Bir polinomun faktorlanması. 1 -ci hissə

Faktorizasiya kompleks tənliklər və bərabərsizlikləri həll etmək üçün çox yönlü bir hiylədir. Sağ tərəfdə sıfır olan tənliklər və bərabərsizlikləri həll edərkən ağla gəlməli olan ilk fikir, sol tərəfi faktorlara bölməkdir.

Əsasları sadalayaq polinomu faktorlaşdırma üsulları:

• ümumi bir amilin mötərizəsi
• qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə
• üçbucaqlı kvadratın faktorizasiya düsturu ilə
• qruplaşdırma üsulu
• bir polinomu bir binomiala bölmək
• müəyyən edilməmiş əmsal metodu

Bu yazıda ilk üç üsul üzərində dayanacağıq, qalanlarını sonrakı məqalələrdə nəzərdən keçirəcəyik.

1. Ortaq faktoru mötərizədən çıxarmaq.

Ümumi faktoru ayırmaq üçün əvvəlcə onu tapmaq lazımdır. Ümumi Faktor bütün əmsalların ən böyük ortaq bölücüsünə bərabərdir.

Məktub hissəsi ortaq faktor, hər bir terminə daxil olan ifadələrin ən kiçik göstəricisinə bərabərdir.

Ümumi amilin əldə edilməsi sxemi belə görünür:

Diqqət!
Mötərizədə olan terminlərin sayı, orijinal ifadədəki terminlərin sayına bərabərdir. Terminlərdən biri ümumi faktorla üst -üstə düşürsə, ortaq amilə bölünəndə birlik əldə edirik.

Misal 1.

Faktor polinomu:

Ümumi faktoru ayırın. Bunu etmək üçün əvvəlcə onu tapacağıq.

1. Polinomun bütün əmsallarının ən böyük ortaq bölücüsünü tapın, yəni. ədədlər 20, 35 və 15. 5 -ə bərabərdir.

2. Dəyişənin bütün şərtlərdə olduğunu və eksponentlərinin ən kiçiyinin 2 olduğunu müəyyən edirik. Dəyişən bütün şərtlərdə, ən kiçik göstəricilərinin isə 3 -dür.

Dəyişən yalnız ikinci müddətdədir, buna görə də ümumi amilə daxil deyil.

Yəni ortaq faktor budur

3. Yuxarıda göstərilən sxemdən istifadə edərək faktoru mötərizədən çıxarırıq:

Misal 2. Tənliyi həll edin:

Həll. Tənliyin sol tərəfini vurun. Mötərizədən faktoru götürək:

Beləliklə, tənliyi əldə etdik

Hər faktoru sıfıra bərabər edək:

Biz əldə edirik - birinci tənliyin kökü.

Köklər:

Cavab: -1, 2, 4

2. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək faktorizasiya.

Faktorizasiya edəcəyimiz polinomdakı terminlərin sayı üçdən az və ya bərabərdirsə, qısaldılmış vurma düsturlarını tətbiq etməyə çalışırıq.

1. Əgər polinom olarsaiki termin fərqi, sonra müraciət etməyə çalışırıq Kvadratlar arasındakı fərq:

və ya kublar fərqi düsturu:

Burada məktublar və bir ədəd və ya cəbr ifadəsini ifadə edir.

2. Əgər polinom iki terminin cəmidirsə, bəlkə də istifadə etməklə faktorizə etmək olar kublar cəm düsturları:

3. Polinom üç şərtdən ibarətdirsə, tətbiq etməyə çalışırıq cəmin kvadratının formulu:

və ya kvadrat fərq formulu:

Yoxsa faktor verməyə çalışırıq Kvadrat trinomial faktorizasiya düsturu:

Burada və kvadrat tənliyin kökləri var

Misal 3.Faktor ifadəsi:

