منشور أوجهه الجانبية مستطيلة. كل ما تحتاج لمعرفته حول المنشور (2019)

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، في الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الوكالات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

التعريف 1. السطح المنشوري
النظرية 1. على المقاطع المتوازية للسطح المنشوري
التعريف 2. المقطع العمودي للسطح المنشوري
التعريف 3. المنشور
التعريف 4. ارتفاع المنشور
التعريف 5. المنشور الصحيح
النظرية 2. مساحة السطح الجانبي للمنشور

متوازي الأضلاع:
التعريف 6. متوازي الأضلاع
النظرية 3. عند تقاطع أقطار متوازي السطوح
التعريف 7. متوازي السطوح الأيمن
التعريف 8. مستطيلة متوازية
التعريف 9. قياسات متوازي السطوح
التعريف 10. المكعب
التعريف 11. معيني الشكل
النظرية 4. على أقطار متوازي مستطيلات
النظرية 5. حجم المنشور
النظرية 6. حجم المنشور المستقيم
النظرية 7. حجم متوازي السطوح المستطيل

نشور زجاجيهو متعدد السطوح يقع وجهاه (قاعدتاه) في مستويات متوازية، وتكون الحواف التي لا تقع في هذه الوجوه متوازية مع بعضها البعض.
وتسمى وجوه غير القواعد جانبي.
تسمى جوانب الوجوه الجانبية والقواعد أضلاع المنشور، تسمى نهايات الحواف رؤوس المنشور. الأضلاع الجانبيةتسمى الحواف التي لا تنتمي إلى القواعد. يسمى اتحاد الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور، ويسمى اتحاد جميع الوجوه كامل سطح المنشور. ارتفاع المنشورويسمى العمودي المسقط من نقطة القاعدة العليا إلى مستوى القاعدة السفلية أو طول هذا العمود. المنشور المباشريسمى المنشور الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات قاعدتيه. صحيحيسمى المنشور المستقيم (الشكل 3)، والذي يوجد في قاعدته مضلع منتظم.

التسميات:
ل - الضلع الجانبي;
ف - محيط القاعدة؛
S o - منطقة القاعدة؛
ح - الارتفاع
P^ - محيط القسم العمودي؛
S ب - مساحة السطح الجانبية؛
الخامس - الحجم؛
S p هي مساحة السطح الكلي للمنشور.

التعريف 2 . المقطع العمودي لسطح منشوري هو جزء من هذا السطح بمستوى عمودي على حوافه. استنادا إلى النظرية السابقة، فإن جميع المقاطع المتعامدة لنفس السطح المنشوري ستكون مضلعات متساوية.

التعريف 3 . المنشور هو متعدد السطوح يحده سطح منشوري ومستويان متوازيان مع بعضهما البعض (لكن ليسا متوازيين مع حواف السطح المنشوري)
يتم استدعاء الوجوه الموجودة في هذه الطائرات الأخيرة قواعد المنشور; وجوه تنتمي إلى السطح المنشوري - وجوه جانبية; حواف السطح المنشوري - الأضلاع الجانبية للمنشور. وبحكم النظرية السابقة فإن قاعدة المنشور هي مضلعات متساوية. جميع الوجوه الجانبية للمنشور - متوازي الأضلاع; جميع الأضلاع الجانبية متساوية مع بعضها البعض.
من الواضح أنه إذا تم إعطاء قاعدة المنشور ABCDE وأحد الحواف AA" من حيث الحجم والاتجاه، فمن الممكن بناء المنشور عن طريق رسم الحواف BB"، CC"، ... متساوية وموازية للحافة AA" .

التعريف 4 . ارتفاع المنشور هو المسافة بين مستويات قاعدتيه (HH").

التعريف 5 . يسمى المنشور مستقيماً إذا كانت قاعدته مقاطع متعامدة من السطح المنشوري. في هذه الحالة، ارتفاع المنشور هو بالطبع ارتفاعه الضلع الجانبي; ستكون الحواف الجانبية المستطيلات.
يمكن تصنيف المنشورات حسب عدد الأوجه الجانبية التي تساوي عدد أضلاع المضلع الذي يشكل قاعدته. وبالتالي، يمكن أن يكون المنشور ثلاثيًا، أو رباعي الزوايا، أو خماسيًا، وما إلى ذلك.

