Kosmos təsadüfdür? Fərdi hadisələr olmasa da təsadüfi hadisələr toplusu proqnozlaşdırıla bilər.

Onlayn zar generatorunun adi zar üzərində üstünlüyü göz qabağındadır - heç vaxt itirilməyəcək! Virtual bir kub öz funksiyalarının öhdəsindən realdan daha yaxşı çıxacaq - nəticələrin manipulyasiyası tamamilə istisna olunur və yalnız Əlahəzrətin şansına ümid etmək olar. Onlayn zar, başqa şeylər arasında, boş vaxtınızda əla əyləncədir. Nəticənin yaradılması üç saniyə çəkir, oyunçuların həyəcanını və marağını artırır. Zar rulonlarını simulyasiya etmək üçün klaviaturadakı "1" düyməsini basmaq lazımdır, bu da, məsələn, həyəcan verici bir masa oyunundan yayındırılmamağa imkan verir.

Kublar:

Xahiş edirəm bir kliklə xidmətə kömək edin: Dostlarınıza generator haqqında danışın!

"Zar" kimi bir cümlə eşitdiyimiz zaman dərhal kazinolar birliyi gəlir, burada onlar olmadan edə bilməzlər. Başlamaq üçün bu maddənin nə olduğunu bir az xatırlamaq kifayətdir.

Zar hər üzündə 1-dən 6-ya qədər olan rəqəmlərin nöqtələrlə təmsil olunduğu kublardır, atdığımız zaman həmişə planlaşdırdığımız və istədiyimiz sayın düşəcəyinə ümid edirik. Ancaq bir kənara düşən bir kubun bir rəqəm göstərmədiyi vaxtlar var. Bu o deməkdir ki, atan hər kəsi seçə bilər.

Küpün yatağın və ya qarderobun altına yuvarlana biləcəyi və oradan çıxarıldıqda sayının buna görə dəyişdiyi də olur. Bu vəziyyətdə sümük yenidən atılır ki, hamı sayını aydın şəkildə görə bilsin.

Onlayn zar 1 klikdə yuvarlanır

Adi zarlarla oyunda, hiylə etmək çox asandır. İstədiyiniz rəqəmi almaq üçün küpün bu tərəfini üstünə qoymalı və əvvəlki kimi qalması üçün bükməlisiniz (yalnız yan hissə dönər). Bu tam bir zəmanət deyil, ancaq qazanma faizi yüzdə yetmiş beşdir.

İki zar istifadə edirsinizsə, onda şans otuza enir, ancaq bu kiçik bir faiz deyil. Dələduzluq üzündən bir çox oyunçu kampaniyası zar istifadə etməyi sevmir.

Bu cür vəziyyətlərdən qaçmaq üçün ecazkar xidmətimiz dəqiq işləyir. Onlayn zar rulonunu saxtalaşdırmaq mümkün olmadığından bizimlə fırıldaq etmək mümkün olmayacaq. Səhifədə 1-dən 6-dək bir rəqəm tamamilə təsadüfi və idarəolunmaz bir şəkildə görünəcəkdir.

Rahat zar generatoru

Çox böyük bir üstünlük, onlayn zar generatorunun itirə bilməməsidir (xüsusən də işarələnə biləcəyi üçün) və adi kiçik bir zar asanlıqla bir yerdə itə bilər. Həm də nəticələrin manipulyasiyasının tamamilə istisna edilməsi böyük bir artı olacaqdır. Jeneratör eyni anda yuvarlanmaq üçün birdən üçə qədər zar seçmək imkanı verən bir funksiyaya malikdir.

Onlayn zar generatoru intuisiyanı inkişaf etdirmə yollarından biri olan çox maraqlı bir əyləncədir. Xidmətimizdən istifadə edin və ani və etibarlı nəticələr əldə edin.

Ən çox yayılmış forma, hər tərəfində birdən altıya qədər rəqəmlər təsvir olunan bir kub şəklindədir. Oyunçu düz bir səthə ataraq nəticəni yuxarı kənarda görür. Sümüklər şans, uğur və ya uğursuzluq üçün əsl ağızdır.

Qəza.
Kublar (sümüklər) çoxdan mövcuddur, lakin eramızdan əvvəl 2600-cü illərdə altı tərəfi ilə ənənəvi görünüş əldə etmişlər. e. Qədim yunanlar zarla oynamağı çox sevirdilər və əfsanələrində Odysseus tərəfindən haqsız yerə xəyanətdə günahlandırılan qəhrəman Palamedə onların ixtiraçısı deyilir. Rəvayətə görə, bu oyunu nəhəng bir taxta atı tərəfindən əsir götürülən Troya mühasirəyə alan əsgərləri əyləndirmək üçün icad etdi. Julius Sezar dövründə Romalılar da müxtəlif zar oyunları ilə özlərini əyləndirdilər. Latın dilində küpə "verilmiş" mənasını verən datum deyildi.

Qadağalar.
Orta əsrlərdə, təxminən 12-ci əsrdə, zar oyunu Avropada çox populyar oldu: hər yerdə özünüzlə götürə biləcəyiniz kublar həm döyüşçülər, həm də kəndlilər arasında populyardır. Altı yüzdən çox fərqli oyun olduğu deyilir! Zar istehsalı ayrı bir peşəyə çevrilir. Kral IX Louis (1214-1270), səlib yürüşündən qayıdaraq qumar oynamağı qəbul etmədi və zar istehsalının krallıq boyunca qadağan edilməsini əmr etdi. Oyunun özündən çox, səlahiyyətlilər bununla əlaqəli qiyamlardan narazı qaldılar - daha sonra meyxanalarda oynadılar və əyləncələr tez-tez dava və bıçaqlanma ilə nəticələndi. Ancaq heç bir qadağan zarın vaxtından sağ çıxmasına və bu günə qədər yaşamasına mane ola bilmədi.

Bir "şarj" ilə sümüklər!
Kalıp rulonunun nəticəsi həmişə təsadüfi olur, lakin bəzi fırıldaqçılar bunu dəyişdirməyə çalışırlar. Kub içərisində bir delik açaraq içərisinə qurğuşun və ya civə tökərək, hər atdığınız zaman eyni nəticəni əldə edə bilərsiniz. Belə bir küpə "yüklü" deyilir. Qızıl, daş, büllur, sümük, fərqli materiallardan hazırlanan zar müxtəlif formalarda ola bilər. Piramida (tetraedr) formasında kiçik zarlar, böyük piramidalar tikən Misir fironlarının məzarlarında tapıldı! Müxtəlif dövrlərdə sümüklər 8, 10, 12, 20 və hətta 100 tərəfdən hazırlanırdı. Ümumiyyətlə onlara rəqəmlər tətbiq edilir, lakin yerlərində hərflər və ya şəkillər də görünə bilər və bu, xəyal üçün yer verir.

Zar necə gəzdirilir.
Zar yalnız fərqli formalarda deyil, eyni zamanda fərqli oyun tərzlərinə sahibdir. Bəzi oyunlar, adətən hesablanmış bir rulonun qarşısını almaq və ya qalıbın meylli bir vəziyyətdə dayanmasını qarşısını almaq üçün rulonun müəyyən bir şəkildə hazırlanmasını tələb edir. Bəzən aldadılmamaq və oyun masasından düşməmək üçün onlara xüsusi bir stəkan vurulur. İngilis krep oyununda, hər üç zar zərərçəkənlərin sadəcə zarları hərəkət etdirərək fırlatmamaqla atışı saxtalaşdırmalarının qarşısını almaq üçün mütləq oyun masasına və ya divara dəyməlidir.

Təsadüfi və ehtimal.
Ölüm həmişə proqnozlaşdırıla bilməyən təsadüfi bir nəticə verir. Bir ölümlə, oyunçu 1-i 6-ya çevirmək şansına sahibdir - hər şey təsadüfən təyin olunur. Əksinə, iki zar ilə təsadüfilik səviyyəsi azalır, çünki oyunçu nəticə haqqında daha çox məlumata malikdir: məsələn, iki zar ilə 7 rəqəmi bir neçə yolla əldə edilə bilər - 1 və 6, 5 və 2 və ya 4 və 3 ... Ancaq 2 rəqəmini əldə etmək imkanı yalnız birdir: iki dəfə yuvarlanmaq 1. Beləliklə, 7 almaq ehtimalı 2 almaqdan daha yüksəkdir! Buna ehtimal nəzəriyyəsi deyilir. Bir çox oyun bu prinsiplə əlaqələndirilir, xüsusilə pul oyunları.

Zar istifadəsi haqqında.
Zar digər elementlər olmadan müstəqil bir oyun ola bilər. Praktiki olaraq mövcud olmayan tək şey bir zar üçün oyunlardır. Qaydalar ən azı iki tələb edir (məsələn, krep). Zar pokerini oynamaq üçün beş zar, qələm və kağız lazımdır. Məqsəd eyni adlı kart oyununun kombinasiyalarına bənzər birləşmələri onlar üçün xalları xüsusi bir cədvələ yazaraq doldurmaqdır. Bundan əlavə, kub, taxta oyunları üçün çox populyar bir hissədir, fişləri hərəkətə gətirməyə və ya oyun döyüşlərinin nəticəsinə qərar verməyə imkan verir.

Die cast.
Eramızdan əvvəl 49-cu ildə. e. gənc Julius Sezar Galili fəth etdi və Pompeyə qayıtdı. Ancaq onun gücü senatorlar arasında narahatlıqları artırdı və qayıtmazdan əvvəl ordusunu dağıtmağa qərar verdi. Gələcək imperator, respublikanın sərhədlərinə çatdıqda, ordu ilə keçərək əmri pozmağa qərar verir. Rubikondan (sərhəd olan çay) keçmədən əvvəl legionerlərindən əvvəl “Alea jacta est” (“püşk atılır”) səsləndirdi. Bu diktator bir cazibədar ifadəyə çevrildi, mənası oyundakı kimi, bəzi qərarlar verildikdən sonra geri çəkilməyin mümkün olmamasıdır.

Dizayner Tyler Sigman tərəfindən, Gamasutra'da yazılmışdır. Mən bunu "orkun burun deliklərindəki saçlar" məqaləsi adlandırıram, amma oyunlarda ehtimalların əsaslarını ortaya qoymaq üçün olduqca yaxşı bir işdir.

Bu həftənin mövzusu

Bu günə qədər danışdığımız hər şey demək olar ki, determinizm xarakteri daşıyırdı və keçən həftə keçid mexanikasına yaxından baxdıq və izah edə biləcəyim qədər təfərrüatlı şəkildə sıraladıq. Ancaq bu günə qədər bir çox oyunun böyük bir tərəfinə, yəni qeyri-deterministik cəhətlərinə, başqa sözlə təsadüfi bir şeyə əhəmiyyət vermədik. Təsadüfiliyin təbiətini anlamaq oyun dizaynerləri üçün çox vacibdir, çünki müəyyən bir oyunda oyunçu təcrübəsinə təsir edən sistemlər yaratırıq, buna görə də bu sistemlərin necə işlədiyini bilməliyik. Sistemdə təsadüfi bir şey varsa, başa düşməlisiniz təbiətbu təsadüfi və ehtiyac duyduğumuz nəticələri əldə etmək üçün onu necə dəyişdirəcəyik.

Zar

Sadə bir şeylə başlayaq: zarları yuvarlamaq. Əksər insanlar zar düşündükdə d6 olaraq bilinən altı tərəfli bir ölümü düşünürlər. Ancaq oyunçuların əksəriyyəti bir çox başqa zar gördülər: tetrahedral (d4), oktahedral (d8), oniki (d12), iyirmi (d20) ... və əgər indikigeek, bir yerdə 30 tərəfli və ya 100 tərəfli sümüklər ola bilər. Əgər bu terminologiyanı bilmirsinizsə, “d” ölümü ifadə edir və ondan sonrakı rəqəm, neçə üzü var. Əgər ön“D” rəqəmin mənasını verir, o zaman deməkdir kəmiyyət atıldığı zaman zar. Məsələn, inhisarda 2d6 yuvarladırsınız.

