Kolmion muotoisen pyramidin ominaisuudet. Tavallisen pyramidin perusominaisuudet

Tämä opetusvideo auttaa käyttäjiä saamaan käsityksen Pyramid-teemasta. Oikea pyramidi. Tällä oppitunnilla tutustumme pyramidin käsitteeseen ja annamme sille määritelmän. Mietitään, mikä on tavallinen pyramidi ja mitä ominaisuuksia sillä on. Sitten todistetaan lause säännöllisen pyramidin sivupinnasta.

Tällä oppitunnilla tutustumme pyramidin käsitteeseen ja annamme sille määritelmän.

Harkitse monikulmiota A 1 A 2...A n, joka sijaitsee α-tasossa, ja piste P, joka ei ole α-tasossa (kuva 1). Yhdistetään pisteet P huippujen kanssa A 1, A 2, A 3, … A n. Saamme n kolmiot: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ja niin edelleen.

Määritelmä. Polyhedron RA 1 A 2 ...A n, koostuu n-neliö A 1 A 2...A n Ja n kolmiot RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 kutsutaan n-hiilipyramidi. Riisi. 1.

Riisi. 1

Tarkastellaan nelikulmaista pyramidia PABCD(Kuva 2).

R- pyramidin huippu.

ABCD- pyramidin pohja.

RA- sivuribi.

AB- pohjajousi.

Kohdasta R pudotetaan kohtisuora RN perustasolle ABCD. Piirretty kohtisuora on pyramidin korkeus.

Riisi. 2

Pyramidin koko pinta koostuu sivupinnasta eli kaikkien sivupintojen pinta-alasta ja pohjan pinta-alasta:

S täysi = S puoli + S pää

Pyramidia kutsutaan oikeaksi, jos:

• sen kanta on säännöllinen monikulmio;
• segmentti, joka yhdistää pyramidin huipun pohjan keskustaan, on sen korkeus.

Selitys säännöllisen nelikulmaisen pyramidin esimerkillä

Tarkastellaan säännöllistä nelikulmaista pyramidia PABCD(Kuva 3).

R- pyramidin huippu. Pyramidin pohja ABCD- säännöllinen nelikulmio, eli neliö. Piste NOIN, diagonaalien leikkauspiste, on neliön keskipiste. tarkoittaa, RO on pyramidin korkeus.

Riisi. 3

Selitys: oikein n Kolmiossa piirretyn ympyrän keskipiste ja ympyrän keskipiste ovat samat. Tätä keskustaa kutsutaan monikulmion keskipisteeksi. Joskus he sanovat, että kärki heijastetaan keskelle.

Sen kärjestä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemi ja on nimetty h a.

1. säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä suuret;

2. Sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.

Annamme todisteen näistä ominaisuuksista käyttämällä säännöllisen nelikulmaisen pyramidin esimerkkiä.

Annettu: PABCD- säännöllinen nelikulmainen pyramidi,

ABCD- neliö,

RO- pyramidin korkeus.

Todistaa:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Katso kuva. 4.

Riisi. 4

Todiste.

RO- pyramidin korkeus. Eli suoraan RO kohtisuorassa tasoon nähden ABC ja siksi suora JSC, VO, SO Ja TEHDÄ makaa siinä. Kolmiot siis ROA, ROV, ROS, ROD- suorakaiteen muotoinen.

Harkitse neliötä ABCD. Neliön ominaisuuksista seuraa, että AO = VO = CO = TEHDÄ.

Sitten oikeat kolmiot ROA, ROV, ROS, ROD jalka RO- yleiset ja jalat JSC, VO, SO Ja TEHDÄ ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että nämä kolmiot ovat yhtä suuret kahdella sivulla. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa osien yhtäläisyys, RA = PB = RS = PD. Kohta 1 on todistettu.

Segmentit AB Ja Aurinko ovat yhtä suuret, koska ne ovat saman neliön sivut, RA = PB = RS. Kolmiot siis AVR Ja VSR - tasakylkisiä ja yhtä suuria kolmelta sivulta.

