Фрактали. Крива на Кох. Процедури за получаване на фрактални множества

Три копия на кривата на Кох, построени (с върховете им навън) върху страните на правилен триъгълник, образуват затворена крива с безкрайна дължина, наречена Снежинката на Кох.

Тази фигура е един от първите фрактали, изследвани от учените. Излиза от три екземпляра Крива на Кох, което се появява за първи път в статия на шведския математик Хелге фон Кох през 1904 г. Тази крива е измислена като пример за непрекъсната линия, която не може да бъде допирателна към никоя точка. Линии с това свойство са били известни и преди (Карл Вайерщрас е построил своя пример през 1872 г.), но кривата на Кох е забележителна с простотата на своя дизайн. Неслучайно статията му се казва „За една непрекъсната крива без допирателни, произтичаща от елементарната геометрия“.

Чертежът и анимацията перфектно показват как стъпка по стъпка се изгражда кривата на Кох. Първата итерация е просто началният сегмент. След това се разделя на три равни части, централната се допълва до правилен триъгълник и след това се изхвърля. Резултатът е втората итерация - прекъсната линия, състояща се от четири сегмента. Към всяка от тях се прилага една и съща операция и се получава четвъртата стъпка на конструиране. Продължавайки в същия дух, можете да получите все повече и повече нови линии (всички те ще бъдат прекъснати линии). И това, което се случва в границата (това вече ще бъде въображаем обект), се нарича крива на Кох.

1. Непрекъснато е, но никъде не може да се диференцира. Грубо казано, точно за това е измислен - като пример за този вид математически "изроди".

2. Има безкрайна дължина. Нека дължината на оригиналната отсечка е равна на 1. На всяка стъпка на построяване заместваме всяка от отсечките, съставляващи линията, с начупена линия, която е 4/3 пъти по-дълга. Това означава, че дължината на цялата прекъсната линия се умножава по 4/3 на всяка стъпка: дължината на линията с номер нравно на (4/3) н-1 . Следователно граничната линия няма друг избор, освен да бъде безкрайно дълга.

3. Снежинката на Кох ограничава крайната площ. И това въпреки факта, че периметърът му е безкраен. Това свойство може да изглежда парадоксално, но е очевидно - снежинката се вписва напълно в кръг, така че площта й очевидно е ограничена. Площта може да се изчисли и дори не се нуждаете от специални познания за това - формулите за площта на триъгълник и сумата от геометрична прогресия се преподават в училище. За тези, които се интересуват, изчислението е посочено по-долу с дребен шрифт.

Нека страната на оригиналния правилен триъгълник е равна на а. Тогава площта му е . Първо страната е 1 и площта е: . Какво се случва, когато итерацията се увеличава? Можем да предположим, че малки равностранни триъгълници са прикрепени към съществуващ многоъгълник. Първият път са само 3, а всеки следващ път са 4 пъти повече от предишния. Тоест на нтата стъпка ще бъде завършена Tn= 3 4 н-1 триъгълника. Дължината на страната на всеки от тях е една трета от страната на триъгълника, завършен в предишната стъпка. Така че е равно на (1/3) н. Площите са пропорционални на квадратите на страните, така че площта на всеки триъгълник е . За големи стойности нМежду другото, това е много малко. Общият принос на тези триъгълници към площта на снежинката е Tn · S n= 3/4 · (4/9) н · С 0 . Следователно след н-стъпка, площта на фигурата ще бъде равна на сумата С 0 + T 1 · С 1 + T 2 · С 2 + ... +TnС н = . Снежинка се получава след безкраен брой стъпки, което съответства на н→ ∞. Резултатът е безкрайна сума, но това е сума от намаляваща геометрична прогресия; има формула за това: . Площта на снежинката е.

