Er plads utilsigtet? Et sæt tilfældige begivenheder er forudsigeligt, selvom individuelle begivenheder ikke er det.

Fordelen ved online terninggenerator frem for almindelige terninger er indlysende - den går aldrig tabt! En virtuel terning vil klare sine funktioner meget bedre end en reel - manipulation af resultater er fuldstændig udelukket, og man kan kun håbe på Hans Majestæts chance. Online terninger er blandt andet god underholdning i din fritid. Generering af resultatet tager tre sekunder, hvilket varmer spillernes spænding og interesse. For at simulere terningkast skal du bare trykke på knappen "1" på tastaturet, som giver dig mulighed for ikke at blive distraheret fra et spændende brætspil.

Antal terninger:

Hjælp servicen med et enkelt klik: Fortæl dine venner om generatoren!

Når vi hører en sådan sætning som "Dice", så kommer straks foreningen af \u200b\u200bkasinoer, hvor de simpelthen ikke kan undvære dem. Til at begynde med skal vi bare huske lidt, hvad dette objekt er.

Terninger er terninger, på hvert ansigt, hvor tallene fra 1 til 6 er repræsenteret af prikker. Når vi kaster dem, er vi altid i håb om, at det antal, vi har udtænkt og ønsket, falder ud. Men der er tidspunkter, hvor en terning, der falder på en kant, ikke viser et tal. Det betyder, at den, der kastede det, kan vælge hvem som helst.

Det sker også, at terningen kan rulle under sengen eller garderoben, og når den fjernes derfra, ændres antallet tilsvarende. I dette tilfælde kastes benet igen, så alle tydeligt kan se antallet.

Online terningkast med 1 klik

I et spil med almindelige terninger er det meget let at snyde. For at få det ønskede nummer skal du placere denne side af terningen ovenpå og dreje den, så den forbliver den samme (kun sidedelen roterer). Dette er en ufuldstændig garanti, men den vindende procentdel er 75 procent.

Hvis du bruger to terninger, reduceres chancerne til tredive, men det er en betydelig procentdel. På grund af svig kan mange spillerkampagner ikke lide at bruge terninger.

Vores vidunderlige service fungerer præcist for at undgå sådanne situationer. Det vil være umuligt at snyde med os, da terningkast online ikke kan forfalskes. Et tal fra 1 til 6 vises på siden på en helt tilfældig og ukontrollabel måde.

Praktisk terninggenerator

En meget stor fordel er, at online terninggeneratoren ikke kan gå tabt (især da den kan bogmærkes), og en almindelig lille terning let kan gå tabt et eller andet sted. Et stort plus vil også være det faktum, at manipulation af resultaterne er helt udelukket. Generatoren har en funktion, der giver dig mulighed for at vælge mellem en til tre terninger, der skal kastes på samme tid.

Online terninggenerator er en meget interessant underholdning, en af \u200b\u200bmåderne til at udvikle intuition. Brug vores service og få øjeblikkelige og pålidelige resultater.

Den mest almindelige form er i form af en terning, på hvilken hver side er afbildet tal fra en til seks. Spilleren kaster den på en plan overflade og ser resultatet på den øverste kant. Knogler er et rigtigt talerør for tilfældighed, held og lykke.

Tilfældighed.
Kuber (knogler) har eksisteret i lang tid, men de fik det traditionelle udseende med seks sider omkring 2600 f.Kr. e. De gamle grækere elskede at lege med terninger, og i deres legender omtales helten Palamed, uretfærdigt beskyldt for forræderi af Odysseus, som deres opfinder. Ifølge legenden kom han op med dette spil for at underholde de soldater, der belejrede Troy, fanget af en kæmpe træhest. Romerne under Julius Cæsars tid underholdt sig også med en række terningespil. På latin blev terningen kaldet datum, hvilket betyder "givet".

Forbud.
I middelalderen omkring det 12. århundrede blev terningen spillet meget populær i Europa: terninger, som du kan tage med dig overalt, er populære blandt både krigere og bønder. Det siges, at der var over seks hundrede forskellige spil! Produktion af terninger er ved at blive et særskilt erhverv. Kong Louis IX (1214-1270), der vendte tilbage fra korstoget, godkendte ikke spil og beordrede produktion af terninger, der skulle forbydes i hele kongeriget. Mere end selve spillet var myndighederne utilfredse med optøjerne forbundet med det - så spillede de hovedsageligt i taverner, og fester endte ofte i slagsmål og stikkende. Men ingen forbud har forhindret terningerne i at overleve tiden og leve den dag i dag.

Knogler med en "afgift"!
Resultatet af matricen er altid tilfældig, men nogle snydere prøver at ændre det. Ved at bore et hul i terningen og hælde bly eller kviksølv i den, kan du opnå det samme resultat hver gang du kaster. En sådan terning kaldes "ladet". Lavet af forskellige materialer, det være sig guld, sten, krystal, knogle, terninger kan have forskellige former. Små terninger i form af en pyramide (tetraeder) er fundet i gravene til de egyptiske faraoer, der byggede store pyramider! På forskellige tidspunkter blev der lavet knogler med 8, 10, 12, 20 og endda 100 sider. Normalt anvendes tal på dem, men bogstaver eller billeder kan også vises på deres sted, hvilket giver plads til fantasi.

Sådan kastes terningerne.
Terninger kommer ikke kun i forskellige former, men de har også forskellige måder at spille på. Nogle spil kræver, at rullen laves på en bestemt måde, normalt for at undgå en beregnet rulle eller for at forhindre, at matrisen stopper i en skrå position. Nogle gange er et specielt glas fastgjort til dem for at undgå at blive snydt eller falde ned fra spillebordet. I det engelske crepe-spil skal alle tre terninger ramme spillebordet eller væggen for ikke at give tricksters mulighed for at falske et kast ved blot at flytte matricen, men ikke dreje den.

Tilfældighed og sandsynlighed.
Døen giver altid et tilfældigt resultat, der ikke kan forudsiges. Med en dør har spilleren lige så mange chancer for at rulle 1 som 6 - alt bestemmes tilfældigt. Tværtimod falder tilfældighedsniveauet med to terninger, da spilleren har flere oplysninger om resultatet: For eksempel med to terninger kan tallet 7 opnås på flere måder - ved at kaste 1 og 6, 5 og 2 eller 4 og 3 ... Men muligheden for at få nummeret 2 er kun en: rullende to gange 1. Så sandsynligheden for at få 7 er højere end at få 2! Dette kaldes sandsynlighedsteori. Mange spil er forbundet med dette princip, især kontantspil.

Om brugen af \u200b\u200bterninger.
Terningerne kan være et uafhængigt spil uden andre elementer. Det eneste, der praktisk talt ikke findes, er spil til en enkelt terning. Reglerne kræver mindst to (for eksempel crepe). For at spille terningepoker skal du bruge fem terninger, en pen og papir. Målet er at udfylde kombinationer svarende til kombinationerne af kortspil med samme navn ved at nedskrive point for dem i en speciel tabel. Derudover er terningen en meget populær del til brætspil, der giver dig mulighed for at flytte chips eller bestemme resultatet af spilkampe.

Die er støbt.
I 49 f.Kr. e. den unge Julius Caesar erobrede Gallien og vendte tilbage til Pompeji. Men hans magt rejste bekymring blandt senatorerne, der besluttede at nedlægge sin hær inden hans tilbagevenden. Den kommende kejser, der ankommer til republikkens grænser, beslutter at overtræde ordren ved at krydse den med en hær. Før han krydsede Rubicon (floden, der var grænsen), sagde han til sine legionærer "Alea jacta est" ("partiet er kastet"). Dette diktum er blevet en fangstfrase, hvis betydning er, at det, som i spillet, efter at nogle beslutninger er taget, ikke længere er muligt at vende tilbage.

Skrevet af designeren Tyler Sigman på Gamasutra. Jeg kalder det med kærlighed artiklen "hår i næseborene på en ork", men det gør et ret godt stykke arbejde med at lægge de grundlæggende sandsynligheder i spil.

Denne uges emne

Indtil nu har næsten alt, hvad vi har talt om, været deterministisk, og i sidste uge kiggede vi tæt på transitiv mekanik og sorterede det så detaljeret som jeg kan forklare det. Men indtil nu har vi ikke været opmærksomme på et stort aspekt af mange spil, nemlig de ikke-deterministiske aspekter, med andre ord tilfældighed. At forstå tilfældigheden er meget vigtigt for spildesignere, fordi vi opretter systemer, der påvirker spillerens oplevelse i et givet spil, så vi er nødt til at vide, hvordan disse systemer fungerer. Hvis der er tilfældighed i systemet, skal du forstå naturdenne tilfældighed og hvordan man ændrer den for at få de resultater, vi har brug for.

Terning

Lad os starte med noget simpelt: at kaste terningerne. Når de fleste mennesker tænker på terninger, tænker de på en seks-sidet terning kendt som d6. Men de fleste spillere har set mange andre terninger: tetraedral (d4), oktaedrisk (d8), tolv (d12), tyve (d20) ... og hvis du til stedenørd, du har muligvis 30-sidede eller 100-sidede knogler et eller andet sted. Hvis du ikke er bekendt med denne terminologi, står "d" for en terning, og antallet efter den, hvor mange ansigter den har. Hvis en foran“D” står for et tal, så betyder det antal terninger når de kastes. For eksempel ruller du 2d6 i Monopol.