Həll. Qarşımızda iki terminin cəmidir. Küplərin cəmi üçün düsturu tətbiq etməyə çalışaq. Bunu etmək üçün əvvəlcə hər bir termini bir ifadənin bir kubu şəklində təqdim etməlisiniz və sonra kubların cəmi üçün düsturu tətbiq etməlisiniz:

Misal 4. Faktor ifadəsi:

Anons. Qarşımızda iki ifadənin kvadratlarının fərqi var. Birinci ifadə :, ikinci ifadə:

Kvadrat fərqi üçün düsturu tətbiq edək:

Mötərizəni açaq və oxşar şərtlər verək:

Online kalkulyator.
Bir binomial kvadratın seçilməsi və bir kvadrat üçbucağın faktorizasiyası.

Bunlar. problemlər \ (p, q \) və \ (n, m \) ədədlərinin tapılmasına qədər azalır.

Proqram nəinki problemin cavabını verir, həm də həll prosesini göstərir.

Bu proqram orta məktəblərin yuxarı sinif şagirdləri üçün imtahan və imtahanlara hazırlaşmaqda, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlamaqda, valideynlərin riyaziyyat və cəbrdə bir çox problemlərin həllini idarə etməsində faydalı ola bilər. Yoxsa müəllim tutmaq və ya yeni dərsliklər almaq sizin üçün çox baha başa gəlir? Yoxsa riyaziyyat və ya cəbr tapşırıqlarınızı mümkün qədər tez yerinə yetirmək istəyirsiniz? Bu vəziyyətdə, proqramlarımızı ətraflı bir həll ilə də istifadə edə bilərsiniz.

Bu yolla, öz təlimlərinizi apara və / və ya kiçik qardaş və bacılarınıza dərs verə bilərsiniz, halbuki həll olunan problemlər sahəsində təhsil səviyyəsi yüksəlir.

Kvadrat üçbucağa girmək qaydaları ilə tanış deyilsinizsə, onlarla tanış olmağı məsləhət görürük.

Kvadrat polinom daxil etmə qaydaları

İstənilən Latın hərfi dəyişən kimi istifadə edilə bilər.
Məsələn: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) və s.

Nömrələr tam və ya kəsirli ədədlər kimi daxil edilə bilər.
Üstəlik, kəsrli ədədlər yalnız ondalık şəklində deyil, həm də adi bir kəsr şəklində də daxil edilə bilər.

Ondalık kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Ondalık kəsrlərdə bütövdən kəsrli hissə ya nöqtə, ya da vergüllə ayrıla bilər.
Məsələn, ondalıkları belə daxil edə bilərsiniz: 2.5x - 3.5x ^ 2

Adi kəsrlərə daxil olma qaydaları.
Yalnız bir tam ədəd, hissə, məxrəc və bir hissənin bütün hissəsi kimi istifadə edilə bilər.

Məxrəc mənfi ola bilməz.

Rəqəmsal bir kəsir daxil edərkən, pay məxrəcdən bir bölmə işarəsi ilə ayrılır: /
Bütün hissə bir işarədən ayrılır: &
Giriş: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
Nəticə: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) x + \ frac (1) (7) x ^ 2 \)

Bir ifadə daxil edərkən mötərizələrdən istifadə etmək olar... Bu vəziyyətdə həll edərkən əvvəlcə daxil edilən ifadə sadələşdirilir.
Məsələn: 1/2 (x-1) (x + 1)-(5x-10 və 1/2)