4. Фракталната размерност е равна на log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Точното изчисление ще изисква значителни усилия и подробни обяснения, така че тук е по-скоро илюстрация на дефиницията на фракталното измерение. От формулата на степенния закон н(δ ) ~ (1/δ )д, Където н- брой пресичащи се квадратчета, δ - техния размер и де измерението, получаваме това д= дневник 1/ δ Н. Това равенство е вярно до добавянето на константа (еднаква за всички δ ). Фигурите показват петата итерация на конструиране на кривата на Кох; квадратите на мрежата, които се пресичат с нея, са оцветени в зелено. Дължината на оригиналния сегмент е 1, така че в горната фигура дължината на страната на квадратите е 1/9. 12 квадрата са защриховани, log 9 12 ≈ 1,130929... . Все още не е много подобен на 1.261859... . Да погледнем по-нататък. В средната снимка квадратите са наполовина по-малки, размерът им е 1/18, защриховани 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Вече по-добре. Отдолу квадратите са все още наполовина по-големи, 72 парчета вече са боядисани. log 72 30 ≈ 1,193426... . Още по-близо. След това трябва да увеличите броя на итерациите и в същото време да намалите квадратите, тогава „емпиричната“ стойност на размерността на кривата на Кох постоянно ще се доближава до log 3 4, а в границата ще съвпада напълно.

Снежинката на Кох „напротив“ се получава, ако изградим криви на Кох вътре в оригиналния равностранен триъгълник.

Линии на Чезаро. Вместо равностранни триъгълници се използват равнобедрени триъгълници с ъгъл при основата от 60° до 90°. На фигурата ъгълът е 88°.

Квадратна опция. Тук квадратите са завършени.

Снежинка Кох

платно(
рамка: 1px прекъсната черна;
}

var cos = 0,5,
sin = Math.sqrt(3) / 2,
deg = Math.PI / 180;
canv, ctx;

функция rebro(n, len) (
ctx.save(); // Запазване на текущата трансформация
if (n == 0) ( // Нерекурсивен случай - начертайте линия
ctx.lineTo(len, 0);
}
иначе(
ctx.scale(1/3, 1/3); // Намаляване 3 пъти
rebro(n-1, len); //РЕКУРСИЯ на ръба
ctx.rotate(60 * градуса);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * градуса);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(60 * градуса);
rebro(n-1, len);
}
ctx.restore(); // Възстановяване на трансформацията
ctx.translate(len, 0); // отидете до края на ръба
}

функция drawKochSnowflake(x, y, len, n) (
x = x - len / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * градуса); //RECUUUURSION вече е триъгълник
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * градуса);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
ctx.stroke();
ctx.restore();
}

функция clearcanvas())( //изчистване на платното
ctx.save();
ctx.beginPath();

// Използвайте матрицата за идентичност, докато изчиствате платното
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);

// Възстановяване на трансформацията
ctx.restore();
}

функция run() (
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").value;
drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Ctx.stroke(); //изобразяване
}

Снежинката на Кох - пример

Зимата в Бостън беше необичайно топла, но все пак изчакахме първия снеговалеж. Гледайки снега, който пада през прозореца, си помислих за снежинките и как тяхната структура не е никак лесна за математически описание. Има обаче един специален вид снежинка, известна като снежинката на Кох, която може да бъде описана сравнително просто. Днес ще разгледаме как неговата форма може да бъде изградена с помощта на COMSOL Multiphysics Application Builder.

Както вече споменахме в нашия блог, фракталите могат да се използват в . Снежинка Кохе фрактал, който е забележителен с това, че има много прост итеративен процес за конструирането му:

Тази процедура е илюстрирана на фигурата по-долу за първите четири повторения на рисуване на снежинка.

Първите четири повторения на снежинката на Кох. Изображение от Wxs - Собствена работа. Лицензирано под CC BY-SA 3.0, чрез Wikimedia Commons.

Тъй като вече знаем кой алгоритъм да използваме, нека да разгледаме как да създадем такава структура с помощта на COMSOL Multiphysics Application Builder. Ще отворим нов файл и ще създадем 2D обект геометрична частна възела Глобални определения. За този обект ще зададем пет входни параметъра: дължината на страната на равностранен триъгълник; х- И г– координати на средата на основата; и компоненти на нормалния вектор, насочени от средата на основата към противоположния връх, както е показано на фигурите по-долу.

Пет параметъра, използвани за задаване на размера, позицията и ориентацията на равностранен триъгълник.

Задаване на входните параметри на геометричната част.
Многоъгълен примитив се използва за конструиране на равностранен триъгълник.

