Fərqli qısa arifmetik irəliləyişlərin xüsusiyyətləri 9. Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyişdəki vəzifələr artıq qədim zamanlarda mövcud idi. Göründü və bir həll tələb etdilər, çünki praktik bir zərurət yaşayırlar.

Beləliklə, riyazi məzmuna malik olan qədim Misirin papirusunun birində - Rinda Papirus (XIX əsr) belə bir tapşırıq var: hər biri arasındakı fərqin on nəfər üçün on nəfəri bölürük. səkkizinci hərəkət. "

Qədim yunanların riyazi əsərlərində arifmetik irəliləyişlə əlaqəli zərif teoremlər var. Beləliklə, Hypsum Alexandrian (II əsrdə çox maraqlı tapşırıqlar olan və on dördüncü kitabı "euclidin" eUCLID-ə) əlavə etdi, düşüncəni formalaşdırdı: "hətta üzvləri olan bir sıra, miqdarı olan bir arifmetik irəliləyişdə 2-ci yarısının üzvləri 1-ci üzvdən 1-ci üzv 1/2 üzvün sayı. "

Ardıcıllığı ifadə edir. Ardıcıllıq nömrələri onun üzvləri adlanır və ümumiyyətlə bu üzvün (A1, A2, A3 ... "A 1-O", "A 2-də", "A 2-in", "A 2-in", "A 2-də") göstərən e məkrli hərflərlə işarələnir pin "və s.).

Ardıcıllıq sonsuz və ya sonsuz ola bilər.

Arifmetik irəliləyiş nədir? Bunun altında, inkişaf fərqi olan eyni sayda D ilə əldə edilən əvvəlki üzv (n) əlavə etdiklərini başa düşürlər.

Əgər d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, bu irəliləyiş artan hesab olunur.

Arifmetik irəliləyiş yalnız bir neçə üzvünün nəzərə alındığı təqdirdə sona çatır. Çox sayda üzv olan bu, bu sonsuz bir irəliləyişdir.

Hər hansı bir arifmetik irəliləyiş aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

a \u003d KN + B, B və K isə bəzi nömrələrdir.

Məqsəm olan tamamilə doğru bir ifadədir: ardıcıllıqla oxşar bir formula verilirsə, bu, bu, xüsusiyyətləri olan bu tam bir arifmetik bir irəliləyişdir:

1. Tərəqqi hər bir üzvü əvvəlki üzvün və sonrakı şəxsin arifmetik ortalamasıdır.
2. Əksəlisi: Əgər 2-ci, hər bir üzvün əvvəlki üzvün və sonrakı üzvlərin arifmetik ortalamasıdırsa, I.E. Bir şərt razıdırsa, bu ardıcıllıq arifmetik irəliləməsidir. Bu bərabərlik eyni vaxtda irəliləyiş əlamətidir, buna görə də, ümumiyyətlə irəliləmənin xarakterik əmlakı adlanır.
   Eynilə, bu əmlakı əks etdirən teorem: ardıcıllıqla - ardıcıllıqla ardıcıllıqla, ardıcıllıqların hər hansı biri üçün, 2-cidən başlayaraq ardıcıllıqla arifmetik irəliləyiş.

Hər hansı bir arifmetik irəliləyişin dörd nömrəli hər hansı bir sayı üçün xarakterik əmlakı Formula A + Am \u003d AK + AL, əgər n + m \u003d k + l (m, n, k, irəliləmənin sayınındır) tərəfindən ifadə edilə bilər.

Arifmetik irəliləyişdə, hər hansı bir üzvü (N-TH) aşağıdakı düsturu tətbiq etməklə tapıla bilər:

Məsələn: Arifmetik irəliləyişdə ilk termin (A1) üçə bərabərdir və üç-ə bərabərdir və fərq (d) dördə bərabərdir. Bu irəliləmənin qırx beşinci üzvünə ehtiyacınız var. A45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

A \u003d AK + D Formula (N - K), məlum olan K-ci üzvünün hər hansı birinin arifmetik irəliləməsinin üzvünü müəyyənləşdirməyə imkan verir.

Arifmetik irəliləyiş üzvlərinin cəmi (son irəliləyişin 1-ci n üzvünü nəzərdə tutur) aşağıdakı kimi hesablanır:

SN \u003d (A1 + A) n / 2.

1-ci üzv də məlum olarsa, başqa bir formula hesablama üçün əlverişlidir:

Sn \u003d ((2A1 + d (n - 1)) / 2) * n.

N üzvlərini ehtiva edən arifmetik irəliləyişin miqdarı bu şəkildə hesablanır:

Hesablamalar üçün düsturlar seçimi vəzifələrin və mənbə məlumatlarının şərtlərindən asılıdır.

1,2,3, ..., n, ...- hesab tərəqqisinin ən sadə nümunəsi kimi hər hansı bir nömrənin təbii seriyası.

Arifmetik irəliləməyə əlavə olaraq, öz xüsusiyyətlərinə və xüsusiyyətlərinə sahib bir həndəsi var.

Hər bir təbii nömrə varsa n. etibarlı etmək a N. , sonra nə dediklərini deyirlər rəqəmsal ardıcıllıqla :

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . , a N. , . . . .

Beləliklə, ədədi ardıcıllıq təbii dəlilin funksiyasıdır.

Nömrə a. 1 Zəng etmək ardıcıllığın ilk üzvü , Nömrəsi a. 2 — ardıcıllığın ikinci üzvü , Nömrəsi a. 3 — Üçüncü və s. Nömrə a N. Zəng etmək n-m ardıcıllıq üzvü və təbii nömrə n. — onun nömrəsi .

İki qonşu üzvdən a N. və a N. +1 Üzv ardıcıllığı a N. +1 Zəng etmək izlə (tərəfə a N. ), Amma a N. — Əvvəlki (tərəfə a N. +1 ).

Bir ardıcıllıqla təyin etmək üçün istənilən nömrə ilə ardıcıllıqla bir üzv tapmağa imkan verən bir üsulu göstərməlisiniz.

Tez-tez ardıcıllıqla istifadə olunur düstur n-ci üzv , Yəni ardıcıllıq üzvünü nömrəsi ilə müəyyənləşdirməyə imkan verən düsturdur.

Misal üçün,

müsbət tək ədədlərin ardıcıllığı düstur tərəfindən təyin edilə bilər

a N.= 2n -1,

və ardıcıllıqla alternativdir 1 və -1 - Düstur

b. N. = (-1) N. +1 . ◄

Ardıcıllıqla müəyyən edilə bilər təkrarlanan düstur, Yəni, əvvəlki (bir və ya daha çox) üzvdən başlayaraq, ardıcıllığın hər hansı bir üzvünü ifadə edən bir düsturdur.

Misal üçün,

əgər a a. 1 = 1 , Amma a N. +1 = a N. + 5

a. 1 = 1,

a. 2 = a. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a. 3 = a. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a. 4 = a. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a. 5 = a. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Əgər a a 1.= 1, 2. = 1, a N. +2 = a N. + a N. +1 , Rəqəmsal ardıcıllığın ilk yeddi üzvü aşağıdakı kimi müəyyən edilmişdir:

a 1. = 1,

2. = 1,

3. = a 1. + 2. = 1 + 1 = 2,

4. = 2. + 3. = 1 + 2 = 3,

5. = 3. + 4. = 2 + 3 = 5,

a. 6 = a. 4 + a. 5 = 3 + 5 = 8,

a. 7 = a. 5 + a. 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ardıcıllıqlar ola bilər bitirmək və sonsuz .

