Kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt. Trigonometriset yhtälöt

Trigonometriset yhtälöt eivät ole helppo aihe. Ne ovat liian erilaisia.) Esimerkiksi nämä:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = pinnasänky (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Mutta näillä (ja kaikilla muilla) trigonometrisilla hirviöillä on kaksi yhteistä ja pakollista ominaisuutta. Ensinnäkin - et usko sitä - yhtälöissä on trigonometrisiä funktioita.) Toiseksi: kaikki lausekkeet, joissa on x, löytyvät näissä samoissa toiminnoissa. Ja vain siellä! Jos X näkyy jossain ulkopuolella, Esimerkiksi, sin2x + 3x = 3, tästä tulee jo yhtälö sekoitettu tyyppi. Tällaiset yhtälöt vaativat yksilöllistä lähestymistapaa. Emme ota niitä tässä huomioon.

Emme myöskään ratkaise pahoja yhtälöitä tällä oppitunnilla.) Tässä käsitellään yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Miksi? Kyllä, koska ratkaisu minkä tahansa trigonometriset yhtälöt koostuu kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa paha yhtälö pelkistetään yksinkertaiseksi monien muunnosten avulla. Toisessa vaiheessa tämä yksinkertaisin yhtälö on ratkaistu. Ei toista reittiä.

Joten jos sinulla on ongelmia toisessa vaiheessa, ensimmäisessä vaiheessa ei ole paljon järkeä.)

Miltä alkeistrigonometriset yhtälöt näyttävät?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tässä A tarkoittaa mitä tahansa numeroa. Minkä tahansa.

Muuten, funktion sisällä ei välttämättä ole puhdasta X, vaan jonkinlainen lauseke, kuten:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. Tämä vaikeuttaa elämää, mutta ei vaikuta trigonometrisen yhtälön ratkaisumenetelmään.

Kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?

Trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa: logiikan ja trigonometrisen ympyrän käyttö. Katsomme tätä polkua täällä. Toista tapaa - muistin ja kaavojen käyttöä - käsitellään seuraavassa oppitunnissa.

Ensimmäinen tapa on selkeä, luotettava ja vaikea unohtaa.) Se on hyvä ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, epäyhtälöitä ja kaikenlaisia ​​hankalia epästandardeja esimerkkejä. Logiikka on vahvempi kuin muisti!)

Yhtälöiden ratkaiseminen trigonometrisen ympyrän avulla.

Mukana on alkeislogiikka ja kyky käyttää trigonometristä ympyrää. Etkö tiedä miten? Kuitenkin... Sinulla on vaikeuksia trigonometriassa...) Mutta sillä ei ole väliä. Katso oppitunteja "Trigonometrinen ympyrä...... Mikä se on?" ja "Kulmien mittaaminen trigonometrisellä ympyrällä". Siellä kaikki on yksinkertaista. Toisin kuin oppikirjoissa...)

Ai, tiedätkö!? Ja jopa hallinnut "Käytännön työskentelyn trigonometrisen ympyrän kanssa"!? Onnittelut. Tämä aihe on sinulle läheinen ja ymmärrettävä.) Erityisen ilahduttavaa on, että trigonometrinen ympyrä ei välitä minkä yhtälön ratkaiset. Sini, kosini, tangentti, kotangentti - kaikki on hänelle samaa. On vain yksi ratkaisuperiaate.

Otetaan siis mikä tahansa alkeistrigonometrinen yhtälö. Ainakin tämä:

cosx = 0,5

Meidän on löydettävä X. Jos puhumme ihmisen kieli, tarvitsee etsi kulma (x), jonka kosini on 0,5.

Miten käytimme piiriä aiemmin? Piirsimme siihen kulman. Asteina tai radiaaneina. Ja heti näin tämän kulman trigonometriset funktiot. Tehdään nyt päinvastoin. Piirretään ympyrään kosini, joka on 0,5 ja välittömästi katsotaan kulma. Jäljelle jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.) Kyllä, kyllä!

Piirrä ympyrä ja merkitse kosini, joka on yhtä suuri kuin 0,5. Tietysti kosiniakselilla. Kuten tämä:

Piirretään nyt kulma, jonka tämä kosini antaa meille. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletillasi) ja tulet näkemään juuri tämä nurkka X.

