nito sa t. Upang mas tumpak na maipahayag ang totoong bilis sa tulong ng average na bilis, kailangan nating kumuha ng mas maikling panahon ng D t. Ang pinaka-ganap na characterizes ang bilis ng isang punto sa isang sandali t  ang limitasyon kung saan ang average na bilis ay may kaugaliang D t  ® 0. Ang limitasyong ito ay tinatawag na kasalukuyang bilis:

Kaya, ang bilis ng paggalaw sa sandaling ito ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagdaragdag ng landas D s  pagdaragdag ng oras D tkapag ang pagdaragdag ng oras ay may posibilidad na maging zero. Dahil

Ang geometric na halaga ng derivative. Tangent sa pag-andar ng grap.

Ang pagtatayo ng mga tangents ay isa sa mga problemang ito na humantong sa kapanganakan ng calculus ng kaugalian. Ang unang nai-publish na gawain na may kaugnayan sa kaugalian calculus at isinulat ni Leibniz ay tinawag Ang isang bagong pamamaraan ng maxima at minima, pati na rin ang mga tangents, kung saan alinman sa fractional o hindi makatwirang dami ay nagsisilbing isang balakid, at isang espesyal na uri ng calculus.

Hayaan ang curve ay isang function na graph y = f(x) sa isang hugis-parihaba na coordinate system ( tingnan. ig.).

Sa isang tiyak na halaga xmga bagay na may function y = f(x) Sa mga halagang ito xat y  may isang punto sa curve M0(x, y) Kung ang argumento x  ibigay pagdaragdag D x, pagkatapos ay ang bagong halaga ng argumento x  + D x  tumutugma sa bagong halaga ng pag-andar y +D y = f(x +   D x) Ang kaukulang punto sa curve ay ang punto M1(x  + D x,  y  + D y) Kung gumuhit ka ng isang lihim M0M1 at ipinakilala ni j anggulo na nabuo ng secant na may positibong direksyon ng axis Ox, ito ay direktang nakikita mula sa figure na.

Kung ngayon D x  may posibilidad na maging zero pagkatapos ang punto M1 gumagalaw sa curve, papalapit sa punto M0 at anggulo j mga pagbabago sa pagbabago D x. Sa Dx® 0, ang anggulo j ay may kaugaliang isang limitasyon at isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M0 at ang anggulo ay isang sangkap na may positibong direksyon ng axc abscissa ay ang nais na tangent. Angular na koepisyent nito:

Samakatuwid f´( x) \u003d tga

i.e. napakahalagang halaga f´( x) para sa isang naibigay na halaga ng argumento x  katumbas ng tangent ng anggulo na nabuo ng tangent sa grap ng pag-andar f(x) sa kaukulang punto M0(x,y) na may positibong direksyon ng axis Ox.

Pagkakaiba-iba ng mga pag-andar.

Kahulugan Kung ang pagpapaandar y = f(x) ay mayroong derivative sa x = x0, kung gayon ang pag-andar ay naiiba sa puntong ito.

Ang pagpapatuloy ng isang pag-andar na may pagkakaroon ng isang hinalaw. Teorya

Kung ang pagpapaandar y = f(x) naiiba sa ilang mga punto x = x0, pagkatapos ay tuluy-tuloy ito sa puntong ito.

Kaya, sa mga punto ng diskontento, ang pag-andar ay hindi maaaring magkaroon ng isang hinango. Ang totoo ay hindi totoo, i.e. mula sa katotohanan na sa isang punto x = x0 function y = f(x) ang patuloy na hindi sumusunod na ito ay naiiba sa puntong ito. Halimbawa, ang pagpapaandar y = |x| tuloy-tuloy para sa lahat x  (-Ґ x x \u003d 0 ay walang hinango. Sa puntong ito, walang padaplis sa graph. Mayroong isang tamang padaplis at kaliwa, ngunit hindi sila nagkakasabay.