Ətraflı həll nümunəsi

Binomial bir kvadratın seçilməsi.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$ $$ 2x ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot \ left ( \ frac (1) (2) \ sağ) \ cdot x + 2 \ cdot \ sol (\ frac (1) (2) \ sağ) ^ 2- \ frac (9) (2) = $$ $$ 2 \ sol (x ^ 2 + 2 \ cdot \ sol (\ frac (1) (2) \ sağ) \ cdot x + \ sol (\ frac (1) (2) \ sağ) ^ 2 \ sağ) - \ frac ( 9) (2) = $$ $$ 2 \ sol (x + \ frac (1) (2) \ sağ) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ Cavab:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ sol (x + \ frac (1) (2) \ sağ) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ Faktorizasiya.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$
$$ 2 \ sol (x ^ 2 + x-2 \ sağ) = $$
$$ 2 \ sol (x ^ 2 +2x-1x-1 \ cdot 2 \ sağ) = $$ $$ 2 \ sol (x \ sol (x +2 \ sağ) -1 \ sol (x +2 \ sağ ) \ sağ) = $$ $$ 2 \ sol (x -1 \ sağ) \ sol (x +2 \ sağ) $$ Cavab:$$ 2x ^ 2 + 2x -4 = 2 \ sol (x -1 \ sağ) \ sol (x +2 \ sağ) $$

Bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlərin yüklənmədiyi və proqramın işləməyə bilər.
Yəqin ki, AdBlock aktivdir.
Bu vəziyyətdə onu deaktiv edin və səhifəni yeniləyin.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, istəyiniz növbədədir.
Bir neçə saniyə sonra həll aşağıda görünəcək.
Gözləyin, zəhmət olmasa saniyə ...

Əgər sən həllində bir səhv gördüm, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
Unutma hansı vəzifənin olduğunu göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.

Oyunlarımız, tapmacalar, emulyatorlar:

Bir az nəzəriyyə.

Kvadrat üçbucaqlı bir kvadrat binomialın çıxarılması

Üçbucaqlı ax 2 + bx + c kvadratı a (x + p) 2 + q şəklində təmsil olunarsa, burada p və q həqiqi ədədlərdir, onda deyirlər kvadrat üçbucaqlı kvadrat ikili.

Üçbucaqlı 2x 2 + 12x + 14 arasından binomialın kvadratını seçin.

\ (2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \)

Bunu etmək üçün 6x -ı 2 * 3 * x məhsulu olaraq təqdim edirik və sonra 3 2 -ni əlavə edib çıxırıq. Əldə edirik:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) = 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) = $$ $$ = 2 ((x + 3) ^ 2-2) = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Bu. Biz kvadrat üçbucaqlıdan kvadrat binomialını ayırdı və bunu göstərin:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Kvadrat üçbucaqlı faktorlaşdırma

Üçbucaqlı ax 2 + bx + c, a və (x + n) (x + m) şəklində təmsil olunursa, n və m həqiqi ədədlərdirsə, əməliyyatın yerinə yetirildiyi deyilir. Kvadrat trinomial faktorizasiya.

Bu çevrilmənin necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

Kvadrat üçbucaqlı 2x 2 + 4x-6 faktoru.

Mötərizədən a əmsalını çıxaraq, yəni. 2:
\ (2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x ^ 2 + 2x-3) \)

Mötərizədə olan ifadəni dəyişdirək.
Bunu etmək üçün 2x -i 3x -1x, -3 -ü -1 * 3 olaraq təqdim edirik. Əldə edirik:
$$ = 2 (x ^ 2 + 3 \ cdot x -1 \ cdot x -1 \ cdot 3) = 2 (x (x + 3) -1 \ cdot (x + 3)) = $$
$$ = 2 (x-1) (x + 3) $$

Bu. Biz kvadrat üçbucağı faktorize etdi və bunu göstərin:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x-1) (x + 3) $$

Diqqət yetirin ki, kvadrat üçbucağın faktorizasiyası yalnız bu üçbucağa uyğun olan kvadrat tənliyin kökləri olduqda mümkündür.
Bunlar. bizim vəziyyətimizdə, 2x 2 + 4x-6 = 0 kvadratik tənliyin kökləri varsa, 2x 2 + 4x-6 trinomial faktorinqi mümkündür. Faktorinq prosesində 2x 2 + 4x -6 = 0 tənliyinin iki kökünün 1 və -3 olduğunu gördük, çünki bu dəyərlər üçün 2 (x-1) (x + 3) = 0 tənliyi əsl bərabərliyə çevrilir.