النظرية 2 . مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي ناتج الحافة الجانبية ومحيط المقطع العمودي.
لنفترض أن ABCDEA"B"C"D"E" يكون منشورًا محددًا ويفصل قسمه المتعامد، بحيث تكون القطع ab، bc، .. متعامدة مع حوافها الجانبية. الوجه ABA"B" هو متوازي أضلاع، ومساحته يساوي ناتج القاعدة AA " إلى الارتفاع الذي يتطابق مع ab؛ مساحة الوجه ВСВ "С" تساوي حاصل ضرب القاعدة ВВ" في الارتفاع قبل الميلاد، وما إلى ذلك. وبالتالي، فإن السطح الجانبي (أي مجموع مساحات الأوجه الجانبية) يساوي حاصل الضرب للحافة الجانبية، وبعبارة أخرى، الطول الإجمالي للقطاعات AA"، ВВ"، ..، للمبلغ ab+bc+cd+de+ea.

معلومات عامة عن المنشور المستقيم

يُطلق على السطح الجانبي للمنشور (أو بالأحرى مساحة السطح الجانبية). مجموعمناطق الوجوه الجانبية. إجمالي سطح المنشور يساوي مجموع الأسطح الجانبية ومساحات القواعد.

نظرية 19.1. السطح الجانبي للمنشور المستقيم يساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور، أي طول الحافة الجانبية.

دليل. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات. قواعد هذه المستطيلات هي أضلاع المضلع الواقع عند قاعدة المنشور، وارتفاعاتها تساوي طول أحرفها الجانبية. ويترتب على ذلك أن السطح الجانبي للمنشور يساوي

S = أ 1 ل + أ 2 ل + ... + أ ن ل = رر،

حيث a 1 و n هما طولا حواف القاعدة، وp هو محيط قاعدة المنشور، وI هو طول الحواف الجانبية. لقد تم إثبات النظرية.

مهمة عملية

مشكلة (22) . في المنشور المائل يتم تنفيذه قسم، عمودي على الأضلاع الجانبية ويتقاطع مع جميع الأضلاع الجانبية. أوجد السطح الجانبي للمنشور إذا كان محيط المقطع يساوي p والحواف الجانبية تساوي l.

حل. يقسم مستوى القسم المرسوم المنشور إلى قسمين (الشكل 411). دعونا نخضع إحداها للترجمة المتوازية، من خلال الجمع بين قواعد المنشور. في هذه الحالة نحصل على منشور مستقيم، قاعدته هي المقطع العرضي للمنشور الأصلي، وحوافه الجانبية تساوي l. هذا المنشور له نفس السطح الجانبي للمنشور الأصلي. وبالتالي، فإن السطح الجانبي للمنشور الأصلي يساوي رر.

ملخص الموضوع المطروح

والآن دعونا نحاول تلخيص الموضوع الذي تناولناه حول المنشور ونتذكر خصائص المنشور.

خصائص المنشور

أولًا، المنشور له جميع قواعده على شكل مضلعات متساوية؛
ثانيًا، في المنشور، جميع وجوهه الجانبية متوازية الأضلاع؛
ثالثا، في مثل هذا الشكل متعدد الأوجه، مثل المنشور، تكون جميع الحواف الجانبية متساوية؛

ويجب أن نتذكر أيضًا أن متعددات الوجوه مثل المنشور يمكن أن تكون مستقيمة أو مائلة.

ما المنشور الذي يسمى المنشور المستقيم؟

إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى مستقيمًا.

لن يكون من غير الضروري أن نتذكر أن الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات.

ما هو نوع المنشور الذي يسمى المائل؟

لكن إذا لم تكن الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فيمكننا أن نقول بأمان أنه منشور مائل.

أي منشور يسمى صحيح؟

إذا كان المضلع المنتظم يقع عند قاعدة منشور مستقيم، فإن هذا المنشور يكون منتظمًا.

الآن دعونا نتذكر الخصائص التي يتمتع بها المنشور العادي.

خصائص المنشور العادي

أولاً، تعمل المضلعات المنتظمة دائمًا بمثابة قواعد لمنشور منتظم؛
ثانيًا، إذا نظرنا إلى الوجوه الجانبية لمنشور منتظم، فسنجدها دائمًا كذلك مستطيلات متساوية;
ثالثا، إذا قارنت أحجام الأضلاع الجانبية، فهي دائما متساوية في المنشور العادي.
رابعا، المنشور الصحيح يكون دائما مستقيما؛
خامسا، إذا كانت الوجوه الجانبية في المنشور العادي لها شكل مربعات، فإن هذا الشكل يسمى عادة مضلع شبه منتظم.

