Definition af logaritmiske ligninger. Løsning af logaritmiske ligninger - den sidste lektion

Vi kender alle ligninger fra elementære karakterer. Der lærte vi også at løse de enkleste eksempler, og vi må indrømme, at de finder deres anvendelse selv i højere matematik. Med ligninger er alt enkelt, inklusive firkantede. Hvis du har problemer med dette tema, anbefaler vi på det kraftigste, at du gentager det.

Du har sandsynligvis allerede bestået logaritmerne. Ikke desto mindre anser vi det for vigtigt at fortælle, hvad det er for dem, der ikke ved det endnu. Logaritmen sidestilles med den grad, i hvilken basen skal hæves for at få tallet til højre for logaritmtegnet. Lad os give et eksempel, baseret på hvilket alt vil blive klart for dig.

Hvis du hæver 3 til den fjerde effekt, får du 81. Udskift nu tallene analogt, og du vil endelig forstå, hvordan logaritmerne løses. Nu er det kun at kombinere de to betragtede begreber. I første omgang virker situationen ekstremt vanskelig, men ved nærmere undersøgelse falder vægten på plads. Vi er sikre på, at du efter denne korte artikel ikke vil have problemer i denne del af eksamen.

I dag er der mange måder at løse sådanne strukturer på. Vi fortæller dig om de enkleste, mest effektive og mest anvendelige USE -opgaver. Løsning af logaritmiske ligninger bør starte med det enkleste eksempel. De enkleste logaritmiske ligninger består af en funktion og en variabel i den.

Det er vigtigt at bemærke, at x er inde i argumentet. A og b skal være tal. I dette tilfælde kan du ganske enkelt udtrykke funktionen i form af et tal til en effekt. Det ser sådan ud.

Selvfølgelig vil løsningen af ​​den logaritmiske ligning på denne måde føre dig til det korrekte svar. Problemet for langt de fleste studerende i dette tilfælde er, at de ikke forstår, hvad og hvor det kommer fra. Som et resultat skal du tage fejl og ikke få de ønskede point. Den mest stødende fejl vil være, hvis du blander bogstaverne stedvis. For at løse ligningen på denne måde skal du huske denne standardskoleformel, fordi det er svært at forstå den.

For at gøre det lettere kan du ty til en anden metode - den kanoniske form. Ideen er meget enkel. Vær opmærksom på problemet igen. Husk, at bogstavet a er et tal, ikke en funktion eller variabel. A er ikke lig med en eller større end nul. Der er ingen begrænsninger på b. Nu husker vi en af ​​alle formlerne. B kan udtrykkes som følger.

Heraf følger, at alle de originale ligninger med logaritmer kan repræsenteres som:

Vi kan nu droppe logaritmerne. Resultatet er en enkel konstruktion, som vi så tidligere.

Bekvemmeligheden ved denne formel ligger i, at den kan bruges i en lang række tilfælde, og ikke kun til de enkleste designs.

Bare rolig om OOF!

Mange erfarne matematikere vil bemærke, at vi ikke har lagt vægt på definitionens område. Reglen er reduceret til, at F (x) nødvendigvis er større end 0. Nej, vi savnede ikke dette øjeblik. Nu taler vi om en anden alvorlig fordel ved den kanoniske form.

Ingen unødvendige rødder vil opstå her. Hvis variablen kun vises ét sted, er omfanget ikke nødvendigt. Det kører automatisk. For at verificere denne erklæring, overvej at løse et par enkle eksempler.

Sådan løses logaritmiske ligninger med forskellige baser

Disse er allerede komplekse logaritmiske ligninger, og tilgangen til deres løsning bør være speciel. Det viser sig sjældent at være begrænset til den berygtede kanoniske form. Lad os starte vores detaljerede historie. Vi har følgende design.

Vær opmærksom på brøkdelen. Den indeholder logaritmen. Hvis du ser dette i opgaven, er det værd at huske et interessant trick.

Hvad betyder det? Hver logaritme kan repræsenteres som en kvotient af to logaritmer med en bekvem base. Og denne formel har et specielt tilfælde, der kan anvendes med dette eksempel (hvilket betyder, hvis c = b).

Dette er præcis den brøkdel, vi ser i vores eksempel. Dermed.

Faktisk vendte de brøkdelen og fik et mere bekvemt udtryk. Husk denne algoritme!

Nu er det nødvendigt, at den logaritmiske ligning ikke indeholdt forskellige baser. Lad os forestille os basen som en brøkdel.

I matematik er der en regel baseret på, som du kan tage en grad fra basen. Følgende konstruktion viser sig.

Det ser ud til, hvad der nu forhindrer i at gøre vores udtryk til en kanonisk form og løse det på en elementær måde? Ikke så enkelt. Der bør ikke være brøker foran logaritmen. Vi retter denne situation! Fraktionen må udføres som en grad.

Henholdsvis.

Hvis baserne er de samme, kan vi fjerne logaritmerne og sidestille selve udtrykkene. Så situationen bliver meget lettere, end den var. Der vil fortsat være en elementær ligning, som vi hver især vidste, hvordan de skulle løse i 8. eller endda 7. klasse. Du kan selv foretage beregningerne.

Vi har den eneste sande rod til denne logaritmiske ligning. Eksempler på løsning af en logaritmisk ligning er ret enkle, ikke sandt? Nu vil du være i stand til selvstændigt at finde ud af selv de mest vanskelige opgaver til at forberede og bestå eksamen.