Samalla tavalla löydämme kolmiot ABP, VCP, CDP, DAP ovat tasakylkisiä ja yhtä suuria, kuten 2 kohdassa vaaditaan.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan kehän ja apoteemin tulosta:

Tämän todistamiseksi valitaan tavallinen kolmiopyramidi.

Annettu: RAVS- säännöllinen kolmiopyramidi.

AB = BC = AC.

RO- korkeus.

Todistaa: . Katso kuva. 5.

Riisi. 5

Todiste.

RAVS- säännöllinen kolmiopyramidi. Tuo on AB= AC = BC. Antaa NOIN- kolmion keskipiste ABC, Sitten RO on pyramidin korkeus. Pyramidin pohjalla on tasasivuinen kolmio ABC. huomaa, että .

Kolmiot RAV, RVS, RSA- yhtäläiset tasakylkiset kolmiot (ominaisuuden mukaan). Kolmion muotoisella pyramidilla on kolme sivupintaa: RAV, RVS, RSA. Tämä tarkoittaa, että pyramidin sivupinnan pinta-ala on:

S-puoli = 3S RAW

Lause on todistettu.

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjaan piirretyn ympyrän säde on 3 m, pyramidin korkeus 4 m. Selvitä pyramidin sivupinnan pinta-ala.

Annettu: säännöllinen nelikulmainen pyramidi ABCD,

ABCD- neliö,

r= 3 m,

RO- pyramidin korkeus,

RO= 4 m.

löytö: S-puoli. Katso kuva. 6.

Riisi. 6

Ratkaisu.

Todistetun lauseen mukaan .

Etsitään ensin pohjan puoli AB. Tiedämme, että säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjaan piirretyn ympyrän säde on 3 m.

Sitten, m.

Etsi neliön ympärysmitta ABCD jonka sivu on 6 m:

Harkitse kolmiota BCD. Antaa M- keskellä sivua DC. Koska NOIN-keskellä BD, Tuo (m).

Kolmio DPC- tasakylkisiä. M-keskellä DC. Tuo on, RM- mediaani ja siten kolmion korkeus DPC. Sitten RM- pyramidin apoteemi.

RO- pyramidin korkeus. Siis suoraan RO kohtisuorassa tasoon nähden ABC ja siksi suora OM, makaa siinä. Etsitään apoteemi RM suorakulmaisesta kolmiosta ROM.

Nyt voimme löytää pyramidin sivupinnan:

Vastaus: 60 m2.

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjan ympärille piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin m. Sivupinta-ala on 18 m 2. Etsi apoteemin pituus.

Annettu: ABCP- säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi,

AB = BC = SA,

R= m,

S-puoli = 18 m2.

löytö: . Katso kuva. 7.

Riisi. 7

Ratkaisu.

Suorakulmaisessa kolmiossa ABC Rajatun ympyrän säde on annettu. Etsitään puoli AB tämä kolmio käyttämällä sinilakia.

Kun tiedämme säännöllisen kolmion sivun (m), löydämme sen kehän.

Lauseen mukaan säännöllisen pyramidin sivupinta-alasta, missä h a- pyramidin apoteemi. Sitten:

Vastaus: 4 m.

Joten tarkastelimme mitä pyramidi on, mikä säännöllinen pyramidi on, ja todistimme lauseen säännöllisen pyramidin sivupinnasta. Seuraavalla oppitunnilla tutustumme katkaistuun pyramidiin.

Bibliografia

1. Geometria. Luokat 10-11: oppikirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja erikoistasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, rev. ja ylimääräistä - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Geometria. Luokat 10-11: Oppikirja yleiskouluille / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometria. Arvosana 10: Oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle, jossa on matematiikan syvällinen ja erikoistunut opiskelu /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

1. Internet-portaali "Yaklass" ()
2. Internet-portaali "Pedagogisten ideoiden festivaali "Syyskuun ensimmäinen" ()
3. Internet-portaali "Slideshare.net" ()

Kotitehtävät

1. Voiko säännöllinen monikulmio olla epäsäännöllisen pyramidin kanta?
2. Todista, että säännöllisen pyramidin disjunktit reunat ovat kohtisuorassa.
3. Laske säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjan sivussa olevan dihedraalisen kulman arvo, jos pyramidin apoteemi on yhtä suuri kuin sen kannan sivu.
4. RAVS- säännöllinen kolmiopyramidi. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma pyramidin pohjaan.

