§ 1 القسم الأعداد الطبيعية

في هذا الدرس سوف تتعرف على مفاهيم مثل المقسوم والمقسوم عليه والحاصل، كما ستفكر في بعض خصائص القسمة وتتعلم كيفية حل المعادلات ذات العامل المجهول والمقسوم المجهول والمقسوم عليه غير المعروف.

دعونا نحل المشكلة:

يجب تقسيم 30 دفترًا بالتساوي إلى 3 أكوام. كم عدد دفاتر الملاحظات التي ستكون في كل كومة؟

دع كل كومة تحتوي على X دفاتر، ثم حسب ظروف المشكلة

ليس من الصعب تخمين أن رقمًا واحدًا فقط عند ضربه في 3 يعطي 30. هذا الرقم هو 10. الإجابة: تحتوي كل كومة على 10 دفاتر ملاحظات. أولئك. باستخدام حاصل الضرب المعطى 30 وأحد العوامل 3، وجدنا عاملًا غير معروف. وهو يساوي 10.

وبذلك حصلنا على تعريف: وهو الفعل الذي يوجد به عامل آخر من حاصل الضرب وأحد العوامل يسمى القسمة.

يكتبون هكذا:

الرقم الذي يتم القسمة عليه يسمى المقسوم، والرقم الذي يتم القسمة عليه يسمى المقسوم عليه، ونتيجة القسمة تسمى حاصل القسمة؛ بالمناسبة، حاصل القسمة يوضح عدد المرات التي يكون فيها المقسوم أكبر من المقسوم عليه . في حالتنا، المقسوم هو 30، والمقسوم عليه 3، وحاصل القسمة هو 10.

§ 2 خواص تقسيم الأعداد الطبيعية

الآن دعونا نلقي نظرة على خصائص القسمة:

هل تعتقد أن أي رقم يمكن أن يكون مقسومًا عليه؟ لا! لا يمكنك القسمة على صفر!

هل يجوز القسمة على واحد؟ نعم. عند قسمة أي رقم على واحد نحصل على نفس العدد، على سبيل المثال 18 مقسومة على واحد يساوي 18.

هل يمكن أن تكون الأرباح مساوية للصفر؟ نعم! عند قسمة الصفر على أي عدد طبيعي يكون الناتج صفر. على سبيل المثال، 0 مقسومًا على 4 يساوي 0.

دعونا نكمل بعض المهام.

أولاً: حل المعادلة 4س = 144. بمعنى القسمة، لدينا x = 144: 4، أي x = 36. وهكذا نستنتج: لإيجاد العامل المجهول، عليك قسمة حاصل الضرب على عامل معروف.

المهمة الثانية: حل المعادلة x: 11 = 22. بمعنى القسمة، x هو حاصل ضرب العاملين 11 و 22. وهذا يعني أن x يساوي 11 في 22، أي x = 242.

هذا يعني أنه للعثور على المقسوم المجهول، عليك ضرب حاصل القسمة على المقسوم عليه.

المهمة رقم 3: حل المعادلة 108: x = 6. بمعنى القسمة، الرقم 108 هو حاصل ضرب العاملين 6 و x، أي 6x = 108. وبتطبيق قاعدة إيجاد العامل المجهول، نحن لديك x = 108: 6، أي x = 18.

لدينا قاعدة أخرى: للعثور على مقسوم مجهول، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.

وهكذا، تعرفت في هذا الدرس على مفاهيم مثل المقسوم والمقسوم عليه والحاصل، واختبرت أيضًا بعض خصائص القسمة وحصلت على قواعد لحل المعادلات ذات العامل غير المعروف أو المقسوم عليه أو المقسوم عليه غير المعروف.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. الرياضيات الصف الخامس. فيلينكين إن.يا.، جوخوف ف.آي. وآخرون، الطبعة 31، محذوفة. - م: 2013.
2. المواد التعليميةفي الرياضيات الصف الخامس. المؤلف - بوبوف م.أ. – 2013
3. نحن نحسب دون أخطاء. العمل مع الاختبار الذاتي في الرياضيات الصفوف 5-6. المؤلف - مينيفا س.س. – 2014
4. المواد التعليمية للرياضيات الصف الخامس. المؤلفون: دوروفييف جي في، كوزنتسوفا إل في. – 2010
5. التحكم و عمل مستقلفي الرياضيات الصف الخامس. المؤلفون - بوبوف م.أ. – 2012
6. الرياضيات. الصف الخامس: تعليمي. لطلاب التعليم العام . المؤسسات / I. I. Zubareva، A. G. Mordkovich. - الطبعة التاسعة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009.

تقسيم العمود(يمكنك أيضًا العثور على الاسم قسمالزاوية) هو إجراء قياسي فيعملية حسابية، مصممة لتقسيم الأعداد البسيطة أو المعقدة المكونة من أرقام متعددة بالكسرمقسمة إلى عدد من الخطوات البسيطة. كما هو الحال مع جميع مسائل القسمة، يتم استدعاء رقم واحدقابل للقسمة، وينقسم إلى آخر، يسمىمقسم، مما يؤدي إلى نتيجة تسمىخاص.

يمكن استخدام العمود لقسمة الأعداد الطبيعية بدون باق، وكذلك لقسمة الأعداد الطبيعيةمع الباقي.

قواعد الكتابة عند القسمة على عمود.

لنبدأ بدراسة قواعد كتابة المقسوم والمقسوم عليه وجميع الحسابات الوسيطة والنتائج متىقسمة الأعداد الطبيعية في عمود لنفترض على الفور أن كتابة القسمة المطولة هي كذلكيكون الأمر أكثر ملاءمة على الورق الذي يحتوي على خط مربعات - وبهذه الطريقة تكون فرصة الابتعاد عن الصف والعمود المطلوبين أقل.

