Teoretisk materiale. Hvad er yderpunkter for en funktion: kritiske punkter for maksimum og minimum Yderpunkter for en funktion maksimum og minimum
betyder
Størst
betyder
Mindst
Maksimal point
Minimum point
Problemer med at finde punkterne for en ekstremumfunktion løses i henhold til et standardskema i 3 trin.
Trin 1. Find den afledede af funktionen
- Husk de afledte formler for elementære funktioner og de grundlæggende regler for differentiering for at finde den afledede.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Trin 2. Find nullerne for den afledte
- Løs den resulterende ligning for at finde nulpunkterne i den afledte.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Trin 3. Find ekstreme punkter
- Brug intervalmetoden til at bestemme fortegnene for den afledte;
- Ved minimumspunktet er den afledte lig med nul og skifter fortegn fra minus til plus, og ved maksimumpunktet fra plus til minus.
Lad os bruge denne tilgang til at løse følgende problem:
Find maksimumpunktet for funktionen y=x3−243x+19.
1) Find den afledede: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Løs ligningen y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Den afledte er positiv for x>9 og x<−9 и отрицательная при −9 Sådan finder du den største og mindste værdi af en funktion At løse problemet med at finde de største og mindste værdier af en funktion nødvendig: Hjælper med mange opgaver teorem: Hvis der kun er et ekstremumpunkt på et segment, og dette er minimumspunktet, opnås den mindste værdi af funktionen ved det. Hvis dette er et maksimumpunkt, så nås den største værdi der. 14. Begreb og grundlæggende egenskaber for det ubestemte integral. Hvis funktionen f(x x, Og k– nummer altså Kort sagt: konstanten kan tages ud af integraletegnet. Hvis funktionerne f(x) Og g(x) har antiderivater på intervallet x, At Kort sagt: integralet af summen er lig med summen af integralerne. Hvis funktionen f(x) har et antiderivat på intervallet x, så for de indre punkter i dette interval: Kort sagt: den afledede af integralet er lig med integranden. Hvis funktionen f(x) er kontinuerlig i intervallet x og er differentierbar ved indvendige punkter i dette interval, så: Kort sagt: integralet af differentialet for en funktion er lig med denne funktion plus integrationskonstanten. Lad os give en streng matematisk definition begreber om ubestemt integral. Et udtryk for formen kaldes integral af funktionen f(x)
, Hvor f(x)
- integrand funktion, der er givet (kendt), dx
- differential x
, med symbolet altid til stede dx
. Definition. Ubestemt integral kaldet funktion F(x) + C
, der indeholder en vilkårlig konstant C
, hvis differens er lig med integrand udtryk f(x)dx
, dvs. Lad os minde dig om, at - differentialfunktion og er defineret som følger: Finder problem ubestemt integral er at finde en sådan funktion afledte som er lig med integranden. Denne funktion bestemmes nøjagtig til en konstant, fordi den afledede af konstanten er nul. For eksempel er det kendt, at , så viser det sig, at Problem at finde ubestemt integral funktioner er ikke så enkelt og nemt, som det ser ud ved første øjekast. I mange tilfælde skal der være dygtighed i at arbejde med ubestemte integraler, der skal være erfaring, der følger med praksis og konstant løsning af eksempler på ubestemte integraler. Det er værd at overveje det faktum, at ubestemte integraler fra nogle funktioner (der er ret mange af dem) tages ikke i elementære funktioner. 15. Tabel over grundlæggende ubestemte integraler. Grundlæggende formler 16. Bestemt integral som grænsen for integralsummen. Geometrisk og fysisk betydning af integralet. Lad funktionen y=ƒ(x) være defineret på intervallet [a; b], a< b. Выполним следующие действия. 1. Brug af punkter x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. I hvert delsegment , i = 1,2,...,n, vælg et vilkårligt punkt med i є og beregn værdien af funktionen i det, dvs. værdien ƒ(med i). 3. Multiplicer den fundne værdi af funktionen ƒ (med i) med længden ∆x i =x i -x i-1 af det tilsvarende delsegment: ƒ (med i) ∆x i. 4. Lad os lave summen S n af alle sådanne produkter: En sum af formen (35.1) kaldes integralsummen af funktionen y = ƒ(x) på intervallet [a; b]. Lad os betegne længden af det største delsegment med λ: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Lad os finde grænsen for integralsummen (35.1) når n → ∞ så λ→0. Hvis integralsummen S n i dette tilfælde har en grænse I, som ikke afhænger af metoden til opdeling af segmentet [a; b] på delsegmenter og heller ikke på valget af punkter i dem, så kaldes tallet I et bestemt integral af funktionen y = ƒ(x) på segmentet [a; b] og betegnes således, Tallene a og b kaldes henholdsvis den nedre og øvre grænse for integration, ƒ(x) - integrandfunktionen, ƒ(x) dx - integranden, x - integrationsvariablen, segmentet [a; b] - område (segment) af integration. Funktion y=ƒ(x), for hvilken på intervallet [a; b] der er et bestemt integral kaldet integrable på dette interval. Lad os nu formulere et teorem for eksistensen af et bestemt integral. Sætning 35.1 (Cauchy). Hvis funktionen y = ƒ(x) er kontinuert i intervallet [a; b], derefter det bestemte integral Bemærk, at kontinuiteten af en funktion er en tilstrækkelig betingelse for dens integrerbarhed. Imidlertid kan et bestemt integral også eksistere for nogle diskontinuerlige funktioner, især for enhver funktion, der er afgrænset til et interval, der har et endeligt antal diskontinuitetspunkter på sig. Lad os angive nogle egenskaber ved det bestemte integral, som direkte følger af dets definition (35.2). 