Polinomların faktorizasiyası bir şəxsiyyət çevrilməsidir, bunun nəticəsində bir polinom bir neçə faktorun məhsuluna çevrilir - polinomlar və ya monomiallar.

Polinomları faktorlaşdırmağın bir neçə yolu var.

Metod 1. Ortaq faktoru mötərizədən çıxarmaq.

Bu çevrilmə paylanma vurma qanununa əsaslanır: ac + bc = c (a + b). Transformasiyanın mahiyyəti, nəzərdən keçirilən iki komponentdəki ortaq faktoru seçmək və mötərizədən "çıxarmaq" dır.

Polinomun 28x 3 - 35x4 faktoru.

Həll.

1. 28x 3 və 35x 4 elementlərinin ortaq bölücüsünü tapın. 28 və 35 üçün bu 7 olacaq; x 3 və x 4 - x 3 üçün. Başqa sözlə, ortaq faktorumuz 7x3 -dir.

2. Elementlərin hər biri faktorların məhsulu kimi təmsil olunur, onlardan biri
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Ümumi faktoru ayırın
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).

Metod 2. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə. Bu metodu mənimsəməyin "bacarığı" ifadədə qısaldılmış vurma üçün düsturlardan birini görməkdir.

Polinomu x 6-1 nisbətində əmsal edin.

Həll.

1. Bu ifadəyə kvadratların fərqi üçün düsturu tətbiq edə bilərik. Bunu etmək üçün x 6 -nı (x 3) 2, 1 -i isə 1 2 olaraq təmsil edirik, yəni. 1. İfadə aşağıdakı formada olacaq:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Yaranan ifadəyə kubların cəmi və fərqi üçün düsturu tətbiq edə bilərik:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Belə ki,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metod 3. Qruplaşdırma. Qruplaşdırma metodu, bir polinomun komponentlərini, hərəkətləri yerinə yetirmək asan olacaq şəkildə birləşdirməkdən ibarətdir (toplama, toplama, ortaq bir faktorun çıxarılması).

Polinomu x 3 - 3x 2 + 5x - 15 faktoru.

Həll.

1. Komponentləri bu şəkildə qruplaşdıraq: 1 -ci ilə 2 -ci, 3 -ü isə 4 -cü ilə
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Yaranan ifadədə mötərizənin xaricində ümumi faktorları qoyun: birinci halda x 2, ikinci halda 5.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Ümumi amil x - 3 -ü ayırın və əldə edin:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).

Belə ki,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Materialı düzəldək.

Polinomu a 2 - 7ab + 12b 2 faktoru.

Həll.

1. 7ab monomialını 3ab + 4ab cəmi olaraq təmsil edək. İfadə aşağıdakı formada olacaq:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2.

Mötərizəni açaq və əldə edək:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.

2. Polinomun komponentlərini aşağıdakı kimi qruplaşdıraq: 1 -ci ilə 2 -ci və 3 -cü ilə 4 -cü. Əldə edirik:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Ümumi amilləri mötərizədən götürək:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Ümumi faktoru ayırın (a - 3b):
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

Belə ki,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

blog saytının materialının tam və ya qismən kopyalanması ilə mənbəyə bir keçid lazımdır.

Cəbrdə "polinom" və "bir polinomun faktorlara bölünməsi" anlayışları çox yayılmışdır, çünki böyük çoxrəqəmli ədədlərlə hesablamaları asanlıqla yerinə yetirmək üçün bunları bilmək lazımdır. Bu yazıda parçalanmanın bir neçə yolu təsvir ediləcək. Hamısının istifadəsi olduqca sadədir, hər bir xüsusi vəziyyətdə doğru birini seçməlisiniz.

Polinom anlayışı

Bir polinom, monomialların cəmidir, yəni yalnız vurma əməliyyatını ehtiva edən ifadələrdir.

Məsələn, 2 * x * y monomialdır, ancaq 2 * x * y + 25 2 monomialdan ibarət olan bir polinomdur: 2 * x * y və 25. Belə polinomlara binomiallar deyilir.

