§ 1 Təbii ədədlərin bölünməsi

Bu dərsdə divident, bölücü, hissə kimi anlayışlarla tanış olacaqsınız, həmçinin bölünmənin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirəcəksiniz və naməlum bir faktor, naməlum bir dividend və naməlum faktorla tənliklərin həllini öyrənəcəksiniz.

Problemi həll edək:

30 dəftər 3 yığına bərabər şəkildə qoyulmalıdır. Hər yığının içində neçə dəftər olacaq?

Hər bir yığının içində X notebooku olsun, sonra problem ifadəsi ilə

Yalnız bir ədədin 3 -ə vurulduqda 30 verdiyini təxmin etmək çətin deyil. Bu ədəd 10 -dur. Cavab: Hər yığın 10 notbukdan ibarətdir. Bunlar. müəyyən bir məhsul üçün bilinməyən bir amil 30 və amillərdən 3 tapdıq. 10 -a bərabərdir.

Beləliklə, bir tərif əldə etdik: başqa bir faktorun məhsul tərəfindən tapıldığı və faktorlardan birinə bölünmə deyilir.

Belə yazırlar:

Bölünən saya dividend deyilir, bölündüyünə bölücü deyilir və bölünmənin nəticəsinə hissə deyilir, yeri gəlmişkən, bölünən böləndən neçə dəfə çox olduğunu göstərir. Bizim vəziyyətimizdə, dividend 30, bölücü 3 və hissə 10 -dur.

§ 2 Təbii ədədlərin bölünmə xüsusiyyətləri

İndi bölünmənin xüsusiyyətlərinə baxaq:

Sizcə hər hansı bir ədəd bölücü ola bilərmi? Yox! Sıfıra bölmək olmaz!

Birə bölmək mümkündürmü? Bəli. Hər hansı bir nömrəni bölərkən eyni nömrəni alırsınız, məsələn, 18 -in birə bölünməsi 18 -dir.

Dividend sıfır ola bilərmi? Bəli! Sıfırın hər hansı bir natural ədədə bölünməsi sıfırla nəticələnir. Məsələn, 0 -un 4 -ə bölünməsi 0 -a bərabərdir.

Bir neçə vəzifə yerinə yetirək.

Birincisi: 4x = 144 tənliyini həll edin. Bölünmə mənasına görə x = 144: 4, yəni x = 36 var. Beləliklə, belə nəticəyə gələ bilərik: naməlum bir amil tapmaq üçün məhsulu a ilə bölmək lazımdır. məlum faktor.

İkinci vəzifə: x tənliyini həll edin: 11 = 22. Bölmə mənasında x 11 və 22 amillərinin məhsuludur. Deməli, x 11 -in 22 -yə, yəni x = 242 -ə bərabərdir.

Beləliklə, naməlum dividend tapmaq üçün bölməni bölücü ilə vurmaq lazımdır.

Tapşırıq nömrəsi 3: 108 tənliyini həll edin: x = 6. Bölmə mənasında 108 sayı 6 və x faktorlarının məhsuludur, yəni 6x = 108. Qaydanı tətbiq edərək naməlum faktoru tapırıq. x = 108: 6, yəni x = on səkkizdir.

Daha bir qayda əldə edirik: naməlum bölücünü tapmaq üçün dividend hissəyə bölünməlidir.

Beləliklə, bu dərsdə dividend, bölücü, hissə kimi anlayışlarla tanış oldunuz, eyni zamanda bölünmənin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirdiniz və naməlum faktoru, bilinməyən bölücü və ya bilinməyən bölücü ilə tənliklərin həlli qaydalarını əldə etdiniz.

İstifadə olunmuş ədəbiyyat siyahısı:

1. Riyaziyyat 5 sinif. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. et al.31 -ci nəşr, silindi. - M: 2013.
2. Didaktik materiallar riyaziyyat üzrə 5 sinif. Müəllif - Popov M.A. - 2013
3. Səhv etmədən hesablayırıq. 5-6 sinif riyaziyyatda özünü sınama ilə işləyir. Müəllif - Minaeva S.S. - 2014
4. Didaktik materiallar riyaziyyat üzrə 5 sinif. Müəlliflər: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Nəzarət və müstəqil iş, riyaziyyat üzrə 5 sinif. Müəlliflər - Popov M.A. - 2012
6. Riyaziyyat. 5 -ci sinif: dərslik. ümumi təhsil alan tələbələr üçün. qurumlar / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9 -cu nəşr, Silindi. - M.: Mnemosina, 2009.

Uzun bölünmə(adını da tapa bilərsiniz bölünmə künc) standart bir prosedurduraritmetik, sadə və ya mürəkkəb çox rəqəmləri bölməklə bölmək üçün nəzərdə tutulmuşdurbir sıra sadə addımlara bölünür. Bütün bölgü problemlərində olduğu kimi, bir nömrə də çağırılırbölünən, başqa adlanır, bölünürayırıcıadlı bir nəticə çıxarırözəl.

Sütun, natural ədədləri qalıq olmadan bölmək və natural ədədləri bölmək üçün istifadə edilə bilər qalanları ilə.

Uzun bölmə qeyd qaydaları.

Dividend, bölücü, bütün aralıq hesablamaları və nəticələri yazma qaydalarını öyrənərək başlayaqnatural ədədlərin bir sütuna bölünməsi. Dərhal deyək ki, yazılı şəkildə uzun bölünmə aparırıqDamalı astarlı kağız üzərində ən əlverişlidir - beləliklə istədiyiniz sətir və sütunla itirilmə şansı daha azdır.

Birincisi, dividend və bölən bir sətirdə soldan sağa, sonra yazılanlar arasında yazılırədədlər formanın simvolunu təmsil edir.