Beləliklə, bu vəziyyətdə "zar" ifadəsi şərti bir tərifdir. Plastik bir parça şəklində olmayan, lakin 1-dən n-ə qədər təsadüfi bir ədəd yaratmaqla eyni funksiyanı yerinə yetirən bir çox başqa təsadüfi say generatorları var. Adi bir sikkə də d2 dihedral kimi düşünmək olar. Yeddi tərəfli bir zarın iki dizaynını gördüm: biri zara, digəri daha çox yeddi tərəfli taxta qələmə bənzəyirdi. Tetraedral dreidel (titotum kimi də bilinir) tetraedral sümüyə bənzəyir. Nəticənin 1-dən 6-a qədər ola biləcəyi “Chutes & Ladders” oyununda dönən ox ilə oyun sahəsi altıbucaqlı zara uyğundur. Bir kompüterdəki təsadüfi say generatoru, dizayner belə bir əmr istəsə, 1-dən 19-a qədər hər hansı bir rəqəm yarada bilər, baxmayaraq ki, kompüterdə 19 tərəfli zar yoxdur (ümumiyyətlə, rəqəmlərin alınması ehtimalı barədə daha ətraflı danışacağam bir kompüterdə növbətihəftə). Bu maddələrin hamısı fərqli görünsə də, əslində eynidir: bir neçə nəticədən birini əldə etmək şansınız bərabərdir.

Zarın bilməli olduğumuz bəzi maraqlı xüsusiyyətləri var. Birincisi, hər hansı bir üzün düşmə ehtimalı eynidır (düzensiz həndəsi şəkli deyil, düzgün ölümü yuvarladığınızı düşünürəm). Beləliklə, bilmək istəyirsinizsə demək atın (ehtimal mövzusunu "riyazi gözlənilən" kimi sevənlər arasında da bilinir), bütün kənarların dəyərlərini cəmləyin və bu cəmi bölün kəmiyyətüzlər. Standart altıbucaqlı zar üçün orta rulon 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21-dir, kənarların sayına (6) bölün, ortalama 21/6 \u003d 3,5 olsun. Bu, xüsusi bir vəziyyətdir, çünki bütün nəticələrin eyni dərəcədə mümkün olduğunu düşünürük.

Xüsusi zarlarınız varsa? Məsələn, kənarlarında xüsusi stikerlər olan altıbucaqlı bir zar ilə bir oyun gördüm: 1, 1, 1, 2, 2, 3, buna görə 1-i 2-dən çox almaq şansı olan qəribə bir üçbucaq zar kimi davranır, və 3-dən 2-si. Bu qəlib üçün orta rulon dəyəri nə qədərdir? Beləliklə, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10, 6-ya bölün, 5/3 -ə bərabərdir və ya təxminən 1,66. Beləliklə, belə bir xüsusi ölümə sahib olsanız və oyunçular üç zar atsalar və nəticələrini əlavə etsələr, onların ümumi cəminin təxminən 5 olacağını bilirsiniz və bu fərziyyəyə əsaslanaraq oyunu tarazlaya bilərsiniz.

Zar və müstəqillik

Dediyim kimi, hər bir üzün eyni dərəcədə düşmə ehtimalı olduğuna inanırıq. Neçə zar atdığın vacib deyil. Zarların hər rulosu nə olursa olsun, bu, əvvəlki atışların sonrakıların nəticələrini təsir etməməsi deməkdir. Kifayət qədər sınaqlarla, etməlisiniz xəbərdarlıq Əsasən daha böyük və ya daha kiçik dəyərlərdən düşmək və ya digər xüsusiyyətlər kimi bir "seriya" rəqəmi və bu barədə daha sonra danışacağıq, ancaq bu, zarın "isti" və ya "soyuq" olması demək deyil. Standart altı tərəfli bir kalıbı yuvarlasanız və 6 rəqəmi ardıcıl olaraq iki dəfə ortaya çıxsa, növbəti rulonun 6 ilə nəticələnməsi ehtimalı da 1/6 -dır. Ehtimal kubun “istilənməsi” ilə artmır. Ehtimal azalmır, çünki 6 rəqəmi ardıcıl iki dəfə düşdü, yəni indi başqa bir üz düşəcək deməkdir. (Əlbəttə ki, zarları iyirmi dəfə yuvarlasanız və hər dəfə 6 rəqəmi ortaya çıxsa, iyirmi birinci dəfə 6 rəqəmini almaq şansınız olduqca yüksəkdir ... çünki bəlkə də səhv zarınız var deməkdir!) düzgün zarınız varsa, digər rulonların nəticələrindən asılı olmayaraq hər birinin üzündən düşmə ehtimalı eynidır. Həm də təsəvvür edə bilərsiniz ki, hər dəfə qəlibi əvəz etdikdə 6 rəqəmi üst-üstə iki dəfə çıxırsa, “isti” kalıbı oyundan çıxarın və yeni altı tərəfli kalıbla əvəz edin. Əgər hər hansı biriniz bu barədə əvvəlcədən məlumatınız varsa, üzr istəyirəm, amma davam etmədən əvvəl bunu aydınlaşdırmalıydım.

Zarın az və ya çox təsadüfi düşməsini necə etmək olar

Fərqli zarlarda fərqli nəticələr əldə etmək barədə danışaq. Zarları yalnız bir və ya bir neçə dəfə yuvarlasanız, zar daha çox kənar olarsa oyun daha təsadüfi görünür. Nə qədər çox zər vurursanız və ya nə qədər çox zar atırsınızsa, nəticələr ortalamaya yaxınlaşır. Məsələn, 1d6 + 4 yuvarladınızsa (yəni standart bir altıbucaqlı zarı bir dəfə vurub nəticəyə 4 əlavə edin), ortalama 5 ilə 10 arasındadır. 5d2 yuvarlasanız, ortalama da 5 ilə 10 arasındadır. altı tərəfli zar, 5, 8 və ya 10 rəqəmlərini almaq ehtimalı eynidır. 5d2 atma nəticəsi əsasən 7 və 8 rəqəmləri olacaq, daha az digər dəyərlər. Eyni seriya, hətta eyni ortalama (hər iki halda da 7,5), lakin təsadüfiliyin təbiəti fərqlidir.

Bir dəqiqə gözlə. Sadəcə demədimmi ki, zarlar qızmır və sərinləşmir? İndi deyirəm ki, çoxlu zar atırsansa, rulonlar ortalamaya yaxınlaşırmı? Niyə?

İcazə ver izah edim. Atarsan birzar, üzlərin hər birinin düşmə ehtimalı eynidır. Bu o deməkdir ki, bir çox zar atsanız, hər üz zamanla təxminən eyni dəfə düşəcəkdir. Nə qədər çox zar atsanız, məcmu nəticə ortalamaya bir o qədər yaxınlaşacaqdır. Bunun səbəbi, buraxılmış nömrənin hələ düşməmiş başqa bir nömrəni “düzəltməsidir”. Ancaq zarları on min dəfə daha çox yuvarlasanız və əsasən ortalama düşəcəksə, kiçik 6 (və ya 20, ya da başqa bir sıra) seriyanın sonunda çox əhəmiyyəti olmayacağına görə ... bəlkə də indi bir neçə rəqəminiz olacaq yüksək dəyərə sahibdir, lakin bəlkə də sonradan aşağı dəyəri olan bəzi ədədlər və zaman keçdikcə orta dəyərə yaxınlaşacaqlar. Əvvəlki rulonların zarları təsir etdiyi üçün deyil (ciddi şəkildə bir zar hazırlanır plastik, düşünə biləcəyi bir beyni yoxdur: “oh, çoxdan bükülməyib”), lakin bu, adətən çox sayda zar rulonunda baş verən şeydir. Təkrarlanan kiçik bir sıra çox sayda nəticədə demək olar ki, görünməyəcəkdir.

Beləliklə, zarın bir təsadüfi rulosu üçün hesablamalar aparmaq, ən azı orta rulon dəyərinin hesablanmasına qədər kifayət qədər sadədir. Bir şeyin "nə qədər təsadüfi" olduğunu hesablamaq üçün yollar da var, yəni 1d6 + 4 yuvarlaqlaşdırma nəticələrinin 5d2-dən "daha təsadüfi" olacağını söyləmək üsulu, 5d2 üçün nəticələrin paylanması daha bərabər olacaq, ümumiyyətlə bunun üçün standart sapma və daha çox dəyəri hesablamaq, nəticələr nə qədər təsadüfi olacaq, amma bu gün vermək istədiyimdən daha çox hesablama tələb edir (bu mövzunu daha sonra izah edəcəyəm). Bilməyinizi xahiş etdiyim tək şey odur ki, ümumi qayda olaraq, nə qədər az zar yuvarlanırsa, təsadüfilik o qədər çox olur. Və bu mövzuda bir əlavə: bir zarın üzü nə qədər çox olarsa, təsadüfilik o qədər çox olur, çünki daha çox seçiminiz var.

Ehtimalları saymaqla necə hesablamaq olar

Sizi maraqlandıra bilər: müəyyən bir nəticə əldə etmək ehtimalını necə hesablaya bilərik? Bu, əslində bir çox oyun üçün olduqca vacibdir, çünki zar atsanız, əvvəlcə ən yaxşı nəticənin olacağı ehtimal olunur. Cavab budur: iki dəyəri saymaq lazımdır. Əvvəlcə zarın rulonundakı maksimum nəticələrin sayını hesablayın (nəticəsi nə olursa olsun). Sonra əlverişli nəticələrin sayını hesablayın. İkinci dəyəri birinciyə bölərək istədiyiniz ehtimalı əldə edirsiniz. Faizi almaq üçün nəticənizi 100-ə vurun.

Nümunələr:

Budur çox sadə bir nümunə. 4 və ya daha yüksək birinin yaxınlaşıb altıbucaqlı zarları bir dəfə fırlatmasını istəyərsiniz. Nəticələrin maksimum sayı 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Bunlardan 3 nəticə (4, 5, 6) əlverişlidir. Beləliklə, ehtimalı hesablamaq üçün 3-ü 6-ya bölün və 0,5 və ya 50% alın.

Budur biraz daha mürəkkəb olan bir nümunə. 2d6 rulonda cüt say əldə etmək istəyirsən. Maksimum nəticə sayı 36-dır (hər ölmək üçün 6, bir ölümü digərinə təsir etmədiyi üçün 6 nəticəni 6-ya vurub 36 əldə edirik). Bu tip sualların çətinliyi ondadır ki, iki dəfə saymaq asandır. Məsələn, 2d6 rulonda 3 nəticəsi üçün həqiqətən iki seçim var: 1 + 2 və 2 + 1. Görünüşləri eynidır, lakin fərq, birinci qəlibdə hansının, ikincidə hansının göstərildiyindədir. Zarların fərqli rənglərdə olduğunu da təsəvvür edə bilərsiniz, buna görə, məsələn, bu vəziyyətdə bir zar qırmızı, digəri mavi rəngdədir. Sonra cüt say üçün seçim sayını sayın: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 +) 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3) ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). 36-dan əlverişli nəticə əldə etmək üçün 18 variantın olduğu ortaya çıxdı, əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, ehtimal 0,5 və ya 50% olacaqdır. Bəlkə də gözlənilməz, lakin olduqca dəqiq.