Johdanto

Kun aloimme tutkia stereometrisiä lukuja, kosketimme aihetta "Pyramid". Pidimme tästä aiheesta, koska pyramidia käytetään hyvin usein arkkitehtuurissa. Ja koska tuleva arkkitehtuurin ammattimme on inspiroitunut tästä hahmosta, uskomme, että hän voi viedä meidät kohti loistavia projekteja.

Arkkitehtonisten rakenteiden vahvuus on niiden tärkein ominaisuus. Yhdistämällä lujuus ensinnäkin materiaaleihin, joista ne on luotu, ja toiseksi suunnitteluratkaisujen ominaisuuksiin, käy ilmi, että rakenteen lujuus liittyy suoraan geometriseen muotoon, joka sille on perusmuoto.

Toisin sanoen kyseessä on geometrinen hahmo, jota voidaan pitää vastaavan arkkitehtonisen muodon mallina. Osoittautuu, että geometrinen muoto määrää myös arkkitehtonisen rakenteen lujuuden.

Muinaisista ajoista lähtien egyptiläisiä pyramideja on pidetty kestävimpinä arkkitehtonisina rakenteina. Kuten tiedät, ne ovat muodoltaan säännöllisiä nelikulmaisia ​​pyramideja.

Juuri tämä geometrinen muoto tarjoaa suurimman vakauden suuren pohjapinta-alan ansiosta. Toisaalta pyramidin muoto varmistaa, että massa pienenee, kun korkeus maanpinnasta kasvaa. Nämä kaksi ominaisuutta tekevät pyramidista vakaan ja siksi vahvan painovoiman olosuhteissa.

Hankkeen tavoite: opi jotain uutta pyramideista, syvennä tietosi ja löydä käytännön sovellusta.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi oli tarpeen ratkaista seuraavat tehtävät:

· Opi historiallista tietoa pyramidista

· Tarkastellaan pyramidia geometrisena kuviona

· Etsi sovellusta elämässä ja arkkitehtuurissa

· Etsi yhtäläisyyksiä ja eroja eri puolilla maailmaa sijaitsevien pyramidien välillä

Teoreettinen osa

Historiallista tietoa

Pyramidigeometria alkoi muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa, mutta sitä kehitettiin aktiivisesti muinaisessa Kreikassa. Ensimmäinen, joka määritti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos, ja Eudoxus Knidosta todisti sen. Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid systematisoi tiedon pyramidista "Elementtien" XII osaan ja johti myös pyramidin ensimmäisen määritelmän: kiinteän hahmon, jota rajoittavat tasot, jotka suppenevat yhdestä tasosta yhteen pisteeseen.

Egyptin faaraoiden haudat. Suurimpia niistä - Cheopsin, Khafren ja Mikerinin pyramideja El Gizassa - pidettiin muinaisina aikoina yhtenä maailman seitsemästä ihmeestä. Pyramidin rakentaminen, jossa kreikkalaiset ja roomalaiset näkivät jo muistomerkin kuninkaiden ennennäkemättömälle ylpeydelle ja julmuudelle, joka tuomittiin koko Egyptin kansan merkityksettömään rakentamiseen, oli tärkein kulttiteko, ja sen piti ilmeisesti ilmaista maan ja sen hallitsijan mystinen identiteetti. Maan väestö työskenteli haudan rakentamisessa maataloustöistä vapaan osan vuodesta. Useat tekstit todistavat siitä huomiosta ja huolenpidosta, jota kuninkaat itse (tosin myöhempään aikaan) kiinnittivät haudansa rakentamiseen ja sen rakentajiin. Se tunnetaan myös erityisistä kulttikunnioista, jotka annettiin itse pyramidille.

Peruskonseptit

Pyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki.