Misal üçün, bölünən 6105 rəqəmi və bölücü 55 -dirsə, bölünərkən düzgün yazılarsütun belə olacaq:

Dividend, bölücü, hissə yazmaq üçün yerləri göstərən aşağıdakı diaqrama baxın.uzun bölmə üçün qalan və aralıq hesablamalar:

Yuxarıdakı diaqramdan, istədiyiniz hissənin (və ya natamam özəl qalıqla bölünəndə) olacaqüfüqi çubuğun altında bölücünün altına yazılmışdır. Və aralıq hesablamalar aşağıda aparılacaqdividend alın və səhifədəki yerin mövcudluğuna əvvəlcədən diqqət yetirməlisiniz. Bu vəziyyətdə insan rəhbər olmalıdırqayda: dividend və bölücü qeydlərindəki personajların sayı fərqi nə qədər çox olarsayer tələb olunur.

Natural ədədin tək rəqəmli natural ədədlə sütun bölünməsi, uzun bölmə alqoritmi.

Uzun bölünmə ən yaxşı nümunə ilə izah olunur.Hesablayın:

512:8=?

Əvvəlcə dividenti və böləni bir sütuna yazaq. Bu belə görünəcək:

Bölmənin altına onların nəticəsi (nəticə) yazılacaq. Bu rəqəm 8 -ə sahibik.

1. Yarımçıq hissəni müəyyənləşdirin. Əvvəlcə dividend qeydində soldakı ilk rəqəmə baxırıq.Bu rəqəmlə təyin olunan ədəd böləndən çoxdursa, növbəti paraqrafda çalışmalıyıqbu nömrə ilə. Əgər bu ədəd böləndən azdırsa, o zaman aşağıdakıları nəzərə almalıyıqsolda, dividend qeydindəki nömrədir və nəzərdən keçirilən ikisinin təyin etdiyi rəqəmlə daha çox işləyinədədlərlə. Rahatlıq üçün qeydimizdə işləyəcəyimiz nömrəni seçək.

2. 5 alın. 5 sayı 8 -dən azdır, buna görə də dividenddən bir ədəd daha götürməlisiniz. 51 8 -dən çoxdur.bu yarımçıq bir hissədir. Bölməyə bir nöqtə qoyuruq (bölücünün küncünün altında).

51 -dən sonra yalnız bir ədəd 2 var. Buna görə nəticəyə bir xal daha əlavə edirik.

3. İndi, xatırlayaraq vurma cədvəli 8 -ə görə məhsulu 51 → 6 x 8 = 48 -ə ən yaxın tapırıq→ 6 rəqəmini hissəyə yazırıq:

51 -in altına 48 yazırıq (hissədən 6 -nı böləndən 8 -ə vurursanız, 48 -ə çatırıq).

Diqqət! Yarımçıq hissə altında yazarkən, natamam hissənin ən sağ rəqəmi yuxarıda olmalıdırən sağ rəqəm işləyir.

4. Solda 51 ilə 48 arasında "-" (eksi) qoyduq.Çıxarma qaydalarına görə çıxarın sütunda 48 və sətrin altındanəticəni yazın.

Ancaq çıxmanın nəticəsi sıfırdırsa, yazmağa ehtiyac yoxdur (bu paraqraf bölmə prosesini tamamlayan son hərəkət deyil sütun).

Qalanı 3 -dir. Qalanı bölənlə müqayisə edin. 3 8 -dən azdır.

Diqqət!Qalanlar böləndən böyükdürsə, hesablamada səhv etdik və bir məhsul varaldığımızdan daha yaxındır.

5. İndi orada yerləşən nömrələrin sağındakı üfüqi xəttin altında (və ya olmadığımız yerin sağında)sıfır yazmağa başladı) dividend qeydində eyni sütunda yerləşən nömrəni yazırıq. ƏgərBu sütunda divident üçün heç bir rəqəm olmadığı üçün uzun bölünmə orada bitir.

32 sayı 8 -dən böyükdür. Yenə də 8 -ə vurma cədvəlinə görə ən yaxın məhsulu tapırıq → 8 x 4 = 32:

Qalan sıfırdır. Bu o deməkdir ki, ədədlər tamamilə bölünmüşdür (qalıqsız). Əgər sondan sonratoplama sıfıra çevrilir və artıq rəqəm qalmır, onda bu qalıqdır. Şəxsi hissəyə əlavə edirikmötərizələr (məsələn, 64 (2)).

Çox rəqəmli natural ədədlər sütununa bölünmə.

Müsbət tam ədədlə bölünmə eyni şəkildə aparılır. Üstəlik, birincisində"Aralıq" dividend o qədər yüksək səviyyəli rəqəmlərə daxil edilir ki, böləndən daha böyükdür.

Misal üçün, 1976 26 -ya bölünür.

• Ən əhəmiyyətli bitdəki 1 rəqəmi 26 -dan azdır, buna görə iki rəqəmdən ibarət bir rəqəmi nəzərdən keçirin böyük rəqəmlər - 19.
• 19 rəqəmi də 26 -dan azdır, buna görə ən əhəmiyyətli üç rəqəmin - 197 rəqəmlərindən ibarət bir rəqəmi nəzərdən keçirin.
• 197 sayı 26 -dan çoxdur, 197 onluğu 26 -ya bölürük: 197: 26 = 7 (15 onluq qalır).
• 15 onluğu vahidlərə çeviririk, 6 kateqoriya birindən 156 alırıq.
• 156 -nı 26 -ya bölün, 6 alırıq.

Beləliklə, 1976: 26 = 76.

Bölünmənin hansısa bir mərhələsində "aralıq" dividendin bölücüdən daha az olduğu ortaya çıxsa, onda hissədə0 yazılır və bu bitdəki nömrə növbəti, daha aşağı sıralı bitə köçürülür.

Kəsimdə ondalık kəsr olan bölmə.

Ondalık kəsrlər onlayn. Onlu kəsrləri kəsirlərə və adi kəsrləri ondalıklara çevirmək.

