Keskitaso

Neliölliset epätasa-arvot. Kattava opas (2019)

Selvittääksemme, kuinka toisen asteen yhtälöitä ratkaistaan, meidän on ymmärrettävä, mikä neliöfunktio on ja mitä ominaisuuksia sillä on.

Olet varmaan miettinyt, miksi neliöfunktiota ylipäänsä tarvitaan? Missä sen kuvaajaa (paraabelia) voidaan soveltaa? Kyllä, sinun täytyy vain katsoa ympärillesi, ja huomaat sen joka päivä Jokapäiväinen elämä kohtaat hänet. Oletko huomannut kuinka heitetty pallo lentää liikuntakasvatuksessa? "Kaaria pitkin"? Oikea vastaus olisi "paraabeli"! Ja mitä rataa pitkin suihkulähde liikkuu suihkulähteessä? Kyllä, myös paraabelissa! Kuinka luoti tai kuori lentää? Aivan oikein, myös paraabelissa! Siten, kun tiedät neliöfunktion ominaisuudet, on mahdollista ratkaista monia käytännön ongelmia. Esimerkiksi missä kulmassa palloa tulisi heittää, jotta saavutetaan suurin etäisyys? Tai mihin ammus päätyy, jos laukaisee sen tietyssä kulmassa? jne.

Neliöllinen toiminto

Joten, selvitetään se.

Esim, . Mitkä ovat tasavertaisia ​​täällä ja? No tottakai!

Entä jos ts. alle nolla? No, tietysti olemme "surullisia", mikä tarkoittaa, että oksat suuntautuvat alaspäin! Katsotaanpa kaaviota.

Tämä kuva esittää funktion kaaviota. Siitä lähtien, ts. alle nolla, paraabelin haarat on suunnattu alaspäin. Lisäksi olet todennäköisesti jo huomannut, että tämän paraabelin haarat leikkaavat akselin, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on 2 juuria ja funktio ottaa sekä positiiviset että negatiiviset arvot!

Heti alussa, kun annoimme toisen asteen funktion määritelmän, sanottiin, että ja ovat joitakin lukuja. Voivatko ne olla yhtä suuria kuin nolla? No, tietysti he voivat! Avaan jopa uudestaan isompi salaisuus(mikä ei ole ollenkaan salaisuus, mutta mainitsemisen arvoinen): näille numeroille (ja) ei ole asetettu rajoituksia!

Katsotaanpa, mitä käy kaavioille, jos ja ovat nolla.

Kuten näette, tarkasteltavien funktioiden (ja) kuvaajat ovat siirtyneet niin, että niiden kärjet ovat nyt koordinaattipisteessä eli akselien leikkauspisteessä, eikä tällä ole vaikutusta haarojen suuntaan. . Siten voimme päätellä, että he ovat vastuussa paraabelikuvaajan "liikkeestä" koordinaattijärjestelmää pitkin.

Funktion kuvaaja koskettaa akselia pisteessä. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on yksi juuri. Siten funktio ottaa arvoja suurempia tai yhtä suuria kuin nolla.

Noudatamme samaa logiikkaa funktion kuvaajan kanssa. Se koskettaa x-akselia pisteessä. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on yksi juuri. Siten funktio ottaa arvoja pienempiä tai yhtä suuria kuin nolla, eli.

Näin ollen lausekkeen merkin määrittämiseksi ensimmäinen asia, joka sinun on tehtävä, on löytää yhtälön juuret. Tästä on meille paljon hyötyä.

Neliöllinen epätasa-arvo

Kun ratkaisemme tällaisia ​​epäyhtälöitä, tarvitsemme kyvyn määrittää, missä neliöfunktio on suurempi, pienempi tai yhtä suuri kuin nolla. Tuo on:

• jos meillä on muodon epäyhtälö, niin itse asiassa tehtävä tulee määrittämään numeerinen intervalli arvot, joissa paraabeli on akselin yläpuolella.
• jos meillä on muotoepäyhtälö, niin itse asiassa tehtävänä on määrittää x-arvojen numeerinen väli, jonka paraabeli on akselin alapuolella.

Jos epäyhtälöt eivät ole tiukkoja, niin juuret (paraabelin ja akselin leikkauspisteen koordinaatit) sisällytetään haluttuun numeeriseen väliin tiukkojen epäyhtälöiden tapauksessa.

Tämä kaikki on melko muodollista, mutta älä masennu tai pelkää! Katsotaanpa nyt esimerkkejä, ja kaikki loksahtaa paikoilleen.