Monte Carlo Simulyasiyası

Saymaq üçün çoxlu zarınız varsa? Məsələn, 8d6 rulonda ümumilikdə 15 və ya daha çoxunun yuvarlanma ehtimalının nə olduğunu bilmək istəyirsiniz. Səkkiz zar üçün çox fərqli fərdi nəticələr var və bunları əl ilə saymaq çox uzun vaxt aparacaq. Fərqli zar rulonlarını qruplaşdırmaq üçün yaxşı bir həll tapsaq da, saymaq hələ çox uzun sürəcək. Bu vəziyyətdə ehtimalın hesablanmasının ən asan yolu əllə saymaq deyil, bir kompüter istifadə etməkdir. Kompüterdə ehtimalları hesablamağın iki yolu var.

Birinci metod dəqiq cavabı almaq üçün istifadə edilə bilər, ancaq bir az proqramlaşdırma və ya ssenariyə aiddir. Əsasən kompüter hər fürsəti nəzərdən keçirəcək, ümumi təkrar sayını və istənilən nəticəyə uyğun təkrar sayını qiymətləndirəcək və sayacaq və sonra cavablar verəcəkdir. Kodunuz belə ola bilər:

int wincount \u003d 0, totalcount \u003d 0;

üçün (int i \u003d 1; i<=6; i++) {

üçün (int j \u003d 1; j<=6; j++) {

üçün (int k \u003d 1; k<=6; k++) {

… // buraya daha çox ilmə əlavə edin

əgər (i + j + k +…\u003e \u003d 15) (

float ehtimalı \u003d wincount / totalcount;

Proqramlaşdırma ilə tanış deyilsinizsə və dəqiq olmayan, lakin təxmini cavaba ehtiyacınız varsa, bu vəziyyəti bir neçə min dəfə atdığınız və cavab alacağınız Excel-də simulyasiya edə bilərsiniz. Excel-də 1d6 yayımlamaq üçün aşağıdakı formulu istifadə edin:

DÖVƏ (RAND () * 6) +1

Cavabını bilmədiyiniz və bunu dəfələrlə sınadığınız bir vəziyyətin adı var - monte Carlo simulyasiyasıvə bu ehtimalı hesablamağa çalışdığınız zaman istifadə etmək üçün əla bir həlldir və çox çətindir. Ən böyük şey budur ki, bu vəziyyətdə riyazi hesablamanın necə işlədiyini anlamağa ehtiyacımız yoxdur və cavabın "olduqca yaxşı" olacağını bilirik, çünki artıq bildiyimiz kimi atışların sayı nə qədər çox olarsa nəticə orta dəyərə yaxınlaşır.

Müstəqil testləri necə birləşdirmək olar

Çox təkrarlanan, lakin müstəqil problemlər barədə soruşsanız, bir rulonun nəticəsi digər rulonların nəticəsini təsir etmir. Bu vəziyyət üçün daha bir sadə izah var.

Asılı və müstəqil bir şeyi necə ayırmaq olar? Əsas olaraq, zarların hər bir rulonunu (və ya rulon seriyalarını) ayrı bir hadisə olaraq ayırd edə bilsəniz, bu müstəqildir. Məsələn, 8d6-da ümumilikdə 15-in yuvarlanmasını istəyiriksə, bu hal çoxsaylı müstəqil zar rulonlarına bölünə bilməz. Nəticə üçün bütün zarların dəyərlərinin cəmini saydığınız üçün bir zarın üzərinə düşən nəticə digər zarların üzərinə düşməli olanları təsir edir, çünki yalnız bütün dəyərləri əlavə edərək istənilən nəticəni əldə edəcəksiniz. .

Müstəqil atışların bir nümunəsi: zar ilə oynayırsınız və bir neçə dəfə altıbucaqlı zar atırsınız. Oyunda qalmaq üçün ilk rulonunuz 2 və ya daha yüksək olmalıdır. İkinci rulon üçün, 3 və ya daha yüksək. Üçüncüsü 4 və ya daha yüksək, dördüncüsü 5 və ya daha yüksək, üçüncüsü isə 6 tələb edir. Beş rulonun hamısı uğurlu olarsa, qazanarsan. Bu vəziyyətdə, bütün rulonlar müstəqildir. Bəli, bir atış uğursuz olarsa, bu, bütün oyunun nəticəsinə təsir edəcək, ancaq bir atış digər atışa təsir etmir. Məsələn, ikinci zar rulonunuz çox uğurlu olarsa, bu, sonrakı rulonların bu qədər uğurlu olmasına heç bir şəkildə təsir göstərmir. Buna görə zarların hər rulonunun ehtimalını ayrı-ayrılıqda nəzərdən keçirə bilərik.

Ayrı-ayrı, müstəqil ehtimallarınız varsa və ehtimalın bunun nə olduğunu bilmək istəyirsinizsə hamısı hadisələr gələcək, hər bir fərdi ehtimalı müəyyənləşdirirsiniz və onları artırırsınız. Başqa bir yol: bir neçə şərti təsvir etmək üçün “və” birləşməsindən istifadə edirsinizsə (məsələn, təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı nə qədərdir? və bəzi başqa müstəqil təsadüfi hadisə?), fərdi ehtimalları sayın və onları artırın.

Nə düşündüyün vacib deyil heç vaxtmüstəqil ehtimalları əlavə etməyin. Bu ümumi bir səhvdir. Bunun niyə səhv olduğunu başa düşmək üçün 50/50 sikkə çevirdiyiniz bir vəziyyəti təsəvvür edin, üst-üstə iki dəfə "baş" gətirmə ehtimalının nə olduğunu bilmək istəyirsiniz. Hər tərəfin vurma ehtimalı 50% -dir, buna görə də bu iki ehtimalı əlavə etsəniz, baş vurma şansınız 100% -dir, amma bunun doğru olmadığını bilirik, çünki ardıcıl iki dəfə baş ala bilər. Bunun əvəzinə bu iki ehtimalı çoxaltarsanız, üst üstə iki dəfə baş vurma ehtimalını hesablamaq üçün doğru cavab olan 50% * 50% \u003d 25% əldə edirsiniz.

Misal

Əvvəlcə 2-dən yüksək, sonra 3-dən yüksək və s.-lər almaq lazım olduğu altı tərəfli bir zar ilə oyuna qayıdaq. 6-a qədər. Müəyyən olunmuş 5 seriyada bütün nəticələrin əlverişli olacağı şansları nədir?

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bunlar müstəqil testlərdir və buna görə hər bir rulon üçün ehtimalları hesablayırıq və sonra çoxalırıq. İlk rulonun nəticəsinin əlverişli olacağı ehtimalı 5/6. İkincisi 4/6. Üçüncüsü 3/6. Dördüncüsü - 2/6, beşinci - 1/6. Bütün bu nəticələri artırırıq və təxminən 1.5% qazanırıq ... Beləliklə, bu oyunda qazanmaq olduqca nadirdir, buna görə də bu elementi oyununuza əlavə etsəniz, kifayət qədər böyük bir ikramiyə ehtiyacınız olacaq.

Mənfi

Budur başqa bir faydalı ipucu: bəzən hadisənin baş vermə ehtimalını hesablamaq çətindir, lakin hadisənin olma şansını müəyyənləşdirmək daha asandır gəlməyəcək.

Məsələn, başqa bir oyunumuz olduğunu düşünək və siz 6d6 gəzdirirsiniz, əgər varsa ən azı bir dəfə 6 yuvarlandı, qazanarsan. Qazanma ehtimalı nə qədərdir?

Bu vəziyyətdə hesablamaq üçün bir çox seçim var. Bir rəqəmin 6-nın düşməsi mümkündür, yəni. zarların birində 6, digərlərində isə 1-dən 5-ə qədər rəqəmlər yuvarlanacaq və zarlardan hansının 6 sayı olacağı üçün 6 seçim var. Sonra iki zarın üzərində 6 rəqəmi ala bilərsiniz və ya üçdə, daha da çoxunda və hər dəfə ayrıca bir sayma aparmalı olduğumuz üçün bu mövzuda qarışıqlaşmaq asandır.

Ancaq bu problemi həll etməyin başqa bir yolu var, gəlin digər tərəfdən baxaq. Sən itirməkəgər bir yox 6 rəqəmi zardan düşməyəcək.Bu vəziyyətdə altı müstəqil sınaq var, hər birinin ehtimalı 5/6 (zar xaricində 6 xaricində başqa hər hansı bir sayı düşə bilər). Onları çoxaltın və təxminən 33% qazanacaqsınız. Deməli itirmə ehtimalı 3-də 1-dir.

Bu səbəbdən qazanma ehtimalı 67% (və ya 2 ilə 3 arasındadır).

Bu nümunədən aydın olur hadisənin baş verməməsi ehtimalını nəzərə alsanız, nəticəni 100% -dən çıxarmalısınız. Qazanma ehtimalı 67% -dirsə, ehtimal itirmək — 100% mənfi 67% və ya 33%. Və əksinə. Bir ehtimalı hesablamaq çətindirsə, əksini hesablamaq asandırsa, əksini hesablayın və sonra 100% -dən çıxarın.

Bir müstəqil test üçün şərtləri birləşdirmək

Yuxarıda dedim ki, müstəqil sınaqlarda heç vaxt ehtimalları ümumiləşdirməməlisən. Hər hansı bir vəziyyət varmı? bacarmaqehtimalları cəmləyin? - Bəli, xüsusi bir vəziyyətdə.

Eyni sınaqda əlaqəsiz bir neçə əlverişli nəticənin ehtimalını hesablamaq istəyirsinizsə, hər bir əlverişli nəticənin ehtimalını əlavə edin. Məsələn, 1d6-da 4, 5 və ya 6 rəqəmlərinin alınması ehtimalı cəmi 4 rəqəminin alınma ehtimalı, 5 rəqəminin alınması ehtimalı və 6 rəqəminin alınması ehtimalı. Bu vəziyyəti belə təsəvvür edə bilərsiniz: ehtimal sualında “və ya” birləşməsindən istifadə edirsinizsə (məsələn , bunun ehtimalı nə qədərdir və ya bir təsadüfi hadisənin digər nəticəsi?), fərdi ehtimalları hesablayın və yekunlaşdırın.

Xahiş edirəm əlavə etdiyiniz zaman unutmayın bütün mümkün nəticələr oyunlar, bütün ehtimalların cəmi 100% -ə bərabər olmalıdır. Məbləğ 100% deyilsə, hesablamanız səhv idi. Bu hesablamalarınızı yenidən yoxlamaq üçün yaxşı bir yoldur. Məsələn, bütün əlləri pokerə tutma ehtimalını təhlil etdinizsə, əldə etdiyiniz bütün nəticələri əlavə etsəniz, tam olaraq 100% (və ya ən azı 100% -ə yaxın bir dəyər, bir kalkulyatordan istifadə edirsinizsə) əldə etməlisiniz. kiçik bir yuvarlaqlaşdırma xətası ola bilər, ancaq dəqiq rəqəmləri əl ilə əlavə etsəniz, nəticə verməlidir.) Cəmi toplanmazsa, çox güman ki, bəzi kombinasiyaları nəzərə almamısınız və ya bəzi kombinasiyaların ehtimallarını səhv hesablamısınız və hesablamalarınızı bir daha yoxlamalısınız.

