Modulon numero tätä numeroa itse kutsutaan, jos se ei ole negatiivinen, tai samaa numeroa, jolla on vastakkainen merkki, jos se on negatiivinen.

Esimerkiksi moduuli 6 on 6, moduuli -6 on myös 6.

Toisin sanoen luvun absoluuttinen arvo ymmärretään absoluuttisena arvona, tämän luvun absoluuttisena arvona ottamatta huomioon sen merkkiä.

Se on nimetty seuraavasti: | 6 |, | x|, |ja| jne.

(Lisätietoja on luvussa "Numeromoduuli").

Yhtälöt moduulilla.

Esimerkki 1 ... Ratkaise yhtälö|10 x - 5| = 15.

Päätös.

Säännön mukaan yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Me päätämme:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Vastaus: x 1 = 2, x 2 = -1.

Esimerkki 2 ... Ratkaise yhtälö|2 x + 1| = x + 2.

Päätös.

Koska moduuli on ei-negatiivinen luku, niin x + 2 ≥ 0. Vastaavasti:

x ≥ -2.

Laadimme kaksi yhtälöä:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Me päätämme:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Molemmat luvut ovat suurempia kuin -2. Siksi molemmat ovat yhtälön juuret.

Vastaus: x 1 = -1, x 2 = 1.

Esimerkki 3 ... Ratkaise yhtälö

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Päätös.

Yhtälöllä on järkeä, jos nimittäjä ei ole nolla - se tarkoittaa jos x ≠ 1. Otetaan tämä ehto huomioon. Ensimmäinen toimintamme on yksinkertainen - ei vain päästä eroon murtoluvusta, vaan muuntaa se niin, että saamme moduulin puhtaassa muodossa:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Nyt lauseke on vain moduulin alapuolella yhtälön vasemmalla puolella. Jatka eteenpäin.
Luvun moduuli on ei-negatiivinen luku - eli sen on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Vastaavasti ratkaisemme eriarvoisuuden:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Siksi meillä on toinen ehto: yhtälön juuren on oltava vähintään 3/4.

Säännön mukaisesti muodostamme joukon kahdesta yhtälöstä ja ratkaisemme ne:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Saimme kaksi vastausta. Tarkistetaan, ovatko ne alkuperäisen yhtälön juuria.

Meillä oli kaksi ehtoa: yhtälön juuri ei voi olla yhtä suuri kuin 1, ja sen on oltava vähintään 3/4. Eli x ≠ 1, x ≥ 3/4. Vain yksi kahdesta vastaanotetusta vastauksesta täyttää molemmat ehdot - luku 2. Tämä tarkoittaa, että vain se on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: x = 2.

Eriarvoisuudet moduulin kanssa.

Esimerkki 1 ... Ratkaise eriarvoisuus| x - 3| < 4

Päätös.

Moduulisääntö sanoo:

|ja| = ja, jos ja ≥ 0.

|ja| = -ja, jos ja < 0.

Moduulilla voi olla sekä ei-negatiivisia että negatiivisia lukuja. Siksi meidän on tarkasteltava molempia tapauksia: x - 3 ≥ 0 ja x - 3 < 0.

1) Milloin x - 3 ≥ 0, alkuperäinen eriarvoisuutemme pysyy sellaisenaan, vain ilman moduulimerkkiä:
x - 3 < 4.

2) Milloin x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Laajentamalla suluita saamme:

-x + 3 < 4.

Siten näistä kahdesta ehdosta tulimme kahden eriarvoisuusjärjestelmän yhdistymiseen:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Ratkaistaan \u200b\u200bne:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Joten vastauksessamme meillä on kahden ryhmän liitto:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Määritä pienimmät ja suurimmat arvot. Nämä ovat -1 ja 7. Samalla x suurempi kuin -1, mutta alle 7.
Sitä paitsi, x ≥ 3. Näin ollen eriarvoisuuden ratkaisu on koko numerosarja -1: stä 7: een, lukuun ottamatta näitä äärilukuja.

Vastaus: -1 < x < 7.

Tai: x ∈ (-1; 7).

Lisäravinteet.

1) Eriarvoisuuden ratkaisemiseksi on yksinkertaisempi ja lyhyempi tapa - graafinen. Tätä varten sinun on piirrettävä vaaka-akseli (kuva 1).