Обектът може да се върти около центъра на долния ръб.

Един обект може да бъде преместен спрямо началото.

Сега, след като дефинирахме геометричната част, ние я използваме веднъж в секцията Геометрия. Този единичен триъгълник е еквивалентен на нулевата итерация на снежинката на Кох и сега нека използваме Конструктора на приложения, за да създадем по-сложни снежинки.

Приложението има много прост потребителски интерфейс. Той съдържа само два компонента, с които потребителят може да взаимодейства: Плъзгач (плъзгач)(отбелязано като 1 на фигурата по-долу), с което можете да зададете броя на повторенията, необходими за създаване на снежинка, и Бутон(етикет 2), чрез щракване върху който се създава и показва получената геометрия. Също така има Текстов надпис(етикет 3) и Показване (Показване) на данни(етикет 4), които показват броя на посочените итерации, както и прозореца Графики(етикет 5), който показва крайната геометрия.

Приложението има един формуляр с пет компонента.

Приложението има две Дефиниции, една от които дефинира целочислена стойност, наречена Итерации, която по подразбиране е нула, но може да бъде променена от потребителя. Дефиниран е също 1D масив от двойници, наречен Център. Единичният елемент в масива има стойност 0,5, която се използва за намиране на централната точка на всеки ръб. Тази стойност никога не се променя.

Настройки за две дефиниции.

Компонентът Slider в потребителския интерфейс контролира стойността на целочисления параметър Iterations. Екранната снимка по-долу показва настройките за "Slider" и стойностите, които са зададени като цели числа в диапазона между 0 и 5. Същият източник (както за плъзгача) е избран и за компонента Показване на данниза показване на броя на посочените повторения на екрана на приложението. Ние ограничаваме потенциалния потребител до пет итерации, тъй като използваният алгоритъм е неоптимален и не е много ефективен, но е достатъчно прост за прилагане и демонстриране.

Настройки за компонента "Slider".

След това нека разгледаме настройките за нашия бутон, показан на екранната снимка по-долу. При натискане на бутона се изпълняват две команди. Първо се извиква методът CreateSnowFlake. След това получената геометрия се показва в графичния прозорец.

Настройки на бутоните.

Сега разгледахме потребителския интерфейс на нашето приложение и можем да видим, че създаването на всяка геометрия на снежинка трябва да се случи чрез метод, наречен. Нека да разгледаме кода за този метод, като номерирането на редовете е добавено отляво и низовите константи са маркирани в червено:

1 model.geom("geom1" ).feature().clear(); 2 model.geom("geom1").create("pi1", "PartInstance"); 3 model.geom("geom1").run("перка"); 4 за (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = "pi" + iter; 7 за (int edge = 1; edge "geom1" ).getNEdges(); edge++) ( 8 String newPartInstance = "pi" + iter + edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1"); 10 with(model. geom("geom1").feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr" , "Length" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr" , "px" , model.geom("geom1" ).edgeX(ръб, център)); 13 setEntry("inputexpr", "py" , model.geom("geom1").edgeX(ръб, център)); 14 setEntry("inputexpr" ", "nx", model.geom("geom1").edgeNormal(edge, Center)); 15 setEntry("inputexpr", "ny" , model.geom("geom1").edgeNormal(edge, Center)) ; 16 endwith(); 17 UnionList = newPartInstance; 18 ) 19 model.geom("geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" ).selection("input" ).set(UnionList ); 20 model.geom("geom1" ).feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "off" ); 21 серия 22)

Нека преминем през кода ред по ред, за да разберем каква функция изпълнява всеки ред:

Така покрихме всички аспекти и елементи на нашето приложение. Нека да видим резултатите!

Нашето просто приложение за конструиране на снежинката на Кох.

Можем да разширим нашето приложение, за да напишем геометрия във файл или дори да извършим допълнителни анализи директно. Например, можем да проектираме фрактална антена. Ако се интересувате от дизайна на антената, разгледайте нашия пример или дори направете нейното оформление от нулата.