Bəzən, çox dəyərli nümunələri həll etməyin rahatlığı üçün ifadə, məsələn, çarpma hərəkətinin yerinə yetirildiyi bir sıra amillərə, yəni ədədlərə və ya ifadələrə çevrilməlidir. Bir polinomu faktorlaşdırmağın bir çox yolu var. Onları ibtidai siniflərdə də istifadə olunan ən primitivdən başlayaraq nəzərdən keçirməyə dəyər.

Qruplaşdırma (ümumi qeyd)

Ümumilikdə qruplaşdıraraq bir polinomu faktorlara bölmək formulu belə görünür:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Monomialları qruplaşdırmaq lazımdır ki, hər qrupda ortaq bir amil görünsün. Birinci mötərizədə c faktoru, ikincisində isə d. Daha sonra parantezin xaricinə yerləşdirmək və bununla da hesablamaları asanlaşdırmaq üçün edilməlidir.

Xüsusi bir nümunə üçün parçalanma alqoritmi

Bir polinomu faktorlara qruplaşdıraraq faktorlaşdırmanın ən sadə nümunəsi aşağıda göstərilmişdir:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Birinci mötərizədə ümumi olacaq a faktoru, ikincisində isə b faktoru ilə şərtləri götürməlisiniz. Bitmiş ifadədə + və - işarələrinə diqqət yetirin. Monomialın qarşısına ilkin ifadədə olan işarəni qoyduq. Yəni 25a ifadəsi ilə deyil, -25 ifadəsi ilə işləməlisən. Minus işarəsi arxasındakı ifadəyə "yapışmaq" kimidir və hesablamalarda həmişə nəzərə alınmalıdır.

Növbəti addımda, mötərizədən kənarda ümumi olan faktoru çıxarmalısınız. Qruplaşdırma bunun üçündür. Mötərizədən çıxarmaq, mötərizədə olan bütün terminlərdə dəqiqliklə təkrarlanan bütün faktorları parantezin önünə (vurma işarəsini buraxmaqla) yazmaq deməkdir. Mötərizədə 2 yox, 3 və ya daha çox termin varsa, ortaq faktor hər birində olmalıdır, əks halda parantezdən çıxarıla bilməz.

Bizim vəziyyətimizdə - mötərizədə yalnız 2 termin. Ümumi amil dərhal görünür. Birinci parantez a, ikincisi b. Burada rəqəmsal əmsallara diqqət yetirməlisiniz. Birinci mötərizədə hər iki əmsal (10 və 25) 5 -in qatlarına bərabərdir. Bu o deməkdir ki, mötərizədən yalnız a deyil, 5a da çıxarıla bilər. Parantezdən əvvəl 5a yazın və sonra mötərizədə olan hər bir terminini çıxarılan ümumi faktora bölün və işarələri unutmadan mötərizədə olan hissəni yazın + və - İkinci parantezlə eyni şeyi edin, çıxarın 7b, həmçinin 7 -nin 14 və 35 çoxluğu.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

2 şərt ortaya çıxdı: 5a (2c - 5) və 7b (2c - 5). Onların hər biri ortaq bir amil ehtiva edir (mötərizədə olan bütün ifadə burada eynidir, yəni ümumi bir faktordur): 2c - 5. Mötərizədən, yəni 5a və 7b terminlərindən də çıxarılmalıdır. ikinci mötərizədə qalın:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Beləliklə, tam ifadə:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Beləliklə, 10ac + 14bc - 25a - 35b polinomu 2 faktora bölünür: (2c - 5) və (5a + 7b). Yazılarkən aralarındakı vurma işarəsi buraxıla bilər