Minkä kulman kosini on 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Jotkut nauravat skeptisesti, kyllä... Kuten, kannattiko tehdä ympyrän, kun kaikki on jo selvää... Voit tietysti nauraa...) Mutta tosiasia on, että tämä on virheellinen vastaus. Tai pikemminkin riittämätön. Ympyrän asiantuntijat ymmärtävät, että tässä on joukko muita kulmia, jotka antavat myös kosinin 0,5.

Jos käännät liikkuvan puolen OA täysi kierros, piste A palaa alkuperäiseen asentoonsa. Samalla kosinilla, joka on 0,5. Nuo. kulma muuttuu 360° tai 2π radiaania ja kosini - ei. Uusi kulma 60° + 360° = 420° on myös ratkaisu yhtälöimme, koska

Tällaisia ​​täydellisiä kierroksia voidaan tehdä ääretön määrä... Ja kaikki nämä uudet kulmat ovat ratkaisuja trigonometriseen yhtälöimme. Ja ne kaikki on kirjoitettava jotenkin vastauksena. Kaikki. Muuten päätöstä ei lasketa, kyllä...)

Matematiikka voi tehdä tämän yksinkertaisesti ja tyylikkäästi. Kirjoita yhteen lyhyeen vastaukseen ääretön joukko päätökset. Tältä se näyttää yhtälössämme:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Minä tulkitsen sen. Kirjoita silti mielekkäästi Se on mukavampaa kuin tyhmästi piirtää salaperäisiä kirjaimia, eikö?)

π /3 - Tämä on sama kulma kuin me näin ympyrässä ja päättänyt kosinitaulukon mukaan.

2π on yksi täydellinen vallankumous radiaaneissa.

n - tämä on kokonaisten lukumäärä, ts. koko rpm On selvää että n voi olla yhtä suuri kuin 0, ±1, ±2, ±3.... ja niin edelleen. Kuten lyhyt teksti osoittaa:

n ∈ Z

n kuuluu ( ∈ ) joukko kokonaislukuja ( Z ). Muuten, kirjeen sijaan n kirjaimia voi hyvin käyttää k, m, t jne.

Tämä merkintä tarkoittaa, että voit ottaa minkä tahansa kokonaisluvun n . Vähintään -3, vähintään 0, vähintään +55. Mitä ikinä haluatkaan. Jos korvaat tämän luvun vastauksessa, saat tietyn kulman, joka on varmasti ratkaisu ankaraan yhtälöimme.)

Tai toisin sanoen x = π /3 on äärettömän joukon ainoa juuri. Kaikkien muiden juurien saamiseksi riittää, että π /3:een lisätään mikä tahansa määrä täydellisiä kierroksia n ) radiaaneina. Nuo. 2πn radiaani.

Kaikki? Ei. Pidentän mielihyvää tarkoituksella. Muistaakseni paremmin.) Saimme vain osan yhtälömme vastauksista. Kirjoitan tämän ratkaisun ensimmäisen osan näin:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ei vain yksi juuri, vaan koko joukko juuria, jotka on kirjoitettu lyhyessä muodossa.

Mutta on myös kulmia, jotka antavat myös kosinin 0,5!

Palataan kuvaamme, josta kirjoitimme vastauksen. Tässä hän on:

Vie hiiri kuvan päälle ja me näemme toinen kulma tuo antaa myös kosinin 0,5. Mihin se mielestäsi vastaa? Kolmiot ovat samat... Kyllä! Hän yhtä suuri kuin kulma X , viivästyy vain negatiiviseen suuntaan. Tämä on kulma -X. Mutta olemme jo laskeneet x. π /3 tai 60°. Siksi voimme turvallisesti kirjoittaa:

x 2 = - π /3

No, tietysti lisäämme kaikki kulmat, jotka saadaan täydellä kierroksella:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki.) Trigonometrisellä ympyrällä me näin(joka tietysti ymmärtää)) Kaikki kulmat, jotka antavat kosinin 0,5. Ja kirjoitin nämä näkökulmat lyhyesti muistiin matemaattinen muoto. Vastaus johti kahteen äärettömään sarjaan juuria:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on oikea vastaus.

Toivoa, yleinen periaate trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ympyrän käyttö on selvää. Merkitään kosini (sini, tangentti, kotangentti) annetusta yhtälöstä ympyrään, piirretään sitä vastaavat kulmat ja kirjoitetaan vastaus muistiin. Tietenkin meidän on selvitettävä, mitä kulmia olemme näin ympyrän päällä. Joskus se ei ole niin ilmeistä. Sanoin, että tässä tarvitaan logiikkaa.)

