Vinklen mellem to lige linjer. Vinklen mellem krydsende lige linjer: definition, eksempler på at finde

og. Lad der gives to lige linjer.Disse lige linjer, som angivet i kapitel 1, danner forskellige positive og negative vinkler, som kan være både akutte og stumpe. At kende en af \u200b\u200bdisse vinkler, kan vi let finde andre.

Forresten, for alle disse vinkler er den numeriske værdi af tangenten den samme, forskellen kan kun være i tegnet

Ligninger af linjer. Tallene er fremspringene for retningsvektorerne for den første og anden lige linie Vinklen mellem disse vektorer er lig med en af \u200b\u200bvinklerne dannet af lige linjer. Derfor er opgaven reduceret til at bestemme vinklen mellem vektorerne, Vi får

For enkelheds skyld kan vi blive enige om, at vinklen mellem to lige linjer betyder en spids positiv vinkel (som for eksempel i fig. 53).

Så vil tangenten til denne vinkel altid være positiv. Således, hvis der vises et minustegn på højre side af formlen (1), skal vi kassere det, dvs. kun beholde den absolutte værdi.

Eksempel. Bestem vinklen mellem lige linjer

Ved formel (1) har vi

fra. Hvis det er angivet, hvilken af \u200b\u200bsiderne af vinklen der er dens begyndelse, og hvilken der er slutningen, så kan vi altid tælle vinkelens retning mod uret, og vi kan udtrække noget mere fra formlen (1). Som det er let at se fra fig. Det 53. tegn, der er opnået på højre side af formlen (1), vil angive, hvilken - akut eller stump - vinkel, der danner den anden linje med den første.

(Faktisk ser vi fra fig. 53, at vinklen mellem den første og anden retningsvektor enten er lig med den ønskede vinkel mellem lige linjer eller adskiller sig fra den med ± 180 °.)

d. Hvis de lige linjer er parallelle, så er deres retningsvektorer også parallelle. Anvendelse af betingelsen for parallelitet af to vektorer får vi!

Dette er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for paralleliteten af \u200b\u200bto lige linjer.

Eksempel. Direkte

er parallelle fordi

e. Hvis de lige linjer er vinkelrette, er deres retningsvektorer også vinkelrette. Anvendelse af tilstanden for vinkelrethed på to vektorer, opnår vi tilstanden for vinkelret på to linjer, nemlig

Eksempel. Direkte

er vinkelrette på grund af det faktum, at

I forbindelse med betingelserne for parallelisme og vinkelrethed løser vi følgende to problemer.

f. Træk en lige linje gennem et punkt parallelt med denne lige linje

Opløsningen udføres som følger. Da den søgte linje er parallel med den givne, så kan dens retningsvektor tages den samme som den for den givne lige linje, det vil sige en vektor med projektioner A og B. Og så vil ligningen af \u200b\u200bden søgte linje blive skrevet i form (§ 1)

Eksempel. Ligning af en lige linje, der passerer gennem et punkt (1; 3) parallelt med en lige linje

bliver næste!

g. Træk en lige linje gennem et punkt vinkelret på denne lige linje

Her er det ikke længere egnet til at tage en vektor med fremspring A og som en retningsvektor, men en vektor, der er vinkelret på den, skal blæses. Projektionerne af denne vektor skal vælges derfor i henhold til tilstanden for vinkelretningen på begge vektorer, dvs. i henhold til tilstanden

Denne betingelse kan opfyldes på utallige måder, da der er en ligning med to ukendte. Men den nemmeste måde er at tage gå Så ligningen af \u200b\u200bden ønskede lige linje vil blive skrevet i form

Eksempel. Ligning af en lige linje, der passerer gennem punktet (-7; 2) i en vinkelret linje

vil være følgende (ifølge den anden formel)!

h. I tilfælde, hvor de lige linjer er givet ved ligninger af formularen

Instruktioner

Bemærk

Perioden for tangentens trigonometriske funktion er 180 grader, hvilket betyder, at skråningerne på de lige linjer ikke i absolut værdi kan overstige denne værdi.