1. Det bestemte integral er uafhængigt af betegnelsen for integrationsvariablen: Dette følger af, at integralsummen (35.1), og derfor dens grænse (35.2), ikke afhænger af hvilket bogstav argumentet for en given funktion er angivet med. 2. Et bestemt integral med samme grænser for integration er lig med nul: 3. For ethvert reelt tal c. 17. Newton-Leibniz formel. Grundlæggende egenskaber for et bestemt integral. Lad funktionen y = f(x) kontinuerlig på segmentet
Og F(x) er altså en af antiderivaterne af funktionen på dette segment Newton-Leibniz formel: Newton-Leibniz formlen kaldes grundlæggende formel for integralregning. For at bevise Newton-Leibniz formlen har vi brug for begrebet et integral med en variabel øvre grænse. Hvis funktionen y = f(x) kontinuerlig på segmentet
, så for argumentet er integralet af formen en funktion af den øvre grænse. Lad os betegne denne funktion Faktisk, lad os nedskrive stigningen af funktionen, der svarer til stigningen af argumentet, og bruge den femte egenskab af det bestemte integral og følgen fra den tiende egenskab: Lad os omskrive denne lighed i formen Lad os beregne F(a), ved hjælp af den første egenskab af det bestemte integral: Forøgelsen af en funktion betegnes normalt som For at anvende Newton-Leibniz-formlen er det nok for os at kende et af antiderivaterne y=F(x) integrand funktion y=f(x) på segmentet
og beregn stigningen af dette antiderivat på dette segment. Artiklens metoder til integration diskuterer de vigtigste måder at finde antiderivatet på. Lad os give et par eksempler på beregning af bestemte integraler ved hjælp af Newton-Leibniz formlen til afklaring. Eksempel. Beregn værdien af det bestemte integral ved hjælp af Newton-Leibniz formlen. Løsning. Til at begynde med bemærker vi, at integranden er kontinuerlig på intervallet
er derfor integrerbar på den. (Vi talte om integrerbare funktioner i afsnittet om funktioner, for hvilke der er et bestemt integral.) Fra tabellen over ubestemte integraler er det klart, at for en funktion er sættet af antiderivater for alle reelle værdier af argumentet (og derfor for ) skrevet som Nu er det tilbage at bruge Newton-Leibniz formlen til at beregne det bestemte integral: 18. Geometriske anvendelser af det bestemte integral. GEOMETRISK ANVENDELSE AF DET BESTEMMTE INTEGRAL Beregning af kropsvolumen Beregning af volumen af et legeme fra kendte områder med parallelle sektioner: Volumen af rotationslegemet: ; . Eksempel 1. Find arealet af figuren afgrænset af kurven y=sinx af rette linjer Løsning: Find arealet af figuren: Eksempel 2. Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer Løsning: Lad os finde abscissen af skæringspunkterne for graferne for disse funktioner. For at gøre dette løser vi ligningssystemet Herfra finder vi x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. Begrebet differentiel kontrol. Første ordens differentialligninger. Differentialligning- en ligning, der forbinder værdien af den afledede af en funktion med selve funktionen, værdierne af den uafhængige variabel og tal (parametre). Rækkefølgen af de afledte, der indgår i ligningen, kan være forskellig (formelt er den ikke begrænset af noget). Derivater, funktioner, uafhængige variable og parametre kan forekomme i en ligning i forskellige kombinationer, eller alle undtagen én afledte kan være fraværende helt. Ikke alle ligninger, der indeholder afledte af en ukendt funktion, er en differentialligning. For eksempel, Partielle differentialligninger(PDF) er ligninger, der indeholder ukendte funktioner af flere variable og deres partielle afledte. Den generelle form for sådanne ligninger kan repræsenteres som: hvor er de uafhængige variable, og er en funktion af disse variable. Rækkefølgen af partielle differentialligninger kan bestemmes på samme måde som for almindelige differentialligninger. En anden vigtig klassifikation af partielle differentialligninger er deres opdeling i ligninger af elliptiske, parabolske og hyperbolske typer, især for andenordensligninger. Både almindelige differentialligninger og partielle differentialligninger kan inddeles i lineær Og ikke-lineær. En differentialligning er lineær, hvis den ukendte funktion og dens afledninger kun kommer ind i ligningen i første grad (og ikke ganges med