Ако искате сами да създадете това приложение, но все още не сте завършили Application Builder, може да намерите следните ресурси за полезни:

• Изтеглете ръководството Въведение в средата за разработка на приложения на английски език
• Гледайте тези видеоклипове и научете как да използвате
• Прочетете тези теми, за да се запознаете с това как се използват приложенията за симулация

След като покриете този материал, ще видите как функционалността на приложението може да бъде разширена за преоразмеряване на снежинка, експортиране на създадена геометрия, оценка на площ и периметър и много други.

Какъв вид приложение бихте искали да създадете в COMSOL Multiphysics? за помощ.

Фракталната снежинка, един от най-известните и мистериозни геометрични обекти, е описана от Хелга фон Кох в началото на нашия век. По традиция в нашата литература се нарича снежинка на Кох. Това е много „шипаста“ геометрична фигура, която може да се разглежда метафорично като резултат от това, че звездата на Давид е многократно „умножена“ сама по себе си. Неговите шест основни лъча са покрити с безкраен брой големи и малки "игли" върхове. Всеки микроскопичен фрагмент от контура на снежинката е като два грахови зърна в шушулка, а големият лъч от своя страна съдържа безкраен брой същите микроскопични фрагменти.

На международен симпозиум по методология на математическото моделиране във Варна през 1994 г. попаднах на работите на български автори, които описаха опита си от използването на снежинките на Кох и други подобни обекти в гимназиалните уроци, за да илюстрират проблема за делимостта на пространството и философските апории на Зенон. Освен това от образователна гледна точка според мен е много интересен самият принцип на изграждане на правилни фрактални геометрични структури - принципът на рекурсивно умножение на основния елемент. Не напразно природата „обича“ фракталните форми. Това се обяснява именно с факта, че те се получават чрез просто възпроизвеждане и промяна на размера на определен елементарен градивен елемент. Както знаете, природата не изобилства от различни причини и, когато е възможно, се задоволява с най-простите алгоритмични решения. Погледнете внимателно контурите на листата и в много случаи ще откриете ясна връзка с формата на контура на снежинката на Кох.

Визуализацията на фрактални геометрични структури е възможна само с помощта на компютър. Вече е много трудно да се конструира ръчно снежинка на Кох над трети ред, но наистина искате да погледнете в безкрайността! Затова защо не се опитате да разработите подходяща компютърна програма. В RuNet можете да намерите препоръки за изграждане на снежинка на Кох от триъгълници. Резултатът от този алгоритъм изглежда като смесица от пресичащи се линии. По-интересно е да комбинирате тази фигура от „парчета“. Контурът на снежинката на Кох се състои от сегменти с еднаква дължина, наклонени на 0°, 60° и 120° спрямо хоризонталната ос x. Ако ги обозначим съответно с 1, 2 и 3, тогава една снежинка от всякакъв ред ще се състои от последователни тройки - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... и т.н. Всеки от тези три вида от сегменти могат да бъдат прикрепени към предишния в единия или в другия край. Като вземем предвид това обстоятелство, можем да предположим, че контурът на снежинката се състои от сегменти от шест вида. Нека ги обозначим с 0, 1, 2, 3, 4, 5. По този начин получаваме възможност да кодираме контур от произволен ред с помощта на 6 цифри (вижте фигурата).

Снежинка от по-висок ред се получава от предшественик от по-нисък ред чрез заместване на всеки ръб с четири, свързани като сгънати длани (_/\_). Тип ръб 0 се заменя с четири ръба 0, 5, 1, 0 и така нататък според таблицата:

Един прост равностранен триъгълник може да се разглежда като снежинка на Кох от нулев порядък. В описаната кодираща система съответства на запис 0, 4, 2. Всичко останало може да се получи чрез описаните замествания. Няма да предоставя кода на процедурата тук и по този начин да ви лиша от удоволствието да разработите своя собствена програма. Когато го пишете, изобщо не е необходимо да използвате изрично рекурсивно извикване. Може да се замени с редовен цикъл. В процеса на работа ще имате още една причина да помислите за рекурсията и нейната роля във формирането на квазифрактални форми на света около нас и в края на пътя (ако, разбира се, не сте твърде мързеливи за да преминете през него до края), ще можете да се възхищавате на сложния модел на контурите на фрактална снежинка и накрая да погледнете в лицето на безкрайността.