Təbii ədəd tək rəqəmli natural ədədlə bölünmürsə, davam edə bilərsinizbit bölmə və hissədə ondalık kəsr əldə edin.

Misal üçün, 64 5 -ə bölünür.

• 6 düzəni 5 -ə bölürük, qalanında 1 -dən və 1 -dən alırıq.
• Qalan onluğu vahidlərə çeviririk, vahidlər kateqoriyasından 4 əlavə edirik, 14 alırıq.
• 14 vahidi 5 -ə bölün, qalan 2 ədəd və 4 ədəd əldə edirik.
• 4 ədəd onda birə çevrilir, biz onda onda alırıq.
• 40 onda bir hissəni 5 -ə bölün, 8 -ini alırıq.

Yəni 64: 5 = 12.8

Beləliklə, əgər natural ədədin təbii təkrəqəmli və ya çoxrəqəmli ədədlərə bölünməsi halındaqalıq alınır, sonra şəxsi vergül qoyub qalanını aşağıdakı hissələrə çevirə bilərsiniz,kiçik boşalma və bölünməyə davam edin.

Bu yazıda natural ədədlərin bölünməsi ilə əlaqədar ümumi təsəvvürləri öyrənəcəyik. Onlara ümumiyyətlə parçalanma prosesinin xassələri deyilir. Əsas olanları təhlil edəcəyik, mənalarını izah edəcəyik və düşüncələrimizi nümunələrlə dəstəkləyəcəyik.

İki bərabər natural ədədin bölünməsi

Bir natural ədədin ona bərabər olan digərinə necə bölünəcəyini başa düşmək üçün bölmə prosesinin mənasını başa düşmək lazımdır. Son nəticə, bölənə hansı mənanı verdiyimizdən asılıdır. İki mümkün varianta baxaq.

Beləliklə, bir elementimiz var (a ixtiyari bir natural ədəddir). Obyektləri qruplara bərabər paylayacağıq, qrupların sayı a -ya bərabər olmalıdır. Aydındır ki, hər qrupda yalnız bir maddə olacaq.

Bir az fərqli şəkildə yenidən formalaşdıraq: hər bir obyekti bir obyekt qruplarına necə paylamaq olar? Neçə qrupla başa çatacaqsınız? Əlbəttə ki, yalnız bir.

Eyni ölçülü natural ədədlərin bölünməsinin ilk xüsusiyyətini ümumiləşdirək və çıxarıb tapaq:

Tərif 1

Təbii ədədin ona bərabər bölünməsi sonda bir ədəd verir. Başqa sözlə, a: a = 1 (a hər hansı bir natural ədəddir).

Aydınlıq üçün iki nümunəyə baxaq:

Misal 1

450 -nin 450 -ə bölünməsi 1 -dir. 67 -ni 67 -yə bölsəniz, 1 -i alırsınız.

Gördüyünüz kimi, burada konkret rəqəmlərdən heç nə asılı deyil, dividend və bölücü bərabər olduğu təqdirdə nəticə eyni olacaq.

Natural ədədin birə bölünməsi

Əvvəlki paraqrafda olduğu kimi, vəzifələrdən başlayaq. Deyək ki, a -a bərabər olan hər hansı bir əşyamız var. Bunları hər birində bir mövzuya bölmək lazımdır. Parçalarımız olacağı aydındır.

Və soruşsaq: bir obyekt qoyulsa qrupda neçə obyekt olacaq? Cavab açıqdır - a.

Beləliklə, natural ədədləri 1 -ə bölmək xüsusiyyətinin formalaşmasına gəlirik:

Tərif 2

İstənilən natural ədədləri bir yerə bölərkən eyni rəqəmi alırsınız, yəni a: 1 = a.

2 nümunəyə baxaq:

Misal 2

25 -i 1 -ə bölsəniz, 25 -i alırsınız.

Misal 3

11.345 -i 1 -ə bölsəniz, nəticə 11.345 -dir.

Təbii ədədləri bölmək üçün yerdəyişmə xüsusiyyətinin olmaması

Çarpma halında, faktorları sərbəst şəkildə dəyişdirə bilərik və eyni nəticəni əldə edə bilərik, lakin bu qayda bölünməyə tətbiq edilmir. Dividend və böləni bərabər natural ədədlər olduqda dəyişdirmək mümkündür (bu əmlakı birinci bənddə artıq nəzərdən keçirmişik). Yəni deyə bilərik ki, yerdəyişmə əmlakı yalnız bərabər natural ədədlərin bölünmədə iştirak etməsi halına aiddir.

Digər hallarda, dividenti bölücü ilə dəyişdirmək mümkün deyil, çünki bu nəticənin təhrif olunmasına səbəb olacaqdır. Bunun səbəbini daha ətraflı izah edək.

İstənilən natural ədədləri özbaşına olaraq başqalarına bölmək həmişə mümkün olmur. Məsələn, dividend bölücüdən azdırsa, belə bir nümunəni həll edə bilmərik (ayrı bir məqalədə natural ədədlərin qalıqlarla necə bölünməsini təhlil edəcəyik). Başqa sözlə, a -ya bərabər bir natural ədəd varsa, b -yə bölə bilərikmi? Və dəyərləri bərabər deyil, onda a b -dən böyük olacaq və b: a yazısı heç bir məna kəsb etməyəcək. Qaydanı götürək:

Tərif 3

2 natural ədədin cəminin başqa bir natural ədədə bölünməsi

Bu qaydanı daha yaxşı izah etmək üçün izahlı nümunələr götürək.