Ang ilang mga teorema sa magkakaibang mga pag-andar. Teorem ng ugat ng derivative (teorema ni Rolle).Kung ang pagpapaandar f(x) ay tuloy-tuloy sa segment [a,b], naiiba sa lahat ng mga panloob na punto ng segment na ito at sa mga dulo x = a  at x = b  nawawala ( f(a) = f(b) \u003d 0), pagkatapos ay sa loob ng agwat [ a,b] may hindi bababa sa isang punto x= kasama, a  c b kung saan ang derivative fў( x) nawala, i.e. fў( c) = 0.

Natapos ang teorem ng pagtaas (teyor ng Lagrange).Kung ang pagpapaandar f(x) ay tuloy-tuloy sa segment [ a, b] at naiiba sa lahat ng mga panloob na punto ng segment na ito, pagkatapos ay sa loob ng segment [ a, b] may hindi bababa sa isang punto kasama, a  c b iyon

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Isang teorem sa kaugnayan ng mga pagdaragdag ng dalawang pag-andar (Cauchy teorem).Kung f(x) at   g(x) Ay dalawang function na tuloy-tuloy sa isang segment [a, b] at natatangi sa lahat ng mga panloob na punto ng segment na ito, bukod dito gў( x) kahit saan sa loob ng segment na ito ay hindi mawala, pagkatapos ay sa loob ng segment [ a, b] mayroong isang punto x = kasama, a  c b iyon

Mga derivatibo ng iba't ibang mga order.

Hayaan ang pagpapaandar y = f(x) naiiba sa ilang segment [ a, b]. Mga Pinahahalagahan f ў( x), sa pangkalahatang pagsasalita, nakasalalay x, i.e. hinango f ў( x) ay din ng isang function ng x. Sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba sa pagpapaandar na ito, nakuha namin ang tinatawag na pangalawang derivative ng function f(x), na kung saan ay ipinapahiwatig ng f ўў ( x).

Nagganyak n-pagkakasunud-sunod ng pag-andar f(x) ay tinatawag na derivative (unang pagkakasunud-sunod) ng derivative n-1- pumunta at ipinahiwatig ng y(n) = (y(n  - 1)) ў.

Mga pagkakaiba-iba ng iba't ibang mga order.

Pag-iiba ng pag-andar y = f(x), saan x  Ay isang malayang variable, mayroon   dy = f ў( x)dx, ilang mga function mula sa   x, ngunit mula sa x  ang unang kadahilanan ay maaaring nakasalalay f ў( x), ang pangalawang kadahilanan ( dx) ay isang pagdaragdag ng isang malayang variable xat hindi nakasalalay sa halaga ng variable na ito. Dahil dy  mayroong isang function mula sa x, pagkatapos ay maaaring matukoy ang pagkakaiba-iba ng pagpapaandar na ito. Ang pagkakaiba mula sa kaugalian ng isang function ay tinatawag na pangalawang kaugalian o pangalawang pagkakasunud-sunod ng pag-andar na ito at ipinapahiwatig ng d2y:

d(dx) = d2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Pagkakaiba-iba n-ang order ay tinatawag na unang kaugalian ng kaugalian n-1- pag-order:

d n y = d(d n–1  y) = f(n)(x)dx(n).

Pribadong deribatibo.

Kung ang pag-andar ay nakasalalay hindi sa isa kundi sa maraming mga argumento x i(akonag-iiba mula 1 hanggang n,  ako= 1, 2,… n), f(x1,  x2,… x n), pagkatapos sa kaugalian calculus ang konsepto ng isang bahagyang derivative ay ipinakilala, na nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng pag-andar ng ilang mga variable kapag nagbago lamang ang isang argumento, halimbawa, x i. 1st order bahagyang derivative na may paggalang sa x iay tinukoy bilang isang ordinaryong hinango, na sa palagay na ang lahat ng mga argumento maliban x i, panatilihin ang mga palaging halaga. Para sa mga bahagyang derivatives ipinakilala namin ang notasyon

Ang mga bahagyang derivatives ng unang pagkakasunud-sunod na tinukoy sa ganitong paraan (bilang mga pag-andar ng parehong argumento) ay maaaring, sa turn, ay mayroon ding bahagyang derivatives, ito ay mga bahagyang derivatives ng pangalawang pagkakasunud-sunod, atbp. Kinuha na may iba't ibang mga argumento, ang mga naturang derivatives ay tinatawag na halo-halong. Ang patuloy na halo-halong derivatives ng parehong pagkakasunud-sunod ay independiyenteng ng pagkakasunud-sunod ng pagkita at pantay sa bawat isa.

