Egenskaber ved korte aritmetiske fremskridt med en forskel på 9. Aritmetisk progression

Problemer med aritmetisk progression eksisterede allerede i oldtiden. De dukkede op og krævede en løsning, fordi de havde et praktisk behov.

Så i et af papyrierne i det gamle Egypten, der har et matematisk indhold - Rhind -papyrus (XIX århundrede f.Kr.) - indeholder følgende problem: opdel ti mål brød i ti mennesker, forudsat at forskellen mellem hver af dem er en -ottende af en foranstaltning.

Og i de gamle grækeres matematiske værker er der elegante sætninger relateret til aritmetisk progression. Så Hypsicles of Alexandria (2. århundrede, der udgjorde mange interessante problemer og tilføjede den fjortende bog til Euklids "Principper", formulerede ideen: "I en aritmetisk progression med et lige antal medlemmer, summen af ​​medlemmerne af den anden halvdelen er større end summen af ​​medlemmerne af den første halvdel pr. kvadrat 1/2 antal medlemmer ".

Sekvensen er betegnet med en. Sekvensens numre kaldes dets medlemmer og betegnes normalt med bogstaver med indekser, der angiver ordinært nummer for dette medlem (a1, a2, a3 ... læs: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" og så videre).

Sekvensen kan være uendelig eller begrænset.

Hvad er en aritmetisk progression? Det forstås som det, der opnås ved at tilføje det foregående udtryk (n) med det samme tal d, hvilket er forskellen i progressionen.

Hvis d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, så betragtes en sådan progression som stigende.

En aritmetisk progression kaldes endelig, hvis kun nogle få af dens første medlemmer tages i betragtning. Med et meget stort antal medlemmer er dette allerede en endeløs udvikling.

Enhver aritmetisk progression specificeres ved følgende formel:

an = kn + b, mens b og k er nogle tal.

Den modsatte erklæring er absolut sand: Hvis en sekvens er givet med en lignende formel, er det præcis en aritmetisk progression, der har følgende egenskaber:

1. Hvert medlem af progressionen er det aritmetiske middel af det forrige medlem og det næste.
2. Det modsatte: hvis hvert begreb fra det andet er det aritmetiske middel af det forrige og det næste udtryk, dvs. hvis betingelsen er opfyldt, er denne sekvens en aritmetisk progression. Denne lighed er også et tegn på progression, derfor kaldes den normalt progressionens karakteristiske egenskab.
   På samme måde er sætningen, der afspejler denne egenskab, sand: en sekvens er kun en aritmetisk progression, hvis denne lighed er sand for nogen af ​​sekvensens medlemmer, der starter fra den anden.

Den karakteristiske egenskab for alle fire tal i en aritmetisk progression kan udtrykkes ved formlen an + am = ak + al, hvis n + m = k + l (m, n, k er progressionens tal).

I en aritmetisk progression kan ethvert påkrævet (Nth) udtryk findes ved hjælp af følgende formel:

For eksempel: det første udtryk (a1) i den aritmetiske progression er givet og lig med tre, og forskellen (d) er lig med fire. Du er nødt til at finde den femogfyrre femte periode af denne progression. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formlen an = ak + d (n - k) giver dig mulighed for at bestemme nth -udtrykket i den aritmetiske progression gennem et hvilket som helst af dets kth -udtryk, forudsat at det er kendt.

Summen af ​​medlemmerne af den aritmetiske progression (hvilket betyder de første n medlemmer af den endelige progression) beregnes som følger:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Hvis det første udtryk også er kendt, er en anden formel praktisk til beregningen:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Summen af ​​en aritmetisk progression, som indeholder n medlemmer, beregnes som følger:

Valget af formler til beregninger afhænger af problemernes betingelser og de indledende data.

Den naturlige serie af alle tal som 1,2,3, ..., n, ... er det enkleste eksempel på en aritmetisk progression.

Udover den aritmetiske progression er der også en geometrisk, som har sine egne egenskaber og egenskaber.

Hvis hvert naturligt tal n matche et reelt tal en n , så siger de, at det er givet numerisk rækkefølge :

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . , en n , . . . .

Så en numerisk sekvens er en funktion af et naturligt argument.

Nummer -en 1 hedder det første medlem af sekvensen , nummer -en 2 — anden periode , nummer -en 3 — tredje etc. Nummer en n hedder det niende udtryk i sekvensen og det naturlige tal n — hans nummer .

Af to nabomedlemmer en n og en n +1 sekvensmedlem en n +1 hedder efterfølgende (hen imod en n ), a en n — Tidligere (hen imod en n +1 ).

For at angive en sekvens skal du angive en metode, der giver dig mulighed for at finde et medlem af sekvensen med et hvilket som helst nummer.

Ofte er sekvensen givet med nth term formler , det vil sige en formel, der giver dig mulighed for at bestemme et medlem af en sekvens efter dets nummer.

For eksempel,

en sekvens af positive ulige tal kan specificeres ved formlen

en n= 2n - 1,

og sekvensen af ​​skiftevis 1 og -1 - efter formlen

b n = (-1)n +1 . ◄

Sekvensen kan bestemmes rekursiv formel, det vil sige en formel, der udtrykker ethvert medlem af sekvensen, der starter med nogle, gennem de tidligere (et eller flere) medlemmer.

For eksempel,

hvis -en 1 = 1 , a en n +1 = en n + 5

-en 1 = 1,

-en 2 = -en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

-en 3 = -en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

-en 4 = -en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

-en 5 = -en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Hvis a 1= 1, a 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , derefter indstilles de første syv medlemmer af den numeriske sekvens som følger:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = a 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

-en 6 = -en 4 + -en 5 = 3 + 5 = 8,

-en 7 = -en 5 + -en 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan være endelig og endeløs .