Qeyri-bərabər ehtimallar

İndiyə qədər zarların hər üzünün eyni tezliklə düşdüyünü düşünürdük, çünki zar belə işləyir. Ancaq bəzən fərqli nəticələrin mümkün olduğu bir vəziyyətlə qarşılaşırsınız və onlar da fərqli düşmək şansı. Məsələn, “Nüvə müharibəsi” kart oyununun əlavələrindən birində bir raketin atılmasının nəticəsindən asılı olan bir oxlu bir oyun sahəsi var: əsasən normal və daha zəif zədələnmələr, lakin bəzən ziyan iki-üç dəfə artır, ya da raket başlatma meydançasında partlayır və sizə zərər verir və ya başqa bir hadisə baş verir. “Chutes & Ladders” və ya “Həyat Oyunu” ndakı oxlu oyun sahəsindən fərqli olaraq, “Nüvə müharibəsi” ndəki oyun sahəsinin nəticələri qeyri-bərabərdir. Oyun sahəsinin bəzi bölmələri daha böyükdür və ox onlara daha çox dayanır, digər hissələr isə çox kiçikdir və ox nadir hallarda dayanır.

Beləliklə, ilk baxışdan sümük belə bir şeyə bənzəyir: 1, 1, 1, 2, 2, 3; bu barədə artıq danışdıq, bu, ağırlıqlı 1d3 kimi bir şeydir, buna görə bütün bu bölmələri bərabər hissələrə bölməli, hər şeyin çoxu olan ən kiçik ölçü vahidini tapmalı və vəziyyəti d522 şəklində təmsil etməliyik (və ya başqa bir şəkildə), zarların bir çox üzünün eyni vəziyyəti təmsil edəcəyi, lakin daha çox nəticə ilə. Və bu problemi həll etməyin bir yolu və texniki cəhətdən də mümkündür, amma daha asan bir yolu var.

Standart hex zarlarına qayıdaq. Normal bir kalıp üçün orta rulon dəyərini hesablamaq üçün bütün kənarlardakı dəyərləri cəmləşdirib kənarların sayına bölmək lazım olduğunu söylədik, amma necə tam olaraqhəll davam edir? Bunu başqa cür qoymaq olar. Altıbucaqlı bir ölmək üçün hər üzün düşmə ehtimalı tam olaraq 1/6. İndi çoxalırıq Çıxışhər üzü ehtimal bu nəticə (bu vəziyyətdə hər üz üçün 1/6), sonra alınan dəyərləri toplayırıq. Beləliklə, yekunlaşdırmaq (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ), yuxarıdakı hesablamada olduğu kimi eyni nəticəni (3.5) əldə edirik. Əslində bunu hər dəfə sayırıq: hər nəticəni bu nəticənin olma ehtimalı ilə artırırıq.

Nüvə müharibəsində oyun sahəsindəki atıcı üçün eyni hesablamanı edə bilərikmi? Əlbətdə ki, edə bilərik. Və tapılan bütün nəticələri əlavə etsək, ortalama nəticə əldə edərik. Etməli olduğumuz tək şey lövhədəki ox üçün hər nəticənin ehtimalını hesablamaq və nəticəyə görə çoxaltmaqdır.

Başqa bir nümunə

Hər nəticəni fərdi ehtimalına vurmaqla ortalama hesablama üsulu, nəticələr eyni dərəcədə ehtimal olunsa da, fərqli üstünlüklərə sahib olduqda da uyğun gəlir, məsələn, bir qəlib yuvarladın və digər kənarlardan daha çox qazanın. Məsələn, bir qumar oyununu götürün: 2d6-ya bahis edib oynayırsınız. Ən aşağı qiymətə (2, 3, 4) üç və ya ən yüksək dəyərə (9, 10, 11, 12) sahib dörd rəqəm çıxsa, payınıza bərabər bir məbləğ qazanacaqsınız. Ən aşağı və ən yüksək dəyərlərə sahib olan rəqəmlər xüsusidir: bir 2 və ya 12 çıxsa, qazanarsınız iki dəfə çoxdursizin nisbətinizdən çox. Başqa bir rəqəm düşərsə (5, 6, 7, 8), mərcinizi itirəcəksiniz. Bu olduqca sadə bir oyun. Bəs qazanma ehtimalı nə qədərdir?

Nə qədər dəfə qazana biləcəyinizi hesablamağa başlayaq:

• 2d6 rulonda maksimum nəticə sayı 36-dır. Neçə əlverişli nəticə var?
• İki üçün 1, on iki üçün 1 seçim var.
• Üç və on bir çıxan üçün 2 seçim var.
• Dörd üçün 3 və on üçün 3 seçim var.
• Doqquz üçün 4 seçim var.
• Bütün seçimləri yekunlaşdıraraq 36-dan 16-na əlverişli nəticələrin sayını alırıq.

Beləliklə, normal şərtlər daxilində mümkün 36 ehtimaldan 16 dəfə qazanacaqsınız ... qazanma ehtimalı 50% -dən bir qədər azdır.

Ancaq bu 16-dan iki halda iki qat çox qazanacaqsınız, yəni. iki dəfə qazanmaq kimidir! Bu oyunu 36 dəfə oynasanız, hər dəfə 1 dollar bahis etsəniz və bütün mümkün nəticələrin hər biri bir dəfə ortaya çıxsa, 18 dollar qazanacaqsınız (əslində, 16 dəfə qazanacaqsınız, ancaq iki dəfə iki uduş sayılacaq). 36 dəfə oynayırsan və 18 dollar qazanırsan, deməli bu bərabər şans deməkdir?

Tələsmə. Məğlub ola biləcəyiniz sayını hesablasanız, 18 deyil, 20 qazanacaqsınız. Hər dəfə 1 dollar bahis edərək 36 dəfə oynasanız, bütün yaxşı nəticələrdən cəmi 18 dollar qazanacaqsınız ... ancaq uduzacaqsınız 20 mənfi nəticə ilə birlikdə 20 dollar məbləğində! Nəticədə biraz geridə qalacaqsınız: hər 36 oyunda orta hesabla 2 dollar xalis uduzursunuz (gündə ortalama 1/18 dollar itirdiyinizi də deyə bilərsiniz). İndi səhv etmək və ehtimalı səhv hesablamaq bu vəziyyətdə nə qədər asan olduğunu görə bilərsiniz!

İcazə

İndiyə qədər zar atarkən rəqəmlərin sırasının heç bir əhəmiyyəti olmadığını düşündük. 2 + 4 rulon 4 + 2 rulonla eynidır. Əksər hallarda əlverişli nəticələrin sayını əl ilə hesablayırıq, lakin bəzən bu metod praktik deyil və riyazi düsturdan istifadə etmək daha yaxşıdır.

Bu vəziyyətə misal olaraq “Farkle” zar ilə oyundan misal göstərmək olar. Hər yeni raund üçün 6d6 gəzdirirsiniz. Bütün mümkün nəticələri 1-2-3-4-5-6 (“düz”) əldə etmək şansınız varsa, böyük bir bonus qazanacaqsınız. Bunun baş vermə ehtimalı nə qədərdir? Bu vəziyyətdə, bu birləşmə üçün bir çox seçim var!

Çözüm belə görünür: zarlardan birində (və yalnız birində) 1 rəqəmi olmalıdır! Bir zarda 1 rəqəminin neçə variantı var? Altı, çünki 6 zar olduğundan və hər hansı birində 1 rəqəmi ola bilər. Buna görə bir zar götürün və kənara qoyun. İndi qalan zarlardan birində 2 nömrəsi olmalıdır. Bunun üçün beş seçim var. Başqa bir zar götürün və kənara qoyun. Sonra, qalan zarların dördündə 3 sayı düşə bilər, qalan zarların üçündə 4, ikisi - 5 sayı düşə bilər və nəticədə 6 sayının olduğu bir zar var. düşməli (ikinci halda ölmə birdir və seçim yoxdur). "Düz" birləşmə üçün əlverişli nəticələrin sayını hesablamaq üçün bütün fərqli, müstəqil variantları çoxalırıq: 6x5x4x3x2x1 \u003d 720 - deyəsən bu birləşmə üçün kifayət qədər çox seçim var.

Bir düz olma ehtimalını hesablamaq üçün 720-ni 6d6 rulon üçün mümkün olan bütün nəticələrin sayına bölməliyik. Bütün mümkün nəticələrin sayı nədir? Hər bir qəlibin 6 üzü var, buna görə 6x6x6x6x6x6 \u003d 46656 (çox daha böyükdür!) Çoxalırıq. 720/46656-nı bölürük və təxminən 1,5% -lik bir ehtimal alırıq. Bu oyunu tərtib edirsinizsə, uyğun bir bal sistemi yaratmağınızı bilmək faydalı olardı. İndi “Farkle” oyununda “düz” kombinasiya əldə etsəniz niyə belə böyük bir bonus alacağınızı başa düşürük, çünki bu vəziyyət olduqca nadirdir!

Nəticə başqa bir səbəbdən də maraqlıdır. Nümunə, qısa bir müddətdə ehtimala uyğun bir nəticənin nə qədər nadir hallarda baş verdiyini göstərir. Əlbətdə ki, bir neçə min zar atsaydıq, zarın fərqli üzləri tez-tez düşəcəkdi. Ancaq demək olar ki, yalnız altı zar atdığımızda heç vaxthər üzün düşməsi olmur! Bundan irəli gələrək, “hələ uzun müddətdir ki, 6 rəqəmini almadığımız üçün, yəni indi düşəcəyik” deyə hələ düşməmiş başqa bir üzün düşəcəyini gözləməyin ağılsız olduğu aydın olur.

Qulaq asın, təsadüfi say generatorunuz pozuldu ...

Bu, ehtimal haqqında ümumi bir yanlış təsəvvürə gətirib çıxarır: bütün nəticələrin eyni tezliklə ortaya çıxması fərziyyəsi. qısa müddət ərzindəbu əslində belə deyil. Zarları bir neçə dəfə yuvarlasaq, hər üzün tezliyi eyni olmaz.

Əgər bir növ təsadüfi say generatoru ilə onlayn bir oyun üzərində işləmisinizsə, çox güman ki, bir oyunçunun təsadüfi say generatorunuzun qırıldığını və təsadüfi rəqəmlər göstərmədiyini söyləmək üçün texniki dəstəyə yazdığı bir vəziyyətlə qarşılaşmısınız və bu nəticəyə gəldi, çünki ardıcıl 4 canavarı öldürdüyü və 4 tam olaraq eyni mükafat aldığı üçün bu mükafatlar yalnız 10% hallarda düşməli idi, buna görə də demək olar ki, heç vaxt olmamalıdır yer tutmaq, bu o deməkdir açıq-aydıntəsadüfi say generatorunuzun pozulduğunu.

Riyazi hesablama aparırsan. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, 10,000-in 1-ə bərabərdir, yəni bu olduqca nadir bir haldır. Və oyunçu sizə deməyə çalışır. Bu vəziyyətdə bir problem varmı?

Hər şey şərtlərdən asılıdır. İndi serverinizdə neçə oyunçu var? Deyək ki, kifayət qədər populyar bir oyununuz var və hər gün 100.000 insan oynayır. Ardıcıl neçə canavar öldürəcək neçə oyunçu? Gündə bir neçə dəfə hər şey mümkündür, ancaq bunların yarısının sadəcə auksionlarda fərqli əşyalar mübadiləsi apardıqlarını və ya RP serverlərində yenidən yazdıqlarını və ya digər oyun hərəkətlərini həyata keçirdiyini düşünək, beləliklə onların yarısı əslində canavarları ovlayır. Bunun ehtimalı nə qədərdir kiməsə Eyni mükafat düşəcəkmi? Bu vəziyyətdə eyni mükafatın ən azı gündə bir neçə dəfə düşə biləcəyini gözləyə bilərsiniz!

Yeri gəlmişkən, belə görünür ki, ən azı bir neçə həftədən bir kimsə kimsə olsa belə lotereyanı qazanır heç vaxtsiz və ya dostlarınız deyil. Hər həftə kifayət qədər insan oynayırsa, ən azı olma ehtimalı var birşanslı ... amma əgər sənlotereya oynayaraq Infinity Ward'da bir iş qazanma ehtimalı azdır.