hinanden). For sådanne ligninger danner løsningerne et affint underrum af funktionsrummet. Teorien om lineære differentialligninger er udviklet meget dybere end teorien om ikke-lineære ligninger. Generelt billede af en lineær differentialligning n- rækkefølge: Hvor p i(x) er kendte funktioner af den uafhængige variabel, kaldet koefficienter for ligningen. Fungere r(x) på højre side kaldes gratis medlem(det eneste udtryk, der ikke afhænger af den ukendte funktion) En vigtig særlig klasse af lineære ligninger er lineære differentialligninger med konstante koefficienter. En underklasse af lineære ligninger er homogen differentialligninger - ligninger, der ikke indeholder et frit led: r(x) = 0. For homogene differentialligninger gælder superpositionsprincippet: en lineær kombination af partielle løsninger til en sådan ligning vil også være dens løsning. Alle andre lineære differentialligninger kaldes heterogen differentialligninger. Ikke-lineære differentialligninger i det generelle tilfælde har ikke udviklede løsningsmetoder, bortset fra nogle specielle klasser. I nogle tilfælde (ved hjælp af visse tilnærmelser) kan de reduceres til lineære. For eksempel den lineære ligning for en harmonisk oscillator · - homogen differentialligning af anden orden med konstante koefficienter. Løsningen er en familie af funktioner, hvor og er vilkårlige konstanter, som for en specifik løsning er bestemt ud fra særskilt specificerede begyndelsesbetingelser. Denne ligning beskriver især bevægelsen af en harmonisk oscillator med en cyklisk frekvens på 3. Newtons anden lov kan skrives i form af en differentialligning hvor m- kropsmasse, x- dens koordinater, F(x, t) - kraft, der virker på en krop med koordinat x på et tidspunkt t. Dens løsning er kroppens bane under påvirkning af den specificerede kraft. · Bessel differentialligningen er en almindelig lineær homogen ligning af anden orden med variable koefficienter: Dens løsninger er Bessel funktionerne. · Et eksempel på en ikke-homogen ikke-lineær ordinær differentialligning af 1. orden: I den næste gruppe eksempler er der en ukendt funktion u afhænger af to variable x Og t eller x Og y. · Homogen lineær partiel differentialligning af første orden: · En-dimensionel bølgeligning - en homogen lineær ligning i partielle afledte af anden ordens hyperbolske type med konstante koefficienter, beskriver oscillationen af en streng, hvis - strengens afbøjning i et punkt med koordinaten x på et tidspunkt t, og parameteren -en indstiller egenskaberne for strengen: · Laplaces ligning i todimensionelt rum er en homogen lineær partiel differentialligning af anden orden af elliptisk type med konstante koefficienter, der opstår i mange fysiske problemer inden for mekanik, termisk ledningsevne, elektrostatik, hydraulik: · Korteweg-de Vries-ligning, en tredjeordens ikke-lineær partiel differentialligning, der beskriver stationære ikke-lineære bølger, inklusive solitoner: 20. Differentialligninger med adskillelig anvendelig. Lineære ligninger og Bernoullis metode. En førsteordens lineær differentialligning er en ligning, der er lineær med hensyn til en ukendt funktion og dens afledte. Den har formen Hel magt. Faktisk, hvis du finder og erstatter ligninger af de betragtede typer, vil du få en sand lighed. Som nævnt i artiklen om homogene ligninger, hvis det ifølge betingelsen kun er påkrævet at finde en bestemt løsning, så generer funktionen af indlysende grunde os ikke, men når det er påkrævet at finde en generel løsning/integral, så er det nødvendigt at sikre, at denne funktion går ikke tabt! Jeg bragte alle de populære varianter af Bernoulli-ligningen i en stor pose med gaver og begyndte at distribuere dem. Hæng dine sokker under træet. Eksempel 1 Find en bestemt løsning på differentialligningen svarende til den givne begyndelsesbetingelse. Sikkert var mange overraskede over, at den første gave straks blev taget ud af posen sammen med Cauchy problem. Dette er ikke et uheld. Når Bernoulli-ligningen foreslås til en løsning, er det af en eller anden grund ofte nødvendigt at finde en bestemt løsning. Fra min samling lavede jeg et tilfældigt udvalg af 10 Bernoulli-ligninger, og den generelle løsning (uden en bestemt løsning) skal kun findes i 2 ligninger. Men faktisk er dette en bagatel, da der under alle omstændigheder skal søges efter en generel løsning. Løsning: Denne diffuser har formen og er derfor Bernoullis ligning Funktionen og undersøgelsen af dens funktioner optager et af nøglekapitlerne i moderne matematik. Hovedkomponenten i enhver funktion er grafer, der ikke kun viser dens egenskaber, men også parametrene for den afledede af denne funktion. Lad os forstå dette vanskelige emne. Så hvad er den bedste måde at finde maksimum- og minimumpunkterne for en funktion? Enhver variabel, der på en eller anden måde afhænger af værdierne af en anden størrelse, kan kaldes en funktion. For eksempel er funktionen f(x 2) kvadratisk