Sekvensen kaldes det ultimative hvis det har et begrænset antal medlemmer. Sekvensen kaldes endeløs hvis den har uendeligt mange medlemmer.

For eksempel,

række af tocifrede naturlige tal:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

endelig.

En række af primtal:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endeløs. ◄

Sekvensen kaldes stigende hvis hvert af dets medlemmer, der starter fra det andet, er større end det forrige.

Sekvensen kaldes faldende hvis hvert af dets medlemmer, der starter fra det andet, er mindre end det forrige.

For eksempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - stigende sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - en faldende sekvens. ◄

En sekvens, hvis elementer ikke falder med stigende antal, eller omvendt ikke stiger, kaldes ensformig sekvens .

Monotoniske sekvenser er især stigende sekvenser og faldende sekvenser.

Aritmetisk progression

Aritmetisk progression der kaldes en sekvens, hvor hvert medlem, der starter med det andet, er lig med det foregående, hvortil det samme tal tilføjes.

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . , en n, . . .

er en aritmetisk progression, hvis for et naturligt tal n betingelsen er opfyldt:

en n +1 = en n + d,

hvor d - et eller andet nummer.

Således er forskellen mellem de næste og de tidligere medlemmer af en given aritmetisk progression altid konstant:

a 2 - -en 1 = a 3 - -en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.

Nummer d hedder forskel i aritmetisk progression.

For at sætte en aritmetisk progression er det nok at angive dets første udtryk og forskellen.

For eksempel,

hvis -en 1 = 3, d = 4 , så findes de første fem medlemmer af sekvensen som følger:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

-en 5 = -en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

For aritmetisk progression med det første udtryk -en 1 og forskellen d hende n

en n = a 1 + (n- 1)d.

For eksempel,

finde det tredivte udtryk for den aritmetiske progression

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

en 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = a 1 + (n- 2)d,

en n= a 1 + (n- 1)d,

en n +1 = -en 1 + nd,

så åbenbart

hvert medlem af den aritmetiske progression, der starter fra det andet, er lig med det aritmetiske middel af de foregående og efterfølgende medlemmer.

tal a, b og c er på hinanden følgende medlemmer af en vis aritmetisk progression, hvis og kun hvis en af ​​dem er lig med det to aritmetiske middelværdi.

For eksempel,

en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progression.

Lad os bruge ovenstående udsagn. Vi har:

en n = 2n- 7,

en n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

en n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

Derfor,

◄

Noter det n -terminen i den aritmetiske progression kan findes ikke kun igennem -en 1 , men også alle tidligere en k

en n = en k + (n- k)d.

For eksempel,

til -en 5 kan skrives

en 5 = a 1 + 4d,

en 5 = a 2 + 3d,

en 5 = a 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ◄

en n = en n-k + kd,

en n = en n + k - kd,

så åbenbart

ethvert medlem af en aritmetisk progression, der starter fra den anden, er lig med halvsummen af ​​medlemmerne af denne aritmetiske progression ligeligt fordelt fra den.

Desuden er ligestillingen sand for enhver aritmetisk progression:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

For eksempel,

i aritmetisk progression

1) -en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (-en 9 + -en 11 )/2;

2) 28 = en 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ en n,

den første n medlemmer af den aritmetiske progression er lig med produktet af halvsummen af ​​ekstreme termer med antallet af udtryk:

Derfor følger det især, at hvis det er nødvendigt at opsummere vilkårene

en k, en k +1 , . . . , en n,

så bevarer den tidligere formel sin struktur:

For eksempel,

i aritmetisk progression 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Hvis der gives en aritmetisk progression, så er værdierne -en 1 , en n, d, n ogS n forbundet med to formler:

Derfor, hvis værdierne for tre af disse størrelser er givet, bestemmes de tilsvarende værdier for de to andre størrelser ud fra disse formler, kombineret til et system med to ligninger med to ukendte.

En aritmetisk progression er en monoton sekvens. Hvori:

• hvis d > 0 , så er det stigende;
• hvis d < 0 , så er det faldende;
• hvis d = 0 , så vil sekvensen være stationær.

Geometrisk progression

Geometrisk progression der kaldes en sekvens, hvor hvert medlem fra det andet er lig med det foregående ganget med det samme tal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

er en geometrisk progression, hvis der er tale om et naturligt tal n betingelsen er opfyldt:

b n +1 = b n · q,

hvor q ≠ 0 - et eller andet nummer.

Således er forholdet mellem det næste medlem af en given geometrisk progression til det foregående et konstant tal:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nummer q hedder nævner for geometrisk progression.

For at indstille en geometrisk progression er det nok at angive dets første udtryk og nævner.

For eksempel,

hvis b 1 = 1, q = -3 , så findes de første fem medlemmer af sekvensen som følger:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 og nævneren q hende n T -udtrykket kan findes ved formlen:

b n = b 1 · q n -1 .

For eksempel,

finde det syvende udtryk i den geometriske progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

så åbenbart

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

hvert medlem af en geometrisk progression, der starter fra det andet, er lig med det geometriske middel (proportional) for de foregående og efterfølgende medlemmer.

Da den omvendte sætning også er sand, gælder følgende sætning:

tal a, b og c er på hinanden følgende medlemmer af en eller anden geometrisk progression, hvis og kun hvis kvadratet af en af ​​dem er lig med produktet af de to andre, det vil sige, at et af tallene er det geometriske middelværdi for de to andre.