Xəritələr və asılılıq

Bir zarın yuvarlanması kimi müstəqil hadisələri müzakirə etdik və indi bir çox oyunda təsadüfi analiz etmək üçün bir çox güclü vasitə bilirik. Kartları göyərtədən çıxarmaq məsələsində ehtimalın hesablanması biraz daha hiyləgərdir, çünki çıxardığımız hər kart göyərtədəki qalan kartları təsir edir. Standart bir 52 kartlı göyərtəniz varsa və 10 ürək çəksəniz və növbəti kartın eyni kostyumda olma ehtimalını bilmək istəyirsinizsə, ehtimal dəyişdi, çünki artıq bir kostyum kartını çıxardınız. göyərtə. Çıxardığınız hər kart göyərtədəki növbəti kartın olma ehtimalını dəyişdirir. Bu vəziyyətdə əvvəlki hadisə sonrakı hadisəni təsir etdiyindən bu ehtimalı çağırırıq asılıdır.

Xahiş edirəm unutmayın ki, "kartlar" dedikdə, mən nəzərdə tutulur hər hansı Bir sıra obyektlərin olduğu və cisimlərdən birini əvəz etmədən çıxardığınız oyun mexanikası, bu halda “kartların göyərtəsi” bir jeton çıxardığınız və əvəz etmədiyiniz bir çantanın çantasına bənzəyir. və ya rəngli olanları topları çıxardığınız bir qab (əslində rəngli topları çıxartmaq üçün bir qab olduğu bir oyun görməmişəm, amma ehtimal nəzəriyyəsi müəllimləri bu nümunəni seçirlər nədənsə).

Asılılıq xüsusiyyətləri

Dəqiqləşdirmək istərdim ki, kartlara gəldikdə, kartları çəkdiyinizi, onlara baxdığınızı və göyərtədən çıxardığınızı düşünürəm. Bu hərəkətlərin hər biri vacib bir xüsusiyyətdir.

Məsələn, 1-dən 6-ya qədər olan altı kartın göyərtəm olsaydı və onları qarışdırıb bir kartı çıxarıb altı kartın hamısını yenidən qarışdırsam, bu, altı tərəfli ölümü atmaq kimi olardı; bir nəticə aşağıdakıları təsir etmir. Yalnız kartları çəksəm və onları əvəz etmirəmsə, 1 nömrəli bir kart çıxartmağın nəticəsi, növbəti dəfə 6 nömrəli bir kart çəkdiyim ehtimalını artıracaq (bu kartı sonda çıxartana qədər ehtimal artacaq) və ya kartları qarışdırana qədər).

Əslində biz baxmaqkartlarda da vacibdir. Göyərtədən bir kart çıxarıb baxmıramsa, əlavə məlumatım yoxdur və əslində ehtimal dəyişmir. Bu əks düşüncəli səslənə bilər. Bir kartın sadə bir çevirmə ehtimalı necə sehrli şəkildə dəyişə bilər? Ancaq bu mümkündür, çünki yalnız naməlum obyektlər üçün ehtimalı özünüz olduğunuza görə hesablaya bilərsiniz sən bilirsən... Məsələn, standart bir kart göyərtəsini qarışdırırsınızsa, 51 kartı ortaya qoyursanız və heç biri klubun kraliçası deyilsə, qalan kartın klub kraliçası olduğunu 100% əminliklə biləcəksiniz. Standart kart dəstini qarışdırır və 51 kart çəkirsinizsə, rəğmənqalan kartların klub kraliçası olma ehtimalı yenə də 1/52 olacaq. Hər kartı açaraq daha çox məlumat əldə edirsiniz.

Asılı hadisələr üçün ehtimalın hesablanması müstəqil hadisələrlə eyni prinsiplərə uyğundur, yalnız bir az daha mürəkkəbdir, çünki kartları açarkən ehtimallar dəyişir. Beləliklə, eyni dəyəri vurmaq əvəzinə bir çox fərqli dəyəri çoxaltmaq lazımdır. Bunun əslində mənası budur ki, etdiyimiz bütün hesablamaları bir kombinasiyada birləşdirməliyik.

Misal

Standart 52 kartlı göyərtəni qarışdırırsınız və iki kart çəkirsiniz. Bir cüt çıxarma ehtimalı nə qədərdir? Bu ehtimalı hesablamağın bir neçə yolu var, amma bəlkə də ən sadəi belədir: Bir kart çıxardığınız zaman bir cüt çıxara bilməyəcəyiniz ehtimalı nə qədərdir? Bu ehtimal sıfırdır, buna görə ikinci karta uyğun olduğu müddətcə ilk kartı çəkməyin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Əvvəlcə hansı kartı çıxartdığımızın heç bir əhəmiyyəti yoxdur, yenə də bir cüt çıxarmaq şansımız var, bu səbəbdən ilk kartı çıxardıqdan sonra bir cüt çıxarma ehtimalı 100% -dir.

İkinci kartın birinci ilə uyğunlaşma ehtimalı nə qədərdir? Göyərtədə 51 kart qalıb və bunlardan 3-ü ilk kartla üst-üstə düşür (əslində 52-dən 4-ü olardı, ancaq ilk kartı çıxardığınız zaman uyğun kartlardan birini çıxarmısınız!), Yəni ehtimal 1/17. (Beləliklə, növbəti dəfə masa arxasında Texas Hold'em oynayan oğlan "Sərin, bir cüt daha var? Bu gün şanslıyam" deyirsə, blöf etmək şansının olduqca yüksək olduğunu biləcəksiniz. )

İki zarafatçı əlavə etsək və indi göyərtədə 54 kartımız varsa və bir cüt çıxarmaq ehtimalının nə olduğunu bilmək istəsək? İlk kart bir zarafatçı ola bilər və sonra göyərtə yalnız içərisində olacaq yalnızuyğun olacaq üç deyil, kart. Bu vəziyyətdə ehtimalı necə tapırsınız? Ehtimalları bölüşdürəcəyik və hər imkanı artıracağıq.

İlk kartımız bir şaka və ya başqa bir kart ola bilər. Bir şaka çəkmə ehtimalı 2/54, başqa hər hansı bir kartı çəkmə ehtimalı 52/54-dir.

Birinci kart bir zarafatdırsa (2/54), ikinci kartın birincisinə təsadüf etmə ehtimalı 1/53-dür. Dəyərləri çarpın (bunları çoxalda bilərik, çünki bunlar ayrı hadisələrdir və biz istəyirik həm dəhadisələr oldu) və biz 1/1431 alırıq - yüzdə ondan azı.

Əvvəlcə başqa bir kart çəkirsinizsə (52/54), ikinci kartla üst-üstə düşmə ehtimalı 3/53-dir. Dəyərləri vurun və 78/1431 (% 5,5-dən bir qədər çox) əldə edin.

Bu iki nəticə ilə nə edirik? Üst-üstə düşmürlər və ehtimalını bilmək istəyirik hər biribunlardan, buna görə dəyərləri əlavə edirik! Son nəticəni 79/1431 (hələ təxminən% 5,5) əldə edirik.

Cavabın doğruluğundan əmin olmaq istəsəydik, bütün digər nəticələrin ehtimalını hesablaya bilərik: zarafatı çıxartmaq və ikinci kartı uyğunlaşdırmamaq, ya da başqa bir kartı çıxartmaq və ikinci kartı uyğunlaşdırmamaq və hamısını toplamaq qalib gəlmə ehtimalı 100% -ə çatdı. Burada riyazi bir hesablama verməyəcəm, ancaq ikiqat yoxlamaq üçün hesablamağa cəhd edə bilərsiniz.

Monty Hall Paradoks

Bu, bizi tez-tez çoxlarını qarışdıran kifayət qədər tanınmış bir paradoks - Monty Hall paradoksuna aparır. Paradoksun adı "Gəlin bir razılaşma edək" aparıcısı Monty Hall-un adını daşıyır. Bu şounu heç görməmisinizsə, Qiymət Doğru TV şousunun tam əksidir. "Qiymət doğru" filmində aparıcı (əvvəllər Bob Barker, indi ... Drew Carey? Hər halda ...) sizin dostunuzdur. O istəyirbeləliklə pul və ya böyük hədiyyələr qazana bilərsiniz. Sponsorlar tərəfindən alınan əşyaların nə qədər başa gəldiyini təxmin edə bilsəniz, sizə qazanmaq üçün hər cür fürsəti təqdim etməyə çalışır.

Monty Hall fərqli davranırdı. Bob Barkerin pis əkizinə oxşayırdı. Məqsəd milli televiziyalarda səni axmaq kimi göstərmək idi. Şouda olsaydınız, o sizin rəqibiniz idi, ona qarşı oynayırdınız və qazanma ehtimalı onun xeyrinə idi. Çox sərt ola bilərəm, ancaq rəqib olaraq seçilmək şansının gülünc kostyum geyinib-geyinməməyinizlə birbaşa nisbətdə olduğu görünəndə bu nəticəyə gəlirəm.

Ancaq şounun ən məşhur memlərindən biri bu idi: qarşınızda üç qapı vardı və bunlara Qapı 1, Qapı 2 və Qapı 3 deyirdilər. Bir qapını ... pulsuz seçə bilərsiniz! Bu qapılardan birinin arxasında yeni bir minik avtomobili kimi böyük bir mükafat var idi. Digər qapıların arxasında mükafat yox idi, bu iki qapının dəyəri yox idi. Məqsədləri səni alçaltmaq idi və buna görə də arxalarında heç bir şey olmadığı deyil, arxasında axmaq görünən bir şey var idi, məsələn, arxasında bir keçi və ya nəhəng bir diş pastası borusu və ya bir şey var ... bir şey, nə tam idi yox yeni bir minik avtomobili.

Qapılardan birini seçdin və Monty qapını açacaqdı ki, qalib olub-olmadığını öyrənə biləsən ... amma gözlə, bilmədən əvvəl, bunlardan birinə nəzər salaq bunlar qapılar sənə seçilməyib... Monty mükafatın hansı qapının arxasında olduğunu bildiyindən və yalnız bir mükafat var iki seçmədiyiniz qapılar, nə olursa olsun, heç vaxt mükafatı olmayan bir qapını aça bilər. “3 nömrəli qapı seçirsiniz? O zaman bunun arxasında mükafat olmadığını göstərmək üçün 1-ci Qapını açaq. ” İndi isə səxavətindən seçilmiş 3 nömrəli Qapını 2 Qapının arxasındakı qapı ilə dəyişdirmə şansı təklif edir. Bu anda ehtimal sualı meydana çıxır: başqa bir qapı seçmək ehtimalı qazanma ehtimalınızı artırırmı? ya da endir, yoxsa əvvəlki kimi qalır? Nə fikirləşirsən?

Düzgün cavab: başqa bir qapı seçmək imkanı artır1/3 ilə 2/3 arasında qazanma ehtimalı. Bu məntiqsizdir. Əvvəllər bu paradoksla qarşılaşmadıysanız, çox güman ki, düşünürsünüz: gözləyin, bir qapını açaraq ehtimalı sehrli şəkildə dəyişdirdik? Ancaq yuxarıdakı xəritələrlə nümunədə gördüyümüz kimi, budur tam olaraqdaha çox məlumat aldıqda nə olur. Seçdiyiniz ilk dəfə qazanma ehtimalının 1/3 olduğu açıqdır və güman edirəm ki, hamı bununla razılaşacaq. Bir qapı açıldıqda, ilk seçim üçün qazanma ehtimalını ümumiyyətlə dəyişdirmir, yenə də ehtimal 1/3, ancaq bu o deməkdir ki başqadoğru qapı indi 2/3.

