Kaavat logaritmisille funktioille. Logaritmiset lausekkeet

pääominaisuudet.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identtiset perusteet

Log6 4 + log6 9.

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta

Entä jos logaritmin kanta tai argumentti on potenssi? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Siirtyminen uudelle perustalle

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Katso myös:

Logaritmin perusominaisuudet

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on yhtä suuri kuin 2,7 ja kaksi kertaa Leo Nikolaevich Tolstoin syntymävuosi.

Logaritmien perusominaisuudet

Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Esimerkkejä logaritmeista

Logaritmilausekkeet

Esimerkki 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Laskemme ominaisuuksien 3.5 avulla

2.

3.

4. Missä .

Esimerkki 2. Etsi x jos

Esimerkki 3. Anna logaritmien arvot

Laske log(x), jos

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten kaikkia lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan pääominaisuudet.

Sinun on ehdottomasti tiedettävä nämä säännöt - ilman niitä ei voida ratkaista yhtä vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - voit oppia kaiken yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logax ja logay. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi ja erotus on yhtä suuri kuin osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on identtiset perusteet. Jos syyt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Koska logaritmeilla on samat kantakannat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnosten jälkeen saadaan täysin normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kokeen kaltaisia ​​ilmaisuja tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä ilman muutoksia) Unified State Examinationissa.

Eksponentin erottaminen logaritmista

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin. , eli Voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Huomaa, että nimittäjä sisältää logaritmin, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki vaatii hieman selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä.

Logaritmikaavat. Logaritmiesimerkkejä ratkaisuista.

Esitimme siellä seisovan logaritmin perusteen ja argumentin potenssien muodossa ja poistimme eksponentit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittaja ja nimittäjä sisältävät saman luvun: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä on tehty. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos syyt ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos asetamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke ”käännetään”, ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin ongelmia, joita ei voida ratkaista millään muulla kuin siirtymällä uudelle säätiölle. Katsotaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat potenssit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden uudelleenjärjestelyssä, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsiteltiin logaritmeja.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on tarpeen esittää luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa seuraavat kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmiarvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan nimellä: .

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos luku b nostetaan sellaiseen potenssiin, että luku b tähän potenssiin antaa luvun a? Aivan oikein: tulos on sama luku a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset juuttuvat siihen.

Kuten uuteen kantaan siirtymisen kaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - otti yksinkertaisesti neliön logaritmin kanta- ja argumentista. Ottaen huomioon säännöt tehojen kertomisesta samalla perustalla, saamme:

Jos joku ei tiedä, niin tämä oli oikea tehtävä Unified State Exaista :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin ne ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Ne esiintyvät jatkuvasti ongelmissa ja yllättäen aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi minkä tahansa kantakohdan a logaritmi on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentissa on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Katso myös:

B:n logaritmi a:n perustaksi ilmaisee lausekkeen. Logaritmin laskeminen tarkoittaa potenssin x () löytämistä, jolla yhtälö täyttyy

Logaritmin perusominaisuudet

Yllä olevat ominaisuudet on tiedettävä, koska lähes kaikki logaritmiin liittyvät ongelmat ja esimerkit ratkaistaan ​​niiden perusteella. Loput eksoottisista ominaisuuksista voidaan johtaa näiden kaavojen matemaattisten manipulaatioiden avulla

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Laskettaessa kaavaa logaritmien summalle ja erolle (3.4) törmäät melko usein. Loput ovat jokseenkin monimutkaisia, mutta monissa tehtävissä ne ovat välttämättömiä monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistamiseksi ja niiden arvojen laskemiseksi.

Yleisiä logaritmien tapauksia

Jotkut yleisimmistä logaritmeista ovat sellaisia, joissa kanta on jopa kymmenen, eksponentiaalinen tai kaksi.
Logaritmia kymmeneen kantaan kutsutaan yleensä desimaalilogaritmiksi ja sitä merkitään yksinkertaisesti lg(x).

Äänitteestä käy selvästi ilmi, että perusasiat eivät ole kirjoitettuna äänitteeseen. Esimerkiksi

Luonnollinen logaritmi on logaritmi, jonka kanta on eksponentti (merkitty ln(x)).