Lauseke | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x 3 kohtaan on alle neljä yksikköä. Merkitään numero 3 akselille ja lasketaan siitä 4 jakoa vasemmalle ja oikealle. Vasemmalla tulemme pisteeseen -1, oikealla - pisteeseen 7. Näin ollen pisteet x näimme juuri laskematta niitä.

Lisäksi eriarvoisuusolosuhteiden mukaan -1 ja 7 eivät itse sisälly ratkaisusarjaan. Siten saamme vastauksen:

1 < x < 7.

2) Mutta on vielä yksi ratkaisu, joka on yksinkertaisempi jopa graafisesti. Tätä varten eriarvoisuutemme on esitettävä seuraavassa muodossa:

4 < x - 3 < 4.

Loppujen lopuksi näin on moduulisäännön mukaan. Ei-negatiivinen luku 4 ja vastaava negatiivinen luku -4 ovat rajoja eriarvoisuuden ratkaisemiselle.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Esimerkki 2 ... Ratkaise eriarvoisuus| x - 2| ≥ 5

Päätös.

Tämä esimerkki eroaa merkittävästi edellisestä. Vasen puoli on suurempi kuin 5 tai yhtä suuri kuin 5. Geometriseltä kannalta ratkaisu eriarvoisuuteen on kaikki luvut, jotka ovat vähintään 5 yksikön etäisyydellä pisteestä 2 (kuva 2). Kaavio osoittaa, että nämä kaikki ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin -3 ja suurempia tai yhtä suuria kuin 7. Joten olemme jo saaneet vastauksen.

Vastaus: -3 ≥ x ≥ 7.

Matkan varrella ratkaistaan \u200b\u200bsama epätasa-arvo permutoimalla vapaa termi vasemmalle ja oikealle päinvastaisella merkillä:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Vastaus on sama: -3 ≥ x ≥ 7.

Tai: x ∈ [-3; 7]

Esimerkki ratkaistu.

Esimerkki 3 ... Ratkaise eriarvoisuus6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Päätös.

Määrä x voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla. Siksi meidän on otettava huomioon kaikki kolme olosuhetta. Kuten tiedätte, ne otetaan huomioon kahdessa eriarvoisuudessa: x ≥ 0 ja x < 0. При x ≥ 0 kirjoitamme vain alkuperäisen eriarvoisuutemme sellaisenaan, vain ilman moduulimerkkiä:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Nyt toisesta tapauksesta: jos x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Laajenna kannattimia:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Siten saimme kaksi yhtälöjärjestelmää:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

On välttämätöntä ratkaista eriarvoisuudet järjestelmissä - mikä tarkoittaa, on tarpeen löytää kahden neliöyhtälön juuret. Tätä varten verrataan eriarvoisuuksien vasen puoli nollaan.

Aloitetaan ensimmäisestä:

6x 2 - x - 2 = 0.

Kuinka toisen asteen yhtälö ratkaistaan \u200b\u200b- katso kohta "Neliöyhtälö". Nimeämme vastauksen välittömästi:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Ensimmäisestä eriarvoisuusjärjestelmästä havaitaan, että ratkaisu alkuperäiseen eriarvoisuuteen on koko numerosarja -1/2 - 2/3. Me kirjoitamme ratkaisujen yhdisteen x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ratkaistaan \u200b\u200bnyt toinen neliöllinen yhtälö:

6x 2 + x - 2 = 0.

Sen juuret:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Päätelmä: klo x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Yhdistetään nämä kaksi vastausta ja saat lopullisen vastauksen: ratkaisu on koko numerosarja -2/3 - 2/3, mukaan lukien nämä ääriluvut.

Vastaus: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Tai: x ∈ [-2/3; 2/3].

Menetelmät (säännöt) eriarvoisuuden ilmaisemiseksi moduulien kanssa koostuvat moduulien peräkkäisestä paljastamisesta, samalla kun käytetään submodulaaristen toimintojen merkkivakauden aikavälejä. Lopullisessa versiossa saadaan useita eriarvoisuuksia, joista havaitaan välejä tai välejä, jotka täyttävät ongelman ehdon.

Siirrytään yleisten esimerkkien ratkaisemiseen käytännössä.