Så i dette tilfælde er udtrykket "terninger" en konventionel betegnelse. Der er mange andre tilfældige talgeneratorer, der ikke er i form af en plastikklump, men som udfører den samme funktion ved at generere et tilfældigt tal fra 1 til n. En almindelig mønt kan også betragtes som en d2 dihedral. Jeg så to designs af en syvsidet terning: den ene lignede en terning, og den anden lignede en syvsidet træblyant. Den tetraedriske dreidel (også kendt som titotum) er analog med den tetraedriske knogle. Spillepladsen med en roterende pil i spillet "Chutes & Ladders", hvor resultatet kan være fra 1 til 6, svarer til en sekskantet matrice. En tilfældig talgenerator i en computer kan oprette et hvilket som helst tal fra 1 til 19, hvis designeren beder en sådan kommando, selvom der ikke er 19-sidede terninger i computeren (generelt vil jeg tale mere detaljeret om sandsynligheden for at få tal på en computer kl. næsteuge). Selvom disse ting ser alle anderledes ud, er de faktisk de samme: du har lige chance for at få et af flere resultater.

Terninger har nogle interessante egenskaber, som vi har brug for at vide om. For det første er sandsynligheden for, at ethvert ansigt falder ud, den samme (jeg antager, at du ruller den korrekte matrice, ikke den uregelmæssige geometriske form). Således, hvis du vil vide det betyde kast (også kendt blandt dem, der er glade for emnet sandsynlighed som "matematisk forventet"), summer værdierne på alle kanter og divider denne sum med antalansigter. Den gennemsnitlige rulle for en standard hex-terning er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21, divider med antallet af kanter (6) for at få gennemsnittet 21/6 \u003d 3,5. Dette er et specielt tilfælde, fordi vi antager, at alle resultater er lige sandsynlige.

Hvad hvis du har specielle terninger? For eksempel så jeg et spil med en sekskantet terning med specielle klistermærker på kanterne: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så det opfører sig som en underlig trekantet terning med en bedre chance for at få et nummer 1 end 2, og 2 end 3. Hvad er den gennemsnitlige rulleværdi for denne matrice? Så 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10, divider med 6, svarer til 5/3 eller ca. 1,66. Så hvis du har en sådan speciel terning, og spillerne vil kaste tre terninger og derefter tilføje resultaterne, ved du, at deres omtrentlige total vil være omkring 5, og du kan afbalancere spillet baseret på denne antagelse.

Terninger og uafhængighed

Som jeg går ud fra den antagelse, at hvert ansigt lige så sandsynligt falder ud. Det betyder ikke noget, hvor mange terninger du kaster. Hver terningkast uanset hvad, betyder det, at tidligere kast ikke påvirker resultaterne af de efterfølgende. Med nok prøvelser skal du varsel En "række" af tal, såsom at falde ud af for det meste større eller mindre værdier eller andre funktioner, og vi taler om det senere, men det betyder ikke, at terningerne er "varme" eller "kolde". Hvis du ruller en standard seks-sidet matrice, og tallet 6 kommer op to gange i træk, er sandsynligheden for, at den næste kast resulterer i en 6, også 1/6. Sandsynligheden øges ikke af det faktum, at terningen "opvarmes". Sandsynligheden mindskes ikke, fordi antallet 6 faldt ud to gange i træk, hvilket betyder at nu falder et andet ansigt ud. (Selvfølgelig, hvis du kaster terningerne tyve gange, og hver gang tallet 6 kommer op, er chancerne for, at den enogtyvende gang får nummeret 6 ret høje ... for måske betyder det, at du har de forkerte terninger!) Men hvis du har den rigtige dør, er sandsynligheden for at få hvert af ansigterne den samme, uanset resultaterne af andre ruller. Du kan også forestille dig, at hver gang vi udskifter matrisen, så hvis tallet 6 kommer op to gange i træk, skal du fjerne den "varme" matrice fra spillet og erstatte den med en ny hexahedrisk matrice. Jeg undskylder, hvis nogen af \u200b\u200bjer allerede vidste om dette, men jeg havde brug for at afklare dette, inden jeg gik videre.

Hvordan man får terningerne til at falde mere eller mindre tilfældigt

Lad os tale om, hvordan man får forskellige resultater på forskellige terninger. Hvis du kun kaster terningerne en eller flere gange, vises spillet mere tilfældigt, hvis terningerne har flere kanter. Jo flere terninger du kaster, eller jo flere terninger du kaster, jo mere kommer resultaterne tættere på gennemsnittet. For eksempel, hvis du kaster 1d6 + 4 (det vil sige en standard hex terning en gang og tilføjer 4 til resultatet), er gennemsnittet 5 til 10. Hvis du kaster 5d2, er gennemsnittet også 5 til 10. Men når du kaster en seks-sidet terning, er sandsynligheden for at få tallene 5, 8 eller 10 den samme. Resultatet af at kaste 5d2 vil hovedsagelig være tallene 7 og 8, mindre ofte andre værdier. Den samme serie, selv det samme gennemsnit (7,5 i begge tilfælde), men tilfældigheden er forskellig.

Vent et øjeblik. Sagde jeg ikke bare, at terningerne ikke blev varme eller kølige? Nu siger jeg, at hvis du kaster mange terninger, så kommer ruller tæt på gennemsnittet? Hvorfor?

Lad mig forklare. Hvis du smider enterninger, sandsynligheden for at falde ud af hvert af ansigterne er den samme. Dette betyder, at hvis du kaster mange terninger, falder hvert ansigt omtrent det samme antal gange over tid. Jo flere terninger du kaster, jo mere kommer det kumulative resultat tættere på gennemsnittet. Dette skyldes ikke, at det frafaldne nummer "laver" et andet nummer, som endnu ikke er faldet ud. Men fordi en lille serie på 6 (eller 20 eller et andet nummer) ikke betyder noget i sidste ende, hvis du kaster terningerne ti tusind gange mere og for det meste falder gennemsnittet ... måske har du nu et par tal med høj værdi, men måske senere nogle tal med lav værdi, og over tid vil de nærme sig gennemsnitsværdien. Ikke fordi tidligere kast påvirker terningerne (seriøst er en terning lavet af plast, hun har ikke hjernen til at tænke: ”åh, den er ikke rullet i lang tid”), men fordi det er, hvad der normalt sker med et stort antal terningkast. En lille række gentagne numre vil næsten være usynlige i et stort antal resultater.

Det er således ret ligetil at foretage beregninger for en tilfældig rulle af matricen, i det mindste hvad angår beregning af den gennemsnitlige rulleværdi. Der er også måder at beregne "hvor tilfældigt" noget er, en måde at sige, at resultaterne af rullende 1d6 + 4 vil være "mere tilfældige" end 5d2, for 5d2 vil fordelingen af \u200b\u200bresultaterne være mere jævn, normalt beregner du standardafvigelsen for dette, og jo mere værdi, jo mere tilfældige bliver resultaterne, men dette kræver flere beregninger, end jeg gerne vil give i dag (jeg vil forklare dette emne senere). Det eneste jeg beder dig om at vide er, at jo færre terninger kastes, jo større er tilfældigheden generelt. Og endnu en tilføjelse til dette emne: jo flere kanter en terning har, jo mere tilfældighed, da du har flere muligheder.

Sådan beregnes sandsynligheden ved at tælle

Du undrer dig måske: hvordan kan vi beregne den nøjagtige sandsynlighed for at få et bestemt resultat? Dette er faktisk ret vigtigt for mange spil, for hvis du kaster terningerne, er der sandsynligvis oprindeligt noget optimalt resultat. Svaret er: vi skal tælle to værdier. Først skal du tælle det maksimale antal resultater ved terningkastet (uanset hvad resultatet er). Tæl derefter antallet af gunstige resultater. Ved at dividere den anden værdi med den første får du den sandsynlighed, du ønsker. For at få procentdelen skal du gange dit resultat med 100.

Eksempler:

Her er et meget simpelt eksempel. Du vil have en 4 eller højere for at komme op og rulle hex terningerne en gang. Det maksimale antal resultater er 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Af disse er 3 resultater (4, 5, 6) gunstige. For at beregne sandsynligheden dividerer du 3 med 6 og får 0,5 eller 50%.

Her er et eksempel, der er lidt mere kompliceret. Du ønsker at få et lige antal på 2d6-rullen. Det maksimale antal resultater er 36 (6 for hver die, og da den ene die ikke påvirker den anden, multiplicerer vi 6 resultater med 6 for at få 36). Vanskeligheden ved denne type spørgsmål er, at det er let at tælle to gange. For eksempel er der faktisk to muligheder for resultatet af 3 på en 2d6-rulle: 1 + 2 og 2 + 1. De ser ens ud, men forskellen er, hvilket nummer der vises på den første matrice, og hvilket på den anden. Du kan også forestille dig, at terningerne har forskellige farver, så for eksempel i dette tilfælde er en terning rød og den anden er blå. Tæl derefter antallet af muligheder for et lige antal: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Det viser sig, at der er 18 muligheder for et gunstigt resultat ud af 36, som i det foregående tilfælde vil sandsynligheden være 0,5 eller 50%. Måske uventet, men ret nøjagtigt.

Monte Carlo Simulation

Hvad hvis du har for mange terninger til at tælle? For eksempel vil du vide, hvad sandsynligheden er for, at et beløb på 15 eller mere rulles på en 8d6-rulle. For otte terninger er der MANGE forskellige individuelle resultater, og manuel optælling af dem vil tage meget lang tid. Selvom vi finder en god løsning til at gruppere forskellige serier af terninger, vil det stadig tage meget lang tid at tælle. I dette tilfælde er den nemmeste måde at beregne sandsynligheden på ikke at tælle det manuelt, men at bruge en computer. Der er to måder at beregne sandsynligheder på en computer på.

