ما هي قيمة s للمستطيل؟ كيفية حساب مساحة المستطيل: نصائح عملية

تعريف.

تختلف المستطيلات عن بعضها البعض فقط في نسبة الضلع الطويل إلى الضلع القصير، ولكن جميع الزوايا الأربع قائمة، أي 90 درجة.

يسمى الجانب الطويل من المستطيل طول المستطيل، والقصيرة - عرض المستطيل.

أضلاع المستطيل هي أيضًا ارتفاعاته.

الخصائص الأساسية للمستطيل

يمكن أن يكون المستطيل متوازي الأضلاع أو مربعًا أو معينًا.

1. الأضلاع المتقابلة للمستطيل لها نفس الطول، أي أنها متساوية:

AB = CD، BC = AD

2. الضلعان المتقابلان في المستطيل متوازيان:

3. الأضلاع المجاورة للمستطيل تكون متعامدة دائمًا:

AB ┴ قبل الميلاد، قبل الميلاد ┴ CD، CD ┴ AD، AD ┴ AB

4. جميع أركان المستطيل الأربع مستقيمة:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. مجموع زوايا المستطيل 360 درجة:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 درجة

6. قطرا المستطيل لهما نفس الطول:

7. مجموع مربعات قطر المستطيل يساوي مجموع مربعات أضلاعه:

2د2 = 2أ2 + 2ب2

8. كل قطر للمستطيل يقسم المستطيل إلى شكلين متطابقين، وهما مثلثان قائمان الزاوية.

9. تتقاطع أقطار المستطيل وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع:

10. نقطة تقاطع الأقطار تسمى مركز المستطيل وهي أيضاً مركز الدائرة المحيطة

11. قطر المستطيل هو قطر الدائرة المحيطة

12. يمكنك دائمًا وصف دائرة حول مستطيل، حيث أن مجموع الزوايا المتقابلة هو 180 درجة:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. لا يمكن كتابة دائرة في مستطيل طوله لا يساوي عرضه، حيث أن مجموع الأضلاع المتقابلة لا يساوي بعضها البعض (لا يمكن كتابة الدائرة إلا في حالة خاصةمستطيل - مربع).

جوانب المستطيل

تعريف.

صيغ تحديد أطوال أضلاع المستطيل

1. صيغة ضلع المستطيل (طول وعرض المستطيل) من خلال القطر والضلع الآخر:

أ = √ د 2 - ب 2

ب = √ د 2 - أ 2

2. صيغة ضلع المستطيل (طول وعرض المستطيل) من خلال المساحة والضلع الآخر:

قطري المستطيل

تعريف.

صيغ لتحديد طول قطر المستطيل

1. صيغة قطر المستطيل باستخدام ضلعي المستطيل (عبر نظرية فيثاغورس):

د = √ أ 2 + ب 2

2. صيغة قطر المستطيل باستخدام المساحة وأي ضلع:

4. صيغة قطر المستطيل من حيث نصف قطر الدائرة المحدودة:

د = 2ر

5. صيغة قطر المستطيل من حيث قطر الدائرة المحيطة:

د = د س

6. صيغة قطر المستطيل باستخدام جيب الزاوية المجاورة للقطري وطول الضلع المقابل لهذه الزاوية:

8. صيغة قطري المستطيل من خلال الجيب زاوية حادةبين الأقطار ومساحة المستطيل

د = √2S: الخطيئة ب

محيط المستطيل

تعريف.

صيغ لتحديد طول محيط المستطيل

1. صيغة محيط المستطيل باستخدام ضلعي المستطيل:

ف = 2أ + 2ب

ف = 2(أ + ب)

2. صيغة محيط المستطيل باستخدام المساحة وأي ضلع:

3. صيغة محيط المستطيل باستخدام القطر وأي ضلع:

ف = 2(أ + √ د 2 - أ 2) = 2(ب + √ د 2 - ب 2)

4. صيغة محيط المستطيل باستخدام نصف قطر الدائرة المحيطة وأي ضلع:

ف = 2(أ + √4ص 2 - 2) = 2(ب + √4ر 2 - ب 2)

5. صيغة محيط المستطيل باستخدام قطر الدائرة المقيدة وأي ضلع:

ف = 2(أ + √د س 2 - 2) = 2(ب + √د س 2 - ب 2)

مساحة المستطيل

تعريف.