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on yhtä suuri kuin 2,7 ja kaksi kertaa Leo Nikolaevich Tolstoin syntymävuosi. Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Ja toinen tärkeä logaritmi perustalle kaksi on merkitty

Funktion logaritmin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna muuttujalla

Integraali- tai antiderivatiivinen logaritmi määräytyy suhteen perusteella

Annettu materiaali riittää ratkaisemaan laajan luokan logaritmiin ja logaritmeihin liittyviä ongelmia. Auttamaan sinua ymmärtämään materiaalia, annan vain muutaman yleisen esimerkin koulun opetussuunnitelmasta ja yliopistoista.

Esimerkkejä logaritmeista

Logaritmilausekkeet

Esimerkki 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Laskemme ominaisuuksien 3.5 avulla

2.
Logaritmien eron ominaisuudella meillä on

3.
Käyttämällä ominaisuuksia 3.5 löydämme

4. Missä .

Näennäisesti monimutkainen lauseke yksinkertaistetaan muodostamaan useita sääntöjä

Logaritmiarvojen löytäminen

Esimerkki 2. Etsi x jos

Ratkaisu. Laskennassa sovelletaan viimeisen termin 5 ja 13 omaisuutta

Laitamme sen muistiin ja suremme

Koska emäkset ovat yhtä suuret, yhtälöimme lausekkeet

Logaritmit. Ensimmäinen taso.

Olkoon logaritmien arvo annettu

Laske log(x), jos

Ratkaisu: Otetaan muuttujan logaritmi ja kirjoitetaan logaritmi sen ehtojen summan kautta

Tämä on vasta alkua tutustumisellemme logaritmeihin ja niiden ominaisuuksiin. Harjoittele laskelmia, rikasta käytännön taitojasi - tarvitset pian saamasi tiedot logaritmien yhtälöiden ratkaisemiseen. Tutkittuamme perusmenetelmiä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, laajennamme tietosi toiseen yhtä tärkeään aiheeseen - logaritmiseen epäyhtälöihin...

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten kaikkia lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan pääominaisuudet.

Sinun on ehdottomasti tiedettävä nämä säännöt - ilman niitä ei voida ratkaista yhtä vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - voit oppia kaiken yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logax ja logay. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi ja erotus on yhtä suuri kuin osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on identtiset perusteet. Jos syyt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log6 4 + log6 9.

Koska logaritmeilla on samat kantakannat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnosten jälkeen saadaan täysin normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kokeen kaltaisia ​​ilmaisuja tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä ilman muutoksia) Unified State Examinationissa.

Eksponentin erottaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kanta tai argumentti on potenssi? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin. , eli Voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin.

Kuinka ratkaista logaritmit

Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Huomaa, että nimittäjä sisältää logaritmin, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki vaatii hieman selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. Esitimme siellä seisovan logaritmin perusteen ja argumentin potenssien muodossa ja poistimme eksponentit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittaja ja nimittäjä sisältävät saman luvun: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä on tehty. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos syyt ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos asetamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke ”käännetään”, ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin ongelmia, joita ei voida ratkaista millään muulla kuin siirtymällä uudelle säätiölle. Katsotaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat potenssit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden uudelleenjärjestelyssä, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsiteltiin logaritmeja.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on tarpeen esittää luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa seuraavat kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmiarvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan nimellä: .

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos luku b nostetaan sellaiseen potenssiin, että luku b tähän potenssiin antaa luvun a? Aivan oikein: tulos on sama luku a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset juuttuvat siihen.