Anna Chugainova

Ano ang isang derivative?

Talahanayan ng dereksyon.

Ang derivative ay isa sa mga pangunahing konsepto ng mas mataas na matematika. Sa araling ito, malalaman natin ang konseptong ito. Malalaman natin ang bawat isa nang walang mahigpit na mga pormula at patunay ng matematika.

Papayagan ng kakilala na ito:

Unawain ang kakanyahan ng mga simpleng gawain na may isang hango;

Matagumpay na malutas ang mga napaka-simpleng gawain;

Maghanda para sa higit pang mga seryosong aralin na derivative.

Isang maayang sorpresa sa una.)

Ang mahigpit na kahulugan ng derivative ay batay sa teorya ng mga limitasyon at ang bagay ay medyo kumplikado. Nakakainis. Ngunit ang praktikal na aplikasyon ng derivative, bilang isang patakaran, ay hindi nangangailangan ng malawak at malalim na kaalaman!

Para sa matagumpay na pagkumpleto ng karamihan sa mga gawain sa paaralan at unibersidad ay sapat na upang malaman ilang term lang  - upang maunawaan ang gawain, at ilang mga panuntunan lamang  - upang malutas ito. At iyon lang. Nagagalak ito.

Alamin natin ang bawat isa?)

Mga tuntunin at notasyon.

Sa elementarya sa elementarya, maraming uri ng operasyon sa matematika. Pagdagdag, pagbabawas, pagpaparami, exponentiation, logarithm, atbp. Kung nagdagdag ka pa ng mga operasyong ito, ang matematika sa elementarya ay magiging mas mataas. Tinawag ang bagong operasyon na ito pagkita ng kaibahan.  Ang kahulugan at kahulugan ng operasyon na ito ay tatalakayin sa magkahiwalay na aralin.

Mahalagang maunawaan dito na ang pagkita ng kaibhan ay isang operasyon lamang sa matematika sa isang function. Kumuha kami ng anumang pag-andar at, ayon sa ilang mga patakaran, ibabago ito. Ang resulta ay isang bagong tampok. Ang bagong function na ito ay tinatawag na: hinango.

Pagkita ng kaibahan  - pagkilos sa isang function.

Nagganyak  ay ang resulta ng aksyon na ito.

Tulad ng, halimbawa, ang dami  - ang resulta ng karagdagan. O pribado  ay ang resulta ng paghahati.

Ang pag-alam ng mga termino, maaari mong, sa pinakamaliit, maiintindihan ang mga gawain.) Ang mga pagbabalangkas ay ang mga sumusunod: hanapin ang pinagmulan ng pag-andar; kunin ang derivative; magkakaibang pag-andar; kalkulahin ang derivative  atbp. Iyon lang isa at ang parehong bagay.  Siyempre, may mga mas kumplikadong gawain, kung saan ang paghahanap ng derivative (pagkita ng kaibahan) ay isa lamang sa mga hakbang upang malutas ang gawain.

Ang derivative ay ipinahiwatig gamit ang bar sa kanang itaas na itaas sa pag-andar. Tulad nito: y "  o f "(x)  o S "(t)  at iba pa.

Basahin igrek stroke, eff stroke mula sa X, es stroke mula sa te,  Well, nauunawaan mo ...)

