علامة الجذر على كيفية استخراج. كيفية استخراج جذر رقم متعدد الأرقام

الوصف الببليوغرافي: Pryostanovo S. M.، Lysogorova L. V. طرق استخراج الجذر التربيعي // عالم شاب. 2017. رقم 2.2. ص 76-77..02.2019).



الكلمات الرئيسية : الجذر التربيعي، استخراج الجذر التربيعي.

تعرفت في دروس الرياضيات على مفهوم الجذر التربيعي، وعملية استخراج الجذر التربيعي. لقد أصبحت مهتمًا بما إذا كان استخراج الجذر التربيعي ممكنًا فقط باستخدام جدول المربعات، أو باستخدام الآلة الحاسبة، أم أن هناك طريقة لاستخراجه يدويًا. وجدت عدة طرق: صيغة بابل القديمة من خلال حل المعادلات، طريقة التخلص من المربع الكامل، طريقة نيوتن، الطريقة الهندسية، طريقة الرسم(،) طريقة الاختيار بالتخمين، طريقة خصم العدد الفردي.

خذ بعين الاعتبار الطرق التالية:

دعونا تتحلل إلى العوامل الأولية، باستخدام معايير القسمة 27225=5*5*3*3*11*11. هكذا

1. ل الطريقة الكندية.هذا طريقة سريعةاكتشفه العلماء الشباب في إحدى الجامعات الرائدة في كندا في القرن العشرين. دقتها لا تزيد عن اثنين إلى ثلاث منازل عشرية.

حيث x هو الرقم الذي يجب استخراج الجذر منه، و c هو رقم أقرب مربع)، على سبيل المثال:

=5,92

1. في عمود.تسمح لك هذه الطريقة بالعثور على القيمة التقريبية لجذر أي رقم حقيقي بأي دقة محددة مسبقًا. تشمل عيوب الطريقة التعقيد المتزايد للحساب مع زيادة عدد الأرقام الموجودة. لاستخراج الجذر يدويًا، يتم استخدام تدوين مشابه للقسمة المطولة

خوارزمية الجذر التربيعي

1. نقسم الجزء الكسري والجزء الصحيح بشكل منفصل عن الفاصلة على وشك رقمينفي كل وجه( قبلةجزء - من اليمين إلى اليسار؛ كسور- من اليسار إلى اليمين). من الممكن أن يحتوي الجزء الصحيح على رقم واحد، والجزء الكسري قد يحتوي على أصفار.

2. يبدأ الاستخراج من اليسار إلى اليمين، ونختار الرقم الذي لا يزيد مربعه عن الرقم الموجود في الوجه الأول. نقوم بتربيع هذا الرقم ونكتبه تحت الرقم الموجود على الجانب الأول.

3. أوجد الفرق بين الرقم الموجود على الوجه الأول ومربع الرقم الأول المحدد.

4. نضيف الحافة التالية للفرق الناتج، سيكون الرقم الناتج قابل للقسمة. دعونا نثقف مقسم. نقوم بمضاعفة الرقم الأول المحدد من الإجابة (نضرب في 2)، ونحصل على عدد عشرات المقسوم عليه، ويجب أن يكون عدد الوحدات بحيث لا يتجاوز منتجها على المقسوم عليه المقسوم عليه. نكتب الرقم المحدد كإجابة.

5. نأخذ الحافة التالية للفرق الناتج وننفذ الإجراءات وفقًا للخوارزمية. فإذا تبين أن هذا الوجه هو وجه جزء كسري، فإننا نضع فاصلة في الإجابة. (الشكل 1.)

باستخدام هذه الطريقة، يمكنك استخراج أرقام بدقة مختلفة، على سبيل المثال، حتى جزء من الألف. (الشكل 2)

بالنظر طرق مختلفةباستخراج الجذر التربيعي يمكننا أن نستنتج: في كل منهما حالة محددةعليك أن تقرر اختيار الخيار الأكثر فعالية من أجل قضاء وقت أقل في الحل

الأدب:

1. كيسيليف أ. عناصر الجبر والتحليل. الجزء الأول.-م-1928

الكلمات الرئيسية: الجذر التربيعي، الجذر التربيعي.

تعليق توضيحي: توضح المقالة طرق استخراج الجذور التربيعية وتقدم أمثلة على استخراج الجذور.

ما هو الجذر التربيعي؟

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

هذا المفهوم بسيط جدا. طبيعي، أود أن أقول. يحاول علماء الرياضيات إيجاد رد فعل لكل فعل. هناك إضافة - وهناك أيضًا طرح. هناك الضرب، وهناك أيضًا القسمة. هناك تربيع... إذن هناك أيضًا أخذ الجذر التربيعي!هذا كل شيء. هذا الإجراء ( الجذر التربيعي) في الرياضيات يُشار إليه بهذا الرمز:

الأيقونة نفسها تسمى كلمة جميلة "متطرف".

كيفية استخراج الجذر؟من الأفضل أن ننظر أمثلة.

ما هو الجذر التربيعي للعدد 9؟ ما العدد التربيعي الذي سيعطينا 9؟ 3 تربيع يعطينا 9! أولئك:

ولكن ما هو الجذر التربيعي للصفر؟ لا شك! ما العدد التربيعي الذي يشكله الصفر؟ نعم يعطي صفر! وسائل:

فهمتها، ما هو الجذر التربيعي؟ثم نعتبر أمثلة:

الإجابات (في حالة من الفوضى): 6؛ 1؛ 4؛ 9؛ 5.

مقرر؟ حقا، كم هو أسهل من ذلك؟!

ولكن... ماذا يفعل الإنسان عندما يرى مهمة ذات جذور؟

يبدأ الإنسان بالحزن... ولا يؤمن ببساطة وخفة جذوره. على الرغم من أنه يبدو أنه يعرف ما هو الجذر التربيعي...

وذلك لأن الشخص تجاهل عدة نقاط مهمة عند دراسة الجذور. ثم تقوم هذه البدع بالانتقام القاسي من الاختبارات والامتحانات...

النقطة الأولى. تحتاج إلى التعرف على الجذور عن طريق البصر!

ما هو الجذر التربيعي لـ 49؟ سبعة؟ يمين! كيف عرفت أنها السابعة؟ تربيع سبعة وحصلت على 49؟ يمين! يرجى ملاحظة ذلك استخراج الجذرمن أصل 49 كان علينا القيام بالعملية العكسية - المربع 7! وتأكد من أننا لا نفوت. أو ربما غابوا...

هذه هي الصعوبة استخراج الجذر. مربعيمكنك استخدام أي رقم دون أي مشاكل. اضرب الرقم في نفسه بعمود - هذا كل شيء. ولكن ل استخراج الجذرلا توجد مثل هذه التكنولوجيا البسيطة والآمنة من الفشل. علينا أن يلتقطأجب وتحقق مما إذا كان صحيحًا عن طريق تربيعه.

هذه العملية الإبداعية المعقدة - اختيار الإجابة - تم تبسيطها إلى حد كبير إذا كنت يتذكرمربعات الأرقام الشعبية. مثل جدول الضرب. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى ضرب 4 في 6، فلن تقوم بإضافة أربعة 6 مرات، أليس كذلك؟ تأتي الإجابة رقم 24 على الفور، رغم أن الجميع لا يحصلون عليها، نعم...

للعمل بحرية ونجاح مع الجذور، يكفي معرفة مربعات الأرقام من 1 إلى 20. علاوة على ذلك هناكو خلف.أولئك. يجب أن تكون قادرًا على قراءة كل من 11 تربيع والجذر التربيعي لـ 121 بسهولة. هناك طريقتان لتحقيق هذا الحفظ. الأول هو تعلم جدول المربعات. سيكون هذا مساعدة كبيرة في حل الأمثلة. والثاني هو حل المزيد من الأمثلة. سيساعدك هذا كثيرًا على تذكر جدول المربعات.

ولا الآلات الحاسبة! لأغراض الاختبار فقط. وإلا فسوف تبطئ بلا رحمة أثناء الامتحان ...

لذا، ما هو الجذر التربيعيوكيف استخراج الجذور- أعتقد أن الأمر واضح. الآن دعونا نكتشف ما الذي يمكننا استخراجها منه.

النقطة الثانية. الجذر، أنا لا أعرفك!

ما هي الأرقام التي يمكنك أخذ الجذور التربيعية منها؟ نعم، أي واحد منهم تقريبا. من الأسهل أن نفهم ما هو منه إنه ممنوعاستخرجهم.

دعونا نحاول حساب هذا الجذر:

للقيام بذلك، علينا أن نختار رقمًا مربعًا سيعطينا -4. نحن نختار.

ماذا، أنها لا تناسب؟ 2 2 يعطي +4. (-2) 2 يعطي مرة أخرى +4! هذا كل شيء... لا توجد أرقام عند تربيعها تعطينا رقمًا سالبًا! على الرغم من أنني أعرف هذه الأرقام. لكنني لن أخبرك). اذهب إلى الكلية وستكتشف ذلك بنفسك.