For eksempel,

lad os bevise, at sekvensen givet ved formlen b n= -3 2 n , er en eksponentiel progression. Lad os bruge ovenstående udsagn. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Derfor,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

hvilket beviser den påkrævede erklæring. ◄

Noter det n -terminen af ​​den geometriske progression kan findes ikke kun igennem b 1 men også ethvert tidligere udtryk b k , som det er nok at bruge formlen til

b n = b k · q n - k.

For eksempel,

til b 5 kan skrives

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

så åbenbart

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadratet af ethvert medlem af en geometrisk progression, der starter fra det andet, er lig med produktet af medlemmer af denne progression, der er lige langt fra den.

Desuden er ligestillingen sand for enhver geometrisk progression:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

For eksempel,

eksponentielt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

den første n medlemmer af en geometrisk progression med nævneren q ≠ 0 beregnet med formlen:

Og når q = 1 - ifølge formlen

S n= nb 1

Bemærk, at hvis du skal opsummere vilkårene

b k, b k +1 , . . . , b n,

derefter bruges formlen:

For eksempel,

eksponentielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Hvis der gives en geometrisk progression, så er værdierne b 1 , b n, q, n og S n forbundet med to formler:

Derfor, hvis værdierne for tre af disse størrelser er givet, bestemmes de tilsvarende værdier for de to andre størrelser ud fra disse formler, kombineret til et system med to ligninger med to ukendte.

For en geometrisk progression med det første udtryk b 1 og nævneren q det følgende monotoniske egenskaber :

• progressionen stiger, hvis en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

b 1 > 0 og q> 1;

b 1 < 0 og 0 < q< 1;

• udviklingen falder, hvis en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

b 1 > 0 og 0 < q< 1;

b 1 < 0 og q> 1.

Hvis q< 0 , så er den geometriske progression skiftevis: dens ulige nummererede medlemmer har det samme tegn som dets første udtryk, og de lige tal har det modsatte tegn. Det er klart, at en skiftende geometrisk progression ikke er monoton.

Arbejdet med den første n medlemmer af en geometrisk progression kan beregnes med formlen:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

For eksempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Uendeligt faldende geometrisk progression

Uendeligt faldende geometrisk progression kaldes en uendelig geometrisk progression, hvis nævners modul er mindre 1 , det er

|q| < 1 .

Bemærk, at en uendeligt faldende geometrisk progression muligvis ikke er en faldende sekvens. Dette passer til sagen

1 < q< 0 .

Med en sådan nævner skifter sekvensen. For eksempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression er det tal, som summen af ​​den første n medlemmer af progressionen med en ubegrænset stigning i antallet n ... Dette tal er altid begrænset og udtrykkes ved formlen

For eksempel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Forholdet mellem aritmetiske og geometriske fremskridt

Aritmetiske og geometriske fremskridt er nært beslægtede. Lad os se på kun to eksempler.

-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . d , derefter

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

For eksempel,

1, 3, 5, . . . - aritmetisk progression med forskel 2 og

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrisk progression med nævner 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrisk progression med nævner q , derefter

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetisk progression med forskel log aq .

For eksempel,

2, 12, 72, . . . - geometrisk progression med nævner 6 og

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetisk progression med forskel lg 6 . ◄

Lektionstype: lære nyt materiale.

Lektionens mål:

• udvidelse og uddybning af elevernes ideer om de problemer, der er løst ved hjælp af aritmetisk progression; organisering af elevernes søgeaktivitet ved udledning af en formel for summen af ​​de første n medlemmer af en aritmetisk progression;
• udvikling af færdigheder til uafhængigt at tilegne sig ny viden, til at bruge allerede erhvervet viden til at nå den fastsatte opgave;
• udviklingen af ​​ønsket og behovet for at generalisere de opnåede fakta, udviklingen af ​​uafhængighed.

Opgaver:

• at generalisere og systematisere den eksisterende viden om emnet "Aritmetisk progression";
• udlede formler til beregning af summen af ​​de første n udtryk for en aritmetisk progression;
• at lære at anvende de opnåede formler til løsning af forskellige problemer;
• at henlede elevernes opmærksomhed på rækkefølgen af ​​handlinger, når man finder værdien af ​​et numerisk udtryk.

Udstyr:

• kort med opgaver til arbejde i grupper og par;
• evalueringspapir;
• præsentation"Aritmetisk progression".

I. Opdatering af grundlæggende viden.

1. Selvstændigt arbejde i par.

1. mulighed:

Giv en definition af en aritmetisk progression. Skriv ned den tilbagevendende formel, der definerer den aritmetiske progression. Hej eksempel på aritmetisk progression og angiv dens forskel.

2. mulighed:

Skriv formlen ned for det niende udtryk i den aritmetiske progression. Find det 100. udtryk for den aritmetiske progression ( en n}: 2, 5, 8 …
På dette tidspunkt forbereder to elever på bagsiden af ​​tavlen svar på de samme spørgsmål.
Eleverne vurderer partnerens arbejde mod bestyrelsen. (Arkene med svarene afleveres).

2. Spiløjeblik.

Øvelse 1.

Lærer. Jeg har opfattet en vis aritmetisk progression. Stil mig bare to spørgsmål, så du efter svarene hurtigt kan navngive det 7. udtryk i denne progression. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Elevspørgsmål.

1. Hvad er det sjette udtryk i progressionen, og hvad er forskellen?
2. Hvad er det ottende udtryk i progressionen, og hvad er forskellen?