Apothem- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen kärjestä vedettynä;

Sivukasvot- kolmiot kohtaavat kärjessä;

Sivukylkiluut- sivupintojen yhteiset puolet;

Pyramidin huippu- piste, joka yhdistää sivurivat ja joka ei ole pohjan tasossa;

Korkeus- kohtisuora segmentti, joka on vedetty pyramidin yläosan läpi sen pohjan tasoon (tämän segmentin päät ovat pyramidin yläosa ja kohtisuoran kanta);

Pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin poikkileikkaus, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;

Pohja- monikulmio, joka ei kuulu pyramidin kärkeen.

Tavallisen pyramidin perusominaisuudet

Sivureunat, sivupinnat ja apoteemit ovat vastaavasti samat.

Dihedraaliset kulmat pohjassa ovat yhtä suuret.

Dihedraaliset kulmat sivureunoissa ovat yhtä suuret.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kannan kärjeistä.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista.

Pyramidin peruskaavat

Pyramidin sivu- ja kokonaispinnan pinta-ala.

Pyramidin (täysi ja katkaistu) sivupinnan pinta-ala on sen kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa, kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pintojen summa.

Lause: Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pyramidin kannan kehän ja apoteemin tulosta.

s- pohjakehä;

h- apoteemi.

Katkaistun pyramidin sivu- ja täyspinnan pinta-ala.

p 1, s 2 - pohjakehät;

h- apoteemi.

R- säännöllisen katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala;

S puoli- säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala;

S 1 + S 2- perusalue

Pyramidin tilavuus

Lomake tilavuus ulaa käytetään kaikenlaisiin pyramideihin.

H- pyramidin korkeus.

Pyramidin kulmat

Pyramidin sivupinnan ja pohjan muodostamia kulmia kutsutaan dihedraalisiksi kulmiksi pyramidin pohjassa.

Dihedraalinen kulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta.

Tämän kulman määrittämiseksi sinun on usein käytettävä kolmen kohtisuoran lausetta.

Kutsutaan kulmia, jotka muodostavat sivureuna ja sen projektio kantatasoon kulmat sivureunan ja pohjan tason välillä.

Kahden sivureunan muodostamaa kulmaa kutsutaan kaksitahoinen kulma pyramidin sivureunassa.

Kulmaa, jonka muodostavat pyramidin yhden pinnan kaksi sivureunaa, kutsutaan kulma pyramidin huipulla.

Pyramidin osat

Pyramidin pinta on monitahoisen pinta. Jokainen sen pinta on taso, joten leikkaustason määrittelemä pyramidin leikkaus on katkoviiva, joka koostuu yksittäisistä suorista viivoista.

Diagonaalinen leikkaus

Pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät ole samalla pinnalla, on ns. diagonaalinen leikkaus pyramidit.

Rinnakkaiset osat

Lause:

Jos pyramidin leikkaa taso, joka on yhdensuuntainen kannan kanssa, niin pyramidin sivureunat ja korkeudet jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

Tämän tason leikkaus on kantaa vastaava monikulmio;

Leikkauksen ja kannan pinta-alat ovat suhteessa toisiinsa niiden etäisyyksien neliöinä kärjestä.

Pyramidin tyypit

Oikea pyramidi– pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu heijastuu pohjan keskelle.

Tavallinen pyramidi:

1. sivurivat ovat yhtä suuret

2. sivupinnat ovat yhtä suuret

3. apoteemit ovat tasa-arvoisia

4. dihedral kulmat pohjassa ovat yhtä suuret

5. sivureunojen kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret

6. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kannan pisteistä

7. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivureunoista

Katkaistu pyramidi- osa pyramidista, joka on suljettu sen pohjan ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Katkaistun pyramidin kantaa ja sitä vastaavaa osaa kutsutaan katkaistun pyramidin pohjat.

Kutsutaan kohtisuoraa, joka on vedetty mistä tahansa kannan pisteestä toisen kantaan katkaistun pyramidin korkeus.

Tehtävät

Nro 1. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin piste O on kannan keskipiste, SO=8 cm, BD=30 cm. Etsi sivureuna SA.

Ongelmanratkaisu

Nro 1. Tavallisessa pyramidissa kaikki pinnat ja reunat ovat yhtä suuret.

Harkitse OSB:tä: OSB on suorakaiteen muotoinen suorakulmio, koska.

