Formsymmetri omkring aksen. Central og aksial symmetri

jeg ... Symmetri i matematik :

Grundlæggende begreber og definitioner.

Aksial symmetri (definitioner, byggeplan, eksempler)

Central symmetri (definitioner, byggeplan, tilforanstaltninger)

Oversigtstabel (alle egenskaber, funktioner)

II ... Symmetri applikationer:

1) i matematik

2) i kemi

3) inden for biologi, botanik og zoologi

4) inden for kunst, litteratur og arkitektur

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Grundlæggende begreber symmetri og dens typer.

Symmetri koncept n rgennemgår hele menneskehedens historie. Det findes allerede ved oprindelsen af \u200b\u200bmenneskelig viden. Det opstod i forbindelse med studiet af en levende organisme, nemlig en person. Og det blev brugt af billedhuggere allerede i det 5. århundrede f.Kr. e. Ordet "symmetri" er græsk, det betyder "proportionalitet, proportionalitet, ensartethed i arrangement af dele." Det bruges meget af alle områder af moderne videnskab uden undtagelse. Mange store mennesker tænkte på dette mønster. For eksempel sagde LN Tolstoy: ”Stående foran et sort tavle og tegnet forskellige figurer på det med kridt, blev jeg pludselig ramt af tanken: hvorfor er symmetri klar for øjet? Hvad er symmetri? Dette er en medfødt følelse, svarede jeg selv. Hvad er det baseret på? " Symmetrien er virkelig behagelig for øjet. Hvem har ikke beundret symmetrien i naturens skabelser: blade, blomster, fugle, dyr; eller menneskelige kreationer: bygninger, teknologi - alt, hvad der omgiver os fra barndommen, dem, der stræber efter skønhed og harmoni. Hermann Weil sagde: "Symmetri er den idé, gennem hvilken mennesket har prøvet i århundreder at forstå og skabe orden, skønhed og perfektion." Hermann Weil er en tysk matematiker. Hans aktivitet falder i første halvdel af det tyvende århundrede. Det var han, der formulerede definitionen af \u200b\u200bsymmetri, fastlagt ud fra hvilke kriterier, der skal opfatte tilstedeværelsen eller omvendt fraværet af symmetri i et eller andet tilfælde. Således blev et matematisk stringent koncept dannet relativt for nylig - i begyndelsen af \u200b\u200bdet 20. århundrede. Det er ret kompliceret. Vi vender os om og husker igen de definitioner, der er givet os i lærebogen.

2. Aksial symmetri.

2.1 Grundlæggende definitioner

Definition. To punkter A og A1 kaldes symmetriske med hensyn til den lige linje a, hvis denne lige linje passerer gennem midten af \u200b\u200bsegmentet AA 1 og er vinkelret på den. Hvert punkt på den lige linje a betragtes som symmetrisk for sig selv.

Definition. Figuren kaldes symmetrisk omkring en lige linje. oghvis der for hvert punkt på figuren er et symmetrisk punkt i forhold til en lige linje og hører også til denne figur. Lige og kaldes figurens symmetriakse. Figuren siges også at have aksial symmetri.

2.2 Bygningsplan

For at opbygge en symmetrisk figur i forhold til en lige linje fra hvert punkt tegner vi en vinkelret på denne lige linje og udvider den med samme afstand og markerer det resulterende punkt. Vi gør dette med hvert punkt, vi får symmetriske hjørner af den nye figur. Derefter forbinder vi dem i serie og får en symmetrisk figur af denne relative akse.

2.3 Eksempler på aksialt symmetriske figurer.

3. Central symmetri

3.1 Grundlæggende definitioner

Definition. To punkter A og A1 kaldes symmetriske i forhold til punkt O, hvis O er midten af \u200b\u200bsegmentet AA 1. Punkt O betragtes som symmetrisk for sig selv.

Definition. En figur kaldes symmetrisk omkring punkt O, hvis punktet symmetrisk til det omkring punkt O for hvert punkt i figuren også hører til denne figur.

3.2 Bygningsplan

Konstruktion af en trekant symmetrisk til en given om centrum O.

At tegne et punkt symmetrisk til et punkt OGi forhold til punkt OM, det er nok at tegne en lige linje OA(fig. 46 ) og på den anden side af punktet OMudsætte et segment svarende til et segment OA. Med andre ord , punkt A og ; I og ; Med og er symmetriske med hensyn til et eller andet punkt O. I fig. 46 byggede en trekant symmetrisk til trekanten ABC i forhold til punkt OM.Disse trekanter er ens.

Tegner symmetriske punkter omkring midten.