Ardıcıllıqla deyilir sonsuz Sonuncu sayda üzv varsa. Ardıcıllıqla deyilir sonsuz Sonsuz bir çox üzvü varsa.

Misal üçün,

İki rəqəmli təbii nömrələrin ardıcıllığı:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

sonu.

Prime Nömrələrin ardıcıllığı:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Ardıcıllıqla deyilir artan Üzvün hər biri ikincidən başlayaraq, əvvəlkindən daha çox.

Ardıcıllıqla deyilir enmək Hər bir üzv ikinci, əvvəlkindən daha azdırsa.

Misal üçün,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n., . . . - Ardıcıllığı artırmaq;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / N., . . . - ardıcıllığın azalması. ◄

Ardıcıllıqla, artan sayda, azalma və ya əksinə, artım, artmaqda deyil, adlanır monoton ardıcıllıqla .

Xüsusilə monoton ardıcıllıqlar artan ardıcıllıqlar və ardıcıllıqla azalır.

Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqla adlanır, hər bir üzv, ikincisindən başlayaraq, eyni sayda olan bir əvvəlki, əvvəlki biridir.

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . , a N., . . .

hər hansı bir təbii nömrə üçün bir arifmetik irəliləyişdir n. Vəziyyət razıdır:

a N. +1 = a N. + d.,

harada d. - Bəzi nömrələr.

Beləliklə, bu arifmetik irəliləyişin sonrakı və əvvəlki üzvləri arasındakı fərq həmişə daimdir:

2. - a. 1 = və 3. - a. 2 = . . . = a N. +1 - a N. = d..

Nömrə d. Zəng etmək arifmetik irəliləyiş arasındakı fərq.

Bir arifmetik irəliləyiş təyin etmək üçün ilk müddətini və fərqini təyin etmək kifayətdir.

Misal üçün,

əgər a a. 1 = 3, d. = 4 , ardıcıllığın ilk beş ardıcıllığı aşağıdakı kimi tapır:

a 1. =3,

2. = a 1. + d. = 3 + 4 = 7,

3. = 2. + d.= 7 + 4 = 11,

4. = 3. + d.= 11 + 4 = 15,

a. 5 = a. 4 + d.= 15 + 4 = 19. ◄

İlk üzvlə arifmetik irəliləyiş üçün a. 1 və fərq d. onun n.

a N. = a 1. + (n.- 1)d.

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişin otuzuncu üzvünü tapın

1, 4, 7, 10, . . .

a 1. =1, d. = 3,

30. = a 1. + (30 - 1)d \u003d.1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = a 1. + (n.- 2)d,

a N.= a 1. + (n.- 1)d,

a N. +1 = a. 1 + nd.,

sonra açıq-aydın

İkincisi, ikincisindən başlayan arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü, əvvəlki və sonrakı üzvlərin orta hesabla bərabərdir.

a, B və C nömrələri bəzi arifmetik irəliləyişin ardıcıl üzvləridir və yalnız bunlardan biri orta hesabla iki digərinə bərabərdirsə.

Misal üçün,

a N. = 2n.- 7 bir arifmetik irəliləyişdir.

Yuxarıdakı ifadəni istifadə edirik. Bizdə var:

a N. = 2n.- 7,

bir n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n.- 9,

a n + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2n.- 5.

Beləliklə,

◄

Buna görə də unutmayın n. - Arifmetik Tərəqqi üzvü yalnız deyil a. 1 həm də əvvəlki kimi bir K.

a N. = bir K. + (n.- k.)d..

Misal üçün,

üçün a. 5 qeyd edilə bilər

5. = a 1. + 4d.,

5. = 2. + 3d.,

5. = 3. + 2d.,

5. = 4. + d.. ◄

a N. = a n-k + kd.,

a N. = a n + k - kd.,

sonra açıq-aydın

bu arifmetik irəliləyişin üzvlərinin yarısına bərabər olan arifmetik irəliləyişin hər hansı bir üzvü ona bərabərdir.

Bundan əlavə, bərabərlik hər hansı bir arifmetik irəliləyiş üçün doğrudur:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişdə

1) a. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a. 9 + a. 11 )/2;

2) 28 = 10. = 3. + 7d.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + a 13)/2;

4) 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, kimi

2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S N.= a 1 + A 2 + A 3 +. . .+ a N.,

birinci n. Arifmetik irəliləyişin üzvləri terminlərin sayına görə həddindən artıq alternativ şərtlərin işinə bərabərdir:

Buradan, xüsusən də üzvlüyə görə yekunlaşmalıdır

bir K., bir K. +1 , . . . , a N.,

Əvvəlki formula öz quruluşunu saxlayır:

Misal üçün,

arifmetik irəliləyişdə 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S. 10 - S. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Arifmetik irəliləyiş verilsə, onda dəyərlər a. 1 , a N., d., n. vəS. n. İki düsturla bağlandı:

Buna görə, bu dəyərlərdən üçü dəyərləri verilərsə, iki qalan dəyərlərin müvafiq dəyərləri bu düsturlardan iki tənzimləmə sistemi ilə birləşdirilmiş iki tənzimləmə sisteminə uyğun olaraq müəyyən edilir.

Arifmetik irəliləyiş monoton bir ardıcıllıqdır. Harada:

• əgər a d. > 0 , sonra artmaqdadır;
• əgər a d. < 0 , enmək;
• əgər a d. = 0 Ardıcıllıq stasionar olacaq.

Həndəsi irəliləyiş

Həndəsi irəliləyiş ardıcıllıqla adlanır, hər bir üzv, ikincisindən başlayaraq, eyni sayda vurulan əvvəlki biridir.

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . , b N., . . .

hər hansı bir təbii nömrə varsa, həndəsi bir irəliləyişdir n. Vəziyyət razıdır:

b N. +1 = b N. · q.,

harada q. ≠ 0 - Bəzi nömrələr.

Beləliklə, bu həndəsi irəliləyişin sonrakı üzvünün əvvəlkinə nisbəti daimidir:

b. 2 / b. 1 = b. 3 / b. 2 = . . . = b N. +1 / b N. = q..

Nömrə q. Zəng etmək məxmini həndəsi irəliləməsi.

Həndəsi bir irəliləyiş təyin etmək üçün ilk müddətini və məxrəcini təyin etmək kifayətdir.

Misal üçün,

əgər a b. 1 = 1, q. = -3 , ardıcıllığın ilk beş ardıcıllığı aşağıdakı kimi tapır:

b 1. = 1,

b 2. = b 1. · q. = 1 · (-3) = -3,

b 3. = b 2. · q.= -3 · (-3) = 9,

b 4. = b 3. · q.= 9 · (-3) = -27,

b. 5 = b. 4 · q.= -27 · (-3) = 81. ◄

b. 1 və məxrəc q. onun n. - Formula tərəfindən tapıla bilər:

b N. = b. 1 · q N. -1 .