Den første metode kan bruges til at få det nøjagtige svar, men det involverer lidt programmering eller scripting. Grundlæggende vil computeren se på hver mulighed, estimere og tælle det samlede antal iterationer og antallet af iterationer, der matcher det ønskede resultat, og derefter give svar. Din kode kan se sådan ud:

int wincount \u003d 0, totalcount \u003d 0;

for (int i \u003d 1; i<=6; i++) {

for (int j \u003d 1; j<=6; j++) {

for (int k \u003d 1; k<=6; k++) {

… // indsæt flere sløjfer her

hvis (i + j + k +…\u003e \u003d 15) (

float sandsynlighed \u003d wincount / totalcount;

Hvis du ikke er fortrolig med programmering, og du bare har brug for et upræcist, men omtrentligt svar, kan du simulere denne situation i Excel, hvor du kaster 8d6 flere tusinde gange og får svar. For at caste 1d6 i Excel skal du bruge følgende formel:

GULV (RAND () * 6) +1

Der er et navn til en situation, hvor du ikke kender svaret og bare prøver det mange gange - monte Carlo simuleringog dette er en god løsning at bruge, når du prøver at beregne sandsynligheden, og det er for svært. Det store er, at vi i dette tilfælde ikke behøver at forstå, hvordan den matematiske beregning fungerer, og vi ved, at svaret vil være "temmelig godt", for som vi allerede ved, jo mere antallet af kast, desto mere nærmer resultatet sig den gennemsnitlige værdi.

Sådan kombineres uafhængige tests

Hvis du spørger om flere gentagne, men uafhængige udfordringer, påvirker resultatet af et kast ikke resultatet af de andre ruller. Der er en mere simpel forklaring på denne situation.

Hvordan skelnes der mellem noget afhængigt og uafhængigt? Dybest set, hvis du kan skelne hver terningkast (eller serie af ruller) som en separat begivenhed, så er den uafhængig. For eksempel, hvis vi vil have i alt 15 til at rulle på 8d6, kan denne sag ikke opdeles i flere uafhængige terningkast. Da du for resultatet tæller summen af \u200b\u200bværdierne for alle terningerne, vil resultatet, der faldt på en terning, påvirke de resultater, der skulle falde på de andre terninger, for kun at tilføje alle værdierne får du det ønskede resultat.

Her er et eksempel på uafhængige kast: du spiller med terninger, og du kaster hex-terninger flere gange. For at forblive i spillet skal din første kast være 2 eller højere. For det andet kast, 3 eller højere. Den tredje kræver 4 eller højere, den fjerde kræver 5 eller højere, og den femte kræver 6. Hvis alle fem ruller er vellykkede, vinder du. I dette tilfælde er alle ruller uafhængige. Ja, hvis et kast er mislykket, vil det påvirke resultatet af hele spillet, men et kast påvirker ikke det andet kast. For eksempel, hvis din anden terningkast er meget vellykket, påvirker dette på ingen måde sandsynligheden for, at de næste kast bliver lige så succesrige. Derfor kan vi overveje sandsynligheden for hver terningkast separat.

Hvis du har separate, uafhængige sandsynligheder og vil vide, hvad sandsynligheden er det alt hændelser kommer, bestemmer du hver enkelt sandsynlighed og ganger dem. En anden måde: hvis du bruger sammenhængen “og” til at beskrive flere forhold (for eksempel, hvad er sandsynligheden for, at en tilfældig begivenhed finder sted og nogle andre uafhængige tilfældige begivenheder?), tæl de individuelle sandsynligheder og gang dem.

Det betyder ikke noget, hvad du synes aldrigikke tilføje uafhængige sandsynligheder. Dette er en almindelig fejltagelse. For at forstå hvorfor dette er forkert, forestil dig en situation, hvor du vender en 50/50 mønt, du vil vide, hvad sandsynligheden er for, at to gange i træk "hoveder". Sandsynligheden for, at hver side rammer, er 50%, så hvis du tilføjer disse to sandsynligheder, har du 100% chance for at ramme hoveder, men vi ved, at dette ikke er sandt, fordi det kan få hoveder to gange i træk. Hvis du multiplicerer disse to sandsynligheder i stedet, får du 50% * 50% \u003d 25%, hvilket er det rigtige svar til beregning af sandsynligheden for at ramme hoveder to gange i træk.

Eksempel

Lad os gå tilbage til spillet med en seks-sidet terning, hvor du først skal få et nummer højere end 2, derefter højere end 3 osv. til 6. Hvad er chancerne for, at alle resultater vil være gunstige i en given serie på 5 kast?

Som nævnt ovenfor er disse uafhængige tests, og derfor beregner vi sandsynlighederne for hver enkelt kast og ganger dem derefter. Sandsynligheden for, at resultatet af den første kast vil være gunstig, er 5/6. Den anden er 4/6. Den tredje er 3/6. Fjerde - 2/6, femte - 1/6. Vi multiplicerer alle disse resultater, og vi får cirka 1,5% ... Det er således ret sjældent at vinde i dette spil, så hvis du tilføjer dette element til dit spil, har du brug for en ret stor jackpot.

Negation

Her er et andet nyttigt tip: nogle gange er det svært at beregne sandsynligheden for, at en begivenhed vil forekomme, men det er lettere at afgøre, hvad chancerne er for, at en begivenhed vil forekomme. vil ikke komme.

Antag for eksempel, at vi har et andet spil, og du ruller 6d6, og hvis mindst én gang 6 rulles, vinder du. Hvad er sandsynligheden for at vinde?

I dette tilfælde er der mange muligheder at beregne. Det er muligt, at et nummer 6 vil blive droppet, dvs. på en af \u200b\u200bterningerne rulles tallet 6, og på de andre tal fra 1 til 5, og der er 6 muligheder for, hvilken af \u200b\u200bterningerne vil være tallet 6. Derefter kan du få tallet 6 på to terninger eller på tre eller på endnu mere, og hver gang vi skal foretage en separat optælling, så det er let at blive forvirret over dette.

Men der er en anden måde at løse dette problem på, lad os se på det fra den anden side. Du tabehvis en ingen tallet 6 falder ikke ud af terningerne. I dette tilfælde har vi seks uafhængige forsøg, sandsynligheden for hver af dem er 5/6 (ethvert andet tal undtagen 6 kan tabes på terningerne). Multiplicer dem, og du får ca. 33%. Så sandsynligheden for at tabe er 1 ud af 3.

Derfor er sandsynligheden for at vinde 67% (eller 2 til 3).

Det fremgår af dette eksempel, at hvis du overvejer sandsynligheden for, at begivenheden ikke finder sted, skal du trække resultatet fra 100%. Hvis sandsynligheden for at vinde er 67%, så er sandsynligheden at tabe — 100% minus 67% eller 33%. Og omvendt. Hvis det er svært at beregne en sandsynlighed, men det er let at beregne det modsatte, beregne det modsatte og derefter trække fra 100%.

Kombinerer betingelser for en uafhængig test

Jeg sagde lige ovenfor, at du aldrig skulle tilføje sandsynligheder i uafhængige tests. Er der nogen tilfælde, hvor kansummer sandsynlighederne? - Ja, i en speciel situation.

Hvis du vil beregne sandsynligheden for flere ikke-relaterede gunstige resultater i det samme forsøg, skal du tilføje sandsynlighederne for hvert gunstigt resultat. For eksempel er sandsynligheden for at få tal 4, 5 eller 6 på 1d6 sum sandsynligheden for at få tallet 4, sandsynligheden for at få tallet 5 og sandsynligheden for at få tallet 6. Du kan også forestille dig denne situation som følger: hvis du bruger sammenhængen “eller” i spørgsmålet om sandsynligheden (for eksempel, hvad er sandsynligheden for at eller et andet resultat af en tilfældig begivenhed?), beregne de individuelle sandsynligheder og opsummere dem.

Bemærk, at når du tilføjer alle mulige resultater spil, skal summen af \u200b\u200balle sandsynligheder være lig med 100%. Hvis beløbet ikke er 100%, var din beregning forkert. Dette er en god måde at dobbelttjekke dine beregninger på. For eksempel, hvis du analyserede sandsynligheden for at få alle hænder i poker, hvis du tilføjer alle de resultater, du får, skal du få nøjagtigt 100% (eller i det mindste en værdi, der er tæt på 100%, hvis du bruger en lommeregner, kan du have en lille afrundingsfejl. , men hvis du tilføjer de nøjagtige numre manuelt, skal det ordne sig.) Hvis summen ikke tilføjes, så har du højst sandsynligt ikke taget højde for nogle kombinationer eller beregnet sandsynligheden for nogle kombinationer forkert, og så skal du dobbelttjekke dine beregninger.

Ulige sandsynligheder

Indtil nu antog vi, at hvert ternings ansigt falder ud med den samme frekvens, fordi det er sådan, terningerne fungerer. Men nogle gange står du over for en situation, hvor forskellige resultater er mulige, og de har det forskellige chancer for at falde ud. For eksempel er der i en af \u200b\u200btilføjelserne til kortspillet "Nuclear War" en spilleplads med en pil, som resultatet af lanceringen af \u200b\u200ben raket afhænger af: grundlæggende beskæftiger den normal skade, stærkere eller svagere, men nogle gange øges skaden to eller tre gange, eller raketten eksploderer ved affyringsrampen og gør dig ondt, ellers opstår der en anden begivenhed. I modsætning til spillereglerne med en pil i "Chutes & Ladders" eller "A Game of Life" er resultaterne af spillereglerne i "Nuclear War" ujævne. Nogle sektioner af spillefeltet er større, og pilen stopper oftere ved dem, mens andre sektioner er meget små, og pilen stopper sjældent ved dem.