Mandarinləri bərabər bölmək lazım olan bir qrup uşaqımız var. Meyvələr iki torbaya bükülür. Qoy mandarinlərin sayının elə qalsın ki, bütün uşaqlar arasında qalıqsız bölünsün. Mandarinləri bir ortaq pakete töküb, sonra bölüb paylaya bilərsiniz. Meyvəni əvvəlcə bir paketdən, sonra digərindən ayıra bilərsiniz. Aydındır ki, hər iki halda da heç kim inciməyəcək və hər şey bərabər bölünəcək. Buna görə deyə bilərik:

Tərif 4

2 natural ədədin cəminin başqa bir natural ədədə bölünməsinin nəticəsi, hər bir terminin eyni natural ədədə bölünməsindən alınan kvotilərin əlavə edilməsinin nəticəsinə bərabərdir. (a + b): c = a: c + b: c. Üstəlik, bütün dəyişənlərin dəyərləri natural ədədlərdir, a -nın dəyəri c -ə bölünə bilər, b -ni qalıq olmadan c -yə də bölmək olar.

Bir bərabərlik əldə etdik, sağ tərəfində bölmə birinci, əlavə isə ikinci olaraq yerinə yetirilir (hesab əməliyyatlarını sırayla necə düzgün yerinə yetirməyi unutmayın).

Yaranan bərabərliyin etibarlılığını bir nümunə ilə sübut edək.

Misal 4

Bunun üçün uyğun natural ədədləri götürək: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6.

İndi hesablayaq və bunun doğru olub olmadığını öyrənək. Sol tərəfin dəyərini hesablayaq: 18 + 36 = 54 və (18 + 36): 6 = 54: 6.

Çarpma cədvəlindəki nəticəni xatırlayırıq (unutmusunuzsa, onda istədiyiniz dəyəri tapın): 54: 6 = 9.

18: 6 = 3 və 36: 6 = 6 nə qədər olacağını unutmayın. Beləliklə, 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9.

Doğru bərabərlik ortaya çıxır: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6.

Nümunədə dividend olaraq verilən natural ədədlərin cəmi nəinki 2, hətta 3 və ya daha çox ola bilər. Bu xüsusiyyət, natural ədədlərin birləşmə xüsusiyyəti ilə birlikdə bu cür hesablamalar aparmağımıza imkan verir.

Misal 5

Beləliklə, (14 + 8 + 4 + 2): 2 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 ilə bərabər olacaq.

2 natural ədədin fərqinin başqa bir natural ədədə bölünməsi

Bənzər bir şəkildə, natural ədədlərin fərqi üçün başqa bir natural ədədlə bölüşdürəcəyimiz bir qayda çıxara bilərik:

Tərif 5

İki natural ədədin fərqinin üçdə birinə bölünməsinin nəticəsi, çıxarılanın üçüncü hissəsinin azaldılmış və üçüncü ədədin hissəsindən çıxaraq əldə etdiyimizə bərabərdir.

Bunlar. (a - b): c = a: c - b: c. Dəyişənlərin dəyərləri natural ədədlərdir, a b -dən böyük və ya bərabərdir, a və b c -yə bölünə bilər.

Bu qaydanın etibarlılığını bir nümunə ilə sübut edək.

Misal 6

Müvafiq dəyərləri bərabərliyə qoyun və hesablayın: (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5. 45 - 25 = 20 (natural ədədlərin fərqini necə tapacağımız barədə artıq yazmışıq). (45-25): 5 = 20: 5.

Çarpma cədvəlinə görə nəticənin 4 olacağını xatırlayırıq.

Sağ tərəfi sayırıq: 45: 5 - 25: 5. 45: 5 = 9 və 25: 5 = 5, sonunda 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 = 4, (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5 - həqiqi bərabərlik olduğu ortaya çıxır.

İki natural ədədin məhsulunun başqa bir natural ədədə bölünməsi

Bölmə və vurma arasında hansı əlaqənin olduğunu xatırlayaq, onda bir məhsulu faktorlardan birinə bərabər olan natural ədədlə bölmək xüsusiyyəti bizim üçün aydın olacaq. Qaydanı götürək:

Tərif 6

Faktorlardan birinə bərabər olan iki natural ədədin məhsulunu üçdə birinə bölsək, nəticədə digər faktora bərabər olan bir ədəd alarıq.

Hərfi formada bu (a b) kimi yazıla bilər: a = b və ya (a b): b = a (a və b dəyərləri təbii ədədlərdir).

Misal 7

Beləliklə, 2 və 8 -in məhsulunu 2 -ə bölmək nəticəsində 8 və (3 7) olacaq: 7 = 3.

Bəs bölücü, dividend yaradan heç bir faktora bərabər deyilsə? Sonra burada başqa bir qayda tətbiq olunur:

Tərif 7

İki natural ədədin məhsulunu üçüncü natural ədədə bölmək nəticəsində, faktorlardan birinin bu saya bölünməsi və nəticənin digər faktorla vurulması nəticəsində əldə ediləcək nəticəyə bərabərdir.

İlk baxışdan olduqca aydın olmayan bir bəyanat aldıq. Ancaq natural ədədlərin vurulmasının əslində bərabər şərtlərin əlavə olunmasını nəzərə alsaq (natural ədədlərin vurulması ilə bağlı materiala baxın), onda bu xassəni az əvvəl bəhs etdiyimiz digərindən əldə edə bilərik. yuxarıda

Bu qaydanı hərfi formada yazaq (bütün dəyişənlərin dəyərləri natural ədədlərdir).

A -nı c -yə bölə bilsək, doğru olar (a b): c = (a: c) b.

Əgər b c -yə bölünürsə, doğrudur (a b): c = a (b: c).

Əgər həm a, həm də b c bölünürsə, onda bir bərabərliyi digərinə bərabərləşdirə bilərik: (a b): c = (a: c) b = a (b: c).

Məhsulun yuxarıda nəzərdən keçirilən başqa bir natural ədədə bölünmə xüsusiyyəti nəzərə alınmaqla (8 6): 2 = (8: 2) 6 və (8 6): 2 = 8 (6: 2) bərabərlikləri doğru olacaqdır.