Kun ratkaisemme toisen asteen epäyhtälöitä, noudatamme annettua algoritmia, ja meitä odottaa väistämätön menestys!

Algoritmi	Esimerkki:
1) Kirjoitetaan vastaava epäyhtälö toisen asteen yhtälö(Vaihda vain epätasa-arvomerkki yhtäläisyysmerkiksi “=”).
2) Etsitään tämän yhtälön juuret.
3) Merkitse juuret akselille ja näytä kaavamaisesti paraabelin oksien suunta ("ylös" tai "alas")
4) Laitetaan merkit neliöfunktion etumerkkiä vastaavalle akselille: missä paraabeli on akselin yläpuolella, laitetaan " " ja mihin alapuolelle - " ".
5) Kirjoita muistiin väli(t), jotka vastaavat " " tai " ", epäyhtälömerkin mukaan. Jos epäyhtälö ei ole tiukka, juuret sisällytetään väliin, jos se on tiukka, ne eivät ole.

Sain sen? Mene sitten eteenpäin ja kiinnitä se!

Esimerkki:

No, onnistuiko se? Jos sinulla on vaikeuksia, etsi ratkaisuja.

Ratkaisu:

Kirjataan muistiin merkkiä " " vastaavat intervallit, koska epäyhtälömerkki on " ". Epäyhtälö ei ole tiukka, joten juuret sisällytetään väliin:

Kirjoitetaan vastaava toisen asteen yhtälö:

Etsitään tämän toisen asteen yhtälön juuret:

Merkitsemme kaavamaisesti saadut juuret akselille ja järjestämme merkit:

Kirjataan muistiin merkkiä " " vastaavat intervallit, koska epäyhtälömerkki on " ". Epäyhtälö on tiukka, joten juuria ei sisällytetä väliin:

Kirjoitetaan vastaava toisen asteen yhtälö:

Etsitään tämän toisen asteen yhtälön juuret:

tällä yhtälöllä on yksi juuri

Merkitsemme kaavamaisesti saadut juuret akselille ja järjestämme merkit:

Kirjataan muistiin merkkiä " " vastaavat intervallit, koska epäyhtälömerkki on " ". Joka tapauksessa funktio ottaa ei-negatiivisia arvoja. Koska eriarvoisuus ei ole tiukka, vastaus on.

Kirjoitetaan vastaava toisen asteen yhtälö:

Etsitään tämän toisen asteen yhtälön juuret:

Piirretään kaavamaisesti paraabelin kaavio ja järjestellään merkit:

Kirjataan muistiin merkkiä " " vastaavat intervallit, koska epäyhtälömerkki on " ". Joka tapauksessa funktio saa positiivisia arvoja, joten epäyhtälön ratkaisu on väli:

NELIÖIDEN EROTTAVUUS. KESKITASO

Neliöllinen toiminto.

Ennen kuin puhumme aiheesta "neliöllinen epäyhtälö", muistakaamme mikä on neliöfunktio ja mikä sen kaavio on.

Toisin sanoen tämä toisen asteen polynomi.

Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli (muistatko mikä se on?). Sen haarat on suunnattu ylöspäin, jos "a) funktio ottaa vain positiiviset arvot kaikille ja toisessa () - vain negatiiviset:

Siinä tapauksessa, että yhtälöllä () on täsmälleen yksi juuri (esimerkiksi jos erottaja on nolla), tämä tarkoittaa, että kuvaaja koskettaa akselia:

Sitten, kuten edellisessä tapauksessa, " .

Joten opimme äskettäin kuinka määrittää, missä neliöfunktio on suurempi kuin nolla ja missä se on pienempi:

Jos neliöllinen epäyhtälö ei ole tiukka, niin juuret sisällytetään numeeriseen väliin, jos se on tiukka, ne eivät ole.

Jos on vain yksi juuri, ei hätää, sama merkki on kaikkialla. Jos juuria ei ole, kaikki riippuu vain kertoimesta: jos "25((x)^(2))-30x+9

Vastaukset:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Ei ole juuria, joten koko lauseke vasemmalla puolella ottaa kertoimen merkin ennen:

• Jos haluat löytää numeerisen välin, jonka neliöllinen trinomi on suurempi kuin nolla, tämä on numeerinen väli, jossa paraabeli on akselin yläpuolella.
• Jos haluat löytää numeerisen välin, jonka neliöllinen trinomi on pienempi kuin nolla, tämä on numeerinen väli, jossa paraabeli on akselin alapuolella.