I figuren er punkterne M og M1, N og N1 symmetriske omkring punkt O, og punkterne P og Q er ikke symmetriske omkring dette punkt.

Generelt er tal symmetriske omkring et eller andet punkt ens .

3.3 Eksempler

Her er nogle eksempler på figurer med central symmetri. De enkleste figurer med central symmetri er cirklen og parallelogrammet.

Punkt O kaldes figurens symmetricenter. I sådanne tilfælde har figuren central symmetri. Midten af \u200b\u200ben cirkels symmetri er centrum for cirklen, og centrum for symmetri for et parallelogram er skæringspunktet mellem dets diagonaler.

Den lige linje har også central symmetri, men i modsætning til cirklen og parallelogrammet, som kun har et symmetricenter (punkt O i figuren), har den lige linje uendeligt mange af dem - ethvert punkt i den lige linje er dens centrum af symmetri.

Figurerne viser en vinkel symmetrisk omkring toppunktet, et segment symmetrisk til et andet segment omkring centrum OG og en firkantet symmetrisk om dens toppunkt M.

Et eksempel på en form, der ikke har et symmetricenter, er en trekant.

4. Lektionsoversigt

Lad os sammenfatte den opnåede viden. I dag i lektionen blev vi bekendt med to hovedtyper af symmetri: central og aksial. Lad os se på skærmen og systematisere den opnåede viden.

Oversigtstabel

	Aksial symmetri	Central symmetri
Funktion	Alle punkter i figuren skal være symmetriske omkring en lige linje.	Alle punkter i figuren skal være symmetriske omkring det punkt, der er valgt som centrum for symmetri.
Ejendomme	1. Symmetriske punkter ligger vinkelret på en lige linje. 3. Lige linjer bliver til lige linjer, vinkler til lige vinkler. 4. Figurstørrelser og figurer gemmes.	1. Symmetriske punkter ligger på en lige linje, der passerer gennem midten og figurens givne punkt. 2. Afstanden fra et punkt til en lige linje er lig med afstanden fra en lige linje til et symmetrisk punkt. 3. Figurstørrelser og figurer gemmes.

II. Anvendelse af symmetri

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009.

Overvej aksial og central symmetri som egenskaber ved nogle geometriske former; Overvej aksial og central symmetri som egenskaber ved nogle geometriske former; Kunne opbygge symmetriske punkter og være i stand til at genkende former, der er symmetriske omkring et punkt eller en linje; Kunne opbygge symmetriske punkter og være i stand til at genkende former, der er symmetriske omkring et punkt eller en linje; Forbedring af problemløsningskompetencer Forbedring af problemløsningskompetencer Fortsæt med at arbejde med nøjagtigheden af \u200b\u200boptagelsen og udfyld den geometriske tegning; Fortsæt med at arbejde med nøjagtigheden af \u200b\u200boptagelsen og udfyld den geometriske tegning;

Mundtligt arbejde "Gentle survey" Oral work "Gentle survey" Hvilket punkt kaldes midten af \u200b\u200bsegmentet? Hvilken trekant kaldes ligebenede? Hvilken egenskab har rombdiagonaler? Formuler egenskaben til halveringen af \u200b\u200ben ligebenet trekant. Hvilke lige linjer kaldes vinkelret? Hvilken trekant kaldes ligesidet? Hvilken egenskab har diagonalerne på en firkant? Hvilke tal kaldes lige?

Hvilke nye koncepter mødte du i lektionen? Hvilke nye koncepter mødte du i lektionen? Hvad er nyt ved geometriske former? Hvad er nyt ved geometriske former? Giv eksempler på aksialt symmetriske geometriske former. Giv eksempler på aksialt symmetriske geometriske former. Giv et eksempel på former med central symmetri. Giv et eksempel på former med central symmetri. Giv eksempler på objekter fra det omkringliggende liv, der har en eller to typer symmetri. Giv eksempler på objekter fra det omkringliggende liv, der har en eller to typer symmetri.

Mål:

• uddannelsesmæssige:
  • give en idé om symmetri;
  • at gøre sig bekendt med de grundlæggende typer symmetri på planet og i rummet;
  • udvikle stærke færdigheder i at opbygge symmetriske figurer;
  • udvide forståelsen af \u200b\u200bkendte former ved at introducere dem til egenskaberne forbundet med symmetri;
  • vise mulighederne for at bruge symmetri til at løse forskellige problemer;
  • konsolidere den opnåede viden
• generel uddannelse:
  • lære dig selv at indstille dig til arbejde;
  • lære at kontrollere dig selv og din nabo på dit skrivebord;
  • at lære at evaluere dig selv og din deskmate;
• udvikler:
  • at intensivere uafhængig aktivitet
  • udvikle kognitiv aktivitet
  • lære at generalisere og systematisere de modtagne oplysninger
• uddannelsesmæssige:
  • fremme en “skulderfølelse” hos studerende;
  • fremme kommunikation;
  • indgyde en kommunikationskultur.