og bestemmer værdierne for hele mængden x. Lad os sige, at x = 9, så vil værdien af vores funktion være lig med 9 2 = 81. Funktioner findes i mange forskellige typer: logisk, vektor, logaritmisk, trigonometrisk, numerisk og andre. De blev studeret af så fremragende hjerner som Lacroix, Lagrange, Leibniz og Bernoulli. Deres værker tjener som en grundpille i moderne måder at studere funktioner på. Før du finder minimumspointene, er det meget vigtigt at forstå selve betydningen af funktionen og dens afledte. Alle funktioner afhænger af deres variable, hvilket betyder, at de til enhver tid kan ændre deres værdi. På grafen vil dette blive afbildet som en kurve, der enten falder eller stiger langs ordinataksen (dette er hele sættet af "y"-tal langs den lodrette graf). Så at bestemme maksimum- og minimumpunkterne for en funktion er præcist relateret til disse "oscillationer". Lad os forklare, hvad dette forhold er. Den afledede af enhver funktion tegnes grafisk for at studere dens grundlæggende egenskaber og beregne, hvor hurtigt funktionen ændrer sig (dvs. ændrer dens værdi afhængigt af variablen "x"). I det øjeblik, hvor funktionen stiger, vil grafen for dens afledte også stige, men i ethvert sekund kan funktionen begynde at falde, og derefter vil grafen for den afledede falde. De punkter, hvor den afledede ændres fra et minustegn til et plustegn, kaldes minimumspunkter. For at vide, hvordan man finder minimumspoint, bør du bedre forstå Definitionen og funktionerne implicerer flere begreber fra Generelt kan selve definitionen af en afledt udtrykkes som følger: dette er den størrelse, der viser funktionens ændringshastighed. Den matematiske måde at bestemme det på virker kompliceret for mange elever, men i virkeligheden er alt meget enklere. Du skal bare følge standardplanen for at finde den afledede af enhver funktion. Nedenfor beskriver vi, hvordan du kan finde minimumspunktet for en funktion uden at anvende reglerne for differentiering og uden at huske tabellen over afledte. I skolens matematikpensum er det muligt at finde minimumspunktet for en funktion på to måder. Vi har allerede diskuteret den første metode ved hjælp af en graf, men hvordan kan vi bestemme den numeriske værdi af den afledte? For at gøre dette skal du lære flere formler, der beskriver egenskaberne af den afledede og hjælper med at konvertere variabler som "x" til tal. Følgende metode er universel, så den kan anvendes på næsten alle typer funktioner (både geometriske og logaritmiske). Den mest grundlæggende komponent i at studere en funktion og dens afledte er viden om reglerne for differentiering. Kun med deres hjælp kan du transformere besværlige udtryk og store komplekse funktioner. Lad os stifte bekendtskab med dem, der er ret mange af dem, men de er alle meget enkle på grund af de naturlige egenskaber af både magt og logaritmiske funktioner. Vi har allerede diskuteret, hvordan man finder minimumspoint, men der er også begrebet maksimumpoint for en funktion. Hvis minimum angiver de punkter, hvor funktionen skifter fra et minustegn til et plus, så er maksimumpunkterne de punkter på x-aksen, hvor den afledede af funktionen ændres fra plus til det modsatte - minus. Du kan finde det ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor, men du skal tage højde for, at de angiver de områder, hvor funktionen begynder at falde, det vil sige, at den afledede vil være mindre end nul. I matematik er det sædvanligt at generalisere begge begreber og erstatte dem med udtrykket "ekstremapunkter". Når en opgave beder dig om at bestemme disse point, betyder det, at du skal beregne den afledede af en given funktion og finde minimum og maksimum point. Største funktionsværdi Mindste funktionsværdi Som gudfaderen sagde: "Ikke noget personligt." Kun derivater! Statistikopgave 12 anses for at være ret svær, og alt sammen fordi fyrene ikke læste denne artikel (joke). I de fleste tilfælde er skødesløshed skylden. 12 opgave kommer i to typer: Unified State Examination opgaver: Find det maksimale punkt for funktionen Find minimumspunktet for funktionen Unified State Examination opgaver: Find den største værdi af funktionen på intervallet [−4; −1] Svar: -6 Find den største værdi af funktionen på segmentet Svar: 11 Konklusioner: Sætning.
(en nødvendig betingelse for eksistensen af et ekstremum) Hvis funktionen f(x) er differentiabel i punktet x = x 1, og punktet x 1 er et ekstremumpunkt, så forsvinder den afledede af funktionen på dette punkt. Bevis.
Lad os antage, at funktionen f(x) har et maksimum i punktet x = x 1. Så for tilstrækkelig lille positiv Dх>0 er følgende ulighed sand: A-priory: De der. hvis Dх®0, men Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, derefter f¢(x 1) £ 0. Og dette er kun muligt, hvis ved Dх®0 f¢(x 1) = 0. For tilfældet, hvis funktionen f(x) har et minimum i punkt x 2, er sætningen bevist på lignende måde. Sætningen er blevet bevist. Følge.