Onları ikiqat bərabərlik olaraq yaza bilərik: (8 6): 2 = (8: 2) 6 = 8 (6: 2).

Doğal ədədin digər 2 ədədin çoxluğuna bölünməsi

Yenə bir nümunə ilə başlayaq. Bir sıra mükafatlarımız var, buna a deyək. Komanda üzvləri arasında bərabər paylanmalıdırlar. İştirakçıların sayını c hərfi ilə, komanda sayını isə b hərfi ilə ifadə edək. Bu vəziyyətdə, bölmə qeydinin mənalı olacağı dəyişənlərin belə dəyərlərini alacağıq. Problem iki fərqli yolla həll edilə bilər. Gəlin hər ikisini nəzərdən keçirək.

1. İştirakçıların ümumi sayını b -ni c -yə vurub sonra bütün mükafatları bu saya bölməklə hesablaya bilərsiniz. Hərfi formada bu həll a: (b · c) şəklində yazıla bilər.

2. Mükafatları əvvəlcə komandaların sayına bölmək və sonra hər komanda daxilində paylamaq olar. Bunu (a: b) olaraq yazaq: c.

Aydındır ki, hər iki üsul da eyni cavabları verəcəkdir. Buna görə hər iki bərabərliyi bir -birinə bərabər tuta bilərik: a: (b c) = (a: b): c. Bu, bu paraqrafda nəzərdən keçirdiyimiz bölmə əmlakının hərfi qeydidir. Bir qayda hazırlayaq:

Tərif 8

Təbii bir ədədin bir məhsula bölünməsinin nəticəsi, bu sayın faktorlardan birinə bölünməsi və əldə edilən hissənin başqa bir faktora bölünməsi nəticəsində əldə etdiyimiz rəqəmə bərabərdir.

Misal 8

Bir vəzifəyə bir nümunə verək. 18 bərabərliyinin doğru olduğunu sübut edək: (2 3) = (18: 2): 3.

Sol tərəfi sayaq: 2 3 = 6 və 18: (2 3) 18: 6 = 3 -dir.

Sağ tərəfi sayırıq: (18: 2): 3. 18: 2 = 9 və 9: 3 = 3, sonra (18: 2): 3 = 3.

18: (2 3) = (18: 2): 3 əldə etdik. Bu bərabərlik, bu paraqrafda verdiyimiz bölünmə xüsusiyyətini bizə göstərir.

Sıfırın natural ədədə bölünməsi

Sıfır nədir? Əvvəllər razılaşdıq ki, bir şeyin olmaması deməkdir. Sıfıra natural ədədlər kimi müraciət etmirik. Belə çıxır ki, sıfırı natural ədədlə bölsək, boşluğu hissələrə bölməyə çalışmaqla bərabər olar. Nə qədər hissəyə bölsək də, sonda yenə də "heç nə" almayacağımız aydındır. Qaydanı buradan çıxarırıq:

Tərif 9

Sıfırın hər hansı bir natural ədədə bölünməsi zamanı sıfır əldə edirik. Hərfi formada bu 0: a = 0 olaraq yazılır, dəyişənin dəyəri isə istənilən ola bilər.

Misal 9

Beləliklə, məsələn, 0: 19 = 0 və 0: 46869 da sıfıra bərabər olacaq.

Natural ədədin sıfıra bölünməsi

Bu hərəkət yerinə yetirilə bilməz. Niyə dəqiq olduğunu öyrənək.

İstənilən ixtiyari a ədədini götürün və hesab edək ki, onu 0 -a bölmək və müəyyən bir b sayı ilə bitirmək olar. Bunu a: 0 = b olaraq yazaq. İndi vurma və bölünmənin bir -biri ilə necə əlaqəli olduğunu xatırlayaq və b · 0 = a bərabərliyini əldə edək, bu da doğru olmalıdır.

Ancaq əvvəllər natural ədədlərin sıfıra vurulmasının xüsusiyyətini izah etmişdik. Onun sözlərinə görə, b · 0 = 0. Əldə olunan bərabərlikləri müqayisə etsək, a = 0 alarıq və bu ilkin şərtlə ziddiyyət təşkil edir (axı sıfır natural ədəd deyil). Belə bir hərəkətin mümkün olmadığını sübut edən bir ziddiyyətimiz olduğu ortaya çıxdı.

Tərif 10

Təbii bir rəqəmi sıfıra bölmək olmaz.

Mətndə bir səhv görsəniz, onu seçin və Ctrl + Enter düymələrini basın

Natural ədədlərin bölünməsi

Bilik və hərəkət metodlarının vahid tətbiqi dərsi

tədrisin sistem-fəaliyyət metodu əsasında

5 -ci sinif

F.I.O. Jukova Nadejda Nikolaevna

İş yeri : MAOU 6 nömrəli orta məktəb, Pestovo

Vəzifə : riyaziyyat müəllimi

Təbii Nömrələrin Mövzu Bölməsi

(biliklərin və hərəkət metodlarının vahid tətbiqi ilə bağlı təlim sessiyası)

Hədəf: bilik və bacarıqlarının artırılması üçün şərait yaratmaqvə dəyişən şəraitdə natural ədədləri və hərəkət üsullarını bölmək bacarığıvə qeyri-standart vəziyyətlər

UDD:

Mövzu

Vəziyyəti simulyasiya edərək, arifmetik əməliyyatı və onun yerinə yetirilməsinin gedişatını təsvir edir, standart olmayan bir məsələnin həlli üçün bir alqoritm seçirlər, komponentlər arasındakı əlaqəyə və arifmetik əməliyyatın nəticəsinə əsaslanan tənlikləri həll edirlər.

Metasubject

Tənzimləyici : təhsil fəaliyyətinin məqsədini müəyyənləşdirmək, ona çatmaq vasitələrini həyata keçirmək.