أولا، يتم كتابة المقسوم والمقسوم عليه في سطر واحد من اليسار إلى اليمين، وبعد ذلك بين المكتوبينالأرقام تمثل رمزا للنموذج.

على سبيل المثال، إذا كان المقسوم هو 6105 والمقسوم عليه 55، فإن تدوينهما الصحيح عند القسمةسيكون العمود هكذا:

انظر إلى الرسم البياني التالي الذي يوضح أماكن كتابة الأرباح والمقسوم عليه والحاصل،الحسابات المتبقية والمتوسطة عند القسمة على عمود:

من الرسم البياني أعلاه يتضح أن الحاصل المطلوب (أو حاصل غير مكتملعند القسمة على الباقي) سيكونمكتوبة أسفل المقسوم عليه تحت الشريط الأفقي. وسيتم إجراء الحسابات المتوسطة أدناهقابلة للقسمة، ويجب عليك الاهتمام مسبقًا بتوفر المساحة على الصفحة. في هذه الحالة، ينبغي للمرء أن يسترشدالقاعدة: كلما زاد الفرق في عدد الأحرف في إدخالات المقسوم والمقسوم عليه، زاد حجمهستكون هناك حاجة إلى مساحة.

قسمة عدد طبيعي على عدد طبيعي مكون من رقم واحد خوارزمية تقسيم الأعمدة.

من الأفضل شرح كيفية إجراء القسمة المطولة بمثال.احسب:

512:8=?

أولاً، دعونا نكتب المقسوم والمقسوم عليه في عمود. سوف يبدو مثل هذا:

سنكتب حاصلهم (النتيجة) تحت المقسوم عليه. بالنسبة لنا هذا هو رقم 8.

1. تحديد حاصل غير مكتمل. أولاً ننظر إلى الرقم الأول على اليسار في تدوين الأرباح.إذا كان الرقم المحدد بهذا الرقم أكبر من المقسوم عليه، فيجب علينا العمل في الفقرة التاليةبهذا الرقم. إذا كان هذا الرقم أقل من المقسوم عليه، فإننا بحاجة إلى إضافة ما يلي إلى الاعتبارعلى اليسار الرقم في تدوين الأرباح، والعمل بشكل أكبر مع الرقم الذي يحدده الاثنان المدروسانبالأرقام. للراحة، نسلط الضوء في تدويننا على الرقم الذي سنعمل به.

2. خذ 5. الرقم 5 أقل من 8، مما يعني أنك بحاجة إلى أخذ رقم آخر من المقسوم. 51 أكبر من 8. إذن.هذا حاصل غير مكتمل. نضع نقطة في خارج القسمة (تحت زاوية المقسوم عليه).

بعد 51، يوجد رقم واحد فقط وهو 2. وهذا يعني أننا نضيف نقطة أخرى إلى النتيجة.

3. الآن، تذكرجدول الضرب بحلول 8، أوجد المنتج الأقرب إلى 51 ← 6 × 8 = 48→ اكتب الرقم 6 في الحاصل:

نكتب 48 تحت 51 (إذا ضربنا 6 من خارج القسمة في 8 من المقسوم عليه، نحصل على 48).

انتباه!عند الكتابة تحت حاصل غير مكتمل، يجب أن يكون الرقم الموجود في أقصى اليمين من الحاصل غير المكتمل أعلىالرقم الموجود في أقصى اليمينيعمل.

4. بين 51 و 48 على اليسار نضع "-" (ناقص).الطرح وفقا لقواعد الطرح في العمود 48 وتحت السطردعونا نكتب النتيجة.

ومع ذلك، إذا كانت نتيجة الطرح صفرًا، فلا حاجة إلى كتابتها (ما لم يكن الطرح فيهذه النقطة ليست الإجراء الأخير الذي يكمل عملية التقسيم بالكاملعمود).

والباقي هو 3. دعونا نقارن الباقي بالمقسوم عليه. 3 أقل من 8

انتباه!فإذا كان الباقي أكبر من المقسوم عليه فقد أخطأنا في الحساب وكان حاصل الضربأقرب من الذي أخذناه.

5. الآن، تحت الخط الأفقي على يمين الأرقام الموجودة هناك (أو على يمين المكان الذي لا يوجد فيهبدأنا بكتابة الصفر) نكتب الرقم الموجود في نفس العمود في سجل الأرباح. إذا كان فيلا توجد أرقام في إدخال الأرباح في هذا العمود، ثم تنتهي القسمة على العمود هنا.

الرقم 32 أكبر من 8. ومرة ​​أخرى، باستخدام جدول الضرب في 8، نجد أقرب منتج → 8 × 4 = 32:

والباقي كان صفر وهذا يعني أن الأرقام مقسمة بالكامل (بدون باقي). إذا بعد الأخيرنتيجة الطرح صفر، ولم يبق هناك أرقام أخرى، فهذا هو الباقي. ونضيفه إلى حاصل القسمةبين قوسين (على سبيل المثال 64(2)).

القسمة العمودية للأعداد الطبيعية المكونة من أرقام متعددة.

التقسيم حسب الطبيعي رقم متعدد الأرقامأنتجت بنفس الطريقة. وفي نفس الوقت في الأولتتضمن الأرباح "المتوسطة" عددًا كبيرًا من الأرقام ذات الترتيب العالي بحيث تصبح أكبر من المقسوم عليه.

على سبيل المثال, 1976 مقسومة على 26.

• الرقم 1 في الرقم الأكثر أهمية أقل من 26، لذا فكر في رقم مكون من رقمين الرتب العليا - 19.
• الرقم 19 أيضًا أقل من 26، لذا فكر في رقم مكون من أرقام الثلاثة أرقام الأعلى - 197.
• الرقم 197 أكبر من 26، اقسم 197 عشرات على 26: 197: 26 = 7 (يتبقى 15 عشرات).
• نحول 15 عشرات إلى وحدات، ونضيف 6 وحدات من رقم الوحدات، ونحصل على 156.
• اقسم 156 على 26 لتحصل على 6.