Det omvendte udsagn er ikke sandt. Hvis den afledede af en funktion i et bestemt punkt er lig med nul, betyder det ikke, at funktionen har et ekstremum på dette punkt. Et veltalende eksempel på dette er funktionen y = x 3, hvis afledede i punktet x = 0 er lig med nul, men på dette tidspunkt har funktionen kun en bøjning og ikke et maksimum eller minimum. Definition. Kritiske punkter funktioner er de punkter, hvor den afledede af funktionen ikke eksisterer eller er lig med nul. Sætningen diskuteret ovenfor giver os de nødvendige betingelser for eksistensen af et ekstremum, men det er ikke nok. Eksempel: f(x) = ôxô Eksempel: f(x) = I punktet x = 0 har funktionen et minimum, men i punktet x = 0 har funktionen ingen af delene har ingen afledt. maksimum, intet minimum, ingen produktion Generelt kan funktionen f(x) have et ekstremum på punkter, hvor den afledede ikke eksisterer eller er lig med nul. Sætning.
(Tilstrækkelige betingelser for eksistensen af et ekstremum) Lad funktionen f(x) være kontinuert i intervallet (a, b), som indeholder det kritiske punkt x 1, og differentierbar i alle punkter i dette interval (undtagen måske selve punktet x 1). Hvis den afledede af funktionen f¢(x), når den passerer gennem punktet x 1 fra venstre mod højre, skifter fortegn fra “+” til “-“, så har funktionen f(x) i punktet x = x 1 et maksimum, og hvis den afledede skifter fortegn fra "- " til "+" - så har funktionen et minimum. Bevis.
Lade Ifølge Lagranges sætning: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), hvor x< e < x 1 . Så: 1) Hvis x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Hvis x > x 1, så e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Da svarene er sammenfaldende, kan vi sige, at f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Beviset for sætningen for minimumspunktet er ens. Sætningen er blevet bevist. Baseret på ovenstående kan du udvikle en samlet procedure til at finde de største og mindste værdier af en funktion på et segment: 1) Find de kritiske punkter for funktionen. 2) Find værdierne for funktionen på kritiske punkter. 3) Find værdierne af funktionen i enderne af segmentet. 4) Vælg den største og mindste blandt de opnåede værdier. At studere en funktion for et ekstremum vha derivater af højere orden. Lad i punktet x = x 1 f¢(x 1) = 0 og f¢¢(x 1) eksisterer og er kontinuert i et eller andet område af punktet x 1. Sætning.
Hvis f¢(x 1) = 0, så har funktionen f(x) i punktet x = x 1 et maksimum, hvis f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Bevis.
Lad f¢(x 1) = 0 og f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . Fordi f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 ved x For tilfældet med en minimumsfunktion er sætningen bevist på lignende måde. Hvis f¢¢(x) = 0, så er karakteren af det kritiske punkt ukendt. Yderligere forskning er påkrævet for at fastslå det. Konveksitet og konkavitet af en kurve. Bøjningspunkter. Definition.
Kurven er konveks op på intervallet (a, b), hvis alle dets punkter ligger under nogen af dets tangenter på dette interval. En kurve konveks opad kaldes konveks, og en kurve, der vender konvekst nedad, kaldes konkav. Figuren viser en illustration af ovenstående definition. Sætning 1.
Hvis den anden afledede af funktionen f(x) i alle punkter i intervallet (a, b) er negativ, så er kurven y = f(x) konveks opad (konveks). Bevis.
Lad x 0 О (a, b). Lad os tegne en tangent til kurven på dette tidspunkt. Kurveligning: y = f(x); Tangentligning: Det skal bevises. Ved Lagranges sætning for f(x) – f(x 0): , x 0< c < x. Ifølge Lagranges sætning for Lad x > x 0 derefter x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 og c – x 0 > 0, og derudover efter betingelse Derfor,. Lad x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Det er på samme måde bevist, at hvis f¢¢(x) > 0 på intervallet (a, b), så er kurven y=f(x) konkav på intervallet (a, b). Sætningen er blevet bevist. Definition.
Punktet, der adskiller den konvekse del af kurven fra den konkave del, kaldes bøjningspunkt. Det er klart, at tangenten ved bøjningspunktet skærer kurven. Sætning 2.
Lad kurven defineres ved ligningen y = f(x). Hvis den anden afledede f¢¢(a) = 0 eller f¢¢(a) ikke eksisterer, og når den passerer gennem punktet x = a f¢¢(x) skifter fortegn, så skifter punktet på kurven med abscissen x = a er et bøjningspunkt. Bevis.
1) Lad f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 for x > a. Så kl x< a кривая выпукла, а при x >a kurven er konkav, dvs. punkt x = a – bøjningspunkt. 2) Lad f¢¢(x) > 0 for x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b – konveks opad. Så er x = b bøjningspunktet. Sætningen er blevet bevist. Asymptoter. Når man studerer funktioner, sker det ofte, at når x-koordinaten for et punkt på en kurve bevæger sig til det uendelige, nærmer kurven sig uendeligt en bestemt ret linje. Definition.