Hvad er bundlinjen?

I tilfælde af logaritmiske ligninger går vi ud fra en meget vigtig regel. Det er nødvendigt at handle på en sådan måde, at udtrykket bringes til den enklest mulige form. I dette tilfælde har du flere chancer, ikke kun for at løse opgaven korrekt, men også for at gøre det så enkelt og logisk som muligt. Sådan gør matematikere altid.

Vi fraråder dig kraftigt at lede efter vanskelige veje, især i dette tilfælde. Husk et par enkle regler, der giver dig mulighed for at omdanne ethvert udtryk. For eksempel, bringe to eller tre logaritmer til en base, eller udlede graden fra basen og vind på det.

Det er også værd at huske, at du hele tiden skal træne i at løse logaritmiske ligninger. Efterhånden vil du gå videre til mere og mere komplekse designs, og dette vil føre dig til sikkert at løse alle varianter af problemer på eksamen. Forbered dine eksamener i god tid, og held og lykke!

I dag lærer vi, hvordan man løser de enkleste logaritmiske ligninger, hvor indledende transformationer og valg af rødder ikke er påkrævet. Men hvis du lærer at løse sådanne ligninger, bliver det meget lettere videre.

Den enkleste logaritmiske ligning er en ligning af formen log a f (x) = b, hvor a, b er tal (a> 0, a ≠ 1), f (x) er en funktion.

Et særpræg ved alle logaritmiske ligninger er tilstedeværelsen af ​​variablen x under logaritmens tegn. Hvis en sådan ligning først er angivet i problemet, kaldes den den enkleste. Alle andre logaritmiske ligninger reduceres til den enkleste måde for specielle transformationer (se "Logaritmes grundlæggende egenskaber"). I dette tilfælde skal der imidlertid tages højde for mange finesser: unødvendige rødder kan opstå, derfor vil komplekse logaritmiske ligninger blive overvejet separat.

Hvordan løser man sådanne ligninger? Det er nok at udskifte tallet til højre for lighedstegnet med logaritmen i samme base som til venstre. Så kan du slippe af med logaritmens tegn. Vi får:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Vi har den sædvanlige ligning. Dens rødder er rødderne i den oprindelige ligning.

Tager grader

Ofte løses logaritmiske ligninger, der udadtil ser komplicerede og truende ud, på bare et par linjer uden at involvere komplekse formler. I dag vil vi overveje netop sådanne problemer, hvor alt hvad der kræves af dig er omhyggeligt at reducere formlen til den kanoniske form og ikke blive forvirret, når vi leder efter definitionen af ​​logaritmer.

I dag, som du sikkert allerede gættede ud fra navnet, vil vi løse logaritmiske ligninger ved hjælp af formlerne for overgangen til den kanoniske form. Det vigtigste "trick" i denne videolektion vil være at arbejde med grader, eller rettere sagt udlede graden fra basen og argumentet. Lad os se på reglen:

På samme måde kan du tage graden fra basen:

Som du kan se, hvis vi ved fjernelse af graden fra logaritmens argument simpelthen har en ekstra faktor foran, så når den fjernes fra basen, er den ikke bare en faktor, men en omvendt faktor. Dette skal huskes.

Endelig den sjove del. Disse formler kan kombineres, så får vi:

Når man udfører disse overgange, er der naturligvis visse faldgruber forbundet med den mulige udvidelse af definitionsområdet eller omvendt indsnævring af definitionsområdet. Bedøm selv:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Hvis x i det første tilfælde kunne være et hvilket som helst andet tal end 0, det vil sige kravet x ≠ 0, så vil vi i det andet tilfælde kun være tilfredse med x, som ikke blot ikke er lig, men strengt større end 0, fordi definitionen af ​​logaritmen er, at argumentet er strengt større end 0. Lad mig derfor minde dig om en vidunderlig formel fra algebraforløbet i klasse 8-9:

Det vil sige, at vi skal skrive vores formel som følger:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 | x |

Så sker der ingen indsnævring af definitionens domæne.

I dagens videotutorial vil der dog ikke være nogen firkanter. Hvis du ser på vores opgaver, vil du kun se rødderne. Derfor vil vi ikke anvende denne regel, men den skal stadig huskes, så du på det rigtige tidspunkt, når du ser en kvadratisk funktion i logaritmes argument eller base, husker denne regel og udfører alle transformationer korrekt.

Så den første ligning:

For at løse dette problem foreslår jeg omhyggeligt at se på hvert af de udtryk, der er til stede i formlen.

Lad os omskrive det første udtryk som en magt med en rationel eksponent:

Vi ser på det andet udtryk: log 3 (1 - x). Du behøver ikke gøre noget her, alt er allerede en transformation.

Endelig 0, 5. Som jeg sagde i tidligere lektioner, når jeg løser logaritmiske ligninger og formler, anbefaler jeg stærkt at skifte fra decimalfraktioner til almindelige. Lad os gøre det:

0,5 = 5/10 = 1/2

Lad os omskrive vores oprindelige formel under hensyntagen til de resulterende vilkår:

log 3 (1 - x) = 1

Lad os nu gå videre til den kanoniske form:

log 3 (1 - x) = log 3 3

Vi slipper for logaritmens tegn ved at sidestille argumenterne:

1 - x = 3

−x = 2

x = −2

Det er det, vi har løst ligningen. Lad os dog spille det sikkert og finde omfanget. For at gøre dette, lad os gå tilbage til den originale formel og se:

1 - x> 0

−x> −1

x< 1

Vores rod x = −2 opfylder dette krav; derfor er x = −2 en løsning på den oprindelige ligning. Nu har vi modtaget en streng klar begrundelse. Det er det, problemet er løst.