Hvis der ikke er flere spørgsmål, så kan læreren stimulere dem - “forbyde” d (forskel), det vil sige, det er ikke tilladt at spørge, hvad forskellen er. Du kan stille spørgsmål: hvad er progressionens 6. term, og hvad er progressions 8. term?

Opgave 2.

Der er skrevet 20 numre på tavlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Læreren står med ryggen til tavlen. Eleverne ringer til nummeret på nummeret, og læreren ringer øjeblikkeligt til selve nummeret. Forklar hvordan jeg gør det?

Læreren husker formlen for det niende semester a n = 3n - 2 og ved at erstatte de givne værdier af n finder de tilsvarende værdier en n.

II. Erklæring om uddannelsesproblemet.

Jeg foreslår at løse et gammelt problem, der går tilbage til det 2. årtusinde f.Kr., fundet på egyptisk papyri.

Opgave:“Lad det blive sagt til dig: del 10 mål byg mellem 10 mennesker, forskellen mellem hver person og hans nabo er lig med 1/8 af målingen.”

• Hvordan er denne opgave relateret til emnet aritmetisk progression? (Hver næste får 1/8 af et mål mere, hvilket betyder forskellen d = 1/8, 10 personer, hvilket betyder n = 10.)
• Hvad tror du tallet 10 betyder? (Summen af ​​alle medlemmer af progressionen.)
• Hvad mere har du brug for at vide for at gøre det let og enkelt at opdele byggen efter opgavens tilstand? (Det første udtryk i progressionen.)

Lektionens formål- at opnå afhængigheden af ​​summen af ​​medlemmerne af progressionen af ​​deres antal, det første udtryk og forskellen og kontrollere, om problemet var løst korrekt i oldtiden.

Inden vi drager konklusionen af ​​formlen, lad os se, hvordan de gamle egyptere løste problemet.

Og de løste det som følger:

1) 10 målinger: 10 = 1 mål - gennemsnitlig andel;
2) 1 mål ∙ = 2 mål - fordoblet gennemsnit del.
Fordoblet gennemsnit andelen er summen af ​​aktierne i 5. og 6. person.
3) 2 mål - 1/8 mål = 1 7/8 mål - dobbelt så stor andel som den femte person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - andelen af ​​den femte; og så videre kan du finde andelen af ​​hver tidligere og efterfølgende person.

Vi får sekvensen:

III. Løsningen på problemet.

1. Arbejde i grupper

Gruppe I: Find summen af ​​20 på hinanden følgende naturlige tal: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Generelt

II gruppe: Find summen af ​​naturlige tal fra 1 til 100 (The Legend of the Little Gauss).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Produktion:

III gruppe: Find summen af ​​naturlige tal fra 1 til 21.

Løsning: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Produktion:

IV gruppe: Find summen af ​​naturlige tal fra 1 til 101.

Produktion:

Denne metode til løsning af de betragtede problemer kaldes "Gauss -metoden".

2. Hver gruppe præsenterer en løsning på problemet på tavlen.

3. Generalisering af de foreslåede løsninger til en vilkårlig aritmetisk progression:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Lad os finde denne sum ved at ræsonnere på en lignende måde:

4. Har vi løst opgaven?(Ja.)

IV. Primær forståelse og anvendelse af de opnåede formler ved løsning af problemer.

1. Kontrol af løsningen på et gammelt problem ved hjælp af en formel.

2. Anvendelse af formlen til løsning af forskellige problemer.

3. Øvelser for at danne evnen til at anvende formlen når du løser problemer.

A) nr. 613

Givet: ( a n) - aritmetisk progression;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Find: S 1500

Løsning: , a 1 = 1, a 1500 = 1500,

B) Givet: ( a n) - aritmetisk progression;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Find: n
Løsning:

V. Uafhængigt arbejde med gensidig verifikation.

Denis gik på arbejde som kurer. I den første måned var hans løn 200 rubler, i hver efterfølgende måned steg den med 30 rubler. Hvor meget tjente han på et år?

Givet: ( a n) - aritmetisk progression;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Find: S 12
Løsning:

Svar: Denis modtog 4380 rubler på et år.

Vi. Lektier briefing.

1. s. 4.3 - lær afledningen af ​​formlen.
2. №№ 585, 623 .
3. Opret et problem, der ville blive løst ved hjælp af formlen for summen af ​​de første n -termer i en aritmetisk progression.

Vii. Opsummerer lektionen.

1. Evalueringsark

2. Fortsæt sætningerne

• I dag i lektionen lærte jeg ...
• Lærte formler ...
• Jeg tror at …

3. Kan du finde summen af ​​tal fra 1 til 500? Hvilken metode vil du bruge til at løse dette problem?

Bibliografi.

1. Algebra, 9. klasse. Lærebog for uddannelsesinstitutioner. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Uddannelse", 2009.

I. V. Yakovlev | Matematikmaterialer | MathUs.ru

Aritmetisk progression

En aritmetisk progression er en særlig slags sekvens. Derfor, før vi definerer en aritmetisk (og derefter geometrisk) progression, er vi nødt til kort at diskutere det vigtige koncept for en nummersekvens.

Efterfølgende

Forestil dig en enhed på skærmen, hvoraf nogle tal vises efter hinanden. Lad os sige 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: Dette sæt tal er blot et eksempel på en sekvens.

Definition. En numerisk sekvens er et sæt tal, hvor hvert nummer kan tildeles et unikt nummer (det vil sige at knytte et enkelt naturligt tal) 1. Tallet n kaldes det niende medlem af sekvensen.