نفس القصة ستحدث مع أي رقم سالب. ومن هنا الاستنتاج:

تعبير يوجد فيه رقم سالب تحت علامة الجذر التربيعي - لا معنى له! هذه عملية محظورة. وهي حرام كالقسمة على صفر. تذكر هذه الحقيقة بحزم!أو بمعنى آخر:

الجذور التربيعية ل أرقام سلبيةلا يمكن إزالتها!

ولكن من بين جميع الآخرين، فمن الممكن. على سبيل المثال، من الممكن تماما حساب

للوهلة الأولى، هذا صعب للغاية. اختيار الكسور وتربيعها... لا تقلق. عندما نفهم خصائص الجذور، سيتم اختصار هذه الأمثلة إلى نفس جدول المربعات. سوف تصبح الحياة أسهل!

حسنا، الكسور. لكننا لا نزال نواجه تعبيرات مثل:

لا بأس. كل شيء هو نفسه. الجذر التربيعي لاثنين هو العدد الذي عند تربيعه يعطينا اثنين. فقط هذا الرقم غير متساوٍ تمامًا... وها هو:

المثير للاهتمام هو أن هذا الكسر لا ينتهي أبدًا... تسمى هذه الأرقام غير منطقية. في الجذور التربيعية، هذا هو الشيء الأكثر شيوعًا. بالمناسبة، هذا هو سبب تسمية التعبيرات ذات الجذور غير عقلاني. من الواضح أن كتابة مثل هذا الكسر اللانهائي طوال الوقت أمر غير مريح. لذلك، بدلًا من الكسر اللانهائي، يتركونه على النحو التالي:

إذا انتهى بك الأمر عند حل أحد الأمثلة إلى شيء لا يمكن استخراجه، مثل:

ثم نتركها هكذا. سيكون هذا هو الجواب.

عليك أن تفهم بوضوح ما تعنيه الرموز

بالطبع، إذا تم أخذ جذر الرقم سلس، يجب عليك أن تفعل هذا. الجواب على المهمة في النموذج، على سبيل المثال

إجابة كاملة تماما.

وبطبيعة الحال، تحتاج إلى معرفة القيم التقريبية من الذاكرة:

تساعد هذه المعرفة بشكل كبير في تقييم الوضع في المهام المعقدة.

النقطة الثالثة. الأكثر الماكرة.

سبب الارتباك الرئيسي في العمل مع الجذور هو هذه النقطة. هو الذي يعطي عدم اليقين القوة الخاصة... دعونا نتعامل مع هذه القضية بشكل صحيح!

أولًا، لنأخذ الجذر التربيعي لأربعة منها مرة أخرى. هل أزعجتك بالفعل بهذا الجذر؟) لا يهم، الآن سيكون الأمر مثيرًا للاهتمام!

ما العدد الذي يربعه 4؟ حسنًا، اثنان، اثنان - أسمع إجابات غير راضية...

يمين. اثنين. ولكن أيضا ناقص اثنينسيعطي 4 تربيع... وفي الوقت نفسه، الجواب

الصحيح والجواب

خطأ فادح. مثله.

إذن ما الأمر؟

وبالفعل (-2) 2 = 4. وتحت تعريف الجذر التربيعي لأربعة ناقص اثنينمناسب تمامًا... وهذا أيضًا هو الجذر التربيعي لأربعة.

لكن! في دورة الرياضيات المدرسية، من المعتاد أن تأخذ في الاعتبار الجذور التربيعية أرقام غير سلبية فقط!أي صفر وكلها إيجابية. حتى أنه تم اختراع مصطلح خاص: من بين أ- هذا غير سلبيالرقم الذي مربعه أ. يتم ببساطة تجاهل النتائج السلبية عند استخراج الجذر التربيعي الحسابي. في المدرسة، كل شيء له جذور تربيعية - الحساب. على الرغم من أن هذا لم يذكر بشكل خاص.

حسنًا، هذا أمر مفهوم. بل من الأفضل عدم الانزعاج من النتائج السلبية. وهذا ليس ارتباكًا بعد.

يبدأ الارتباك عند حل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال، تحتاج إلى حل المعادلة التالية.

المعادلة بسيطة نكتب الجواب (كما تعلم):

هذه الإجابة (صحيحة تمامًا بالمناسبة) هي مجرد نسخة مختصرة اثنينالإجابات:

توقف، توقف! كتبت أعلاه أن الجذر التربيعي هو رقم دائماًغير سلبي! وهنا أحد الإجابات - سلبي! اضطراب. هذه هي المشكلة الأولى (وليست الأخيرة) التي تسبب عدم الثقة في الجذور... فلنحل هذه المشكلة. دعنا نكتب الإجابات (فقط للفهم!) مثل هذا:

الأقواس لا تغير جوهر الإجابة. لقد فصلته للتو بين قوسين علاماتمن جذر. الآن يمكنك أن ترى بوضوح أن الجذر نفسه (بين قوسين) لا يزال رقمًا غير سالب! والعلامات هي نتيجة حل المعادلة. بعد كل شيء، عند حل أي معادلة يجب علينا أن نكتب الجميع Xs التي عند استبدالها في المعادلة الأصلية ستعطي النتيجة الصحيحة. جذر خمسة (موجب!) مع موجب وسالب يناسب معادلتنا.

مثله. إذا كنت فقط خذ الجذر التربيعيمن أي شيء أنت دائماًتحصل عليه واحد غير سلبينتيجة. على سبيل المثال:

لأنه - الجذر التربيعي الحسابي.

ولكن إذا قررت شيئا معادلة تربيعية، يكتب:

الذي - التي دائماًاتضح اثنينالجواب (مع زائد وناقص):

لأن هذا هو حل المعادلة

يأمل، ما هو الجذر التربيعيلقد حصلت على نقاطك واضحة. الآن يبقى معرفة ما يمكن فعله بالجذور وما هي خصائصها. وما هي النقاط والعثرات... آسف يا حجارة!)

كل هذا في الدروس التالية

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

أظهرت الدائرة كيف يمكنك استخراج الجذور التربيعية في العمود. يمكنك حساب الجذر بدقة تعسفية، والعثور على أي عدد من الأرقام في تدوينه العشري، حتى لو تبين أنه غير منطقي. تم تذكر الخوارزمية، ولكن ظلت الأسئلة قائمة. ولم يكن من الواضح من أين أتت هذه الطريقة ولماذا أعطت النتيجة الصحيحة. لم يكن الأمر موجودًا في الكتب، أو ربما كنت أبحث فقط في الكتب الخطأ. في النهاية، مثل الكثير مما أعرفه ويمكنني فعله اليوم، توصلت إليه بنفسي. أشارك معرفتي هنا. بالمناسبة، ما زلت لا أعرف أين يتم تقديم الأساس المنطقي للخوارزمية)))

لذا، سأخبرك أولاً "كيف يعمل النظام" بمثال، ثم أشرح لماذا يعمل بالفعل.

لنأخذ رقمًا (تم أخذ الرقم "فجأة"، لقد تبادر إلى ذهني للتو).

1. نقسم أرقامها إلى أزواج: تلك الموجودة على يسار العلامة العشرية يتم تجميعها اثنين من اليمين إلى اليسار، وتلك الموجودة على اليمين يتم تجميعها اثنين من اليسار إلى اليمين. نحصل على.

2. نستخرج الجذر التربيعي من المجموعة الأولى من الأرقام على اليسار - في حالتنا هذا (من الواضح أنه قد لا يتم استخراج الجذر الدقيق، نأخذ رقمًا يكون مربعه أقرب ما يمكن إلى رقمنا المكون من المجموعة الأولى من الأرقام، ولكن لا تتجاوزها). في حالتنا سيكون هذا رقمًا. نكتب الإجابة - هذا هو الرقم الأكثر أهمية في الجذر.

3. نقوم بتربيع الرقم الموجود بالفعل في الإجابة - هذا - ونطرحه من مجموعة الأرقام الأولى على اليسار - من الرقم. وفي حالتنا يبقى.

4. نقوم بتعيين المجموعة التالية المكونة من رقمين على اليمين: . نضرب الرقم الموجود بالفعل في الإجابة ونحصل على .

5. الآن شاهد بعناية. نحتاج إلى تخصيص رقم واحد للرقم الموجود على اليمين، وضرب الرقم في نفس الرقم المخصص. وينبغي أن تكون النتيجة أقرب ما يمكن إلى، ولكن مرة أخرى ليس أكثر من هذا الرقم. في حالتنا، سيكون هذا هو الرقم الذي نكتبه في الإجابة التي بجانبه على اليمين. هذا هو الرقم التالي في العلامة العشرية للجذر التربيعي.

6. من طرح المنتج نحصل على .

7. بعد ذلك، نكرر العمليات المألوفة: نقوم بتعيين المجموعة التالية من الأرقام على اليمين، ونضرب في الرقم الناتج > ونخصص رقمًا واحدًا على اليمين، بحيث عندما نضربه نحصل على رقم أصغر من ولكن الأقرب إليه - هذا هو الرقم التالي في تدوين الجذر العشري.