Bilişsel : Məzmunu sıxılmış və ya genişləndirilmiş formada çatdırır.

Ünsiyyətcil: öz fikirlərini ifadə edə bilir, əsaslandırmağa çalışır, arqumentlər verir.

Şəxsi:

Özlərini inkişaf etdirməyin fərdi məqsədlərini özlərinə izah edirlər, təhsil fəaliyyətinin nəticəsinə özlərini müsbət qiymətləndirirlər, təhsil fəaliyyətinin müvəffəqiyyətinin səbəblərini başa düşürlər, mövzunu öyrənməyə idrak marağı göstərirlər.

Dərslər zamanı

1. Təşkilati məqam.

İşdə əlavə istifadə edirik,

Şərəf və şərəfin əlavə edilməsi!

Bacarıqlara səbr qataq,

Və məbləğ uğur gətirəcək.

Çıxarmağı unutmamalıyıq.

Beləliklə, gün boşa getməsin

Səylərin və biliklərin cəmindən

Boşluq və tənbəlliyi çıxaracağıq!

İşdə vurma kömək edəcək,

İşi faydalı etmək üçün,

Yüz qat ağır zəhmətlə,

Əməllərimiz çoxalacaq.

Bölmə praktikada xidmət edir,

Həmişə bizə kömək edəcək.

Kim çətinlikləri bərabər bölür

Əmək uğurlarını bölüşəcək!

Hər hansı bir hərəkət kömək edəcək-

Bizə uğurlar gətirirlər.

Və həyatda, buna görə də birlikdə

Elm və əmək gedir.

II. Dərsin mövzusunun və məqsədlərinin formalaşdırılması

Şeiri bəyəndinizmi? Necə xoşunuza gəldi?

(şagirdlərin cavabları)

Çox gözəl dediniz. Bu sətirlər bugünkü dərsimizə çox uyğun gəlir. Eşitdiyiniz şeiri düşünün və müəyyən etməyə çalışın dərsin mövzusu.

(Natural ədədlərin bölünməsi) (slayd 1) ... Dərs nömrəsini və mövzunu dəftərə yazın.

Bu gün "Nömrələrin bölünməsi" mövzusunda ilk dərsdir? Hələ nəyi bacarmırsınız və nəyi öyrənmək istərdiniz? (şagirdlərin cavabları)

Beləliklə, bu gün bölmə bacarıqlarımızı inkişaf etdirəcəyik, qərarlarımızı əsaslandırmağı, səhvlər tapmağı və onları düzəltməyi, işimizi və sinif yoldaşlarımızın işini qiymətləndirməyi öyrənəcəyik.

III.Fəal təhsil və idrak fəaliyyətinə hazırlıq

1. Məktəblilərin tədrisinin motivasiyası

Bəşəriyyət ən uzun müddətdir ki, bölünməni öyrənir. İndiyə qədər İtaliyada "Çətin şey bölünmədir" deyimi qorunub saxlanılmışdır. Həm riyaziyyat baxımından, həm texniki, həm də mənəvi baxımdan çətindir. Hər insana bölmək və bölüşmək qabiliyyəti verilmir.

Orta əsrlərdə bölünməyi bacaran bir insan "həkim abakus" titulunu aldı.

Abakus abakusdur.

Əvvəlcə bölünmə hərəkətinə heç bir işarə yox idi. Bu hərəkət bir sözlə yazılmışdır.

Və Hindistan riyaziyyatçıları bölünməni hərəkətin adının ilk hərfi olaraq yazdılar.

Bölünmə üçün iki nöqtəli işarə, Alman riyaziyyatçısı Gottfried Wilhelm Leibniz sayəsində 1684 -cü ildə istifadəyə verildi.

Bölmə eyni zamanda bir çarpaz və ya üfüqi çubuqla da göstərilir. Bu işarədən ilk dəfə italyan alimi Fibonacci istifadə etmişdir.

- Çoxrəqəmli ədədləri necə bölürük? (Künc)

Bölmə komponentlərinin nə adlandırıldığını xatırlayırsınızmı?(slayd 2)

- Bölünmə komponentləri: dividend, bölücü, hissə ilk dəfə Rusiyada Magnitsky tərəfindən təqdim olunduğunu bilirdinizmi? Bu kimdir və bu alimin əsl adı nədir? Növbəti dərs üçün bu sualların cavablarını hazırlayın.

2) Şagirdlərin əsas biliklərinin yenilənməsi

1. Qrafik diktə

1. Bölünmə, məhsuldan başqa bir amilin və amillərdən birinin tapıldığı bir hərəkətdir.

2. Bölmə yerdəyişmə xüsusiyyətinə malikdir.

3. Dividend tapmaq üçün bölməni bölənə vurmaq lazımdır.

4. İstənilən saya bölmək olar.

5. Bölücünü tapmaq üçün, dividend hissəyə bölünməlidir.

6. Dəyəri tapılmalı olan hərflə bərabərliyə tənlik deyilir

(Əfsanə: bəli; - yox) (slayd 3)

KEY: (slayd 4)

B) Kartlar üzərində şagirdlərin fərdi işi.

(diktə ilə eyni vaxtda)

1. 4 -ün 44 -cü tənliyin kökü olduğunu sübut edin: x + 9 = 20.
2. Həll ... Əgər x = 4 olarsa 44: 4 + 9 = 20 olar

11+9=20

20 = 20, sağ.