Bu misala fərqli bir baxış bucağından baxaq. Sən qapını seç. Qazanma ehtimalı 1/3. Dəyişməyinizi təklif edirəm ikimonty Hall-un təklif etdiyi digər qapılar. Əlbətdə, arxasında heç bir mükafat olmadığını göstərmək üçün qapılardan birini açır, amma özü həmişədirbunu edə bilər, buna görə həqiqətən heç nəyi dəyişmir. Əlbəttə ki, fərqli bir qapı seçmək istəyəcəksiniz!

Bu suala tam aydın deyilsinizsə və daha inandırıcı bir izahata ehtiyacınız varsa, bu paradoksu daha ətraflı araşdırmağa imkan verəcək ecazkar bir kiçik Flash tətbiqinə keçmək üçün bu linki vurun. Təxminən 10 qapıdan başlayaraq oynaya və sonra tədricən üç qapılı bir oyuna keçə bilərsiniz; 3-dən 50-yə qədər istənilən sayda qapı seçib bir neçə min simulyasiya oynaya və ya çalışdıra bildiyiniz və neçə dəfə oynadığınızı qazandığınıza baxa biləcəyiniz bir simulyator var.

Əlbəttə ki, Schreiber-də olmayan, lakin bu sehrli çevrilməni başa düşmək olduqca çətin olan yüksək riyaziyyat müəllimi və oyun balansı üzrə mütəxəssis Maksim Soldatovdan bir qeyd.

Üçdən bir qapı seçin, "qazanma" ehtimalı 1/3. İndi 2 strategiyanız var: səhv qapını açdıqdan sonra dəyişdirin ya yox. Seçiminizi dəyişdirməsəniz, ehtimal 1/3 olaraq qalacaq, çünki seçim yalnız ilk mərhələdədir və dərhal təxmin etməlisiniz, dəyişsəniz, əvvəl səhv qapı seçsəniz qazana bilərsiniz. (o zaman başqa bir səhvini açarlar, sadiq qalacaqlar, qərarını dəyişdirirsən və sadəcə qəbul et)
Başlanğıcda səhv qapı seçmə ehtimalı 2/3, buna görə qərarınızı dəyişdirərək qazanma ehtimalınızı 2 qat daha yüksək etdiyiniz ortaya çıxdı

Yenə də Monty Hall paradoksu haqqında

Şounun özünə gəlincə, Monty Hall bunu bilirdi, çünki rəqibləri riyaziyyatdan yaxşı olmasa da, odur yaxşı başa düşür. Budur, oyunu biraz dəyişdirmək üçün nə etdi. Mükafatın arxasında, ehtimalının 1/3 olduğu qapını seçmisinizsə həmişədirsizə başqa bir qapı seçmək imkanı təqdim etdi. Axı bir sərnişin avtomobili seçdiniz və sonra onu keçiyə dəyişdiniz və olduqca axmaq görünəcəksiniz, bu da tam olaraq ona lazım olan şeydir, çünki o, bir növ pis adamdır. Ancaq arxasındakı qapını seçsəniz mükafat olmayacaq, yalnız yarıda Belə hallarda başqa bir qapı seçməyinizi təklif edəcək, digər hallarda isə yeni keçinizi sizə göstərəcək və səhnədən ayrılacaqsınız. Monty Hall-un edə biləcəyi bu yeni oyunu təhlil edək seçinsizə başqa bir qapı seçmək şansı təqdim edin.

Bu alqoritmi izlədiyini düşünək: bir mükafatlı bir qapı seçsəniz, həmişə sizə başqa bir qapı seçmə imkanı təklif edir, əks halda başqa bir qapı seçməyinizi və ya bir keçi verməyinizi təklif etməsi ehtimalı 50/50. Qazanma ehtimalı nə qədərdir?

Üç variantdan birində dərhal mükafatın yerləşdiyi qapını seçirsiniz və ev sahibi sizə başqa bir qapı seçməyi təklif edir.

Qalan üç variantdan qalan iki variantdan (əvvəlcə mükafatsız bir qapı seçirsiniz), yarı halda, ev sahibi sizə başqa bir qapı seçməyi təklif edəcək, halların yarısında isə yox. 2/3 hissəsinin yarısı 1/3, yəni. üçdən birində bir keçi, üçdə birdə səhv qapı seçəcəksiniz və ev sahibi sizə başqa birini, üçdə birdə seçəcəksiniz sağ qapı, və başqa bir qapı seçməyinizi xahiş edəcək.

Lider başqa bir qapı seçməyi təklif edərsə, onsuz da bilirik ki, bizə keçi verəndə ayrıldıqda üç hadisədən birinin olmaması. Bu, faydalı məlumatdır, çünki qazanma şansımız dəyişdi. Üç hadisədən ikisində, seçim etmə fürsətimiz olduqda, bir halda bu, düzgün təxmin etdiyimiz, digərində də düzgün təxmin etdiyimiz deməkdir, buna görə ümumiyyətlə seçmək imkanı təklif olunurdusa, deməkdir. qazanma ehtimalı 50/50-dir və yoxdur riyazi faydaları, seçiminizlə qalın və ya başqa bir qapı seçin.

Poker kimi, indi də riyazi deyil, psixoloji bir oyundur. Monty, sizə fərqli bir qapı seçməyin “doğru” qərar olduğunu bilməyən sadə bir insan olduğunuzu və inadla seçiminizdə qalacağınızı düşündüyü üçün bir seçim təklif etdi, çünki bir avtomobil seçdiyiniz zaman psixoloji baxımdan vəziyyət, amma sonra itirdin, daha çətindir? Yoxsa ağıllı olduğunuzu düşünür və başqa bir qapı seçir və sizə bu şansı təklif edir, çünki əvvəlcə doğru təxmin etdiyinizi və sizə qapılıb qapana düşəcəyinizi bilir? Və ya bəlkə də özünə qarşı qeyri-adi davranır və şəxsi maraqlarına uyğun bir iş görməyə məcbur edir, çünki çoxdan bəri bir maşın vermir və istehsalçıları ona tamaşaçıların cansıxıcı olduğunu və verərsə daha yaxşı olar reytinqlərin düşməməsi üçün tezliklə böyük bir mükafat?

Beləliklə, Monty bir seçim təklif etməyi bacarır (bəzən) və ümumi qazanma ehtimalı 1/3 -ə bərabər qalır. Dərhal itirəcəyiniz ehtimalın 1/3 olduğunu unutmayın. Dərhal alma ehtimalı 1/3 və bu halların 50% -də siz qazanacaqsınız (1/3 x 1/2 \u003d 1/6). Əvvəlcə səhv hesab edəcəyiniz, sonra başqa bir qapı seçmə şansınız olacağı ehtimalı 1/3 -ə bərabərdir və bu halların% 50-də qazanacaqsınız (həmçinin 1/6). İki müstəqil qazanma şansı əlavə edin və 1/3 -ə bərabər bir ehtimal əldə edirsiniz, buna görə seçiminizdə qalmağınız və ya başqa bir qapı seçməyinizin fərqi yoxdur, oyun boyu qazanma ehtimalı 1/3 -ə bərabərdir. .. ehtimal qapını təxmin etdiyiniz və aparıcının başqa bir qapı seçmək imkanı olmadan bu qapının arxasında nə olduğunu göstərəcəyi vəziyyətdən daha da artmır! Beləliklə, başqa bir qapı seçmə fürsəti təklif etməyin məqsədi, ehtimalları dəyişdirmək deyil, qərar qəbul etmə müddətini televiziya izləmə üçün daha əyləncəli etməkdir.

Yeri gəlmişkən, bu, pokerin bu qədər maraqlı olmasının ən çox səbəblərindən biridir: turlar arasındakı əksər formatlarda, mərclər edildiyi zaman (məsələn, Texas Hold'em-də flop, dönüş və çay) kartlar tədricən aşkarlanır, və oyunun əvvəlində qazanma ehtimalınız varsa, hər mərc turundan sonra daha çox kart açıq olduqda bu ehtimal dəyişir.

Oğlan və Qız Paradoksu

Bu, bizi başqa bir tanınmış paradoksa aparır, bir qayda olaraq hər kəsi - oğlan və qız paradoksunu təəccübləndirir. Bu gün yazdığım birbaşa oyunlarla əlaqəli olmayan yeganə şey (hərçənd bunun sadəcə uyğun oyun mexanikası yaratmağınız üçün sizi dartmaq lazım olduğunu nəzərdə tuturam). Daha çox bir bulmacadır, amma maraqlıdır və onu həll etmək üçün yuxarıda bəhs etdiyimiz şərti ehtimalı anlamalısınız.

Çağırış: İki uşağım olan bir dostum var, ən azı bir uşaq qızıdır. İkinci uşağın olma ehtimalı nədir həmçininqız? Gəlin hər ailədə bir qız və ya oğlan uşağı olma şansının 50/50 olduğunu və bunun hər uşaq üçün keçdiyini düşünək (əslində bəzi kişilərin spermalarında X xromosomu və ya Y xromosomu olan daha çox sperma var, buna görə ehtimal bir uşağın qız olduğunu bilsəniz bir az dəyişir, bir qızın olma ehtimalı bir az daha yüksəkdir, bununla yanaşı digər şərtlər də var, məsələn, hermafroditizm, lakin bu problemi həll etmək üçün bunu nəzərə almayacağıq bir uşağın doğulmasının müstəqil bir hadisə olduğu və bir oğlan və ya qız uşaqlarının doğma ehtimalı eynidir).

1/2 şansdan bəhs etdiyimiz üçün intuitiv olaraq cavabın böyük ehtimalla 1/2 və ya 1/4, ya da ikiqat digər bir çox qat olacağını gözləyirik. Ancaq cavab: 1/3 ... Niyə gözləyin?

Bu vəziyyətdə çətinlik, sahib olduğumuz məlumatların ehtimal sayını azaltmasıdır. Fərz edək ki, valideynlər Susam Caddəsinin pərəstişkarlarıdır və bir oğlan və ya qız doğulmasından asılı olmayaraq övladlarına A və B ad vermişlər. Normal şərtlərdə eyni dərəcədə ehtimal olunan dörd ehtimal var: A və B iki oğlan, A və B iki qız, A oğlan və B qız, A qız və B oğlan. Bunu bildiyimiz üçün ən azı bir uşaq bir qızdır, A və B-nin iki oğlan olma ehtimalını ortadan qaldıra bilərik, buna görə üç (hələ eyni dərəcədə ehtimal olunan) ehtimalımız qalır. Bütün imkanlar eyni dərəcədə ehtimal olunursa və bunlardan üçü varsa, hər birinin ehtimalının 1/3 olduğunu bilirik. Bu üç variantdan yalnız birində hər iki uşaq da iki qızdır, buna görə cavab 1/3.

Yenə də bir oğlan və bir qızın paradoksu haqqında

Problemin həlli daha da məntiqsiz olur. Təsəvvür edin ki, dostumun iki övladı və bir övladı olduğunu desəm - çərşənbə axşamı anadan olan qız... Tutaq ki, normal şəraitdə həftənin yeddi gününün birində körpənin olma ehtimalı eynidir. İkinci uşağın da qız olması ehtimalı nə qədərdir? Cavabın hələ 1/3 olduğunu düşünə bilərsiniz; çərşənbə axşamı nə deməkdir? Ancaq bu vəziyyətdə də intuisiya bizi iflasa uğratır. Cavab: 13/27 bu sadəcə intuitiv deyil, çox qəribədir. Nə oldu bu halda?