1976: 26 = 76.

إذا تبين في خطوة قسمة ما أن المقسوم "الوسيط" أقل من المقسوم عليه، فعندئذ في حاصل القسمةتتم كتابة 0، ويتم نقل الرقم من هذا الرقم إلى الرقم التالي السفلي.

القسمة مع الكسر العشري في الحاصل.

الكسور العشرية على الانترنت. تحويل الكسور العشرية إلى كسور والكسور إلى الكسور العشرية.

إذا كان العدد الطبيعي غير قابل للقسمة على عدد طبيعي مكون من رقم واحد، فيمكنك المتابعةالقسمة على البتات والحصول على كسر عشري في حاصل القسمة.

على سبيل المثال، قسمة 64 على 5.

• نقسم 6 عشرات على 5، نحصل على 10 و10 كباقي.
• نحول العشرة المتبقية إلى وحدات، ونضيف 4 من فئة الآحاد، ونحصل على 14.
• نقسم 14 وحدة على 5، فنحصل على وحدتين والباقي 4 وحدات.
• نحول 4 وحدات إلى أعشار، فنحصل على 40 جزءًا من عشرة.
• اقسم 40 أعشارًا على 5 لتحصل على 8 أعشار.

إذن 64:5 = 12.8

وهكذا، إذا، عند قسمة عدد طبيعي على عدد طبيعي مكون من رقم واحد أو عدد متعدد الأرقاميتم الحصول على الباقي، ثم يمكنك وضع فاصلة في الحاصل، وتحويل الباقي إلى وحدات مما يلي،رقم أصغر ومواصلة القسمة.

في هذا المقال سوف ندرس أفكار عامةالمتعلقة بتقسيم الأعداد الطبيعية وتسمى عادة خصائص عملية الانشطار. سنقوم بتحليل أهمها وشرح معناها ودعم منطقنا بالأمثلة.

قسمة عددين طبيعيين متساويين

لفهم كيفية قسمة عدد طبيعي على آخر يساويه، عليك العودة إلى فهم معنى عملية القسمة نفسها. المعنى الذي نعطيه للمقسوم عليه يعتمد على النتيجة النهائية. دعونا نلقي نظرة على خيارين ممكنين.

لذلك، لدينا كائنات (a هو عدد طبيعي اعتباطي). دعونا نوزع العناصر بالتساوي على مجموعات، ويجب أن يكون عدد المجموعات مساوياً لـ أ. ومن الواضح أنه سيكون هناك موضوع واحد فقط في كل مجموعة.

دعونا نعيد الصياغة بشكل مختلف قليلاً: كيف نوزع الكائنات إلى مجموعات من الكائنات في كل منها؟ كم عدد المجموعات ستكون في النهاية؟ بالطبع، واحدة فقط.

دعونا نلخص ونستنتج الخاصية الأولى لقسمة الأعداد الطبيعية ذات الحجم نفسه:

التعريف 1

قسمة عدد طبيعي على مساوٍ له يعطي النتيجة واحدًا. بمعنى آخر، a: a = 1 (a هو أي عدد طبيعي).

دعونا نلقي نظرة على مثالين من أجل الوضوح:

مثال 1

إذا قسمت 450 على 450 كان الناتج 1 إذا قسمت 67 على 67، تحصل على 1.

كما ترى، لا شيء يعتمد على أرقام محددة، فالنتيجة ستكون واحدة، بشرط أن يكون المقسوم والمقسوم عليه متساويين.

قسمة عدد طبيعي على واحد

كما في الفقرة السابقة، لنبدأ بالمهام. لنفترض أن لدينا أي كائنات في الكمية تساوي أ. ومن الضروري تقسيمها إلى عدد من الأجزاء مع موضوع واحد في كل منها. من الواضح أننا سننتهي بأجزاء.

وإذا سألنا: كم سيكون عدد الأشياء في المجموعة إذا وضع فيها شيء؟ الجواب واضح - أ.

وهكذا نصل إلى صياغة خاصية قسمة الأعداد الطبيعية على 1:

التعريف 2

عند قسمة أي عدد طبيعي على واحد نحصل على نفس العدد، أي: 1 = أ.

دعونا نلقي نظرة على مثالين:

مثال 2

وإذا قسمت 25 على 1، تحصل على 25.

مثال 3

إذا قسمت 11,345 على 1، يكون الناتج 11,345.

عدم وجود خاصية تبادلية لقسمة الأعداد الطبيعية

في حالة الضرب، يمكننا تبديل العوامل بحرية والحصول على نفس النتيجة، لكن هذه القاعدة لا تنطبق على القسمة. لا يمكن تبديل المقسوم والمقسوم إلا إذا كانا أعدادًا طبيعية متساوية (لقد ناقشنا هذه الخاصية بالفعل في الفقرة الأولى). وهذا يعني أنه يمكننا القول أن الخاصية التبادلية لا تنطبق إلا إذا كانت هناك أعداد طبيعية متساوية في القسمة.

وفي حالات أخرى، لا يمكنك تبديل المقسوم والمقسوم عليه، لأن ذلك سيؤدي إلى تشويه النتيجة. دعونا نشرح بمزيد من التفصيل لماذا.

لا يمكننا دائمًا تقسيم أي أعداد طبيعية إلى أعداد أخرى، والتي يتم أخذها بشكل تعسفي أيضًا. على سبيل المثال، إذا كان المقسوم أقل من المقسوم عليه، فلا يمكننا حل مثل هذا المثال (سنناقش كيفية قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي في مادة منفصلة). بمعنى آخر، إذا كان هناك عدد طبيعي يساوي a، فيمكننا القسمة على b؟ وقيمهما غير متساوية، فتكون a أكبر من b، والملاحظة b: a لا معنى لها. لنستنتج القاعدة:

التعريف 3

قسمة مجموع عددين طبيعيين على عدد طبيعي آخر

لشرح هذه القاعدة بشكل أفضل، دعونا نأخذ بعض الأمثلة التوضيحية.