Nyttige råd

Hvis skråningerne er lig med hinanden, er vinklen mellem sådanne linjer 0, da sådanne linjer enten falder sammen eller er parallelle.

For at bestemme værdien af \u200b\u200bvinklen mellem krydsning af lige linjer er det nødvendigt at flytte begge lige linjer (eller en af \u200b\u200bdem) til en ny position ved hjælp af den parallelle overførselsmetode inden krydsning. Derefter skal du finde værdien af \u200b\u200bvinklen mellem de resulterende krydsende lige linjer.

Du får brug for

• Lineal, højre trekant, blyant, gradskive.

Instruktioner

Så lad vektoren V \u003d (a, b, c) og planet A x + B y + C z \u003d 0 blive givet, hvor A, B og C er koordinaterne for det normale N. Derefter vinkelens cosinus α mellem vektorerne V og N er lig med: сos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

For at beregne værdien af \u200b\u200bvinklen i grader eller radianer skal du beregne funktionen invers til cosinus ud fra det resulterende udtryk, dvs. arccosin: α \u003d arccos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Eksempel: find vinkel mellem vektor (5, -3, 8) og flygivet ved den generelle ligning 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 Løsning: skriv koordinaterne for den normale vektor af planet N \u003d (2, -5, 3). Udskift alle kendte værdier i ovenstående formel: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α \u003d 36,87 °.

Lignende videoer

En lige linje, der har et fælles punkt med en cirkel, er tangent til cirklen. Et andet træk ved tangenten er, at den altid er vinkelret på radius trukket til tangentpunktet, dvs. tangenten og radius danner en lige linje vinkel... Hvis der fra et punkt A to tangenter trækkes til cirklen AB og AC, så er de altid lig med hinanden. Bestemmelse af vinklen mellem tangenter ( vinkel ABC) er produceret ved hjælp af Pythagoras sætning.

Instruktioner

For at bestemme vinklen skal du kende radius af cirklen OB og OS og afstanden fra tangentens oprindelsespunkt fra centrum af cirklen - O. Så vinklerne ABO og ASO er ens, radius af OB, for eksempel 10 cm, og afstanden til centrum af cirklen AO er 15 cm. Bestem længden af \u200b\u200btangenten langs formlen i overensstemmelse med den Pythagoras sætning: AB \u003d kvadratroden af \u200b\u200bAO2 - OB2 eller 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

Lad to lige linier l og m på planet i det kartesiske koordinatsystem gives ved de generelle ligninger: l: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0

Vektorerne af de normale til de givne linjer: \u003d (A 1, B 1) - til linjen l,

\u003d (A2, B2) - til linjen m.

Lad j være vinklen mellem linjerne l og m.

Da vinklerne med hinanden vinkelrette sider enten er ens eller tilføjer op til p, så , det vil sige cos j \u003d.

Så vi har bevist følgende sætning.

Sætning. Lad j være vinklen mellem to lige linier på planet, og lad disse lige linjer angives i det kartesiske koordinatsystem ved de generelle ligninger A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0. Så cos j \u003d .

Øvelser.

1) Output formlen til beregning af vinklen mellem lige linjer, hvis:

(1) begge linjer er defineret parametrisk; (2) begge linjer er angivet ved kanoniske ligninger; (3) den ene lige linje er givet parametrisk, den anden lige linje - af den generelle ligning; (4) begge lige linjer er givet ved en ligning med en hældning.

2) Lad j være vinklen mellem to lige linier på planet, og lad disse lige linjer gives af det kartesiske koordinatsystem ved ligningerne y \u003d k 1 x + b 1 og y \u003d k 2 x + b 2.

Derefter tg j \u003d.

3) Undersøg den relative position af to lige linjer givet ved de generelle ligninger i det kartesiske koordinatsystem, og udfyld tabellen:

Afstand fra et punkt til en lige linje på et plan.