I KLASSERNE

Foran hver sidder en saks og et ark papir.

Øvelse 1(3 min).

”Lad os tage et ark papir, folde det imellem og skære noget figur ud. Udvid nu arket og se på foldelinjen.

Spørgsmål: Hvad er funktionen af \u200b\u200bdenne linje?

Antaget svar: Denne linje deler tallet i halvdelen.

Spørgsmål: Hvordan opnås alle punkterne i figuren på de to halvdele?

Antaget svar: Alle halvdele er i samme afstand fra foldelinjen og på samme niveau.

- Dette betyder, at foldelinien deler figuren i halvdelen, så 1 halvdel er en kopi af 2 halvdele, dvs. denne linje er ikke enkel, den har en bemærkelsesværdig egenskab (alle punkter er i samme afstand i forhold til den), denne linje er symmetriaksen.

Opgave 2 (2 minutter).

- Skær en snefnug ud, find symmetriaksen, karakteriser den.

Opgave 3 (5 minutter).

- Tegn en cirkel i en notesbog.

Spørgsmål: Bestem, hvordan symmetriaksen løber?

Antaget svar: Anderledes.

Spørgsmål: Så hvor mange symmetriakser har en cirkel?

Antaget svar: Mange.

- Det er rigtigt, en cirkel har mange akser af symmetri. Den samme bemærkelsesværdige figur er bolden (rumlig figur)

Spørgsmål: Hvilke andre figurer har mere end en symmetriakse?

Antaget svar: Firkant, rektangel, ligebenede og ligesidede trekanter.

- Overvej volumetriske figurer: terning, pyramide, kegle, cylinder osv. Disse figurer har også en symmetriakse. Bestem, hvor mange symmetriakser en firkantet, rektangel, ligesidet trekant og de foreslåede volumetriske figurer har?

Jeg distribuerer halvdelen af \u200b\u200bplasticine-figurerne til de studerende.

Opgave 4 (3 min).

- Brug de modtagne oplysninger til at udfylde den manglende del af figuren.

Bemærk: figuren kan være både flad og volumetrisk. Det er vigtigt, at de studerende bestemmer, hvordan symmetriaksen går, og fuldfører det manglende stykke. Korrektheden af \u200b\u200budførelsen bestemmes af naboen på skrivebordet, vurderer, hvor korrekt arbejdet er udført.

En linje er lagt ud af et blonder af samme farve på skrivebordet (lukket, åben, med selvkryds uden selvkryds).

Opgave 5 (gruppearbejde 5 min).

- Bestem visuelt symmetriaksen og opbyg den anden del ud fra en blonder i en anden farve i forhold til den.

Korrektheden af \u200b\u200bdet udførte arbejde bestemmes af de studerende selv.

Elementerne på tegningerne præsenteres for de studerende

Opgave 6 (2 minutter).

Find de symmetriske dele af disse mønstre.

For at konsolidere det dækkede materiale foreslår jeg følgende opgaver i 15 minutter:

Navngiv alle lige elementer i trekanten KOR og KOM. Hvad ser disse trekanter ud?

2. Tegn i en notesbog flere ligebenede trekanter med en fælles base lig med 6 cm.

3. Tegn linjesegment AB. Konstruer en lige linje vinkelret på linjesegment AB og passerer dens midte. Marker punkterne C og D på den, så firkanten ACBD er symmetrisk omkring linjen AB.

- Vores indledende ideer om formen går tilbage til en meget fjern æra fra den antikke stenalder - den paleolitiske. I hundreder af årtusinder af denne periode boede folk i huler under forhold, der ikke adskiller sig meget fra dyrenes liv. Mennesker lavede redskaber til jagt og fiskeri, udviklede sprog til at kommunikere med hinanden og i den sene paleolitiske æra prydede deres eksistens og skabte kunstværker, figurer og tegninger, hvor en vidunderlig følelse af form findes.
Da der var en overgang fra simpel madindsamling til aktiv produktion af den, fra jagt og fiskeri til landbrug, går menneskeheden ind i en ny stenalder, yngre stenalder.
Neolitisk mand havde en skarp fornemmelse af geometrisk form. Afbrænding og maling af jordkar, fremstilling af røremåtter, kurve, stoffer og senere - forarbejdning af metaller udviklede ideer om plane og rumlige figurer. Neolitiske ornamenter var behagelige for øjet og afslørede lighed og symmetri.
- Hvor forekommer symmetri i naturen?