Kuten uuteen kantaan siirtymisen kaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - otti yksinkertaisesti neliön logaritmin kanta- ja argumentista. Ottaen huomioon säännöt tehojen kertomisesta samalla perustalla, saamme:

Jos joku ei tiedä, niin tämä oli oikea tehtävä Unified State Exaista :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin ne ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Ne esiintyvät jatkuvasti ongelmissa ja yllättäen aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi minkä tahansa kantakohdan a logaritmi on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentissa on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Aloitetaan yhden logaritmin ominaisuudet. Sen muotoilu on seuraava: yksikön logaritmi on yhtä suuri kuin nolla, eli log a 1=0 mille tahansa a>0, a≠1. Todistus ei ole vaikea: koska a 0 =1 mille tahansa a:lle, joka täyttää edellä mainitut ehdot a>0 ja a≠1, niin todistettava yhtälö log a 1=0 seuraa välittömästi logaritmin määritelmästä.

Otetaan esimerkkejä tarkasteltavan ominaisuuden soveltamisesta: log 3 1=0, log1=0 ja .

Siirrytään seuraavaan omaisuuteen: kantaa vastaavan luvun logaritmi on yhtä suuri kuin yksi, tuo on, log a a=1 jos a>0, a≠1. Todellakin, koska a 1 =a mille tahansa a:lle, niin logaritmin määritelmän mukaan log a a=1.

Esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä ovat yhtälöt log 5 5=1, log 5.6 5.6 ja lne=1.

Esimerkiksi log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja .

Kahden positiivisen luvun tulon logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien tulo: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Todistetaan tuotteen logaritmin ominaisuus. Johtuen tutkinnon ominaisuuksista a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, ja koska päälogaritmisen identiteetin mukaan log a x =x ja log a y =y, niin log a x ·a log a y =x·y. Siten log a x+log a y =x·y, josta logaritmin määritelmän mukaan seuraa todistettava yhtälö.

Otetaan esimerkkejä tuotteen logaritmin ominaisuuden käytöstä: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja .

Tuloksen logaritmin ominaisuus voidaan yleistää positiivisten lukujen x 1 , x 2 , …, x n äärellisen luvun n tuloksi. log a (x 1 × 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Tämä tasa-arvo voidaan todistaa ilman ongelmia.

Esimerkiksi tuotteen luonnollinen logaritmi voidaan korvata lukujen 4, e ja kolmen luonnollisen logaritmin summalla.

Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien välinen ero. Osamäärän logaritmin ominaisuus vastaa muotoa , jossa a>0, a≠1, x ja y ovat joitain positiivisia lukuja. Tämän kaavan pätevyys on todistettu samoin kuin tuotteen logaritmin kaava: koska , sitten logaritmin määritelmän mukaan.

Tässä on esimerkki logaritmin ominaisuuden käytöstä: .

Jatketaan potenssin logaritmin ominaisuus. Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja tämän asteen kantamoduulin logaritmi. Kirjoita tämä potenssin logaritmin ominaisuus kaavaksi: log a b p =p·log a |b|, jossa a>0, a≠1, b ja p ovat sellaisia ​​lukuja, että aste b p on järkevä ja b p >0.

Ensin todistetaan tämä ominaisuus positiiviselle b:lle. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b , jolloin b p =(a log a b) p , ja tuloksena oleva lauseke on potenssin ominaisuuden vuoksi yhtä suuri kuin p·log a b . Joten päästään yhtälöön b p =a p·log a b, josta logaritmin määritelmän perusteella päätellään, että log a b p =p·log a b.

On vielä todistettava tämä ominaisuus negatiiviselle b:lle. Tässä huomautetaan, että lauseke log a b p negatiiviselle b:lle on järkevä vain parillisille eksponenteille p (koska asteen b p arvon on oltava suurempi kuin nolla, muuten logaritmissa ei ole järkeä), ja tässä tapauksessa b p =|b| s. Sitten b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, josta log a b p =p·log a |b| .

Esimerkiksi, ja ln(-3)4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Se seuraa edellisestä omaisuudesta logaritmin ominaisuus juuresta: n:nnen juuren logaritmi on yhtä suuri kuin murtoluvun 1/n tulo radikaalilausekkeen logaritmilla, eli , jossa a>0, a≠1, n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin yksi, b>0.

Todistus perustuu yhtälöön (katso), joka pätee mille tahansa positiiviselle b:lle, ja potenssin logaritmin ominaisuuteen: .

Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: .