Lad linjen l på planet i det kartesiske koordinatsystem gives ved den generelle ligning Ax + By + C \u003d 0. Lad os finde afstanden fra punktet M (x 0, y 0) til linjen l.

Afstanden fra punkt M til linje l er længden af \u200b\u200bden lodrette HM (H Î l, HM ^ l).

Vektoren og den normale vektor til linjen l er kollinære, så | | \u003d | | | | og | | \u003d.

Lad koordinaterne for punktet H (x, y).

Da punktet H hører til linjen l, er Ax + By + C \u003d 0 (*).

Koordinater for vektorer og: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B).

| | = = =

(C \u003d -Ax - Af, se (*))

Sætning. Lad linjen l være angivet i det kartesiske koordinatsystem ved den generelle ligning Ax + By + C \u003d 0. Derefter beregnes afstanden fra punktet M (x 0, y 0) til denne linie med formlen: r (M; l) \u003d .

Øvelser.

1) Output en formel til beregning af afstanden fra et punkt til en lige linje, hvis: (1) den lige linje er givet parametrisk; (2) den lige linje er givet ved kanoniske ligninger; (3) en lige linje er givet ved en ligning med en hældning.

2) Skriv ligningen af \u200b\u200bcirkelens tangens til den lige linje 3x - y \u003d 0 centreret ved Q (-2,4).

3) Skriv ligningerne af de lige linjer, der deler vinklerne dannet af skæringen mellem de lige linjer 2x + y - 1 \u003d 0 og x + y + 1 \u003d 0, i halvdelen.

§ 27. Analytisk definition af et plan i rummet

Definition. Den normale vektor til planet vi kalder en ikke-nul-vektor, hvis repræsentant er vinkelret på det givne plan.

Kommentar. Det er klart, at hvis mindst en repræsentant for vektoren er vinkelret på planet, så er alle andre repræsentanter for vektoren vinkelret på dette plan.

Lad et kartesisk koordinatsystem gives i rummet.

Lad planet a gives, \u003d (A, B, C) er den normale vektor til dette plan, punktet M (x 0, y 0, z 0) hører til planet a.

For ethvert punkt N (x, y, z) i planet a, vektorer og er ortogonale, det vil sige, deres skalære produkt er lig med nul: \u003d 0. Vi skriver den sidste ligestilling i koordinater: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0.

Lad -Ax 0 - Ved 0 - Cz 0 \u003d D, derefter Ax + By + Cz + D \u003d 0.

Tag et punkt K (x, y) således, at Ax + By + Cz + D \u003d 0. Da D \u003d -Ax 0 - Ved 0 - Cz 0, så A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0. Da koordinaterne for det rettede segment \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0) betyder den sidste ligestilling, at ^, og derfor K Î a.

Så vi har bevist følgende sætning:

Sætning. Ethvert plan i rummet i et kartesisk koordinatsystem kan specificeres ved hjælp af en ligning med formen Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), hvor (A, B, C) er koordinater for den normale vektor til dette plan.

Det omvendte er også sandt.

Sætning. Enhver ligning af formen Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) i det kartesiske koordinatsystem definerer et bestemt plan, mens (A, B, C) er koordinaterne for det normale vektor til dette plan.

Beviser.

Tag et punkt M (x 0, y 0, z 0) således at Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D \u003d 0 og en vektor \u003d (A, B, C) (≠ q).

Et plan passerer gennem punktet M vinkelret på vektoren (og desuden kun et). Ved det forrige sætning er dette plan givet ved ligningen Ax + By + Cz + D \u003d 0.

Definition. En ligning af formen Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) kaldes generel ligning af planet.

Eksempel.

Lad os skrive ligningen for planet, der passerer gennem punkterne M (0,2,4), N (1, -1,0) og K (-1,0,5).

1. Find koordinaterne for den normale vektor til planet (MNK). Da vektorproduktet ´ er vinkelret på ikke-kollinære vektorer, og, er vektoren kollinært ´.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ \u003d (-11, 3, -5).

Så som den normale vektor tager vi vektoren \u003d (-11, 3, -5).