Den rette linje kaldes asymptote kurve, hvis afstanden fra kurvens variable punkt til denne lige linje har en tendens til nul, når punktet bevæger sig til det uendelige. Det skal bemærkes, at ikke hver kurve har en asymptote. Asymptoter kan være lige eller skrå. At studere funktioner for tilstedeværelsen af asymptoter er af stor betydning og giver dig mulighed for mere præcist at bestemme arten af funktionen og kurvegrafens opførsel. Generelt kan en kurve, der uendeligt nærmer sig sin asymptote, skære den, og ikke på et punkt, som vist i grafen for funktionen nedenfor Lad os overveje mere detaljeret metoderne til at finde kurvernes asymptoter. Lodrette asymptoter. Af definitionen af en asymptote følger det, at hvis eller eller , så er den rette linje x = a asymptoten af kurven y = f(x). For eksempel, for en funktion, er linjen x = 5 en lodret asymptote. Skrå asymptoter. Antag, at kurven y = f(x) har en skrå asymptote y = kx + b. Lad os betegne skæringspunktet for kurven og vinkelret på asymptoten - M, P - skæringspunktet for denne vinkelret med asymptoten. Lad os betegne vinklen mellem asymptoten og Ox-aksen som j. Den vinkelrette MQ på Ox-aksen skærer asymptoten i punkt N. Så er MQ = y ordinaten til punktet på kurven, NQ = er ordinaten til punktet N på asymptoten. Ifølge betingelsen: , ÐNMP = j, . Vinkel j er konstant og ikke lig med 90 0, da Derefter Så den rette linje y = kx + b er kurvens asymptote. For nøjagtigt at bestemme denne linje er det nødvendigt at finde en måde at beregne koefficienterne k og b. I det resulterende udtryk tager vi x ud af parentes: Fordi x®¥, altså Derefter Fordi Bemærk, at vandrette asymptoter er et specialtilfælde af skrå asymptoter for k = 0. Eksempel. 1) Lodrette asymptoter: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, derfor er x = 0 en lodret asymptote. 2) Skrå asymptoter: Således er den rette linje y = x + 2 en skrå asymptote. Lad os plotte funktionen: Eksempel. Find asymptoter og tegn grafen for funktionen. Linjerne x = 3 og x = -3 er lodrette asymptoter af kurven. Lad os finde de skrå asymptoter: y = 0 – vandret asymptote. Eksempel. Find asymptoter og tegn grafen for funktionen Den rette linje x = -2 er kurvens lodrette asymptote. Lad os finde de skrå asymptoter. I alt er den rette linje y = x – 4 en skrå asymptote. Funktionsstudieordning Funktionsforskningsprocessen består af flere faser. For at få den mest fuldstændige forståelse af funktionens opførsel og karakteren af dens graf er det nødvendigt at finde: 1) Funktionens eksistensdomæne. Dette koncept inkluderer både værdidomænet og definitionsdomænet for en funktion. 2) Brydepunkter. (Hvis muligt). 3) Intervaller for stigning og fald. 4) Maksimum og minimum point. 5) Maksimums- og minimumværdien af en funktion på dens definitionsdomæne. 6) Områder med konveksitet og konkavitet. 7) Bøjningspunkter (hvis nogen). 8) Asymptoter (hvis nogen). 9) Opbygning af en graf. Lad os se på anvendelsen af denne ordning ved hjælp af et eksempel. Eksempel. Udforsk funktionen og konstruer dens graf. Vi finder funktionens eksistensdomæne. Det er indlysende definitionsdomæne funktion er arealet (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Til gengæld er det klart, at de rette linjer x = 1, x = -1 er lodrette asymptoter skæv. Vifte af værdier af denne funktion er intervallet (-¥; ¥). Brydpunkter funktioner er punkter x = 1, x = -1. Vi finder kritiske punkter. Lad os finde den afledede af funktionen Kritiske punkter: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1. Lad os finde den anden afledede af funktionen Lad os bestemme kurvens konveksitet og konkavitet med intervaller. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, konkav kurve 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, konkav kurve < x < ¥, y¢¢ >0, konkav kurve At finde hullerne stigende Og aftagende funktioner. For at gøre dette bestemmer vi fortegnene for den afledede af funktionen på intervaller. -¥ < x < - , y¢ >0, funktionen er stigende - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, funktionen er stigende Det kan ses, at punktet x = - er et punkt maksimum, og punkt x = er et punkt minimum. Funktionsværdierne på disse punkter er lig med henholdsvis -3 /2 og 3 /2. Om lodret asymptoter er allerede blevet sagt ovenfor. Lad os nu finde skrå asymptoter. I alt er ligningen for den skrå asymptote y = x. Lad os bygge tidsplan Funktioner: Funktioner af flere variable
Når vi betragter funktioner af flere variabler, vil vi begrænse os til en detaljeret beskrivelse af funktionerne af to variable, da alle de opnåede resultater vil være gyldige for funktioner af et vilkårligt antal variable. Definition: Hvis hvert par af indbyrdes uafhængige tal (x, y) fra et bestemt sæt, ifølge en eller anden regel, er forbundet med en eller flere værdier af variablen z, så kaldes variablen z en funktion af to variable. Definition:
Hvis et talpar (x, y) svarer til en værdi z, kaldes funktionen utvetydigt, og hvis mere end én, så – polysemantisk. Definition: Definitionsdomæne funktion z er det sæt af par (x, y), som funktionen z eksisterer for. Definition: Et punkts naboskab M 0 (x 0, y 0) af radius r er mængden af alle punkter (x, y), der opfylder betingelsen Definition:
Tallet A kaldes begrænse funktion f(x, y) da punktet M(x, y) tenderer mod punktet M 0 (x 0, y 0), hvis der for hvert tal e > 0 er et tal r > 0, således at for ethvert punkt M (x, y), for hvilken betingelsen er sand betingelsen er også sand Skriv ned: Definition:
Lad punktet M 0 (x 0, y 0) tilhøre definitionsdomænet for funktionen f(x, y). Så kaldes funktionen z = f(x, y). sammenhængende ved punktet M 0 (x 0, y 0), if og punktet M(x, y) tenderer til punktet M 0 (x 0, y 0) på en vilkårlig måde. Hvis betingelse (1) på et eller andet tidspunkt ikke er opfyldt, kaldes dette punkt brudpunkt funktioner f(x, y). Dette kan være i følgende tilfælde: 1) Funktionen z = f(x, y) er ikke defineret i punktet M 0 (x 0, y 0). 2) Der er ingen grænse. 3) Denne grænse findes, men den er ikke lig med f(x 0 , y 0). Ejendom.