SB 2 = SO 2 + OB 2

SB 2 = 64 + 225 = 289

Pyramidi arkkitehtuurissa

Pyramidi on monumentaalinen rakenne, joka on tavallisen säännöllisen geometrisen pyramidin muodossa, jonka sivut yhtyvät yhteen pisteeseen. Toiminnallisen tarkoituksensa mukaan pyramidit olivat muinaisina aikoina hautaus- tai kultin palvontapaikkoja. Pyramidin kanta voi olla kolmion muotoinen, nelikulmainen tai monikulmion muotoinen, jossa on mielivaltainen määrä pisteitä, mutta yleisin versio on nelikulmainen kanta.

Muinaisen maailman eri kulttuureissa on rakennettu huomattava määrä pyramideja, pääasiassa temppeleinä tai monumentteina. Suuriin pyramideihin kuuluvat Egyptin pyramidit.

Kaikkialla maapallolla voit nähdä arkkitehtonisia rakenteita pyramidien muodossa. Pyramidirakennukset muistuttavat muinaisia ​​aikoja ja näyttävät erittäin kauniilta.

Egyptiläiset pyramidit ovat muinaisen Egyptin suurimpia arkkitehtonisia monumentteja, mukaan lukien yksi "maailman seitsemästä ihmeestä", Cheopsin pyramidi. Jalusta huipulle se saavuttaa 137,3 metrin korkeuden ja ennen huipun menettämistä sen korkeus oli 146,7 metriä

Slovakian pääkaupungin käännettyä pyramidia muistuttava radioasemarakennus on rakennettu vuonna 1983. Toimisto- ja palvelutilojen lisäksi volyymin sisällä on melko tilava konserttisali, jossa on yksi Slovakian suurimmista urkuista.

Louvre, joka on "hiljainen, muuttumaton ja majesteettinen, kuin pyramidi", on kokenut monia muutoksia vuosisatojen aikana ennen kuin siitä on tullut maailman suurin museo. Se syntyi Philip Augustuksen vuonna 1190 rakentamana linnoituksena, josta tuli pian kuninkaallinen asuinpaikka. Vuonna 1793 palatsista tuli museo. Kokoelmia täydennetään testamenttien tai ostojen kautta.

Määritelmä. Sivureuna- tämä on kolmio, jossa yksi kulma on pyramidin huipulla ja vastakkainen puoli osuu pohjan (polygonin) sivuun.

Määritelmä. Sivukylkiluut- nämä ovat sivupintojen yhteiset puolet. Pyramidilla on yhtä monta reunaa kuin monikulmion kulmia.

Määritelmä. Pyramidin korkeus- tämä on kohtisuora, joka on laskettu pyramidin ylhäältä alas.

Määritelmä. Apothem- tämä on kohtisuora pyramidin sivupintaan nähden, laskettuna pyramidin huipulta pohjan sivulle.

Määritelmä. Diagonaalinen leikkaus- tämä on pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee pyramidin huipun ja pohjan lävistäjän läpi.

Määritelmä. Oikea pyramidi on pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja korkeus laskee pohjan keskelle.

Pyramidin tilavuus ja pinta-ala

Kaava. Pyramidin tilavuus pohjapinta-alan ja korkeuden läpi:

Pyramidin ominaisuudet

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, pyramidin pohjan ympärille voidaan piirtää ympyrä, jonka pohjan keskipiste on sama kuin ympyrän keskusta. Myös ylhäältä pudonnut kohtisuora kulkee pohjan (ympyrän) keskustan läpi.

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, ne ovat kallistettuina pohjan tasoon samoissa kulmissa.

Sivureunat ovat yhtä suuret, kun ne muodostavat yhtä suuret kulmat pohjan tason kanssa tai jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.

Jos sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden samassa kulmassa, niin pyramidin pohjaan voidaan piirtää ympyrä ja pyramidin huippu heijastetaan sen keskelle.

Jos sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden samassa kulmassa, niin sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.

Säännöllisen pyramidin ominaisuudet

1. Pyramidin huippu on yhtä kaukana jalustan kaikista kulmista.

2. Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.