صيغ لتحديد مساحة المستطيل

1. صيغة مساحة المستطيل باستخدام الجانبين:

س = أ ب

2. صيغة مساحة المستطيل باستخدام المحيط وأي ضلع:

5. صيغة مساحة المستطيل باستخدام نصف قطر الدائرة المقيدة وأي ضلع:

ق = أ √4ر 2 - 2= ب √4R 2 - ب 2

6. صيغة مساحة المستطيل باستخدام قطر الدائرة المحيطة وأي ضلع:

ق = أ √ د س 2 - 2= ب √ د س 2 - ب 2

دائرة محاطة بمستطيل

تعريف.

صيغ لتحديد نصف قطر الدائرة المحيطة بالمستطيل

1. صيغة نصف قطر الدائرة المحددة حول مستطيل من ضلعين:

درس حول موضوع: "صيغ تحديد مساحة المثلث والمستطيل والمربع"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف الخامس
محاكاة للكتاب المدرسي من تأليف I.I Zubareva و A.G Mordkovich
محاكاة للكتاب المدرسي من تأليف G.V Dorofeev و L.G Peterson

تعريف ومفهوم مساحة الشكل

إذن مساحة الشكل تساوي 12 سم مربع. في الرياضيات، يشار إلى المنطقة حرف لاتينيس.
هذا يعني أن مساحة الشكل لدينا هي: شكل S = 12 سم2.

مساحة الشكل تساوي مساحة جميع المربعات الصغيرة التي يتكون منها!

يا شباب، تذكروا!
يتم قياس المساحة بوحدات الطول المربعة. وحدات المساحة:
1. الكيلومتر المربع - كم 2 (عندما تكون المساحات كبيرة جداً مثلاً بلد أو بحر).
2. متر مربع - م 2 (مناسب تمامًا لقياس مساحة قطعة أرض أو شقة).
3. سنتيمتر مربع- سم2 (يستخدم عادة في دروس الرياضيات عند رسم الأشكال في دفتر الملاحظات).
4. المليمتر المربع - مم 2.

مساحة المثلث

للعثور على المنطقة مثلث قائمعليك أن تعرف طول القاعدة وارتفاعها. في المثلث القائم، يتم استبدال الارتفاع بأحد الجوانب. لذلك، في صيغة مساحة المثلث، بدلًا من الارتفاع، نستبدل أحد الأضلاع.
في مثالنا أضلاع 7 سم و 4 سم، وصيغة حساب مساحة المثلث مكتوبة على النحو التالي:
S للمثلث القائم ABC = BC * CA: 2

S للمثلث القائم ABC = 7 سم * 4 سم: 2 = 14 سم2

الآن فكر في مثلث تعسفي.

لمثل هذا المثلث، تحتاج إلى رسم الارتفاع إلى القاعدة.
في مثالنا الارتفاع 6 سم والقاعدة 8 سم، وكما في المثال السابق نحسب المساحة باستخدام الصيغة:
S للمثلث التعسفي ABC = BC * h: 2.

دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغة ونحصل على:
S للمثلث التعسفي ABC = 8 سم * 6 سم : 2 = 24 سم 2.

مساحة المستطيل والمربع

S المستطيل ABCD = 8 سم * 5 سم = 40 سم2.

الآن دعونا نحسب مساحة المربع. على عكس المستطيل والمثلث، للعثور على مساحة المربع، ما عليك سوى معرفة جانب واحد فقط. في مثالنا، طول ضلع المربع ABCD هو 9 سم. S مربع ABCD = AB * BC = AB 2.

دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغة ونحصل على:
مربع S ABCD = 9 سم * 9 سم = 81 سم2.

مربع الشكل الهندسي - خاصية عددية لشكل هندسي توضح حجم هذا الشكل (جزء من السطح محدود بالكفاف المغلق لهذا الشكل). يتم التعبير عن حجم المنطقة بعدد الوحدات المربعة الموجودة فيها.

صيغ منطقة المثلث

1. صيغة لمنطقة المثلث من جانب والارتفاع
   مساحة المثلثيساوي نصف حاصل ضرب طول أحد أضلاع المثلث وطول الارتفاع المرسوم على هذا الضلع
   
2. صيغة مساحة المثلث تعتمد على ثلاثة جوانب ونصف قطر الدائرة المحيطة
   
3. صيغة مساحة المثلث تعتمد على ثلاثة جوانب ونصف قطر الدائرة المنقوشة
   مساحة المثلثيساوي حاصل ضرب نصف محيط المثلث ونصف قطر الدائرة المحيطية.
   