Antaget svar: sommerfuglens vinger, biller, træblade ...

- Symmetri kan også observeres i arkitekturen. Ved opførelse af bygninger overholder bygherrer symmetri.

Derfor er bygningerne så smukke. Et eksempel på symmetri er også en person, dyr.

Hjemmeopgave:

1. Kom med dit eget ornament, skildre det på et A4-ark (du kan tegne det i form af et tæppe).
2. Tegn sommerfugle, marker hvor elementerne i symmetri er til stede.

Bevægelseskoncept

Lad os først analysere et sådant koncept som bevægelse.

Definition 1

Kortlægning af et plan kaldes flybevægelse, hvis kortlægningen opretholder afstande.

Der er flere sætninger relateret til dette koncept.

Sætning 2

Trekanten går, når den bevæger sig, ind i en lige trekant.

Sætning 3

Enhver figur, når den bevæger sig, går ind i en figur, der svarer til den.

Aksial og central symmetri er eksempler på bevægelse. Lad os overveje dem mere detaljeret.

Aksial symmetri

Definition 2

Point $ A $ og $ A_1 $ kaldes symmetriske med hensyn til linjen $ a $, hvis denne linje er vinkelret på segmentet $ (AA) _1 $ og passerer gennem dens centrum (fig. 1).

Billede 1.

Overvej aksial symmetri ved hjælp af eksemplet på et problem.

Eksempel 1

Konstruer en symmetrisk trekant til denne trekant i forhold til en af \u200b\u200bdens sider.

Afgørelse.

Lad os få en trekant $ ABC $. Vi konstruerer dens symmetri med hensyn til $ BC $ siden. $ BC $ -siden under aksial symmetri vil transformere til sig selv (følger af definitionen). Punkt $ A $ flytter til punkt $ A_1 $ som følger: $ (AA) _1 \\ bot BC $, $ (AH \u003d HA) _1 $. $ ABC $ trekanten går over til $ A_1BC $ trekanten (fig. 2).

Figur 2.

Definition 3

En figur kaldes symmetrisk i forhold til den lige linje $ a $, hvis hvert symmetriske punkt i denne figur er indeholdt på den samme figur (fig. 3).

Figur 3.

Figur $ 3 $ viser et rektangel. Den har aksial symmetri omkring hver af dens diametre såvel som omkring to lige linjer, der passerer gennem midten af \u200b\u200bmodsatte sider af dette rektangel.

Central symmetri

Definition 4

Point $ X $ og $ X_1 $ kaldes symmetrisk omkring punktet $ O $, hvis punktet $ O $ er centrum for segmentet $ (XX) _1 $ (fig. 4).

Figur 4.

Lad os overveje den centrale symmetri på eksemplet på problemet.

Eksempel 2

Konstruer en symmetrisk trekant til en given trekant ved en af \u200b\u200bdens hjørner.

Afgørelse.

Lad os få en trekant $ ABC $. Vi konstruerer dens symmetri med hensyn til toppunktet $ A $. Hovedpunktet $ A $ under den centrale symmetri går over i sig selv (følger af definitionen). Punkt $ B $ går til punkt $ B_1 $ som følger $ (BA \u003d AB) _1 $, og punkt $ C $ går til punkt $ C_1 $ som følger: $ (CA \u003d AC) _1 $. $ ABC $ trekanten går over til $ (AB) _1C_1 $ trekanten (fig. 5).

Figur 5.

Definition 5

En figur er symmetrisk omkring punktet $ O $, hvis hvert symmetriske punkt i denne figur er indeholdt i den samme figur (fig. 6).

Figur 6.

Figur $ 6 $ viser et parallelogram. Det har central symmetri om skæringspunktet mellem dets diagonaler.

Eksempel på opgave.

Eksempel 3

Lad os få et segment $ AB $. Konstruer sin symmetri med hensyn til linjen $ l $, der ikke skærer dette segment, og med hensyn til det punkt $ C $, der ligger på den lige linje $ l $.

Afgørelse.

Lad os skitsere problemstillingen.

Figur 7.

Lad os først tegne den aksiale symmetri i forhold til den lige linje $ l $. Da aksial symmetri er bevægelse, vil segmentet $ AB $ blive kortlagt af sætningen $ 1 $ på segmentet svarende til det $ A "B" $. For at konstruere det vil vi gøre følgende: træk linjerne $ m \\ og \\ n $ gennem punkterne $ A \\ og \\ B $, vinkelret på linjen $ l $. Lad $ m \\ cap l \u003d X, \\ n \\ cap l \u003d Y $. Derefter tegner vi segmenterne $ A "X \u003d AX $ og $ B" Y \u003d BY $.