Lad os gå videre til den anden opgave:

Lad os behandle hvert udtryk separat.

Vi skriver det første:

Vi har ændret det første udtryk. Vi arbejder med det andet udtryk:

Endelig det sidste udtryk til højre for lighedstegnet:

Vi erstatter de opnåede udtryk i stedet for udtrykkene i den resulterende formel:

log 3 x = 1

Lad os gå videre til den kanoniske form:

log 3 x = log 3 3

Vi slipper for logaritmens tegn og sidestiller argumenterne, og vi får:

x = 3

Igen, lad os spille det sikkert for sikkerheds skyld, gå tilbage til den originale ligning og se. I den originale formel er variablen x kun til stede i argumentet, derfor er

x> 0

I den anden logaritme er x under roden, men igen i argumentet skal roden derfor være større end 0, det vil sige, det radikale udtryk skal være større end 0. Se på vores rod x = 3. Det er klart, at det opfylder dette krav. Derfor er x = 3 en løsning på den oprindelige logaritmiske ligning. Det er det, problemet er løst.

Der er to nøglepunkter i dagens videotutorial:

1) Vær ikke bange for at transformere logaritmerne og især ikke være bange for at tage magterne ud af logaritmens tegn, mens du husker vores grundformel: når du fjerner en grad fra et argument, tages det simpelthen ud uændret som en faktor, og når en grad tages ud af basen, vendes denne grad.

2) det andet punkt er forbundet med selve den kanoniske form. Vi udførte overgangen til den kanoniske form helt i slutningen af ​​transformationen af ​​formlen for den logaritmiske ligning. Lad mig minde dig om følgende formel:

a = log b b a

Med udtrykket "ethvert tal b" mener jeg naturligvis sådanne tal, der opfylder de krav, der stilles til logaritmens grundlag, dvs.

1 ≠ b> 0

For sådanne b, og da vi allerede kender basen, vil dette krav automatisk blive opfyldt. Men for sådanne b - alle der opfylder dette krav - kan denne overgang udføres, og vi får en kanonisk form, hvor vi kan slippe af med logaritmens tegn.

Udvidelse af omfanget og unødvendige rødder

I processen med at transformere logaritmiske ligninger kan der forekomme en implicit udvidelse af definitionens domæne. Ofte bemærker eleverne ikke engang dette, hvilket fører til fejl og forkerte svar.

Lad os starte med de enkleste designs. Den enkleste logaritmiske ligning er følgende:

log a f (x) = b

Bemærk, at x kun er til stede i et argument i en logaritme. Hvordan løser vi sådanne ligninger? Vi bruger den kanoniske form. For at gøre dette repræsenterer vi tallet b = log a a b, og vores ligning omskrives som følger:

log a f (x) = log a a b

Denne post kaldes den kanoniske form. Det er for hende, at enhver logaritmisk ligning, som du ikke kun finder i dagens lektion, men også i ethvert selvstændigt og kontrolarbejde, bør reduceres.

Hvordan man kommer til den kanoniske form, hvilke teknikker der skal bruges, er allerede et spørgsmål om øvelse. Det vigtigste at forstå er, at så snart du modtager en sådan rekord, kan du antage, at problemet er løst. Fordi det næste trin er at skrive:

f (x) = a b

Med andre ord slipper vi for logaritmens tegn og sidestiller lige argumenterne.

Hvorfor al denne samtale? Faktum er, at den kanoniske form ikke kun kan anvendes på de enkleste problemer, men også på andre. Især dem, vi vil løse i dag. Lad os se.

Første opgave:

Hvad er problemet med denne ligning? Det faktum, at funktionen er i to logaritmer på én gang. Problemet kan reduceres til det enkleste ved blot at trække den ene logaritme fra den anden. Men der er problemer med definitionens omfang: der kan forekomme ekstra rødder. Så lad os bare flytte en af ​​logaritmerne til højre:

En sådan rekord minder allerede meget mere om den kanoniske form. Men der er endnu en nuance: I den kanoniske form skal argumenterne være de samme. Og vi har base 3 -logaritmen til venstre og base 1/3 til højre. Ved, du skal bringe disse grunde til det samme nummer. Lad os f.eks. Huske, hvad negative kræfter er:

Og så vil vi bruge flytningen af ​​eksponenten "-1" uden for log som en faktor:

Bemærk: graden, der stod ved basen, vender og bliver til en brøkdel. Vi fik en næsten kanonisk notation, hvor vi slap af med forskellige baser, men til gengæld fik vi faktoren "-1" til højre. Lad os tilføje denne faktor til argumentet og gøre det til en magt:

Efter at have modtaget den kanoniske form, krydser vi selvfølgelig dristigt logaritmens tegn og sidestiller argumenterne. Lad mig på samme tid minde dig om, at når den hæves til magten “−1”, vendes brøkdelen simpelthen - andelen opnås.