لدينا مجموعة من الأطفال، الذين نحتاج إلى تقسيم اليوسفي بينهم بالتساوي. توضع الثمار في كيسين. ولنفترض أن يكون عدد اليوسفي بحيث يمكن تقسيمها على جميع الأطفال دون أي باقي. يمكنك صب اليوسفي في كيس واحد مشترك ثم تقسيمه وتوزيعه. أو يمكنك أولاً تقسيم الثمار من كيس ثم من الآخر. من الواضح أنه في كلتا الحالتين لن يتأذى أحد وسيتم تقسيم كل شيء بالتساوي. ولذلك يمكننا أن نقول:

التعريف 4

نتيجة قسمة مجموع عددين طبيعيين على عدد طبيعي آخر تساوي نتيجة جمع قسمة كل حد على نفس العدد الطبيعي، أي. (أ + ب) : ج = أ: ج + ب: ج . وفي هذه الحالة تكون قيم جميع المتغيرات أعدادًا طبيعية، ويمكن قسمة القيمة a على c، ويمكن أيضًا قسمة b على c بدون باقي.

لدينا مساواة، على الجانب الأيمن منها يتم إجراء القسمة أولاً، ويتم إجراء عملية الجمع ثانيًا (تذكر كيفية إجراء العمليات الحسابية بشكل صحيح بالترتيب).

دعونا نثبت صحة المساواة الناتجة باستخدام مثال.

مثال 4

ولنأخذ الأعداد الطبيعية المناسبة لها: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

الآن دعونا نحسب ونكتشف ما إذا كان صحيحًا. لنحسب قيمة الطرف الأيسر: 18 + 36 = 54، و(18 + 36): 6 = 54: 6.

نتذكر النتيجة من جدول الضرب (إذا نسيت تجد القيمة المطلوبة فيه): 54: 6 = 9.

دعونا نتذكر كم سيكون 18: 6 = 3 و 36: 6 = 6. إذن 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9.

ويتم الحصول على المساواة الصحيحة: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6.

مجموع الأعداد الطبيعية، الذي يظهر كمقسوم في المثال، لا يمكن أن يكون 2 فحسب، بل أيضًا 3 أو أكثر. هذه الخاصية، بالاشتراك مع الخاصية الترابطية لإضافة الأعداد الطبيعية، تمنحنا الفرصة لإجراء مثل هذه الحسابات.

مثال 5

إذن (14 + 8 + 4 + 2) : 2 يساوي 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2.

قسمة الفرق بين عددين طبيعيين على عدد طبيعي آخر

وبطريقة مماثلة يمكننا استخلاص قاعدة الفرق بين الأعداد الطبيعية، والتي سنقسمها على عدد طبيعي آخر:

التعريف 5

نتيجة قسمة الفرق بين عددين طبيعيين على الثلث تساوي ما نحصل عليه بطرح من خارج قسمة المطروح والعدد الثالث خارج قسمة المطروح والعدد الثالث.

أولئك. (أ - ب) : ج = أ: ج – ب: ج . قيم المتغيرات هي أعداد طبيعية، يكون فيها a أكبر من b أو يساويه، ويمكن قسمة a وb على c.

دعونا نثبت صحة هذه القاعدة باستخدام مثال.

مثال 6

لنعوض بالقيم المناسبة في المساواة ونحسب: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (لقد كتبنا بالفعل عن كيفية إيجاد الفرق بين الأعداد الطبيعية). (45 - 25) : 5 = 20: 5 .

وباستخدام جدول الضرب، نتذكر أن النتيجة ستكون 4.

نحن نعد الجانب الأيمن: 45:5 - 25:5. 45: 5 = 9، و25: 5 = 5، مما يؤدي إلى 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 = 4، فتبين أن (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 هي مساواة صحيحة.

قسمة حاصل ضرب عددين طبيعيين على عدد طبيعي آخر

دعونا نتذكر العلاقة الموجودة بين القسمة والضرب، عندها ستكون خاصية قسمة حاصل الضرب على عدد طبيعي يساوي أحد العوامل واضحة لنا. لنستنتج القاعدة:

التعريف 6

إذا قسمنا حاصل ضرب عددين طبيعيين على ثلث يساوي أحد العوامل، فسنحصل على عدد يساوي العامل الآخر.

في على شكل حرفيمكن كتابة هذا بالشكل (a · b) : a = b أو (a · b) : b = a (قيم a و b أعداد طبيعية).

مثال 7

إذن فإن نتيجة قسمة حاصل ضرب 2 و8 على 2 ستكون 8، و(3 · 7): 7 = 3.

ولكن ماذا لو كان المقسوم عليه لا يساوي أيًا من العوامل التي تشكل المقسوم؟ ثم تنطبق قاعدة أخرى:

التعريف 7

نتيجة قسمة حاصل ضرب عددين طبيعيين على عدد طبيعي ثالث تساوي ما تحصل عليه إذا قسمت أحد العوامل على هذا الرقم وضربت النتيجة في العامل الآخر.

لقد تلقينا بيانًا كان غير واضح جدًا للوهلة الأولى. ومع ذلك، إذا أخذنا في الاعتبار أن ضرب الأعداد الطبيعية، في جوهره، يعود إلى إضافة حدود متساوية القيمة (انظر المادة المتعلقة بضرب الأعداد الطبيعية)، فيمكننا استخلاص هذه الخاصية من خاصية أخرى، والتي تحدثنا عن أعلاه.

لنكتب هذه القاعدة على شكل حرف (قيم جميع المتغيرات هي أعداد طبيعية).

إذا تمكنا من قسمة أ على ج، فإن (أ · ب) ستكون صحيحة: ج = (أ: ج) · ب.

