Den absolutte værdi af et tal -en Er afstanden fra udgangspunktet til punktet EN(-en).

For at forstå denne definition skal du erstatte variablen -en et hvilket som helst tal, for eksempel 3, og prøv at læse det igen:

Den absolutte værdi af et tal 3 Er afstanden fra udgangspunktet til punktet EN(3 ).

Det bliver tydeligt, at modulet ikke er andet end en normal afstand. Lad os prøve at se afstanden fra oprindelsen til punkt A ( 3 )

Afstand fra oprindelsen til punkt A ( 3 ) er lig med 3 (tre enheder eller tre trin).

Modulet af et tal er angivet med to lodrette linjer, for eksempel:

Modulet for tallet 3 er angivet som følger: | 3 |

Modulet for tallet 4 er angivet som følger: | 4 |

Modulet for tallet 5 er angivet som følger: | 5 |

Vi ledte efter modulet af tallet 3 og fandt ud af, at det er lig med 3. Så vi skriver:

Det lyder sådan: "Modulet for tallet tre er tre"

Lad os nu prøve at finde modulet af tallet -3. Igen, gå tilbage til definitionen og indsæt tallet -3 i den. Kun i stedet for et punkt EN bruge et nyt punkt B... Punkt EN vi har allerede brugt i det første eksempel.

Modulo tal - 3 er afstanden fra udgangspunktet til punktet B(—3 ).

Afstanden fra et punkt til et andet kan ikke være negativ. Derfor vil modulet af ethvert negativt tal, som er en afstand, heller ikke være negativt. Modulet for tallet -3 vil være nummer 3. Afstanden fra origo til punkt B (-3) er også lig med tre enheder:

Det lyder sådan: "Modul med tal minus tre er lig med tre"

Den absolutte værdi af tallet 0 er 0, fordi punktet med koordinaten 0 falder sammen med origo, dvs. afstand fra udgangspunkt til punkt O (0) er lig med nul:

"Nul modul er nul"

Vi drager konklusioner:

• Modulet af et tal kan ikke være negativt;
• For et positivt tal og nul er modulet lig med selve tallet, og for et negativt tal det modsatte tal;
• Modsatte tal har lige store moduler.

Modsatte tal

Tal, der kun adskiller sig i tegn, kaldes modsat... For eksempel er tallene −2 og 2 modsatte. De adskiller sig kun i tegn. Tallet −2 har et minustegn, og 2 har et plustegn, men vi ser det ikke, fordi plus, som vi sagde tidligere, traditionelt ikke skrives.

Flere eksempler på modsatte tal:

Modsatte tal har lige store moduler. Lad os for eksempel finde moduler til -2 og 2

Figuren viser, at afstanden fra oprindelsen til punkterne A (−2) og B (2) er lige lig med to trin.

Kunne du lide lektionen?
Tilmeld dig vores nye Vkontakte-gruppe og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner

Vi vælger ikke matematik sit fag, og hun vælger os.

Den russiske matematiker Yu.I. Manin

Ligninger med modul

De vanskeligste at løse problemer i skolematematik er ligninger, der indeholder variabler under modultegnet. For at kunne løse sådanne ligninger med succes skal du kende modulets definition og grundlæggende egenskaber. Eleverne skal naturligvis have færdigheder til at løse ligninger af denne type.

Grundlæggende begreber og egenskaber

Modulus (absolut værdi) af et reelt tal angivet og er defineret som følger:

Et moduls simple egenskaber omfatter følgende forhold:

Bemærk, at de to sidste egenskaber er gyldige for en hvilken som helst lige grad.

Derudover hvis, hvor, så

Mere komplekse modulegenskaber, som effektivt kan bruges til at løse ligninger med moduler, er formuleret ved hjælp af følgende sætninger:

Sætning 1.Til alle analytiske funktioner og uligheden er sand

Sætning 2. Lighed er lig med ulighed.

Sætning 3. Lighed ensbetydende med ulighed.

Lad os overveje typiske eksempler på løsning af problemer om emnet "Ligninger, indeholdende variable under modultegnet ".

Løsning af ligninger med modul

Den mest almindelige metode i skolematematik til at løse ligninger med et modul er metoden, baseret på udvidelse af moduler. Denne metode er alsidig, men generelt kan dets anvendelse føre til meget besværlige beregninger. I denne forbindelse skal eleverne være opmærksomme på andre, mere effektive metoder og teknikker til at løse sådanne ligninger. I særdeleshed, du skal have færdigheder i at anvende teoremer, givet i denne artikel.