Misal üçün,

həndəsi irəliləyişin yeddinci üzvünü tapın 1, 2, 4, . . .

b. 1 = 1, q. = 2,

b. 7 = b. 1 · q. 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1. · q N. -2 ,

b N. = b 1. · q N. -1 ,

b N. +1 = b. 1 · q N.,

sonra açıq-aydın

b N. 2 = b N. -1 · b N. +1 ,

İkincisindən başlayaraq, hər bir həndəsi irəliləyişin hər bir üzvü, əvvəlki və sonrakı üzvlərin orta həndəsi (proporsional) bərabərdir.

Əks bəyanat da doğru olduğundan, onda aşağıdakı ifadənin baş verməsi baş verib:

a, B və C nömrələri bəzi həndəsi irəliləyişin ardıcıl üzvləridir

Misal üçün,

formula tərəfindən göstərilən ardıcıllığın olduğunu sübut edirik b N. \u003d -3 · 2 N. həndəsi bir irəliləyişdir. Yuxarıdakı ifadəni istifadə edirik. Bizdə var:

b N. \u003d -3 · 2 N.,

b N. -1 \u003d -3 · 2 N. -1 ,

b N. +1 \u003d -3 · 2 N. +1 .

Beləliklə,

b N. 2 \u003d (-3 · 2 N.) 2 \u003d (-3 · 2) N. -1 ) · (-3 · 2 N. +1 ) = b N. -1 · b N. +1 ,

lazımi ifadəni sübut edir. ◄

Buna görə də unutmayın n. - Həndəsi Tərəqqi Üzvü yalnız vasitəsilə tapıla bilər b. 1 , eyni zamanda əvvəlki üzv b K. Niyə düsturdan istifadə etmək üçün kifayətdir

b N. = b K. · q N. - K..

Misal üçün,

üçün b. 5 qeyd edilə bilər

b 5. = b 1. · q. 4 ,

b 5. = b 2. · q 3.,

b 5. = b 3. · q 2.,

b 5. = b 4. · q.. ◄

b N. = b K. · q N. - K.,

b N. = b N. - K. · q K.,

sonra açıq-aydın

b N. 2 = b N. - K.· b N. + K.

həndəsi irəliləyişin hər hansı bir üzvünün meydanı, ikincisindən başlayaraq bu irəliləyişlərin üzvlərinin işinə bərabərdir.

Bundan əlavə, bərabərlik hər hansı bir həndəsi irəliləyiş üçün doğrudur:

b M.· b N.= b K.· b L.,

m.+ n.= k.+ l..

Misal üçün,

həndəsi irəliləyişdə

1) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b. 5 · b. 7 ;

2) 1024 = b. 11 = b. 6 · q. 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b. 4 · b. 8 ;

4) b. 2 · b. 7 = b. 4 · b. 5 , kimi

b. 2 · b. 7 = 2 · 64 = 128,

b. 4 · b. 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S N.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . + b N.

birinci n. Məxrəc olan həndəsi irəliləyiş üzvləri q. ≠ 0 Formula tərəfindən hesablanır:

Üçün q. = 1 - düsturuna görə

S N.= nb. 1

Qeyd edək ki, üzvləri cəmləşdirmək lazımdırsa

b K., b K. +1 , . . . , b N.,

düstur istifadə olunur:

Misal üçün,

həndəsi irəliləyişdə 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S. 10 - S. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Həndəsi irəliləyiş verilsə, onda dəyərlər b. 1 , b N., q., n. və S N. İki düsturla bağlandı:

Buna görə də, bu dəyərlərdən hər hansı birinin dəyərləri verilmişdirsə, iki qalan dəyərlərin müvafiq dəyərləri bu düsturlardan iki bilinməyən iki tənliyə sisteminə birləşdirilmişdir.

İlk üzvlə həndəsi irəliləyiş üçün b. 1 və məxrəc q. Aşağıdakılar var monotoniyanın xüsusiyyətləri :

• aşağıdakı şərtlərdən biri edildiyi təqdirdə irəliləmə artır:

b. 1 > 0 və q.> 1;

b. 1 < 0 və 0 < q.< 1;

• aşağıdakı şərtlərdən biri edildiyi təqdirdə irəliləyiş azalır:

b. 1 > 0 və 0 < q.< 1;

b. 1 < 0 və q.> 1.

Əgər a q.< 0 , sonra həndəsi irəliləməsi bir işarədir): Old nömrələri olan üzvləri ilk üzvü və hətta nömrələri olan üzvlər - əks işarəsi olan üzvlərdir. Alternativ həndəsi irəliləyişin monoton olmadığı aydındır.

Birincinin işi n. Həndəsi irəliləyiş üzvləri düsturla hesablana bilər:

P N.= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B N. = (b 1. · b N.) n. / 2 .

Misal üçün,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz dərəcədə həndəsi irəliləyiş azalır

Sonsuz dərəcədə azalma həndəsi tərəqqi Mündominator modulu az olan sonsuz həndəsi bir irəliləyişə zəng edin 1 , i.e

|q.| < 1 .

Qeyd edək ki, sonsuz dərəcədə həndəsi irəliləyiş azalması ardıcıllığı olmaya bilər. Bu işə uyğundur

1 < q.< 0 .

Bu məxrəclə ardıcıllıq alver edir. Misal üçün,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz dərəcədə azalma həndəsi irəliləyişin məbləği birincinin cəminin məhdudiyyətsiz olduğu nömrəyə zəng edin n. Sayının sınırsız artımı ilə irəliləyiş üzvləri n. . Bu nömrə həmişə əlbəttə və düsturla ifadə olunur

Misal üçün,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik və həndəsi irəliləyişlərin ünsiyyəti

Arifmetik və həndəsi irəliləyişlər bir-biri ilə sıx bağlıdır. Yalnız iki nümunəni nəzərdən keçirin.

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . d. T.

b A. 1 , b A. 2 , b A. 3 , . . . b D. .

Misal üçün,

1, 3, 5, . . . - Fərqli arifmetik irəliləyiş 2 və

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - denominator ilə həndəsi irəliləyiş 7 2 . ◄

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . - denominator ilə həndəsi irəliləyiş q. T.

a b 1 daxil olun, a b 2 daxil olun, a b 3 daxil olun, . . . - Fərqli arifmetik irəliləyiş giriş A.q. .

Misal üçün,

2, 12, 72, . . . - denominator ilə həndəsi irəliləyiş 6 və

lg. 2, lg. 12, lg. 72, . . . - Fərqli arifmetik irəliləyiş lg. 6 . ◄

Dərs növü: Yeni bir material öyrənmək.

Məqsədlər Dərsi:

• arifmetik irəliləyişdən istifadə edərək həll olunan tapşırıqlar haqqında genişlənmə və dərinləşdirmək; Arifmetik inkişaf üzvlərinin birinci N üzvlərinin formulasının sonunda tələbələrin axtarış əməliyyatının təşkili;
• artıq əldə edilmiş bilik vəzifəsinə çatmaq üçün müstəqil olaraq yeni bilik əldə etmək bacarıqlarının inkişafı;
• İstəkin inkişafı və əldə edilən faktları, müstəqilliyin inkişafını ümumiləşdirmək lazımdır.

Tapşırıqlar:

• "Arifmetik Tərəqqi" mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirin və sistemləşdirin;
• arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin məbləğinin hesablanması üçün düsturu geri götürün;
• müxtəlif vəzifələri həll edərkən meydana gələn düsturların istifadəsini öyrət;
• Ədədi ifadənin dəyərini taparkən tələbələrin diqqətini prosedura cəlb etmək.