2. Vi bruger nu resultaterne af den første sætning:

ligning af det givne plan A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0, hvor (A, B, C) er koordinaterne for den normale vektor, (x 0 , y 0, z 0) - koordinater for et punkt, der ligger i et plan (for eksempel punkt M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

Svar: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0.

Øvelser.

1) Skriv ligningen af \u200b\u200bplanet, hvis

(1) planet passerer gennem punktet M (-2,3,0) parallelt med planet 3x + y + z \u003d 0;

(2) planet indeholder (Ox) akse og er vinkelret på x + 2y - 5z + 7 \u003d 0 plan.

2) Skriv ligningen for det plan, der passerer gennem disse tre punkter.

§ 28. Analytisk definition af et mellemrum *

Kommentar*... Lad et plan blive rettet. Under halv pladsvi vil forstå det sæt punkter, der ligger på den ene side af et givet plan, det vil sige, at to punkter ligger i et halvt rum, hvis det segment, der forbinder dem, ikke skærer dette plan. Dette plan kaldes grænsen for dette halvrum... Forening af dette fly og halvplads vil blive kaldt lukket halvplads.

Lad det kartesianske koordinatsystem være fast i rummet.

Sætning. Lad planet a gives ved den generelle ligning Ax + By + Cz + D \u003d 0. Derefter gives et af de to halvrum, hvor planet a opdeler rummet, ved uligheden Ax + By + Cz + D\u003e 0 , og det andet halvrum er givet af uligheden Ax + By + Cz + D.< 0.

Beviser.

Lad os afsætte den normale vektor \u003d (A, B, C) til planet a fra det punkt M (x 0, y 0, z 0), der ligger på dette plan: \u003d, M Î a, MN ^ a. Del flyet i to halvrum: b 1 og b 2. Det er klart, at punktet N hører til et af disse halvrum. Uden tab af generalitet antager vi, at N Î b 1.

Lad os bevise, at halvrummet b 1 er givet af uligheden Ax + By + Cz + D\u003e 0.

1) Tag et punkt K (x, y, z) i halvrummet b 1. Vinklen л NMK er vinklen mellem vektorerne og er spids, derfor er det skalære produkt af disse vektorer positivt:\u003e 0. Vi skriver denne ulighed i koordinater: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0, det vil sige Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0\u003e 0.

Da M Î b 1, så Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0, derfor -Ax 0 - By 0 - C z 0 \u003d D. Derfor kan den sidste ulighed skrives som: Ax + By + Cz + D\u003e 0.

2) Tag et punkt L (x, y) således at Ax + By + Cz + D\u003e 0.

Omskriv uligheden ved at erstatte D med (-Ax 0 - Ved 0 - C z 0) (siden M Î b 1, derefter Ax 0 + Ved 0 + C z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

En vektor med koordinater (x - x 0, y - y 0, z - z 0) er en vektor, derfor er udtrykket A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) kan forstås som punktproduktet af vektorer og. Da det skalære produkt af vektorer er positivt, er vinklen mellem dem akut og punktet L Î b 1.

På samme måde kan man bevise, at halvrummet b2 er givet af uligheden Ax + By + Cz + D.< 0.

Bemærkninger.

1) Det er klart, at ovenstående bevis ikke afhænger af valget af punkt M i planet a.

2) Det er klart, at det samme halvrum kan specificeres ved forskellige uligheder.

Det omvendte er også sandt.

Sætning. Enhver lineær ulighed i formen Ax + By + Cz + D\u003e 0 (eller Ax + By + Cz + D.< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Beviser.

Ligningen Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) i rummet definerer et bestemt plan a (se §…). Som bevist i den foregående sætning er et af de to halvrum, hvor planet deler rummet, givet af uligheden Ax Ax + By + Cz + D\u003e 0.

Bemærkninger.

1) Det er klart, at et lukket halvrum kan specificeres ved en ikke-streng lineær ulighed, og enhver ikke-streng lineær ulighed i et kartesisk koordinatsystem definerer et lukket halvrum.