NELIÖIDEN EROTTAVUUS. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Neliöllinen toiminto on muodon funktio: ,

Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli. Sen oksat on suunnattu ylöspäin, jos:

Neliöllisen epätasa-arvon tyypit:

Kaikki toisen asteen epäyhtälöt pelkistetään seuraaviin neljään tyyppiin:

Ratkaisualgoritmi:

Algoritmi	Esimerkki:
1) Kirjoita epäyhtälöä vastaava toisen asteen yhtälö (vaihda yksinkertaisesti epäyhtälömerkki yhtäläisyysmerkiksi "").
2) Etsitään tämän yhtälön juuret.
3) Merkitse juuret akselille ja näytä kaavamaisesti paraabelin oksien suunta ("ylös" tai "alas")
4) Laitetaan merkit neliöfunktion etumerkkiä vastaavalle akselille: missä paraabeli on akselin yläpuolella, laitetaan " " ja mihin alapuolelle - " ".
5) Kirjoita muistiin väli(t), jotka vastaavat " " tai " ", epäyhtälömerkin mukaan. Jos epäyhtälö ei ole tiukka, juuret sisällytetään väliin, jos se on tiukka, ne eivät ole.

Neliöllisen epätasa-arvon määritelmä

Huomautus 1

Epäyhtälöä kutsutaan neliöllisiksi, koska muuttuja on neliöity. Toissijaisia ​​epäyhtälöitä kutsutaan myös toisen asteen eriarvoisuudet.

Esimerkki 1

Esimerkki.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – toisen asteen epäyhtälöt.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, kaikki elementit epäyhtälöstä muodossa $ax^2+bx+c > 0$ eivät ole läsnä.

Esimerkiksi epäyhtälössä $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ ei ole vapaata termiä (termi $с$), ja epäyhtälössä $11z^2+8 \le 0$ ei ole termiä kertoimella $b$. Tällaiset epätasa-arvot ovat myös neliöllisiä, mutta niitä kutsutaan myös epätäydellinen neliöllinen epäyhtälö. Tämä tarkoittaa vain, että kertoimet $b$ tai $c$ ovat nolla.

Menetelmät asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi

Kun ratkaistaan ​​toisen asteen epäyhtälöitä, käytetään seuraavia perusmenetelmiä:

• graafinen;
• intervallimenetelmä;
• binomiaalin neliön eristäminen.

Graafinen menetelmä

Muistio 2

Graafinen menetelmä toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseen $ax^2+bx+c > 0$ (tai $-merkillä

Nämä välit ovat neliöllisen epäyhtälön ratkaiseminen.

Intervallimenetelmä

Huomautus 3

Intervallimenetelmä toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseen muotoa $ax^2+bx+c > 0$ (epäyhtälömerkki voi olla myös $

Ratkaisuja toisen asteen epätasa-arvoon merkillä $""$ - positiiviset intervallit, merkeillä $"≤"$ ja $"≥"$ - negatiiviset ja positiiviset intervallit (vastaavasti), mukaan lukien pisteet, jotka vastaavat trinomin nollia.

Binomin neliön eristäminen

Tapa ratkaista neliöllinen epäyhtälö eristämällä binomiaalin neliö on siirtyä ekvivalenttiin epäyhtälöön muotoa $(x-n)^2 > m$ (tai merkillä $

Epäyhtälöt, jotka pelkistyvät neliöllisiksi

Huomautus 4

Usein epäyhtälöitä ratkaistaessa ne täytyy pelkistää neliöllisiksi epäyhtälöiksi, jotka ovat muotoa $ax^2+bx+c > 0$ (epäyhtälömerkki voi olla myös $-epäyhtälöt, jotka pelkistyvät neliöllisiksi epäyhtälöiksi.

Huomautus 5

Yksinkertaisin tapa vähentää epäyhtälöt neliöllisiksi on järjestää termit uudelleen alkuperäisessä epäyhtälössä tai siirtää ne esimerkiksi oikealta puolelta vasemmalle.

Esimerkiksi kun siirretään kaikki epäyhtälön $7x > 6-3x^2$ ehdot oikealta puolelta vasemmalle, saadaan neliöllinen epäyhtälö muotoa $3x^2+7x-6 > 0$.

Jos järjestämme epäyhtälön $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ vasemmalla puolella olevat termit muuttujan $y$ asteen mukaan laskevaan järjestykseen, niin tämä johtaa muodon ekvivalenttiin neliölliseen epäyhtälöön $5,3x^2+1,5v-2 \ge 0$.