Avadanlıq:

• qrup və cüt iş üçün tapşırıqları olan kartlar;
• qiymətləndirmə kağızı;
• təqdimat "Arifmetik irəliləyiş."

I. İstinad biliklərinin aktuallaşdırılması.

1. Müstəqil iş cütlüklərdə.

1-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin tərifini verin. Arifmetik irəliləyişin qurulduğu təkrarlanan düsturu qeyd edin. Arifmetik irəliləyiş nümunəsini müalicə edin və onun fərqini göstərir.

2-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin üzvünün formulunu qeyd edin. Arifmetik irəliləyişin 100-ci üzvünü tapın ( a N.}: 2, 5, 8 …
Bu zaman lövhələrin arxasındakı iki tələbə eyni suallara cavab verir.
Şagirdlər bir tərəfdaşın işini lövhə ilə bükərək qiymətləndirirlər. (Cavablar keçməsi ilə yarpaqlar).

2. Eyni an.

Məşq 1.

Müəllim. Bəzi arifmetik irəliləyiş oldu. Məndən yalnız iki sualdan soruşun ki, cavab verdikdən sonra tez bu irəliləyişin 7-ci üzvünü adlandıra bilərsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Şagird suallar.

1. Tərəqqi altıncı üzvü nədir və fərq nədir?
2. Tərəqqi səkkizinci üzvü nədir və fərq nədir?

Daha çox suallar yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - "Ban" d (fərq), yəni fərqin nə olduğunu soruşmaq üçün icazə verilmir. Sual verə bilərsiniz: Tərəqqi 6-cı üzv nədir və irəliləmənin 8-ci üzvü nədir?

Tapşırıq 2.

İdarə Heyətində 20 ədəd qeyd edildi: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim yenidən lövhəyə dayanır. Şagirdlər sayının sayını çağırır və müəllim dərhal nömrəni çağırır. Bunu necə idarə etdiyimi izah edin?

Müəllim N-ci üzvünün formulunu xatırlayır a n \u003d 3n - 2və müəyyən edilmiş dəyərləri əvəz edən n, müvafiq dəyərləri tapır a n.

II. Bir öyrənmə tapşırığı.

Misir papirusunda tapılan II MU-mətli Minilmi ilə əlaqəli köhnə vəzifəni həll etməyi təklif edirəm.

Bir vəzifə: "Qoy bildirin: 10 nəfər arasındakı 10 arpa tədbirini bölüşdüm, hər bir şəxslə qonşusu arasındakı fərq tədbirin 1/8 hissəsidir."

• Bu vəzifə arifmetik irəliləyiş mövzusu ilə necə əlaqəlidir? (Hər bir növbəti daha çox tədbirlər alır, bu, D \u003d 1/8, 10 nəfər, N \u003d 10 deməkdir.)
• Və nə düşünürsən, 10 tədbirin sayı deməkdir? (Bütün irəliləyiş üzvlərinin cəmi.)
• Tapşırıq vəziyyətinə görə asanlıqla və yalnız arpa parçalanmağı nə bilmək lazımdır? (İlk Tərəqqi Üzvü.)

Vəzifə dərsi - Onların sayının, ilk müddət və fərqin irəliləməsinin, qədim dövrlərdə isə işin yoxlanılması və yoxlanılması vəzifəni həll etmək.

Düsturun çıxış etməzdən əvvəl, qədim misirlilərin vəzifəni necə həll etdiyini görək.

Və bunu aşağıdakı kimi həll etdi:

1) 10 tədbir: 10 \u003d 1 ölçü - orta pay;
2) 1 ölçü ∙ \u003d 2 tədbir - ikiqat orta Paylamaq
Şübhə orta Səhm 5 və 6-cı şəxsin cəmidir.
3) 2 tədbir - 1/8 tədbirlər \u003d 1 7/8 tədbirləri - beşinci şəxsin hissəsini iki dəfə artırdı.
4) 1 7/8: 2 \u003d 5/16 - beşinci hissəsinin fraksiyası; Beləliklə, hər bir əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Bir ardıcıllıq alırıq:

III. Vəzifəni həll etmək.

1. Qruplarda işləmək

İ-i qrup: Ardıcıl 20 ədədin məbləğini tapın: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ümumiyyətlə

II qrup: Təbii nömrələrin cəmini 1-dən 100-ə (kiçik Gauss əfsanəsi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Çıxdı:

III qrup: Təbii nömrələrin cəmini 1 ilə 21 arasında tapın.

Həll yolu: 1 + 21 \u003d 2 + 20 \u003d 3 + 19 \u003d 4 + 18 ...

Çıxdı:

IV-i Group:Təbii nömrələrin cəmini 1 ilə 101-ə qədər tapın.

Çıxdı:

Hesab olunan tapşırıqların həlli bu üsulu "Gauss metodu" adlanır.

2. Hər qrup lövhədəki vəzifənin həllini təmsil edir.

3. Özbaşına arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin xülasəsi:

a 1, 2, a 3, ..., bir n-1, a n.
S N \u003d A 1 + A 2 + A 2 + A 4 + A + A 4 + A 4 + A N-3 + A N-2 + A N-1 + A N.

Eynilə mübahisə edən bu məbləği tapacağıq:

4. Tapşırığa qərar verdik? (Bəli.)

İv. Problemləri həll edərkən əldə edilmiş düsturların ilkin anlayışı və tətbiqi.

1. Köhnə bir vəzifənin həllini formulaya görə yoxlamaq.

2. Müxtəlif vəzifələri həll edərkən formulanın istifadəsi.

3. Problemləri həll edərkən düstur tətbiq etmək qabiliyyətinin formalaşması ilə bağlı təlimlər.

A) №613

Danyla: ( a n) -arifmetik irəliləmə;

(A n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tapmaq: S 1500.

Qərar: , a 1 \u003d 1, 1500 \u003d 1500,

B) verilmiş: ( a n) -arifmetik irəliləmə;
(A n): 1, 2, 3, ...
S n \u003d 210

Tapmaq: n.
Qərar:

V. Qarşılıqlı testlə müstəqil iş.

Denis kuryer tərəfindən işə getdi. İlk ayda əmək haqqı 200 rubl təşkil etdi, hər sonrakı hər birində 30 rubl artdı. Bir il nə qədər qazandı?

Danyla: ( a n) -arifmetik irəliləmə;
a 1 \u003d 200, D \u003d 30, N \u003d 12
Tapmaq: S 12.
Qərar:

Cavab: 4380 rubl il üçün Denis aldı.

Vi. Dərzi təlimatı.

1. maddə 4.3 - Düsturun çıxışını öyrənin.
2. №№ 585, 623 .
3. Aritmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin düsturundan istifadə edərək həll olunan bir tapşırıq verin.

Vii. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Qiymətləndirmə vərəqi

2. Cümlələrə davam edin

• Bu gün dərsdə öyrəndim ...
• Düsturlar öyrəndi ...
• Mən düşünürəm ki …

3. 1-dən 500-ə qədər nömrələrin miqdarını tapa bilərsiniz? Bu işi hansı metod həll edəcəksiniz?

Biblioqrafiya.

1. Cəbr, 9-cu sinif. Ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik. Ed. G.V. Dorofeyev. M.: "Maarifləndirmə", 2009.