Katsotaanpa esimerkiksi toista trigonometristä yhtälöä:

Ota huomioon, että luku 0,5 ei ole ainoa mahdollinen luku yhtälöissä!) Minulle on vain mukavampaa kirjoittaa se kuin juuria ja murtolukuja.

Työskentelemme yleisen periaatteen mukaan. Piirrämme ympyrän, merkitsemme (siniakselille tietysti!) 0,5. Piirrämme kaikki tätä siniä vastaavat kulmat kerralla. Saamme tämän kuvan:

Käsitellään ensin kulmaa X ensimmäisellä neljänneksellä. Muistamme sinitaulukon ja määritämme tämän kulman arvon. Se on yksinkertainen asia:

x = π /6

Muistamme täydet käännökset ja kirjoitamme puhtaalla omallatunnolla muistiin ensimmäiset vastaussarjat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puolet työstä on tehty. Mutta nyt meidän on päätettävä toinen kulma... Se on hankalampaa kuin kosinusten käyttäminen, kyllä... Mutta logiikka pelastaa meidät! Kuinka määrittää toinen kulma x:n kautta? Kyllä helppoa! Kuvan kolmiot ovat samat ja punainen kulma X yhtä suuri kuin kulma X . Vain se lasketaan kulmasta π negatiiviseen suuntaan. Siksi se on punainen.) Ja vastausta varten tarvitsemme kulman oikein mitattuna positiivisesta puoliakselista OX, ts. 0 asteen kulmasta.

Viemme kursorin piirustuksen päälle ja näemme kaiken. Poistin ensimmäisen kulman, jotta en vaikeuttaisi kuvaa. Meitä kiinnostava kulma (piirretty vihreällä) on yhtä suuri:

π - x

X tiedämme tämän π /6 . Siksi toinen kulma on:

π - π /6 = 5π /6

Muistamme jälleen täyden kierroksen lisäämisen ja kirjoitamme toisen vastaussarjan:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki. Täydellinen vastaus koostuu kahdesta juurisarjasta:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangentti- ja kotangenttiyhtälöt voidaan ratkaista helposti käyttämällä samaa yleisperiaatetta trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Jos tietysti osaat piirtää tangentin ja kotangentin trigonometriseen ympyrään.

Yllä olevissa esimerkeissä käytin sinin ja kosinin taulukkoarvoa: 0,5. Nuo. yksi niistä merkityksistä, jotka opiskelija tietää on pakko. Laajennamme nyt kykyjämme kaikki muut arvot. Päätä, niin päätä!)

Joten sanotaan, että meidän on ratkaistava tämä trigonometrinen yhtälö:

Sellainen kosiniarvo sisään lyhyet taulukot Ei. Jätämme kylmästi huomiotta tämän kauhean tosiasian. Piirrä ympyrä, merkitse 2/3 kosiniakselille ja piirrä vastaavat kulmat. Saamme tämän kuvan.

Katsotaanpa ensin ensimmäisen neljänneksen kulmaa. Jos vain tietäisimme, mikä x on yhtä suuri, kirjoittaisimme vastauksen heti ylös! Emme tiedä... Epäonnistuminen!? Rauhoittaa! Matematiikka ei jätä omaa kansaansa pulaan! Hän keksi kaarikosinukset tätä tapausta varten. En tiedä? Turhaan. Ota selvää, se on paljon helpompaa kuin luulet. Tässä linkissä ei ole ainuttakaan hankalaa loitsua "käänteistrigonometrisista funktioista"... Tämä on tarpeetonta tässä aiheessa.

Jos olet perillä, sano vain itsellesi: "X on kulma, jonka kosini on 2/3." Ja heti, puhtaasti kaarikosinin määritelmän perusteella, voimme kirjoittaa:

Muistamme lisäkierrokset ja kirjoitamme rauhallisesti ylös trigonometrisen yhtälömme juuret:

x 1 = kaari 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Toisen kulman toinen juurisarja kirjoitetaan lähes automaattisesti. Kaikki on sama, vain X (arccos 2/3) on miinuksella:

x 2 = - kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja siinä se! Tämä on oikea vastaus. Jopa helpompaa kuin taulukkoarvoilla. Mitään ei tarvitse muistaa.) Muuten tarkkaavaisimmat huomaavat, että tässä kuvassa on ratkaisu kaarikosinin kautta pohjimmiltaan ei eroa kuvasta yhtälölle cosx = 0,5.