إذا كان b يقبل القسمة على c فإن (a · b) صحيح: c = a · (b: c) .

إذا كان كل من a و b قابلين للقسمة على c، فيمكننا مساواة أحدهما بالآخر: (a · b) : c = (a: c) · b = a · (b: c) .

مع الأخذ في الاعتبار خاصية قسمة المنتج على عدد طبيعي آخر تمت مناقشته أعلاه، فإن المتساويات (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 و (8 · 6) : 2 = 8 · (6: 2) ستكون كن صادق.

يمكننا كتابتها على شكل مساواة مزدوجة: (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 = 8 · (6: 2) .

قسمة عدد طبيعي على حاصل ضرب عددين طبيعيين آخرين

مرة أخرى، سنبدأ بمثال. لدينا عدد معين من الجوائز، دعونا نشير إلى ذلك أ. ويجب توزيعها بالتساوي بين أعضاء الفريق. نشير إلى عدد المشاركين بالحرف ج وعدد الفرق بالحرف ب. في هذه الحالة، نأخذ قيم المتغيرات التي سيكون لها تدوين القسمة معنى. يمكن حل المشكلة عن طريق اثنين طرق مختلفة. دعونا ننظر إلى كليهما.

1. يمكن حسابها المجموعالمشاركين عن طريق ضرب b في c، ثم قسمة جميع الجوائز على الرقم الناتج. بشكل حرفي، يمكن كتابة هذا الحل بالشكل: (b · c) .

2. يمكنك أولاً تقسيم الجوائز على عدد الفرق، ومن ثم توزيعها داخل كل فريق. لنكتبها بالشكل (a:b):c .

من الواضح أن كلا الطريقتين ستعطينا إجابات متطابقة. ولذلك يمكننا أن نساوي كلا المتساويين ببعضهما البعض: أ: (ب · ج) = (أ: ب) : ج. سيكون هذا هو التمثيل الحرفي لخاصية القسمة التي نتناولها في هذه الفقرة. دعونا صياغة القاعدة:

التعريف 8

نتيجة قسمة عدد طبيعي على حاصل الضرب تساوي الرقم الذي نحصل عليه بقسمة هذا العدد على أحد العوامل وقسمة الناتج على العامل الآخر.

مثال 8

دعونا نعطي مثالا على المهمة. ولنثبت أن المساواة 18 صحيحة: (2 · 3) = (18: 2) : 3.

لنحسب الطرف الأيسر: 2 · 3 = 6، و18: (2 · 3) يساوي 18: 6 = 3.

ونحسب الجهة اليمنى : (18 : 2) : 3. 18: 2 = 9، و9: 3 = 3، ثم (18: 2): 3 = 3.

لقد حصلنا على 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3. وهذه المساواة توضح لنا خاصية القسمة التي عرضناها في هذه الفقرة.

قسمة الصفر على عدد طبيعي

ما هو الصفر؟ لقد اتفقنا سابقًا على أن ذلك يعني غياب شيء ما. نحن لا نصنف الصفر كعدد طبيعي. وتبين أننا إذا قسمنا الصفر على عدد طبيعي، فسيكون ذلك بمثابة محاولة تقسيم الفراغ إلى أجزاء. ومن الواضح أننا في النهاية سنظل نحصل على "لا شيء"، بغض النظر عن عدد الأجزاء التي قسمناها إليها. ونستمد القاعدة من هنا:

التعريف 9

عندما نقسم الصفر على أي عدد طبيعي، نحصل على صفر. بشكل حرفي، يتم كتابة هذا كـ 0: a = 0، ويمكن أن تكون قيمة المتغير أي شيء.

مثال 9

لذا، على سبيل المثال، 0:19 = 0، و0:46869 ستكون أيضًا مساوية للصفر.

قسمة عدد طبيعي على صفر

لا يمكن تنفيذ هذا الإجراء. دعونا معرفة السبب بالضبط.

لنأخذ رقمًا عشوائيًا أ ونفترض أنه يمكن قسمته على 0 والحصول في النهاية على رقم معين ب. لنكتب هذا على النحو التالي: 0 = ب. الآن دعونا نتذكر كيف يرتبط الضرب والقسمة ببعضهما البعض، وسوف نستنتج المساواة ب · 0 = أ، والتي يجب أن تكون صحيحة أيضًا.

لكن سبق أن شرحنا خاصية ضرب الأعداد الطبيعية في الصفر. ووفقا له، ب · 0 = 0. إذا قارنا المتساويات الناتجة، فسنحصل على أن a = 0، وهذا يتعارض مع الشرط الأصلي (بعد كل شيء، الصفر ليس عددًا طبيعيًا). وتبين أن لدينا تناقضا يثبت استحالة مثل هذا الإجراء.

التعريف 10

لا يمكنك قسمة عدد طبيعي على صفر.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تقسيم الأعداد الطبيعية

درس في التطبيق المتكامل للمعرفة وأساليب العمل

على أساس طريقة تدريس نظام النشاط

الصف الخامس

الاسم الكامل جوكوفا ناديجدا نيكولاييفنا

مكان العمل : مدرسة ماو الثانوية رقم 6 بيستوفو

مسمى وظيفي : مدرس الرياضيات

موضوع تقسيم الأعداد الطبيعية

(دورة تدريبية حول التطبيق المتكامل للمعرفة وأساليب العمل)

هدف: تهيئة الظروف لتحسين المعرفة والمهاراتومهارات قسمة الأعداد الطبيعية وطرق عملها في الظروف المعدلةوالمواقف غير القياسية

UDD:

موضوع

محاكاة الموقف بالتوضيح عملية حسابيةوالتقدم المحرز في تنفيذها، واختيار خوارزمية لحل مشكلة غير قياسية، وحل المعادلات على أساس العلاقة بين المكونات ونتيجة العملية الحسابية.