Lineaariset eriarvoisuudet moduulien kanssa

Lineaarisella tarkoitamme yhtälöitä, joissa muuttuja siirtyy yhtälöön lineaarisesti.

Esimerkki 1. Etsi ratkaisu eriarvoisuuteen

Päätös:
Tehtävän ehdosta seuraa, että moduulit kääntyvät nollaan kohdissa x \u003d -1 ja x \u003d -2. Nämä pisteet jakavat numeroakselin väleihin

Jokaisella näistä väleistä ratkaistaan \u200b\u200bannettu epätasa-arvo. Tätä varten ensin laaditaan graafiset piirustukset submodulaaristen toimintojen pysyvyysalueista. Ne on kuvattu alueiksi, joissa on merkkejä kustakin toiminnosta

tai välejä, joissa on merkkejä kaikista toiminnoista.

Avaa moduulit ensimmäisen jakson aikana

Kerrotaan molemmat puolet miinus yhdellä, ja eriarvoisuuden merkki muuttuu päinvastaiseksi. Jos sinulla on vaikea tottua tähän sääntöön, voit siirtää kutakin osaa merkin avulla päästäksesi eroon miinuksesta. Lopullisessa versiossa saat

Joukon x\u003e -3 leikkauspiste alueen kanssa, jolla yhtälöt ratkaistiin, on väli (-3; -2). Niille, joilla on helpompaa etsiä ratkaisuja, voit piirtää näiden alueiden leikkauspisteet graafisesti

Alueiden yhteinen risteys on ratkaisu. Tiukat epätasaisuudet, reunat eivät sisälly. Jos se ei ole tiukka, tarkista korvaamalla.

Toisella aikavälillä saamme

Osa on väli (-2; -5/3). Graafisesti ratkaisu näyttää

Kolmannella aikavälillä saamme

Tämä ehto ei anna ratkaisuja halutulle alueelle.

Koska löydetyt kaksi ratkaisua (-3; -2) ja (-2; -5/3) reunustavat pistettä x \u003d -2, tarkistamme myös sen.

Joten piste x \u003d -2 on ratkaisu. Kun tämä otetaan huomioon, yleinen ratkaisu näyttää (-3; 5/3).

Esimerkki 2. Etsi ratkaisu eriarvoisuuteen
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

Päätös:
Pisteet x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 ovat submodulaaristen toimintojen nollia. Näitä pisteitä pienemmille argumenteille submodulaariset funktiot ovat negatiivisia ja suurille positiivisia.

Pisteet jakavat todellisen akselin neljään jaksoon. Avaamme moduulit vakiovälien mukaan ja ratkaisemme eriarvoisuudet.

1) Ensimmäisellä aikavälillä kaikki submodulaariset toiminnot ovat negatiivisia, joten moduuleja laajennettaessa vaihdamme merkin päinvastaiseen.

Löydettyjen x-arvojen leikkauspiste tarkastellun aikavälin kanssa on pistejoukko

2) Pisteiden x \u003d 2 ja x \u003d 3 välisellä aikavälillä ensimmäinen submodulaarinen toiminto on positiivinen, toinen ja kolmas ovat negatiivisia. Laajentamalla moduuleja saamme

eriarvoisuus, joka leikkaa ristiriidassa sen intervallin kanssa, jolle ratkaisemme, yhden ratkaisun - x \u003d 3.

3) Pisteiden x \u003d 3 ja x \u003d 4 välisellä aikavälillä ensimmäinen ja toinen alimoduulitoiminto ovat positiivisia ja kolmas negatiivisia. Tämän perusteella saamme

Tämä ehto osoittaa, että koko intervalli tyydyttää moduulin eriarvoisuuden.

4) Kun x\u003e 4, kaikki toiminnot ovat positiivisia. Moduuleja laajennettaessa emme vaihda niiden merkkiä.

Löydetty tila risteyksessä intervallin kanssa antaa seuraavan joukon ratkaisuja

Koska epätasa-arvo ratkaistaan \u200b\u200bkaikilla aikaväleillä, on löydettävä x: n kaikkien löydettyjen arvojen yhteinen. Ratkaisu olisi kaksi väliä

Tämä esimerkki on ratkaistu.