سيتم كتابة الحسابات على النحو التالي:

والآن التفسير الموعود. تعتمد الخوارزمية على الصيغة

التعليقات: 50

1. 2 أنطون:

   فوضوية ومربكة للغاية. رتب كل شيء نقطة بنقطة وترقيمها. بالإضافة إلى: شرح أين نستبدل القيم المطلوبة في كل إجراء. لم أقم بحساب الجذر الجذري من قبل - لقد وجدت صعوبة في اكتشافه.

2. 5 جوليا:

3. 6 :

   يوليا، 23 سنة في اللحظةمكتوبًا على اليمين، هذان هما أول رقمين (على اليسار) تم الحصول عليهما بالفعل من أرقام الجذر في الإجابة. اضرب في 2 وفقًا للخوارزمية. نكرر الخطوات الموضحة في النقطة 4.

4. 7 زز:

   خطأ في "6. من 167 نطرح الناتج 43 * 3 = 123 (129 ندا)، نحصل على 38.
   لا أفهم كيف أصبح الرقم 08 بعد العلامة العشرية...

5. 9 فيدوتوف الكسندر:

   وحتى في عصر ما قبل الآلة الحاسبة، تعلمنا في المدرسة ليس فقط استخراج الجذر التربيعي، ولكن أيضًا استخراج الجذر التكعيبي في العمود، ولكن هذا أكثر مللًا وصعوبة. عمل شاق. كان من الأسهل استخدام جداول براديس أو قاعدة الشرائح، التي درسناها بالفعل في المدرسة الثانوية.

6. 10 :

   ألكساندر، أنت على حق، يمكنك استخراج جذور القوى الكبيرة في عمود. سأكتب فقط عن كيفية العثور على الجذر التكعيبي.

7. 12 سيرجي فالنتينوفيتش:

   عزيزتي إليزافيتا الكسندروفنا! في أواخر السبعينيات، قمت بتطوير مخطط لحساب المربعات تلقائيًا (أي ليس عن طريق الاختيار). الجذر على آلة إضافة فيليكس. إذا كنت مهتما، يمكنني أن أرسل لك الوصف.

8. 14 فلاد أوس إنجلشتات:

   (((استخراج الجذر التربيعي للعمود)))
   يتم تبسيط الخوارزمية إذا كنت تستخدم نظام الأرقام الثاني، والذي تتم دراسته في علوم الكمبيوتر، ولكنه مفيد أيضًا في الرياضيات. أ.ن. قدم كولموجوروف هذه الخوارزمية في محاضرات شعبية لأطفال المدارس. يمكن العثور على مقالته في "مجموعة تشيبيشيف" (المجلة الرياضية، ابحث عن رابط لها على الإنترنت)
   بالمناسبة قل:
   كان لدى G. Leibniz في وقت ما فكرة الانتقال من نظام الأرقام العاشر إلى النظام الثنائي بسبب بساطته وسهولة الوصول إليه للمبتدئين ( تلاميذ المدارس المبتدئين). لكن كسر التقاليد الراسخة يشبه كسر بوابة القلعة بجبهتك: إنه ممكن، لكنه عديم الفائدة. فتبين أنه بحسب أكثر ما ورد في العصور القديمةإلى الفيلسوف الملتحي: تقاليد كل الأجيال الميتة تقمع وعي الأحياء.

   حتى المرة القادمة.

9. 15 فلاد أوس إنجلشتات:

   ))سيرجي فالنتينوفيتش، نعم، أنا مهتم...((

   وأراهن أن هذا اختلاف عن «فيليكس» الطريقة البابلية في استخراج الفارس المربع باستخدام طريقة التقريبات المتعاقبة. تمت تغطية هذه الخوارزمية بطريقة نيوتن (طريقة الظل)

   أتساءل هل كنت مخطئا في توقعاتي؟

10. 18 :

    2 فلاد من إنجلشتات

    نعم، يجب أن تكون الخوارزمية الثنائية أبسط، وهذا واضح جدًا.

    نبذة عن طريقة نيوتن. ربما هذا صحيح، لكنه لا يزال مثيرا للاهتمام

11. 20 كيريل:

    شكرًا جزيلاً. لكن لا توجد خوارزمية حتى الآن، ولا أحد يعرف من أين أتت، لكن النتيجة صحيحة. شكرًا جزيلاً! لقد كنت أبحث عن هذا لفترة طويلة)

12. 21 ألكسندر:

    كيف يمكنك استخراج الجذر من رقم تكون فيه المجموعة الثانية من اليسار إلى اليمين صغيرة جدًا؟ على سبيل المثال، الرقم المفضل لدى الجميع هو 4,398,046,511,104. بعد الطرح الأول، لا يمكن متابعة كل شيء وفقًا للخوارزمية. يرجى التوضيح.

13. 22 أليكسي:

    نعم أعرف هذه الطريقة. أتذكر أنني قرأته في كتاب "الجبر" من إحدى الطبعات القديمة. ثم، عن طريق القياس، استنتج هو نفسه كيفية استخراج الجذر التكعيبي في العمود. ولكن الأمر أكثر تعقيدًا بالفعل: لا يتم تحديد كل رقم بواسطة رقم واحد (كما هو الحال بالنسبة للمربع)، ولكن من خلال عمليتي طرح، وحتى هناك يتعين عليك مضاعفة الأرقام الطويلة في كل مرة.

14. 23 ارتيم:

    توجد أخطاء مطبعية في مثال استخراج الجذر التربيعي لـ 56789.321. يتم تخصيص مجموعة الأرقام 32 مرتين للرقمين 145 و 243، في الرقم 2388025 يجب استبدال 8 الثانية بـ 3. ثم يجب كتابة الطرح الأخير على النحو التالي: 2431000 – 2383025 = 47975.
    بالإضافة إلى ذلك، عند قسمة الباقي على القيمة المضاعفة للإجابة (دون مراعاة الفاصلة)، نحصل على عدد إضافي من الأرقام المهمة (47975/(2*238305) = 0.100658819...)، والتي ينبغي إضافتها إلى الجواب (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 سيرجي:

    ويبدو أن الخوارزمية جاءت من كتاب إسحاق نيوتن "الحساب العام أو كتاب في التركيب والتحليل الحسابي". وهنا مقتطف منه:

    حول استخراج الجذور

    لاستخراج الجذر التربيعي لعدد ما، عليك أولاً وضع نقطة فوق أرقامه، بدءاً بالوحدات. ثم عليك أن تكتب في خارج القسمة أو الجذر الرقم الذي مربعه يساوي أو أقرب إلى الأعداد أو الرقم الذي يسبق النقطة الأولى. بعد طرح هذا المربع، سيتم العثور على الأرقام المتبقية من الجذر بالتتابع عن طريق قسمة الباقي على ضعف قيمة الجزء المستخرج بالفعل من الجذر وطرح كل مرة من باقي المربع آخر رقم تم العثور عليه وحاصل ضربه العشرة على المقسوم عليه المسمى.

16. 25 سيرجي:

    كما يرجى تصحيح عنوان كتاب "الحساب العام أو كتاب في التركيب والتحليل الحسابي"

17. 26 ألكسندر:

    شكرا ل مادة مثيرة للاهتمام. لكن هذه الطريقة تبدو لي أكثر تعقيدا إلى حد ما مما هو مطلوب، على سبيل المثال، لتلميذ المدرسة. أستخدم طريقة أبسط تعتمد على فك الدالة التربيعية باستخدام المشتقتين الأوليين. صيغته هي:
    sqrt(x)= A1+A2-A3، حيث
    A1 هو العدد الصحيح الذي يكون مربعه أقرب إلى x؛
    A2 عبارة عن كسر، البسط هو x-A1، والمقام هو 2*A1.
    بالنسبة لمعظم الأرقام التي تمت مواجهتها في الدورة المدرسية، فهذا يكفي للحصول على نتيجة دقيقة حتى المائة.
    إذا كنت بحاجة إلى نتيجة أكثر دقة، خذ
    A3 عبارة عن كسر، البسط هو A2 تربيع، والمقام هو 2*A1+1.
    بالطبع، لاستخدامه، تحتاج إلى جدول مربعات الأعداد الصحيحة، لكن هذه ليست مشكلة في المدرسة. تذكر هذه الصيغة بسيط للغاية.
    ومع ذلك، فإنه يحيرني أنني حصلت على A3 تجريبيًا نتيجة تجارب مع جدول بيانات ولا أفهم تمامًا سبب ظهور هذا العضو. ربما يمكنك أن تعطيني بعض النصائح؟

18. 27 ألكسندر:

    نعم، لقد أخذت هذه الاعتبارات في الاعتبار أيضًا، ولكن الشيطان يكمن في التفاصيل. تكتب:
    "نظرًا لأن a2 وb يختلفان قليلاً جدًا." والسؤال هو بالضبط كم هو قليل.
    تعمل هذه الصيغة بشكل جيد مع الأعداد في العشرة الثانية، والأسوأ من ذلك بكثير (لا تصل إلى أجزاء من المائة، بل حتى أعشار فقط) مع الأعداد في العشرة الأولى. من الصعب فهم سبب حدوث ذلك دون استخدام المشتقات.