3. Kaikki sivurivat ovat kaltevassa tasaisessa kulmassa alustaan ​​nähden.

4. Kaikkien sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.

5. Kaikkien sivupintojen pinta-alat ovat yhtä suuret.

6. Kaikilla pinnoilla on samat kaksitahoiset (litteät) kulmat.

7. Pyramidin ympärillä voidaan kuvata pallo. Piirretyn pallon keskipiste on reunojen keskikohdan läpi kulkevien kohtisuorien leikkauspiste.

8. Voit sovittaa pallon pyramidiin. Piirretyn pallon keskipiste on reunan ja kannan välisestä kulmasta lähtevien puolittajien leikkauspiste.

9. Jos piirretyn pallon keskipiste on sama kuin rajatun pallon keskipiste, niin tasokulmien summa kärjessä on yhtä suuri kuin π tai päinvastoin, yksi kulma on yhtä suuri kuin π/n, missä n on luku pyramidin pohjan kulmista.

Pyramidin ja pallon välinen yhteys

Pallo voidaan kuvata pyramidin ympärillä, kun pyramidin juurella on monitahoinen, jonka ympärillä voidaan kuvata ympyrää (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on pyramidin sivureunojen keskipisteiden läpi kohtisuorassa kulkevien tasojen leikkauspiste.

On aina mahdollista kuvata pallo minkä tahansa kolmion tai säännöllisen pyramidin ympärillä.

Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat yhdessä pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tämä piste tulee olemaan pallon keskipiste.

Pyramidin kytkentä kartioon

Kartion sanotaan olevan kaiverrettu pyramidiin, jos sen kärjet ovat yhtenevät ja kartion kanta on kaiverrettu pyramidin pohjaan.

Pyramidiin voidaan kirjoittaa kartio, jos pyramidin apoteemit ovat yhtä suuret.

Kartion sanotaan olevan pyramidin ympärillä, jos sen kärjet ovat samat ja kartion kanta on rajattu pyramidin pohjan ympärille.

Kartiota voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos kaikki pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret.

Pyramidin ja sylinterin välinen suhde

Pyramidia kutsutaan sylinteriin kirjoitetuksi, jos pyramidin yläosa on sylinterin yhdellä pohjalla ja pyramidin kanta on kaiverrettu sylinterin toiseen kantaan.

Sylinteri voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.

Tetraedrillä on neljä pintaa ja neljä kärkeä ja kuusi reunaa, joissa kahdella reunalla ei ole yhteisiä kärkipisteitä, mutta ne eivät kosketa.

Jokainen kärkipiste koostuu kolmesta muodostavasta pinnasta ja reunasta kolmiokulma.

Segmenttiä, joka yhdistää tetraedrin kärjen vastakkaisen pinnan keskustaan, kutsutaan tetraedrin mediaani(GM).

Bimediaan kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää vastakkaisten reunojen keskipisteet, jotka eivät kosketa (KL).

Kaikki tetraedrin bimediaanit ja mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (S). Tässä tapauksessa bimediaanit jaetaan puoliksi ja mediaanit suhteessa 3:1 alkaen ylhäältä.

Määritelmä. Teräväkulmainen pyramidi- pyramidi, jossa apoteemi on yli puolet pohjan sivun pituudesta.

Määritelmä. Tylsä pyramidi- pyramidi, jossa apoteemi on alle puolet pohjan sivun pituudesta.

Määritelmä. Säännöllinen tetraedri- tetraedri, jonka kaikki neljä sivua ovat tasasivuisia kolmioita. Se on yksi viidestä säännöllisestä monikulmiosta. Säännöisessä tetraedrissä kaikki dihedraaliset kulmat (pintojen välillä) ja kolmikulmaiset (kärkessä) ovat yhtä suuret.

Määritelmä. Suorakaiteen muotoinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka kärjessä on suora kulma kolmen reunan välillä (reunat ovat kohtisuorassa). Muodostuu kolme kasvoa suorakaiteen muotoinen kolmiokulma ja pinnat ovat suorakulmaisia ​​kolmioita, ja kanta on mielivaltainen kolmio. Minkä tahansa kasvojen apoteemi on yhtä suuri kuin puolet pohjan sivusta, jolle apoteemi putoaa.