Så i ovenstående eksempel har det første tal tallet 2, dette er det første medlem af sekvensen, som kan betegnes a1; nummer fem har nummer 6 dette er det femte udtryk i sekvensen, som kan betegnes som a5. Generelt betegnes det nende udtryk i sekvensen som en (eller bn, cn osv.).

Situationen er meget bekvem, når sekvensens n-th-term kan specificeres med en formel. For eksempel definerer formlen an = 2n 3 sekvensen: 1; 1; 3; 5; 7; ::: Formlen an = (1) n definerer sekvensen: 1; 1; 1; 1; :::

Ikke hvert sæt tal er en sekvens. Så et segment er ikke en sekvens; den indeholder "for mange" tal til at blive nummereret. Sættet R for alle reelle tal er heller ikke en sekvens. Disse fakta er bevist i løbet af matematisk analyse.

Aritmetisk progression: grundlæggende definitioner

Nu er vi klar til at definere en aritmetisk progression.

Definition. En aritmetisk progression er en sekvens, hvor hvert udtryk (startende fra det andet) er lig med summen af ​​det foregående udtryk og et fast antal (kaldet forskellen i den aritmetiske progression).

For eksempel sekvens 2; 5; otte; elleve; ::: er en aritmetisk progression med det første udtryk 2 og forskellen 3. Sekvens 7; 2; 3; otte; ::: er en aritmetisk progression med det første udtryk 7 ​​og forskellen 5. Sekvens 3; 3; 3; ::: er en aritmetisk progression med nul forskel.

Ækvivalent definition: en sekvens an kaldes en aritmetisk progression, hvis forskellen an + 1 an er en konstant værdi (uafhængig af n).

En aritmetisk progression kaldes stigende, hvis dens forskel er positiv, og faldende, hvis dens forskel er negativ.

1 Og her er en mere lakonisk definition: en sekvens er en funktion, der er defineret på mængden af ​​naturlige tal. For eksempel er en sekvens af reelle tal en funktion f: N! R.

Som standard betragtes sekvenser som uendelige, det vil sige at indeholde et uendeligt antal tal. Men ingen gider også overveje endelige sekvenser; faktisk kan ethvert begrænset antal tal kaldes en endelig sekvens. For eksempel er den sidste sekvens 1; 2; 3; 4; 5 består af fem tal.

Formel for det niende udtryk for en aritmetisk progression

Det er let at forstå, at den aritmetiske progression fuldstændigt bestemmes af to tal: det første udtryk og forskellen. Derfor opstår spørgsmålet: hvordan man ved at kende det første udtryk og forskellen finder et vilkårligt medlem af den aritmetiske progression?

Det er ikke svært at opnå den nødvendige formel for det niende udtryk for en aritmetisk progression. Lad en

Opgave 1. I aritmetisk progression 2; 5; otte; elleve; ::: find formlen for det nende udtryk og beregn det hundrede term.

Løsning. Ifølge formel (1) har vi:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3100 1 = 299:

Ejendom og tegn på aritmetisk progression

Aritmetisk progression ejendom. I aritmetisk progression en for evt

Med andre ord er hvert medlem af den aritmetiske progression (startende fra den anden) det aritmetiske middel for nabomedlemmerne.

som krævet.

Mere generelt tilfredsstiller den aritmetiske progression a ligestillingen

a n = a n k + a n + k

for enhver n> 2 og enhver naturlig k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Det viser sig, at formel (2) ikke kun er en nødvendig, men også en tilstrækkelig betingelse for, at en sekvens kan være en aritmetisk progression.

Et tegn på en aritmetisk progression. Hvis lighed (2) gælder for alle n> 2, er sekvensen an en aritmetisk progression.

Bevis. Lad os omskrive formel (2) som følger:

a na n 1 = a n + 1a n:

Dette viser, at forskellen an + 1 an ikke afhænger af n, og det betyder bare, at sekvensen an er en aritmetisk progression.

Egenskaben og træk ved en aritmetisk progression kan formuleres som en enkelt sætning; For nemheds skyld gør vi dette for tre tal (dette er den situation, der ofte opstår i problemer).

Karakterisering af den aritmetiske progression. Tre tal a, b, c danner en aritmetisk progression, hvis og kun hvis 2b = a + c.

Opgave 2. (Moscow State University, Economics Faculty, 2007) Tre tal 8x, 3 x2 og 4 i den angivne rækkefølge danner en faldende aritmetisk progression. Find x og angiv forskellen på denne progression.

Løsning. På grund af den aritmetiske progression har vi:

2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Hvis x = 1, så får vi en faldende progression 8, 2, 4 med en forskel 6. Hvis x = 5, så får vi en stigende progression 40, 22, 4; denne sag er ikke god.

Svar: x = 1, forskellen er 6.

Summen af ​​de første n udtryk for en aritmetisk progression

Legenden fortæller, at en gang en lærer fortalte børnene at finde summen af ​​tal fra 1 til 100 og satte sig ned for at læse en avis roligt. Men mindre end et par minutter senere sagde en dreng, at han havde løst problemet. Det var 9-årige Karl Friedrich Gauss, senere en af ​​historiens største matematikere.

Lille Gauss idé var denne. Lad ske

S = 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Lad os skrive dette beløb i omvendt rækkefølge:

S = 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

og tilføj disse to formler:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Hvert udtryk i parentes er lig med 101, og der er i alt 100 sådanne udtryk. Derfor er

2S = 101100 = 10100;

Vi bruger denne idé til at udlede sumformlen

S = a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)

En nyttig ændring af formel (3) opnås ved at erstatte formlen med det nde udtryk an = a1 + (n 1) d i det:

Opgave 3. Find summen af ​​alle positive trecifrede tal, der kan deles med 13.