Tarkalleen! Yleinen käytäntö Siksi se on yleistä! Piirsin tarkoituksella kaksi lähes identtistä kuvaa. Ympyrä näyttää meille kulman X kosinuksensa mukaan. Onko se taulukon kosini vai ei, on kaikille tuntematon. Millainen kulma tämä on, π /3 tai mikä kaarikosini on - se on meidän päätettävissämme.

Sama kappale sinin kanssa. Esimerkiksi:

Piirrä uudelleen ympyrä, merkitse sini yhtä suuri kuin 1/3, piirrä kulmat. Tämä on kuva, jonka saamme:

Ja taas kuva on melkein sama kuin yhtälössä sinx = 0,5. Aloitamme jälleen kulmasta ensimmäisellä neljänneksellä. Mikä on X, jos sen sini on 1/3? Ei ongelmaa!

Nyt on ensimmäinen juuripakkaus valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Käsitellään toista kulmaa. Esimerkissä, jossa taulukon arvo oli 0,5, se oli yhtä suuri:

π - x

Sama tulee olemaan täälläkin! Vain x on erilainen, arcsin 1/3. Mitä sitten!? Voit kirjoittaa turvallisesti muistiin toisen juuripaketin:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on täysin oikea vastaus. Vaikka se ei näytä kovin tutulta. Mutta asia on selvä, toivottavasti.)

Näin trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​ympyrän avulla. Tämä tie on selkeä ja ymmärrettävä. Hän säästää trigonometrisissa yhtälöissä juurien valinnalla tietyllä aikavälillä, trigonometrisissa epäyhtälöissä - ne ratkaistaan ​​yleensä melkein aina ympyrässä. Lyhyesti sanottuna kaikissa tehtävissä, jotka ovat hieman vaikeampia kuin tavalliset.

Sovelletaanko tietoa käytännössä?)

Ratkaise trigonometriset yhtälöt:

Ensinnäkin yksinkertaisempaa, suoraan tästä oppitunnista.

Nyt se on monimutkaisempaa.

Vihje: tässä sinun täytyy ajatella ympyrää. Henkilökohtaisesti.)

Ja nyt ne ovat ulkoisesti yksinkertaisia... Niitä kutsutaan myös erikoistapauksiksi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: tässä sinun täytyy selvittää ympyrässä, missä on kaksi vastaussarjaa ja missä on yksi... Ja kuinka kirjoittaa yksi kahden vastaussarjan sijaan. Kyllä, jotta yhtäkään juurta ei menetetä äärettömästä luvusta!)

No, hyvin yksinkertaista):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: tässä sinun on tiedettävä, mitä arcsiini ja arkosiini ovat? Mikä on arctangentti, arkotangentti? Eniten yksinkertaiset määritelmät. Mutta sinun ei tarvitse muistaa taulukon arvoja!)

Vastaukset ovat tietysti sotkuisia):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Lue oppitunti uudelleen. Vain harkiten(sellaista on vanhentunut sana...) Ja seuraa linkkejä. Päälinkit koskevat ympyrää. Ilman sitä trigonometria on kuin tien ylittämistä sidottuina. Joskus se toimii.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Monimutkaisemmat trigonometriset yhtälöt

Yhtälöt

synti x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ovat yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Tässä kappaleessa konkreettisia esimerkkejä Tarkastellaan monimutkaisempia trigonometrisiä yhtälöitä. Niiden ratkaisu pääsääntöisesti rajoittuu yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Esimerkki 1 . Ratkaise yhtälö

synti 2 X=cos X synti 2 x.

Siirtämällä kaikki tämän yhtälön ehdot vasemmalle puolelle ja laskemalla tuloksena oleva lauseke, saadaan:

synti 2 X(1 - cos X) = 0.

Kahden lausekkeen tulo on nolla silloin ja vain, jos ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla ja toinen saa minkä tahansa numeerinen arvo, niin kauan kuin se on määritelty.

Jos synti 2 X = 0 , sitten 2 X= n π ; X = π / 2n.

Jos 1 - cos X = 0 , sitten cos X = 1; X = 2kπ .

Joten meillä on kaksi juuriryhmää: X = π / 2n; X = 2kπ . Toinen juuriryhmä sisältyy ilmeisesti ensimmäiseen, koska n = 4k lauseke X = π / 2n tulee
X = 2kπ .

Siksi vastaus voidaan kirjoittaa yhteen kaavaan: X = π / 2n, Missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

Huomaa, että tätä yhtälöä ei voitu ratkaista vähentämällä sin 2:lla x. Todellakin, pelkistyksen jälkeen saisimme 1 - cos x = 0, mistä X= 2k π . Joten menettäisimme esimerkiksi joitakin juuria π / 2 , π , 3π / 2 .