Nyt todistetaan uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaava kiltti . Tätä varten riittää, kun todistetaan yhtälön log c b=log a b·log c a pätevyys. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b, sitten log c b=log c a log a b . Jää käyttää tutkinnon logaritmin ominaisuutta: log c a log a b =log a b log c a. Tämä todistaa yhtälön log c b=log a b·log c a, mikä tarkoittaa, että myös logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaava on todistettu.

Otetaan pari esimerkkiä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä: and .

Uuteen kantaan siirtymisen kaavan avulla voit siirtyä työskentelemään logaritmien kanssa, joilla on "kätevä" kanta. Sitä voidaan käyttää esimerkiksi siirtymiseen luonnollisiin tai desimaalilogaritmeihin, jotta voit laskea logaritmin arvon logaritmitaulukosta. Uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaava mahdollistaa myös joissain tapauksissa tietyn logaritmin arvon löytämisen, kun joidenkin logaritmien arvot muiden kantalukujen kanssa ovat tiedossa.

Usein käytetään kaavan erikoistapausta siirtymiseksi uuteen logaritmikantaan muodon c=b:lle . Tämä osoittaa, että log a b ja log b a – . Esim, .

Kaavaa käytetään myös usein , joka on kätevä logaritmiarvojen löytämiseen. Sanojemme vahvistamiseksi näytämme, kuinka sitä voidaan käyttää muodon logaritmin arvon laskemiseen. Meillä on . Todistamaan kaavan riittää, kun käytät kaavaa siirtymiseen logaritmin a uuteen kantaan: .

On vielä todistettava logaritmien vertailun ominaisuudet.

Osoitetaan, että millä tahansa positiivisella luvulla b 1 ja b 2, b 1 log a b 2 ja a>1:lle epäyhtälö log a b 1

Lopuksi on vielä todistettava viimeinen luetelluista logaritmien ominaisuuksista. Rajoittukaamme sen ensimmäisen osan todistukseen, eli todistamme, että jos a 1 >1, a 2 >1 ja a 1 1 on tosi log a 1 b>log a 2 b . Tämän logaritmien ominaisuuden loput lausunnot todistetaan samanlaisen periaatteen mukaisesti.

Käytetään päinvastaista menetelmää. Oletetaan, että 1 > 1, 2 > 1 ja 1 1 on tosi log a 1 b ≤ log a 2 b . Logaritmien ominaisuuksien perusteella nämä epäyhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ja vastaavasti, ja niistä seuraa, että log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥ log b a 2, vastaavasti. Tällöin samoilla kantakantoilla olevien potenssien ominaisuuksien mukaan yhtälöiden b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 on oltava voimassa, eli a 1 ≥a 2 . Joten tulimme ristiriitaan ehdon a 1 kanssa

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra ja analyysin alkua: Oppikirja yleiskoulujen luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin tuleville).

Logaritmeja, kuten kaikkia lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan pääominaisuudet.

Sinun on ehdottomasti tiedettävä nämä säännöt - ilman niitä ei voida ratkaista yhtä vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - voit oppia kaiken yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: log a x ja kirjaudu a y. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. Hirsi a x+ loki a y= loki a (x · y);
2. Hirsi a x− loki a y= loki a (x : y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi ja erotus on yhtä suuri kuin osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on identtiset perusteet. Jos syyt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Tukki 6 4 + loki 6 9.

Koska logaritmeilla on samat kantakannat, käytämme summakaavaa:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 2 48 − log 2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 3 135 − log 3 5.

Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnosten jälkeen saadaan täysin normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kokeen kaltaisia ​​ilmaisuja tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä ilman muutoksia) Unified State Examinationissa.

Eksponentin erottaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kanta tai argumentti on potenssi? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja vielä yksi asia: opettele soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin, ts. Voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 7 49 6 .

Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että nimittäjä sisältää logaritmin, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meillä on:

[Kuvan kuvateksti]

Mielestäni viimeinen esimerkki vaatii hieman selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. Esitimme siellä seisovan logaritmin perusteen ja argumentin potenssien muodossa ja poistimme eksponentit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittaja ja nimittäjä sisältävät saman luvun: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä on tehty. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos syyt ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmiloki annettu a x. Siis mille tahansa numerolle c sellasta c> 0 ja c≠ 1, yhtäläisyys on totta:

[Kuvan kuvateksti]

Varsinkin jos laitamme c = x, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke ”käännetään”, ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin ongelmia, joita ei voida ratkaista millään muulla kuin siirtymällä uudelle säätiölle. Katsotaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 5 16 log 2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat potenssit. Otetaan indikaattorit pois: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

[Kuvan kuvateksti]

Koska tulo ei muutu tekijöiden uudelleenjärjestelyssä, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsiteltiin logaritmeja.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon indikaattoreista:

[Kuvan kuvateksti]

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

[Kuvan kuvateksti]

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on tarpeen esittää luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa seuraavat kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa numero n siitä tulee argumentin tason indikaattori. Määrä n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmiarvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan: logaritmisen perusidentiteetti.

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos numero b nostaa niin suureksi, että numero b tähän potenssiin antaa numeron a? Aivan oikein: saat saman numeron a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset juuttuvat siihen.

Kuten uuteen kantaan siirtymisen kaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että log 25 64 = log 5 8 - yksinkertaisesti otti neliön logaritmin kantasta ja argumentista. Ottaen huomioon säännöt tehojen kertomisesta samalla perustalla, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Jos joku ei tiedä, niin tämä oli oikea tehtävä Unified State Exaista :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin ne ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Ne esiintyvät jatkuvasti ongelmissa ja yllättäen aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. Hirsi a a= 1 on logaritminen yksikkö. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a juuri tästä perustasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. Hirsi a 1 = 0 on logaritminen nolla. Pohja a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti sisältää yhden, logaritmi on nolla! Koska a 0 = 1 on suora seuraus määritelmästä.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Logaritmit ja niiden käytön säännöt ovat varsin kattavat ja yksinkertaiset. Siksi sinun ei ole vaikea ymmärtää tätä aihetta. Kun olet oppinut kaikki luonnollisten logaritmien säännöt, kaikki ongelmat voidaan ratkaista itsenäisesti. Ensimmäinen tutustuminen tähän aiheeseen saattaa tuntua tylsältä ja turhalta, mutta logaritmien avulla ratkaistiin monet 1500-luvun matemaatikoiden ongelmat. "Mitä se koskee?" - ajattelit. Lue artikkeli loppuun ja ota selvää, että tämä "tieteiden kuningattaren" osio saattaa kiinnostaa paitsi matemaatikoita ja täsmällisten tieteiden tutkijoita, myös tavallisia toisen asteen oppilaita.

Logaritmin määritelmä

Aloitetaan logaritmin määritelmästä. Kuten monet oppikirjat sanovat: luvun b logaritmi perustana a (logab) on tietty luku c, jolle pätee seuraava yhtälö: b=ac. Eli yksinkertaisin sanoin logaritmi on tietty teho, johon nostamme kantaa tietyn luvun saamiseksi. Mutta on tärkeää muistaa, että logab-muodon logaritmilla on järkeä vain, kun: a>0; a - jokin muu luku kuin 1; b>0, joten päätämme, että logaritmi löytyy vain positiivisille luvuille.

Logaritmien luokittelu kantakohtaisesti

Logaritmien pohjassa voi olla mikä tahansa positiivinen luku. Mutta on myös kahta tyyppiä: luonnollinen ja desimaalilogaritmi.

• Luonnollinen logaritmi - logaritmi, jonka kanta on e (e on Eulerin luku, joka on numeerisesti suunnilleen yhtä suuri kuin 2,7, irrationaaliluku, joka otettiin käyttöön eksponentiaaliselle funktiolle y = ex), merkitty ln a = logea;
• Desimaalilogaritmi on logaritmi, jonka kanta on 10, eli log10a = log a.

Logaritmien perussäännöt

Ensin sinun on tutustuttava logaritmisen perusidentiteettiin: alogab=b, jota seuraa kaksi perussääntöä:

• loga1 = 0 - koska mikä tahansa luku nollatehoon on yhtä suuri kuin 1;
• loga = 1.