Eksempel 1. Løs ligningen. (1)

Løsning. Ligning (1) vil blive løst ved den "klassiske" metode - metoden til at udvide modulerne. For at gøre dette opdeler vi talaksen point og i intervaller og overvej tre tilfælde.

1. Hvis, så,,, og ligning (1) har formen. Derfor følger det. Men her er den fundne værdi derfor ikke roden af ​​ligning (1).

2. Hvis, så får vi fra ligning (1). eller .

Siden da roden af ​​ligning (1).

3. Hvis, så antager ligning (1) formen eller . Noter det.

Svar: , .

Når vi løser efterfølgende ligninger med et modul, vil vi aktivt bruge modulernes egenskaber for at øge effektiviteten af ​​løsningen af ​​sådanne ligninger.

Eksempel 2. Løs ligningen.

Løsning. Siden og, så antyder ligningen... I denne forbindelse,,, og ligningen tager formen... Af dette får vi... Men , derfor har den oprindelige ligning ingen rødder.

Svar: der er ingen rødder.

Eksempel 3. Løs ligningen.

Løsning. Siden da. Hvis så, og ligningen tager formen.

Herfra får vi.

Eksempel 4. Løs ligningen.

Løsning.Vi omskriver ligningen i en tilsvarende form. (2)

Den resulterende ligning tilhører ligninger af typen.

Under hensyntagen til sætning 2 kan det hævdes, at ligning (2) svarer til en ulighed. Herfra får vi.

Svar: .

Eksempel 5. Løs ligningen.

Løsning. Denne ligning har formen... Derfor , ifølge sætning 3, her har vi uligheden eller .

Eksempel 6. Løs ligningen.

Løsning. Antag at. Fordi , så har den givne ligning form af en andengradsligning, (3)

hvor ... Da ligning (3) har en enkelt positiv rod og så ... Derfor får vi to rødder af den oprindelige ligning: og .

Eksempel 7. Løs ligningen. (4)

Løsning. Siden ligningensvarer til en kombination af to ligninger: og , så, når man løser ligning (4), er det nødvendigt at overveje to tilfælde.

1. Hvis, så eller.

Herfra får vi, og.

2. Hvis, så eller.

Siden da.

Svar: , , , .

Eksempel 8.Løs ligningen . (5)

Løsning. Siden og da. Af denne og af ligning (5) følger, at og, dvs. her har vi ligningssystemet

Dette ligningssystem er imidlertid inkonsekvent.

Svar: der er ingen rødder.

Eksempel 9. Løs ligningen. (6)

Løsning. Hvis vi betegner, så og fra ligning (6) får vi

Eller . (7)

Da ligning (7) har formen, svarer denne ligning til en ulighed. Herfra får vi. Siden da eller.

Svar: .

Eksempel 10.Løs ligningen. (8)

Løsning.Ifølge sætning 1 kan vi skrive

(9)

Tager vi ligning (8) i betragtning, konkluderer vi, at begge uligheder (9) bliver til ligheder, dvs. ligningssystemet holder

Men ifølge sætning 3 svarer ovenstående ligningssystem til systemet af uligheder

(10)

Løsning af ulighedssystemet (10), opnår vi. Da systemet af uligheder (10) svarer til ligning (8), har den oprindelige ligning en enkelt rod.

Svar: .

Eksempel 11. Løs ligningen. (11)

Løsning. Lad og, så følger lighed af ligning (11).

Derfor følger det, at og. Her har vi således et system af uligheder

Løsningen på dette system af uligheder er og .

Svar: , .

Eksempel 12.Løs ligningen. (12)

Løsning. Ligning (12) vil blive løst ved metoden med sekventiel udvidelse af moduler. For at gøre dette skal du overveje flere tilfælde.

1. Hvis, så.

1.1. Hvis, så og,.

1.2. Hvis så. Men , derfor, i dette tilfælde, har ligning (12) ingen rødder.

2. Hvis, så.

2.1. Hvis, så og,.

2.2. Hvis, så og.

Svar: , , , , .