Esimerkki 3. Etsi ratkaisu eriarvoisuuteen
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

Päätös:
Meillä on eriarvoisuus moduulin moduulin kanssa. Tällaiset eriarvoisuudet paljastuvat moduulien sisäkkäin alkaen syvemmistä sijainnista.

Alimoduulitoiminto x-1 muuntuu nollaksi, kun x \u003d 1. Pienemmille arvoille yhdelle se on negatiivinen ja positiivinen arvolle x\u003e 1. Tämän perusteella laajennamme sisämoduulia ja tarkastelemme eriarvoisuutta kullakin aikavälillä.

Harkitse ensin väli miinus äärettömästä yhteen

Submodulaarinen funktio on yhtä suuri kuin nolla pisteessä x \u003d -4. Alemmilla arvoilla se on positiivinen, korkeammilla se on negatiivinen. Laajenna moduuli x: lle<-4:

Risteyksessä tarkasteltavan alueen kanssa saamme ratkaisusarjan

Seuraava vaihe on moduulin avaaminen aikavälillä (-4; 1)

Ottaen huomioon moduulien julkistamisen alueen saadaan ratkaisuväli

MUISTA: jos sinulla on kaksi intervallia, jotka rajoittavat yhteistä pistettä tällaisissa epäsäännöllisyydessä moduulien kanssa, niin se on pääsääntöisesti myös ratkaisu.

Voit tehdä tämän vain tarkistamalla.

Korvaa tässä tapauksessa piste x \u003d -4.

Joten x \u003d -4 on ratkaisu.
Avataan sisäinen moduuli x\u003e 1: lle

Alamoduulin funktio negatiivinen x: lle<6.
Laajentamalla moduulia saamme

Tämä ehto jaksossa (1; 6) antaa tyhjän joukon ratkaisuja.

Kun x\u003e 6, saadaan eriarvoisuus

Myös ratkaiseminen sai tyhjän sarjan.
Kun otetaan huomioon kaikki edellä mainitut, ainoa ratkaisu moduuleihin liittyvään epätasa-arvoon on seuraava väli.

Epäyhtälöt toisen asteen yhtälöitä sisältävien moduulien kanssa

Esimerkki 4. Etsi ratkaisu eriarvoisuuteen
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

Päätös:
Alamoduulitoiminto häviää pisteistä x \u003d 0, x \u003d -3. Yksinkertainen korvaaminen miinusillä

toteamme, että se on alle nollan aikavälillä (-3; 0) ja positiivinen sen ulkopuolella.
Laajenna moduulia alueilla, joilla submodulaarinen toiminto on positiivinen

On vielä määritettävä alueet, joilla neliöfunktio on positiivinen. Tätä varten määritämme neliöllisen yhtälön juuret

Mukavuuden vuoksi korvataan piste x \u003d 0, joka kuuluu väliin (-2; 1/2). Funktio on negatiivinen tällä aikavälillä, mikä tarkoittaa, että seuraavat joukot x

Tässä suluissa ilmoitetaan alueiden reunat ratkaisuilla; tämä tehtiin tarkoituksella ottaen huomioon seuraava sääntö.

MUISTA: Jos eriarvoisuus moduulien kanssa tai yksinkertainen epätasa-arvo on tiukka, löydettyjen alueiden reunat eivät ole ratkaisuja, jos epätasa-arvot eivät ole tiukkoja (), niin reunat ovat ratkaisuja (merkitty hakasulkeilla).

Tätä sääntöä käyttävät monet opettajat: jos tiukka epätasa-arvo määritetään ja kirjoitat laskutoimituksiin neliösulku ([,]), he laskevat sen automaattisesti virheelliseksi vastaukseksi. Jos testauksessa määritetään ei-tiukka epätasa-arvo moduulien kanssa, etsi ratkaisujen joukosta alueita, joissa on hakasulkeita.

Aikavälillä (-3; 0) moduulin avaamisen yhteydessä muutamme funktion merkin vastakkaiseksi

Kun otetaan huomioon epätasa-arvon paljastumisalue, ratkaisu on

Yhdessä edellisen alueen kanssa tämä antaa kaksi puoliväliä

Esimerkki 5. Etsi ratkaisu eriarvoisuuteen
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

Päätös:
Annetaan löysä epätasa-arvo, jonka submodulaarinen funktio on yhtä suuri kuin nolla pisteessä x \u003d 3. Alemmilla arvoilla se on negatiivinen, korkeammilla se on positiivinen. Laajenna moduulia välillä x<3.