حيث S هي مساحة المثلث،
- أطوال أضلاع المثلث،
- ارتفاع المثلث،
- الزاوية بين الجانبين و،
- نصف قطر الدائرة المنقوشة،
R - نصف قطر الدائرة المقيدة،

صيغ المساحة المربعة

1. صيغة لمنطقة المربع بطول الجانب
   منطقة مربعةيساوي مربع طول ضلعه.
2. صيغة لمنطقة المربع على طول القطر
   منطقة مربعةيساوي نصف مربع طول قطرها.
   

   س=	1	2
   	2

حيث S هي مساحة المربع
- طول ضلع المربع،
- طول قطر المربع .

صيغة مساحة المستطيل

مساحة المستطيليساوي حاصل ضرب طولي ضلعيه المتجاورين

حيث S هي مساحة المستطيل
- أطوال أضلاع المستطيل .

صيغ منطقة متوازي الأضلاع

1. صيغة مساحة متوازي الأضلاع تعتمد على طول الضلع والارتفاع
   مساحة متوازي الأضلاع
2. صيغة مساحة متوازي الأضلاع تعتمد على الجانبين والزاوية بينهما
   مساحة متوازي الأضلاعيساوي حاصل ضرب أطوال أضلاعه في جيب الزاوية بينهما.
   

   أ ب الخطيئة α

حيث S هي مساحة متوازي الأضلاع،
- أطوال أضلاع متوازي الأضلاع،
- طول ارتفاع متوازي الأضلاع،
- الزاوية المحصورة بين ضلعي متوازي الأضلاع.

الصيغ لمنطقة المعين

1. صيغة مساحة المعين بناءً على طول الضلع والارتفاع
   مساحة المعينيساوي حاصل ضرب طول ضلعه وطول الارتفاع المنخفض إلى هذا الجانب.
2. صيغة مساحة المعين بناءً على طول الضلع والزاوية
   مساحة المعينيساوي حاصل ضرب مربع طول ضلعه وجيب الزاوية المحصورة بين ضلعي المعين.
3. صيغة مساحة المعين بناءً على أطوال أقطاره
   مساحة المعينيساوي نصف حاصل ضرب أطوال قطريه.
حيث S هي مساحة المعين،
- طول جانب المعين،
- طول ارتفاع المعين،
- الزاوية بين جانبي المعين،
1، 2 - أطوال الأقطار.

صيغ منطقة شبه منحرف

1. صيغة هيرون لشبه المنحرف

   حيث S هي مساحة شبه المنحرف،
   - أطوال قواعد شبه المنحرف،
   - أطوال جوانب شبه المنحرف،
   

إحدى الصيغ الأولى التي تمت دراستها في الرياضيات تتعلق بالمستطيل. وهو أيضًا الأكثر استخدامًا. تحيط بنا الأسطح المستطيلة في كل مكان، لذلك نحتاج في كثير من الأحيان إلى معرفة مساحاتها. على الأقل لمعرفة ما إذا كان الطلاء المتاح يكفي لطلاء الأرضيات.

ما هي وحدات المساحة الموجودة؟

إذا تحدثنا عن ما يتم قبوله على أنه دولي، فسيكون كذلك متر مربع. إنه مناسب للاستخدام عند حساب مساحة الجدران أو الأسقف أو الأرضيات. أنها تشير إلى منطقة السكن.

متى نحن نتحدث عنحول الكائنات الأصغر حجمًا، ثم أدخل الديسيمترات المربعة أو السنتيمترات أو المليمترات. هناك حاجة إلى هذا الأخير إذا لم يكن الشكل أكبر من ظفر الإصبع.

عند قياس مساحة مدينة أو بلد، فإن الكيلومترات المربعة هي الأنسب. ولكن هناك أيضًا وحدات تُستخدم للإشارة إلى حجم المنطقة: هي والهكتار. أولهم يسمى أيضًا مائة.

ماذا لو تم إعطاء جوانب المستطيل؟

وبطريقة مماثلة، وهي حالة خاصة للمستطيل يتم حسابها. وبما أن جميع الجوانب متساوية، يصبح الناتج مربع الحرف أ.