Əslində çərşənbə axşamı ehtimalı dəyişdirir, çünki bilmirik hansıuşaq çərşənbə axşamı və ya bəlkə də dünyaya gəldi iki uşaq çərşənbə axşamı anadan olublar. Bu vəziyyətdə yuxarıdakı ilə eyni məntiqdən istifadə edirik, ən azı bir uşaq çərşənbə axşamı anadan olan bir qız olduqda bütün mümkün birləşmələri sayırıq. Əvvəlki nümunədə olduğu kimi, uşaqların A və B adlandıqlarını düşünək, birləşmələr belədir:

• A - çərşənbə axşamı anadan olan bir qız, B - oğlan (bu vəziyyətdə 7 ehtimal var, bir oğlanın dünyaya gələ biləcəyi həftənin hər günü üçün bir).
• B - çərşənbə axşamı anadan olan bir qız, A - oğlan (həmçinin 7 ehtimal).
• A - çərşənbə axşamı anadan olan bir qız, B - anadan olan bir qız digər həftənin günü (6 ehtimal).
• B - çərşənbə axşamı anadan olan bir qız, A - çərşənbə axşamı anadan olmayan bir qız (ayrıca 6 ehtimal).
• A və B - çərşənbə axşamı anadan olan iki qız (1 ehtimal, iki dəfə sayılmamaq üçün buna diqqət yetirməlisiniz).

Çərşənbə axşamı ən azı bir qız uşağı olma ehtimalı ilə uşaqların doğum günləri və günləri eyni şəkildə mümkün olan 27 fərqli birləşməni ümumiləşdiririk və alırıq. Bunlardan 13-ü iki qız doğulduqda fürsətdir. Həm də tamamilə məntiqsiz görünür və deyəsən bu tapşırıq yalnız baş ağrısına səbəb olmaq üçün yaradılıb. Hələ bu nümunə ilə təəccüblənmisinizsə, oyun nəzəriyyəçisi Jesper Yule veb saytında məsələni yaxşı izah etdi.

Hal-hazırda bir oyun üzərində işləyirsinizsə ...

Dizaynladığınız oyunda təsadüfi bir şey varsa, bu onu təhlil etmək üçün əla bir fürsətdir. Təhlil etmək istədiyiniz bir element seçin. Əvvəlcə özünüzə verilmiş bir element üçün ehtimalın nə olduğunu, oyun kontekstində nə olduğunu düşündüyünüzü soruşun. Məsələn, bir RPG yaradırsınızsa və bir oyunçunun bir canavarı döyüşdə məğlub edə bilmə ehtimalının nə olduğunu düşünürsünüzsə, özünüzdən soruşun ki, qazanc faizləri sizə görə nə qədər görünür? Ümumiyyətlə konsol RPG-ləri oynayarkən, oyunçular uduzduqda çox məyus olurlar, buna görə də tez-tez itirməmələri daha yaxşıdır ... bəlkə də vaxtın 10% -i və ya daha azı? Bir RPG dizayneriysən, ehtimal ki, məndən daha yaxşı bilirsən, amma ehtimalın nə olması barədə əsas bir fikrə sahib olmalısan.

Sonra özünüzə bunun bir şey olub olmadığını soruşun aludə(kartlar kimi) və ya müstəqil(zar kimi). Bütün mümkün nəticələri və ehtimallarını nəzərdən keçirin. Bütün ehtimalların cəminin 100% olduğundan əmin olun. Nəhayət, əlbəttə ki, əldə etdiyiniz nəticələri gözləntilərinizlə müqayisə edin. İstər zar atasınız, istərsə də kart çəkdiyiniz kimi və ya dəyərləri tənzimləməyiniz lazım olduğunu görürsünüz. Əlbətdə əgər tapmaqnəyin düzəldilməli olduğunu, eyni hesablamalardan istifadə edərək bir şeyin tənzimlənməsinin nə qədər lazım olduğunu təyin edə bilərsiniz!

Ev tapşırığı

Bu həftə "ev tapşırığınız" ehtimal olunan iş bacarıqlarınızı artırmağa kömək edəcəkdir. Budur iki zar oyunu və ehtimaldan istifadə edərək analiz edəcəyiniz bir kart oyunu, eyni zamanda Monte Carlo metodunu sınamaq üçün istifadə edə biləcəyiniz qəribə bir oyun mexanikası.

Oyun nömrəsi 1 - Ejder sümükləri

Bu, bir vaxtlar həmkarlarımla icad etdiyimiz (Jeb Havens və Jesse King sayəsində!) Və düşüncələrini ehtimalları ilə bilərəkdən insanların beynindən çıxaran bir zar oyunudur. Bu Dragon Bones adlı sadə bir casino oyunudur və oyunçu ilə ev arasında bir zar rəqabətidir. Sizə adi 1d6 ölümü verilir. Oyunun məqsədi evdən daha yüksək bir rəqəm atmaqdır. Tom'a standart olmayan bir 1d6 verilir - sizinlə eyni, ancaq bir tərəfdən biri əvəzinə - Ejderha şəkli (beləliklə, kazinoda Dragon-2-3-4-5-6 kubu var). Ev bir əjdaha alırsa, avtomatik olaraq qazanır və siz itirirsiniz. Hər ikiniz eyni saya sahibsinizsə, bu heç-heçədir və zarı yenidən yuvarlayırsınız. Ən çox say qazanan qalib gəlir.

Əlbətdə ki, hər şey oyunçunun xeyrinə deyil, çünki qumarxananın Dragon's Edge şəklində üstünlüyü var. Amma doğrudanmı belədir? Bunu anlamalısan. Ancaq bundan əvvəl intuisiyanızı yoxlayın. Gəlin qazanclar 2-dən 1-ə qədərdir. Buna görə qazansanız, mərcinizi davam etdirirsiniz və ikiqat qazanarsınız. Məsələn, 1 dollar bahis edib qazanırsansa, o dolları saxlayırsan və ümumilikdə 3 dollar üçün 2-dən çoxunu qazanırsan. Məğlub olsanız, yalnız mərcinizi itirəcəksiniz. Oynayacaqsan? Beləliklə, ehtimalın 2-dən 1-ə qədər olduğunu intuitiv olaraq hiss edirsiniz, yoxsa yenə də daha az olduğunu düşünürsünüz? Başqa sözlə, orta hesabla 3 oyunda bir dəfədən çox, daha az və ya bir dəfə qalib gəlməyi düşünürsən?

İntuisiyanız düzəldikdən sonra riyaziyyat tətbiq edin. Hər iki zar üçün yalnız 36 mümkün mövqe var, belə ki, hamısını problemsiz hesablaya bilərsiniz. Bu 2-dən 1-ə qədər cümlədən əmin deyilsinizsə, bu barədə düşünün: Deyək ki, oyunu 36 dəfə oynamısınız (hər dəfə 1 dollar bahis). Hər uduş üçün 2 dollar, hər itkiyə görə 1 dollar itirirsiniz və heç-heçə heç nə dəyişmir. Bütün ehtimal olunan qazanc və itkilərinizi hesablayın və bir miqdar dollar itirəcəyinizə və ya qazanacağınıza qərar verin. Sonra özünüzdən intuisiyanızın nə qədər doğru olduğunu soruşun. Və sonra - nə qədər cani olduğumu başa düş.

Bəli, bu sualı əvvəlcədən düşünmüsənsə - zar oyunlarının həqiqi mexanikasını təhrif edərək səni qəsdən qarışdırıram, amma əminəm ki, bu maneəni çox yaxşı düşünməklə aşa bilirsən. Bu problemi özünüz həll etməyə çalışın. Bütün cavabları gələn həftə burada yerləşdirəcəm.

Oyun # 2 - Uğur atma

Luck Roll adlı bir şans oyunudur (birdcage də var, çünki bəzən zarlar atılmır, lakin Bingo qəfəsini xatırladan böyük bir tel qəfəsə qoyulur). Buna bənzər bir şeyə bənzəyən sadə bir oyundur: 1 ilə 6 arasındakı bir rəqəmə 1 dollar qoyun. Sonra 3d6 yuvarladın. Nömrənizə dəyən hər ölümə görə 1 dollar alırsınız (və orijinal payınızı saxlayırsınız). Nömrəniz zarların heç birində görünmürsə, kazino sizin dollarınızı alır, siz isə heç nə əldə etmirsiniz. Beləliklə, 1-ə mərc etsəniz və üç dəfə kənarlardan 1 alsanız, 3 dollar qazanacaqsınız.

İntuitiv olaraq bu oyunun bərabər şansları var. Hər bir qələbə qazanma şansının 6-sı 1-dir, buna görə hər üçünün də cəmi 3-dən 6-dək qələbə şansınız var. Ancaq əlbətdə üç ayrı zar yaratdığınızı və yalnız əlavə etməyinizə icazə verildiyini unutmayın. eyni ölünün ayrı-ayrı qalib kombinasiyalarından bəhs edirik. Bir şey çoxaltmaq lazımdır.

Bütün mümkün nəticələri müəyyən etdikdən sonra (yəqin ki, bunu Excel-də etmək əldən daha asan olacaq, çünki bunlardan 216-sı var), oyun hələ də ilk baxışdan qəribə və bərabər görünür. Ancaq əslində, kazino qazanmaq üçün daha çox şansa sahibdir - nə qədər çoxdur? Xüsusilə oyunun hər dövrü üçün orta hesabla nə qədər pul itirəcəyinizi gözləyirsiniz? Sadəcə, bütün 216 nəticələrin qazandıqları və uduzanlarını bir araya gətirmək və sonra 216-ya bölmək kifayət qədər asan olmalıdır ... Ancaq gördüyünüz kimi, düşə biləcəyiniz bir neçə tələ var, bu səbəbdən də mən Sizə deyirəm: bu oyunda qazanma nisbətinin bərabər olduğunu düşünürsənsə, hər şeyi səhv etdin.

Oyun # 3 - 5 Kart Stud Poker

Əvvəlki oyunlarda istiləşmisinizsə, gəlin bu kart oyunu ilə şərti ehtimal haqqında bildiklərimizi yoxlayaq. Xüsusilə, 52 kartlı göyərtə ilə poker təsəvvür edək. Gəlin hər bir oyunçunun yalnız 5 kart aldığı 5 Card Stud təsəvvür edək. Bir kartı ata bilməzsiniz, yenisini çəkə bilməzsiniz, ümumi göyərtə yoxdur - yalnız 5 kart alırsınız.

Royal Flush bir tərəfdən 10-J-Q-K-A, ümumilikdə dörd ədəddir, buna görə Royal Flush əldə etmək üçün dörd yol var. Belə bir kombinasiyadan birini qazanma ehtimalını hesablayın.

Sizi bir şeydən xəbərdar etməliyəm: bu beş kartı istənilən qaydada çəkə biləcəyinizi unutmayın. Yəni əvvəlcə bir ace ya da on çəkə bilərsiniz, fərqi yoxdur. Beləliklə, bunu hesablayarkən, kartların düzəldildiyini fərz edərək bir Royal Flush almaq üçün həqiqətən dörddən çox yol olduğunu unutmayın!

Oyun # 4 - IMF Lotereyası

Dördüncü problem, bu gün danışdığımız üsullarla bu qədər asanlıqla həll edilə bilməz, ancaq vəziyyəti proqramlaşdırma və ya Excel istifadə edərək asanlıqla simulyasiya edə bilərsiniz. Monte Carlo metodunu bu problemin timsalında işləyə bilərsiniz.