Etsi yhtälön erottelija

ja juuret

Korvaamalla piste nolla saadaan selville, että neliöfunktio on negatiivinen aikavälillä [-1/9; 1], joten intervalli on ratkaisu. Laajenna seuraavaksi moduulia x\u003e 3

Tämä online-matemaattinen laskin auttaa sinua ratkaise yhtälö tai epätasa-arvo moduulien kanssa... Ohjelma vuodelle ratkaisut yhtälöihin ja eriarvoisuuksiin moduulien kanssa ei vain anna vastausta ongelmaan, se antaa yksityiskohtainen ratkaisu selityksineeneli näyttää tuloksen saamisen.

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukion vanhemmille opiskelijoille valmistautuessaan kokeisiin ja tentteihin, kun he tarkistavat tietoja ennen tenttiä, vanhempien hallita monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä on liian kallista opettajan palkkaaminen tai uusien oppikirjojen ostaminen? Vai haluatko vain suorittaa matematiikan tai algebran kotitehtävät mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit käyttää ohjelmiamme myös yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Tällä tavoin voit suorittaa oman opetuksesi ja / tai opettaa nuorempia veljiäsi tai sisariasi, kun taas koulutustaso ratkaistavien ongelmien alalla kasvaa.

Syötä yhtälö tai eriarvoisuus moduulien kanssa

Todettiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, ja ohjelma ei välttämättä toimi.
Ehkä sinulla on AdBlock käytössä.
Poista tällöin se käytöstä ja päivitä sivu.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu näkyy alla.
Odota, ole hyvä sek ...

Jos sinä huomasi virheen päätöksessä, sitten voit kirjoittaa tästä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoita mikä tehtävä sinä päätät ja mitä kirjoita kenttiin.

Pelimme, palapelit, emulaattorit:

Hieman teoriaa.

Yhtälöt ja eriarvoisuudet moduulien kanssa

Peruskoulun algebrakurssilla saatat kohdata yksinkertaisimmat yhtälöt ja eriarvoisuudet moduulien kanssa. Niiden ratkaisemiseksi voit käyttää geometrista menetelmää, joka perustuu siihen, että \\ (| xa | \\) on pisteiden x ja a välinen etäisyys numerolinjalla: \\ (| xa | \u003d \\ rho (x; \\; a ) \\). Esimerkiksi yhtälön \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) ratkaisemiseksi sinun on löydettävä numeroriviltä pisteitä, jotka ovat 2 etäisyydellä pisteestä 3. Tällaisia \u200b\u200bpisteitä on kaksi: \\ (x_1 \u003d 1 \\) ja \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

Eriarvoisuuden ratkaiseminen \\ (| 2x + 7 |

Mutta tärkein tapa ratkaista yhtälöt ja eriarvoisuus moduulien kanssa liittyy ns. "Moduulin laajentamiseen määritelmän mukaan":
jos \\ (a \\ geq 0 \\), niin \\ (| a | \u003d a \\);
jos \\ (a Yhtälö (eriarvoisuus) moduulien kanssa supistetaan pääsääntöisesti yhtälöiksi (eriarvoisuudet), jotka eivät sisällä moduulimerkkiä.

Tämän määritelmän lisäksi käytetään seuraavia lauseita:
1) Jos \\ (c\u003e 0 \\), niin yhtälö \\ (| f (x) | \u003d c \\) vastaa yhtälöjoukkoa: \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) f (x ) \u003d c \\\\ f (x) \u003d - c \\ end (taulukko) \\ right. \\)
2) Jos \\ (c\u003e 0 \\), niin eriarvoisuus \\ (| f (x) | 3) Jos \\ (c \\ geq 0 \\), niin epätasa-arvo \\ (| f (x) |\u003e c \\) on vastaa eriarvoisuuksien joukkoa: \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) f (x) c \\ end (array) \\ right. \\)
4) Jos eriarvoisuuden molemmat puolet \\ (f (x) ESIMERKKI 1. Ratkaise yhtälö \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\).