Lad os bruge hovedegenskaben for proportioner og gange den på tværs:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 = 0

Før os er den givne kvadratiske ligning, så vi løser den ved hjælp af Vietas formler:

(x - 8) (x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

Det er alt. Tror du, at ligningen er løst? Ingen! For en sådan løsning får vi 0 point, fordi den originale ligning indeholder to logaritmer med variablen x på én gang. Derfor er det påkrævet at tage hensyn til definitionens omfang.

Og det er her det sjove begynder. De fleste studerende er forvirrede: hvad er logaritmens domæne? Selvfølgelig skal alle argumenter (vi har to) være større end nul:

(x - 4) / (3x - 4)> 0

(x - 5) / (2x - 1)> 0

Hver af disse uligheder skal løses, markeres på en lige linje, krydses - og først derefter se hvilke rødder der ligger i krydset.

For at være ærlig: denne teknik har en eksistensret, den er pålidelig, og du får det rigtige svar, men der er for mange unødvendige handlinger i den. Så lad os gå igennem vores løsning igen og se: hvor præcis vil du anvende omfanget? Med andre ord skal du tydeligt forstå, hvornår de ekstra rødder præcist opstår.

1. Oprindeligt havde vi to logaritmer. Derefter flyttede vi en af ​​dem til højre, men dette påvirkede ikke definitionsområdet.
2. Derefter fjerner vi graden fra basen, men der er stadig to logaritmer, og hver af dem indeholder variablen x.
3. Endelig krydser vi tegnene for log og får den klassiske fraktionelle rationelle ligning.

Det er på det sidste trin, at definitionens domæne udvides! Så snart vi flyttede til den fraktionelle rationelle ligning og slap af logtegnene, ændrede kravene til variablen x sig dramatisk!

Følgelig kan definitionens domæne betragtes ikke i begyndelsen af ​​løsningen, men kun på det nævnte trin - før argumenterne sidestilles direkte.

Det er her muligheden for optimering ligger. På den ene side kræves det, at begge argumenter er større end nul. På den anden side sidestiller vi yderligere disse argumenter. Derfor, hvis mindst en af ​​dem er positiv, så vil den anden også være positiv!

Så det viser sig, at det er en overkill at kræve opfyldelse af to uligheder på én gang. Det er nok at overveje kun en af ​​disse fraktioner. Hvilken en? Den der er lettere. Lad os f.eks. Håndtere den rigtige brøk:

(x - 5) / (2x - 1)> 0

Dette er en typisk brøk-rationel ulighed, vi løser det ved hjælp af intervaller:

Hvordan placeres skilte? Lad os tage et tal, der naturligvis er større end alle vores rødder. For eksempel 1 mia. Og erstat dens brøkdel. Vi får et positivt tal, dvs. til højre for roden x = 5 vil der være et plustegn.

Derefter veksler tegnene, fordi der ikke er rødder til selv mangfoldighed nogen steder. Vi er interesseret i intervaller, hvor funktionen er positiv. Derfor er x ∈ (−∞; −1/2) ∪ (5; + ∞).

Lad os nu huske svarene: x = 8 og x = 2. Strengt taget er dette ikke svar endnu, men kun kandidater til et svar. Hvilken tilhører det angivne sæt? Selvfølgelig er x = 8. Men x = 2 passer ikke til os inden for definitionens område.

Det samlede svar på den første logaritmiske ligning vil være x = 8. Nu har vi modtaget en kompetent, velbegrundet løsning under hensyntagen til definitionens domæne.

Lad os gå videre til den anden ligning:

log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3

Lad mig minde dig om, at hvis der er en decimalbrøk i ligningen, så skal du slippe af med den. Med andre ord, lad os omskrive 0,5 som en almindelig brøkdel. Vi bemærker straks, at logaritmen indeholdende denne base let beregnes:

Dette er et meget vigtigt øjeblik! Når vi har grader i bunden og i argumentet, kan vi få indikatorerne for disse grader frem ved formlen:

Gå tilbage til vores originale logaritmiske ligning, og skriv den om:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Vi fik en konstruktion, der ligger ganske tæt på den kanoniske form. Vi er imidlertid forvirrede over vilkårene og minustegnet til højre for lighedstegnet. Lad os tænke på en som en base 5 -logaritme:

log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)

Træk logaritmerne fra højre (mens deres argumenter er delelige):

log 5 (x - 9) = log 5 5 / (x - 5)

Perfekt. Så vi fik den kanoniske form! Stryg logtegnene og sæt lighedstegn mellem argumenterne:

(x - 9) / 1 = 5 / (x - 5)

Dette er en andel, der let kan løses ved at multiplicere på kryds og tværs:

(x - 9) (x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 - 14x + 40 = 0

Det er klart, at vi har den givne kvadratiske ligning foran os. Det kan let løses ved hjælp af Vietas formler:

(x - 10) (x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Vi har to rødder. Men det er ikke endegyldige svar, men kun kandidater, fordi den logaritmiske ligning også kræver verifikation af definitionens domæne.

Jeg minder dig om: ingen grund til at se når hver af argumenterne vil være større end nul. Det er nok at kræve, at et argument - enten x - 9 eller 5 / (x - 5) - er større end nul. Overvej det første argument:

x - 9> 0

x> 9

Det er klart, at kun x = 10 opfylder dette krav. Dette er det endelige svar. Hele problemet er løst.