Figur 8.

Lad os nu skildre den centrale symmetri omkring punktet $ C $. Da den centrale symmetri er en bevægelse, vil segmentet $ AB $ ved hjælp af sætning $ 1 $ blive kortlagt til det segment, der svarer til det $ A "" B "" $. For at konstruere det vil vi gøre følgende: tegne linjer $ AC \\ og \\ BC $. Derefter tegner vi segmenterne $ A ^ ("") C \u003d AC $ og $ B ^ ("") C \u003d BC $.

Figur 9.

Så med hensyn til geometri: der er tre hovedtyper af symmetri.

Først central symmetri (eller punkt symmetri) - dette er en transformation af planet (eller rummet), hvor det eneste punkt (punkt O er symmetriens centrum) forbliver på plads, resten af \u200b\u200bpunkterne ændrer deres position: i stedet for punkt A får vi punkt A1 sådan at punkt O er midten af \u200b\u200bsegment AA1. For at konstruere en figur F1, symmetrisk til figur Ф i forhold til punkt O, skal du tegne en stråle gennem hvert punkt i figuren Ф, der passerer gennem punkt O (centrum for symmetri), og på denne stråle lægger du et punkt symmetrisk til det, der er valgt med med hensyn til punkt O. Sættet af punkter konstrueret på denne måde vil give et tal F1.

Figurer med et centrum for symmetri er af stor interesse: med symmetri omkring punktet O transformeres ethvert punkt i figuren F igen til et punkt i figur F. Der er mange sådanne figurer i geometri. For eksempel: et segment (midten af \u200b\u200bet segment er centrum for symmetri), en lige linje (et hvilket som helst af dets punkter er centrum for dets symmetri), en cirkel (centrum af en cirkel er centrum for symmetri), en rektangel (skæringspunktet for dets diagonaler er centrum for symmetri). Der er mange centralt symmetriske objekter i levende og livløs natur (elevernes budskab). Ofte skaber folk selv objekter, der har et centrum for symmetri.rii (eksempler fra håndværk, eksempler fra maskinteknik, eksempler fra arkitektur og mange andre eksempler).

For det andet aksial symmetri (eller symmetri omkring en lige linje) - dette er en transformation af planet (eller rummet), hvor kun punkterne på den lige linje p forbliver på plads (denne lige linje er symmetriaksen), mens resten af \u200b\u200bpunkterne ændrer deres position: i stedet for punkt B, vi får et sådant punkt B1, at den lige linje p er vinkelret på segmentet BB1 ... For at opbygge en figur Ф1, symmetrisk til figur Ф, i forhold til den lige linje p, er det nødvendigt for hvert punkt i figuren Ф at konstruere et punkt symmetrisk til det i forhold til den lige linje p. Sættet med alle disse konstruerede punkter giver den ønskede figur F1. Der er mange geometriske former, der har en symmetriakse.

Et rektangel har to, en firkant har fire, og en cirkel har en hvilken som helst lige linje, der passerer gennem dets centrum. Hvis du ser nøje på bogstaverne i alfabetet, kan du blandt dem finde dem, der har vandret eller lodret og undertiden begge symmetriakser. Objekter med symmetriakser er ret almindelige i levende og livløs natur (elevrapporter). I sin aktivitet skaber en person mange objekter (for eksempel ornamenter) med flere symmetriakser.

______________________________________________________________________________________________________

For det tredje plan (spejl) symmetri (eller symmetri omkring et plan) - dette er en transformation af rummet, hvor kun punkter i et plan bevarer deres placering (α-symmetriplan), resten af \u200b\u200bpunkterne i rummet ændrer deres position: i stedet for punkt C opnås et punkt C1, at planet α passerer gennem midten af \u200b\u200bsegmentet CC1, vinkelret på det.

For at opbygge en figur Ф1, symmetrisk til figur Ф i forhold til planet α, er det nødvendigt for hvert punkt i figuren Ф at opbygge punkter symmetrisk med hensyn til α, de danner figuren Ф1 i deres sæt.

Oftest i verden af \u200b\u200bting og objekter omkring os støder vi på tredimensionelle kroppe. Og nogle af disse kroppe har symmetriplaner, nogle gange endda flere. Og personen selv i sine aktiviteter (konstruktion, kunsthåndværk, modellering, ...) skaber genstande med symmetriplaner.

Det skal bemærkes, at der sammen med de tre anførte typer symmetri er (i arkitektur)bærbar og drejelig, som i geometri er sammensætninger af flere bevægelser.