2) Enhver konveks polyhedron kan defineres som skæringspunktet mellem lukkede halvrum (hvis grænser er planer, der indeholder polyhedronens overflader), dvs. analytisk - ved et system med ikke-strenge lineære uligheder.

Øvelser.

1) Bevis de to præsenterede sætninger for et vilkårligt affin koordinatsystem.

2) Er det sandt, at ethvert system med ikke-strenge lineære uligheder definerer en konveks polygon?

1) Undersøg den relative position af de to planer givet af de generelle ligninger i det kartesiske koordinatsystem, og udfyld tabellen.

Jeg vil være kortfattet. Vinklen mellem to linjer er lig med vinklen mellem deres retningsvektorer. Således, hvis du kan finde koordinaterne for retningsvektorerne a \u003d (x 1; y 1; z 1) og b \u003d (x 2; y 2; z 2), kan du finde vinklen. Mere præcist, vinkelens cosinus ved formlen:

Lad os se, hvordan denne formel fungerer med specifikke eksempler:

En opgave. Punkt E og F er markeret i terningen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - henholdsvis midtpunkterne på kanterne A 1 B 1 og B 1 C 1. Find vinklen mellem linjerne AE og BF.

Da kanten af \u200b\u200bterningen ikke er angivet, indstiller vi AB \u003d 1. Indfør standardkoordinatsystemet: oprindelsen er ved punkt A, akserne x, y, z er rettet langs henholdsvis AB, AD og AA 1. Enhedssegmentet er lig med AB \u003d 1. Nu finder vi koordinaterne for retningsvektorerne for vores linjer.

Find koordinaterne for vektoren AE. For at gøre dette har vi brug for punkterne A \u003d (0; 0; 0) og E \u003d (0,5; 0; 1). Da punkt E er midtpunktet for segmentet A1B1, er dets koordinater lig med det aritmetiske gennemsnit af endernes koordinater. Bemærk, at oprindelsen af \u200b\u200bvektoren AE falder sammen med oprindelsen, så AE \u003d (0,5; 0; 1).

Lad os nu beskæftige os med vektoren BF. På samme måde analyserer vi punkterne B \u003d (1; 0; 0) og F \u003d (1; 0,5; 1), fordi F - midtpunkt for segment B 1 C 1. Vi har:
BF \u003d (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0,5; 1).

Så retningsvektorerne er klar. Cosinus af vinklen mellem lige linjer er cosinus for vinklen mellem retningsvektorerne, så vi har:

En opgave. I et almindeligt trihedral prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lig med 1, er punkterne D og E markeret - henholdsvis midtpunkterne på kanter A 1 B 1 og B 1 C 1. Find vinklen mellem linjerne AD og BE.

Lad os introducere et standardkoordinatsystem: oprindelsen er ved punkt A, x-aksen er rettet langs AB, z - langs AA 1. Vi dirigerer y-aksen, så OXY-planen falder sammen med ABC-planet. Enhedssegmentet er lig med AB \u003d 1. Find koordinaterne for retningsvektorerne for de søgte linjer.

Lad os først finde koordinaterne til AD-vektoren. Overvej punkterne: A \u003d (0; 0; 0) og D \u003d (0,5; 0; 1), fordi D - midtpunkt for segment A 1 B 1. Da oprindelsen af \u200b\u200bvektoren AD falder sammen med oprindelsen, opnår vi AD \u003d (0,5; 0; 1).

Lad os nu finde koordinaterne for vektoren BE. Punkt B \u003d (1; 0; 0) er let. Med punkt E - midten af \u200b\u200bsegmentet C 1 B 1 - er det lidt sværere. Vi har:

Det er stadig at finde vinkelens cosinus:

En opgave. I et regelmæssigt sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, hvor alle kanter er lig med 1, er punkterne K og L markeret - henholdsvis midtpunkterne på kanter A 1 B 1 og B 1 C 1. Find vinklen mellem linierne AK og BL.