Så ved første øjekast ser knoglen sådan ud: 1, 1, 1, 2, 2, 3; vi har allerede talt om det, det er noget som en vægtet 1d3, derfor er vi nødt til at opdele alle disse sektioner i lige store dele, finde den mindste måleenhed, som er et multiplum af alt og derefter repræsentere situationen i form af d522 (eller en anden ), hvor terningens mange ansigter vil repræsentere den samme situation, men med flere resultater. Og dette er en måde at løse problemet på, og det er teknisk muligt, men der er en lettere måde.

Lad os gå tilbage til vores standard hex terninger. Vi sagde, at for at beregne den gennemsnitlige rulleværdi for en normal matrice, skal du summere værdierne på alle kanterne og dividere dem med antallet af kanter, men hvordan nemligafvikling er i gang? Du kan sige det anderledes. For en sekskantet matrice er sandsynligheden for, at hvert ansigt falder ud nøjagtigt 1/6. Nu formere vi os exodushvert ansigt på sandsynlighed dette resultat (i dette tilfælde 1/6 for hvert ansigt), så summer vi de opnåede værdier. Således opsummerer (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), får vi det samme resultat (3.5) som i beregningen ovenfor. Faktisk tæller vi dette hver gang: Vi ganger hvert resultat med sandsynligheden for det resultat.

Kan vi lave den samme beregning for en skydespil på banen i Nuclear War? Selvfølgelig kan vi. Og hvis vi sammenlægger alle de fundne resultater, får vi gennemsnittet. Alt, hvad vi skal gøre er at beregne sandsynligheden for hvert resultat for pilen på tavlen og gang med resultatet.

Et andet eksempel

Denne metode til beregning af gennemsnittet ved at multiplicere hvert resultat med dets individuelle sandsynlighed er også velegnet, hvis resultaterne er lige så sandsynlige, men har forskellige fordele, for eksempel hvis du ruller en matrice og vinder mere på nogle kanter end andre. Tag f.eks. Et kasinospil: du satser og ruller 2d6. Hvis der kommer tre tal med den laveste værdi (2, 3, 4) eller fire tal med den højeste værdi (9, 10, 11, 12), vinder du et beløb svarende til din indsats. Tallene med de laveste og højeste værdier er specielle: hvis en 2 eller 12 kommer op, vinder du dobbelt så megetend din sats. Hvis et andet tal falder ud (5, 6, 7, 8), mister du din indsats. Det er et ret simpelt spil. Men hvad er sandsynligheden for at vinde?

Lad os starte med at tælle, hvor mange gange du kan vinde:

• Det maksimale antal resultater på en 2d6-rulle er 36. Hvor mange gunstige resultater er der?
• Der er 1 mulighed for to og 1 mulighed for tolv.
• Der er 2 muligheder for, hvad der kommer ud tre og elleve.
• Der er 3 muligheder for fire og 3 muligheder for ti.
• Der er 4 muligheder for ni.
• Sammenfattende alle mulighederne får vi antallet af gunstige resultater 16 ud af 36.

Så under normale forhold vinder du 16 gange ud af 36 mulige ... sandsynligheden for at vinde er lidt mindre end 50%.

Men i to tilfælde ud af disse 16 vinder du dobbelt så meget, dvs. det er som at vinde to gange! Hvis du spiller dette spil 36 gange, ved at satse $ 1 hver gang, og hver af de mulige resultater kommer op en gang, vil du vinde $ 18 (faktisk vinder du 16 gange, men to gange tælles som to gevinster). Hvis du spiller 36 gange og vinder $ 18, betyder det ikke, at det er lige chance?

Du skal ikke skynde dig. Hvis du tæller antallet af gange, du kan tabe, får du 20, ikke 18. Hvis du spiller 36 gange og satser $ 1 hver gang, vinder du i alt $ 18 på alle de gode resultater ... men du mister det samlede antal beløbet på $ 20 med alle 20 negative resultater! Som et resultat vil du forsinke lidt: Du taber i gennemsnit $ 2 netto for hver 36 spil (du kan også sige, at du taber i gennemsnit $ 1/18 pr. Dag). Nu kan du se, hvor let det er i dette tilfælde at begå en fejl og beregne sandsynligheden forkert!

Permutation

Indtil nu har vi antaget, at rækkefølgen af \u200b\u200bnumrene, når vi kaster terningerne, ikke betyder noget. En rulle på 2 + 4 er den samme som en rulle på 4 + 2. I de fleste tilfælde beregner vi manuelt antallet af gunstige resultater, men nogle gange er denne metode upraktisk, og det er bedre at bruge en matematisk formel.

Et eksempel på denne situation er fra spillet med terningerne “Farkle”. For hver nye runde ruller du 6d6. Hvis du er heldig nok til at få alle mulige resultater 1-2-3-4-5-6 (“lige”), vil du modtage en stor bonus. Hvad er sandsynligheden for, at dette sker? I dette tilfælde er der mange muligheder for denne kombination!

Løsningen ser sådan ud: en af \u200b\u200bterningerne (og kun en) skal have tallet 1! Hvor mange varianter af nummer 1 på en terning? Seks, da der er 6 terninger, og nogen af \u200b\u200bdem kan have tallet 1. Tag derfor en terning og læg den til side. Nu skal en af \u200b\u200bde resterende terninger have et nummer 2. Der er fem muligheder for dette. Tag endnu en terning og læg den til side. Så følger det, at på fire af de resterende terninger kan tallet 3 falde, på tre af de tilbageværende terninger kan tallet 4 falde på to - tallet 5, og som et resultat har du en terning, hvor tallet 6 skal falde (i sidstnævnte tilfælde matricen er en, og der er intet valg). For at beregne antallet af gunstige resultater for den "lige" kombination, multiplicerer vi alle de forskellige uafhængige muligheder: 6x5x4x3x2x1 \u003d 720 - det ser ud til, at der er ret mange muligheder for, hvad denne kombination vil komme op med.

For at beregne sandsynligheden for at få en lige combo er vi nødt til at dividere 720 med antallet af alle mulige resultater for 6d6-rullen. Hvad er antallet af alle mulige resultater? Hver matrice har 6 ansigter, så vi ganger 6x6x6x6x6x6 \u003d 46656 (antallet er meget større!). Vi deler 720/46656, og vi får en sandsynlighed på ca. 1,5%. Hvis du designede dette spil, ville det være nyttigt for dig at vide, så du kan oprette et passende scoringssystem. Nu forstår vi, hvorfor i spillet "Farkle" får du en så stor bonus, hvis du får en kombination "lige", fordi denne situation er ret sjælden!

Resultatet er også interessant af en anden grund. Eksemplet viser, hvor sjældent, i en kort periode, et resultat svarende til sandsynligheden opstår. Selvfølgelig, hvis vi kastede flere tusinde terninger, ville terningens forskellige ansigter falde ganske ofte ud. Men når vi kun kaster seks terninger, næsten aldrigdet sker ikke, at hvert ansigt falder ud! Ud fra dette bliver det klart, at det er dumt at forvente, at et andet ansigt nu falder ud, som endnu ikke er faldet ud ”fordi vi ikke har fået nummer 6 i lang tid, hvilket betyder, at det vil falde nu”.

Hør, din tilfældige talgenerator er i stykker ...

Dette fører os til en almindelig misforståelse om sandsynlighed: antagelsen om, at alle resultater kommer med den samme frekvens. i en kort periodehvilket faktisk ikke er tilfældet. Hvis vi kaster terningerne flere gange, vil frekvensen af \u200b\u200bhvert ansigt ikke være den samme.

Hvis du nogensinde har arbejdet med et online spil med en slags tilfældig talgenerator, er du sandsynligvis stødt på en situation, hvor en spiller skriver til teknisk support for at sige, at din tilfældige talgenerator er brudt og ikke viser tilfældige tal. og han kom til denne konklusion, fordi han lige havde dræbt 4 monstre i træk og modtaget 4 nøjagtigt de samme belønninger, og disse belønninger skulle kun falde ud i 10% af tilfældene, så dette næsten aldrig burde ikke finde sted, hvilket betyder det naturligvisat din tilfældige talgenerator er brudt.

Du laver en matematisk beregning. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 er lig med 1 ud af 10.000, hvilket betyder, at dette er et ret sjældent tilfælde. Og det er det, spilleren prøver at fortælle dig. Er der et problem i dette tilfælde?

Det hele afhænger af omstændighederne. Hvor mange spillere er der på din server nu? Lad os sige, at du har et ret populært spil, og 100.000 mennesker spiller det hver dag. Hvor mange spillere dræber fire monstre i træk? Alt er muligt flere gange om dagen, men lad os antage, at halvdelen af \u200b\u200bdem simpelthen udveksler forskellige ting ved auktioner eller omskrivning på RP-servere eller udfører andre spilhandlinger, så faktisk kun halvdelen af \u200b\u200bdem jager monstre. Hvad er sandsynligheden for, at til nogen Vil den samme belønning blive droppet? I denne situation kan du forvente, at den samme belønning kan falde ud flere gange om dagen, i det mindste!

Forresten, så det ser ud til, at det hvert par uger i det mindste en eller anden vinder lotteriet, selvom denne person aldrigikke dig eller dine venner. Hvis nok folk spiller hver uge, er chancerne for, at der i det mindste vil være enheldig ... men hvis duspiller et lotteri, er det mindre sandsynligt, at du vinder et job på Infinity Ward.