Ang isang bar ay maaari ring magpahiwatig ng derivative ng isang partikular na pag-andar, halimbawa: (2x + 3) ", (x 3 )" , (sinx) "  atbp. Kadalasan ang derivatibo ay ipinapahiwatig ng mga pagkakaiba-iba, ngunit hindi namin isasaalang-alang ang naturang pagtatalaga sa araling ito.

Ipagpalagay na natutunan nating maunawaan ang mga gawain. Ang natitira lamang ay upang malaman kung paano malutas ang mga ito.) Hayaan akong ipaalala sa iyo muli: ang paghahanap ng isang hinango ay pag-convert ng function ayon sa ilang mga patakaran.  Ang mga patakarang ito, nakakagulat, kakaunti.

Upang mahanap ang pinagmulan ng isang function, kailangan mo lamang malaman ang tatlong bagay. Tatlong balyena kung saan nakatayo ang lahat ng pagkakaiba-iba. Narito ang mga ito ng tatlong balyena:

1. Talahanayan ng mga derivatives (mga formula ng pagkita ng kaibhan).

3. Ang hinango ng isang kumplikadong pag-andar.

Magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod. Sa araling ito tatalakayin natin ang talahanayan ng mga derivatibo.

Talahanayan ng dereksyon.

Sa mundo - isang walang hanggan bilang ng mga pag-andar. Kabilang sa set na ito ay may mga pag-andar na pinakamahalaga para sa praktikal na paggamit. Ang mga function na ito ay nakaupo sa lahat ng mga batas ng kalikasan. Mula sa mga pag-andar na ito, tulad ng mga brick, maaari mong mabuo ang lahat ng natitira. Ang klase ng pag-andar na ito ay tinawag pangunahing pag-andar.  Ito ang mga pagpapaandar na pinag-aralan sa paaralan - linear, quadratic, hyperbola, atbp.

Pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar "mula sa simula", ibig sabihin batay sa kahulugan ng hinango at teorya ng mga limitasyon - isang bagay sa halip matrabaho. At ang mga matematiko ay mga tao rin, oo!) Kaya pinasimple nila ang kanilang buhay (at para sa amin). Kinakalkula nila ang mga derivatives ng elementarya function sa harap namin. Ang resulta ay isang talahanayan ng mga derivatives, kung saan handa na ang lahat.)

Narito, ang plate na ito para sa pinakasikat na mga tampok. Sa kaliwa ay isang elementarya na pag-andar, sa kanan ay nagmula.

	Pag-andar    y	Pinagmulan ng y    y "
1	C (palagiang halaga)	C "\u003d 0
2	x	x "\u003d 1
3	x n (n ay anumang numero)	(x n) "\u003d nx n-1
	x 2 (n \u003d 2)	(x 2) "\u003d 2x
4	kasalanan x	(kasalanan x) "\u003d kosx
	cos x	(cos x) "\u003d - kasalanan x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	mga arko x
	arctg x
	arcctg x
4	a  x
	e  x
5	mag-log   ax
	ln x ( isang \u003d e)

Inirerekumenda kong pansinin ang pangatlong pangkat ng mga pag-andar sa talahanayan ng mga derivatives. Ang derivative ng isang function ng kapangyarihan ay isa sa mga pinaka-karaniwang formula, kung hindi ang pinaka-karaniwang! Malinaw ba ang pahiwatig?) Oo, kanais-nais na malaman ang talahanayan ng mga derivatives ng puso. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi mahirap hangga't maaaring mukhang. Subukang malutas ang maraming mga halimbawa, ang mesa mismo ay maaalala!)

Upang mahanap ang pantular na halaga ng derivative, tulad ng alam mo, ang gawain ay hindi ang pinakamahirap. Samakatuwid, napakadalas sa naturang mga gawain ay may mga karagdagang chips. Alinman sa pahayag ng gawain, o sa orihinal na pag-andar, na sa talahanayan ay tila wala ...