I. V. Yakovlev | Riyaziyyat materialları | Mathus.ru.

Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyiş xüsusi bir forma ardıcıllığıdır. Buna görə, arifmetik (və sonra həndəsi) irəliləyiş tərifini verməzdən əvvəl, ədədi ardıcıllığın vacib anlayışını qısaca müzakirə etməliyik.

Ardıcıllıq

Bəzi nömrələrin göstərildiyi ekrandakı cihazı təsəvvür edin. Deyək 2; 7; 13; biri; 6; 0; 3; ::: Belə bir sıra nömrələr bir sıra bir ardıcıllıqla bir nümunədir.

Tərif. Rəqəmsal ardıcıllıq, hər nömrənin özünəməxsus bir nömrəni təyin edə biləcəyiniz (yəni bir təbii nömrəni bəstələmək) 1-i təyin edə biləcəyi bir sıra bir sıradir. N nömrəsi olan nömrə N-M ardıcıllığı üzvü deyilir.

Beləliklə, yuxarıdakı nümunədə birinci nömrədə 2 nömrəli, A1 tərəfindən işarələnə biləcək ardıcıllığın ilk üzvüdür; Beşinin sayı 6 nömrəli, A5 tərəfindən işarələnə biləcək ardıcıllığın beşinci üzvüdür. Ümumiyyətlə, ardıcıllığın n-ci üzvü (və ya bn, cn və s.) İmkan verilir.

Sequensiyanın üzvü də bir düstur istədikdə vəziyyət çox rahatdır. Məsələn, Formula A \u003d 2N 3 ardıcıllığı təyin edir: 1; biri; 3; beş; 7; :::: Formula an \u003d (1) n ardıcıllıqla müəyyənləşdirir: 1; biri; biri; biri; ::: ::::

Heç bir çox nömrə ardıcıllıqla deyil. Beləliklə, seqment ardıcıllıqla deyil; Bu çox sayda nömrəni ehtiva edir ki, icarəyə götürülə bilər. Bütün etibarlı nömrələrin müəyyən edilmiş bir sıra ardıcıllıqla deyil. Bu faktlar riyazi analiz zamanı sübut olunur.

Arifmetik irəliləyiş: Əsas təriflər

İndi arifmetik irəliləməni təyin etməyə hazırıq.

Tərif. Arifmetik irəliləyiş ardıcıllığıdır, bunun hər bir üzvü (ikincisindən başlayaraq) əvvəlki üzvün və bəzi sabit nömrənin miqdarına bərabərdir (arifmetik irəliləyişdəki fərq).

Məsələn, bir ardıcıllıq 2; beş; səkkiz; on bir; ::: İlk Termin 2 və Fərqli bir arifmetik bir irəliləyişdir. 3. Sequence 7; 2; 3; səkkiz; ::: İlk Termin 7 və Fərqli bir arifmetik irəliləyişdir. 5. ardıcıllıqla 3; 3; 3; ::: sıfıra bərabər olan bir fərqlə bir arifmetik irəliləyişdir.

Ekvivalent tərifi: ardıcıllıq A + 1 bir fərqi daimi dəyərdirsə (ndən müstəqil) fərq olarsa, arifmetik irəliləyiş adlanır.

Arifmetik irəliləməsi, fərqi müsbətdirsə və fərqi mənfi olduqda azalır.

1 Ancaq daha qısa bir tərif: Sequence, təbii nömrələrin dəstində müəyyən edilmiş bir funksiyadır. Məsələn, etibarlı nömrələrin ardıcıllığı bir F: n funksiyası var! R.

Defolt ardıcıllığı sonsuz sayılır, yəni sonsuz bir çox nömrədən ibarətdir. Ancaq heç kim son ardıcıllığı nəzərdən keçirməyə çalışmır; Əslində, hər hansı bir son nömrə dəsti son ardıcıllıqla adlandırmaq olar. Məsələn, son ardıcıllıqla 1; 2; 3; Dörd; 5 beş ədəddən ibarətdir.

Arifmetik irəliləyiş üzvünün n-ci üzvünün formulu

Arifmetik irəliləyişin iki nömrə ilə müəyyənləşdirildiyini başa düşmək asandır: ilk üzv və fərq. Buna görə də sual yaranır: necə, ilk müddəti və fərqi necə bilmək, arifmetik irəliləyişin ixtiyari üzvü tapın?

Arifmetik irəliləyişin N-ci üzvünün istədiyi formulunu əldə etmək çətin deyil. QOYUN.

Tapşırıq 1. Arifmetik irəliləyiş 2-də; beş; səkkiz; on bir; :::: N-ci üzvünün formulunu tapın və yüzdən çox üzvü hesablayın.

Qərar. Formula görə (1) Bizdə var:

a \u003d 2 + 3 (N 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Arifmetik irəliləyişin əmlakı və əlaməti

Arifmetik irəliləyişin əmlakı. Arifmetik irəliləyişdə hər hansı bir üçün

Başqa sözlə, arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü (ikincidən başlayaraq) orta hesablı qonşu üzvdür.

nə tələb olunurdu.

Daha çox ortaq, arifmetik irəliləyiş üçün bərabərlik ədalətlidir

a n \u003d a n k + a n + k

hər hansı bir n\u003e 2 və hər hansı bir təbii k ilə< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Məlum olur ki, bu formula (2) yalnız zəruri deyil, ardıcıllığın arifmetik irəliləməsi də kifayət qədər şərtdir.

Arifmetik irəliləyişin əlaməti. Heç bir bərabərlik (2) bütün n\u003e 2 üçün yerinə yetirilmirsə, ardıcıllıq arifmetik bir irəliləyişdir.

Dəlil. Formula (2) aşağıdakı kimi yenidən yazdıq:

a na n 1 \u003d a n + 1a n:

Bir + 1 bir fərqin n-dən asılı olmadığı və bu, ardıcıllığın bir arifmetik irəliləyiş olduğunu ifadə etmək olar.

Arifmetik irəliləyişin əmlakı və əlaməti bir ifadə şəklində formalaşdırıla bilər; Üç nömrə üçün rahatlıq üçün bunu edəcəyik (bu vəziyyət tez-tez vəzifələrdə olur).

Arifmetik irəliləyişin xarakteristikası. Üç ədəd A, B, c bir arifmetik irəliləyiş meydana gətirir və yalnız 2b \u003d a + c olarsa.

Tapşırıq 2. (MSU, Escu. Ft, 2007) Göstərilən prosedurda üç nömrə 8x, 3 x2 və 4 azalma hesabı azaldır. X tapın və bu irəliləyişin fərqini göstərin.

Qərar. Arifmetik irəliləyişin əmlakı ilə:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; X \u003d 5:

Əgər x \u003d 1, onda 8, 2, 4-ü azaldan irəliləyiş 6. Fərqi ilə əldə edilir. X \u003d 5 varsa, artan irəliləyiş 40, 22, 4; Bu iş uyğun deyil.

Cavab: X \u003d 1, fərq 6-a bərabərdir.

Arifmetik irəliləyişin ilk N üzvlərinin cəmi

Əfsanədə deyilir ki, bir gün müəllim uşaqlara 1-dən 100-ə qədər olan nömrələrin cəmini tapmağı əmr etdi və Sakit qəzeti sakitcə oxudu. Ancaq bir neçə dəqiqə keçmədi, çünki bir oğlan vəzifəni həll etdiyini söylədi. Bu, 9 yaşlı bir Carl Friedrich Gauss, sonradan tarixdəki ən böyük riyaziyyatçılardan biri idi.