19. 28 ألكسندر:

    وسأوضح ما أعتبره فائدة الصيغة التي أقترحها. لا يتطلب الأمر التقسيم غير الطبيعي تمامًا للأرقام إلى أزواج من الأرقام، والذي، كما تظهر التجربة، غالبًا ما يتم إجراؤه مع وجود أخطاء. معناها واضح، ولكن بالنسبة لشخص مطلع على التحليل، فهو تافه. يعمل بشكل جيد على الأرقام من 100 إلى 1000، وهي الأرقام الأكثر شيوعًا في المدرسة.

20. 29 ألكسندر:

    بالمناسبة، لقد قمت ببعض البحث ووجدت التعبير الدقيق لـ A3 في صيغتي:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 فاسيل ستريزاك:

    في عصرنا هذا، مع الاستخدام الواسع النطاق لتكنولوجيا الكمبيوتر، فإن مسألة استخراج الفارس المربع من الرقم لا تستحق العناء من الناحية العملية. لكن بالنسبة لعشاق الرياضيات، فهي بلا شك محل اهتمام خيارات مختلفةحلول لهذه المشكلة. في المنهج المدرسييجب أن تتم طريقة هذا الحساب دون استخدام أموال إضافية على قدم المساواة مع الضرب والقسمة في عمود. لا يجب حفظ خوارزمية الحساب فحسب، بل يجب أيضًا أن تكون مفهومة. الطريقة الكلاسيكية، المنصوص عليها في هذه المادة للمناقشة مع الكشف عن الجوهر، يتوافق تمامًا مع المعايير المذكورة أعلاه.
    العيب الكبير في الطريقة التي اقترحها ألكساندر هو استخدام جدول مربعات الأعداد الصحيحة. المؤلف صامت بشأن غالبية الأرقام التي تمت مواجهتها في الدورة المدرسية. أما بالنسبة للصيغة، فأنا أحبها بشكل عام نظرًا للدقة العالية نسبيًا في الحساب.

22. 31 الكسندر:

    لمدة 30 فاسيل ستريزاك
    لم أبقي أي شيء هادئًا. من المفترض أن يصل جدول المربعات إلى 1000. خلال فترة وجودي في المدرسة، كانوا ببساطة يحفظون ذلك عن ظهر قلب وكان موجودًا في جميع كتب الرياضيات المدرسية. لقد قمت صراحة بتسمية هذا الفاصل الزمني.
    أما بالنسبة لتكنولوجيا الحاسوب فلا تستخدم بشكل رئيسي في دروس الرياضيات إلا إذا تم مناقشة موضوع استخدام الآلة الحاسبة بشكل خاص. أصبحت الآلات الحاسبة الآن مدمجة في الأجهزة المحظورة استخدامها في امتحان الدولة الموحدة.

23. 32 فاسيل ستريزاك:

    ألكساندر، شكرًا لك على التوضيح! أعتقد أنه بالنسبة للطريقة المقترحة، من الضروري نظريًا أن تتذكر أو تستخدم جدول مربعات لجميع الأعداد المكونة من رقمين، ثم بالنسبة للأرقام الجذرية غير المدرجة في الفاصل الزمني من 100 إلى 10000، يمكنك ذلك استخدم تقنية زيادتها أو تقليلها بالعدد المطلوب من أوامر الحجم عن طريق تحريك العلامة العشرية.

24. 33 فاسيل ستريزاك:

25. 39 ألكسندر:

    تمت كتابة أول برنامج لي بلغة IAMB على الآلة السوفيتية "ISKRA 555" لاستخراج الجذر التربيعي لعدد باستخدام خوارزمية استخراج العمود! والآن نسيت كيفية استخراجه يدويًا!

الفصل الأول.

إيجاد أكبر عدد صحيح جذر تربيعي من عدد صحيح معين.

170. ملاحظات أولية.

أ)وبما أننا سنتحدث عن استخراج الجذر التربيعي فقط، فلنختصر الكلام في هذا الفصل، فبدلاً من الجذر التربيعي سنقول ببساطة “الجذر”.

ب)إذا قمنا بتربيع أرقام المتسلسلة الطبيعية: 1،2،3،4،5. . . ، ثم نحصل على جدول المربعات التالي: 1، 4، 9، 16، 25، 36، 49، 64، 81، 100،121،144. .,

من الواضح أن هناك الكثير من الأعداد الصحيحة غير الموجودة في هذا الجدول؛ بالطبع، من المستحيل استخراج الجذر بأكمله من هذه الأرقام. لذلك، إذا كنت بحاجة إلى استخراج جذر أي عدد صحيح، على سبيل المثال. مطلوب العثور على √4082، ثم نتفق على فهم هذا المطلب على النحو التالي: استخراج الجذر الكامل للرقم 4082، إن أمكن؛ إذا لم يكن ذلك ممكنا، فيجب علينا العثور على أكبر عدد صحيح مربعه هو 4082 (هذا الرقم هو 63، حيث أن 63 2 = 3969، و 64 2 = 4090).

الخامس)وإذا كان هذا الرقم أقل من 100، فيتم إيجاد جذره باستخدام جدول الضرب؛ ومن ثم، فإن √60 يساوي 7، لأن سبعة 7 يساوي 49، وهو أقل من 60، وثمانية 8 يساوي 64، وهو أكبر من 60.

171. استخراج جذر عدد أقل من 10000 ولكن أكبر من 100.لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد √4082. وبما أن هذا الرقم أقل من 10,000، فإن جذره أقل من √l0,000 = 100. ومن ناحية أخرى، هذا الرقم أكبر من 100؛ وهذا يعني أن جذرها أكبر من (أو يساوي 10). (إذا، على سبيل المثال، كان من الضروري العثور على √ 120 ، وعلى الرغم من أن الرقم 120 > 100، إلا أن √ 120 يساوي 10، لأن 11 2 = 121.) لكن كل رقم أكبر من 10 ولكن أقل من 100 يتكون من رقمين؛ هذا يعني أن الجذر المطلوب هو المجموع:

عشرات + آحاد،

وبالتالي فإن مربعها يجب أن يساوي المجموع:

يجب أن يكون هذا المجموع هو المربع الأكبر للرقم 4082.

لنأخذ أكبرها، 36، ونفترض أن مربع جذر العشرات سيكون مساويًا لهذا المربع الأكبر بالضبط. ثم يجب أن يكون عدد العشرات في الجذر 6. دعونا الآن نتحقق من أن هذا يجب أن يكون هو الحال دائمًا، أي أن عدد العشرات في الجذر يساوي دائمًا أكبر جذر صحيح لعدد مئات الجذر.

في الواقع، في مثالنا، لا يمكن أن يكون عدد عشرات الجذر أكثر من 6، لأن (7 ديسمبر) 2 = 49 مئات، وهو ما يتجاوز 4082. لكن لا يمكن أن يكون أقل من 6، لأن 5 ديسمبر. (بالوحدات) أقل من 6 ديس، وفي الوقت نفسه (6 ديس) 2 = 36 مئات، أي أقل من 4082. وبما أننا نبحث عن أكبر جذر كامل، فلا ينبغي أن نأخذ 5 ديس للجذر، عندما لا تكون 6 عشرات كثيرة.

وبذلك نكون قد وجدنا عدد عشرات الجذر، وهو 6. ونكتب هذا الرقم على يمين علامة =، مع العلم أنه يعني عشرات الجذر. وبرفعه بمقدار المربع، نحصل على 36 مئات. نطرح هذه المئات الـ 36 من المئات الأربعين للعدد الجذري ونطرح الرقمين المتبقيين من هذا العدد. يجب أن يحتوي الباقي 482 على 2 (6 ديسمبر) (وحدات) + (وحدات)2. يجب أن يكون المنتج (6 ديسمبر) (الوحدات) عشرات؛ لذلك، يجب البحث عن المنتج المزدوج للعشرات بالآحاد في عشرات الباقي، أي في 48 (نحصل على رقمهم عن طريق فصل رقم واحد على اليمين في الجزء المتبقي من 48 "2). العشرات المضاعفة للجذر نعوض 12. هذا يعني أننا إذا ضربنا 12 في وحدات الجذر (التي لا تزال غير معروفة)، فيجب أن نحصل على الرقم الموجود في 48. لذلك، نقسم 48 على 12.

للقيام بذلك، نرسم خطًا رأسيًا على يسار الباقي وخلفه (التراجع عن الخط مكانًا واحدًا إلى اليسار للغرض الذي سيظهر الآن) نكتب ضعف الرقم الأول من الجذر، أي 12، و نقسم 48 عليه ونحصل على 4

ومع ذلك، لا يمكننا أن نضمن مسبقًا إمكانية اعتبار الرقم 4 كوحدات للجذر، حيث أننا قسمنا الآن كامل عدد العشرات الباقي على 12، في حين أن بعضها قد لا ينتمي ضعف المنتجالعشرات بالوحدات، وهي جزء من مربع الوحدات. ولذلك، قد يكون الرقم 4 كبيرا. نحن بحاجة إلى تجربتها. من الواضح أنه مناسب إذا كان المجموع 2 (6 ديسمبر) 4 + 4 2 لا يزيد عن الباقي 482.