Eksempel 13.Løs ligningen. (13)

Løsning. Da venstre side af ligning (13) er ikke-negativ, så og. I denne henseende og ligning (13)

tager form eller.

Det er kendt, at ligningen svarer til kombinationen af ​​to ligninger og , beslutte, hvad vi får,. Fordi , så har ligning (13) én rod.

Svar: .

Eksempel 14. Løs ligningssystem (14)

Løsning. Siden og, dengang og. Derfor får vi fra ligningssystemet (14) fire ligningssystemer:

Rødderne til ovenstående ligningssystemer er rødderne til ligningssystemet (14).

Svar: ,, , , , , , .

Eksempel 15. Løs ligningssystem (15)

Løsning. Siden da. I denne henseende får vi fra ligningssystemet (15) to ligningssystemer

Rødderne til det første ligningssystem er og, og fra det andet ligningssystem får vi og.

Svar: , , , .

Eksempel 16. Løs ligningssystem (16)

Løsning. Af den første ligning af system (16) følger det.

Siden da ... Overvej systemets anden ligning. For så vidt, derefter , og ligningen tager formen, , eller .

Hvis du erstatter værdienind i systemets første ligning (16), så eller.

Svar: , .

Til en dybere undersøgelse af problemløsningsmetoder, relateret til løsning af ligninger, indeholdende variable under modultegnet, du kan anbefale tutorials fra listen over anbefalet læsning.

1. Opsamling af opgaver i matematik for ansøgere til tekniske gymnasier / Udg. M.I. Skanavi. - M .: Fred og Uddannelse, 2013 .-- 608 s.

2. Suprun V.P. Matematik for gymnasieelever: problemer med øget kompleksitet. - M .: CD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 200 s.

3. Suprun V.P. Matematik for gymnasieelever: ikke-standardiserede problemløsningsmetoder. - M .: CD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 296 s.

Har du stadig spørgsmål?

For at få hjælp fra en vejleder - tilmeld dig.

site, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

Et af de sværeste emner for eleverne er løsning af ligninger, der indeholder en variabel under modultegnet. Lad os finde ud af det til en start, hvad er det forbundet med? Hvorfor for eksempel andengradsligninger er klik som nødder for de fleste børn, og med et så langt fra kompliceret koncept som et modul, har det så mange problemer?

Efter min mening er alle disse vanskeligheder forbundet med manglen på klart formulerede regler for løsning af ligninger med et modul. Så når man løser en andengradsligning, ved eleven med sikkerhed, at han først skal anvende diskriminantformlen og derefter formlen for andengradsligningens rødder. Men hvad hvis der er et modul i ligningen? Vi vil forsøge tydeligt at beskrive den nødvendige handlingsplan for sagen, når ligningen indeholder en ukendt under modultegnet. Her er nogle eksempler for hvert enkelt tilfælde.

Men først, lad os huske modul definition... Altså modulet af tallet -en selve dette nummer kaldes if -en ikke-negativ og -en hvis nummeret -en mindre end nul. Du kan skrive det sådan her:

| a | = a hvis a ≥ 0 og | a | = -a hvis a< 0

Når vi taler om modulets geometriske betydning, skal det huskes, at hvert reelt tal svarer til et bestemt punkt på den numeriske akse - dets k koordinere. Så modulet eller den absolutte værdi af et tal er afstanden fra dette punkt til oprindelsen af ​​den numeriske akse. Afstand er altid angivet som et positivt tal. Således er den absolutte værdi af ethvert negativt tal et positivt tal. Forresten, selv på dette stadium begynder mange elever at blive forvirrede. Ethvert tal kan være i modulet, men resultatet af at anvende modulet er altid et positivt tal.

Lad os nu gå direkte til at løse ligningerne.

1. Overvej en ligning på formen | x | = c, hvor c er et reelt tal. Denne ligning kan løses ved hjælp af moduldefinitionen.

Vi opdeler alle reelle tal i tre grupper: dem, der er større end nul, dem, der er mindre end nul, og den tredje gruppe er tallet 0. Lad os skrive løsningen i form af et diagram:

(± c hvis c> 0

Hvis | x | = c, så x = (0, hvis c = 0

(ingen rødder hvis med< 0

1) | x | = 5, fordi 5> 0, så x = ± 5;

2) | x | = -5, fordi -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0, derefter x = 0.