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö

Murtoluku on nolla vain, jos sen osoittaja on nolla.
Siksi synti 2 X = 0 , mistä 2 X= n π ; X = π / 2n.

Näistä arvoista X sinun täytyy heittää pois vieraina ne arvot, joilla syntiX menee nollaan (nolla-nimittäjillä murtoluvuilla ei ole merkitystä: nollalla jako on määrittelemätön). Nämä arvot ovat lukuja, jotka ovat kerrannaisia π . Kaavassa
X = π / 2n ne saadaan tasahinnalla n. Siksi tämän yhtälön juuret ovat numerot

X = π / 2 (2k + 1),

missä k on mikä tahansa kokonaisluku.

Esimerkki 3 . Ratkaise yhtälö

2 synti 2 X+ 7cos x - 5 = 0.

Ilmaistaan synti 2 X kautta cosx : synti 2 X = 1 - cos 2x . Sitten tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , tai

2cos 2 x- 7 hintaa x + 3 = 0.

Nimeäminen cosx kautta klo, saavumme toisen asteen yhtälöön

2у 2 - 7у + 3 = 0,

jonka juuret ovat luvut 1/2 ja 3. Tämä tarkoittaa, että joko cos x= 1/2 tai cos X= 3. Jälkimmäinen on kuitenkin mahdotonta, koska minkään kulman kosini ei ylitä 1 absoluuttisena arvona.

Se on vielä myönnettävä cos x = 1 / 2 , missä

x = ± 60° + 360° n.

Esimerkki 4 . Ratkaise yhtälö

2 syntiä X+ 3 cos x = 6.

Synnistä lähtien x ja cos x itseisarvo ei ylitä 1, niin lauseke
2 syntiä X+ 3 cos x ei voi ottaa arvoja suurempia kuin 5 . Siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Esimerkki 5 . Ratkaise yhtälö

synti X+cos x = 1

Neliöimällä tämän yhtälön molemmat puolet, saamme:

synti 2 X+ 2 syntiä x cos x+ cos 2 x = 1,

Mutta synti 2 X + cos 2 x = 1 . Siksi 2 syntiä x cos x = 0 . Jos synti x = 0 , Tuo X = nπ ; jos
cos x , Tuo X = π / 2 + kπ . Nämä kaksi ratkaisuryhmää voidaan kirjoittaa yhteen kaavaan:

X = π / 2n

Koska neliöimme tämän yhtälön molemmat puolet, on mahdollista, että saamiemme juurien joukossa on vieraita juuria. Tästä syystä tässä esimerkissä, toisin kuin kaikissa edellisissä, on tarpeen tehdä tarkistus. Kaikki merkitykset

X = π / 2n voidaan jakaa 4 ryhmään

	1) X = 2kπ .	(n = 4 k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4 k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4 k + 3)

klo X = 2kπ synti x+cos x= 0 + 1 = 1. Siksi X = 2kπ ovat tämän yhtälön juuret.

klo X = π / 2 + 2kπ. synti x+cos x= 1 + 0 = 1 Joten X = π / 2 + 2kπ- myös tämän yhtälön juuret.

klo X = π + 2kπ synti x+cos x= 0 - 1 = - 1. Siksi arvot X = π + 2kπ eivät ole tämän yhtälön juuria. Samoin se on osoitettu X = 3π / 2 + 2kπ. eivät ole juuria.

Tällä yhtälöllä on siis seuraavat juuret: X = 2kπ Ja X = π / 2 + 2 mπ., Missä k Ja m- mitkä tahansa kokonaisluvut.

Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaarinen ja neliöllinen epätasa-arvo, murto-osayhtälöt ja yhtälöt, jotka pelkistyvät neliöllisiksi. Jokaisen mainitun ongelman onnistuneen ratkaisemisen periaate on seuraava: sinun on määritettävä, minkä tyyppistä ongelmaa olet ratkaisemassa, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

On selvää, että onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Tilanne on erilainen kanssa trigonometriset yhtälöt. Ei ole ollenkaan vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Tekijä: ulkomuoto yhtälöstä, sen tyyppiä on joskus vaikea määrittää. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "identtisiin funktioihin";
3. kerro yhtälön vasen puoli jne.

Harkitsemme perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaista trigonometrinen funktio tunnettujen komponenttien kautta.