ونتيجة لذلك، نحصل على مجموع كليهما في وقت واحد. وتبين أن المنتج الناتج هو 496، وهو أكبر من الباقي 482؛ يعني رقم 4 كبير ثم دعونا نختبر الرقم الأصغر التالي 3 بنفس الطريقة.

أمثلة.

في المثال 4، عند قسمة 47 عشرات من الباقي على 4، نحصل على 11 كحاصل، لكن بما أن عدد وحدات الجذر لا يمكن أن يكون رقمًا مكونًا من رقمين 11 أو 10، فيجب علينا اختبار الرقم 9 مباشرة.

في المثال 5، بعد طرح 8 من الوجه الأول للمربع، يصبح الباقي 0، والوجه التالي يتكون أيضًا من أصفار. وهذا يوضح أن الجذر المطلوب يتكون من 8 عشرات فقط، وبالتالي يجب وضع صفر بدلاً من الآحاد.

172. استخراج جذر عدد أكبر من 10000. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد √35782. بما أن الرقم الجذري يتجاوز 10,000، فإن جذره أكبر من √10000 = 100، وبالتالي فهو يتكون من 3 أرقام أو أكثر. بغض النظر عن عدد الأرقام التي تتكون منها، يمكننا دائمًا اعتبارها مجموع عشرات وآحاد فقط. على سبيل المثال، إذا تبين أن الجذر هو 482، فيمكننا حسابه على أنه مقدار 48 دي. + 2 وحدة إذن مربع الجذر سيتكون من ثلاثة حدود:

(ديسمبر) 2 + 2 (ديسمبر) (وحدة) + (وحدة) 2 .

الآن يمكننا أن نفكر بنفس الطريقة التي استخدمناها عند إيجاد √4082 (في الفقرة السابقة). سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه للعثور على عشرات جذر 4082، كان علينا استخراج جذر 40، ويمكن القيام بذلك باستخدام جدول الضرب؛ الآن، للحصول على عشرات√35782، علينا أن نأخذ جذر 357، وهو ما لا يمكن القيام به باستخدام جدول الضرب. لكن يمكننا العثور على √357 باستخدام التقنية التي تم وصفها في الفقرة السابقة، حيث أن الرقم 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

بعد ذلك، نمضي كما فعلنا عند إيجاد √4082، أي: على يسار الباقي 3382 نرسم خطًا رأسيًا وخلفه نكتب (نتراجع مسافة واحدة عن السطر) ضعف عدد عشرات الجذر الموجود، أي 36 (مرتين 18). وفي الباقي، نفصل رقمًا واحدًا على اليمين ونقسم عدد العشرات المتبقية، أي 338، على 36. وفي خارج القسمة نحصل على 9. ونختبر هذا الرقم، ونخصص له 36 على اليمين و تتضاعف به. وتبين أن المنتج هو 3321، وهو أقل من الباقي. وهذا يعني أن الرقم 9 مناسب، نكتبه في الجذر.

بشكل عام، لاستخراج الجذر التربيعي لأي عدد صحيح، يجب عليك أولاً استخراج جذر مئاته؛ إذا كان هذا الرقم أكثر من 100، فسيتعين عليك البحث عن جذر عدد مئات هذه المئات، أي عشرات الآلاف من رقم معين؛ إذا كان هذا الرقم أكثر من 100، فسيتعين عليك أن تأخذ الجذر من عدد مئات عشرات الآلاف، أي من ملايين رقم معين، وما إلى ذلك.

أمثلة.

في المثال الأخير، بعد العثور على الرقم الأول وطرح مربعه، نحصل على الباقي 0. نطرح الرقمين التاليين 51. وبفصل العشرات، نحصل على 5 des، في حين أن الرقم المزدوج للجذر هو 6. هذا يعني أنه من قسمة 5 على 6 نحصل على 0 نضع 0 في المركز الثاني عند الجذر ونضيف الرقمين التاليين إلى الباقي؛ نحصل على 5110. ثم نواصل كالمعتاد.

في هذا المثال، الجذر المطلوب يتكون من 9 مئات فقط، ولذلك يجب وضع الأصفار في مكان العشرات وفي مكان الآحاد.

قاعدة. لاستخراج الجذر التربيعي لعدد صحيح معين، قم بتقسيمه منه اليد اليمنىإلى اليسار، على الحافة، رقمان لكل منهما، باستثناء الرقم الأخير، الذي قد يحتوي على رقم واحد.
للعثور على الرقم الأول من الجذر، خذ الجذر التربيعي للوجه الأول.
للعثور على الرقم الثاني، يتم طرح مربع الرقم الأول من الجذر من الوجه الأول، ويؤخذ الوجه الثاني إلى الباقي، ويتم قسمة عدد عشرات الرقم الناتج على ضعف الرقم الأول من الجذر ; يتم اختبار العدد الصحيح الناتج.
يتم إجراء هذا الاختبار على النحو التالي: خلف الخط العمودي (على يسار الباقي) اكتب ضعف الرقم الموجود مسبقًا للجذر وإليه، مع الجانب الأيمن، يتم تعيين الرقم الذي تم اختباره، ويتم ضرب الرقم الناتج في الرقم الذي تم اختباره بعد هذه الإضافة. إذا كانت النتيجة بعد الضرب رقما أكبر من الباقي، فإن الرقم الذي تم اختباره غير مناسب ويجب اختبار الرقم الأصغر الذي يليه.
تم العثور على الأرقام التالية من الجذر باستخدام نفس التقنية.
إذا تبين، بعد إزالة الوجه، أن عدد عشرات الرقم الناتج أقل من المقسوم عليه، أي أقل من ضعف الجزء الموجود من الجذر، ثم يضعون 0 في الجذر، ويزيلون الوجه التالي و مواصلة العمل كذلك.

173. عدد أرقام الجذر.من النظر في عملية العثور على الجذر، يترتب على ذلك أن الجذر يحتوي على عدد من الأرقام مثل العدد الجذري الذي يحتوي على وجوه مكونة من رقمين لكل منهما (قد يحتوي الوجه الأيسر على رقم واحد).

الفصل الثاني.

استخراج المقربين الجذور التربيعيةمن الأعداد الصحيحة والكسرية .

لاستخراج الجذر التربيعي لكثيرات الحدود، راجع الإضافات إلى الجزء الثاني من § 399 وما يليها.

174. علامات الجذر التربيعي الدقيق.الجذر التربيعي الدقيق لرقم معين هو الرقم الذي يساوي مربعه تمامًا الرقم المحدد. دعونا نشير إلى بعض العلامات التي يمكن من خلالها الحكم على إمكانية استخلاص جذر دقيق من رقم معين أم لا:

أ)إذا لم يتم استخراج الجذر الكامل الدقيق من عدد صحيح معين (يتم الحصول على الباقي عند الاستخراج)، فلا يمكن العثور على الجذر الدقيق الكسري من هذا الرقم، لأن أي كسر لا يساوي عددًا صحيحًا، عند ضربه بنفسه ، ينتج أيضًا كسرًا في المنتج، وليس عددًا صحيحًا.

ب)بما أن جذر الكسر يساوي جذر البسط مقسومًا على جذر المقام، فلا يمكن العثور على الجذر الدقيق للكسر غير القابل للاختزال إذا لم يكن من الممكن استخلاصه من البسط أو المقام. على سبيل المثال، من المستحيل استخراج الجذر الدقيق من الكسور 4/5 و8/9 و11/15، لأنه في الكسر الأول لا يمكن استخراجه من المقام، وفي الثاني - من البسط، وفي الكسر الثالث - لا من البسط ولا من المقام.

من الأرقام التي لا يمكن استخلاص الجذر الدقيق منها، يمكن استخلاص الجذور التقريبية فقط.

175. الجذر التقريبي دقيق لـ 1. الجذر التربيعي التقريبي، بدقة تصل إلى 1، لعدد معين (عدد صحيح أو كسر، لا يهم) هو عدد صحيح يلبي الشرطين التاليين:

1) مربع هذا الرقم ليس أكبر من الرقم المحدد؛ 2) لكن مربع هذا العدد الذي زاد بمقدار 1 أكبر من هذا الرقم. بمعنى آخر، الجذر التربيعي التقريبي الدقيق للرقم 1 هو أكبر جذر تربيعي لعدد صحيح، أي الجذر الذي تعلمنا العثور عليه في الفصل السابق. يُطلق على هذا الجذر اسم تقريبي ضمن 1، لأنه للحصول على جذر دقيق، سيتعين علينا إضافة كسر ما أقل من 1 إلى هذا الجذر التقريبي، لذلك إذا أخذنا هذا الجذر التقريبي بدلاً من الجذر الدقيق غير المعروف، فسنرتكب خطأ أقل من 1.

قاعدة. لاستخراج جذر تربيعي تقريبي بدقة تصل إلى 1، تحتاج إلى استخراج أكبر جذر صحيح للجزء الصحيح من الرقم المحدد.