ماذا لو تم تصوير الشكل على ورق مربعات؟

في هذه الحالة، تحتاج إلى الاعتماد على عدد الخلايا داخل الشكل. باستخدام أرقامهم، من السهل حساب مساحة المستطيل. ولكن يمكن القيام بذلك عندما تتطابق جوانب المستطيل مع خطوط الخلايا.

غالبًا ما يتم وضع المستطيل بحيث تميل جوانبه بالنسبة إلى خط الورق. ومن ثم يصعب تحديد عدد الخلايا، لذا يصبح حساب مساحة المستطيل أكثر تعقيدًا.

ستحتاج أولاً إلى معرفة مساحة المستطيل التي يمكن رسمها في الخلايا المحيطة بهذا المستطيل بالضبط. الأمر بسيط: اضرب الطول والعرض. ثم اطرح من المساحة الناتجة الكل ويكون هناك أربعة منهم. بالمناسبة، يتم حسابها على أنها نصف منتج الساقين.

النتيجة النهائية سوف تعطي مساحة هذا المستطيل.

ماذا تفعل إذا كانت الجوانب غير معروفة، ولكن قطرها والزاوية بين الأقطار معطاة؟

قبل ذلك، في هذه الحالة، تحتاج إلى حساب جوانبه من أجل استخدام الصيغة المألوفة بالفعل. عليك أولاً أن تتذكر خاصية أقطارها. إنهما متساويان ومقسمان بنقطة التقاطع. يمكنك أن ترى في الرسم أن الأقطار تقسم المستطيل إلى أربعة مثلث متساوي الساقين، وهما متساويان مع بعضهما البعض.

وتعرف الأضلاع المتساوية لهذه المثلثات بأنها أنصاف القطر، وهو ما يعرف. أي أن كل مثلث له ضلعان وزاوية بينهما، وهي معطاة في المسألة. يمكنك استخدام

سيتم حساب جانب واحد من المستطيل باستخدام الصيغة التي تتضمن جوانب متساويةالمثلث وجيب التمام زاوية معينة. لحساب الثانية، يجب أن تؤخذ قيمة جيب التمام من الزاوية التي تساوي الفرق 180 والزاوية المعروفة.

ماذا تفعل إذا كانت المشكلة تعطي محيطًا؟

عادةً ما تشير الحالة أيضًا إلى نسبة الطول والعرض. إن مسألة كيفية حساب مساحة المستطيل أبسط في هذه الحالة. مثال محدد.

لنفترض أن محيط مستطيل معين في المسألة هو 40 سم، ومن المعروف أيضًا أن طوله يزيد عن عرضه مرة ونصف. تحتاج إلى معرفة مساحتها.

يبدأ حل المشكلة بكتابة صيغة المحيط. من الأنسب كتابته كمجموع الطول والعرض، ويتم ضرب كل منهما في اثنين بشكل منفصل. ستكون هذه هي المعادلة الأولى في النظام التي يجب حلها.

والثاني يتعلق بنسبة العرض إلى الارتفاع المعروفة بالحالة. الضلع الأول، أي الطول، يساوي حاصل ضرب الضلع الثاني (العرض) والرقم 1.5. يجب استبدال هذه المساواة في صيغة المحيط.

اتضح أنه يساوي المبلغاثنين من أحاديات الحد. الأول هو حاصل ضرب 2 وعرضه غير معروف، والثاني هو حاصل ضرب الرقمين 2 و1.5 وبنفس العرض. هناك مجهول واحد فقط في هذه المعادلة: العرض. تحتاج إلى حسابه، ثم استخدام المساواة الثانية لحساب الطول. كل ما تبقى هو ضرب هذين الرقمين لمعرفة مساحة المستطيل.

تعطي الحسابات القيم التالية: العرض - 8 سم، الطول - 12 سم، والمساحة - 96 سم 2. الرقم الأخير- الإجابة على المشكلة التي تم النظر فيها.

قد لا تبدو مساحة المستطيل جريئة، لكنها كذلك مفهوم مهم. في الحياة اليوميةنحن نواجهها باستمرار. تعرف على حجم الحقول والحدائق واحسب كمية الطلاء اللازمة لتبييض السقف ومقدار ورق الحائط المطلوب للصق

المال وأكثر.