موضوع ميتا

تنظيمية :تحديد الهدف الأنشطة التعليمية، وتنفيذ وسائل تحقيق ذلك.

ذهني : نقل المحتوى بشكل مضغوط أو موسع.

تواصل: إنهم يعرفون كيفية التعبير عن وجهة نظرهم، ومحاولة إثباتها، وتقديم الحجج.

شخصي:

يشرحون لأنفسهم أهدافهم الفردية المباشرة في تطوير الذات، ويعطون تقييمًا ذاتيًا إيجابيًا لنتيجة الأنشطة التعليمية، ويفهمون أسباب نجاح الأنشطة التعليمية، ويظهرون الفائدة المعرفيةلدراسة الموضوع.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية.

في العمل نستخدم الجمع

الشرف والشرف للإضافة!

دعونا نضيف الصبر إلى المهارات ،

والمبلغ سيحقق النجاح.

لا تنسى الطرح.

حتى لا يضيع اليوم ،

من مجموع الجهود والمعرفة

سنطرح الكسل والكسل!

الضرب سوف يساعد في العمل ،

لكي يكون العمل مفيدا

دعونا نضاعف العمل الجاد مائة ضعف

أعمالنا سوف تزيد.

يخدم القسم في الممارسة العملية ،

وسوف يساعدنا دائما.

من يتقاسم الصعوبات بالتساوي؟

مشاركة نجاحات العمل!

أي مما يلي سيساعد:

يجلبون لنا الحظ السعيد.

ولهذا السبب نحن معًا في الحياة

العلم والعمل يتقدمان.

ثانيا. صياغة موضوع وأهداف الدرس

هل أعجبتك القصيدة؟ ما الذي أعجبك فيها؟

(إجابات الطلاب)

لقد قلت ذلك بشكل جيد للغاية. تتناسب السطور التي قرأناها جيدًا مع درسنا اليوم. تذكر قصيدة سمعتها وحاول تحديدهاموضوع الدرس.

(تقسيم الأعداد الطبيعية) (شريحة 1) . اكتب تاريخ وموضوع الدرس في دفتر ملاحظاتك.

اليوم هو الدرس الأول في موضوع "قسمة الأعداد"؟ ما هو الشيء الآخر الذي لا تجيده وماذا تريد أن تتعلمه؟ (إجابات الطلاب)

لذا، سنحسن اليوم مهاراتنا في القسمة، ونتعلم تبرير قراراتنا، وإيجاد الأخطاء وتصحيحها، وتقييم عملنا وعمل زملائنا.

ثالثاً: الإعداد للأنشطة التربوية والمعرفية النشطة

1. الدافع لتعلم أطفال المدارس

لقد تعلمت البشرية الانقسام منذ فترة طويلة. حتى يومنا هذا، تم الحفاظ على مقولة "التقسيم أمر صعب" في إيطاليا. وهذا أمر صعب من وجهة نظر الرياضيات ومن الناحية الفنية والأخلاقية. لا يُمنح كل شخص القدرة على القسمة والمشاركة.

في العصور الوسطى، حصل الشخص الذي يتقن القسمة على لقب "طبيب المعداد"

العداد هو العداد.

في البداية لم تكن هناك أي علامة على إجراء التقسيم. تمت كتابة هذا الإجراء بالكلمات.

وعلماء الرياضيات الهنود كتبوا القسمة بالحرف الأول من اسم الفعل.

دخلت علامة القولون للقسمة حيز الاستخدام في عام 1684 بفضل عالم الرياضيات الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنتز.

تتم الإشارة إلى التقسيم أيضًا بخط مائل أو أفقي. تم استخدام هذه العلامة لأول مرة من قبل العالم الإيطالي فيبوناتشي.

- كيف يمكننا قسمة الأعداد المتعددة الأرقام؟ (ركن)

هل تتذكر ما تسمى المكونات عند تقسيمها؟(الشريحة 2)

- هل تعلم أن مكونات القسمة: الأرباح والمقسوم عليه والحاصل تم تقديمها لأول مرة في روسيا بواسطة ماغنيتسكي من هذا وما هو الاسم الحقيقي لهذا العالم؟ قم بإعداد إجابات لهذه الأسئلة للدرس التالي.

2) تحديث المعرفة الأساسية لدى الطلاب

1. الإملاء الرسومي

1. القسمة هي الإجراء الذي يوجد به عامل آخر من المنتج وأحد العوامل.

2. القسمة لها خاصية تبادلية.

3. للعثور على المقسوم، عليك ضرب حاصل القسمة على المقسوم عليه.

4. يمكنك القسمة على أي رقم.

5. للعثور على المقسوم عليه، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.

6. المساواة مع الحرف الذي يجب إيجاد قيمته تسمى معادلة

(التعيين: نعم؛ - لا) (الشريحة 3)

المفتاح: (الشريحة 4)

ب) العمل الفردي للطلاب باستخدام البطاقات.

(بالتزامن مع الإملاء)

1. أثبت أن الرقم 4 هو جذر المعادلة 44: س + 9 = 20.
2. حل . إذا كانت س=4 فإن 44:4+9=20

11+9=20

20=20، هذا صحيح.

2. احسب: أ) 16224: 52 = (312) د) 13725: 45 = (305)

ب) 4230:18 = (235) د) 54756: 39 = (1404)

ج) 9800: 28= (350)

3. حل المعادلة: 124: (ص – 5) = 31

الجواب: ص = 9

4. يعمل طالبان باستخدام البطاقات: يحل كل منهما 3 مهام ويطرحان أسئلة نظرية على بعضهما البعض

ج) التحقق الجماعي العمل الفردي(الشريحة 5)

(يطرح الطلاب أسئلة للإجابة حول النظرية)

1. تطبيق المعرفة وأساليب العمل

أ) العمل المستقل مع الاختبار الذاتي(الشرائح 6 -7)

حدد وحل فقط تلك الأمثلة التي يتكون حاصل القسمة فيها من ثلاثة أرقام:

الخيار 1 الخيار 2

أ)2888: 76 = (38) أ)2491:93= (47)

ب)6539:13 = (503) ب)5698: 14= (407)

ب) 5712: 28 = (204) ج) 9792: 32 = (306)

ب) دقيقة التربية البدنية.