Igen er hovedpunkterne i dagens lektion:

1. Så snart variablen x vises i flere logaritmer, ophører ligningen med at være elementær, og for det skal du beregne domænet. Ellers kan du nemt skrive ekstra rødder ned som svar.
2. Arbejdet med selve domænet kan forenkles betydeligt, hvis vi ikke udskriver uligheden ikke med det samme, men præcis i det øjeblik, hvor vi slipper for logtegnene. Når argumenter sidestilles med hinanden, er det jo nok at kræve, at kun en af ​​dem er større end nul.

Selvfølgelig vælger vi selv fra hvilket argument vi skal sammensætte ulighed, så det er logisk at vælge det enkleste. For eksempel i den anden ligning valgte vi argumentet (x - 9) - en lineær funktion, i modsætning til det brøk -rationelle andet argument. Enig, at løse uligheden x - 9> 0 er meget lettere end 5 / (x - 5)> 0. Selvom resultatet er det samme.

Denne bemærkning forenkler i høj grad søgningen efter LDV, men vær forsigtig: du kan kun bruge en ulighed i stedet for to, når argumenterne er nøjagtigt lig med hinanden!

Selvfølgelig vil nogen nu spørge: hvad sker anderledes? Ja, nogle gange. For eksempel i selve trinnet, når vi multiplicerer to argumenter, der indeholder en variabel, er der fare for unødvendige rødder.

Bedøm selv: i første omgang skal hvert af argumenterne være større end nul, men efter multiplikation er det nok, at deres produkt er større end nul. Som et resultat savnes sagen, når hver af disse fraktioner er negative.

Derfor, hvis du lige er begyndt at beskæftige dig med komplekse logaritmiske ligninger, må du under ingen omstændigheder multiplicere logaritmerne, der indeholder variablen x - for ofte vil det føre til unødvendige rødder. Bedre tage et ekstra skridt, flytte et udtryk til den anden side, udgøre den kanoniske form.

Nå, hvad skal jeg gøre, hvis du ikke kan gøre uden at multiplicere sådanne logaritmer, vil vi diskutere i den næste video -tutorial. :)

Endnu en gang om graderne i ligningen

I dag vil vi analysere et temmelig glat emne relateret til logaritmiske ligninger, eller rettere sagt fjernelse af beføjelser fra argumenter og logaritmer.

Jeg vil endda sige, at vi vil tale om at lave lige grader, for det er med lige grader, at de fleste vanskeligheder opstår, når vi skal løse rigtige logaritmiske ligninger.

Lad os starte med den kanoniske form. Lad os sige, at vi har en ligning af formlog a a (x) = b. I dette tilfælde omskriver vi tallet b ifølge formlen b = log a a b. Det viser sig følgende:

log a f (x) = log a a b

Derefter sidestiller vi argumenterne:

f (x) = a b

Den næstsidste formel kaldes den kanoniske form. Det er for hende, at de forsøger at reducere enhver logaritmisk ligning, uanset hvor kompliceret og frygtelig det kan virke ved første øjekast.

Så lad os prøve. Lad os starte med den første opgave:

Foreløbig note: Som sagt konverteres alle decimalfraktioner i den logaritmiske ligning bedst til almindelige:

0,5 = 5/10 = 1/2

Lad os omskrive vores ligning med dette i tankerne. Bemærk, at både 1/1000 og 100 er magter på ti, og så tager vi magterne fra, uanset hvor de er: fra argumenterne og endda fra logaritmernes basis:

Og her har mange studerende et spørgsmål: "Hvor kom modulet fra til højre?" Hvorfor ikke bare skrive (x - 1)? Selvfølgelig vil vi nu skrive (x - 1), men retten til en sådan registrering giver os en redegørelse for definitionens domæne. Faktisk er der i en anden logaritme allerede (x - 1), og dette udtryk skal være større end nul.

Men når vi tager firkanten ud af bunden af ​​logaritmen, skal vi lade modulet stå ved basen. Lad mig forklare hvorfor.

Faktum er, at fra matematikens synspunkt svarer overførsel af en grad til at udtrække en rod. Især når kvadratet tages ud af udtrykket (x - 1) 2, udtrækker vi i det væsentlige roden til den anden grad. Men roden til en firkant er ikke andet end et modul. Nemlig modul, for selvom udtrykket x - 1 er negativt, vil "minus" stadig brænde ud i kvadratet. Yderligere ekstraktion af roden vil give os et positivt tal - allerede uden ulemper.

For at undgå stødende fejl skal du generelt huske en gang for alle:

En jævn rod af enhver funktion, der er hævet til den samme effekt, er ikke lig med selve funktionen, men dens modul:

Tilbage til vores logaritmiske ligning. Taler om modulet, argumenterede jeg for, at vi kan fjerne det smertefrit. Det er rigtigt. Lad mig forklare hvorfor. Strengt taget måtte vi overveje to muligheder:

1. x - 1> 0 ⇒ | x - 1 | = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Hver af disse muligheder skulle behandles. Men der er en fangst: den originale formel indeholder allerede en funktion (x - 1) uden modul. Og efter definitionen af ​​logaritmer har vi ret til med det samme at skrive x - 1> 0.