Kort og afhængighed

Vi har diskuteret uafhængige begivenheder som at kaste terninger, og nu kender vi mange kraftfulde værktøjer til analyse af tilfældighed i mange spil. At beregne sandsynligheden er lidt vanskeligere, når det kommer til at trække kort fra en bunke, fordi hvert kort, vi trækker, påvirker de resterende kort i bunken. Hvis du f.eks. Har et 52-korts kortstykke og tegner 10 hjerter og ønsker at vide sandsynligheden for, at det næste kort vil være af samme farve, er sandsynligheden ændret, fordi du allerede har fjernet et kort af hjerterødet. Hvert kort, du fjerner, ændrer sandsynligheden for det næste kort i bunken. Da i dette tilfælde den tidligere begivenhed påvirker den næste, kalder vi dette sandsynlighed afhængig.

Bemærk, at når jeg siger "kort", mener jeg nogen spilmekanik, hvor der er et sæt objekter, og du fjerner et af objekterne uden at udskifte det, et "kortstykke" i dette tilfælde er analogt med en pose tokens, hvorfra du tager et token ud og ikke udskifter det, eller en urne, hvorfra du tager farvede ud bolde (faktisk har jeg aldrig set et spil, hvor der var en urne, hvorfra jeg kunne tage farvede bolde ud, men det ser ud til, at lærerne i sandsynlighedsteori foretrækker dette eksempel af en eller anden grund).

Afhængighedsegenskaber

Jeg vil gerne præcisere, at når det kommer til kort, antager jeg, at du trækker kort, ser på dem og fjerner dem fra bunken. Hver af disse handlinger er en vigtig egenskab.

Hvis jeg havde et kort med f.eks. Seks kort med tal fra 1 til 6, og jeg blandede dem og tog et kort ud og derefter blandede alle seks kort igen, ville det være som at smide en seks-sidet matrice; et resultat påvirker ikke følgende. Kun hvis jeg trækker kort og ikke erstatter dem, vil resultatet af det faktum, at jeg trækker et kort med nummer 1 øge sandsynligheden for, at næste gang jeg trækker et kort med tallet 6 (sandsynligheden vil stige, indtil jeg til sidst trækker dette kort eller indtil jeg blander kortene).

Det faktum, at vi sepå kortene er også vigtigt. Hvis jeg tager et kort ud af bunken og ikke ser på det, har jeg ingen yderligere oplysninger, og faktisk ændres sandsynligheden ikke. Dette kan lyde kontraintuitivt. Hvordan kan en simpel flip af et kort magisk ændre sandsynligheden? Men dette er muligt, fordi du kun kan beregne sandsynligheden for ukendte objekter baseret på det faktum, at du du ved... For eksempel, hvis du blander et standard kortstik, afslører 51 kort, og ingen af \u200b\u200bdem er dronning af klubber, ved du med 100% sikkerhed, at det resterende kort er en dronning af klubber. Hvis du blander standardkortet og trækker 51 kort, på trods afpå dem vil sandsynligheden for, at det resterende kort er en dronning af klubber stadig være 1/52. Ved at åbne hvert kort får du flere oplysninger.

Beregning af sandsynligheden for afhængige begivenheder følger de samme principper som for uafhængige begivenheder, bortset fra at det er lidt mere kompliceret, da sandsynlighederne ændres, når du åbner kort. Således skal du multiplicere mange forskellige værdier i stedet for at multiplicere den samme værdi. Faktisk betyder det, at vi skal kombinere alle de beregninger, vi har foretaget, i en kombination.

Eksempel

Du blander et standard 52-kort kort og trækker to kort. Hvad er sandsynligheden for, at du tager et par ud? Der er flere måder at beregne denne sandsynlighed på, men måske er den enkleste som følger: Hvad er sandsynligheden for, at når du tager et kort ud, ikke er i stand til at tage et par ud? Denne sandsynlighed er nul, så det betyder ikke noget, hvilket første kort du trækker, så længe det matcher det andet. Det betyder ikke noget hvilket kort vi tager først ud, vi har stadig en chance for at tage et par ud, så sandsynligheden for at vi kan tage et par ud efter at have taget det første kort er 100%.

Hvad er sandsynligheden for, at det andet kort matcher det første? Der er 51 kort tilbage i bunken, og 3 af dem falder sammen med det første kort (faktisk ville der have været 4 ud af 52, men du har allerede fjernet et af de matchende kort, da du tog det første kort ud!), Så sandsynligheden er 1/17. (Så næste gang fyren over bordet fra dig, der spiller Texas Hold'em, siger: "Sej, endnu et par? Jeg er heldig i dag," vil du vide, at der er en ret stor chance for, at han bløffer.)

Hvad hvis vi tilføjer to jokere, og nu har vi 54 kort i bunken, og vi vil vide, hvad der er sandsynligheden for at tage et par ud? Det første kort kan være en joker, og så indeholder bunken kun alenekort, ikke tre, der matcher. Hvordan finder du sandsynligheden i dette tilfælde? Vi deler sandsynlighederne og multiplicerer hver mulighed.

Vores første kort kan være en joker eller et andet kort. Sandsynligheden for at trække en joker er 2/54, sandsynligheden for at trække et andet kort er 52/54.

Hvis det første kort er en joker (2/54), er sandsynligheden for, at det andet kort falder sammen med det første 1/53. Multiplicer værdierne (vi kan gange dem, fordi disse er separate begivenheder, og vi vil have beggebegivenheder skete) og vi får 1/1431 - mindre end en tiendedel procent.

Hvis du trækker et andet kort først (52/54), er sandsynligheden for sammenfald med det andet kort 3/53. Multiplicer værdierne, og få 78/1431 (lidt mere end 5,5%).

Hvad gør vi med disse to resultater? De overlapper ikke, og vi vil vide sandsynligheden hveraf dem, så vi tilføjer værdierne! Vi får det endelige resultat 79/1431 (stadig ca. 5,5%).

Hvis vi ville være sikre på nøjagtigheden af \u200b\u200bsvaret, kunne vi beregne sandsynligheden for alle andre mulige resultater: at tage jokeren ud og ikke matche det andet kort eller trække et andet kort ud og ikke at matche det andet kort og opsummere dem alle med sandsynligheden for at vinde fik nøjagtigt 100%. Jeg giver ikke en matematisk beregning her, men du kan prøve at beregne den for at dobbelttjekke.

Monty Hall Paradox

Dette fører os til et ret velkendt paradoks, der ofte forvirrer mange - Monty Hall-paradokset. Paradokset er opkaldt efter Monty Hall, vært for "Lad os lave en aftale". Hvis du aldrig har set dette show, var det det modsatte af TV-showet The Price Is Right. I “Prisen er rigtig” er værten (tidligere Bob Barker, nu ... Drew Carey? Alligevel ...) din ven. er han har lystså du kan vinde penge eller flotte præmier. Han forsøger at give dig enhver mulighed for at vinde, forudsat at du kan gætte, hvor meget de varer, der er købt af sponsorer, faktisk koster.

Monty Hall opførte sig anderledes. Han var som Bob Barkers onde tvilling. Hans mål var at få dig til at ligne en idiot på nationalt tv. Hvis du var med i showet, var han din modstander, du spillede mod ham, og oddsene for at vinde var i hans favør. Jeg kan være for hård, men når chancen for at blive valgt som en rival synes at være i direkte forhold til, om du har en latterlig dragt på, eller ikke, kommer jeg til den slags konklusion.

Men en af \u200b\u200bshowets mest berømte memer var dette: der var tre døre foran dig, og de blev kaldt Dør nummer 1, Dør nummer 2 og Dør nummer 3. Du kunne vælge en hvilken som helst dør ... gratis! Bag en af \u200b\u200bdisse døre var der en stor pris som en ny personbil. Der var ingen præmier bag de andre døre, disse to døre var uden værdi. Deres formål var at ydmyge dig, og derfor var det ikke, at der ikke var noget bag dem, der var noget bag dem, der så dumt ud, for eksempel bag dem var en ged eller et stort rør tandpasta eller noget ... noget, hvad der præcist var ikke en ny personbil.

Du valgte en af \u200b\u200bdørene, og Monty var ved at åbne den, så du ville vide, om du vandt eller ej ... men vent, inden vi ved, lad os se på en af de der dør dig ikke valgt... Da Monty ved, hvilken dør prisen ligger bag, og der kun er én præmie og to døre, som du ikke har valgt, uanset hvad, han kan altid åbne en dør, som der ikke er nogen pris for. “Vælger du dør nummer 3? Lad os så åbne dør 1 for at vise, at der ikke var nogen præmie bag den. ” Og nu giver han dig af generøsitet chancen for at bytte det valgte dørnummer 3 til det bag dørnummer 2. Det er i dette øjeblik, at spørgsmålet opstår om sandsynligheden: øger muligheden for at vælge en anden dør din chance for at vinde eller sænke den, eller forbliver den den samme? Hvad synes du?

Korrekt svar: evnen til at vælge en anden dør øgessandsynligheden for at vinde fra 1/3 til 2/3. Dette er ulogisk. Hvis du ikke har stødt på dette paradoks før, sandsynligvis tænker du: Vent, ved at åbne en dør ændrede vi sandsynligvis sandsynligheden? Men som vi allerede har set i eksemplet med kortene ovenfor, er dette nemlighvad sker der, når vi modtager flere oplysninger. Det er indlysende, at sandsynligheden for at vinde første gang, du vælger, er 1/3, og det tror jeg alle er enige om. Når en dør åbnes, ændrer det slet ikke sandsynligheden for at vinde for førstevalget, sandsynligheden er stadig 1/3, men det betyder, at sandsynligheden for den andenden korrekte dør er nu 2/3.