Hvis funktionen f(x, y, …) er defineret og kontinuert i en lukket og afgrænset domæne D, så er der i dette domæne mindst et punkt N(x 0 , y 0 , …), således at uligheden for de resterende punkter er sand f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …) samt punkt N 1 (x 01, y 01, ...), således at uligheden for alle andre punkter er sand f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) derefter f(x 0 , y 0 , …) = M – højeste værdi funktioner, og f(x 01 , y 01 , ...) = m – mindste værdi fungerer f(x, y, …) i domæne D. En kontinuerlig funktion i et lukket og afgrænset domæne D når sin største værdi mindst én gang og sin mindste værdi én gang. Ejendom.
Hvis funktionen f(x, y, …) er defineret og kontinuert i et lukket afgrænset domæne D, og M og m er henholdsvis de største og mindste værdier af funktionen i dette domæne, så for ethvert punkt m О der er en pointe N 0 (x 0 , y 0 , …) således at f(x 0 , y 0 , …) = m. Kort sagt tager en kontinuerlig funktion i domænet D alle mellemværdier mellem M og m. En konsekvens af denne egenskab kan være den konklusion, at hvis tallene M og m har forskellige fortegn, så forsvinder funktionen i domænet D mindst én gang. Ejendom.
Funktion f(x, y, …), kontinuerlig i et lukket afgrænset domæne D, begrænset i denne region, hvis der er et tal K, således at uligheden for alle punkter i regionen er sand Ejendom.
Hvis en funktion f(x, y, …) er defineret og kontinuert i et lukket afgrænset domæne D, så ensartet kontinuerlig på dette område, dvs. for ethvert positivt tal e er der et tal D > 0, således at uligheden gælder for to vilkårlige punkter (x 1, y 1) og (x 2, y 2) i regionen, der ligger i en afstand mindre end D Ovenstående egenskaber ligner egenskaberne for funktioner af en variabel, der er kontinuerte på et interval. Se Egenskaber for funktioner kontinuerligt på et interval. Afledte og differentialer af funktioner flere variabler. Definition.
Lad funktionen z = f(x, y) være givet i et eller andet domæne. Lad os tage et vilkårligt punkt M(x, y) og sætte stigningen Dx til variablen x. Så kaldes størrelsen D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) delvis forøgelse af funktionen i x. Du kan skrive ned Så hedder det partiel afledt funktioner z = f(x, y) i x. Betegnelse: Den partielle afledede af en funktion i forhold til y bestemmes på samme måde. Geometrisk sans den partielle afledte (lad os sige) er tangenten til hældningsvinklen af tangenten tegnet i punktet N 0 (x 0, y 0, z 0) til sektionen af overfladen af planet y = y 0. Fuld stigning og fuld differens.
tangentplan Lad N og N 0 være punkter på denne overflade. Lad os tegne en ret linje NN 0. Planet, der går gennem punktet N 0, kaldes tangentplan til overfladen, hvis vinklen mellem sekanten NN 0 og dette plan tenderer mod nul, når afstanden NN 0 tenderer mod nul. Definition. Normal til overfladen i punktet N 0 er en ret linje, der går gennem punktet N 0 vinkelret på tangentplanet til denne overflade. På ethvert tidspunkt har overfladen enten kun ét tangentplan eller slet ikke. Hvis overfladen er givet ved ligningen z = f(x, y), hvor f(x, y) er en funktion, der kan differentieres i punktet M 0 (x 0, y 0), tangentplanet i punktet N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) eksisterer og har ligningen: Ligningen for normalen til overfladen på dette tidspunkt er: Geometrisk sans den samlede differens af en funktion af to variable f(x, y) i punktet (x 0, y 0) er stigningen af applikatet (z-koordinater) af tangentplanet til overfladen, når man bevæger sig fra punktet (x 0) , y 0) til punktet (x 0 + Dx, y 0 + Dу). Som du kan se, er den geometriske betydning af den samlede differential af en funktion af to variable en rumlig analog af den geometriske betydning af differentialet af en funktion af en variabel. Eksempel. Find ligningerne for tangentplanet og normalen til overfladen ved punkt M(1, 1, 1). Tangentplansligning: Normal ligning: Tilnærmede beregninger ved hjælp af samlede forskelle.