Dette krav skal opfyldes uafhængigt af moduler og andre transformationer, som vi udfører i løsningsprocessen. Det giver derfor ingen mening at overveje den anden mulighed - den vil aldrig opstå. Selvom vi ved at løse denne gren af ​​ulighed får nogle tal, vil de stadig ikke blive inkluderet i det endelige svar.

Nu er vi bogstaveligt talt et skridt væk fra den kanoniske form for den logaritmiske ligning. Lad os repræsentere enheden som følger:

1 = log x - 1 (x - 1) 1

Derudover tilføjer vi faktoren −4 til højre i argumentet:

log x - 1 10 −4 = log x - 1 (x - 1)

Foran os er den kanoniske form for den logaritmiske ligning. Slip af med logaritmens tegn:

10 −4 = x - 1

Men da basen var en funktion (og ikke et primtal), kræver vi desuden, at denne funktion er større end nul og ikke lig med en. Systemet viser sig:

Da kravet x - 1> 0 automatisk opfyldes (trods alt x - 1 = 10 −4), kan en af ​​ulighederne slettes fra vores system. Den anden betingelse kan også overstreges, fordi x - 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1.0001

Dette er den eneste rod, der automatisk opfylder alle kravene inden for definitionen af ​​logaritmen (dog blev alle kravene elimineret som bevidst opfyldt under betingelserne for vores problem).

Så den anden ligning:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Hvordan er denne ligning fundamentalt forskellig fra den foregående? Allerede i det mindste ved, at logaritmernes baser - 3x og 9x - ikke er naturlige grader af hinanden. Derfor er den overgang, vi brugte i den tidligere løsning, ikke mulig.

Lad os i det mindste slippe af med graderne. I vores tilfælde er den eneste grad i det andet argument:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x | x |

Modultegnet kan dog fjernes, fordi x -variablen også er i bunden, dvs. x> 0 ⇒ | x | = x. Lad os omskrive vores logaritmiske ligning:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Vi fik logaritmer med de samme argumenter, men forskellige baser. Hvad skal jeg så gøre? Der er mange muligheder her, men vi vil kun overveje to af dem, som er de mest logiske, og vigtigst af alt, det er hurtige og forståelige teknikker for de fleste studerende.

Vi har allerede overvejet den første mulighed: Oversæt logaritmer med en variabel base til en konstant base i enhver uforståelig situation. For eksempel til en deuce. Overgangsformlen er enkel:

Selvfølgelig skal et normalt tal spille rollen som en variabel c: 1 ≠ c> 0. Lad, i vores tilfælde, c = 2. Nu har vi en almindelig brøkdel rationel ligning. Vi samler alle elementerne til venstre:

Faktisk er faktor log 2 x bedre at tage ud, da den er til stede i både den første og anden fraktion.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Vi opdeler hver log i to termer:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Lad os omskrive begge sider af ligestillingen under hensyntagen til disse kendsgerninger:

3 (2 log 2 3 + log 2 x) = 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Nu er det tilbage at tilføje en to under logaritmens tegn (det bliver til en effekt: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Før os er den klassiske kanoniske form, slipper vi for logaritmens tegn, og vi får:

Som forventet viste denne rod sig at være større end nul. Det er stadig at kontrollere domænet. Lad os se på årsagerne:

Men roden x = 9 opfylder disse krav. Derfor er det den endelige beslutning.

Konklusionen fra denne løsning er enkel: lad dig ikke skræmme af lange beregninger! Det er bare det, at vi i begyndelsen valgte tilfældigt et nyt fundament - og dette komplicerede processen betydeligt.

Men så opstår spørgsmålet: hvad er det for et fundament optimal? Jeg vil tale om dette i den anden metode.

Lad os gå tilbage til vores oprindelige ligning:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x | x |

x> 0 ⇒ | x | = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Lad os nu tænke lidt over: hvilket tal eller funktion vil være den optimale radix? Den bedste løsning ville naturligvis være c = x - hvad der allerede er i argumenterne. I dette tilfælde vil formel log a b = log c b / log c a have formen:

Med andre ord er udtrykket ganske enkelt vendt. I dette tilfælde er argumentet og grundlaget vendt.

Denne formel er meget nyttig og bruges meget ofte ved løsning af komplekse logaritmiske ligninger. Der er imidlertid en meget alvorlig faldgrube, når du bruger denne formel. Hvis vi i stedet for basen erstatter variablen x, pålægges den restriktioner, som ikke tidligere blev observeret:

Der var ingen sådan begrænsning i den oprindelige ligning. Derfor er det nødvendigt at kontrollere tilfældet særskilt, når x = 1. Indsæt denne værdi i vores ligning:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Vi får den korrekte numeriske ligestilling. Derfor er x = 1 en rod. Vi fandt den nøjagtig samme rod i den tidligere metode i begyndelsen af ​​løsningen.

Men nu, når vi har overvejet dette særlige tilfælde separat, antager vi sikkert, at x ≠ 1. Så vil vores logaritmiske ligning blive omskrevet som følger:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Udvid begge logaritmer ved hjælp af den samme formel som før. Bemærk, at log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2-4 log x 3 = 4 - 3

2 log x 3 = 1

Så vi kom til den kanoniske form:

log x 9 = log x x 1

x = 9

Vi fik den anden rod. Det opfylder kravet x ≠ 1. Derfor er x = 9 samt x = 1 det endelige svar.