Kun rationaalisia epäyhtälöitä ratkaistaan, ne usein pelkistetään neliöllisiksi epäyhtälöiksi. Tässä tapauksessa on tarpeen siirtää kaikki termit vasemmalle puolelle ja muuntaa tuloksena oleva lauseke neliöllisen trinomin muotoon.

Esimerkki 2

Esimerkki.

Pienennä epäyhtälö $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ neliömäiseksi.

Ratkaisu.

Siirretään kaikki ehdot epäyhtälön vasemmalle puolelle:

7 $ \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0 $.

Yksinkertaistamme epäyhtälön vasemmalla puolella olevaa lauseketta käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja ja avaavia sulkeita:

$7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21,5x-19 > 0 $.

Vastaus: $x^2-21,5x-19 > 0 $.

Intervallimenetelmää pidetään oikeutetusti universaalina menetelmänä epätasa-arvojen ratkaisemiseksi. Sitä on helpoin käyttää yhden muuttujan toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Tässä materiaalissa tarkastellaan kaikkia näkökohtia intervallimenetelmän käyttämisestä toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Materiaalin omaksumisen helpottamiseksi harkitsemme lukuisia esimerkkejä, joiden monimutkaisuusaste vaihtelee.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritmi intervallimenetelmän soveltamiseksi

Tarkastellaan algoritmia intervallimenetelmän käyttämiseksi adaptoidussa versiossa, joka soveltuu toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Tämä intervallimenetelmän versio on se, johon opiskelijat tutustuvat algebratunneilla. Älä myöskään vaikeuta tehtävää.

Siirrytään itse algoritmiin.

Meillä on neliöllinen trinomi a · x 2 + b · x + c neliön epäyhtälön vasemmalta puolelta. Löydämme tämän trinomin nollat.

Koordinaattijärjestelmässä kuvaamme koordinaattiviivaa. Merkitsemme siihen juuret. Mukavuuden vuoksi voimme ottaa käyttöön erilaisia ​​tapoja merkitä pisteitä tiukille ja ei-tiukille epätasa-arvoille. Sovitaan, että käytämme "tyhjiä" pisteitä merkitsemään koordinaatteja ratkaisemaan tiukkaa epäyhtälöä ja tavallisia pisteitä merkitsemään ei-tiukkoja. Merkitsemällä pisteet saadaan koordinaattiakselille useita intervalleja.

Jos ensimmäisessä vaiheessa löysimme nollia, määritämme trinomin arvojen merkit kullekin tuloksena olevalle intervalleille. Jos emme saa nollia, suoritamme tämän toiminnon koko numeroriville. Merkitsemme aukot merkeillä "+" tai "-".

Lisäksi otamme käyttöön varjostuksen tapauksissa, joissa ratkaisemme epäyhtälöitä merkeillä > tai ≥ ja< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

Huomioimalla trinomin arvojen merkit ja soveltamalla varjostusta segmenttien päälle, saadaan geometrinen kuva tietystä numeerisesta joukosta, joka on itse asiassa ratkaisu epäyhtälöön. Meidän tarvitsee vain kirjoittaa vastaus muistiin.

Pysähdytään yksityiskohtaisemmin algoritmin kolmanteen vaiheeseen, jossa määritetään aukon etumerkki. Merkkien määrittämiseen on useita tapoja. Katsotaanpa niitä järjestyksessä aloittaen tarkimmasta, vaikkakaan ei nopeimmasta. Tämä menetelmä sisältää trinomin arvojen laskemisen tuloksena olevien välien useissa kohdissa.

Esimerkki 1

Otetaan esimerkiksi trinomi x 2 + 4 · x − 5 .

Tämän trinomin 1 ja -5 juuret jakavat koordinaattiakselin kolmeen väliin (− ∞, − 5), (− 5, 1) ja (1, + ∞).

Aloitetaan intervallista (1, + ∞). Tehtävämme yksinkertaistamiseksi otetaan x = 2. Saamme 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7.

7 on positiivinen luku. Tämä tarkoittaa, että tämän toisen asteen trinomin arvot välillä (1, + ∞) ovat positiivisia ja niitä voidaan merkitä merkillä "+".

Välin (− 5, 1) etumerkin määrittämiseksi otamme x = 0. Meillä on 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Aseta "-"-merkki välin yläpuolelle.

Välille (− ∞, − 5) otamme x = − 6, saamme (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Merkitsemme tämän välin "+" -merkillä.

Voit tunnistaa merkit paljon nopeammin ottamalla huomioon seuraavat tosiasiat.