Bəzən bu tip ifadələr var: 5a 2 + 50a 3, burada mötərizədən yalnız a və ya 5a deyil, hətta 5a 2 də çıxara bilərsiniz. Həmişə mümkün olan ən böyük ortaq amili nəzərə almağa çalışmalısınız. Bizim vəziyyətimizdə, hər bir termini ümumi bir faktora bölsək, əldə edirik:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(bərabər əsaslarla bir neçə dərəcə hissəsini hesablayarkən, əsas saxlanılır və üstü çıxılır). Beləliklə, vahid mötərizədə qalır (heç bir halda, mötərizədəki terminlərdən birini çıxararsanız, vahidi yazmağı unutmayın) və bölmə hissəsi: 10а. Belə çıxır:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadrat düsturlar

Hesablamaların rahatlığı üçün bir neçə düstur əldə edilmişdir. Qısaldılmış vurma düsturları adlanır və olduqca tez -tez istifadə olunur. Bu düsturlar dərəcə ehtiva edən polinomlara kömək edir. Bu başqa bir güclü faktorizasiya texnikasıdır. Beləliklə, burada:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -"cəmin kvadratı" adlanan düstur, çünki bir kvadrat halında genişlənmə nəticəsində mötərizədə olan ədədlərin cəmi alınır, yəni bu cəmin dəyəri özü ilə 2 dəfə vurulur, bunun çarpan olması deməkdir.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - fərqin kvadratının düsturu, əvvəlkisinə bənzəyir. Nəticə, kvadrat gücündə olan mötərizədə olan fərqdir.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- bu, kvadratların fərqi üçün düsturdur, çünki əvvəlcə polinom 2 ədəddən və ya ifadədən ibarətdir, aralarında çıxarma aparılır. Bəlkə də adları çəkilən üç nəfərdən ən çox istifadə olunur.

Kvadrat düsturların hesablanması üçün nümunələr

Onlar üçün hesablamalar olduqca sadədir. Misal üçün:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - "cəmin kvadratı" düsturundan istifadə edirik.
2. 25x2 5x -in kvadratıdır. 20xy, 2 * (5x * 2y) ikiqat məhsuludur və 4y 2, 2y'nin kvadratıdır.
3. Beləliklə 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y). Bu polinom 2 faktora bölünür (faktorlar eynidir, buna görə də kvadrat gücə malik bir ifadə olaraq yazılır).

Fərq kvadratının düsturuna uyğun hərəkətlər eyni şəkildə həyata keçirilir. Formul kvadratların fərqi olaraq qalır. Bu düstura aid nümunələri müəyyən etmək və digər ifadələr arasında tapmaq çox asandır. Misal üçün:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 = (5a) 2 və 400 = 20 2 olduğu üçün
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2 və 25y 2 = (5y 2) olduğundan
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). 169b -dən bəri 2 = (13b) 2

Terminlərin hər birinin hansısa ifadənin kvadratı olması vacibdir. Sonra bu polinom kvadratlar fərqinin düsturu ilə faktorizasiyaya məruz qalır. Bunun üçün ikinci dərəcənin sayının üstündə olması lazım deyil. Böyük dərəcələri olan, lakin yenə də bu düsturlara uyğun olan polinomlar var.

a 8 + 10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Bu nümunədə 8, (a 4) 2, yəni hansısa ifadənin kvadratı kimi təmsil oluna bilər. 25 5 2 və 10a 4 -dir - bu 2 * a 4 * 5 şərtlərinin ikiqat məhsuludur. Yəni bu ifadə, böyük göstəriciləri olan dərəcələrin olmasına baxmayaraq, sonradan onlarla işləmək üçün 2 faktora bölünə bilər.

Küp formulları

Eyni formullar, kubları ehtiva edən polinomları faktoring etmək üçün mövcuddur. Kvadratlardan bir az daha mürəkkəbdir:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- bu düstura kubların cəmi deyilir, çünki ilkin formada bir polinom bir kubun içərisində olan iki ifadənin və ya ədədin cəmidir.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -əvvəlki ilə eyni olan düstur, kublar fərqi olaraq təyin olunur.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - cəmin kubu, hesablamalar nəticəsində, mötərizəyə alınmış və özü ilə 3 dəfə vurulan, yəni bir kubda yerləşən ədədlərin və ya ifadələrin cəmi alınır.
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - Riyazi əməliyyatların yalnız bəzi işarələrini (artı və eksi) dəyişdirməklə əvvəlki ilə bənzətməklə tərtib edilən düstura "fərq kubu" deyilir.