وقفوا معًا وامتدوا.

الأيدي على الحزام، استدارت.

يمين، يسار، مرة، مرتين،

أداروا رؤوسهم.

وقفنا على أصابع قدمينا،

تم عقد الظهر بخيط

والآن اجلس بهدوء

لم نقم بكل شيء بعد.

ب) العمل في أزواج (الشريحة 8)

(أثناء العمل في أزواج، إذا لزم الأمر، يقدم المعلم الاستشارات)

رقم 484 (الكتاب المدرسي، الصفحة 76)

X cm هو طول أحد أضلاع المثمن

4س+4 4 =24

4س+16=24

4س=24-16

4س=8

س = 2

2 سم هو طول أحد أضلاع المثمن

حل المعادلات:

أ) 96: س = 8 ب) س: 60 = 14 ج) 19 * س = 76

د) العمل في مجموعات

قبل البدء في إكمال المهام، اقرأ قواعد العمل في مجموعات

المجموعة الأولى (الصف الأول)

قواعد العمل في مجموعات

تصحيح الأخطاء:

أ)9100:10=91؛ أ) 9100:10 = 910

ب)5427: 27=21؛ ب) 5427: 27 = 201

ب)474747: 47=101؛ ج) 474747: 47 = 10101

د)42·11=442. د) 42 11 = 462

المجموعة الثانية (الصف الثاني)

قواعد العمل في مجموعات

• المشاركة بنشاط في التعاون.
• استمع بعناية إلى محاورك.
• لا تقاطع صديقك حتى ينهي قصته.
• عبر عن وجهة نظرك في هذه القضية بأدب.
• لا تضحك على عيوب وأخطاء الآخرين، بل أشر إليها بلباقة.

تحقق مما إذا كانت المهمة قد اكتملت بشكل صحيح. تقديم الحل الخاص بك

أوجد قيمة التعبير x:19 +95 إذا كانت x =1995.

حل.

إذا كانت x=1995، فإن x:19 +95 = 1995:19 +95=15+95=110

(1995: 19 + 95 = 200)

المجموعة الثالثة (الصف الثالث)

قواعد العمل في مجموعات

• المشاركة بنشاط في التعاون.
• استمع بعناية إلى محاورك.
• لا تقاطع صديقك حتى ينهي قصته.
• عبر عن وجهة نظرك في هذه القضية بأدب.
• لا تضحك على عيوب وأخطاء الآخرين، بل أشر إليها بلباقة.

أثبت أنه حدث خطأ في حل المعادلة.

حل المعادلة.

124: (ص-5) =31

U-5 = 124·31 ص – 5 =124: 31

U-5 = 3844 ص – 5 = 4

ص = 3844+ 5 ص = 4+ 5

ص = 3849 ص = 9

الجواب: 3849 الجواب: 9

د) الفحص المتبادل للعمل في أزواج

يتبادل الطلاب دفاتر الملاحظات ويتحققون من عمل بعضهم البعض، مع تسليط الضوء على الأخطاء. بقلم رصاص بسيطووضع علامة

ه) تقرير المجموعة عن العمل المنجز

(الشرائح 5-7)

تعرض الشريحة المهمة لكل مجموعة. يشرح قائد المجموعة الخطأ الذي حدث ويكتب الحل الذي اقترحته المجموعة على السبورة.

خامساً: مراقبة معرفة الطالب

الاختبار الفردي "لحظة الحقيقة"

اختبار حول موضوع "القسم"

الخيار 1

1. أوجد حاصل القسمة على 2876 و1.

أ) 1؛ ب) 2876؛ ج) 2875؛ د) إجابتك _______________

2. أوجد جذر المعادلة 96: x =8

أ) 88؛ ب) 12؛ ج) 768؛ د) إجابتك ________________

3 أوجد حاصل القسمة 3900 و 13.

أ) 300؛ ب) 3913؛ ج) 30؛ د) إجابتك _______________

4 .صندوق واحد يحتوي على 48 قلم رصاص، والآخر يحتوي على 4 مرات أقل. كم عدد أقلام الرصاص الموجودة في صندوقين؟

أ) 192؛ ب) 60؛ ج) 240؛ د) إجابتك________________

5. ابحث عن رقمين إذا كان أحدهما أكبر بثلاث مرات من الآخر، ورقمهما

مجموعهم هو 32.

أ) 20 و 12؛ ب) 18 و 14؛ ج)26 و 6؛ د) إجابتك _________

اختبار حول موضوع "القسم"

اسم العائلة الاسم الأول___________________________________________

الخيار 2

ضع خطًا تحت الإجابة الصحيحة أو اكتب إجابتك.

1 أوجد حاصل 2563 و 1.

أ) 1؛ ب) 2563؛ ج) 2564؛ د) إجابتك _______________

2. أوجد جذر المعادلة 105: x = 3

أ) 104؛ ب) 35؛ ج) 315؛ د) إجابتك ________________

3 أوجد حاصل القسمة 7800 و 13.

أ)600؛ ب) 7813؛ ج) 60؛ د) إجابتك _______________

4 . في حوض واحد كان لدى النحال 24 كجم. العسل، وفي الآخر 2 مرات أكثر. كم كيلو جرامًا من العسل كان لدى النحال في حوضين؟

أ) 12؛ ب) 72؛ ج) 48؛ د) إجابتك _______________

5. ابحث عن رقمين إذا كان أحدهما أقل بـ 4 مرات من الآخر، و

الفرق بينهم 27

أ) 39 و 12؛ ب) 32 و 8؛ ج) 2 و 29؛ د) إجابتك _____________

مفتاح التحقق التجريبي

الخيار 1

السادس. ملخص الدرس. العمل في المنزل.