Тема: Фрактали.

1. Въведение. Кратка историческа справка за фракталите. 2. Фракталите са елементи на геометрията в природата.

3. Обекти с фрактални свойства в природата. 4. Дефиниране на терминологията „фрактали”.

5. Класове фрактали.

6.Описание на фракталните процеси. 7. Процедури за получаване на фрактални множества.

8.1 Broken Kokha (процедура за получаване).

8.2 Кох снежинка (Кох фрактал).

8.3 Менгер гъби.

9. Примери за използване на фрактали.

Фракталите са млад клон на дискретната математика.

През 1904 г. шведът Кох излезе с непрекъсната крива, която никъде няма допирателна - кривата на Кох.

През 1918 г. французинът Юлия описва цяло семейство фрактали.

През 1938 г. Пиер Леви публикува статията „Равнинни и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото“.

През 1982 г. Беноа Манделбро публикува книгата „Фракталната геометрия на природата“.

С помощта на прости конструкции и формули се създават изображения. Появи се "фрактална живопис".

От 1993 г. World Scientific издава списание „Fractals“.

Фракталите са средство за описване на обекти като модели на планински вериги, пресечени брегове, кръвоносни системи от много капиляри и съдове, корони на дървета, каскадни водопади, мразовити шарки върху стъкло.

Или тези: лист от папрат, облаци, петно.

Изображенията на такива обекти могат да бъдат представени с помощта на фрактална графика.

Корали Морски звезди и таралежи Морски раковини

Цветя и растения (броколи, зеле) Плодове (ананас)

Корони на дървета и листа на растения Кръвоносна система и бронхи на хора и животни В неживата природа:

Граници на географски обекти (държави, региони, градове) Брегови линии Планински вериги Снежинки Облаци Светкавици

Шарки, образувани върху стъклени кристали, сталактити, сталагмити, хеликтити.

Фракталите са геометрични фигури, които отговарят на едно или повече от следните свойства:

Той има сложна нетривиална структура при всяко увеличение (на всички мащаби); той е (приблизително) самоподобен.

Има фракционно хаусдорфово (фрактално) измерение или надвишава топологичното; Може да се конструира чрез рекурсивни процедури.

За правилни фигури като кръг, елипса или графика на гладка функция, малък фрагмент в много голям мащаб е подобен на фрагмент от права линия. За фрактал увеличаването на мащаба не води до опростяване на структурата, за всички мащаби ще видим еднакво сложни картини.

Фракталът е структура, състояща се от части (подструктури), подобни на цялото.

Някои фрактали, като елементи на природата, могат да бъдат класифицирани като геометрични (конструктивни) фрактали.

Останалите могат да бъдат класифицирани като динамични фрактали (алгебрични).

Това е проста рекурсивна процедура за получаване на фрактални криви: посочете произволна прекъсната линия с краен брой връзки - генератор. След това всеки сегмент от генератора се заменя в него. След това всеки сегмент в него отново се заменя с генератор и така до безкрайност.

Показани са: разделяне на единичен сегмент на 3 части (a), единична квадратна площ на 9 части (b), единичен куб на 27 части (c) и 64 части (d). Броят на частите е n, коефициентът на мащабиране е k, а размерът на пространството е d. Имаме следните отношения: n = kd,

ако n = 3, k = 3, тогава d = 1; ако n = 9, k = 3, тогава d = 2; ако n = 27, k = 3, тогава d = 3.

ако n = 4, k = 4, тогава d = 1; ако n = 16, k = 4, тогава d = 2; ако n = 64, k = 4, тогава d = 3. Размерността на пространството се изразява в цели числа: d = 1, 2, 3; за n = 64, стойността на d е

Показани са пет стъпки за изграждане на полилиния на Кох: сегмент с единична дължина (a), разделен на три части (k = 3), от четири части (n = 4) - прекъсната линия (b); всеки прав сегмент е разделен на три части (k2 = 9) и на 16 части (n2 = 16) - прекъсната линия (c); процедурата се повтаря за k3 = 27 и n3 = 64 – прекъсната линия (g); за k5 = 243 и n5 = 1024 – прекъсната линия (d).