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

1. Hanapin ang pinagmulan ng pagpapaandar y \u003d x 3

Walang ganoong pag-andar sa talahanayan. Ngunit mayroong isang pinagmulan ng isang function ng lakas sa pangkalahatang anyo (pangatlong pangkat). Sa aming kaso, n \u003d 3. Kaya't pinalitan namin ang triple sa halip na n at maingat na isulat ang resulta:

(x 3) "\u003d 3x 3-1 = 3x 2

Iyon lang.

Ang sagot ay: y "\u003d 3x 2

2. Hanapin ang halaga ng hinango ng pag-andar y \u003d sinx sa x \u003d 0.

Ang gawaing ito ay nangangahulugan na dapat mo munang mahanap ang derivative ng sine, at pagkatapos ay kapalit ang halaga x \u003d 0  sa napaka derivative na ito. Sa pagkakasunud-sunod na iyon!  At pagkatapos, nangyari, agad nilang pinalitan ang zero sa orihinal na pagpapaandar ... Hinihiling sa amin na hindi mahanap ang halaga ng orihinal na pag-andar, ngunit ang halaga derivative nito.  Turo, naalala ko - ito ay isang bagong tampok.

Sa plato ay matatagpuan namin ang sine at ang kaukulang derivative:

y "\u003d (kasalanan x)" \u003d kosx

Palitin ang zero sa derivative:

y "(0) \u003d kos 0 \u003d 1

Ito ang magiging sagot.

3. Pag-iba-iba ang pagpapaandar:

Ano ang nagbibigay inspirasyon?) Walang ganyang pag-andar sa talahanayan ng mga derivatives.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang pag-iba-ibahin ang isang function ay upang mahanap lamang ang hinango ng pagpapaandar na ito. Kung nakalimutan natin ang elementarya na trigonometrya, sa halip ay mahirap na maghanap para sa hinango ng aming pag-andar. Ang talahanayan ay hindi makakatulong ...

Ngunit kung nakikita mo na ang aming pag-andar ay doble na anggulo ng kosinapagkatapos ang lahat ay makakakuha ng mas mahusay kaagad!

Oo, oo! Tandaan na ang pag-convert ng orihinal na pag-andar bago pagkita ng kaibahan  medyo pinapayagan! At nangyayari ito upang gawing madali ang buhay. Sa pamamagitan ng formula ng kosine ng isang dobleng anggulo:

I.e. ang aming nakakalito na function ay walang anuman y \u003d kosx. At ito ay isang pag-andar ng talahanayan. Agad na nakukuha namin:

Ang sagot ay: y "\u003d - kasalanan x.

Isang halimbawa para sa mga advanced na nagtapos at mag-aaral:

4. Hanapin ang pinagmulan ng pag-andar:

Walang ganoong pag-andar sa talahanayan ng mga derivatives, siyempre. Ngunit kung naaalala mo ang elementong matematika, ang mga aksyon na may mga degree ... Kung gayon posible na gawing simple ang pagpapaandar na ito. Tulad nito:

At X sa kapangyarihan ng isang ikasampu ay isang pagpapaandar ng mesa! Ang pangatlong pangkat, n \u003d 1/10. Direkta sa pamamagitan ng pormula at isulat:

Iyon lang. Iyon ang magiging sagot.

Inaasahan ko na sa unang balyena ng pagkita ng kaibahan - ang talahanayan ng mga derivatives - ang lahat ay malinaw. Ito ay nananatiling makitungo sa dalawang natitirang mga balyena. Sa susunod na aralin, makakamit natin ang mga patakaran ng pagkita ng kaibahan.

Ang pagkalkula ng derivative ay madalas na matatagpuan sa mga gawain ng pagsusulit. Ang pahinang ito ay naglalaman ng isang listahan ng mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives.