الشكل الهندسي

أولا، دعونا نتحدث عن المستطيل. هذا شكل على مستوى له أربع زوايا قائمة وأضلاعه المتقابلة متساوية. عادة ما تسمى جوانبها بالطول والعرض. يتم قياسها بالملليمتر والسنتيمترات والديسيمترات والأمتار وما إلى ذلك. والآن سنجيب على السؤال: "كيف تجد مساحة المستطيل؟" للقيام بذلك، تحتاج إلى مضاعفة الطول بالعرض.

المساحة = الطول * العرض

ولكن هناك تحذير آخر: يجب التعبير عن الطول والعرض بنفس وحدات القياس، أي المتر والمتر، وليس المتر والسنتيمتر. المنطقة مكتوبة بالحرف اللاتيني S. وللتيسير، دعنا نشير إلى الطول بالحرف اللاتيني b، والعرض بالحرف اللاتيني a، كما هو موضح في الشكل. ومن هذا نستنتج أن وحدة المساحة هي مم 2، سم 2، م 2، إلخ.

دعونا نلقي نظرة على مثال محدد لكيفية العثور على مساحة المستطيل. الطول ب=10 وحدات. العرض أ = 6 وحدات. الحل: S=a*b، S=10 وحدات*6 وحدات، S=60 وحدة 2. مهمة. كيف تعرف مساحة المستطيل إذا كان الطول ضعف العرض و 18 م؟ الحل: إذا كانت ب=18 م، فإن أ=ب/2، أ=9 م، كيف تجد مساحة المستطيل إذا كان كلا الجانبين معروفين؟ هذا صحيح، استبدله في الصيغة. S=a*b، S=18*9، S=162 م2. الجواب: 162 م2. مهمة. ما عدد لفات ورق الحائط التي يجب شراؤها لغرفة إذا كانت أبعادها: الطول 5.5 م، العرض 3.5، الارتفاع 3 م؟ أبعاد لفة ورق الحائط: الطول 10 م العرض 50 سم الحل: عمل رسم للغرفة.

مساحات الجانبين المتقابلين متساوية. لنحسب مساحة جدار بأبعاد 5.5 م و 3 م.س الجدار 1 = 5.5 * 3،

الجدار S 1 = 16.5 م2. لذلك تبلغ مساحة الجدار المقابل 16.5 م2. دعونا نجد مساحة الجدارين التاليين. جوانبها على التوالي 3.5 م و 3 م جدار S 2 = 3.5 * 3 جدار S 2 = 10.5 م 2. وهذا يعني أن الجانب الآخر يساوي أيضًا 10.5 مترًا مربعًا. دعونا نجمع كل النتائج. 16.5+16.5+10.5+10.5=54 م2. كيفية حساب مساحة المستطيل إذا تم التعبير عن الجوانب بوحدات قياس مختلفة. في السابق، قمنا بحساب المساحات بالمتر المربع، وفي هذه الحالة سنستخدم الأمتار. بعد ذلك سيكون عرض لفة ورق الحائط مساوياً لـ 0.5 م لفة S = 10 * 0.5 لفة S = 5 م 2. الآن سنكتشف عدد اللفات اللازمة لتغطية الغرفة. 54:5=10.8 (لفات). نظرًا لأنه يتم قياسها بأعداد صحيحة، فأنت بحاجة إلى شراء 11 لفة من ورق الحائط. الجواب: 11 لفة من ورق الحائط. مهمة. كيف تحسب مساحة المستطيل إذا علم أن العرض أقصر من الطول بـ 3 سم، ومجموع أضلاع المستطيل 14 سم؟ الحل: ليكن الطول x سم، فالعرض هو (x-3) سم x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 سم - طول المستطيل 5-3=2 سم - عرض المستطيل ق=5*2، ق=10 سم2 الجواب: 10 سم2.

ملخص

بعد الاطلاع على الأمثلة، أرجو أن تكون قد أصبحت واضحة كيفية إيجاد مساحة المستطيل. اسمحوا لي أن أذكرك أن وحدات قياس الطول والعرض يجب أن تتطابق، وإلا فإنك سوف تحصل على نتيجة غير صحيحة، لتجنب الأخطاء، اقرأ المهمة بعناية. في بعض الأحيان يمكن التعبير عن جانب ما من خلال الجانب الآخر، فلا تخف. يرجى الرجوع إلى المشاكل التي تم حلها لدينا، فمن الممكن جدًا أن يتمكنوا من مساعدتك. لكن مرة واحدة على الأقل في حياتنا نواجه مسألة إيجاد مساحة المستطيل.