Bir az Gauss ideyası belə idi. Ol

S \u003d 1 + 2 + 3 + :::: + 98 + 99 + 100 + 100:

Bu məbləği tərs qaydada yazırıq:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 1 + 1;

bu düsturlardan ikisini qoyun:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (3 + 98) + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) + (100 + 1):

Mötərizədə hər bir müddət 101-ə bərabərdir və bütün bu şərtlər 100. buna görə

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

Bu fikri məbləğin cəminin nəticəsi üçün istifadə edirik.

S \u003d A1 + A2 + :: + + A N N: (3)

Formulanın faydalı modifikasiyası (3) n-th üzvünün düsturunu əvəz etsələr, bir A \u003d A1 + (N 1) D:

Task 3. 13-ə bölünən bütün müsbət üç rəqəmli nömrələrin cəmini tapın.

Qərar. Üç rəqəmli nömrələr, çox 13, ilk üzv 104 ilə bir arifmetik irəliləyiş və 13 arasındakı fərq; Bu irəliləmənin N-ci üzvü:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Gəlin irəliləməmizin neçə üzv olduğunu öyrənək. Bunu etmək üçün bərabərsizliyi həll edin:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; N 6 69:

Beləliklə, 69 üzvün irəliləməyimizdə. Formula (4) tərəfindən axtarılan məbləği tapırıq:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

Diqqət!
Bu mövzuda əlavə var
Xüsusi bir hissədə materiallar 555.
Güclü olanlar üçün "çox deyil ..."
Və "çox ..." üçün)

Arifmetik irəliləyiş, hər sayın əvvəlkindən (və ya daha az) və eyni dəyəri olan bir sıra nömrələrdir.

Bu mövzu tez-tez mürəkkəb və anlaşılmazdır. Geyimlərdə olan indekslər, irəliləyişin N-ci üzvü, irəliləyiş fərqi - bütün bunlar birtəhər qarışdırır, bəli ... arifmetik irəliləyişin mənası ilə anlamaz və dərhal işləyəcək.)

Arifmetik irəliləyiş anlayışı.

Arifmetik irəliləyiş - Konsepsiya çox sadə və aydındır. Şübhə? Boş yerə.) Özümüzü görmək.

Yarımçıq nömrələrin sayını yazacam:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu serialı uzada bilərsiniz? İlk beşdən sonra hansı nömrələr daha da gedəcək? Hər biri ... Uh-uh ..., bir sözlə, hər kəs 6, 7, 8, 9 və s. Nömrələrin daha da irəli sürəcəyini anlayacaqdır.

Vəzifəni tamamlayın. Yarımçıq sayda nömrələr verirəm:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Müntəzəmliyi tuta, bir sıra uzada və zəng edə bilərsiniz yeddinci satırlar nömrəsi?

Bunun 20 nömrəli olduğunu başa düşdünüzsə - sizi təbrik edirəm! Yalnız hiss etmirsən arifmetik irəliləyişin əsas məqamları, Lakin və uğurla işlərə uğurla istifadə etdilər! Həyata keçirilməyibsə - oxuduq.

İndi də əsas məqamları riyaziyyatdakı hisslərdən köçürəcəyik.)

İlk əsas an.

Arifmetik irəliləyiş nömrələrlə məşğuldur. Bu əvvəlcə qarışıqdır. Qərar vermək, qrafiklər qurmaq və bütün bunların ardından bir nömrəni uzatmaq üçün tənliyə alışdıq ...

Pis bir iş yoxdur. Yalnız irəliləyiş riyaziyyatın yeni bölməsi ilə ilk tanışlıqdır. Bölmə "satırlar" adlanır və rəqəm və ifadələr sıralarında dəqiq işləyir. Alışın.)

İkinci açar an.

Arifmetik irəliləyişdə, hər hansı bir rəqəm əvvəldən fərqlənir eyni böyüklüyündə.

Birinci nümunədə bu fərq birdir. Nə nömrəsi nə götürülür, bu, vahid başına əvvəlkindən daha çoxdur. İkincisində - troika. Əvvəlkindən daha çox nömrə. Əslində bu an budur və bizə nümunə tutmaq və sonrakı nömrələri hesablamaq imkanı verir.

Üçüncü əsas nöqtə.

Bu an təəccüblü deyil, bəli ... Ancaq çox, çox vacibdir. Bax budur: hər bir irəliləmənin hər sayı öz yerindədir. İlk nömrə var, yeddinci var, qırx beşinci və s. Düşdükləri kimi çaşqın olsalar, naxış yox olacaq. Arifmetik irəliləyiş yox olacaq. Yalnız bir sıra nömrələr olacaq.

Bütün nöqtə budur.

Əlbəttə ki, yeni mövzularda yeni şərtlər və notation görünür. Bilməlidirlər. Əks təqdirdə, vəzifəni başa düşməyəcəyəm. Məsələn, bir şeyə qərar verməlisən:

Arifmetik irəliləyişin ilk altı üzvünü (A N) 2 \u003d 5, D \u003d -2.5.

İlhamlandırır?) Aşpazlar, bəzi indekslər ... və vəzifəsi, yeri gəlmişkən - asan deyil. Yalnız şərtlərin və təyinatların mənasını başa düşməlisiniz. İndi bu işi mənimsəyəcəyik və vəzifəyə qayıdacağıq.

Şərtlər və təyinatlar.

Arifmetik irəliləyiş - Bu, hər nömrənin əvvəldən fərqləndiyi bir sıra nömrələrdir eyni böyüklüyündə.

Bu dəyər deyilir . Bu konsepsiyanı daha ətraflı şəkildə fərqləndirək.

Arifmetik irəliləyişin fərqi.

Arifmetik irəliləyişdəki fərq - Bu, hər hansı bir irəliləmənin dəyəridir daha çox Əvvəlki.

Bir vacib məqam. Xahiş edirəm sözə diqqət yetirin "Daha çox". Riyazi olaraq, bu, hər sayda irəliləyiş əldə edilməsi deməkdir qat-qatıq Əvvəlki nömrəyə arifmetik irəliləyişin fərqi.

Hesablamaq üçün deyək İkinci satırların sayı, lazımdır birinci Nömrə əlavə etmək Bu arifmetik irəliləyişin bu çox fərqi. Hesablama üçün beşnövlükdə - Fərq lazımdır əlavə etmək üçün dördüncü Yaxşı və s.

Arifmetik irəliləyişdəki fərq ola bilər müsbət Sonra hər sayda sıra əslində olacaq Əvvəlkindən daha çox. Bu cür irəliləməyə çağırılır artan. Misal üçün:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada hər nömrə çıxır qat-qatıq Müsbət bir nömrə, əvvəlki birinə +5.

Fərq ola bilər mənfi Sonra hər sayda satır Əvvəlkindən daha az. Belə bir irəliləyiş adlanır (buna inanmayacaqsınız!) enən.

Misal üçün:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada hər nömrə də əldə edilir qat-qatıq Əvvəlki, lakin artıq mənfi nömrəyə, -5.