Daha əvvəl işlədiyim "Chron X" oyunundan bəhs etdim və çox maraqlı bir kart var idi - IMF lotereyası. İşləmə qaydası budur: oyunda istifadə etdiniz. Tur başa çatdıqdan sonra kartlar yenidən paylandı və kartın oyundan çıxması və təsadüfi bir oyunçunun bu kartda əlaməti olan hər növ mənbədən 5 vahid alması ehtimalı 10% idi. Kart tək bir jeton olmadan oyuna qoyulmuşdu, lakin növbəti turun əvvəlində hər dəfə oyunda qaldıqda bir nişan almışdı. Beləliklə, onu oyuna cəlb etməyiniz, raundun bitməsi, kart oyundan çıxması və heç kimin heç nə əldə etməməsi ehtimalı% 10 idi. Əgər bu baş verməsə (90% ehtimal ilə), növbəti mərhələdə oyundan çıxacağı və kimsə 5 alacağı ehtimalı 10% (əslində 9%, çünki bu 90% -dən 10% -dir). resurs vahidi. Kart bir raunddan sonra oyunu tərk edərsə (mövcud 81% -dən 10%, buna görə ehtimal 8.1% -dir), kimsə 10 vahid alacaq, başqa bir turdan sonra - 15, digəri - 20 və s. S: nəhayət oyundan çıxdıqda bu kartdan alacağınız mənbələrin sayının ümumi gözlənilən dəyəri nədir?

Ümumiyyətlə bu problemi hər nəticənin mümkünlüyünü taparaq bütün nəticələrin sayına vuraraq həll etməyə çalışardıq. Beləliklə, 0 (0.1 * 0 \u003d 0) qazanma ehtimalı 10% -dir. 5 vahid qaynaq alacağınız 9% (9% * 5 \u003d 0.45 resurs). Aldığınızın 8.1% -i 10 (8.1% * 10 \u003d 0.81 ümumi qaynaqlar, gözlənilən dəyər). Və s. Və sonra hamısını əlavə edərdik.

İndi problem sizin üçün aydındır: kartın olma şansı həmişə var yox oyunda qala bilməsi üçün oyunu tərk edəcək həmişəlik, sonsuz sayda dövrə görə, hesablama imkanları hər şans mövcud deyil. Bu gün öyrəndiyimiz metodlar bizə sonsuz rekursiyanı hesablamaq qabiliyyəti vermir, ona görə də süni şəkildə yaratmalı olacağıq.

Proqramlaşdırma ilə kifayət qədər yaxşıysanız, bu kartı simulyasiya edən bir proqram yazın. Dəyişəni əvvəlki sıfır vəziyyətinə gətirən, təsadüfi bir rəqəm göstərən və dəyişənin döngədən çıxma ehtimalı 10% olan bir zaman dövrü olmalıdır. Əks təqdirdə, dəyişənə 5 əlavə edir və döngü təkrarlanır. Nəhayət döngədən çıxdıqda, sınaq sınaqlarının ümumi sayını 1 və ümumi mənbələrin sayını artırın (dəyişənin dayandığı yerdən nə qədər asılıdır). Sonra dəyişəni sıfırlayın və yenidən başlayın. Proqramı bir neçə min dəfə çalıştırın. Nəticədə, ümumi mənbələri ümumi qaçışlara bölün - bu gözlənilən Monte Carlo dəyərinizdir. Aldığınız rəqəmlərin təxminən eyni olduğundan əmin olmaq üçün proqramı bir neçə dəfə çalıştırın; yayılma hələ də böyükdürsə, kibrit almağa başlayana qədər xarici dövrədəki təkrar sayını artırın. Əmin ola bilərsiniz ki, sona çatdığınız hər hansı bir rəqəm təxminən doğru olacaqdır.

Proqramlaşdırma ilə tanış deyilsinizsə (və hətta tanış olsanız da), Excel bacarıqlarınızı istiləşdirmək üçün kiçik bir məşq. Bir oyun tərtibçisisinizsə, Excel bacarıqları heç vaxt artıq olmaz.

IF və RAND funksiyaları hələlik əlverişli olacaq. RAND bir dəyər tələb etmir, yalnız 0 ilə 1 arasındakı təsadüfi onluq ədədi çıxarır. Adətən onu FLOOR və daha əvvəl qeyd etdiyim qəlibin rulonunu simulyasiya etmək üçün müsbət və mənfi cəhətləri birləşdiririk. Bununla birlikdə, bu vəziyyətdə kartın oyundan çıxma ehtimalı yalnız 10% qalır, buna görə RAND dəyərinin 0,1-dən az olub olmadığını yoxlaya bilərik və bununla artıq narahat olmayacağıq.

IF-nin üç mənası var. Sifariş üçün ya doğru, ya da olmayan bir şərt, sonra şərt doğrudursa qaytarılacaq bir dəyər və şərt doğru deyilsə qaytarılan bir dəyər. Beləliklə, aşağıdakı funksiya vaxtın 5% -ni, 0 digər zamanın 90% -ni qaytaracaq:
\u003d IF (RAND ()<0.1,5,0)

Bu əmri təyin etməyin bir çox yolu var, amma birinci turu təmsil edən hüceyrə üçün belə bir düsturdan istifadə edərdim, deyək ki, A1 hüceyrəsidir:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

Burada mən bu mənfi dəyişəni “bu kart oyundan çıxmayıb və hələ heç bir qaynaq verməyib” mənasını verirəm. Beləliklə, ilk raund bitib və kart oyundan çıxsa, A1 0; əks halda -1-dir.

İkinci turu təmsil edən növbəti hücrə üçün:

IF (A1\u003e -1, A1, IF (RAND ())<0.1,5,-1))

Beləliklə, ilk tur başa çatdıqda və kart dərhal oyundan ayrılırsa, A1 0 (mənbələrin sayı) olur və bu xana sadəcə bu dəyəri kopyalayacaqdır. Əks halda A1 -1 (kart hələ oyundan ayrılmamışdır) və bu hüceyrə təsadüfi olaraq hərəkət etməyə davam edir: vaxtın 10% -i 5 vahid qaynaq qaytaracaq, qalan zaman dəyəri hələ də qalacaq -1. Bu formulu əlavə hüceyrələrə tətbiq etsək, əlavə raundlar alırıq və hansı hücrə sonunda sizə düşsə, son nəticəni əldə edəcəksiniz (və ya kart oynadığınız bütün turlardan sonra oyunu tərk etməyibsə -1) .

Bu kartla tək dəyirmi olan bu hücrə cərgəsini götürün və bir neçə yüz (və ya minlərlə) satırı kopyalayıb yapışdırın. Biz edə bilməyəcəyik sonsuzexcel üçün test (cədvəldə məhdud sayda hüceyrə var), lakin ən azı əksər halları əhatə edə bilərik. Sonra bütün turların nəticələrinin ortalamasını yerləşdirəcəyiniz bir hücrə seçin (Excel bunun üçün AVERAGE () funksiyasını lütflə təmin edir).

Windows-da ən azı bütün təsadüfi rəqəmləri yenidən saymaq üçün F9 düyməsini basa bilərsiniz. Əvvəlki kimi, bunu bir neçə dəfə edin və əldə etdiyiniz dəyərlərin eyni olub olmadığını yoxlayın. Yayılma çox genişdirsə, qaçış sayını iki dəfə artırın və yenidən cəhd edin.

Həll edilməmiş vəzifələr

Əgər ehtimal üzrə doktorluq dərəcəsi alsanız və yuxarıda göstərilən problemlər sizin üçün çox asan görünsə, burada illərdir məni çaşdıran iki problem var, amma təəssüf ki, onları həll etmək üçün riyaziyyatdan o qədər də yaxşı deyiləm. Birdən həll yolunu bilirsinizsə, xahiş edirəm şərhlərdə buraya göndərin, məmnuniyyətlə oxuyacağam.

Çözülməmiş 1 nömrəli problem: LotereyaBVF

İlk həll olunmamış problem əvvəlki ev tapşırığıdır. Monte Carlo metodunu asanlıqla tətbiq edə bilərəm (C ++ və ya Excel istifadə edərək) və "oyunçu nə qədər qaynaq alacaq" sualının cavabında özümə arxayın olacağam, amma dəqiq bir sübut təqdim etməyi dəqiq bilmirəm. riyazi olaraq cavab ver (bu sonsuz bir seriyadır). Cavabını bilirsinizsə, buraya göndərin ... Monte Carlo metodu ilə yoxladıqdan sonra, əlbəttə.

Çözülməmiş problem # 2: Formaların ardıcıllığı

Bu problem (və yenə də bu bloqda həll edilmiş tapşırıqlardan çox kənara çıxır) mənə 10 ildən çox əvvəl tanış bir oyunçu atdı. Vegasda blackjack oynayarkən bir maraqlı xüsusiyyəti fərq etdi: 8 göyərtə üçün ayaqqabısından kart çıxardanda gördü on üst-üstə parçalar (bir parça və ya bir parça kartı - 10, Joker, King və ya Queen, buna görə standart 52 kartlı göyərtədə bunlardan 16-sı var, buna görə 416-lik bir ayaqqabıda 128-i var). Bu ayaqqabının içində olma ehtimalı nə qədərdir ən azı bir ardıcıllıqla on və ya daha çoxrəqəmlər? Gəlin təsadüfi qaydada vicdanla qarışdırıldıqlarını düşünək. (Və ya daha yaxşı sevirsinizsə, bunun ehtimalı nə qədərdir heç bir yerdə tapılmadı on və ya daha çox formalı ardıcıllıq?)

Tapşırığı sadələşdirə bilərik. Budur 416 hissədən ibarət bir sıra. Hər parça 0 və ya 1-dir. Ardıcıllıqla təsadüfi səpələnmiş 128 ədəd və 288 sıfır var. 128-i 288 sıfır ilə təsadüfi şəkildə kəsməyin neçə yolu var və bu metodların ən azı on və ya daha çox qrupu neçə dəfə var?

Hər dəfə bu problemi həll etməyə başladığımda mənə asan və açıq görünürdü, amma detallara girən kimi qəfildən dağılmışdı və mənə qeyri-mümkün görünürdü. Buna görə cavabı qaralamağa tələsməyin: oturun, diqqətlə düşünün, problemin şərtlərini öyrənin, həqiqi rəqəmləri əvəz etməyə çalışın, çünki bu problem barədə danışdığım bütün insanlar (bu sahədə çalışan bir neçə aspirant daxil olmaqla) təxminən eyni reaksiya verdi "Tamamilə aydındır ... oh, yox, gözlə, qətiyyən açıq deyil." Bütün variantları hesablamaq üçün heç bir metodum olmadığı vəziyyətdir. Əlbəttə ki, problemi bir kompüter alqoritmi vasitəsi ilə gücləndirə bilərdim, amma bu problemin həllinin riyazi yolunu bilmək daha maraqlı olardı.

Tərcümə - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Zar insanlar tərəfindən min illərdir istifadə olunur.

21-ci əsrdə yeni texnologiyalar zarları istənilən vaxt və İnternetə sahibsinizsə, əlverişli bir yerdə gəzdirməyə imkan verir. Zar həmişə evdə və ya yolda sizinlədir.

Zar generatoru, 1-dən 4-ə qədər zar ilə onlayn gəzməyə imkan verir.

Ölümü onlayn şəkildə kifayət qədər gəzdirin

Həqiqi zardan istifadə edərkən bir tərəfdən həddindən artıq kilolu və ya xüsusi hazırlanmış zardan istifadə edilə bilər. Məsələn, bir kubu oxlardan biri boyunca fırlada bilərsiniz və sonra ehtimal paylanması dəyişəcəkdir. Virtual kublarımızın bir xüsusiyyəti, bir yalançı təsadüfi say generatoru istifadə etməkdir. Bu, bu və ya digər nəticə üçün həqiqətən təsadüfi bir seçim təqdim etməyə imkan verir.

Və bu səhifəni əlfəcinlərinizə əlavə etsəniz, onlayn zarlarınız heç bir yerdə itirilməyəcək və həmişə lazımi anda əlinizdə olacaq!

Bəzi insanlar fal qurmaq və ya proqnozlar və ulduz falı hazırlamaq üçün onlayn zar istifadə etməyə uyğunlaşdılar.

Xoş əhval-ruhiyyə, yaxşı günlər və uğurlar!