Jos \\ (x-1 \\ geq 0 \\), niin \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) ja annettu yhtälö on muodoltaan
\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Oikea nuoli x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Jos \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Siksi annettua yhtälöä on tarkasteltava erikseen molemmissa ilmoitetuissa tapauksissa.
1) Olkoon \\ (x-1 \\ geq 0 \\), ts. \\ (x \\ geq 1 \\). Yhtälöstä \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) löydämme \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\). Ehto \\ (x \\ geq 1 \\) täyttyy vain arvolla \\ (x_1 \u003d 2 \\).
2) Olkoon \\ (x-1 vastaus: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)

ESIMERKKI 2. Ratkaise yhtälö \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\).

Ensimmäinen tapa (moduulin laajennus määritelmän mukaan).
Kuten esimerkissä 1, päätellään, että annettua yhtälöä on tarkasteltava erikseen, jos kaksi ehtoa täyttyy: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) tai \\ (x ^ 2-6x + 7

1) Jos \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), niin \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) ja annettu yhtälö on muoto \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Oikea nuoli 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Ratkaisemalla tämän asteen yhtälön saadaan: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).
Selvitetään, täyttääkö arvo \\ (x_1 \u003d 6 \\) ehdon \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Tätä varten korvataan määritetty arvo neliön epätasa-arvossa. Saamme: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), ts. \\ (7 \\ geq 0 \\) on todellinen eriarvoisuus. Siksi \\ (x_1 \u003d 6 \\) on annetun yhtälön juuri.
Selvitetään, täyttääkö arvo \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ehdon \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Tätä varten korvataan määritetty arvo neliön epätasa-arvossa. Saamme: \\ (\\ left (\\ frac (5) (3) \\ right) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), ts. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - väärä epätasa-arvo. Siksi \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ei ole annetun yhtälön juuri.

2) Jos \\ (x ^ 2-6x + 7 Arvo \\ (x_3 \u003d 3 \\) täyttää ehdon \\ (x ^ 2-6x + 7 Arvo \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) ei täytä ehto \\ (x ^ 2-6x + 7 Joten annetulla yhtälöllä on kaksi juurta: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Toinen tapa. Jos yhtälö \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\) annetaan, niin parametrille \\ (h (x) \\ (\\ left [\\ begin (array) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d) \\ frac (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (taulukko) \\ right. \\)
Molemmat yhtälöt ratkaistiin yllä (ensimmäisellä tavalla ratkaisemaan annettu yhtälö), niiden juuret ovat seuraavat: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4 ) (3) \\). Näiden neljän arvon ehto \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) täyttyy vain kahdella: 6 ja 3. Siksi annetulla yhtälöllä on kaksi juurta: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\).

Kolmas tapa (graafinen).
1) Piirretään funktio \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). Luo ensin paraboli \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Meillä on \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\). Funktion \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) kaavio voidaan saada funktion \\ (y \u003d x ^ 2 \\) kaaviosta siirtämällä sitä 3 asteikkoyksikköä oikealle (pitkin x akseli) ja 2 mittayksikköä alaspäin (y-akselilla). Suora viiva x \u003d 3 on kiinnostavan parabolan akseli. Tarkempaan piirtämiseen tarkistuspisteinä on kätevää ottaa piste (3; -2) - parabolan kärkipiste, piste (0; 7) ja sille symmetrinen piste (6; 7) paraboliakseliin nähden .
Jos haluat nyt piirtää funktion \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) kaavion, sinun on jätettävä muuttumattomaksi ne rakennetun parabolin osat, jotka eivät ole x-akselin alapuolella, ja peilattava osa x-akselin alapuolelle x-akselin ympärillä oleva paraboli.
2) Rakennetaan kaavio lineaarisesta funktiosta \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\). Pisteitä (0; –3) ja (3; 2) on kätevä ottaa kontrollipisteinä.

On välttämätöntä, että suoran ja abscissa-akselin leikkauspiste x \u003d 1,8 sijaitsee parabolan ja abscissa-akselin leikkauspisteen vasemmalla puolella - tämä on piste \\ (x \u003d 3- \\ sqrt ( 2) \\) (koska \\ (3- \\ sqrt (2) 3) Piirroksen perusteella graafit leikkaavat kahta pistettä - A (3; 2) ja B (6; 7) Korvaa näiden pisteiden paiseet x \u003d 3 ja x \u003d 6 annetussa yhtälössä varmistamme, että molemmille toisille arvo antaa oikean numeerisen yhtälön, mikä tarkoittaa, että hypoteesimme vahvistui - yhtälöllä on kaksi juurta: x \u003d 3 ja x \u003d 6. Vastaus: 3; 6.