الرقم الذي وجدته هذه القاعدة هو جذر تقريبي مع وجود عيب، لأنه يفتقر إلى الجذر الدقيق لكسر معين (أقل من 1). إذا قمنا بزيادة هذا الجذر بمقدار 1، فسنحصل على رقم آخر يوجد فيه بعض الفائض على الجذر الدقيق، وهذا الفائض أقل من 1. هذا الجذر الذي تمت زيادته بمقدار 1 يمكن أن يسمى أيضًا جذرًا تقريبيًا بدقة 1، ولكن مع فائض. (تُستبدل الأسماء: «بالنقص» أو «بالزيادة» في بعض كتب الرياضيات بما يعادلها: «بالنقص» أو «بالزائدة»).

176. الجذر التقريبي بدقة 1/10. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد √2.35104 بدقة 1/10. هذا يعني أنك بحاجة إلى العثور على كسر عشري يتكون من وحدات كاملة وأعشار ويحقق الشرطين التاليين:

1) مربع هذا الكسر لا يتجاوز 2.35104، ولكن 2) إذا زدناه بمقدار 1/10 فإن مربع هذا الكسر المتزايد يتجاوز 2.35104.

للعثور على مثل هذا الكسر، نجد أولاً جذرًا تقريبيًا دقيقًا لـ 1، أي أننا نستخرج الجذر فقط من العدد الصحيح 2. نحصل على 1 (والباقي هو 1). نكتب الرقم 1 في الجذر ونضع بعده فاصلة. والآن سوف نبحث عن عدد الأجزاء من عشرة. للقيام بذلك، ننزل إلى الباقي 1 الأرقام 35 على يمين العلامة العشرية، ونواصل الاستخراج كما لو كنا نستخرج جذر العدد الصحيح 235. ونكتب الرقم الناتج 5 في الجذر مكان أعشار. لا نحتاج إلى الأرقام المتبقية من الرقم الجذري (104). يمكن ملاحظة أن الرقم الناتج 1.5 سيكون في الواقع جذرًا تقريبيًا بدقة 1/10 مما يلي. إذا أردنا العثور على أكبر جذر صحيح للعدد 235 بدقة 1، فسنحصل على 15. لذا:

15 2 < 235، ولكن 16 2>235.

وبقسمة كل هذه الأعداد على 100 نحصل على:

وهذا يعني أن الرقم 1.5 هو الكسر العشري الذي أطلقنا عليه جذرًا تقريبيًا بدقة 1/10.

باستخدام هذه التقنية، يمكننا أيضًا العثور على الجذور التقريبية التالية بدقة 0.1:

177. الجذر التربيعي التقريبي في حدود 1/100 إلى 1/1000، إلخ.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد قيمة تقريبية لـ √248 بدقة تبلغ 1/100. وهذا يعني: العثور على كسر عشري يتكون من أجزاء كاملة وأجزاء من أعشار وأجزاء من مائة ويحقق شرطين:

1) مربعه لا يتجاوز 248، أما 2) إذا زدنا هذا الكسر بمقدار 1/100 فإن مربع هذا الكسر الزائد يتجاوز 248.

سنجد مثل هذا الكسر بالتسلسل التالي: أولاً سنجد العدد الصحيح، ثم رقم العشرة، ثم رقم المائة. جذر العدد الصحيح هو 15 عددا صحيحا. للحصول على عدد الأعشار، كما رأينا، تحتاج إلى إضافة 23 رقمين آخرين إلى يمين العلامة العشرية. في مثالنا، هذه الأرقام غير موجودة على الإطلاق؛ نضع أصفارًا مكانها. وبجمعها مع الباقي والاستمرار كما لو كنا نجد جذر العدد الصحيح 24800، سنجد رقم العشرة 7. ويبقى إيجاد رقم المائة. للقيام بذلك، نضيف صفرين آخرين إلى الباقي 151 ونواصل الاستخراج، كما لو كنا نجد جذر العدد الصحيح 2,480,000، ونحصل على 15.74. يمكن ملاحظة أن هذا الرقم هو في الواقع جذر تقريبي لـ 248 بدقة 1/100 مما يلي. إذا أردنا إيجاد أكبر عدد صحيح جذر تربيعي للعدد الصحيح 2,480,000، فسنحصل على 1574؛ وسائل:

1574 2 < 2,480,000 لكن 1575 2 > 2,480,000.

بقسمة جميع الأعداد على 10000 (= 2 100) نحصل على:

هذا يعني أن 15.74 هو ذلك الكسر العشري الذي أطلقنا عليه جذرًا تقريبيًا بدقة 1/100 من 248.

وبتطبيق هذه التقنية لإيجاد جذر تقريبي بدقة من 1/1000 إلى 1/10000، الخ، نجد ما يلي:

قاعدة. لاستخراج من هذا أعداد كاملةأو من كسر عشري معين جذر تقريبي بدقة 1/10 إلى 1/100 إلى 1/100، وما إلى ذلك، ابحث أولاً عن جذر تقريبي بدقة 1، واستخرج الجذر من العدد الصحيح (إذا لم يكن كذلك هناك، والكتابة عن الجذر 0 كله).

ثم أوجدوا عدد الأعشار. للقيام بذلك، أضف رقمين من الرقم الجذري إلى يمين العلامة العشرية إلى الباقي (إذا لم يكن هناك، أضف صفرين إلى الباقي)، واستمر في الاستخراج كما هو الحال عند استخراج جذر من عدد صحيح. ويكتب العدد الناتج في الجذر مكان العشرة.

ثم ابحث عن العدد من المئات. للقيام بذلك، يتم إضافة رقمين على يمين تلك التي تمت إزالتها للتو إلى الباقي، وما إلى ذلك.

وبالتالي، عند استخراج جذر عدد صحيح مع كسر عشري، من الضروري التقسيم إلى وجوه مكونة من رقمين لكل منهما، بدءًا من العلامة العشرية، سواء إلى اليسار (في الجزء الصحيح من الرقم) أو إلى اليمين (في الجزء الكسري).

أمثلة.

1) ابحث عن ما يصل إلى 1/100 جذر: أ) √2؛ ب) √0.3؛

في المثال الأخير، قمنا بتحويل الكسر 3/7 إلى عدد عشري عن طريق حساب 8 منازل عشرية لتكوين الأوجه الأربعة اللازمة للعثور على 4 منازل عشرية للجذر.

178. وصف جدول الجذور التربيعية.ويوجد في نهاية هذا الكتاب جدول الجذور التربيعية المحسوبة بأربعة أرقام. باستخدام هذا الجدول، يمكنك العثور بسرعة على الجذر التربيعي لعدد صحيح (أو كسر عشري) يتم التعبير عنه بما لا يزيد عن أربعة أرقام. قبل شرح كيفية بناء هذا الجدول، نلاحظ أنه يمكننا دائمًا العثور على أول رقم مهم من الجذر المطلوب دون مساعدة الجداول بمجرد النظر إلى الرقم الجذري؛ يمكننا أيضًا تحديد العلامة العشرية التي يعنيها الرقم الأول من الجذر بسهولة، وبالتالي، أين في الجذر، عندما نجد أرقامه، يجب علينا وضع فاصلة. فيما يلي بعض الأمثلة:

1) √5"27,3 . الرقم الأول سيكون 2، لأن الجانب الأيسر من الرقم الجذري هو 5؛ وجذر 5 يساوي 2. بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لوجود وجهين فقط في الجزء الصحيح من الجذر، فيجب أن يكون هناك رقمين في الجزء الصحيح من الجذر المطلوب، وبالتالي، يجب أن يكون الرقم الأول 2 يعني العشرات.

2) √9.041. من الواضح أن الرقم الأول في هذا الجذر سيكون 3 وحدات أولية.

3) √0.00"83"4. أول رقم مهم هو 9، حيث أن الوجه الذي يجب أخذ الجذر منه للحصول على أول رقم مهم هو 83، وجذر 83 هو 9. وبما أن الرقم المطلوب لن يحتوي على أرقام صحيحة أو أعشار، فإن الرقم المهم الأول هو 9. الرقم الأول 9 يجب أن يعني أجزاء من المئات.

4) √0.73"85. الرقم المعنوي الأول هو 8 أعشار.

5) √0.00"00"35"7. أول رقم مهم سيكون 5 أجزاء من الألف.