Positiivisella erottajalla neliötrinomi, jossa on kaksi juuria, antaa vuorottelun arvojensa etumerkeistä intervalleilla, joihin numeroviiva jaetaan tämän trinomin juurilla. Tämä tarkoittaa, että meidän ei välttämättä tarvitse määritellä merkkejä jokaiselle intervalleille. Riittää, kun suoritat laskelmat yhdelle ja asetat merkit muille vuorotteluperiaatteen huomioon ottaen.

Voit halutessasi tehdä ilman laskelmia kokonaan tekemällä johtopäätöksiä etumerkeistä johtavan kertoimen arvon perusteella. Jos a > 0, niin saadaan merkkijono +, −, +, ja jos a< 0 – то − , + , − .

Neliöllisille trinomeille, joilla on yksi juuri, kun diskriminantti on nolla, saadaan koordinaattiakselille kaksi intervallia samoilla etumerkeillä. Tämä tarkoittaa, että määritämme etumerkin yhdelle intervalleista ja asetamme saman toiselle.

Tässä käytetään myös menetelmää etumerkin määrittämiseksi kertoimen a arvon perusteella: jos a > 0, niin se on +, + ja jos a< 0 , то − , − .

Jos neliötrinomilla ei ole juuria, niin sen arvojen etumerkit koko koordinaattiviivalle osuvat sekä johtavan kertoimen a etumerkin että vapaan termin c etumerkin kanssa.

Esimerkiksi, jos otamme toisen asteen trinomin − 4 x 2 − 7, sillä ei ole juuria (sen diskriminantti on negatiivinen). Kerroin x 2 on negatiivinen − 4 ja leikkauspiste − 7 on myös negatiivinen. Tämä tarkoittaa, että välissä (− ∞, + ∞) sen arvot ovat negatiivisia.

Katsotaanpa esimerkkejä toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisesta edellä käsitellyllä algoritmilla.

Esimerkki 2

Ratkaise epäyhtälö 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0.

Ratkaisu

Käytämme intervallimenetelmää epäyhtälön ratkaisemiseen. Tehdään tätä varten etsitään neliötrinomin 8 x 2 − 4 x − 1 juuret. Koska x:n kerroin on parillinen, meidän on helpompi laskea diskriminantin sijasta sen neljäs osa: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .

Diskriminantti on suurempi kuin nolla. Tämän avulla voimme löytää neliötrinomin kaksi juuria: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 ja x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Merkitään nämä arvot numeroriville. Koska yhtälö ei ole tiukka, käytämme kaaviossa tavallisia pisteitä.

Nyt, käyttämällä intervallimenetelmää, määritämme kolmen tuloksena olevan intervallin merkit. Kerroin x 2 on yhtä suuri kuin 8, eli positiivinen, joten merkkijono on +, −, +.

Koska ratkaisemme epäyhtälön merkillä ≥, piirrämme välien päälle varjostuksen plusmerkeillä:

Kirjoitetaan numeerinen joukko analyyttisesti tuloksena olevasta graafisesta kuvasta. Voimme tehdä tämän kahdella tavalla:

Vastaus:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) tai x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4 .

Esimerkki 3

Ratkaise neliöllinen epäyhtälö - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Ratkaisu

Etsitään ensin neliöllisen trinomin juuret epäyhtälön vasemmalta puolelta:

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Tämä on tiukka epäyhtälö, joten käytämme kaaviossa "tyhjää" pistettä. Koordinaatti 7.

Nyt on määritettävä etumerkit tuloksena oleville intervalleille (− ∞, 7) ja (7, + ∞). Koska toisen asteen trinomin diskriminantti on nolla ja johtava kerroin on negatiivinen, laitetaan merkit − , − :

Koska ratkaisemme epäyhtälön merkillä< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Tässä tapauksessa ratkaisut ovat molemmat välit (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .

Vastaus:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) tai muussa merkinnässä x ≠ 7 .

Esimerkki 4

Onko neliöllinen epäyhtälö x 2 + x + 7< 0 решения?

Ratkaisu

Etsitään neliöllisen trinomin juuret epäyhtälön vasemmalta puolelta. Tätä varten etsitään diskriminantti: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . Diskriminantti on pienempi kuin nolla, mikä tarkoittaa, että todellisia juuria ei ole.

Graafinen kuva näyttää numeroviivalta, johon ei ole merkitty pisteitä.