Lad os introducere et standardkoordinatsystem til et prisme: placer koordinaternes oprindelse i midten af \u200b\u200bden nederste base, ret x-aksen langs FC, y-aksen gennem midtpunkterne i AB- og DE-segmenterne og z- aksen lodret opad. Enhedssegmentet er igen lig med AB \u003d 1. Lad os skrive koordinaterne for de interessepunkter for os ud:

Punkt K og L er henholdsvis midtpunkterne for segmenterne A 1 B 1 og B 1 C 1, så deres koordinater findes gennem det aritmetiske gennemsnit. Når vi kender punkterne, finder vi koordinaterne for retningsvektorerne AK og BL:

Lad os nu finde vinkelens cosinus:

En opgave. I den almindelige firkantede pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, er punkterne E og F markeret - midtpunkterne på henholdsvis siderne SB og SC. Find vinklen mellem linjerne AE og BF.

Lad os introducere et standardkoordinatsystem: oprindelsen er ved punkt A, x- og y-akserne er rettet mod henholdsvis AB og AD, og \u200b\u200bz-aksen er rettet lodret opad. Enhedssegmentet er lig med AB \u003d 1.

Punkt E og F er henholdsvis midtpunkterne i segmenterne SB og SC, så deres koordinater findes som det aritmetiske gennemsnit af enderne. Lad os skrive koordinaterne for de interessante steder for os:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

Når vi kender punkterne, finder vi koordinaterne for retningsvektorerne AE og BF:

Koordinaterne for vektoren AE er de samme som koordinaterne for punkt E, da punkt A er oprindelsen. Det er stadig at finde vinkelens cosinus:

VINKEL MELLEM PLANERNE

Overvej to plan α 1 og α 2, givet af ligningerne, henholdsvis:

Under vinkel mellem to planer mener vi en af \u200b\u200bde tovinklede vinkler dannet af disse planer. Det er klart, at vinklen mellem de normale vektorer og planetene a1 og a2 er lig med en af \u200b\u200bde angivne tilstødende dyedevinkler eller ... derfor ... Fordi og derefter

.

Eksempel. Bestem vinklen mellem flyene x+2y-3z+ 4 \u003d 0 og 2 x+3y+z+8=0.

Betingelse for parallelitet mellem to planer.

To planer α 1 og α 2 er parallelle, hvis og kun hvis deres normale vektorer er parallelle, hvilket betyder .

Så to planer er parallelle med hinanden, hvis og kun hvis koefficienterne ved de tilsvarende koordinater er proportionale:

eller

Tilstand for vinkelret på fly.

Det er klart, at to plan er vinkelrette, hvis og kun hvis deres normale vektorer er vinkelrette, og derfor, eller.

Dermed, .

Eksempler.

LIGE I RUM.

VECTOR LINE LIGNING.

PARAMETRISKE LIGNINGER AF LINE

Placeringen af \u200b\u200ben lige linje i rummet bestemmes fuldstændigt ved at angive et hvilket som helst af dets faste punkter M 1 og en vektor parallel med denne linje.

En vektor parallelt med en lige linje kaldes vejledning vektor af denne linje.

Så lad det være lige l går gennem pointen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) liggende på en lige linje parallelt med vektoren.

Overvej et vilkårligt punkt M (x, y, z) på en lige linje. Figuren viser det .

Vektorer og er kollinære, så der er et sådant tal t, hvad, hvor er faktoren t kan have en hvilken som helst numerisk værdi afhængigt af punktets position M på en lige linje. Faktor t kaldes en parameter. Angiver radiusvektorerne for punkterne M 1 og M henholdsvis gennem og får vi. Denne ligning kaldes vektor ligning af en lige linje. Det viser, at for hver værdi af parameteren t svarer til et punktes radiusvektor Mliggende på en lige linje.

Lad os skrive denne ligning i koordinatform. Læg mærke til det , og herfra

De resulterende ligninger kaldes parametrisk ligninger af en lige linje.

Når du ændrer en parameter t koordinater ændres x, y og z og peg M bevæger sig i en lige linje.