Yeri gəlmişkən, irəliləyişlə işləyərkən dərhal xarakterini müəyyənləşdirmək çox faydalıdır - artmaqdadır və ya azalır. Qərarda gəzməyə, səhvlərinizə zərər verməyə və çox gec olana qədər düzəltməyə çox kömək edir.

Arifmetik irəliləyişdəki fərq bir qayda olaraq, məktub kimi ifadə edir d.

Necə tapmaq olar d. ? Çox sadə. İstənilən saydan istənilən saydan uzaqlaşmaq lazımdır Əvvəlki nömrə. Çıxmaq. Yeri gəlmişkən, toplama işlərinin nəticəsi "fərq" deyilir.)

Məsələn, müəyyənləşdiririk d. Arifmetik irəliləyiş artırmaq üçün:

2, 5, 8, 11, 14, ...

İstədiyimiz qədər hər hansı bir sıra satın alın, məsələn, 11. Ondan götürün əvvəlki nömrə bunlar. səkkiz:

Bu düzgün cavabdır. Bu arifmetik irəliləyiş üçün fərq üçdür.

Tamamilə ala bilərsiniz İstənilən sayda irəliləyiş Çünki Xüsusi irəliləyiş üçün d -həmişə eyni şey. Hərçənd sıranın əvvəlində, ortada, heç olmasa hər yerdə. Yalnız ilk nömrəni ala bilməzsiniz. Sadəcə, çünki ilk nömrədə Əvvəlki yoxdur.)

Yeri gəlmişkən, bunu bilmək d \u003d 3.Bu irəliləyişin yeddinci nömrəsini tapmaq çox sadədir. Beşinci nömrəyə 3-ə 3-ə əlavə edirik - 6-cı alacağıq, 17 yaşındadır. İlk üçlüyün altıncı nömrəsinə əlavə edəcəyəm, yeddinci nömrəni iyirmi alırıq.

Müəyyən etmək d. Arifmetik irəliləyiş azalması üçün:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Sizə, işarələrdən asılı olmayaraq, müəyyənləşdirməyinizi xatırladıram d. istənilən nömrədən lazımdır əvvəlki birini götür. Məsələn -7 üçün istənilən sayda irəliləyiş seçin. Əvvəlki bir nömrəli -2 var. Sonra:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Arifmetik irəliləyişdəki fərq hər hansı bir nömrə ola bilər: bütöv, fraksiya, irrasional, hər cür.

Digər şərtlər və təyinatlar.

Hər sıra sayılır arifmetik irəliləyiş üzvü.

Hər bir irəliləyiş üzvü nömrənizi edir. Otaqlar heç bir diqqət olmadan, bir neçə nəfərdən ciddi şəkildə gedirlər. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü və s. Məsələn, 2, 5, 8, 11, 14, ... İkisi - bu ilk üzv, beş, ikincisi, on bir - dördüncü, yaxşı, başa düşdün ...) - nömrələri özləri tamamilə, bütöv, fraksiya, mənfi, düşmüş, lakin nömrələrin nömrəsi - ciddi qaydada!

Ümumi formada irəliləyiş necə yazmaq olar? Problem deyil! Hər sıra sıra məktub şəklində yazılmışdır. Arifmetik irəliləyiş göstərmək üçün ümumiyyətlə məktubdur a.. Üzv sayı alt sağdakı indekslə göstərilir. Üzvlər bu kimi vergül (və ya vergüllə bir nöqtə) vasitəsilə yazın:

a 1, 2, 2, 4, 5, .....

a 1.- bu ilk nömrədir 3. - Üçüncü və s. Hiyləgər bir şey yoxdur. Bu serialı qeyd edin ki, qısaca bu kimi ola bilərsiniz: (A N.).

Tərəqqi var Sonsuz və sonsuz.

Sonsuz Tərəqqi məhdud sayda üzv var. Beş, otuz səkkiz, istədiyiniz qədər. Amma - son bir nömrə.

Sonsuz Tərəqqi - təxmin edə biləcəyiniz qədər sonsuz sayda üzv var.)

Son irəliləyişləri bir seriya vasitəsilə qeyd etmək, bu kimi ola bilər, bütün üzvlər və sonunda nöqtə:

a 1, 2, 3, 4, 5.

Və ya belə, bir çox üzv varsa:

a 1, 2, ... 14, 15.

Qısa bir qeyddə üzvlərin sayını əlavə olaraq təyin etməlisiniz. Məsələn (iyirmi üzv üçün), bu kimi:

(a n), n \u003d 20

Sonsuz irəliləyiş, bu dərsin nümunələrində olduğu kimi, sıranın sonunda nəşrdə tapıla bilər.

İndi vəzifələri düzəldə bilərsiniz. Tapşırıqlar sadə, sırf hesab tərəqqisinin mənasını anlamaq üçündür.

Arifmetik irəliləyiş üçün vəzifələrin nümunələri.

Yuxarıda göstərilən ətraflı işi təhlil edəcəyik:

1. Arifmetik irəliləyişin ilk altı üzvünü (A N) 2 \u003d 5, D \u003d -2.5.

Tapşırığı başa düşülən dildə tərcümə edirik. Dana sonsuz arifmetik irəliləmə. Bu irəliləmənin ikinci nömrəsini bilinir: 2 \u003d 5. Tərəqqi fərqi məlumdur: d \u003d -2.5. Bu irəliləmənin ilk, üçüncü, dördüncü, beşinci və altıncı üzvlərini tapmaq lazımdır.

Aydınlıq üçün, tapşırığın bir sıra vəziyyətini yazın. İkinci üzvün beşinci olduğu ilk altı üzv:

a 1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

3. = 2. + d.

İfadəni əvəz edirik 2 \u003d 5 və d \u003d -2.5. Minus haqqında unutmayın!

3.=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü üzv ikincidən az çıxdı. Hər şey məntiqlidir. Nömrə əvvəlkindən daha böyükdürsə mənfi Məbləğ, sonra nömrənin özü əvvəlkindən az olacaq. Tərəqqi enir. Tamam, düşünün.) Serialımızın dördüncü üzvünü nəzərdən keçiririk:

4. = 3. + d.

4.=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5. = 4. + d.

5.=0+(-2,5)= - 2,5

6. = 5. + d.

6.=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Beləliklə, üçüncüsü olan üzvlər altıncı yerdə hesablanmışdır. Belə bir sıra oldu:

1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

İlk üzvü tapmaq qalır a 1. Tanınmış bir saniyəyə görə. Bu, digər tərəfdən bir addım, sol.) Beləliklə, arifmetik irəliləyişdəki fərq d. Əlavə etməməliyik 2., Amma götür:

a 1. = 2. - d.

a 1.=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Hər şey budur. Quest Cavab:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Xaricdə bu işi həll etdiyimizi qeyd edin təkrarlanan yol. Dəhşətli bir söz yalnız irəliləmənin üzvü deməkdir Əvvəlki (bitişik) nömrəsinə görə. Tərəqqi ilə işləməyin digər yolları daha da baxacağıq.

Bu sadə işdən bir vacib çıxışı edə bilərsiniz.

Unutma:

Ən azı bir üzv və arifmetik irəliləyişdəki fərqi bilsək, bu irəliləmənin hər hansı bir üzvünü tapa bilərik.