Logaritmin löytämisen ansiosta meidän ei tule olemaan vaikeaa ratkaista yhtään eksponentiaaliyhtälöä, jonka vastausta ei voida ilmaista luonnollisella luvulla, vaan vain irrationaalisella luvulla. Esimerkiksi: 5x = 9, x = log59 (koska tälle yhtälölle ei ole luonnollista x:tä).

Operaatiot logaritmeilla

• loga(x · y) = logax+ logay - saadaksesi tulon logaritmin, sinun on lisättävä tekijöiden logaritmit. Huomaa, että logaritmien kantaluvut ovat samat. Jos kirjoitamme tämän käänteisessä järjestyksessä, saadaan logaritmien lisäämissääntö.
• loga xy = logax - logay - osamäärän logaritmin löytämiseksi sinun on löydettävä ero jaon ja jakajan logaritmien välillä. Huomaa: logaritmeilla on sama kanta. Kun kirjoitetaan käänteisessä järjestyksessä, saadaan logaritmien vähennyssääntö.

• logakxp = (p/k)*logax - eli jos logaritmin argumentti ja kanta sisältävät potenssit, ne voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä.
• logax = logac xc - edellisen säännön erikoistapaus, kun eksponentit ovat yhtä suuret, niitä voidaan pienentää.
• logax = (logbx)(logba) - ns. siirtymämoduuli, menettely logaritmin pienentämiseksi toiseen kantaan.
• logax = 1/logxa - erityinen siirtymätapaus, joka muuttaa kannan ja annetun luvun paikkoja. Kuvannollisesti sanottuna koko lauseke käännetään, ja logaritmi uudella kantalla ilmestyy nimittäjään.

Logaritmien historia

1500-luvulla syntyi tarve suorittaa monia likimääräisiä laskelmia käytännön ongelmien ratkaisemiseksi, pääasiassa tähtitieteen alalla (esimerkiksi aluksen sijainnin määrittäminen auringosta tai tähdistä).

Tämä tarve kasvoi nopeasti ja moninumeroisten lukujen kertominen ja jakaminen aiheutti merkittäviä vaikeuksia. Ja matemaatikko Napier päätti trigonometrisia laskelmia tehdessään korvata työvoimavaltaisen kertolaskun tavallisella yhteenlaskolla vertaamalla tähän joitain progressioita. Sitten jako korvataan samalla tavalla yksinkertaisemmalla ja luotettavammalla menettelyllä - vähennyksellä, ja n:nnen juuren erottamiseksi sinun on jaettava radikaalilausekkeen logaritmi n:llä. Tällaisen vaikean matematiikan ongelman ratkaiseminen heijasti selvästi Napierin tavoitteita tieteessä. Näin hän kirjoitti siitä kirjansa "Rhabdology" alussa:

Olen aina yrittänyt, sikäli kuin voimani ja kykyni ovat sallineet, vapauttaa ihmiset laskelmien vaikeudesta ja tylsyydestä, joiden ikävystyminen yleensä lannistaa monia matematiikan opiskelusta.

Napier itse ehdotti logaritmin nimeä; se saatiin yhdistämällä kreikkalaisia ​​sanoja, jotka yhdistettyinä tarkoittivat "suhteiden lukumäärää".

Speidel esitteli logaritmin kannan. Euler lainasi sen tehoteoriasta ja siirsi sen logaritmien teoriaan. Logaritmien käsite tuli tunnetuksi Coppen ansiosta 1800-luvulla. Ja luonnollisten ja desimaalilogaritmien käyttö sekä niiden merkintä ilmestyi Cauchyn ansiosta.

Vuonna 1614 John Napier julkaisi latinaksi esseen "Kuvaus hämmästyttävästä logaritmitaulukosta". Siinä oli lyhyt kuvaus logaritmeista, säännöistä ja niiden ominaisuuksista. Näin termi "logaritmi" vakiintui eksakteihin tieteisiin.

Logaritmioperaatio ja sen ensimmäinen maininta ilmestyivät Wallisin ja Johann Bernoullin ansiosta, ja lopulta Euler perusti sen 1700-luvulla.