Løsning. Trecifrede tal, multipler af 13, danner en aritmetisk progression med det første udtryk 104 og forskellen 13; Det niende udtryk for denne progression er:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Lad os finde ud af, hvor mange medlemmer vores progression indeholder. For at gøre dette løser vi uligheden:

en 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Så der er 69 medlemmer i vores progression. Ved hjælp af formel (4) finder vi den nødvendige sum:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i særlig afdeling 555.
For dem, der er meget "ikke særlig ..."
Og for dem, der "meget ...")

En aritmetisk progression er en række tal, hvor hvert tal er større (eller mindre) end det foregående med samme mængde.

Dette emne er ofte svært og uforståeligt. Indekser for bogstaver, progressionens n -th term, forskellen i progressionen - alt dette er på en eller anden måde pinligt, ja ... Lad os finde ud af betydningen af ​​den aritmetiske progression, og alt vil fungere med det samme.)

Aritmetisk progressionskoncept.

Aritmetisk progression er et meget enkelt og klart koncept. Tvivl? Forgæves.) Se selv.

Jeg skriver en ufærdig række af tal:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kan du forlænge denne række? Hvilke tal vil gå efter, efter de fem? Alle ... øh-øh ..., kort sagt, alle vil indse, at tallene 6, 7, 8, 9 osv. Vil gå videre.

Lad os komplicere opgaven. Jeg giver en ufærdig række af tal:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Du vil være i stand til at fange mønsteret, udvide serien og navnet syvende række nummer?

Hvis du fandt ud af, at dette tal er 20 - lykønsker jeg dig! Ikke kun følte du nøglepunkter i den aritmetiske progression, men også med succes brugt dem i erhvervslivet! Hvis du ikke har fundet ud af det, så læs med.

Lad os nu oversætte de vigtigste punkter fra sensation til matematik.)

Første centrale punkt.

Aritmetisk progression omhandler rækker af tal. Dette er forvirrende i starten. Vi er vant til at løse ligninger, plotte grafer og alt det der ... Og derefter udvide serien, finde seriens nummer ...

Det er ok. Bare progressioner er det første bekendtskab med en ny gren af ​​matematik. Afsnittet hedder "Rækker" og arbejder med rækker af tal og udtryk. Bliv vant til det.)

Andet nøglepunkt.

I en aritmetisk progression er ethvert tal forskelligt fra det foregående med samme beløb.

I det første eksempel er denne forskel én. Uanset hvilket nummer du tager, er det et mere end det forrige. I den anden - tre. Ethvert tal større end det foregående med tre. Faktisk er det dette øjeblik, der giver os mulighed for at fange mønsteret og beregne de efterfølgende tal.

Det tredje centrale punkt.

Dette øjeblik er ikke slående, ja ... Men det er meget, meget vigtigt. Her er det: hvert tal i progressionen står på sin plads. Der er det første tal, der er det syvende, der er det femogfyrre osv. Hvis de bliver forvirret tilfældigt, forsvinder mønsteret. Den aritmetiske progression vil også forsvinde. Der vil bare være en række tal.

Det er hele pointen.

Selvfølgelig vises nye termer og betegnelser i det nye emne. Du skal kende dem. Ellers forstår du ikke opgaven. For eksempel skal du beslutte noget som:

Skriv de første seks termer i den aritmetiske progression (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirerer det?) Breve, nogle indekser ... Og opgaven i øvrigt - kunne ikke være lettere. Du skal bare forstå betydningen af ​​udtryk og betegnelser. Nu vil vi mestre denne forretning og vende tilbage til opgaven.

Betingelser og betegnelser.

Aritmetisk progression er en række tal, hvor hvert tal er forskelligt fra det foregående med samme beløb.

Denne mængde kaldes ... Lad os behandle dette koncept mere detaljeret.

Forskel i aritmetisk progression.

Forskel i aritmetisk progression er den mængde, hvormed et hvilket som helst antal fremskridt mere den forrige.

Et vigtigt punkt. Vær opmærksom på ordet "mere". Matematisk betyder det, at hvert tal i progressionen opnås tilføjelse forskellen i den aritmetiske progression til det tidligere tal.

For beregning, lad os sige sekund serienummer, er det nødvendigt at den første nummeret tilføje netop denne forskel i den aritmetiske progression. Til beregning femte- forskellen er nødvendig tilføje Til fjerde, godt osv.

Forskel i aritmetisk progression måske positiv, så vil hvert nummer i rækken virkelig vise sig mere end den forrige. Denne progression kaldes stigende. For eksempel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Her opnås hvert tal tilføjelse positivt tal, +5 til det forrige.

Forskellen kan være negativ, derefter vil hvert tal i serien være mindre end den forrige. En sådan progression kaldes (du vil ikke tro det!) faldende.

For eksempel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Her opnås også hvert tal tilføjelse til det forrige, men allerede negative tal, -5.

Forresten, når man arbejder med en progression, er det meget nyttigt med det samme at bestemme dens natur - om den stiger eller falder. Det hjælper meget med at navigere i løsningen, at opdage dine fejl og rette dem, før det er for sent.

Forskel i aritmetisk progression betegnes som regel med brevet d.

Sådan finder du d? Meget simpelt. Det er nødvendigt at trække fra et vilkårligt antal i serien Tidligere nummer. Trække fra. Resultatet af subtraktionen kaldes i øvrigt "forskellen".)