Son iki düstur bir polinomu faktorlara ayırmaq məqsədi ilə praktiki olaraq istifadə edilmir, çünki bunlar kompleksdir və belə bir quruluşa tamamilə uyğun gələn polinomlar olduqca nadirdir, beləliklə bu düsturlar tərəfindən parçalana bilər. Ancaq yenə də bunları bilməlisiniz, çünki işlər əks istiqamətdə - mötərizəni genişləndirərkən lazım olacaq.

Küp formullarına nümunələr

Bir nümunəyə baxaq: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) = (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Burada olduqca sadə ədədlər götürdük, buna görə dərhal görə bilərsiniz ki, 64a 3 (4a) 3, 8b 3 isə (2b) 3 -dir. Beləliklə, bu polinom, kubların fərqini 2 faktorla düsturla parçalayır. Kubların cəminin düsturuna uyğun hərəkətlər bənzətmə ilə yerinə yetirilir.

Bütün polinomların ən azı bir şəkildə parçalana bilməyəcəyini anlamaq vacibdir. Ancaq bir kvadrat və ya kubdan daha çox gücə malik ifadələr var, lakin onlar da qısaldılmış vurma formalarına ayrılır. Məsələn: x 12 + 125y 3 = (x 4) 3 + (5y) 3 = (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) = (x 4 + 5y) ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

Bu nümunə 12 dərəcəyə qədərdir. Ancaq hətta kubların cəminin düsturundan istifadə edərək faktorizə edilə bilər. Bunu etmək üçün x 12 -ni (x 4) 3, yəni hansısa ifadənin bir kubu kimi təmsil etməlisiniz. İndi a əvəzinə onu düsturla əvəz etməlisiniz. Yaxşı, 125y 3 ifadəsi 5y kubudur. Sonra, bir məhsulu düstura uyğun tərtib etməli və hesablamalar aparmalısınız.

Əvvəlcə və ya şübhə halında, həmişə geri vurma ilə yoxlaya bilərsiniz. Yaranan ifadədə mötərizələri genişləndirmək və bu cür şərtlərlə hərəkətlər etmək lazımdır. Bu üsul yuxarıda göstərilən bütün azalma üsullarına aiddir: həm ortaq bir faktorla, həm də qruplaşdırma ilə işləmək, həm də kublar və kvadrat dərəcələr düsturları üzərində hərəkət etmək.

Bu dərsdə, bir polinomu faktorlara bölmək üçün əvvəllər öyrənilən bütün metodları xatırlayacağıq və onların tətbiq nümunələrini nəzərdən keçirəcəyik, əlavə olaraq yeni bir metodu - tam bir kvadrat çıxarmaq üsulunu öyrənəcəyik və onu həll etməyə necə tətbiq edəcəyimizi öyrənəcəyik. müxtəlif problemlər.

Mövzu:Faktorinq polinomları

Dərs:Faktorinq polinomları. Tam kvadrat seçimi üsulu. Metodların birləşməsi

Bir polinomu əvvəllər öyrənilən faktorlara bölmək üçün əsas üsulları xatırlayaq:

Ümumi faktoru mötərizədən kənarda yerləşdirmə üsulu, yəni polinomun bütün şərtlərində mövcud olan belə bir faktor. Bir nümunəyə baxaq:

Xatırladaq ki, monomial dərəcə və ədədlərin məhsuludur. Bizim nümunəmizdə hər iki üzvün bəzi ümumi, eyni elementləri vardır.

Beləliklə, parantezdən ümumi faktoru götürək:

;

Xatırladaq ki, götürülmüş faktoru mötərizəyə vurmaqla təqdimatın düzgünlüyünü yoxlaya bilərsiniz.