Mga patakaran sa pagkita ng kaibhan

1. (k⋅ f (x)) ′ \u003d k⋅ f ′ (x).
2. (f (x) + g (x)) ′ \u003d f ′ (x) + g ′ (x).
3. (f (x) ⋅ g (x)) ′ \u003d f ′ (x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g ′ (x).
4. Pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andar. Kung ang y \u003d F (u) at u \u003d u (x), kung gayon ang pag-andar y \u003d f (x) \u003d F (u (x)) ay tinatawag na isang kumplikadong pag-andar ng x. Katumbas ng y ′ (x) \u003d Fu′⋅ ux ′.
5. Pinagmulan ng isang implicit function. Ang function y \u003d f (x) ay tinatawag na implicit function na ibinigay ng ugnayan F (x, y) \u003d 0 kung F (x, f (x)) ≡ 0.
6. Pinagmulan ng kabaligtaran function. Kung g (f (x)) \u003d x, kung gayon ang function g (x) ay tinatawag na kabaligtaran na pag-andar para sa function y \u003d f (x).
7. Ang hinango ng isang function na tinukoy ng parametrically. Hayaan ang x at y ibigay bilang mga function ng variable t: x \u003d x (t), y \u003d y (t). Sinasabing ang y \u003d y (x) ay isang function na tinukoy ng parametrically sa agwat x∈ (a; b), kung sa agwat na ito ang equation x \u003d x (t) ay maipapahayag bilang t \u003d t (x) at ang pagpapaandar y \u003d y ( t (x)) \u003d y (x).
8. Pinagmulan ng exponential function. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng logarithm sa base ng natural logarithm.

Hayaan ang pagpapaandar y \u003d f (x) ay tinukoy sa pagitan X. Nagganyak   ang function y \u003d f (x) sa puntong x o ay tinatawag na limitasyon

= .

Kung ang limitasyong ito panghuli   kung gayon ang tawag f (x) ay tinatawag naiiba   sa puntong x o  ; sa parehong oras, ito ay kinakailangan at tuluy-tuloy sa puntong ito.

Kung ang itinuturing na limitasyon ay katumbas ng  (o - ), kung gayon, sa kondisyon na ang pag-andar sa puntong iyon x o   tuloy-tuloy, sinasabi namin na ang pag-andar f (x) ay nasa punto x o walang hanggan nagmula.

Ang derivative ay ipinahiwatig ng

y , f  (x o),.

Ang paghahanap ng isang derivative ay tinatawag pagkita ng kaibahan   pag-andar. Ang geometric na kahulugan ng derivative   binubuo sa ang katunayan na ang derivative ay angular coefficient ng tangent sa curve y \u003d f (x) sa isang naibigay na punto x o ; pisikal na kahulugan -sa na ang pinagmulan ng landas na may paggalang sa oras ay ang agarang bilis ng paglipat ng point na may rectilinear motion s \u003d s (t) sa oras t o.

Kung kasama   ay isang pare-pareho ang numero, at u \u003d u (x), v \u003d v (x) ay ilang mga pagkakaiba-iba ng mga pag-andar, kung gayon ang sumusunod na mga patakaran sa pagkita ng kaibhan ay may bisa:

1) (c) "\u003d 0, (cu)" \u003d cu ";

2) (u + v) "\u003d u" + v ";

3) (uv) "\u003d u" v + v "u;

4) (u / v) "\u003d (u" v-v "u) / v 2;

5) kung y \u003d f (u), u \u003d  (x), i.e. y \u003d f ( (x)) -   kumplikadong pag-andar   o    superposisyonbinubuo ng magkakaibang mga pag-andar  at f, kung gayon, o

6) kung para sa pagpapaandar y \u003d f (x) mayroong umiiral na magkakaibang pag-andar x \u003d g (y), bukod dito,, 0, kung gayon.

Batay sa kahulugan ng mga patakaran ng derivatibo at pagkita ng kaibahan, ang isang listahan ng mga tabular derivatives ng mga pangunahing elementong pag-andar ay maaaring makolekta.

1. (u ) "\u003d  u  1 u" (  R).

2. (a u) "\u003d a u lna u".

3. (e u) "\u003d e u u".

4. (mag-log a u) "\u003d u" / (u ln a).

5. (ln u) "\u003d u" / u.

6. (sin u) "\u003d cos u u".

7. (cos u) "\u003d - kasalanan u u".