Lad os definere f.eks. d for at øge aritmetisk progression:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vi tager et vilkårligt tal i rækken, som vi ønsker, for eksempel 11. Træk fra den tidligere nummer, de der. otte:

Dette er det korrekte svar. For denne aritmetiske progression er forskellen tre.

Du kan tage præcist ethvert antal fremskridt, siden for en bestemt progression d -altid den samme. I hvert fald et sted i begyndelsen af ​​rækken, mindst i midten, i hvert fald hvor som helst. Du kan ikke kun tage det allerførste tal. Bare fordi ved det allerførste nummer der er ingen tidligere.)

Forresten, ved det d = 3, det er meget let at finde det syvende nummer i denne progression. Tilføj 3 til det femte tal - vi får det sjette, det vil være 17. Tilføj tre til det sjette tal, vi får det syvende tal - tyve.

Vi definerer d for en faldende aritmetisk progression:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Jeg minder dig om, at uanset tegnene skal afgøre d det er nødvendigt fra et hvilket som helst nummer fjern den forrige. Vi vælger et vilkårligt antal af progressionen, for eksempel -7. Den forrige er -2. Derefter:

d = -7 -(-2) = -7 + 2 = -5

Forskellen i den aritmetiske progression kan være et vilkårligt tal: hel, brøk, irrationel, uanset hvad.

Andre vilkår og betegnelser.

Hvert nummer i serien kaldes medlem af en aritmetisk progression.

Hvert medlem af progressionen har sit eget nummer. Tallene er strengt i orden, uden tricks. Først, andet, tredje, fjerde osv. For eksempel i progressionen 2, 5, 8, 11, 14, ... to er det første udtryk, fem er det andet, elleve er det fjerde, godt, du forstår ...) Forstå klart - selve tallene kan være absolut enhver, hel, brøkdel, negativ, hvad som helst, men nummerering af tal- helt i orden!

Hvordan registreres en generel progression? Intet problem! Hvert nummer i rækken skrives som et bogstav. Bogstavet bruges som regel til at angive en aritmetisk progression -en... Medlemsnummeret angives med et indeks nederst til højre. Vi skriver medlemmer adskilt af kommaer (eller semikolon), således:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1 er det første tal, a 3- tredje osv. Intet tricky. Du kan kort skrive denne serie sådan: (en n).

Fremskridt er endeligt og uendeligt.

Det ultimative progressionen har et begrænset antal medlemmer. Fem, otte og tredive, uanset hvad. Men - et begrænset tal.

Endeløs progression - har et uendeligt antal medlemmer, som du måske gætter.)

Du kan skrive den endelige progression gennem en serie som denne, alle medlemmerne og en prik i slutningen:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Eller hvis der er mange medlemmer:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

I en kort post skal du desuden angive antallet af medlemmer. For eksempel (for tyve medlemmer), som denne:

(a n), n = 20

En endeløs progression kan genkendes af ellipsen i slutningen af ​​rækken, som i eksemplerne i denne lektion.

Nu kan du løse opgaver. Opgaverne er enkle, rent for at forstå betydningen af ​​den aritmetiske progression.

Eksempler på opgaver om aritmetisk progression.

Lad os analysere opgaven i detaljer, som er givet ovenfor:

1. Skriv de første seks termer i den aritmetiske progression (a n) ned, hvis a 2 = 5, d = -2,5.

Vi oversætter opgaven til et forståeligt sprog. Der gives en uendelig aritmetisk progression. Det andet nummer af denne progression er kendt: a 2 = 5. Forskellen i progression er kendt: d = -2,5. Det er nødvendigt at finde det første, tredje, fjerde, femte og sjette medlem af denne progression.

For klarhedens skyld vil jeg skrive en serie ned i henhold til problemets tilstand. De første seks udtryk, hvor det andet udtryk er en fem:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

Erstat til udtryk a 2 = 5 og d = -2,5... Glem ikke minuset!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Det tredje udtryk er mindre end det andet. Alt er logisk. Hvis tallet er større end det foregående med negativ værdi, så viser selve tallet sig at være mindre end det foregående. Progressionen er faldende. Okay, lad os tage det i betragtning.) Vi betragter det fjerde medlem af vores serie:

en 4 = a 3 + d

en 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

en 5 = en 4 + d

en 5=0+(-2,5)= - 2,5

en 6 = en 5 + d

en 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Så beregningerne fra tredje til sjette beregnes. Resultatet er sådan en serie:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Det er tilbage at finde det første udtryk a 1 ifølge den velkendte anden. Dette er et skridt i den anden retning, til venstre.) Derfor forskellen i den aritmetiske progression d behøver ikke tilføje til a 2, a tag væk:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Det er alt, hvad der er til det. Opgave svar:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Undervejs vil jeg bemærke, at vi løste denne opgave tilbagevendende vej. Dette skræmmende ord betyder kun at søge efter et medlem af progressionen. med det forrige (tilstødende) nummer. Vi vil overveje andre måder at arbejde med progression senere.

En vigtig konklusion kan drages af denne simple opgave.

Husk:

Hvis vi kender mindst ét ​​udtryk og forskellen på en aritmetisk progression, kan vi finde ethvert medlem af denne progression.

Husk? Denne enkle konklusion giver dig mulighed for at løse de fleste af skoleforløbets opgaver om dette emne. Alle opgaver kredser om tre hovedparametre: medlem af aritmetisk progression, forskel i progression, antal af medlem af progression. Alt.

Selvfølgelig er al den tidligere algebra ikke annulleret.) Uligheder, ligninger og andre ting er knyttet til progressionen. Men af selve progressionen- alt drejer sig om tre parametre.