Lad os se på dette eksempel fra et andet perspektiv. Du vælger døren. Sandsynligheden for at vinde er 1/3. Jeg foreslår, at du skifter toandre døre, hvilket Monty Hall faktisk foreslår. Selvfølgelig åbner han en af \u200b\u200bdørene for at vise, at der ikke er nogen præmie bag den, men han altidkan gøre det, så det ændrer ikke rigtig noget. Selvfølgelig vil du vælge en anden dør!

Hvis du ikke er helt klar over dette spørgsmål, og du har brug for en mere overbevisende forklaring, skal du klikke på dette link for at navigere til en vidunderlig lille Flash-applikation, der giver dig mulighed for at studere dette paradoks mere detaljeret. Du kan spille startende med ca. 10 døre og derefter gradvist gå til et spil med tre døre; der er også en simulator, hvor du kan vælge et hvilket som helst antal døre fra 3 til 50 og spille eller køre flere tusinde simuleringer og se, hvor mange gange du vandt, hvis du spillede.

En bemærkning fra læreren i højere matematik og en specialist i spilbalance Maxim Soldatov, som Schreiber selvfølgelig ikke havde, men uden hvilken det er ret svært at forstå denne magiske transformation:

Vælg en dør, en af \u200b\u200btre, sandsynligheden for at "vinde" er 1/3. Nu har du to strategier: skift efter at have åbnet den forkerte dør eller ej. Hvis du ikke ændrer dit valg, forbliver sandsynligheden 1/3, da valget først er i første fase, og du skal gætte med det samme, hvis du ændrer, så kan du vinde, hvis du først vælger den forkerte dør (så åbner de en anden forkert, forbliver trofast, du ændrer din beslutning og bare tag den)
Sandsynligheden for at vælge den forkerte dør i starten er 2/3, så det viser sig, at ved at ændre din beslutning gør du sandsynligheden for at vinde 2 gange højere

Og igen om Monty Hall-paradokset

Med hensyn til selve showet vidste Monty Hall dette, for selvom hans rivaler ikke var gode til matematik, det forstår det godt. Her er hvad han gjorde for at ændre spillet lidt. Hvis du vælger døren, bag hvilken præmien var placeret, hvis sandsynlighed er 1/3, er den altidtilbød dig muligheden for at vælge en anden dør. Når alt kommer til alt valgte du en personbil og derefter skifter du den til en ged, og du vil se temmelig dum ud, hvilket er nøjagtigt hvad han har brug for, fordi han er en slags ond fyr. Men hvis du vælger døren, bag hvilken der vil ikke være nogen præmie, kun ved halvdelen I sådanne tilfælde vil han tilbyde dig at vælge en anden dør, og i andre tilfælde vil han blot vise dig din nye ged, og du vil forlade scenen. Lad os analysere dette nye spil, hvor Monty Hall kan vælgegiver dig en chance for at vælge en anden dør eller ej.

Antag, at han følger denne algoritme: hvis du vælger en dør med en præmie, giver han dig altid muligheden for at vælge en anden dør, ellers er sandsynligheden for, at han vil tilbyde dig at vælge en anden dør eller give en ged 50/50. Hvad er sandsynligheden for, at du vinder?

I en af \u200b\u200bde tre muligheder vælger du straks døren, bag hvilken præmien er placeret, og værten inviterer dig til at vælge en anden dør.

Af de resterende to ud af tre valgmuligheder (du vælger oprindeligt en dør uden præmie) vil værten i halvdelen af \u200b\u200btilfældene tilbyde dig at vælge en anden dør, og i den anden halvdel af tilfældene ikke. Halvdelen af \u200b\u200b2/3 er 1/3, dvs. i et tilfælde ud af tre får du en ged, i et tilfælde ud af tre vælger du den forkerte dør, og værten vil tilbyde dig at vælge en anden og i et tilfælde ud af tre vælger du den rigtige dør, og han vil bede dig om at vælge en anden dør.

Hvis lederen tilbyder at vælge en anden dør, ved vi allerede, at den ene sag ud af tre, når han giver os en ged, og vi forlader, ikke skete. Dette er nyttige oplysninger, fordi det betyder, at vores chancer for at vinde er ændret. I to ud af tre tilfælde, når vi har mulighed for at vælge, betyder det i det ene tilfælde, at vi gættede korrekt, og i det andet, at vi gættede forkert, så hvis vi overhovedet blev tilbudt muligheden for at vælge, betyder det, at sandsynligheden for, at vi vinder, er 50 / 50, og der er ingen matematisk fordele, bliv med dit valg eller vælg en anden dør.

Ligesom poker er det nu et psykologisk spil, ikke et matematisk spil. Monty tilbød dig et valg, fordi han mener, at du er en simpleton, der ikke ved, at det at vælge en anden dør er den "rigtige" beslutning, og at du stædigt vil holde fast ved dit valg, fordi det psykologisk er situationen, når du valgte en bil, men derefter mistet det, sværere? Eller tror han, at du er smart og vælger en anden dør, og han giver dig denne chance, fordi han ved, at du gættede rigtigt i starten, og at du vil være hooked og fanget? Eller måske er han atypisk venlig over for sig selv og skubber dig til at gøre noget i din personlige interesse, fordi han ikke har givet en bil i lang tid, og hans producenter fortæller ham, at publikum keder sig, og det ville være bedre, hvis han snart gav en stor præmie for at holde ratings fra at falde?

Således formår Monty at tilbyde et valg (nogle gange), og den samlede sandsynlighed for at vinde forbliver lig med 1/3. Husk, at sandsynligheden for, at du mister med det samme, er 1/3. Sandsynligheden for at du får det med det samme er 1/3, og i 50% af disse tilfælde vinder du (1/3 x 1/2 \u003d 1/6). Sandsynligheden for at du gætter forkert i starten, men så har du en chance for at vælge en anden dør, er 1/3, og i 50% af disse tilfælde vinder du (også 1/6). Tilføj to uafhængige vinderchancer, så får du en sandsynlighed svarende til 1/3, så det betyder ikke noget, om du bliver ved dit valg eller vælger en anden dør, den samlede sandsynlighed for, at du vinder i hele spillet, er 1/3 ... sandsynligheden får ikke mere end i en situation, hvor du ville gætte på døren, og præsentanten ville vise dig, hvad der ligger bag denne dør uden mulighed for at vælge en anden dør! Så pointen med at tilbyde muligheden for at vælge en anden dør er ikke at ændre sandsynligheden, men at gøre beslutningsprocessen sjovere til tv-visning.

Forresten er dette en af \u200b\u200bgrundene til, at poker kan være så interessant: i de fleste formater mellem runder, når der satses (f.eks. Floppet, turn og river i Texas Hold'em), afsløres kortene gradvist, og hvis du i starten af \u200b\u200bspillet har en sandsynligheden for at vinde, så efter hver indsatsrunde, når flere kort er åbne, ændres denne sandsynlighed.

The Boy and Girl Paradox

Dette fører os til et andet velkendt paradoks, som som regel puslespil med alle - paradokset for drengen og pigen. Det eneste, jeg skriver om i dag, der ikke er direkte relateret til spil (selvom jeg antager, at dette bare betyder, at jeg skal skubbe dig til at oprette den passende spilmekanik). Det er mere et puslespil, men interessant, og for at løse det skal du forstå den betingede sandsynlighed, som vi talte om ovenfor.

Udfordring: Jeg har en ven med to børn, mindst en barnet er en pige. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn ogsåpige? Lad os antage, at i enhver familie er chancen for at have en pige eller dreng 50/50, og dette gælder for alle børn (faktisk har nogle mænd mere sæd med et X-kromosom eller et Y-kromosom, så sandsynligheden ændres lidt, hvis du ved det et barn er en pige, sandsynligheden for at få en pige er lidt højere, derudover er der andre forhold, for eksempel hermafroditisme, men for at løse dette problem vil vi ikke tage dette i betragtning og antage, at fødslen af \u200b\u200bet barn er en uafhængig begivenhed og sandsynligheden for, at en dreng bliver født eller piger er de samme).

Da vi taler om en 1/2 chance, forventer vi intuitivt, at svaret sandsynligvis er 1/2 eller 1/4 eller et andet rundt multiplum af to. Men svaret er: 1/3 ... Vent hvorfor?

Vanskeligheden i dette tilfælde er, at de oplysninger, vi har, reducerer antallet af muligheder. Antag, at forældrene er fans af Sesame Street, og uanset om en dreng eller en pige blev født, navngav de deres børn A og B. Under normale forhold er der fire lige så sandsynlige muligheder: A og B er to drenge, A og B er to piger, A er en dreng, og B er en pige, A er en pige og B er en dreng. Da vi ved det mindst en barnet er en pige, vi kan eliminere muligheden for, at A og B er to drenge, så vi har tre (stadig lige så sandsynlige) muligheder. Hvis alle muligheder er lige sandsynlige, og der er tre af dem, ved vi, at sandsynligheden for hver er 1/3. På kun en af \u200b\u200bdisse tre muligheder er begge børn to piger, så svaret er 1/3.

Og igen om paradokset for en dreng og en pige

Løsningen på problemet bliver endnu mere ulogisk. Forestil dig, hvis jeg fortæller dig, at min ven har to børn og et barn - pigen, der blev født tirsdag... Antag, at sandsynligheden for at få en baby på en af \u200b\u200bugens syv dage under normale forhold er den samme. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige? Du tror måske, at svaret stadig er 1/3; hvad betyder tirsdag? Men i dette tilfælde svikter intuition os. Svar: 13/27 hvilket ikke bare er intuitivt, det er meget mærkeligt. Hvad er der galt i dette tilfælde?