Määritetään toisen asteen trinomin arvojen etumerkki. paikassa D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

Tässä tapauksessa voisimme varjostaa välit "-"-merkillä. Mutta meillä ei ole sellaisia ​​aukkoja. Siksi piirustus näyttää tältä:

Laskelmien tuloksena saimme tyhjän sarjan. Tämä tarkoittaa, että tällä toisen asteen epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Vastaus: Ei.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Kvadraattiset epätasa-arvot, esimerkkejä ratkaisuista"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Opetusapuvälineet ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa 9. luokalle
Sähköinen oppikirja "Ymmärrettävä geometria" luokille 7-9
Koulutuskompleksi 1C: "Geometria, luokka 9"

Kaverit, tiedämme jo kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöitä. Nyt opitaan ratkaisemaan neliöllinen epäyhtälö.
Neliöllinen epätasa-arvo Tämän tyyppistä epätasa-arvoa kutsutaan:

$ax^2+bx+c>0$.

Epäyhtälömerkki voi olla mikä tahansa, kertoimet a, b, c voivat olla mitä tahansa lukuja ($a≠0$).
Kaikki säännöt, jotka määritimme lineaarisille epäyhtälöille, toimivat myös tässä. Toista nämä säännöt itse!

Esitetään toinen tärkeä sääntö:
Jos trinomilla $ax^2+bx+c$ on negatiivinen diskriminantti, niin jos korvaat minkä tahansa arvon x:n, trinomin etumerkki on sama kuin kertoimen a etumerkki.

Esimerkkejä toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisesta

Esimerkkejä.
1. Ratkaise epäyhtälö: $x^2-2x-8
Ratkaisu:
Etsitään yhtälön $x^2-2x-8=0$ juuret.
$x_1=4$ ja $x_2=-2$.

Piirretään toisen asteen yhtälö. X-akseli leikkaa pisteissä 4 ja -2.
Neliöllinen trinomi saa arvot, jotka ovat pienempiä kuin nolla, kun funktion kuvaaja sijaitsee x-akselin alapuolella.
Katsomalla funktion kuvaajaa saamme vastauksen: $x^2-2x-8 Vastaus: $-2

2. Ratkaise epäyhtälö: $5x-6

Ratkaisu:
Muunnetaan epäyhtälö: $-x^2+5x-6 Jaetaan epäyhtälö miinus yhdellä. Älä unohda vaihtaa merkkiä: $x^2-5x+6>0$.
Etsitään trinomin juuret: $x_1=2$ ja $x_2=3$.

Muodostetaan kaavio toisen asteen yhtälöstä, jonka x-akseli leikkaa pisteissä 2 ja 3.


Neliöllinen trinomi ottaa nollaa suurempia arvoja, kun funktion kuvaaja sijaitsee x-akselin yläpuolella. Katsomalla funktion kuvaajaa, saamme vastauksen: $5x-6 Vastaus: $ x 3 $.

3. Ratkaise epäyhtälö: $2^2+2x+1≥0$.

Ratkaisu:
Etsitään trinomin juuret, tätä varten lasketaan diskriminantti: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminantti on pienempi kuin nolla. Käytetään sääntöä, jonka esitimme alussa. Epäyhtälön etumerkki on sama kuin neliön kertoimen etumerkki. Meidän tapauksessamme kerroin on positiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälömme on positiivinen mille tahansa x:n arvolle.
Vastaus: Kaikille x:lle epäyhtälö on suurempi kuin nolla.

4. Ratkaise epäyhtälö: $x^2+x-2
Ratkaisu:
Etsitään trinomin juuret ja sijoitetaan ne koordinaattiviivalle: $x_1=-2$ ja $x_2=1$.

Jos $x>1$ ja $x Jos $x>-2$ ja $x Vastaus: $x>-2$ ja $x

Tehtäviä toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi

Keskitaso

Neliölliset epätasa-arvot. The Ultimate Guide (2019)

Selvittääksemme, kuinka toisen asteen yhtälöitä ratkaistaan, meidän on ymmärrettävä, mikä neliöfunktio on ja mitä ominaisuuksia sillä on.

Olet varmaan miettinyt, miksi neliöfunktiota ylipäänsä tarvitaan? Missä sen kuvaajaa (paraabelia) voidaan soveltaa? Kyllä, sinun täytyy vain katsoa ympärillesi ja huomaat törmääväsi siihen joka päivä arjessa. Oletko huomannut kuinka heitetty pallo lentää liikuntakasvatuksessa? "Kaaressa"? Oikea vastaus olisi "paraabeli"! Ja mitä rataa pitkin suihkulähde liikkuu suihkulähteessä? Kyllä, myös paraabelissa! Kuinka luoti tai kuori lentää? Aivan oikein, myös paraabelissa! Siten, kun tiedetään neliöfunktion ominaisuudet, on mahdollista ratkaista monia käytännön ongelmia. Esimerkiksi missä kulmassa palloa tulisi heittää, jotta saavutetaan suurin etäisyys? Tai mihin ammus päätyy, jos laukaisee sen tietyssä kulmassa? jne.