Som du kan se, er mængden af ​​beregninger faldet lidt. Men når man løser en reel logaritmisk ligning, vil antallet af handlinger være meget mindre, også fordi man ikke skal beskrive hvert trin så detaljeret.

Hovedreglen for dagens lektion er som følger: hvis der er en jævn grad i problemet, hvorfra en rod af samme grad ekstraheres, så får vi et output ved output. Dette modul kan dog fjernes, hvis vi er opmærksomme på definitionen af ​​logaritmer.

Men vær forsigtig: de fleste af eleverne efter denne lektion tror, ​​at de forstår alt. Men når de løser virkelige problemer, kan de ikke gengive hele den logiske kæde. Som et resultat bliver ligningen tilgroet med unødvendige rødder, og svaret viser sig at være forkert.

Instruktioner

Skriv det angivne logaritmiske udtryk ned. Hvis udtrykket bruger logaritmen 10, afkortes dets notation og ser sådan ud: lg b er decimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som base, skal du skrive udtrykket ned: ln b - naturlig logaritme. Det er underforstået, at resultatet af en hvilken som helst er den effekt, hvortil basisnummeret skal hæves for at få tallet b.

Når man finder ud af summen af ​​to funktioner, skal man blot differentiere dem efter tur og tilføje resultaterne: (u + v) "= u" + v ";

Når man finder derivatet af produktet af to funktioner, er det nødvendigt at gange derivatet af den første funktion med den anden og tilføje derivatet af den anden funktion, ganget med den første funktion: (u * v) "= u" * v + v "* u;

For at finde afledningen af ​​kvoten af ​​to funktioner, er det nødvendigt fra produktet af afledningen af ​​udbyttet, multipliceret med divisorfunktionen, at trække produktet fra aflederen af ​​divisoren multipliceret med funktionen af ​​udbyttet , og divider alt dette med divisorfunktionen i firkant. (u / v) "= (u" * v-v " * u) / v ^ 2;

Hvis en kompleks funktion er givet, er det nødvendigt at gange derivatet af den interne funktion og derivatet af den eksterne. Lad y = u (v (x)), derefter y "(x) = y" (u) * v "(x).

Ved at bruge dem, der er opnået ovenfor, kan du differentiere næsten enhver funktion. Så lad os se på et par eksempler:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Der er også problemer med at beregne derivatet på et tidspunkt. Lad funktionen y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) gives, du skal finde værdien af ​​funktionen ved punktet x = 1.
1) Find den afledte af funktionen: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Beregn værdien af ​​funktionen ved det givne punkt y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8

Lignende videoer

Nyttigt råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydeligt.

Kilder:

• afledt af en konstant

Så hvad er forskellen mellem en irrationel og en rationel ligning? Hvis den ukendte variabel er under kvadratrodstegnet, betragtes ligningen som irrationel.

Instruktioner

Hovedmetoden til løsning af sådanne ligninger er metoden til konstruktion af begge dele ligninger i en firkant. Imidlertid. dette er naturligt, det første trin er at slippe af med skiltet. Denne metode er ikke teknisk vanskelig, men nogle gange kan den få dig i problemer. For eksempel er ligningen v (2x-5) = v (4x-7). Ved at kvadrere begge sider af det får du 2x-5 = 4x-7. Denne ligning er ikke vanskelig at løse; x = 1. Men tallet 1 vil ikke være det givne ligninger... Hvorfor? Erstat 1 i ligningen for x, og både højre og venstre side vil indeholde udtryk, der ikke giver mening, det vil sige. Denne værdi er ikke gyldig for en kvadratrod. Derfor er 1 en fremmed rod, og derfor har den givne ligning ingen rødder.

Så en irrationel ligning løses ved hjælp af metoden til kvadrering af begge sider af den. Og efter at have løst ligningen, er det bydende nødvendigt at afskære fremmede rødder. For at gøre dette skal de fundne rødder erstattes med den oprindelige ligning.

Overvej en anden.
2x + vx-3 = 0
Selvfølgelig kan denne ligning løses på samme måde som den forrige. Flyt sammensat ligninger der ikke har en kvadratrod, til højre side og derefter bruge kvadreringsmetoden. løse den resulterende rationelle ligning og rødder. Men også en anden, mere yndefuld. Indtast en ny variabel; vx = y. Derfor får du en ligning af formen 2y2 + y-3 = 0. Det vil sige den sædvanlige kvadratiske ligning. Find sine rødder; y1 = 1 og y2 = -3 / 2. Beslut derefter to ligninger vx = 1; vx = -3 / 2. Den anden ligning har ingen rødder, fra den første finder vi, at x = 1. Glem ikke at kontrollere rødderne.

At løse identiteter er let nok. Dette kræver identiske transformationer, indtil målet er nået. Således vil opgaven ved hjælp af de enkleste aritmetiske operationer blive løst.

Du får brug for

• - papir;
• - en kuglepen.

Instruktioner

Den enkleste af sådanne transformationer er algebraisk forkortet multiplikation (såsom summen af ​​kvadratet (forskellen), kvadraternes forskel, summen (forskellen), summen af ​​terningen (forskellen)). Derudover er der mange og trigonometriske formler, som i det væsentlige er de samme identiteter.