Faktisk ændrer tirsdag sandsynligheden, fordi vi ikke ved det hvilken enbarnet blev født en tirsdag eller muligvis to børn blev født en tirsdag. I dette tilfælde bruger vi den samme logik som ovenfor, vi tæller alle mulige kombinationer, når mindst et barn er en pige, der blev født tirsdag. Som i det foregående eksempel, antag at børnene hedder A og B, er kombinationerne som følger:

• A - en pige, der blev født tirsdag, B - en dreng (i denne situation er der 7 muligheder, en for hver ugedag, hvor en dreng kunne blive født).
• B - en pige, der blev født tirsdag, A - en dreng (også 7 muligheder).
• A - en pige der blev født tirsdag, B - en pige der blev født den andet ugedag (6 muligheder).
• B - en pige der blev født tirsdag, A - en pige der ikke blev født tirsdag (også 6 sandsynligheder).
• A og B - to piger, der blev født tirsdag (1 mulighed, du skal være opmærksom på dette for ikke at tælle to gange).

Vi opsummerer og får 27 forskellige lige så mulige kombinationer af fødsel af børn og dage med mindst en mulighed for at få en pige tirsdag. Af disse er 13 muligheder, når to piger bliver født. Det ser også helt ulogisk ud, og det ser ud til, at denne opgave kun blev oprettet for at forårsage hovedpine. Hvis du stadig er forvirret af dette eksempel, har spilteoretikeren Jesper Yule en god forklaring på sagen på sin hjemmeside.

Hvis du i øjeblikket arbejder på et spil ...

Hvis der er tilfældighed i det spil, du designer, er dette en fantastisk mulighed for at analysere det. Vælg et element, som du vil analysere. Først skal du spørge dig selv, hvad der er sandsynligheden for, at et givet element forventer, at det er, hvad du synes, det skal være i forbindelse med spillet. For eksempel, hvis du opretter et RPG, og du spekulerer på, hvad sandsynligheden for, at en spiller kan besejre et monster i kamp, \u200b\u200bskal du spørge dig selv, hvad procentdelen af \u200b\u200bsejren synes at være korrekt. Normalt bliver spillerne meget frustrerede, når de spiller konsol-RPG'er, når de taber, så det er bedre, at de ikke taber ofte ... måske 10% af tiden eller mindre? Hvis du er en RPG-designer, ved du sandsynligvis bedre end jeg, men du skal have en grundlæggende idé om, hvad sandsynligheden skal være.

Spørg dig selv, om dette er noget afhængig(som kort) eller uafhængig(som terninger). Gennemgå alle mulige resultater og deres sandsynlighed. Sørg for, at summen af \u200b\u200balle sandsynligheder er 100%. Endelig sammenlign naturligvis de resultater, du får, med dine forventninger. Uanset om du kaster terninger eller tegner kort som du havde tænkt dig, eller du ser, at du har brug for at justere værdierne. Og selvfølgelig, hvis du findhvad der skal justeres, kan du bruge de samme beregninger til at bestemme, hvor meget der er behov for at justere noget!

Lektier

Dit "hjemmearbejde" i denne uge hjælper dig med at finpudse dine sandsynlige arbejdsfærdigheder. Her er to terningsspil og et kortspil, som du vil analysere ved hjælp af sandsynlighed, samt en underlig spilmekaniker, som jeg engang udviklede, som du kan bruge til at teste Monte Carlo-metoden.

Spil nummer 1 - Dragon knogler

Dette er et terningespil, som vi engang opfandt med kolleger (takket være Jeb Havens og Jesse King!), Og som bevidst tager folks hjerner ud med sine sandsynligheder. Dette er et simpelt casinospil kaldet "Dragon Bones", og det er en terningkonkurrence mellem spilleren og huset. Du får den sædvanlige 1d6 die. Formålet med spillet er at kaste et tal højere end huset. Tom får en ikke-standard 1d6 - den samme som din, men i stedet for en på den ene side - billedet af Dragon (casinoet har således en Dragon-2-3-4-5-6 terning). Hvis huset taber dragen, vinder den automatisk, og du taber. Hvis du begge får det samme nummer, er det uafgjort, og du kaster terningerne igen. Den med det højeste antal vinder.

Selvfølgelig går tingene ikke helt til fordel for spilleren, fordi kasinoet har en fordel i form af Dragon's Edge. Men er det virkelig sådan? Du skal finde ud af det. Men inden det skal du kontrollere din intuition. Lad os sige, at gevinsten er 2 til 1. Så hvis du vinder, beholder du din indsats og bliver fordoblet. For eksempel, hvis du satser $ 1 og vinder, beholder du den dollar og får 2 mere på toppen for i alt $ 3. Hvis du taber, mister du kun din indsats. Vil du spille? Så føler du intuitivt, at sandsynligheden er større end 2 til 1, eller tror du stadig, at den er mindre? Med andre ord, forventer du i gennemsnit i 3 spil at vinde mere end en gang eller mindre eller en gang?

Når din intuition er ordnet, skal du anvende matematik. Der er kun 36 mulige positioner for begge terninger, så du kan beregne dem alle uden problemer. Hvis du er i tvivl om denne 2-til-1 sætning, så tænk over dette: Lad os sige, at du spillede spillet 36 gange (satsede $ 1 hver gang). For hver gevinst får du $ 2, for hvert tab taber du $ 1, og uafgjort ændrer intet. Beregn alle dine sandsynlige gevinster og tab, og beslut om du vil miste noget beløb eller gevinst. Spørg dig selv, hvor korrekt din intuition var. Og så - indse hvilken skurk jeg er.

Og ja, hvis du allerede har tænkt på dette spørgsmål - jeg forveksler bevidst dig ved at fordreje den virkelige mekanik i terningsspil, men jeg er sikker på, at du kan overvinde denne hindring med bare en hel del tanker. Prøv at løse dette problem selv. Jeg sender alle svarene her i næste uge.

Spil nr. 2 - Lykkekast

Det er et terningspil, der kaldes Luck Roll (også Birdcage, for nogle gange kastes terningerne ikke, men placeres i et stort wire-bur, der minder om Bingo-buret). Det er et simpelt spil, der koger ned til noget som dette: læg, sig, $ 1 på et tal mellem 1 og 6. Derefter ruller du 3d6. For hver terning, der rammer dit nummer, modtager du $ 1 (og beholder din oprindelige indsats). Hvis dit nummer ikke vises på nogen af \u200b\u200bterningerne, får casinoet din dollar, og du - intet. Således, hvis du satser på 1, og du får en 1 på kanterne tre gange, får du $ 3.

Intuitivt synes dette spil at have lige chancer. Hver dør er en individuel 1 ud af 6 chance for at vinde, så på summen af \u200b\u200balle tre er din chance for at vinde 3 til 6. Dog skal du selvfølgelig huske at du tilføjer tre separate terninger, og du har kun lov til at tilføje, hvis vi vi taler om separate vinderkombinationer af samme matrix. Du bliver nødt til at formere noget.

Når du først har fundet ud af alle de mulige resultater (det vil sandsynligvis være lettere at gøre dette i Excel end manuelt, da der er 216 af dem), ser spillet stadig underligt ud og lige ved første øjekast. Men faktisk har casinoet stadig flere chancer for at vinde - hvor meget mere? Især hvor mange penge i gennemsnit forventer du at tabe for hver runde af spillet? Alt du skal gøre er at tilføje gevinster og tab på alle 216 resultater og derefter dividere med 216, hvilket burde være ret let ... Men som du kan se, er der et par faldgruber, du kan falde i, hvorfor jeg fortæller dig: hvis du tror, \u200b\u200bat oddsene for at vinde er lige store i dette spil, har du det hele forkert.

Spil nr. 3-5 Card Card Poker

Hvis du er varmet op i tidligere spil, så lad os kontrollere, hvad vi ved om betinget sandsynlighed med dette kortspil. Lad os især forestille os poker med et kort med 52 kort. Lad os også forestille os en 5-kortspind, hvor hver spiller kun modtager 5 kort. Du kan ikke kassere et kort, du kan ikke trække et nyt, ingen fælles kort - du får kun 5 kort.

En Royal Flush er 10-J-Q-K-A i den ene hånd, der er fire i alt, så der er fire mulige måder at få en Royal Flush på. Beregn sandsynligheden for, at du får en sådan kombination.

Jeg må advare dig om en ting: Husk at du kan trække disse fem kort i en hvilken som helst rækkefølge. I første omgang kan du tegne et ess eller et ti, det betyder ikke noget. Så når du beregner dette, skal du huske på, at der faktisk er mere end fire måder at få en Royal Flush, forudsat at kortene blev uddelt i rækkefølge!

Spil nr. 4 - IMF-lotteri

Det fjerde problem vil ikke være så let at løse med de metoder, vi talte om i dag, men du kan nemt simulere situationen ved hjælp af programmering eller Excel. Det er på eksemplet med dette problem, at du kan finde ud af Monte Carlo-metoden.

Jeg nævnte tidligere spillet "Chron X", som jeg arbejdede med, og der var et meget interessant kort - IMF-lotteriet. Sådan fungerede det: du brugte det i spillet. Efter rundens afslutning blev kortene omdistribueret, og der var 10% mulighed for, at kortet ville forlade spillet, og at en tilfældig spiller ville modtage 5 enheder af hver type ressource, hvis symbol var til stede på dette kort. Kortet blev sat i spil uden et enkelt token, men hver gang det forblev i spil i starten af \u200b\u200bnæste runde, modtog det et token. Så der var 10% chance for, at du ville bringe hende i spil, runden ville ende, kortet ville forlade spillet, og ingen ville få noget. Hvis dette ikke sker (med 90% sandsynlighed), er der en 10% chance (faktisk 9%, da dette er 10% ud af 90%), at hun i næste runde forlader spillet, og nogen vil modtage 5 enheder ressourcer. Hvis kortet forlader spillet efter en runde (10% af de tilgængelige 81%, så sandsynligheden er 8,1%), vil nogen modtage 10 enheder efter en anden runde - 15, en anden 20 osv. Spørgsmål: Hvad er den generelle forventede værdi af antallet af ressourcer, som du modtager fra dette kort, når det endelig forlader spillet?