منزل. يمارس. ص12، العدد 520،523،528 (مقالة).

وبذلك يكون درسنا قد انتهى. أود إجراء مقابلة معك حول نتائج عملك.

مواصلة الجمل:

أنا... راض/غير راض عن عملي في الفصل

تمكنت …

كان من الصعب...

كانت مادة الدرس... مفيدة/غير مجدية بالنسبة لي

ماذا تعلم الرياضيات؟

القسمة هي الفعل العكسي للضرب، وبمساعدته يتم إيجاد العامل الثاني من حاصل الضرب وأحد العوامل.

قسمة رقم ألكل رقم ب- وهذا يعني العثور على رقم، عند ضربه برقم بيعطي رقما أ:

أ: ب = ج، لو ج · ب = أ.

رقم أتسمى قابلة للقسمة ب- المقسوم عليه، مع- خاص.

إذا كانت العوامل المعلومة والمرغوبة عبارة عن أعداد طبيعية مكونة من رقم واحد، يتم إيجاد العامل المجهول باستخدام جدول الضرب.

يتم إجراء قسمة عدد طبيعي متعدد الأرقام على عدد طبيعي مكون من رقم واحد بطريقة ثنائية، بدءًا من الرقم الأكثر أهمية.

إذا كان أعلى رقم في المقسوم يحتوي على رقم أقل من المقسوم عليه، فسيتم تحويل وحدات الرقم الأعلى إلى وحدات الرقم المنخفض المجاور وتبدأ القسمة من هذا الرقم.

على سبيل المثال، قم بتقسيم 896 على 7.

• نقسم 8 مئات على 7، نحصل على 1 مائةوبقيت مائة.
• نحول المائة المتبقية إلى عشرات، ونضيف 9 عشرات من خانة العشرات، فنحصل على 19 عشرات.
• نقسم 19 عشرات على 7، نحصل على ذلك 2 عشرات، تبقى 5 عشرات.
• نحول العشرات المتبقية إلى وحدات، نحصل على 50 وحدة، نضيف 6 وحدات من فئة الآحاد، نحصل على 56 وحدة.
• نقسم 56 وحدة على 7، نحصل على ذلك 8 وحدات.

وسائل، 896: 7 = 128 .

عادة يتم تسجيل عملية التقسيم في "عمود".

تتم القسمة على عدد طبيعي متعدد الأرقام بطريقة مماثلة. في هذه الحالة، تتضمن الأرباح "المتوسطة" الأولى عددًا كبيرًا من الأرقام ذات الترتيب العالي بحيث تصبح أكبر من المقسوم عليه.

على سبيل المثال، قسمة 1976 على 26.

• الرقم 1 في الرقم الأكثر أهمية أقل من 26، لذا فكر في رقم مكون من رقمين من أعلى رقمين - 19.
• الرقم 19 أيضًا أقل من 26، لذا فكر في رقم مكون من أرقام الثلاثة أرقام الأعلى - 197.
• الرقم 197 أكبر من 26، اقسم 197 عشرات على 26: 197: 26 = 7 (يتبقى 15 عشرات).
• نحول 15 عشرات إلى وحدات، ونضيف 6 وحدات من رقم الوحدات، ونحصل على 156.
• اقسم 156 على 26 لتحصل على 6.

إذا تبين أن المقسوم "الوسيط" في بعض خطوات القسمة أقل من المقسوم عليه، فسيتم كتابة 0 في الحاصل، ويتم نقل الرقم من هذا الرقم إلى الرقم التالي السفلي.

إن قسمة الأعداد الطبيعية بشكل كامل (بدون باقي) ليس ممكنًا دائمًا. على سبيل المثال، لا يمكنك قسمة 45 على 8، لأنه لا يوجد عدد طبيعي يعطي 45 عند ضربه في 8.

في مثل هذه الحالات، يؤخذ في الاعتبار القسمة مع الباقي.

القسمة على الباقي

إذا كان من المستحيل قسمة الأعداد الطبيعية بالكامل، فقم بالقسمة على الباقي. مع هذا العمل يبحثون عنه أعظم عدد طبيعي، عند ضربه بالمقسوم عليه ينتج رقمًا أقل من المقسوم.

أ: ب = ج (المتبقي د)، أين معو دمثل ذلك ج ب + د = أ, د.

يتم إجراء قسمة الأعداد الطبيعية المكونة من أرقام متعددة في "عمود"، ويتم كتابة الباقي بعد حاصل القسمة بين قوسين.

284: 15 = 18 (الباقي 14).

القسمة مع الكسر العشري في الحاصل

إذا كان الرقم الطبيعي غير قابل للقسمة بالتساوي على رقم طبيعي مكون من رقم واحد، فيمكنك الاستمرار في التقسيم على مستوى البت والحصول على كسر عشري كحاصل.

على سبيل المثال، قم بتقسيم 64 على 5.

• نقسم 6 عشرات على 5، نحصل على 10 و10 كباقي.
• نحول العشرة المتبقية إلى وحدات، ونضيف 4 من فئة الآحاد، ونحصل على 14.
• نقسم 14 وحدة على 5، فنحصل على وحدتين والباقي 4 وحدات.
• نحول 4 وحدات إلى أعشار، فنحصل على 40 جزءًا من عشرة.
• اقسم 40 أعشارًا على 5 لتحصل على 8 أعشار.

وبالتالي، إذا تم الحصول على باقي عند قسمة عدد طبيعي على رقم طبيعي فردي أو متعدد الأرقام، فيمكنك وضع فاصلة في الناتج، وتحويل الباقي إلى وحدات من الرقم التالي الأصغر، والمتابعة تقسيم.