2. En ligning af formen |f (x) | = b, hvor b> 0. For at løse denne ligning er det nødvendigt at slippe af med modulet. Vi gør det sådan: f (x) = b eller f (x) = -b. Nu er det nødvendigt at løse hver af de opnåede ligninger separat. Hvis i den oprindelige ligning b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, fordi 4> 0, så

x + 2 = 4 eller x + 2 = -4

2) | x 2 - 5 | = 11, fordi 11> 0, så

x 2 - 5 = 11 eller x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ingen rødder

3) | x 2 - 5x | = -8, fordi -otte< 0, то уравнение не имеет корней.

3. En ligning af formen | f (x) | = g (x). Inden for modulets betydning vil en sådan ligning have løsninger, hvis dens højre side er større end eller lig med nul, dvs. g (x) ≥ 0. Så vil vi have:

f (x) = g (x) eller f (x) = -g (x).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. Denne ligning vil have rødder, hvis 5x - 10 ≥ 0. Det er med denne, at løsningen af ​​sådanne ligninger begynder.

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Løsning:

2x - 1 = 5x - 10 eller 2x - 1 = - (5x - 10)

3. Vi forener ODZ. og løsningen får vi:

Roden x = 11/7 passer ikke i henhold til O.D.Z., den er mindre end 2, og x = 3 opfylder denne betingelse.

Svar: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - x 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Vi løser denne ulighed ved hjælp af intervaller:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Løsning:

x - 1 = 1 - x 2 eller x - 1 = - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 eller x = 1 x = 0 eller x = 1

3. Vi kombinerer løsningen og ODZ:

Kun rødderne x = 1 og x = 0 er egnede.

Svar: x = 0, x = 1.

4. En ligning af formen |f (x) | = | g (x) |. En sådan ligning svarer til de følgende to ligninger f (x) = g (x) eller f (x) = -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Denne ligning svarer til følgende to:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 eller x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 eller x = 4 x = 2 eller x = 1

Svar: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ligninger løst ved substitutionsmetoden (variabel ændring). Denne løsningsmetode er nemmest at forklare med et specifikt eksempel. Så lad en andengradsligning med et modul være givet:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. Ved modulets egenskab x 2 = | x | 2, så ligningen kan omskrives som følger:

| x | 2 - 6 | x | + 5 = 0. Lad os erstatte | x | = t ≥ 0, så vil vi have:

t 2 - 6t + 5 = 0. Ved at løse denne ligning får vi, at t = 1 eller t = 5. Lad os vende tilbage til erstatningen:

| x | = 1 eller | x | = 5

x = ± 1 x = ± 5

Svar: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Lad os tage et andet eksempel:

x 2 + | x | - 2 = 0. Ved modulets egenskab x 2 = | x | 2, derfor

| x | 2 + | x | - 2 = 0. Lad os erstatte | x | = t ≥ 0, så:

t 2 + t - 2 = 0. Ved at løse denne ligning får vi t = -2 eller t = 1. Lad os vende tilbage til erstatningen:

| x | = -2 eller | x | = 1

Ingen rødder x = ± 1

Svar: x = -1, x = 1.

6. En anden type ligninger er ligninger med et "komplekst" modul. Disse ligninger inkluderer ligninger, der har "moduler i et modul". Ligninger af denne art kan løses ved hjælp af modulets egenskaber.

1) | 3 - | x || = 4. Vi vil gå frem på samme måde som i ligninger af den anden type. Fordi 4> 0, så får vi to ligninger:

3 - | x | = 4 eller 3 - | x | = -4.

Nu udtrykker vi modulet x i hver ligning, derefter | x | = -1 eller | x | = 7.

Vi løser hver af de opnåede ligninger. Der er ingen rødder i den første ligning, fordi -1< 0, а во втором x = ±7.

Svaret er x = -7, x = 7.

2) | 3 + | x + 1 || = 5. Vi løser denne ligning på samme måde:

3 + | x + 1 | = 5 eller 3 + | x + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 eller x + 1 = -2. Ingen rødder.

Svar: x = -3, x = 1.

Der er også en universel metode til løsning af ligninger med et modul. Dette er metoden til afstand. Men vi vil overveje det senere.

blog.side, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

Denne online matematikberegner vil hjælpe dig løse ligning eller ulighed med moduli... Program til løsninger af ligninger og uligheder med moduler giver ikke bare et svar på problemet, det giver detaljeret løsning med forklaringer, dvs. viser processen med at opnå resultatet.