Normalt ville vi prøve at løse dette problem ved at finde muligheden for hvert resultat og multiplicere med antallet af alle resultater. Så der er en 10% chance for, at du får 0 (0,1 * 0 \u003d 0). 9% for at du modtager 5 enheder ressourcer (9% * 5 \u003d 0,45 ressourcer). 8,1% af hvad du får 10 (8,1% * 10 \u003d 0,81 samlede ressourcer, den forventede værdi). Og så videre. Og så tilføjede vi det hele.

Nu er problemet indlysende for dig: der er altid en chance for, at kortet ikke forlader spillet, så hun kan forblive i spillet for evigt og altid, for et uendeligt antal runder, så mulighederne for at beregne enhver chance eksisterer ikke. De metoder, vi lærte i dag, giver os ikke muligheden for at beregne uendelig rekursion, så vi bliver nødt til at skabe det kunstigt.

Hvis du er god nok med programmering, skal du skrive et program, der simulerer dette kort. Du skal have en tidssløjfe, der bringer variablen tilbage til sin oprindelige nulposition, viser et tilfældigt tal, og med en sandsynlighed på 10% forlader variablen sløjfen. Ellers tilføjer den 5 til variablen, og loop gentages. Når det endelig bryder ud af sløjfen, skal du øge det samlede antal prøvekørsler med 1 og det samlede antal ressourcer (hvor meget afhænger af, hvor variablen slap). Nulstil derefter variablen og start forfra. Kør programmet flere tusinde gange. I sidste ende dividerer du de samlede ressourcer med de samlede kørsler - dette er din forventede Monte Carlo-værdi. Kør programmet flere gange for at sikre dig, at tallene du får er omtrent de samme; hvis spredningen stadig er stor, skal du øge antallet af gentagelser i den ydre løkke, indtil du begynder at få kampe. Du kan være sikker på, at uanset hvilke numre du ender med, er omtrent korrekte.

Hvis du ikke er bekendt med programmering (eller endda hvis du er), er her en lille øvelse for dig at varme dine Excel-færdigheder op. Hvis du er spildesigner, er Excel-færdigheder aldrig overflødige.

IF- og RAND-funktionerne vil være nyttige i øjeblikket. RAND kræver ikke en værdi, det udsender bare et tilfældigt decimaltal mellem 0 og 1. Normalt kombinerer vi det med FLOOR og fordele og ulemper for at simulere matricens rulle, som jeg nævnte tidligere. Men i dette tilfælde efterlader vi kun 10% chance for, at kortet forlader spillet, så vi kan bare kontrollere, om RAND-værdien er mindre end 0,1 og ikke gider med det længere.

IF har tre betydninger. I rækkefølge en betingelse, der enten er sand eller ej, derefter en værdi, der returneres, hvis betingelsen er sand, og en værdi, der returneres, hvis betingelsen ikke er sand. Så følgende funktion returnerer 5% af tiden og 0 de andre 90% af tiden:
\u003d HVIS (RAND ()<0.1,5,0)

Der er mange måder at indstille denne kommando på, men jeg vil bruge en formel som denne til den celle, der repræsenterer den første runde, lad os sige, at det er celle A1:

HVIS (RAND ()<0.1,0,-1)

Her bruger jeg en negativ variabel til at betyde “dette kort har ikke forladt spillet og har ikke givet nogen ressourcer endnu”. Så hvis den første runde er slut, og kortet er ude af spil, er A1 0; ellers er det -1.

For den næste celle, der repræsenterer anden runde:

HVIS (A1\u003e -1, A1, HVIS (RAND ()<0.1,5,-1))

Så hvis den første runde er slut, og kortet forlader spillet med det samme, er A1 0 (antallet af ressourcer), og denne celle kopierer simpelthen den værdi. I det modsatte tilfælde er A1 -1 (kortet har ikke forladt spillet endnu), og denne celle fortsætter med at bevæge sig tilfældigt: 10% af tiden returnerer den 5 enheder ressourcer, resten af \u200b\u200btiden vil dens værdi stadig være -1. Hvis vi anvender denne formel på yderligere celler, får vi flere runder, og den celle der falder ud til dig i slutningen, får du det endelige resultat (eller -1 hvis kortet ikke har forladt spillet efter alle de runder, du spillede).

Tag denne række celler, som er den eneste runde med dette kort, og kopier og indsæt flere hundrede (eller tusinder) rækker. Vi kan muligvis ikke gøre det endeløstest til Excel (der er et begrænset antal celler i tabellen), men i det mindste kan vi dække de fleste tilfælde. Vælg derefter en celle, hvor du placerer gennemsnittet af resultaterne for alle runder (Excel giver venligst AVERAGE () -funktionen til dette).

På Windows kan du i det mindste trykke på F9 for at genoptage alle tilfældige tal. Som før skal du gøre dette flere gange og se, om de værdier, du får, er de samme. Hvis spredningen er for bred, skal du fordoble antallet af kørsler og prøve igen.

Uopløste opgaver

Hvis du tilfældigvis har en grad i sandsynlighed, og ovenstående problemer synes for lette for dig, her er to problemer, jeg har undret mig over i årevis, men ak, jeg er ikke så god til matematik til at løse dem. Hvis du pludselig kender en løsning, skal du sende den her i kommentarerne, jeg læser den med glæde.

Uløst problem nummer 1: lotteriIMF

Det første uløste problem er den forrige lektieopgave. Jeg kan nemt anvende Monte Carlo-metoden (ved hjælp af C ++ eller Excel), og jeg vil være sikker på svaret på spørgsmålet "hvor mange ressourcer spilleren får", men jeg ved ikke nøjagtigt, hvordan man giver et nøjagtigt beviseligt svar matematisk (dette er en endeløs serie ). Hvis du kender svaret, skal du sende det her ... selvfølgelig efter at have tjekket det med Monte Carlo-metoden.

Uløst problem nr. 2: Sekvenser af figurer

Dette problem (og igen går det langt ud over de opgaver, der er løst i denne blog) blev kastet til mig af en velkendt spiller for mere end 10 år siden. Han bemærkede en interessant funktion, når han spillede blackjack i Vegas: da han tog kort ud af sin sko til 8 dæk, så han ti stykker i træk (et stykke eller et stykke kort - 10, Joker, King eller Queen, så der er 16 af dem i et standard 52-kort kort, så der er 128 af dem i en 416-kort sko). Hvad er sandsynligheden for, at der i denne sko i det mindste en sekvens ti eller meretal? Lad os antage, at de blev blandet ærligt i tilfældig rækkefølge. (Eller hvis du kan lide det bedre, hvad er sandsynligheden for ikke fundet nogen steder en sekvens på ti eller flere former?)

Vi kan forenkle opgaven. Her er en sekvens på 416 dele. Hvert stykke er 0 eller 1. Der er 128 ener og 288 nuller tilfældigt spredt gennem sekvensen. Hvor mange måder er der tilfældigt at fordele 128 en med 288 nuller, og hvor mange gange har disse metoder mindst en gruppe på ti eller flere?

Hver gang jeg begyndte at løse dette problem, virkede det let og indlysende for mig, men så snart jeg gik i detaljer, faldt det pludselig fra hinanden og syntes for mig bare umuligt. Så skynd dig ikke med at udslette svaret: sæt dig ned, tænk nøje, studer problemets forhold, prøv at erstatte reelle tal, fordi alle de mennesker, som jeg talte om dette problem med (inklusive flere kandidatstuderende, der arbejder i dette område) reagerede omtrent det samme "Det er helt oplagt ... åh, nej, vent, det er slet ikke indlysende." Dette er netop tilfældet, som jeg ikke har en metode til at beregne alle muligheder for. Jeg kunne bestemt tvinge problemet gennem en computeralgoritme, men det ville være meget mere nysgerrig at kende den matematiske måde at løse dette problem på.

Oversættelse - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Terninger er blevet brugt af mennesker i tusinder af år.

I det 21. århundrede giver nye teknologier dig mulighed for at kaste terningerne når som helst, og hvis du har internetadgang, et passende sted. Terningerne er altid med dig hjemme eller på farten.

Terninggeneratoren giver dig mulighed for at kaste online fra 1 til 4 terninger.

Rul matricen retfærdigt online

Når du bruger rigtige terninger, kan manuel fingerfærdighed eller specielt fremstillede terninger med overvægt på den ene side bruges. For eksempel kan du dreje en terning langs en af \u200b\u200bakserne, og derefter ændres sandsynlighedsfordelingen. Et træk ved vores virtuelle terninger er brugen af \u200b\u200ben software-pseudo-tilfældig talgenerator. Dette giver dig mulighed for at give en virkelig tilfældig mulighed for dette eller det andet resultat.

Og hvis du føjer denne side til dine bogmærker, vil dine online terninger ikke gå tabt overalt og vil altid være ved hånden på det rigtige tidspunkt!

Nogle mennesker har tilpasset sig at bruge online terninger til spådom eller forudsigelse og horoskoper.

Godt humør, god dag og held og lykke!