2. Hesablayın: a) 16224: 52 = (312) g) 13725: 45 = (305)

B) 4230: 18 = (235) e) 54756: 39 = (1404)

c) 9800: 28 = (350)

3. Tənliyi həll edin: 124: (y - 5) = 31

Cavab: y = 9

4. İki şagird kart üzərində işləyir: hər biri 3 tapşırıq həll edir və bir -birinə nəzəriyyə ilə bağlı suallar verir

c) Fərdi işlərə kollektiv baxış (slayd 5)

(Şagirdlər nəzəriyyə ilə bağlı suallar verirlər)

1. Bilik və hərəkət üsullarını tətbiq etmək

A) Özünü sınama ilə özünü sınama(Slaydlar 6-7)

Yalnız hissədə üç ədəd olan nümunələri seçin və həll edin:

Seçim 1 Seçim 2

A) 2888: 76 = (38) a) 2491: 93 = (47)

B) 6539: 13 = (503) b) 5698: 14 = (407)

B) 5712: 28 = (204) c) 9792: 32 = (306)

B) Bədən tərbiyəsi.

Birlikdə ayağa qalxdılar və uzandılar.

Əllər kəmərdə, döndü.

Sağ, sol, bir, digər,

Başlarını çevirdilər.

Ayaq üstə durdular,

Arxa bir iplə tutuldu

İndi sakitcə oturdular,

Hələ hər şeyi idarə etməmişik.

C) Cüt -cüt işləyin (slayd 8)

(cütlərlə işləyərkən, lazım olduqda müəllim məsləhət verir)

No 484 (dərslik, səhifə 76)

NS səkkizbucağın bir tərəfinin uzunluğu

4x + 4 4 = 24

4x + 16 = 24

4x = 24-16

4x = 8

X = 2

Səkkizbucağın bir tərəfinin uzunluğu 2 sm -dir

Tənlikləri həll edin:

a) 96: x = 8 b) x: 60 = 14 c) 19 * x = 76

D) Qrup işi

Tapşırıqlara başlamazdan əvvəl qrup qaydalarını oxuyun.

I qrup (1 -ci sıra)

Qrup qaydaları

Düzgün səhvlər:

A) 9100: 10 = 91; a) 9100: 10 = 910

B) 5427: 27 = 21; b) 5427: 27 = 201

B) 474747: 47 = 101; c) 474 747: 47 = 10101

D) 42 11 = 442. d) 42 11 = 462

II qrup (2 -ci sıra)

Qrup qaydaları

• Komanda işində fəal iştirak edin.
• Həmsöhbətini diqqətlə dinləyin.
• Dostunuzun hekayəsini bitirməyincə sözünü kəsməyin.
• Bu mövzuda fikirlərinizi bildirin, eyni zamanda nəzakətli olun.
• Başqalarının çatışmazlıqlarına və səhvlərinə gülməyin, amma nəzakətlə onları qeyd edin.

Tapşırığın düzgün yerinə yetirildiyini yoxlayın. Çözümünüzü təklif edin

X = 1995 olarsa x: 19 +95 ifadəsinin dəyərini tapın.

Həll.

Əgər x = 1995, onda x: 19 +95 = 1995: 19 + 95 = 15 + 95 = 110

(1995: 19 + 95 = 200)

III qrup (3 sıra)

Qrup qaydaları

• Komanda işində fəal iştirak edin.
• Həmsöhbətini diqqətlə dinləyin.
• Dostunuzun hekayəsini bitirməyincə sözünü kəsməyin.
• Bu mövzuda fikirlərinizi bildirin, eyni zamanda nəzakətli olun.
• Başqalarının çatışmazlıqlarına və səhvlərinə gülməyin, amma nəzakətlə onları qeyd edin.

Tənliyi həll edərkən bir səhv olduğunu sübut edin.

Tənliyi həll edin.

124: (y-5) = 31

Y -5 = 124 31 y - 5 = 124: 31

Y -5 = 3844 y - 5 = 4

Y = 3844+ 5 y = 4+ 5

Y = 3849 y = 9

Cavab: 3849 Cavab: 9

E) Cütlükdə işin qarşılıqlı yoxlanılması

Şagirdlər dəftər mübadiləsi aparır və bir -birlərinin işlərini yoxlayır, qələmlə səhvlərin altını çəkirlər və işarələyirlər

F) Qrupun inkişafı haqqında hesabat

(Slaydlar 5-7)

Slaydda hər qrup üçün tapşırıq göstərilir. Komanda lideri səhvini izah edir və komandanın təklif etdiyi həlli lövhəyə yazır.

V. Şagirdlərin biliklərinə nəzarət

Fərdi test "Həqiqət anı"

"Bölmə" mövzusunda test

Seçim 1

1. 2876 və 1 hissəsini tapın.

a) 1; b) 2876; c) 2875; d) cavabınız _______________

2. 96 tənliyinin kökünü tapın: x = 8

a) 88; b) 12; c) 768; d) cavabınız ________________

3 3900 və 13 hissələrini tapın.

a) 300; b) 3913; c) 30; d) cavabınız _______________

4 .Bir qutuda 48 qələm, digərində isə 4 dəfə azdır. İki qutuda neçə qələm var?

a) 192; b) 60; c) 240; d) cavabınız ________________

5. Onlardan biri digərindən 3 dəfə böyükdürsə, iki ədəd tapın

Onların cəmi 32 -dir.

a) 20 və 12; b) 18 və 14; c) 26 və 6; d) cavabınız _________

"Bölmə" mövzusunda test

Soyadı, adı ___________________________________________

Seçim 2

Düzgün cavabı yazın və ya cavabınızı yazın

1 2563 və 1 hissəsini tapın.

a) 1; b) 2563; c) 2564; d) cavabınız _______________

2. 105 tənliyinin kökünü tapın: x = 3

a) 104; b) 35; c) 315; d) cavabınız ________________

3 7800 və 13 hissələrini tapın.

a) 600; b) 7813; c) 60; d) cavabınız _______________

4 ... Bir çəlləkdə arıçı 24 kq idi. bal, digərində isə 2 dəfə çoxdur. Arıçının iki çəlləkdə neçə kiloqram bal var idi?

a) 12; b) 72; c) 48; d) cavabınız _______________

5. Onlardan biri digərindən 4 dəfə kiçikdirsə, iki ədəd tapın və

Onların fərqi 27 -dir

A) 39 və 12; b) 32 və 8; c) 2 və 29; d) cavabınız _____________

Test açarı

Seçim 1

Vi. Dərsin xülasəsi. Ev tapşırığı.