المقطع العرضي المنشور

الآن دعونا نلقي نظرة على المقطع العرضي للمنشور:

العمل في المنزل

الآن دعونا نحاول دمج الموضوع الذي تعلمناه من خلال حل المشكلات.

لنرسم منشورا مثلثيا مائلا، المسافة بين حوافه تساوي: 3 سم، 4 سم، 5 سم، والسطح الجانبي لهذا المنشور يساوي 60 سم2. بوجود هذه المعلمات، ابحث عن الحافة الجانبية لهذا المنشور.

هل تعرف أن أشكال هندسيةتحيط بنا باستمرار ليس فقط في دروس الهندسة، ولكن أيضًا في الحياة اليوميةهناك كائنات تشبه شكلًا هندسيًا أو آخر.

كل شخص في المنزل أو المدرسة أو العمل لديه جهاز كمبيوتر، وحدة النظامالذي له شكل المنشور المستقيم.

إذا التقطت قلم رصاص بسيط، سترى أن الجزء الرئيسي من قلم الرصاص هو المنشور.

أثناء السير على طول الشارع المركزي للمدينة، نرى أنه يوجد تحت أقدامنا بلاطة على شكل منشور سداسي.

A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية

متعددات الوجوه

الهدف الرئيسي لدراسة القياس المجسم هو الهيئات المكانية. جسميمثل جزءًا من الفضاء محدودًا بسطح معين.

متعدد السطوحهو الجسم الذي يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة. يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان موجودًا على جانب واحد من مستوى كل مضلع مستوي على سطحه. يسمى الجزء المشترك من هذا المستوى وسطح متعدد السطوح حافة. وجوه متعدد السطوح المحدب هي مضلعات محدبة مسطحة. وتسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوح، والقمم هي رؤوس متعدد السطوح.

على سبيل المثال، يتكون المكعب من ستة مربعات، وهي وجوهه. ويحتوي على 12 حرفًا (جوانب المربعات) و8 رؤوس (قمم المربعات).

أبسط متعددات الوجوه هي المنشورات والأهرامات، والتي سندرسها أكثر.

نشور زجاجي

تعريف وخصائص المنشور

نشور زجاجيهو متعدد السطوح يتكون من مضلعين مسطحين يقعان في مستويات متوازية يتم دمجهما عن طريق ترجمة متوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه المضلعات. يتم استدعاء المضلعات قواعد المنشور، والأجزاء التي تربط القمم المقابلة للمضلعات هي الحواف الجانبية للمنشور.

ارتفاع المنشوروتسمى المسافة بين مستويات قواعدها (). يسمى الجزء الذي يربط بين رأسين منشور لا ينتميان إلى نفس الوجه قطري المنشور(). يسمى المنشور ن الكربون، إذا كانت قاعدته تحتوي على n-gon.

أي المنشور لديه الخصائص التالية، ناتج عن حقيقة أن قواعد المنشور يتم دمجها عن طريق الترجمة المتوازية:

1. قاعدتا المنشور متساويتان.

2. الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية.

يتكون سطح المنشور من قواعد و السطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي للمنشور من متوازيات الأضلاع (وهذا يتبع من خصائص المنشور). مساحة السطح الجانبي للمنشور هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية.

المنشور المستقيم

يسمى المنشور مستقيمإذا كانت حوافها الجانبية متعامدة مع القواعد. وإلا يسمى المنشور يميل.

وجوه المنشور الأيمن مستطيلة. ارتفاع المنشور المستقيم يساوي أوجهه الجانبية.

سطح المنشور الكاملويسمى مجموع مساحة السطح الجانبية ومساحات القواعد.

مع المنشور الصحيحيسمى المنشور القائم الذي يوجد في قاعدته مضلع منتظم.

نظرية 13.1. مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم تساوي ناتج المحيط وارتفاع المنشور (أو، وهو نفس الشيء، بالحافة الجانبية).