Faktisk er kvadratet af summen af ​​to termer lig med kvadratet af det første plus to gange produktet af det første med det andet og plus kvadratet af det andet, det vil sige (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Forenkle begge

Generelle løsningsprincipper

Variabel udskiftningsmetode

Løsning af integraler af den anden slags

Udskiftning af grænserne for integration

Forberedelse til den afsluttende test i matematik indeholder et vigtigt afsnit - "Logaritmer". Opgaver fra dette emne er nødvendigvis indeholdt i eksamen. Erfaringen fra de sidste år viser, at logaritmiske ligninger har forårsaget vanskeligheder for mange skolebørn. Derfor skal elever med forskellige uddannelsesniveauer forstå, hvordan de finder det korrekte svar, og hurtigt klare dem.

Bestå certificeringstesten med succes ved hjælp af uddannelsesportalen "Shkolkovo"!

Når de forbereder sig til den forenede statseksamen, har gymnasiekandidater brug for en pålidelig kilde, der giver den mest komplette og præcise information til den vellykkede løsning af testproblemer. Lærebogen er imidlertid ikke altid lige ved hånden, og det tager ofte tid at finde de nødvendige regler og formler på Internettet.

Uddannelsesportalen "Shkolkovo" giver dig mulighed for at forberede dig til Unified State Exam hvor som helst og når som helst. Vores websted tilbyder den mest bekvemme tilgang til gentagelse og assimilering af en stor mængde information om logaritmer, samt om en og flere ubekendte. Start med lette ligninger. Hvis du let håndterede dem, skal du gå videre til mere komplekse. Hvis du har problemer med at løse en bestemt ulighed, kan du føje den til dine favoritter for at vende tilbage til den senere.

Du kan finde de nødvendige formler til at fuldføre opgaven, gentage specielle sager og metoder til beregning af roden til den standard logaritmiske ligning ved at se på afsnittet "Teoretisk reference". Shkolkovo -lærerne har samlet, systematiseret og præsenteret alt det materiale, der er nødvendigt for en vellykket levering i den mest enkle og forståelige form.

For let at klare opgaver af enhver kompleksitet kan du på vores portal sætte dig ind i løsningen af ​​nogle typiske logaritmiske ligninger. For at gøre dette skal du gå til afsnittet "Kataloger". Vi har præsenteret et stort antal eksempler, herunder ligningerne for profilniveauet for eksamen i matematik.

Elever fra skoler i hele Rusland kan bruge vores portal. For at komme i gang skal du bare registrere dig i systemet og begynde at løse ligninger. For at konsolidere resultaterne råder vi dig til at vende tilbage til Shkolkovo -webstedet hver dag.

Løsning af logaritmiske ligninger. Del 1.

Logaritmisk ligning er en ligning, hvor det ukendte er indeholdt under logaritmens tegn (især i bunden af ​​logaritmen).

Det enkleste logaritmisk ligning ligner:

Løsning på enhver logaritmisk ligning involverer overgangen fra logaritmer til udtryk under logaritmernes tegn. Denne handling udvider imidlertid ligningens tilladte værdier og kan føre til fremkomsten af ​​fremmede rødder. For at undgå fremkomsten af ​​fremmede rødder, kan du gøre en af ​​tre måder:

1. Lav en tilsvarende overgang fra den originale ligning til systemet inklusive

afhængigt af hvilken ulighed der er eller er enklere.

Hvis ligningen indeholder en ukendt i bunden af ​​logaritmen:

så går vi til systemet:

2. Find særskilt området for tilladelige værdier for ligningen, derefter løse ligningen og kontrollere, om de fundne løsninger opfylder ligningen.

3. Løs ligningen, og derefter tjek: erstat de fundne løsninger i den originale ligning, og kontroller, om vi får den korrekte ligestilling.

Den logaritmiske ligning af ethvert kompleksitetsniveau reducerer i sidste ende altid til den enkleste logaritmiske ligning.

Alle logaritmiske ligninger kan groft opdeles i fire typer:

1 ... Ligninger, der kun indeholder logaritmer i første grad. Ved hjælp af transformationer og brug reduceres de til formen

Eksempel... Lad os løse ligningen:

Lad os sidestille udtrykkene under logaritmtegnet:

Lad os kontrollere, om vores rod opfylder ligningen:

Ja det gør.

Svar: x = 5

2 ... Ligninger, der indeholder logaritmer i en anden grad end 1 (især i nævneren af ​​en brøk). Sådanne ligninger løses ved hjælp af indføre variabel ændring.

Eksempel. Lad os løse ligningen:

Lad os finde ligningens ODZ:

Ligningen indeholder logaritmer i kvadrat, så det løses ved at ændre variablen.

Vigtig! Inden en substitution indføres, er det nødvendigt at "trække" logaritmerne, der er inkluderet i ligningen, fra hinanden til "mursten" ved hjælp af logaritmernes egenskaber.

Når man "trækker" logaritmer, er det vigtigt meget omhyggeligt at anvende logaritmernes egenskaber:

Derudover er der et andet subtilt punkt her, og for at undgå en almindelig fejl vil vi bruge en mellemliggende ligestilling: vi skriver graden af ​​logaritmen i denne form:

Tilsvarende

Erstat de resulterende udtryk i den originale ligning. Vi får:

Nu ser vi, at det ukendte er indeholdt i ligningen i sammensætningen. Lad os introducere udskiftningen:. Da det kan tage enhver reel værdi, pålægger vi ikke nogen begrænsninger for variablen.