Ev. Məşq edin. S.12, No 520,523,528 (kompozisiya).

Beləliklə, dərsimiz başa çatdı. İşinizin nəticəsi haqqında sizə müsahibə vermək istərdim.

Cümlələrə davam edin:

Mən ... dərsdəki işimdən razıyam / razı deyiləm

İdarə etdim…

Çətin idi ...

Dərs materialı mənim üçün faydalı / yararsız idi

Riyaziyyat nə öyrədir?

Bölmə - çarpımın əksinə olan hərəkət, onun köməyi ilə məhsul və faktorlardan biri ilə ikinci faktor tapılır.

Nömrəni bölün a nömrə ilə b- bu rəqəmlə vurulduqda bir ədəd tapmaq deməkdir b nömrəsini verir a:

a: b = c, əgər c b = a.

Nömrə a bölünən adlanır, b- bölücü, ilə- özəl.

Bilinən və axtarılan amillər təbii birrəqəmli ədədlərdirsə, bilinməyən amil vurma cədvəlinə görə tapılır.

Polydigit natural ədədin birrəqəmli natural ədədlə bölünməsi ən əhəmiyyətli bitdən başlayaraq bitlə aparılır.

Dividendin ən əhəmiyyətli bitində bölücüdən daha az bir rəqəm varsa, onda ən əhəmiyyətli bitin vahidləri bitişik ən az əhəmiyyətli bitin vahidlərinə çevrilir və bölmə bu bitdən başlayır.

Məsələn, 896 7 -yə bölünür.

• 8 yüzü 7 -yə bölürük, alırıq 1 yüz və yüz nəfər qaldı.
• Qalan yüzlüyü onluğa çeviririk, onlardan 9 onluğu əlavə edirik, 19 onluğu alırıq.
• 19 onluğu 7 -yə bölün, əldə edirik 2 ədəd, 5 dənə qalıq.
• Qalan onluğu vahidlərə çeviririk, 50 ədəd alırıq, vahidlər kateqoriyasından 6 ədəd əlavə edirik, 56 ədəd alırıq.
• 56 vahidi 7 -yə bölürük, alırıq 8 ədəd.

Vasitələr, 896: 7 = 128 .

Adətən bölünmə prosesi "sütun" da qeyd olunur.

Müsbət tam ədədlə bölünmə eyni şəkildə aparılır. Eyni zamanda, böləndən daha böyük etmək üçün bu qədər yüksək rəqəm ilk "aralıq" dividendə daxil edilir.

Məsələn, 1976 -cı il 26 -ya bölünür.

• Ən əhəmiyyətli bitdəki 1 rəqəmi 26 -dan azdır, buna görə ən əhəmiyyətli iki bitin rəqəmlərindən ibarət olan bir rəqəmi nəzərdən keçirin - 19.
• 19 rəqəmi də 26 -dan azdır, buna görə ən əhəmiyyətli üç rəqəmin - 197 rəqəmlərindən ibarət bir rəqəmi nəzərdən keçirin.
• 197 sayı 26 -dan çoxdur, 197 onluğu 26 -ya bölürük: 197: 26 = 7 (15 onluq qalır).
• 15 onluğu vahidlərə çeviririk, 6 kateqoriya birindən 156 alırıq.
• 156 -nı 26 -ya bölün, 6 alırıq.

Əgər "aralıq" bölünmənin bir addımında bölücüdən daha az olduğu ortaya çıxsa, onda hissəyə 0 yazılır və bu bitdən gələn rəqəm növbəti, aşağı dərəcəli bitə köçürülür.

Təbii ədədləri tamamilə (qalıq olmadan) bölmək həmişə mümkün olmur. Məsələn, 45 -i 8 -ə bölə bilməzsiniz, çünki 8 -ə vurulduqda 45 -ə veriləcək natural ədəd yoxdur.

Belə hallarda qalan hissə bölünməsi nəzərə alınır.

Qalan hissə ilə bölünmə

Təbii ədədləri tamamilə bölmək mümkün deyilsə, qalanları ilə bölün. Bu hərəkətdə axtarırlar ən böyük bölücü ilə vurulduqda, dividenddən daha az bir rəqəm verən təbii ədəd.

a: b = c (istirahət d), harada ilə və d belə c b + d = a, d.

Çoxrəqəmli natural ədədlərin bölünməsi "sütun" da aparılır, qalan hissəsi mötərizədə hissədən sonra yazılır.

284: 15 = 18 (istirahət 14).

Kəsimdə ondalık kəsr olan bölmə

Əgər natural ədəd tamamilə təkrəqəmli natural ədədlə bölünmürsə, bitli bölməyə davam edə və hissədə ondalık kəsr əldə edə bilərsiniz.

Məsələn, 64 5 -ə bölünür.

• 6 düzəni 5 -ə bölürük, qalanında 1 -dən və 1 -dən alırıq.
• Qalan onluğu vahidlərə çeviririk, vahidlər kateqoriyasından 4 əlavə edirik, 14 alırıq.
• 14 vahidi 5 -ə bölün, qalan 2 ədəd və 4 ədəd əldə edirik.
• 4 ədəd onda birə çevrilir, biz onda onda alırıq.
• 40 onda bir hissəni 5 -ə bölün, 8 -ini alırıq.

Beləliklə, əgər natural ədədin təbii təkrəqəmli və ya çoxrəqəmli saya bölünməsi ilə qalıq əldə edilərsə, onda vergül işarəsinə qoyub, qalanını növbəti, daha kiçik rəqəmin vahidlərinə çevirib bölməyə davam edə bilərsiniz. .