دعونا نبدي ملاحظة أخرى. لنفترض أننا بحاجة إلى استخراج جذر الرقم الذي، بعد حذف الكلمة المحتلة فيه، يتم تمثيله بسلسلة من الأرقام مثل هذا: 5681. يمكن أن يكون هذا الجذر واحدًا مما يلي:

إذا أخذنا الجذور التي نؤكدها بخط واحد، فسيتم التعبير عنها جميعًا بنفس سلسلة الأرقام، وهي تلك الأرقام التي تم الحصول عليها عند استخراج الجذر من 5681 (ستكون هذه الأرقام 7، 5، 3، 7) ). والسبب في ذلك هو أن الأوجه التي يجب تقسيم الرقم الجذري عليها عند إيجاد أرقام الجذر ستكون هي نفسها في كل هذه الأمثلة، وبالتالي فإن أرقام كل جذر ستكون هي نفسها (موضع العلامة العشرية فقط) النقطة ستكون مختلفة بالطبع). بنفس الطريقة، في جميع الجذور التي أكدناها بخطين، يجب أن نحصل عليها نفس الأرقام، على وجه التحديد تلك التي يتم التعبير عن √568.1 (ستكون هذه الأرقام 2، 3، 8، 3)، وللسبب نفسه. وبالتالي فإن أرقام جذور الأعداد الممثلة (بإسقاط الفاصلة) بنفس الصف من الأرقام 5681 ستكون من نوعين (واثنين فقط): إما أن يكون هذا هو الصف 7، 5، 3، 7، أو الصف 2، 3، 8، 3. ومن الواضح أن الشيء نفسه يمكن أن يقال عن أي سلسلة أخرى من الأرقام. لذلك، كما سنرى الآن، في الجدول، كل صف من أرقام الرقم الجذري يتوافق مع صفين من الأرقام للجذور.

الآن يمكننا شرح هيكل الجدول وكيفية استخدامه. ولتوضيح الشرح فقد بينا بداية الصفحة الأولى من الجدول هنا.

يقع هذا الجدول في عدة صفحات. على كل واحد منهم، في العمود الأول على اليسار، يتم وضع الأرقام 10، 11، 12... (حتى 99). تعبر هذه الأرقام عن أول رقمين من الرقم الذي يتم البحث عن الجذر التربيعي منه. في الخط الأفقي العلوي (وكذلك في الأسفل) توجد الأرقام: 0، 1، 2، 3... 9، تمثل الرقم الثالث من هذا الرقم، ثم إلى اليمين توجد الأرقام 1، 2، 3. . . 9، يمثل الرقم الرابع من هذا الرقم. تحتوي جميع الخطوط الأفقية الأخرى على رقمين مكونين من أربعة أرقام يعبران عن الجذور التربيعية للأرقام المقابلة.

لنفترض أنك بحاجة إلى العثور على الجذر التربيعي لعدد ما أو عدد صحيح أو معبر عنه عشري. بادئ ذي بدء، نجد، دون مساعدة الجداول، الرقم الأول من الجذر ورقمه. ثم سوف نتجاهل الفاصلة في هذا الرقم، إذا كان هناك واحد. لنفترض أولاً أنه بعد التخلص من الفاصلة، سيبقى 3 أرقام فقط، على سبيل المثال. 114. نجد في الجداول في العمود الموجود في أقصى اليسار أول رقمين، أي 11، وننتقل منهما إلى اليمين على طول الخط الأفقي حتى نصل إلى العمود الرأسي، الذي في أعلاه (وأسفله) الرقم الثالث من الرقم أي 4. في هذا المكان نجد رقمين مكونين من أربعة أرقام: 1068 و 3376. أي من هذين الرقمين يجب أن يؤخذ ومكان وضع الفاصلة فيه، يتم تحديد ذلك من خلال الرقم الأول من الجذر و رقمه الذي وجدناه سابقًا. لذا، إذا أردنا إيجاد √0.11"4، فإن الرقم الأول من الجذر هو 3 أعشار، وبالتالي يجب أن نأخذ 0.3376 للجذر. إذا أردنا إيجاد √1.14، فسيكون الرقم الأول من الجذر هو 1، ونحن بعد ذلك سنأخذ 1.068.

بهذه الطريقة يمكننا بسهولة العثور على:

√5.30 = 2.302؛ √7"18 = 26.80؛ √0.91"6 = 0.9571، إلخ.

لنفترض الآن أننا بحاجة إلى إيجاد جذر عدد معبر عنه (بإسقاط العلامة العشرية) بأربعة أرقام، على سبيل المثال، √7"45.6. مع ملاحظة أن الرقم الأول للجذر هو 2 عشرات، نجد لـ الرقم 745، كما تم شرحه الآن، الأرقام 2729 (نلاحظ هذا الرقم فقط بإصبعنا، ولكن لا نكتبه)، ثم ننتقل إلى اليمين من هذا الرقم حتى الجانب الأيمن من الجدول (خلف). السطر الغامق الأخير) نلتقي بالعمود العمودي الذي تم وضع علامة عليه في الأعلى (والأسفل) 4. الرقم الرابع من هذا الرقم، أي الرقم 6، ونجد الرقم 1 هناك، سيكون هذا تعديلاً يجب تطبيقه (في العقل) إلى الرقم الموجود سابقاً 2729 نحصل على 2730. نكتب هذا الرقم ونضع فيه فاصلة في المكان المناسب: 27.30.

وبهذه الطريقة نجد على سبيل المثال:

√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 =0.2107، إلخ.

إذا تم التعبير عن العدد الجذري برقم واحد أو رقمين فقط، فيمكننا افتراض وجود صفر أو صفرين بعد هذه الأرقام، ثم المضي قدمًا كما هو موضح بالنسبة لعدد مكون من ثلاثة أرقام. على سبيل المثال، √2.7 =√2.70 =1.643; √0.13 = √0.13"0 = 0.3606، إلخ.

وأخيرًا، إذا تم التعبير عن العدد الجذري بأكثر من 4 أرقام، فسنأخذ أول 4 أرقام منها فقط، ونتجاهل الباقي، ولتقليل الخطأ، إذا كان أول الأرقام المحذوفة 5 أو أكثر من 5، ثم سنزيد بمقدار ربع الأرقام المحتفظ بها. لذا:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025؛ إلخ.

تعليق. تشير الجداول إلى الجذر التربيعي التقريبي، أحيانًا بنقص، وأحيانًا بزائد، وهو أحد هذه الجذور التقريبية الأقرب إلى الجذر الدقيق.

179. استخراج الجذور التربيعية من الكسور العادية.لا يمكن استخراج الجذر التربيعي الدقيق للكسر غير القابل للاختزال إلا عندما يكون كلا حدي الكسر مربعين تمامًا. ويكفي في هذه الحالة استخراج جذر البسط والمقام بشكل منفصل، على سبيل المثال:

يمكن بسهولة العثور على الجذر التربيعي التقريبي لكسر عادي مع بعض الدقة العشرية إذا قمنا بالعكس أولاً جزء مشتركإلى رقم عشري، وحساب في هذا الكسر عدد المنازل العشرية بعد العلامة العشرية التي ستكون ضعف المزيد من العددالمنازل العشرية في الجذر المطلوب.

ومع ذلك، يمكنك أن تفعل ذلك بشكل مختلف. ولنوضح ذلك بالمثال التالي:

أوجد الرقم التقريبي √ 5 / 24

لنجعل المقام مربعًا تمامًا. للقيام بذلك، سيكون كافيا لضرب حدي الكسر بالمقام 24؛ ولكن في هذا المثال يمكنك القيام بذلك بشكل مختلف. دعونا نحلل 24 إلى عوامل أولية: 24 = 2 2 2 3. يتضح من هذا التحليل أنه إذا تم ضرب 24 في 2 و3 أخرى، فسيتم تكرار كل عامل أولي في الناتج رقم زوجيمرات، وبالتالي يصبح المقام مربعًا:

يبقى حساب √30 ببعض الدقة وتقسيم النتيجة على 12. ويجب أن يؤخذ في الاعتبار أن القسمة على 12 ستؤدي أيضًا إلى تقليل الكسر الذي يشير إلى درجة الدقة. لذا، إذا وجدنا √30 بدقة 1/10 وقسمنا النتيجة على 12، فسنحصل على جذر تقريبي للكسر 5/24 بدقة 1/120 (أي 54/120 و55/120)

الفصل الثالث.

رسم بياني للدالةس = √ص .

180. وظيفة معكوس.دعونا نعطي بعض المعادلة التي تحدد في كوظيفة X ، على سبيل المثال، مثل هذا: ص = س 2 . يمكننا القول أنه لا يحدد فقط في كوظيفة X ، ولكن على العكس من ذلك، يحدد X كوظيفة في ، ولو بطريقة ضمنية. لجعل هذه الدالة واضحة، علينا حل هذه المعادلة من أجل X ، أخذ في لعدد معلوم؛ إذن من المعادلة التي أخذناها نجد: ص = س 2 .

التعبير الجبري الذي تم الحصول عليه لـ x بعد حل المعادلة التي تحدد y كدالة لـ x يسمى الدالة العكسية لتلك التي تحدد y.

لذا، الوظيفة س = √ص وظيفة عكسية ص = س 2 . إذا، كما هي العادة، نشير إلى المتغير المستقل X ، والمعول في ، فيمكن التعبير عن الدالة العكسية التي تم الحصول عليها الآن على النحو التالي: ص = √س . وبالتالي، للحصول على الدالة العكسية لدالة (مباشرة) معينة، من الضروري من المعادلة التي تحدد ذلك هذه الوظيفة، الإخراج X .اعتمادا علي ذ وفي التعبير الناتج استبدال ذ على س ، أ X على ذ .