Neliöllinen toiminto

Joten, selvitetään se.

Esim, . Mitkä ovat tasavertaisia ​​täällä ja? No tottakai!

Entä jos ts. alle nolla? No, tietysti olemme "surullisia", mikä tarkoittaa, että oksat suuntautuvat alaspäin! Katsotaanpa kaaviota.

Tämä kuva esittää funktion kaaviota. Siitä lähtien, ts. alle nolla, paraabelin haarat on suunnattu alaspäin. Lisäksi olet todennäköisesti jo huomannut, että tämän paraabelin haarat leikkaavat akselin, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on 2 juuria ja funktio ottaa sekä positiiviset että negatiiviset arvot!

Heti alussa, kun annoimme toisen asteen funktion määritelmän, sanottiin, että ja ovat joitakin lukuja. Voivatko ne olla yhtä suuria kuin nolla? No, tietysti he voivat! Paljastan jopa vielä suuremman salaisuuden (joka ei ole ollenkaan salaisuus, mutta mainitsemisen arvoinen): näille numeroille (ja) ei ole asetettu rajoituksia!

Katsotaanpa, mitä käy kaavioille, jos ja ovat nolla.

Kuten näette, tarkasteltavien funktioiden (ja) kuvaajat ovat siirtyneet niin, että niiden kärjet ovat nyt koordinaattipisteessä eli akselien leikkauspisteessä, eikä tällä ole vaikutusta haarojen suuntaan. . Siten voimme päätellä, että he ovat vastuussa paraabelikuvaajan "liikkeestä" koordinaattijärjestelmää pitkin.

Funktion kuvaaja koskettaa akselia pisteessä. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on yksi juuri. Siten funktio ottaa arvoja suurempia tai yhtä suuria kuin nolla.

Noudatamme samaa logiikkaa funktion kuvaajan kanssa. Se koskettaa x-akselia pisteessä. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on yksi juuri. Siten funktio ottaa arvoja pienempiä tai yhtä suuria kuin nolla, eli.

Näin ollen lausekkeen merkin määrittämiseksi ensimmäinen asia, joka sinun on tehtävä, on löytää yhtälön juuret. Tästä on meille paljon hyötyä.

Neliöllinen epätasa-arvo

Kun ratkaisemme tällaisia ​​epäyhtälöitä, tarvitsemme kyvyn määrittää, missä neliöfunktio on suurempi, pienempi tai yhtä suuri kuin nolla. Tuo on:

• jos meillä on muodon epäyhtälö, niin itse asiassa tehtävänä on määrittää arvojen numeerinen väli, jonka paraabeli on akselin yläpuolella.
• jos meillä on muotoepäyhtälö, niin itse asiassa tehtävänä on määrittää x-arvojen numeerinen väli, jonka paraabeli on akselin alapuolella.

Jos epäyhtälöt eivät ole tiukkoja, niin juuret (paraabelin ja akselin leikkauspisteen koordinaatit) sisällytetään haluttuun numeeriseen väliin tiukkojen epäyhtälöiden tapauksessa.

Tämä kaikki on melko muodollista, mutta älä masennu tai pelkää! Katsotaanpa nyt esimerkkejä, ja kaikki loksahtaa paikoilleen.

Kun ratkaisemme toisen asteen epäyhtälöitä, noudatamme annettua algoritmia, ja meitä odottaa väistämätön menestys!

Algoritmi	Esimerkki:
1) Kirjoitetaan epäyhtälöä vastaava toisen asteen yhtälö (vaihdetaan yksinkertaisesti yhtälömerkki "=").
2) Etsitään tämän yhtälön juuret.
3) Merkitse juuret akselille ja näytä kaavamaisesti paraabelin oksien suunta ("ylös" tai "alas")
4) Laitetaan merkit neliöfunktion etumerkkiä vastaavalle akselille: missä paraabeli on akselin yläpuolella, laitetaan " " ja mihin alapuolelle - " ".
5) Kirjoita muistiin väli(t), jotka vastaavat " " tai " ", epäyhtälömerkin mukaan. Jos epäyhtälö ei ole tiukka, juuret sisällytetään väliin, jos se on tiukka, ne eivät ole.

Sain sen? Mene sitten eteenpäin ja kiinnitä se!

Esimerkki:

No, onnistuiko se? Jos sinulla on vaikeuksia, etsi ratkaisuja.