Määritelmä. Isoedrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka sivupinnat ovat yhtä suuret toistensa kanssa ja kanta on säännöllinen kolmio. Tällaisella tetraedrillä on pinnat, jotka ovat tasakylkisiä kolmioita.

Määritelmä. Ortosentrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jossa kaikki korkeudet (pystysuorat), jotka lasketaan ylhäältä vastakkaiselle pinnalle, leikkaavat yhdessä pisteessä.

Määritelmä. Tähtipyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka kanta on tähti.

Täältä löydät perustietoa pyramideista ja niihin liittyvistä kaavoista ja käsitteistä. Niitä kaikkia opiskellaan matematiikan tutorin kanssa valmisteltaessa yhtenäistä valtionkoetta.

Harkitse tasoa, monikulmiota , makaa siinä ja piste S, ei makaa siinä. Yhdistetään S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivuripoiksi. Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S on pyramidin huippu. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. Vaihtoehtoinen nimi kolmiopyramidille on tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka laskeutuu sen huipulta pohjan tasoon.

Pyramidia kutsutaan säännölliseksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.

Opettajan kommentti:
Älä sekoita käsitteitä "säännöllinen pyramidi" ja "säännöllinen tetraedri". Tavallisessa pyramidissa sivureunat eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin pohjan reunat, mutta säännöllisessä tetraedrissä kaikki 6 reunaa ovat yhtä suuret. Tämä on hänen määritelmänsä. On helppo todistaa, että yhtäläisyys tarkoittaa, että monikulmion keskipiste P osuu yhteen jonka kantakorkeus, joten säännöllinen tetraedri on säännöllinen pyramidi.

Mikä on apoteemi?
Pyramidin apoteemi on sen sivupinnan korkeus. Jos pyramidi on säännöllinen, niin kaikki sen apoteemit ovat yhtä suuret. Käänteinen ei ole totta.

Matematiikan ohjaaja terminologiastaan: 80 % työstä pyramidien parissa on rakennettu kahdentyyppisten kolmioiden kautta:
1) Sisältää apothemin SK ja korkeuden SP
2) Sisältää sivureunan SA ja sen projektion PA

Näiden kolmioiden viittausten yksinkertaistamiseksi matematiikan opettajan on helpompi kutsua niistä ensimmäinen apoteellista, ja toinen kylki-. Valitettavasti tätä terminologiaa ei löydy mistään oppikirjoista, ja opettajan on esitettävä se yksipuolisesti.

Pyramidin tilavuuden kaava:
1) , missä on pyramidin pohjan pinta-ala ja pyramidin korkeus
2) , missä on piirretyn pallon säde ja on pyramidin kokonaispinnan pinta-ala.
3) , jossa MN on kahden risteävän reunan välinen etäisyys ja on suunnikkaan pinta-ala, jonka muodostavat neljän jäljellä olevan reunan keskipisteet.

Pyramidin korkeuden pohjan ominaisuus:

Piste P (katso kuva) osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa pyramidin pohjassa, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
1) Kaikki apoteemit ovat samanarvoisia
2) Kaikki sivupinnat ovat tasaisesti kaltevassa pohjassa
3) Kaikki apoteemit ovat yhtä kallistuneet pyramidin korkeuteen
4) Pyramidin korkeus on tasaisesti kalteva kaikille sivupinnoille

Matematiikan opettajan kommentti: Huomaa, että kaikkia pisteitä yhdistää yksi yhteinen ominaisuus: tavalla tai toisella sivupinnat ovat mukana kaikkialla (apoteemit ovat niiden elementtejä). Siksi ohjaaja voi tarjota vähemmän tarkan, mutta oppimisen kannalta helpomman muotoilun: piste P osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen, pyramidin pohjan kanssa, jos sen sivupinnasta on yhtä paljon tietoa. Sen todistamiseksi riittää, kun osoitetaan, että kaikki apoteemikolmiot ovat yhtä suuria.

Piste P on sama kuin pyramidin pohjan lähellä olevan ympyrän keskipiste, jos yksi kolmesta ehdosta on totta:
1) Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret
2) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kaltevassa pohjassa
3) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kallistuneet korkeuteen