181. الرسم البياني للدالة ص = √س . هذه الوظيفة غير ممكنة بقيمة سالبة X ، ولكن يمكن حسابها (بأي دقة) لأي قيمة موجبة س ، ولكل قيمة من هذا القبيل تتلقى الدالة اثنين معاني مختلفةبنفس القيمة المطلقة، ولكن مع علامات عكسية. إذا كنت مألوفا √ إذا قمنا بالإشارة فقط إلى القيمة الحسابية للجذر التربيعي، فيمكن التعبير عن هاتين القيمتين للدالة على النحو التالي: ص = ± √ س لرسم رسم بياني لهذه الدالة، يجب عليك أولاً تجميع جدول بقيمها. أسهل طريقة لإنشاء هذا الجدول هي من جدول قيم الوظائف المباشرة:

ص = س 2 .

إذا كانت القيم في تأخذ كقيم X ، والعكس صحيح:

ص = ± √ س

ومن خلال رسم كل هذه القيم على الرسم نحصل على الرسم البياني التالي.

في نفس الرسم قمنا بتصوير (بخط متقطع) الرسم البياني للدالة المباشرة ص = س 2 . دعونا نقارن هذين الرسمين البيانيين مع بعضهما البعض.

182. العلاقة بين الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والعكسية.لتجميع جدول قيم الدالة العكسية ص = ± √ س أخذنا ل X تلك الأرقام الموجودة في جدول الدالة المباشرة ص = س 2 بمثابة قيم ل في ، ومن أجل في أخذت تلك الأرقام. والتي في هذا الجدول كانت القيم ل س . ويترتب على ذلك أن كلا الرسمين البيانيين متماثلان، فقط الرسم البياني للدالة المباشرة يقع على هذا النحو بالنسبة للمحور في - كيف يقع الرسم البياني للدالة العكسية بالنسبة للمحور X - أوف. ونتيجة لذلك، إذا قمنا بثني الرسم حول خط مستقيم الزراعة العضوية تنصيف زاوية قائمة xOy ، بحيث يكون جزء الرسم الذي يحتوي على شبه المحور أوه ، سقط على الجزء الذي يحتوي على عمود المحور أوه ، الذي - التي أوه متوافق مع أوه ، جميع الأقسام أوه سوف يتزامن مع الانقسامات أوه ، ونقاط القطع المكافئ ص = س 2 سيتم محاذاة مع النقاط المقابلة على الرسم البياني ص = ± √ س . على سبيل المثال، النقاط م و ن ، الذي ينسق 4 ، و الإحداثيات 2 و - 2 ، سوف تتزامن مع النقاط م" و ن" ، والتي من أجلها الإحداثي 4 ، والإحداثيات 2 و - 2 . إذا تطابقت هذه النقاط، فهذا يعني أن الخطوط المستقيمة مم" و ن " عمودي على الزراعة العضويةوتقسيم هذا الخط المستقيم إلى النصف. ويمكن قول الشيء نفسه عن جميع النقاط الأخرى المقابلة في كلا الرسمين البيانيين.

وبالتالي، يجب أن يكون الرسم البياني للدالة العكسية هو نفس الرسم البياني للدالة المباشرة، ولكن تقع هذه الرسوم البيانية بشكل مختلف، أي بشكل متماثل مع بعضها البعض بالنسبة إلى منصف الزاوية xOy . يمكننا القول أن الرسم البياني للدالة العكسية هو انعكاس (كما في المرآة) للرسم البياني للدالة المباشرة بالنسبة إلى منصف الزاوية xOy .

ويفضل أن يكون هندسيًا - يحتوي على زر بعلامة الجذر: "√". عادة، لاستخراج الجذر، يكفي كتابة الرقم نفسه، ثم الضغط على الزر: "√".

في معظم الحديثة الهواتف المحمولةيوجد تطبيق "آلة حاسبة" مع وظيفة استخراج الجذر. يشبه إجراء العثور على جذر الرقم باستخدام حاسبة الهاتف ما ورد أعلاه.
مثال.
البحث من 2.
قم بتشغيل الآلة الحاسبة (إذا كانت متوقفة عن التشغيل) واضغط على الأزرار التي تحتوي على صورة اثنين والجذر (“2” “√”) على التوالي. كقاعدة عامة، لا تحتاج إلى الضغط على المفتاح "=". ونتيجة لذلك، نحصل على رقم مثل 1.4142 (يعتمد عدد الأرقام و"الاستدارة" على عمق البت وإعدادات الآلة الحاسبة).
ملاحظة: عند محاولة العثور على الجذر، عادةً ما تعطي الآلة الحاسبة خطأً.

إذا كان لديك إمكانية الوصول إلى جهاز كمبيوتر، فمن السهل جدًا العثور على جذر الرقم.
1. يمكنك استخدام تطبيق الحاسبة، المتوفر على أي جهاز كمبيوتر تقريبًا. بالنسبة لنظام التشغيل Windows XP، يمكن تشغيل هذا البرنامج على النحو التالي:
"ابدأ" - "كافة البرامج" - "البرامج الملحقة" - "الآلة الحاسبة".
من الأفضل ضبط العرض على "عادي". بالمناسبة، على عكس الآلة الحاسبة الحقيقية، يتم وضع علامة "sqrt" على زر استخراج الجذر وليس "√".

إذا لم تتمكن من الوصول إلى الآلة الحاسبة باستخدام الطريقة المشار إليها، فيمكنك تشغيل الآلة الحاسبة القياسية "يدويًا":
"ابدأ" - "تشغيل" - "احسب".
2. للعثور على جذر رقم، يمكنك أيضًا استخدام بعض البرامج المثبتة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك. بالإضافة إلى ذلك، يحتوي البرنامج على آلة حاسبة مدمجة خاصة به.

على سبيل المثال، بالنسبة لتطبيق MS Excel، يمكنك تنفيذ تسلسل الإجراءات التالي:
إطلاق مايكروسوفت إكسل.

نكتب في أي خلية الرقم الذي نحتاج إلى استخراج الجذر منه.

حرك مؤشر الخلية إلى موقع مختلف

اضغط على زر اختيار الوظيفة (fx)

حدد وظيفة "الجذر".

نحدد خلية برقم كوسيطة للوظيفة

انقر فوق "موافق" أو "أدخل"
ميزة هذه الطريقة هي أنه يكفي الآن إدخال أي قيمة في الخلية برقم، كما هو الحال في الدالة.
ملحوظة.
هناك عدة طرق أخرى أكثر غرابة للعثور على جذر الرقم. على سبيل المثال، في "الزاوية"، باستخدام مسطرة الشريحة أو جداول Bradis. ومع ذلك، لم تتم مناقشة هذه الطرق في هذه المقالة بسبب تعقيدها وعدم جدواها العملية.

فيديو حول الموضوع

مصادر:

• كيفية العثور على جذر الرقم

في بعض الأحيان تنشأ المواقف عندما يتعين عليك إجراء بعض الحسابات الرياضية، بما في ذلك استخراج الجذور التربيعية و إلى حد أكبرمن الرقم. جذر "n" لـ "a" هو الرقم الدرجة التاسعةوهو الرقم "أ".

تعليمات

للعثور على الجذر "n" لـ , قم بما يلي.

على جهاز الكمبيوتر الخاص بك، انقر فوق "ابدأ" - "كافة البرامج" - "البرامج الملحقة". ثم انتقل إلى القسم الفرعي "الخدمة" وحدد "الآلة الحاسبة". يمكنك القيام بذلك يدويًا: انقر فوق ابدأ، واكتب "calk" في مربع التشغيل، ثم اضغط على Enter. سوف تفتح. لاستخراج الجذر التربيعي لرقم، أدخله في الآلة الحاسبة واضغط على الزر المسمى "sqrt". ستقوم الآلة الحاسبة باستخراج جذر الدرجة الثانية، المسمى بالجذر التربيعي، من الرقم الذي تم إدخاله.

من أجل استخراج الجذر الذي درجته أعلى من الثانية، تحتاج إلى استخدام نوع آخر من الآلات الحاسبة. للقيام بذلك، في واجهة الآلة الحاسبة، انقر فوق الزر "عرض" وحدد السطر "الهندسة" أو "العلمي" من القائمة. هذا النوع من الآلات الحاسبة لديه ما يلزم لحساب الجذر الدرجة التاسعةوظيفة.

لاستخراج جذر الدرجة الثالثة ()، اكتب على الآلة الحاسبة “الهندسية”. الرقم الصحيحواضغط على زر "3√". للحصول على جذر تكون درجته أعلى من 3، أدخل الرقم المطلوب، واضغط على الزر الذي يحمل أيقونة "y√x" ثم أدخل الرقم - الأس. بعد ذلك، اضغط على علامة المساواة (الزر "=") وستحصل على الجذر المطلوب.

إذا كانت الآلة الحاسبة الخاصة بك لا تحتوي على الدالة "y√x"، فقم بما يلي.

لاستخراج الجذر التكعيبي، أدخل التعبير الجذري، ثم ضع علامة اختيار في مربع الاختيار الموجود بجوار النقش "Inv". بهذا الإجراء، سوف تقوم بعكس وظائف أزرار الآلة الحاسبة، أي أنه من خلال النقر على زر المكعب، سوف تقوم باستخراج الجذر التكعيبي. على الزر الذي لك