KANONISKE LIGNINGER I DIREKTE

Lad ske M 1 (x 1 , y 1 , z 1) er et punkt, der ligger på en lige linje log Er dets retningsvektor. Tag igen et vilkårligt punkt på den lige linje M (x, y, z) og overvej en vektor.

Det er klart, at vektorer og er kollinære, så deres tilsvarende koordinater skal derfor være proportionale

– kanonisk lige ligninger.

Bemærkning 1. Bemærk, at de kanoniske ligninger af den lige linje kunne opnås fra de parametriske ved at ekskludere parameteren t... Faktisk fra de parametriske ligninger, vi opnår eller .

Eksempel. Skriv ligningen af \u200b\u200ben lige linje i parametrisk form.

Vi betegner , herfra x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Bemærkning 2. Lad den lige linje være vinkelret på en af \u200b\u200bkoordinatakserne, f.eks. Aksen Okse... Derefter er retningsvektoren vinkelret Okse, Følgelig, m\u003d 0. Derfor har de parametriske ligninger af den lige linje form

Fjernelse af parameteren fra ligningerne t, får vi ligningerne af den lige linje i formen

Men også i dette tilfælde er vi enige om at formelt skrive de kanoniske ligninger af den lige linje i formen ... Således, hvis nævneren af \u200b\u200ben af \u200b\u200bfraktionerne er nul, betyder det, at linjen er vinkelret på den tilsvarende koordinatakse.

Tilsvarende kanoniske ligninger svarer til en lige linje vinkelret på akserne Okse og Oy eller parallel akse Oz.

Eksempler.

ALMINDELIGE LIGNINGER AF EN LINJE SOM EN LINIE I SKÆRING AF TO PLANER

Et uendeligt antal fly passerer gennem hver lige linje i rummet. To af dem, der krydser hinanden, definerer det i rummet. Derfor repræsenterer ligningerne af et hvilket som helst to sådanne plan samlet set ligningerne for denne lige linje.

Generelt to ikke-parallelle plan givet af de generelle ligninger

definere linjen for deres skæringspunkt. Disse ligninger kaldes generelle ligninger lige.

Eksempler.

Konstruer en lige linje givet ved ligninger

For at opbygge en lige linje er det nok at finde to af dens punkter. Den nemmeste måde er at vælge linjens skæringspunkter med koordinatplanene. For eksempel skæringspunktet med flyet xOy vi får fra ligningerne af den lige linje, indstilling z= 0:

Efter at have løst dette system finder vi pointen M 1 (1;2;0).

Tilsvarende indstilling y\u003d 0, vi får skæringspunktet for den lige linje med planet xOz:

Fra de generelle ligninger af en lige linje kan du gå til dens kanoniske eller parametriske ligninger. For at gøre dette skal du finde et punkt M 1 på linjen og retningsvektoren for linjen.

Punktkoordinater M 1 opnås fra dette ligningssystem ved at tildele en vilkårlig værdi til et af koordinaterne. For at finde retningsvektoren skal du bemærke, at denne vektor skal være vinkelret på begge normale vektorer og ... Derfor bag retningsvektoren for den lige linje l vi kan tage krydsproduktet af normale vektorer:

.

Eksempel. Giv de generelle ligninger for den lige linje til den kanoniske form.

Find et punkt, der ligger på en lige linje. For at gøre dette vælger vi vilkårligt et af koordinaterne, for eksempel y\u003d 0 og løse ligningssystemet:

Normale vektorer af flyene, der definerer den lige linje, har koordinater Derfor vil retningsvektoren være

... Følgelig, l: .

VINKEL MELLEM RET

Hjørne mellem lige linjer i rummet kalder vi en hvilken som helst af de tilstødende vinkler dannet af to lige linjer trukket gennem et vilkårligt punkt parallelt med dataene.

Lad to lige linjer angives i rummet:

Det er klart, at vinklen mellem de lige linjer kan tages som vinklen mellem deres retningsvektorer og. Da vi ifølge formlen for cosinus for vinklen mellem vektorerne får