8. (tg u) "\u003d 1 / cos 2 u u".

9. (ctg u) "\u003d - u" / kasalanan 2 u.

10. (arcsin u) "\u003d u" /.

11. (arccos u) "\u003d - u" /.

12. (arctan u) "\u003d u" / (1 + u 2).

13. (arcctg u) "\u003d - u" / (1 + u 2).

Kinakalkula namin ang pinagmulan ng pagpapahayag ng lakas-exponential y \u003d u v, (u\u003e 0), kung saan u   at v   kakanyahan ng pagpapaandar mula sa xpagkakaroon ng derivatives sa isang naibigay na punto ikaw ",   v ".

Ang pagkakaroon ng logarithm y \u003d u v, nakakakuha kami ng ln y \u003d v ln u.

Paghahambing ng mga derivatives na may paggalang sa x   mula sa magkabilang panig ng nakuha na pagkakapantay-pantay gamit ang mga patakaran 3, 5 at ang pormula para sa hinango ng pag-andar ng logarithmic, magkakaroon kami:

y "/ y \u003d vu" / u + v "ln u, kung saan galing" \u003d y (vu "/ u + v" ln u).

(u v) "\u003d u v (vu" / u + v "ln u), u\u003e 0.

Halimbawa, kung y \u003d x kasalanan x, kung gayon y "\u003d x kasalanan x (kasalanan x / x + cos x ln x).

Kung ang pag-andar y \u003d f (x) ay naiiba sa x, i.e. ay may isang hangganan na derivative sa puntong ito y ", pagkatapos \u003d y "+ , kung saan ang 0 para sa х 0; samakatuwid,  y \u003d y" х +  x.

Ang pangunahing bahagi ng pagdaragdag ng pag-andar, linear na may paggalang sa х, ay tinatawag    pagkakaiba ang mga function   at tinukoy ng dy: dy \u003d y "x. Kung inilalagay natin ang y \u003d x sa pormula na ito, nakakakuha tayo ng dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x, samakatuwid dy \u003d y "dx, i.e., ang simbolo para sa ang notasyon ng derivative ay maaaring isaalang-alang bilang isang maliit na bahagi.

Pagdagdag ng pag-andar функции y   ay ang pagdaragdag ng ordinate ng curve, at ang pagkakaiba-iba d y   mayroong isang pagdaragdag ng ordinate ng tangent.

Ipagpalagay na nahanap natin ang pagpapaandar y \u003d f (x) ang pinagmulan nito y  \u003d f  (x). Ang derivative ng derivative na ito ay tinatawag pangalawang pagkakasunud-sunodfunction f (x), o pangalawang deribatibo   at itinalaga .

Katulad na tinukoy at itinalaga:

pangatlong pagkakasunud-sunod - ,

pang-apat na order derivative -

at sa pangkalahatan n-th derivative - .

Halimbawa 3.15.    Kalkulahin ang pinagmulan ng pag-andar y \u003d (3x 3 -2x + 1) sin x.

Solusyon.Sa pamamagitan ng panuntunan 3, y "\u003d (3x 3 -2x + 1)" sin x + (3x 3 -2x + 1)  (kasalanan x) "\u003d \u003d (9x 2 -2) kasalanan x + (3x 3 -2x +1) kos x.

Halimbawa 3.16 . Hanapin y ", y \u003d tg x +.

Solusyon.Gamit ang mga patakaran ng pagkakaiba-iba ng kabuuan mula sa quotient, nakukuha namin: y "\u003d (tgx +)" \u003d (tgx) "+ ()" \u003d + = .

Halimbawa 3.17.    Hanapin ang pinagmulan ng kumplikadong pag-andar y \u003d, u \u003d x 4 +1.

Solusyon.Ayon sa patakaran ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong pag-andar, nakukuha namin: y "x \u003d y" uu "x \u003d ()" u (x 4 +1) "x \u003d (2u +. Dahil u \u003d x 4 + 1, kung gayon (2 x 4 +) 2+ .