Dette program kan være nyttigt for seniorstuderende på gymnasier som forberedelse til test og eksamen, når de kontrollerer viden før eksamen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have lavet dine matematik- eller algebralektier så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med en detaljeret løsning.

På den måde kan du gennemføre din egen undervisning og/eller undervise dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for de problemstillinger, der løses, stiger.

Indtast ligning eller ulighed med moduler

Det viste sig, at nogle scripts, der var nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Måske har du AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

Fordi Der er mange mennesker, der ønsker at løse problemet, din anmodning er i kø.
Efter et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer og hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Ligninger og uligheder med moduler

I grundskolens algebraforløb kan du støde på de simpleste ligninger og uligheder med moduler. For at løse dem kan du anvende en geometrisk metode baseret på det faktum, at \ (| xa | \) er afstanden på tallinjen mellem punkterne x og a: \ (| xa | = \ rho (x; \; a) ) \). For at løse f.eks. ligningen \ (| x-3 | = 2 \), skal du finde punkter på tallinjen i en afstand af 2 fra punkt 3. Der er to sådanne punkter: \ (x_1 = 1 \) og \ (x_2 = 5 \) ...

Løsning af uligheden \ (| 2x + 7 |

Men den vigtigste måde at løse ligninger og uligheder med moduler på er forbundet med den såkaldte "udvidelse af modulet per definition":
hvis \ (a \ geq 0 \), så \ (| a | = a \);
if \ (a Som regel reduceres en ligning (ulighed) med moduli til et sæt ligninger (uligheder), der ikke indeholder modultegnet.

Ud over den specificerede definition anvendes følgende udsagn:
1) Hvis \ (c> 0 \), så svarer ligningen \ (| f (x) | = c \) til et sæt ligninger: \ (\ venstre [\ begynder (array) (l) f (x ) = c \\ f (x) = - c \ ende (array) \ højre. \)
2) Hvis \ (c> 0 \), så er uligheden \ (| f (x) | 3) Hvis \ (c \ geq 0 \), så er uligheden \ (| f (x) |> c \) svarende til mængden af ​​uligheder: \ (\ venstre [\ begyndelse (array) (l) f (x) c \ end (array) \ højre. \)
4) Hvis begge sider af uligheden \ (f (x) EKSEMPEL 1. Løs ligningen \ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 = 0 \).

Hvis \ (x-1 \ geq 0 \), så har \ (| x-1 | = x-1 \) og den givne ligning formen
\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 = 0 \ Højrepil x ^ 2 + 2x -8 = 0 \).
Hvis \ (x-1 \ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 = 0 \ Højrepil x ^ 2 -2x -4 = 0 \).
Den givne ligning bør således betragtes separat i hvert af de to angivne tilfælde.
1) Lad \ (x-1 \ geq 0 \), dvs. \ (x \ geq 1 \). Fra ligningen \ (x ^ 2 + 2x -8 = 0 \) finder vi \ (x_1 = 2, \; x_2 = -4 \). Betingelsen \ (x \ geq 1 \) er kun opfyldt af værdien \ (x_1 = 2 \).
2) Lad \ (x-1 Svar: \ (2; \; \; 1- \ sqrt (5) \)

EKSEMPEL 2. Løs ligningen \ (| x ^ 2-6x + 7 | = \ frac (5x-9) (3) \).

Den første måde(moduludvidelse pr. definition).
Ved at argumentere som i eksempel 1 kommer vi til den konklusion, at den givne ligning skal betragtes separat, hvis to betingelser er opfyldt: \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) eller \ (x ^ 2-6x + 7

1) Hvis \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \), så har \ (| x ^ 2-6x + 7 | = x ^ 2-6x + 7 \) og den givne ligning formen \ (x ^ 2 -6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \ Højrepil 3x ^ 2-23x + 30 = 0 \). Ved at løse denne andengradsligning får vi: \ (x_1 = 6, \; x_2 = \ frac (5) (3) \).
Lad os finde ud af, om værdien \ (x_1 = 6 \) opfylder betingelsen \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \). For at gøre dette erstatter vi den angivne værdi i kvadratuligheden. Vi får: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), dvs. \ (7 \ geq 0 \) er en sand ulighed. Derfor er \ (x_1 = 6 \) roden af ​​den givne ligning.
Lad os finde ud af, om værdien \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) opfylder betingelsen \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \). For at gøre dette erstatter vi den angivne værdi i kvadratuligheden. Vi får: \ (\ venstre (\ frac (5) (3) \ højre) ^ 2 - \ frac (5) (3) \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), dvs. \ (\ frac (25) (9) -3 \ geq 0 \) - forkert ulighed. Derfor er \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) ikke en rod af den givne ligning.