Qruplaşdırma metodu. Bir polinomda ümumi bir faktoru çıxarmaq həmişə mümkün olmur. Bu vəziyyətdə, üzvlərini qruplara bölmək lazımdır ki, hər qrupda ortaq bir amil çıxarsın və qruplardakı amillər çıxarıldıqdan sonra bütün üçün ortaq bir amil görünsün. ifadə və genişləndirməyə davam edilə bilər. Bir nümunəyə baxaq:

Birinci dövrü sırasıyla dördüncü, ikincini beşinci, üçüncüsünü də altıncı ilə qruplaşdıraq:

Qruplarda ümumi faktorları götürək:

İfadənin ortaq bir amili var. Çıxaraq:

Qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi. Bir nümunəyə baxaq:

;

İfadəni ətraflı yazaq:

Aydındır ki, qarşımızda fərqin kvadratının düsturu var, çünki iki ifadənin kvadratlarının cəmi var və onların ikiqat məhsulu ondan çıxılır. Formula görə çökək:

Bu gün başqa bir üsul - tam kvadrat seçmək üsulunu öyrənəcəyik. Cəmin və fərqin kvadratının düsturlarına əsaslanır. Onları xatırlayaq:

Cəmin kvadratının düsturu (fərq);

Bu düsturların özəlliyi ondadır ki, onlar iki ifadənin kvadratlarını və ikiqat məhsulunu ehtiva edir. Bir nümunəyə baxaq:

Bu ifadəni yazaq:

Beləliklə, birinci ifadə budur, ikincisi.

Cəmi və ya fərqin kvadratının düsturunu tərtib etmək üçün ifadələrin ikiqat məhsulu kifayət deyil. Əlavə etmək və çıxarmaq lazımdır:

Cəmin tam kvadratını yıxaq:

Yaranan ifadəni dəyişdirək:

Kvadrat fərqi üçün düsturu tətbiq edirik, iki ifadənin kvadratları arasındakı fərqin məhsulu və fərqinə görə cəm olduğunu xatırlayırıq:

Deməli, bu üsul, hər şeydən əvvəl, meydanda olan a və b ifadələrini müəyyən etmək, yəni bu nümunədə hansı ifadələrin kvadratlarının olduğunu müəyyən etməkdən ibarətdir. Bundan sonra, ikiqat bir məhsulun varlığını yoxlamalısınız və əgər yoxdursa, əlavə edin və çıxartın, nümunənin mənası bundan dəyişməyəcək, ancaq çoxbucaqlı kvadratın düsturlarından istifadə edərək faktorizə edilə bilər. belə bir ehtimal varsa cəm və ya kvadratların fərqi və fərqi.

Nümunələrin həllinə keçək.

Misal 1 - faktorize edin:

Kvadrat olan ifadələr tapaq:

İkiqat məhsulunun nə olacağını yazaq:

Məhsulu iki dəfə əlavə edin və çıxarın:

Cəmin tam kvadratını yıxıb oxşarlarını verək:

Kvadrat fərqinin düsturunu yazaq:

Misal 2 - Tənliyi həll edin:

;

Tənliyin sol tərəfində bir üçlü var. Bunu faktorla həll etməliyik. Fərq kvadratının düsturundan istifadə edirik:

Birinci ifadənin və ikiqat məhsulun kvadratına sahibik, ikinci ifadənin kvadratı yoxdur, əlavə edin və çıxarın:

Tam bir kvadrat qatlayaq və oxşar şərtlər verək:

Kvadrat fərqi üçün düsturu tətbiq edək:

Beləliklə, tənliyə sahibik

Məhsulun sıfır olduğunu bilirik, yalnız faktorlardan ən azı biri sıfır olarsa. Bu əsasda tənliklər tərtib edirik:

Birinci tənliyi həll edək:

İkinci tənliyi həll edək:

Cavab: və ya

;

Əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə davam edirik - fərqin kvadratını seçin.