Kommentti... Graafinen menetelmä ei kaikesta armonsa vuoksi ole kovin luotettava. Tarkastellussa esimerkissä se toimi vain siksi, että yhtälön juuret ovat kokonaislukuja.

ESIMERKKI 3. Ratkaise yhtälö \\ (| | 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

Ensimmäinen tapa
Lausekkeesta 2x - 4 tulee 0, kun x \u003d 2, ja lausekkeesta x + 3 kohdassa x \u003d –3. Nämä kaksi pistettä jakavat numerolinjan kolmeen väliin: \\ (x

Tarkastellaan ensimmäistä jaksoa: \\ ((- - infty; \\; -3) \\).
Jos x Harkitse toinen väli: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
Jos \\ (- 3 \\ leq x Harkitse kolmas väli: \\ (U

Esimerkki 2.

Ratkaise eriarvoisuus || x + 2 | - 3 | ≤ 2.

Päätös.

Tämä epätasa-arvo vastaa seuraavaa järjestelmää.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.

Ratkaistaan \u200b\u200bjärjestelmän ensimmäinen eriarvoisuus erikseen. Se vastaa seuraavaa aggregaattia:

U [-1; 3].

2) Eriarvoisuuksien ratkaiseminen moduulin määritelmän avulla.

Haluan muistuttaa sinua ensin moduulin määrittely.

| a | \u003d a jos a ≥ 0 ja | a | \u003d -a jos a< 0.

Esimerkiksi | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

Esimerkki 1.

Ratkaise eriarvoisuus 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

Päätös.

Moduulin määritelmän avulla saadaan kaksi järjestelmää:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

Ratkaisemalla ensimmäisen toisen järjestelmän erikseen, saamme:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Ratkaisu alkuperäiseen eriarvoisuuteen on kaikki ensimmäisen järjestelmän ja toisen järjestelmän kaikki ratkaisut.

Vastaus: x €.

3) Eriarvoisuuksien ratkaiseminen neliöimällä.

Esimerkki 1.

Ratkaise eriarvoisuus | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Päätös.

Tehkäämme neliö eriarvoisuuden molemmille puolille. Huomaa, että voit neliöidä eriarvoisuuden molemmat puolet vain, jos ne ovat molemmat positiivisia. Tässä tapauksessa meillä on moduuleja sekä vasemmalla että oikealla, joten voimme tehdä tämän.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Nyt käytämme moduulin seuraavaa ominaisuutta: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2 x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Ratkaisemme välien menetelmällä.

Vastaus: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Eriarvoisuuksien ratkaisu muuttujia muuttamalla.

Esimerkki.

Ratkaise eriarvoisuus (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Päätös.

Huomaa, että (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. Sitten saadaan eriarvoisuus

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Tehdään muutos y \u003d | 2x + 3 |.

Kirjoita uudestaan \u200b\u200beriarvoisuutemme ottamalla huomioon korvaaminen.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

Arvioidaan vasemmalla oleva neliön muotoinen trinomi.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1-11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Ratkaistaan \u200b\u200bintervallien menetelmällä ja saat:

Palataan takaisin korvaavaan:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Tämä kaksinkertainen epätasa-arvo vastaa eriarvoisuusjärjestelmää:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

Ratkaistaan \u200b\u200bjokainen eriarvoisuus erikseen.

Ensimmäinen vastaa järjestelmää

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Ratkaistaan \u200b\u200bse.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Toinen epäyhtenäisyys pätee ilmeisesti kaikille x: lle, koska moduuli on määritelmän mukaan positiivinen. Koska järjestelmän ratkaisu on kaikki x, jotka tyydyttävät samanaikaisesti sekä järjestelmän ensimmäisen että toisen eriarvoisuuden, ratkaisu alkuperäiseen järjestelmään on ratkaisu sen ensimmäiseen kaksinkertaiseen epätasa-arvoon (loppujen lopuksi toinen on totta kaikille x: lle).

Vastaus: x € [-4,5; 1.5].

blogi -sivusto, jossa kopioidaan aineisto kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.