2) Hvis \ (x ^ 2-6x + 7 Værdi \ (x_3 = 3 \) opfylder betingelsen \ (x ^ 2-6x + 7 Værdi \ (x_4 = \ frac (4) (3) \) ikke opfylder betingelsen \ (x ^ 2-6x + 7 Så den givne ligning har to rødder: \ (x = 6, \; x = 3 \).

Anden vej. Hvis ligningen \ (| f (x) | = h (x) \) er givet, så for \ (h (x) \ (\ venstre [\ begynder (array) (l) x ^ 2-6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \\ x ^ 2-6x + 7 = - \ frac (5x-9) (3) \ end (array) \ højre. \)
Begge disse ligninger blev løst ovenfor (på den første måde at løse den givne ligning), deres rødder er som følger: \ (6, \; \ frac (5) (3), \; 3, \; \ frac (4) ) (3) \). Betingelsen \ (\ frac (5x-9) (3) \ geq 0 \) af disse fire værdier er kun opfyldt af to: 6 og 3. Derfor har den givne ligning to rødder: \ (x = 6, \; x = 3 \ ).

Tredje vej(grafisk).
1) Lad os plotte funktionen \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \). Konstruer først en parabel \ (y = x ^ 2-6x + 7 \). Vi har \ (x ^ 2-6x + 7 = (x-3) ^ 2-2 \). Grafen for funktionen \ (y = (x-3) ^ 2-2 \) kan fås fra grafen for funktionen \ (y = x ^ 2 \) ved at flytte den med 3 skalaenheder til højre (langs x-aksen) og med 2 skaleringsenheder ned (på y-aksen). Den rette linje x = 3 er aksen for den parable, vi er interesseret i. Det er praktisk at tage punktet (3; -2) - toppunktet af parablen, punkt (0; 7) og punktet (6; 7) symmetrisk i forhold til parablens akse som kontrolpunkter for mere nøjagtig afbildning af grafen.
For nu at plotte grafen for funktionen \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \), skal du lade de dele af den konstruerede parabel, der ikke ligger under x-aksen, være uændrede, og spejle delen af parablen, der ligger under x-aksen om x-aksen.
2) Konstruer en graf af den lineære funktion \ (y = \ frac (5x-9) (3) \). Det er praktisk at tage punkterne (0; –3) og (3; 2) som kontrolpunkter.

Det er vigtigt, at punktet x = 1,8 skæringspunktet mellem den rette linje og abscisseaksen er placeret til højre for parablens venstre skæringspunkt med abscisseaksen - dette er punktet \ (x = 3- \ sqrt ( 2) \) (da \ (3- \ sqrt (2 ) 3) At dømme efter tegningen skærer graferne hinanden i to punkter - A (3; 2) og B (6; 7) Erstatning af abscissen af ​​disse punkter x = 3 og x = 6 i den givne ligning, sørger vi for, at for begge giver en anden værdi den korrekte numeriske lighed, hvilket betyder, at vores hypotese blev bekræftet - ligningen har to rødder: x = 3 og x = 6. Svar: 3; 6.

Kommentar... Den grafiske metode er trods al sin ynde ikke særlig pålidelig. I det betragtede eksempel virkede det kun, fordi ligningens rødder er heltal.

EKSEMPEL 3. Løs ligningen \ (| 2x-4 | + | x + 3 | = 8 \)

Den første måde
Udtrykket 2x – 4 bliver 0 i punktet x = 2, og udtrykket x + 3 i punktet x = –3. Disse to punkter deler tallinjen i tre intervaller: \ (x

Overvej det første spænd: \ ((- \ infty; \; -3) \).
Hvis x Overvej det andet interval: \ ([- 3; \; 2) \).
Hvis \ (- 3 \ leq x Overvej det tredje interval: \ ()