Se on Eulerin ansio laajentaa logaritminen funktio muodossa y = logax kompleksiseen alueeseen. 1700-luvun ensimmäisellä puoliskolla julkaistiin hänen kirjansa "Introduction to the Analysis of Infinites", joka sisälsi nykyaikaisia ​​​​määritelmiä eksponentiaalisista ja logaritmisista funktioista.

Logaritminen funktio

Funktio muotoa y = logax (on järkevä vain, jos: a > 0, a ≠ 1).

• Logaritmisen funktion määrittää kaikkien positiivisten lukujen joukko, koska merkintä logax on olemassa vain ehdolla - x > 0;.
• Tämä funktio voi ottaa ehdottomasti kaikki arvot joukosta R (reaaliluvut). Koska jokaisella reaaliluvulla b on positiivinen x, niin yhtälö logax = b täyttyy, eli tällä yhtälöllä on juuri - x = ab (seuraa siitä, että logaab = b).
• Funktio kasvaa välillä a>0 ja pienenee välillä 0. Jos a>0, funktio saa positiivisia arvoja x>1:lle.

On muistettava, että millä tahansa logaritmisen funktion y = logax graafilla on yksi stationaaripiste (1; 0), koska loga 1 = 0. Tämä näkyy selvästi alla olevan kaavion kuvassa.

Kuten kuvista näemme, funktiolla ei ole pariteettia tai parittomuutta, sillä ei ole enimmäis- tai minimiarvoja, eikä sitä ole rajoitettu ylä- tai alapuolelle.

Logaritminen funktio y = logаx ja eksponentiaalinen funktio y = aх, missä (а>0, а≠1), ovat keskenään käänteisiä. Tämä näkyy heidän kaavioidensa kuvassa.

Tehtävän ratkaiseminen logaritmeilla

Tyypillisesti logaritmeja sisältävän ongelman ratkaisu perustuu niiden muuntamiseen vakiomuotoon tai sillä pyritään yksinkertaistamaan logaritmimerkin alla olevia lausekkeita. Vai kannattaako tavalliset luonnolliset luvut muuntaa logaritmeiksi vaaditulla kantaluvulla ja suorittaa lisätoimenpiteitä lausekkeen yksinkertaistamiseksi.

On joitain hienouksia, joita ei pidä unohtaa:

• Kun ratkaiset epäyhtälöitä, kun molemmat puolet ovat logaritmien alla säännön mukaan, jolla on sama kanta, älä kiirehdi "heittämään pois" logaritmin etumerkkiä. Ota huomioon logaritmisen funktion monotonisuusvälit. Koska jos kanta on suurempi kuin 1 (tapaus, kun funktio kasvaa), epäyhtälömerkki pysyy ennallaan, mutta kun kanta on suurempi kuin 0 ja pienempi kuin 1 (tapaus, kun funktio pienenee), epäyhtälö merkki muuttuu päinvastaiseksi;
• Älä unohda logaritmin määritelmiä: logax = b, a>0, a≠1 ja x>0, jotta et menetä juuria hyväksyttävien arvojen huomioimattoman alueen vuoksi. Sallittu arvoalue (VA) on olemassa lähes kaikille monimutkaisille funktioille.

Nämä ovat triviaaleja, mutta suuria virheitä, joihin monet ovat törmänneet etsiessään oikeaa vastausta tehtävään. Logaritmien ratkaisemiseen ei ole niin paljon sääntöjä, joten tämä aihe on yksinkertaisempi kuin muut ja myöhemmät, mutta se kannattaa ymmärtää hyvin.

Johtopäätös

Tämä aihe saattaa ensi silmäyksellä tuntua monimutkaiselta ja hankalalta, mutta kun tutkit sitä syvemmälle ja syvemmälle, alat ymmärtää, että aihe yksinkertaisesti päättyy, eikä mikään ole aiheuttanut vaikeuksia. Olemme käsitelleet kaikki logaritmien aiheeseen liittyvät ominaisuudet, säännöt ja jopa virheet. Onnea opintoihin!