دليل. الوجوه الجانبية للمنشور القائم هي مستطيلات، قواعدها هي جوانب المضلعات عند قواعد المنشور، وارتفاعاتها هي الحواف الجانبية للمنشور. ومن ثم، بحكم التعريف، مساحة السطح الجانبية هي:

,

أين محيط قاعدة المنشور المستقيم؟

متوازي الأضلاع

إذا كانت متوازيات الأضلاع تقع على قاعدة منشور، فإنها تسمى متوازي السطوح. جميع وجوه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع. في هذه الحالة، تكون الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

نظرية 13.2. تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

دليل. النظر في اثنين من الأقطار التعسفية، على سبيل المثال، و. لأن أوجه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع، ثم و، مما يعني أنه يوجد خطان مستقيمان موازيان للثالث. بالإضافة إلى ذلك، هذا يعني أن الخطوط المستقيمة تقع في نفس المستوى (الطائرة). يتقاطع هذا المستوى مع مستويات متوازية وعلى طول خطوط متوازية و . وهكذا فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع، ومن خاصية متوازي الأضلاع أن أقطاره تتقاطع وتنقسم إلى نصفين بنقطة التقاطع، وهذا هو ما يحتاج إلى إثبات.

يسمى متوازي السطوح الأيمن الذي قاعدته مستطيلة متوازي مستطيل. جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي مستطيلات. تسمى أطوال الحواف غير المتوازية لمتوازي السطوح المستطيل بأبعاده الخطية (الأبعاد). هناك ثلاثة أحجام من هذا القبيل (العرض والارتفاع والطول).

نظرية 13.3. في متوازي المستطيلات، مربع أي قطري يساوي المبلغمربعات بأبعادها الثلاثة (تم إثباته بتطبيق فيثاغورس تي مرتين).

يُسمى متوازي السطوح المستطيل الذي تكون جميع أضلاعه متساوية مكعب.

مهام

13.1 كم عدد الأقطار؟ ن-منشور الكربون

13.2 في المنشور الثلاثي المائل، تكون المسافات بين الحواف الجانبية 37، 13، 40. أوجد المسافة بين الحافة الجانبية الأكبر والحافة الجانبية المقابلة.

13.3 يتم رسم مستوى من خلال جانب القاعدة السفلية لمنشور مثلثي منتظم، بحيث يتقاطع الأوجه الجانبية على طول الأجزاء بزاوية بينهما. أوجد زاوية ميل هذا المستوى إلى قاعدة المنشور.

1. رباعي الأسطح لديه أقل عدد من الحواف - 6.

2. المنشور له عدد n من الوجوه. ما المضلع الذي يقع في قاعدته؟

(ن - 2) - مربع.

3. هل المنشور مستقيم إذا كان وجهاه المتجاوران متعامدين على مستوى القاعدة؟

نعم إنه كذلك.

4. في أي منشور تكون الحواف الجانبية موازية لارتفاعه؟

في المنشور المستقيم.

5. هل المنشور منتظم إذا كانت جميع أضلاعه متساوية مع بعضها البعض؟

لا، قد لا يكون مباشرا.

6. هل يمكن أن يكون ارتفاع أحد الجوانب الجانبية للمنشور المائل هو ارتفاع المنشور أيضًا؟

نعم، إذا كان هذا الوجه متعامدا مع القاعدة.

7. هل يوجد منشور يكون فيه: أ) الحافة الجانبية متعامدة مع حافة واحدة فقط من القاعدة؛ ب) وجه جانبي واحد فقط متعامد مع القاعدة؟

أ) نعم. ب) لا.

8. ينقسم المنشور الثلاثي المنتظم إلى منشورين بواسطة مستوى يمر عبر الخطوط الوسطى للقواعد. ما نسبة مساحات الأسطح الجانبية لهذه المنشورات؟

بواسطة النظرية 27 نحصل على ذلك الأسطح الجانبيةالنسبة مثل 5:3

9. هل يكون الهرم منتظما إذا كانت جوانبه مثلثات منتظمة؟

10. كم عدد الوجوه المتعامدة مع مستوى القاعدة التي يمكن أن يحتوي عليها الهرم؟

11. هل يوجد هرم رباعي الزوايا تكون أوجهه المقابلة متعامدة مع القاعدة؟

لا، وإلا لكان هناك على الأقل خطان مستقيمان يمران بأعلى الهرم، متعامدين مع قاعدتيه.

12. هل يمكن أن تكون جميع وجوه الهرم الثلاثي مثلثات قائمة؟

نعم (الشكل 183).