Ratkaisu:

Kirjataan muistiin merkkiä " " vastaavat intervallit, koska epäyhtälömerkki on " ". Epäyhtälö ei ole tiukka, joten juuret sisällytetään väliin:

Kirjoitetaan vastaava toisen asteen yhtälö:

Etsitään tämän toisen asteen yhtälön juuret:

Merkitsemme kaavamaisesti saadut juuret akselille ja järjestämme merkit:

Kirjataan muistiin merkkiä " " vastaavat intervallit, koska epäyhtälömerkki on " ". Epäyhtälö on tiukka, joten juuria ei sisällytetä väliin:

Kirjoitetaan vastaava toisen asteen yhtälö:

Etsitään tämän toisen asteen yhtälön juuret:

tällä yhtälöllä on yksi juuri

Merkitsemme kaavamaisesti saadut juuret akselille ja järjestämme merkit:

Kirjataan muistiin merkkiä " " vastaavat intervallit, koska epäyhtälömerkki on " ". Joka tapauksessa funktio ottaa ei-negatiivisia arvoja. Koska eriarvoisuus ei ole tiukka, vastaus on.

Kirjoitetaan vastaava toisen asteen yhtälö:

Etsitään tämän toisen asteen yhtälön juuret:

Piirretään kaavamaisesti paraabelin kaavio ja järjestellään merkit:

Kirjataan muistiin merkkiä " " vastaavat intervallit, koska epäyhtälömerkki on " ". Joka tapauksessa funktio saa positiivisia arvoja, joten epäyhtälön ratkaisu on väli:

NELIÖIDEN EROTTAVUUS. KESKITASO

Neliöllinen toiminto.

Ennen kuin puhumme aiheesta "neliöllinen epäyhtälö", muistakaamme mikä on neliöfunktio ja mikä sen kaavio on.

Toisin sanoen tämä toisen asteen polynomi.

Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli (muistatko mikä se on?). Sen haarat on suunnattu ylöspäin, jos "a) funktio ottaa vain positiiviset arvot kaikille ja toisessa () - vain negatiiviset:

Siinä tapauksessa, että yhtälöllä () on täsmälleen yksi juuri (esimerkiksi jos erottaja on nolla), tämä tarkoittaa, että kuvaaja koskettaa akselia:

Sitten, kuten edellisessä tapauksessa, " .

Joten opimme äskettäin kuinka määrittää, missä neliöfunktio on suurempi kuin nolla ja missä se on pienempi:

Jos neliöllinen epäyhtälö ei ole tiukka, niin juuret sisällytetään numeeriseen väliin, jos se on tiukka, ne eivät ole.

Jos on vain yksi juuri, ei hätää, sama merkki on kaikkialla. Jos juuria ei ole, kaikki riippuu vain kertoimesta: jos "25((x)^(2))-30x+9

Vastaukset:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Ei ole juuria, joten koko lauseke vasemmalla puolella ottaa kertoimen merkin ennen:

• Jos haluat löytää numeerisen välin, jonka neliöllinen trinomi on suurempi kuin nolla, tämä on numeerinen väli, jossa paraabeli on akselin yläpuolella.
• Jos haluat löytää numeerisen välin, jonka neliöllinen trinomi on pienempi kuin nolla, tämä on numeerinen väli, jossa paraabeli on akselin alapuolella.

NELIÖIDEN EROTTAVUUS. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Neliöllinen toiminto on muodon funktio: ,

Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli. Sen oksat on suunnattu ylöspäin, jos:

Neliöllisen epätasa-arvon tyypit:

Kaikki toisen asteen epäyhtälöt pelkistetään seuraaviin neljään tyyppiin:

Ratkaisualgoritmi:

Algoritmi	Esimerkki:
1) Kirjoita epäyhtälöä vastaava toisen asteen yhtälö (vaihda yksinkertaisesti epäyhtälömerkki yhtäläisyysmerkiksi "").
2) Etsitään tämän yhtälön juuret.
3) Merkitse juuret akselille ja näytä kaavamaisesti paraabelin oksien suunta ("ylös" tai "alas")
4) Laitetaan merkit neliöfunktion etumerkkiä vastaavalle akselille: missä paraabeli on akselin yläpuolella, laitetaan " " ja mihin alapuolelle - " ".
5) Kirjoita muistiin väli(t), jotka vastaavat " " tai " ", epäyhtälömerkin mukaan. Jos epäyhtälö ei ole tiukka, juuret sisällytetään väliin, jos se on tiukka, ne eivät ole.