Lad os se på nogle af de populære opgaver om dette emne som et eksempel.

2. Skriv den sidste aritmetiske progression ned som en serie, hvis n = 5, d = 0,4 og a 1 = 3,6.

Alt er enkelt her. Alt er allerede givet. Du skal huske, hvordan medlemmerne af en aritmetisk progression tælles, tælles og nedskrives. Det tilrådes ikke at gå glip af ordene i opgavens tilstand: "endelig" og " n = 5". Ikke at tælle, før den er helt blå i ansigtet.) Der er kun 5 (fem) medlemmer i denne progression:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

en 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

en 5 = en 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Det er tilbage at skrive svaret ned:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

En anden opgave:

3. Bestem om tallet 7 er et medlem af den aritmetiske progression (a n), hvis a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm ... Hvem ved? Hvordan bestemmer man noget?

Hvordan, hvordan ... Ja, skriv progressionen ned i form af en serie og se om der vil være en syv der eller ej! Vi overvejer:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

en 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nu er det tydeligt synligt, at vi bare er en syv gled igennem mellem 6,5 og 7,7! De syv kom ikke ind i vores talrække, og derfor vil de syv ikke være medlem af den givne progression.

Svaret er nej.

Og her er en opgave baseret på en ægte version af GIA:

4. Flere på hinanden følgende medlemmer af den aritmetiske progression skrives ud:

...; 15; NS; ni; 6; ...

Her skrives en række uden ende og begyndelse. Ingen medlemsnummer, ingen forskel d... Det er ok. For at løse problemet er det nok at forstå betydningen af ​​den aritmetiske progression. Vi ser og tænker over, hvad der er muligt at vide fra denne serie? Hvad er de tre hovedparametre?

Medlemstal? Der er ikke et enkelt tal her.

Men der er tre tal og - opmærksomhed! - ord "fortløbende" i tilstanden. Det betyder, at tallene er strengt i orden, uden huller. Er der to i denne række tilstødende kendte tal? Ja der er! Disse er 9 og 6. Så vi kan beregne forskellen på den aritmetiske progression! Vi trækker fra de seks Tidligere nummer, dvs. ni:

Der er kun bagateller tilbage. Hvad er det forrige nummer for X? Femten. Det betyder, at x let kan findes ved simpel tilføjelse. Tilføj forskellen i den aritmetiske progression til 15:

Det er alt. Svar: x = 12

Vi løser selv følgende problemer. Bemærk: disse problemer handler ikke om formler. Rent for at forstå betydningen af ​​en aritmetisk progression.) Vi skriver bare en serie ned med tal-bogstaver, ser og tænker.

5. Find det første positive udtryk i den aritmetiske progression, hvis a 5 = -3; d = 1,1.

6. Det vides, at tallet 5.5 er et medlem af den aritmetiske progression (a n), hvor a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestem nummeret på dette medlem.

7. Det vides, at i den aritmetiske progression a 2 = 4; a 5 = 15,1. Find en 3.

8. Skrev flere på hinanden følgende medlemmer af den aritmetiske progression:

...; 15,6; NS; 3,4; ...

Find udtrykket i progressionen angivet med bogstavet x.

9. Toget begyndte at bevæge sig fra stationen og øgede hastigheden med 30 meter i minuttet. Hvad vil toghastigheden være om fem minutter? Giv dit svar i km / t.

10. Det vides, at i den aritmetiske progression a 2 = 5; a 6 = -5. Find en 1.

Svar (i uorden): 7,7; 7,5; 9,5; ni; 0,3; 4.

Alt fungerede? Vidunderlig! Du kan mestre den aritmetiske progression på et højere niveau i de følgende lektioner.

Ikke alt lykkedes? Intet problem. I specialafsnit 555 er alle disse problemer sorteret i stykker.) Og naturligvis beskrives en simpel praktisk teknik, der straks fremhæver løsningen af ​​sådanne opgaver klart, tydeligt, som i håndfladen!

I øvrigt er der i puslespillet om toget to problemer, som folk ofte snubler over. Den ene er udelukkende i progression, og den anden er almindelig for eventuelle problemer i matematik og også fysik. Dette er en oversættelse af dimensioner fra en til en anden. I det er vist, hvordan disse problemer skal løses.

I denne lektion undersøgte vi den elementære betydning af den aritmetiske progression og dens hovedparametre. Dette er nok til at løse næsten alle problemer om dette emne. Tilføje d til tallene, skriv en serie, alt vil blive besluttet.

Fingerløsningen fungerer godt til meget korte stykker i træk, som i eksemplerne i denne lektion. Hvis rækken er længere, bliver beregningerne mere komplicerede. For eksempel, hvis der er problem 9 i spørgsmålet, skal du udskifte "fem minutter" på "femogtredive minutter" problemet bliver betydeligt vredere.)

Og der er også opgaver, der er enkle i det væsentlige, men utrolige med hensyn til beregninger, for eksempel:

Du får en aritmetisk progression (a n). Find en 121 hvis a 1 = 3 og d = 1/6.

Og hvad, vi vil tilføje mange, mange gange med 1/6?! Du kan dræbe det!?

Du kan.) Hvis du ikke kender en simpel formel, ifølge hvilken sådanne opgaver kan løses på et minut. Denne formel vil være i den næste lektion. Og dette problem er løst der. Lige om lidt.)

Hvis du kan lide dette websted ...

I øvrigt har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig på at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Øjeblikkelig valideringstest. Læring - med interesse!)

du kan stifte bekendtskab med funktioner og derivater.