Vaihe 2. Etsi funktion argumentti kaavoilla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva vaihto

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Vähennä yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2. Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3. Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4. Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2, ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella kaavalla asteen pienentämiseksi:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö menetelmillä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Pienennä tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tan x:n yhtälö:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 tai t = -4, mikä tarkoittaa

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikkia mahdollisia trigonometrisiä kaavoja, vähennä tämä yhtälö yhtälöksi, joka ratkaistaan ​​menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x = π/4 + πn/2, n ЄZ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taito ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä on erittäin hyvä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavaa panosta sekä opiskelijalta että opettajalta.

Monet stereometrian, fysiikan jne. ongelmat liittyvät trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun. Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää monia tietoja ja taitoja, jotka hankitaan tutkimalla trigonometrian elementtejä.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan oppimisprosessissa ja henkilökohtaisessa kehityksessä yleensä.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemusta - sinin ja kosinin neliöiden summaa, tangentin ilmaisua sinin ja kosinin kautta ja muita. Niille, jotka ovat unohtaneet ne tai eivät tiedä niitä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Joten tiedämme trigonometriset peruskaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen klo oikea lähestymistapa- tarpeeksi jännittävää toimintaa, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Itse nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On olemassa niin sanottuja yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä. Tältä ne näyttävät: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Harkitsemme kuinka ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt, käytämme selvyyden vuoksi jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx = a

cos x = a

rusketus x = a

pinnasänky x = a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan ​​kahdessa vaiheessa: pelkistämme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoonsa ja ratkaisemme sen sitten yksinkertaisena trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Muuttujan substituutio ja korvausmenetelmä

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Pelkistyskaavojen avulla saamme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Korvaa cos(x + /6) y:llä yksinkertaistaaksesi ja saadaksesi tavallisen toisen asteen yhtälön:

2v 2 – 3v + 1 + 0

Joiden juuret ovat y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyt mennään päinvastaisessa järjestyksessä

Korvaamme y:n löydetyt arvot ja saamme kaksi vastausvaihtoehtoa:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tekijöiden jakamisen avulla

Kuinka ratkaista yhtälö sin x + cos x = 1?

Siirretään kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x – 1 = 0

Käytämme yllä käsiteltyjä identiteettejä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Laitetaan tekijöihin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen ehdot ovat suhteessa saman kulman saman potenssin siniin ja kosiniin. Homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi toimi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenensä vasemmalle puolelle;

b) poista kaikki yleiset tekijät suluista;

c) samastaa kaikki tekijät ja sulut nollaan;

d) suluissa saadaan alemman asteen homogeeninen yhtälö, joka puolestaan ​​jaetaan korkeamman asteen siniksi tai kosiniksi;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg:lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Käytetään kaavaa sin 2 x + cos 2 x = 1 ja päästään eroon oikeasta avoimesta kahdesta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jaa cos x:llä:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Korvaa tan x y:llä ja saat toisen asteen yhtälön:

y 2 + 4y +3 = 0, jonka juuret ovat y 1 =1, y 2 = 3

Täältä löydämme kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 = arctan 3 + k

4. Yhtälöiden ratkaiseminen siirtymisen kautta puolikulmaan

Ratkaise yhtälö 3sin x – 5cos x = 7

Siirrytään kohtaan x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Siirretään kaikki vasemmalle:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jaa cos:lla (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Apukulman esittely

Otetaan pohdittavaksi yhtälö muotoa: a sin x + b cos x = c,

missä a, b, c ovat mielivaltaisia ​​kertoimia ja x on tuntematon.

Jaetaan yhtälön molemmat puolet:



Nyt yhtälön kertoimet mukaan trigonometriset kaavat niillä on ominaisuudet sin ja cos, nimittäin: niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1 ja neliöiden summa = 1. Merkitään niitä vastaavasti cos ja sin, missä - tämä on ns. apukulma. Sitten yhtälö saa muodon:

cos * sin x + sin * cos x = C

tai sin(x + ) = C

Tämän yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisu on

x = (-1) k * arcsin C - + k, missä



On huomattava, että merkinnät cos ja sin ovat keskenään vaihdettavissa.

Ratkaise yhtälö sin 3x – cos 3x = 1

Tämän yhtälön kertoimet ovat:

a = , b = -1, joten jaa molemmat puolet = 2:lla

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa lain mukaisesti oikeudellista menettelyä, oikeuskäsittelyssä ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion virastojen pyyntöjen perusteella - henkilötietojesi paljastamiseen. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.