Измерение

Това е дробно или фрактално измерение.

Полилинията на Кох, предложена от Хелг фон Кох през 1904 г., действа като фрактал, който е подходящ за моделиране на грапавостта на бреговата линия. Манделброт въведе елемент на произволност в алгоритъма за изграждане на бреговата линия, който обаче не повлия на основния извод относно дължината на бреговата линия. Тъй като границата

Дължината на бреговата линия клони към безкрайност поради безкрайната грапавост на брега.

Процедурата за изглаждане на бреговата линия при преминаване от по-подробен мащаб към по-малко подробен, т.е.

Като основа за конструкцията можете да вземете не сегменти с единична дължина, а равностранен триъгълник, към всяка страна на който можете да разширите процедурата за умножаване на нередностите. В този случай получаваме снежинка на Кох (фиг.), и то от три вида: новообразуваните триъгълници са насочени само навън от предишния триъгълник (а) и (б); само вътре (в); произволно навън или навътре (d) и (e). Как можете да зададете процедурата за конструиране на фрактал на Кох.

Ориз. Снежинка Кох

На фиг. показани са две векторни диаграми; Цифрите над стрелките вероятно ще повдигнат въпроса: какво означават? Вектор 0 съвпада с положителната посока на абсцисната ос, тъй като неговият фазов фактор exp (i2πl/6) при l = 0 запазва посоката си. Вектор 1 се завърта спрямо вектор 0 на ъгъл 2π/6, когато l= 1. Вектор 5 има фазов фактор exp (i2π5/6), l = 5. Последният вектор има същия фазов фактор като първия ( l = 0). Целите числа l характеризират ъгъла на фазовия фактор на единичния вектор.

Първата стъпка (фиг.) определя рекурсивна процедура за всички следващи стъпки и по-специално за втората стъпка (фиг.). Как да преминем от набор от числа φ1 = (0 1 5 0) до φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? Отговор: чрез директно умножение на матрица, когато всеки елемент от една матрица се умножава по оригиналната матрица. Тъй като в този случай имаме работа с едномерен масив, т.е. Тъй като матриците са вектори, всеки елемент от един матричен вектор се умножава по всички елементи на друг матричен вектор. В допълнение, елементите на матрицата-вектор φ1 се състоят от експоненциални функции exp (i2πl/6), следователно, 10 при умножаване на числото h ще е необходимо да се добави според mod (6), а не да се умножава.

Геометричната форма на снежинката на Кох изглежда така



Как да нарисувате снежинка на Кох



А има и пирамидата на Кох



Можете да разберете по-подробно как да нарисувате снежинка на Кох от видеоклипа по-долу. Някой може да разбере, аз се отказах.

Първо, нека да разгледаме тази снежинка на Кох. Диаграмата по-долу ще ни покаже най-добре.



Тоест, за да нарисувате дадена снежинка, трябва да използвате отделни геометрични фигури, които съставят този геометричен фрактал.



Основата на нашата рисунка е равностранен триъгълник. Всяка страна е разделена на три сегмента, от които са изградени следващите, по-малки, равностранни триъгълници. Същата операция се извършва с получените триъгълници няколко пъти.

Снежинката на Кох е един от първите фрактали, изследвани от учените. Снежинка се получава от три копия на кривата на Кох, информация за това откритие се появява през 1904 г. в статия на шведския математик Хелге фон Кох. По същество кривата е изобретена като пример за непрекъсната линия, към която не може да се начертае допирателна в никоя точка. Кривата на Кох е проста по своя дизайн.

Пример, фото-чертеж на картина на снежинка на Кох с рисуване стъпка по стъпка.



В тази диаграма можете да разгледате подробно линиите, които по-късно ще направят снежинка на Кох.

И това е интерпретация на нова снежинка, базирана на снежинката на Кох.



Преди да разберете как да нарисувате снежинка на Кох, трябва да определите какво е това.

И така, снежинката на Кох е геометрично изображение - фрактал.

Пълното определение на снежинката на Кох е дадено на снимката по-долу.