Den samlede differential af funktionen u er lig med: Den nøjagtige værdi af dette udtryk er 1,049275225687319176. Partielle derivater af højere orden. Hvis en funktion f(x, y) er defineret i et eller andet domæne D, så vil dens partielle afledte også være defineret i det samme domæne eller en del af det. Vi vil kalde disse derivater første ordens partielle derivater. Afledte af disse funktioner vil være anden ordens partielle derivater. Hvis vi fortsætter med at differentiere de resulterende ligheder, opnår vi partielle derivater af højere orden. Overvej funktionen y = f(x), som betragtes på intervallet (a, b). Hvis det er muligt at angive et b-kvarter til et punkt x1, der hører til intervallet (a, b), således at uligheden f(x1) > f(x) gælder for alle x (x1, b), så gælder y1 = f1(x1) kaldes maksimum af funktionen y = f(x) se fig. Vi betegner maksimum af funktionen y = f(x) med max f(x). Hvis det er muligt at angive et b-kvarter til et punkt x2, der hører til intervallet (a, b), således at det for alle x hører til O (x2, 6), x ikke er lig med x2, gælder uligheden f(x2)< f(x)
, så kaldes y2= f(x2) minimum af funktionen y-f(x) (se figur). For et eksempel på at finde maksimum, se følgende video Vi betegner minimum af funktionen y = f(x) med min f(x). Med andre ord, maksimum eller minimum af en funktion y = f(x) hedder dens værdi, der er større (mindre) end alle andre værdier, der accepteres på punkter, der er tilstrækkelig tæt på den givne og forskellige fra den. Note 1. Maksimal funktion, defineret af uligheden kaldes et strengt maksimum; det ikke-strenge maksimum bestemmes af uligheden f(x1) > = f(x2) Note 2. har en lokal karakter (disse er de største og mindste værdier af funktionen i et tilstrækkeligt lille kvarter til det tilsvarende punkt); individuelle minima for en funktion kan være større end maksima for den samme funktion Maksimum og minimum af en funktion kaldes ekstremum
. Extrema in findes til at konstruere grafer over funktioner latin extremum betyder "ekstrem"
betyder. Værdien af argumentet x, hvor ekstremummet nås, kaldes ekstremumpunktet. Den nødvendige betingelse for et ekstremum er udtrykt ved følgende sætning. Sætning. I ekstremumpunktet af den differentiable funktion er dens afledte lig med nul. Sætningen har en simpel geometrisk betydning: tangenten til grafen for den differentiable funktion i det tilsvarende punkt er parallel med Ox-aksen
eller funktionen kaldes antiderivative funktion. Antiderivatet af en funktion bestemmes op til en konstant værdi.
, her er en vilkårlig konstant.
.
, og denne funktion er kontinuerlig, og ligheden er sand 
.
Hvor .
. Hvis vi husker definitionen af den afledede af en funktion og går til grænsen ved , får vi . Det vil sige, at dette er en af antiderivaterne af funktionen y = f(x) på segmentet
. Således sæt af alle antiderivater F(x) kan skrives som 
, Hvor MED– vilkårlig konstant.
, derfor, . Lad os bruge dette resultat, når vi beregner F(b): , det er 
. Denne lighed giver den beviselige Newton-Leibniz formel .
. Ved at bruge denne notation antager Newton-Leibniz formlen formen 
.
. Lad os tage antiderivatet for C=0: .
.Rektangulær S.K. Funktion specificeret parametrisk Polyarnaya S.K.
Beregning af arealer af plane figurer
Beregning af buelængden af en plan kurve
Beregning af revolutionens overfladeareal
er ikke en differentialligning.
kan betragtes som en tilnærmelse af den ikke-lineære matematiske pendulligning 
i tilfælde af små amplituder, hvornår y≈ synd y.
, Funktion: definition
Afledt og dets rolle
Hvordan beregner man afledt?
Metoder til undersøgelse af funktion
Regler for differentiering
Ekstrempunkter
Funktionsværdier og maksimum- og minimumspoint
Hvordan skal man handle i disse tilfælde? Find maksimum-/minimumspunktet
Det er rigtigt, først stiger funktionen, så falder - dette er maksimumpunktet!
Svar: -15 
Svar: −2 Find den største/mindste værdi af en funktion
y y
på
. Dens skrå asymptote er y = x.
.
, fordi b = const, så 
.
, derfor,
.
, At 
, derfor,
.
.
.
.
(1)
.
.
Minimum funktioner
Som et resultat kaldes det maksimale (minimum) af funktionen lokalt maksimum(lokalt minimum) i modsætning til det absolutte maksimum (minimum) - den største (mindste) værdi i funktionens definitionsdomæne.