Xatırlayırsan? Bu sadə nəticə bu mövzuda məktəb kursunun çoxunu həll etməyə imkan verir. Bütün tapşırıqlar üç əsas parametr ətrafında fırlanır: arifmetik irəliləyiş, irəliləyiş fərqi, üzv irəliləyişlərin sayını. Hər şey.

Əlbətdə ki, bütün əvvəlki cəbr ləğv edilmir.) Bərabərsizliklərin irəliləməsində və tənliklər və digər əşyalar tələyə düşür. Amma tərəqqi özü üçün - Hər şey üç parametr ətrafında fırlanır.

Məsələn, bu mövzuda bəzi populyar vəzifələri nəzərdən keçirin.

2. N \u003d 5, d \u003d 0.4 və 1 \u003d 3.6 olduqda, son hesablaşmaların son hesablaşmasını bir sıra şəklində qeyd edin.

Burada hər şey sadədir. Artıq hər şey verilir. Arifmetik irəliləyişin üzvlərinin hesablandığını, hesablamaq və yazmaq necə olduğunu xatırlamaq lazımdır. Tapşırıq vəziyyətindəki sözləri qaçırmamaq məsləhətdir: "FINAL" və " n \u003d 5."Beləliklə, ləkələməyə inanmamaq üçün.) Bu irəliləyişdə yalnız 5 (beş) üzv:

a 2 \u003d A 1 + D \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

4. = 3. + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

5. = 4. + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

Cavabı qeyd etmək üçün sol:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Daha çox tapşırıq:

3. Nömrənin 7 hesabının 7-nin (A N) üzvünün olub olmadığını müəyyənləşdirin a 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

Hmm ... onu kim bilir? Bir şeyi necə müəyyənləşdirmək olar?

Necə bənzəyən ... Bəli, bir sıra şəklində bir irəliləyiş yazın və baxın, orada yeddi və ya olmayacaq! Hesab edirik:

a 2 \u003d A 1 + D \u003d 4,1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

4. = 3. + d \u003d 6.5 + 1,2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

İndi yalnız olduğumuzu aydın şəkildə görürük sürüşkən 6.5 ilə 7.7 arasında! Yeddi nömrəm sayımıza girdi və bu, yeddi bir irəliləyişin üzvü olmayacaq.

Cavab: Xeyr.

Ancaq GİA-nın həqiqi versiyasına əsaslanan vəzifə:

4. Arifmetik irəliləyişin ardıcıl bir neçə üzvü var:

...; on beş; x; Doqquz; 6; ...

Burada sonsuz bir sıra qeyd olunur və başlayın. Heç bir üzv nömrəsi və ya fərq yoxdur d.. Pis bir iş yoxdur. Tapşırığı həll etmək üçün, arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək kifayətdir. Görünür və düşünürük kəşf etmək Bu seriyadan? Üç əsasın parametrləri nələrdir?

Üzvlər nömrələri? Tək bir nömrə yoxdur.

Ancaq üç ədəd və diqqət var! - söz "Ardıcıl" Vəziyyətdə. Bu o deməkdir ki, nömrələr atlamadan ciddi şəkildə qaydada gedir. Bu cərgədə iki iki var qonşu Məşhur nömrələr? Bəli var! Bu 9 və 6. bu oldu, arifmetik irəliləyişdəki fərqi hesablaya bilərik! Sixtur tutrundan Əvvəlki nömrə, I.E. Doqquz:

Qalan xırda şeylər var idi. İkka üçün əvvəlki hansı nömrə olacaq? On beş. Beləliklə, X asanlıqla asanlıqla tapıla bilər. 15-ə qədər arifmetik irəliləyişdə fərqi əlavə edin:

Hamısı budur. Cavab: x \u003d 12.

Aşağıdakı vəzifələr özlərini həll edir. Qeyd: Bu vəzifələr düsturlar üçün deyil. Sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçün.) Sadəcə nömrələri ilə bir sıra yazın, baxın və düşünürük.

5. Bir 5 \u003d -3 olduqda, arifmetik irəliləyişin ilk müsbət üzvünü tapın; d \u003d 1.1.

6. Məlumdur ki, 5.5 nömrəsi arifmetik irəliləyiş (a n), burada 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. Bu üzvün n-nin sayını müəyyənləşdirin.

7. Arifmetik irəliləyişdə 2 \u003d 4; 5 \u003d 15.1. 3 tapın.

8. Arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl üzvü yazılmışdır:

...; 15.6; x; 3.4; ...

X hərfi ilə göstərilən irəliləyişin üzvünü tapın.

9. Qatar stansiyadan hərəkət etməyə başladı, dəqiqədə 30 metr sürətlə bərabər artır. Beş dəqiqədə qatar sürəti nə olacaq? Cavab KM / saat verin.

10. Arifmetik irəliləyişdə 2 \u003d 5; 6 \u003d5. 1 tapın..

Cavablar (pozğunluqda): 7.7; 7.5; 9.5; Doqquz; 0.3; Dörd.

Hər şey işlədi? Mükəmməl! Aşağıdakı dərslərdə daha yüksək səviyyədə bir arifmetik irəliləyiş inkişaf etdirmək mümkündür.

Hər şey baş vermədi? Problem deyil. 555-ci ildə bütün bu vəzifələri sümüklər ətrafında sökülür.) Əlbəttə ki, bu cür tapşırıqların həllini dərhal vurğulayan sadə bir praktik qəbul təsvir edilmişdir, bu, xurma necədir!

Yeri gəlmişkən, qatar problemində insanların tez-tez büdrəməsi ilə bağlı iki problem var. Biri sırf irəliləyişdir, ikincisi riyaziyyatda və fizikada hər hansı bir problem üçün də yaygındır. Bu, bir-birindən digərinə ölçülərin tərcüməsidir. Bu problemləri necə həll etmək olar.

Bu dərsdə arifmetik irəliləyişin və onun əsas parametrlərinin elementar mənasını nəzərdən keçirdik. Bu mövzuda demək olar ki, bütün vəzifələri həll etmək üçün bu kifayətdir. Tənzimləmək d. Nömrələrə, bir sıra yazın, hər şey qərara alınacaq.

"Barmaqların üstündə" həlli, bu dərsin nümunələrində olduğu kimi bir sıra çox qısa bir hissə üçün uyğundur. Bir sıra daha tamdırsa, hesablamalar mürəkkəbdir. Məsələn, tapşırığın 9-u əvəz etməsi "beş dəqiqə" üstündə "Otuz beş dəqiqə", Vəzifə vacib olacaq.)

Və bir vaxtlar mahiyyət etibarilə, lakin etibarlı olmayan hesablamalar var, məsələn:

Bir arifmetik irəliləyiş (a n) verilir. Bir 1 \u003d 3, və D \u003d 1/6 varsa 121 tapın.

Və nə, daha çox 1/6-a qədər əlavə edəcəyik? Siz öldürə bilərsiniz!?

Edə bilərsiniz.) Bir sadə formulunu bilmirsinizsə, bu cür tapşırıqlar bir dəqiqədə həll edilə bilər. Bu düstur növbəti dərsdə olacaq. Və bu vəzifə orada həll olunur. Bir dəqiqədə.)

Bu saytı sevirsinizsə ...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün başqa bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələri həll etmək və səviyyənizi tapmaq üçün əldə etmək olar. Ani yoxlama ilə sınaqdan keçirin. Öyrənmək - maraqla!)

Xüsusiyyətlər və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.