Suorat ab ja bc ovat yhdensuuntaiset, leikkaavat ja risteävät. Määritelmä

Lause. Jos yksi suora on tietyssä tasossa ja toinen suora leikkaa tämän tason pisteessä, joka ei kuulu ensimmäiseen suoraan, nämä kaksi suoraa leikkaavat. Linjojen ylitysmerkki Todiste. Olkoon viiva a tasossa, ja suora b leikkaa tason pisteessä B, joka ei kuulu suoralle a. Jos suorat a ja b ovat samassa tasossa, niin tässä tasossa olisi myös piste B. Koska suoran läpi kulkee vain yksi taso ja sen ulkopuolella on piste, niin tämän tason on oltava taso. Mutta silloin suora b olisi tasossa, mikä on ristiriidassa ehdon kanssa. Näin ollen suorat a ja b eivät ole samassa tasossa, ts. risteyttää.

Kuinka monta vinoviivaparia on olemassa, jotka sisältävät säännöllisen kolmiomaisen prisman reunat? Ratkaisu: Jokaisella pohjan reunalla on kolme reunaa, jotka leikkaavat sen kanssa. Jokaista sivureunaa kohden on kaksi kylkeä, jotka leikkaavat sen kanssa. Siksi vaadittu määrä vinoviivoja on Harjoitus 5

Kuinka monta vinoviivaparia on olemassa, jotka sisältävät säännöllisen kuusikulmaisen prisman reunat? Ratkaisu: Pohjien jokainen reuna osallistuu 8 pariin risteäviä viivoja. Jokainen sivureuna osallistuu 8 pariin risteäviä viivoja. Siksi vaadittu määrä vinoviivoja on harjoitus 6

Jos kahdella avaruuden suoralla on yhteinen piste, niin näiden kahden suoran sanotaan leikkaavan. Seuraavassa kuvassa suorat a ja b leikkaavat pisteessä A. Suorat a ja c eivät leikkaa.

Kahdella suoralla joko on vain yksi yhteinen piste tai niillä ei ole yhteisiä pisteitä.

Yhdensuuntaiset viivat

Kahta avaruudessa olevaa suoraa kutsutaan rinnakkaiseksi, jos ne sijaitsevat samassa tasossa eivätkä leikkaa. Merkitse yhdensuuntaiset viivat erityisellä kuvakkeella - ||.

Merkintä a||b tarkoittaa, että suora a on yhdensuuntainen suoran b kanssa. Yllä esitetyssä kuvassa suorat a ja c ovat yhdensuuntaiset.

Rinnakkaisviivat Lause

Minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, kulkee tietyn kanssa yhdensuuntainen suora ja lisäksi vain yksi.

Ylittää rajoja

Kaksi samassa tasossa olevaa suoraa voivat joko leikata tai olla yhdensuuntaisia. Mutta avaruudessa kaksi suoraa ei välttämättä kuulu tähän tasoon. Ne voivat sijaita kahdessa eri tasossa.

On selvää, että eri tasoilla sijaitsevat suorat eivät leikkaa eivätkä ole yhdensuuntaisia ​​suoria. Kutsutaan kahta suoraa, jotka eivät ole samassa tasossa suorien linjojen ylittämistä.

Seuraavassa kuvassa on kaksi leikkaavaa suoraa a ja b, jotka sijaitsevat eri tasoissa.

Testi ja lause vinojuovista

Jos toinen kahdesta suorasta on tietyssä tasossa ja toinen suora leikkaa tämän tason pisteessä, joka ei ole ensimmäisellä suoralla, nämä suorat leikkaavat.

Lause vinoista viivoista: kunkin kahdesta leikkaavasta suorasta kulkee taso, joka on yhdensuuntainen toisen suoran kanssa, ja lisäksi vain yksi.

Olemme siis tarkastelleet kaikkia mahdollisia tapauksia viivojen suhteellisista paikoista avaruudessa. Niitä on vain kolme.

1. Suorat leikkaavat. (Toisin sanoen niillä on vain yksi yhteinen kohta.)

2. Suorat ovat yhdensuuntaiset. (Toisin sanoen niillä ei ole yhteisiä pisteitä ja ne sijaitsevat samassa tasossa.)

3. Suorat linjat risteävät. (Toisin sanoen ne sijaitsevat eri tasoissa.)

Ei kulunut minuuttiakaan ennen kuin loin uuden Verdov-tiedoston ja jatkoin niin kiehtovaa aihetta. Sinun on vangittava työtunnelman hetkiä, jotta lyyristä johdatusta ei tule. Tulee proosallinen piiskaus =)

Kaksi suoraa välilyöntiä voivat:

1) risteytys;

2) leikkaa pisteessä ;

3) olla yhdensuuntainen;

4) ottelu.

Tapaus nro 1 eroaa olennaisesti muista tapauksista. Kaksi suoraa leikkaavat, jos ne eivät ole samassa tasossa. Nosta toinen käsi ylös ja ojenna toinen käsi eteenpäin - tässä on esimerkki linjojen ylittämisestä. Kohdissa nro 2-4 suorien viivojen on oltava yhdessä tasossa.

Kuinka selvittää viivojen suhteellinen sijainti avaruudessa?

Harkitse kahta suoraa tilaa:

– pisteen ja suuntavektorin määrittelemä suora;
– pisteen ja suuntavektorin määrittelemä suora.

Paremman ymmärtämisen vuoksi tehdään kaaviomainen piirustus:

Piirustuksessa on esimerkkinä leikkaavia suoria viivoja.

Kuinka käsitellä näitä suoria linjoja?

Koska pisteet tunnetaan, vektori on helppo löytää.

Jos suoraan risteyttää, sitten vektorit ei samassa tasossa(katso oppitunti Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektorien perusta), ja siksi niiden koordinaateista muodostuva determinantti on nollasta poikkeava. Tai, mikä on itse asiassa sama asia, se ei ole nolla: .

Tapauksissa nro 2-4 rakenteemme "putoaa" yhteen tasoon ja vektorit koplanaarinen, ja lineaarisesti riippuvien vektorien sekatulo on nolla: .

Laajennamme algoritmia edelleen. Teeskennetäänpä sitä Siksi suorat joko leikkaavat, ovat yhdensuuntaisia ​​tai osuvat yhteen.

Jos suuntavektorit kollineaarinen, niin suorat ovat joko yhdensuuntaisia ​​tai yhteensopivia. Viimeiseksi naulaksi ehdotan seuraavaa tekniikkaa: ota mikä tahansa piste yhdeltä viivalta ja korvaa sen koordinaatit toisen rivin yhtälöön; jos koordinaatit "sopivat", niin suorat ovat samat; jos ne "eivät sovi", niin suorat ovat yhdensuuntaisia.

Algoritmi on yksinkertainen, mutta käytännön esimerkit auttavat silti:

Esimerkki 11

Selvitä kahden viivan suhteellinen sijainti

Ratkaisu: kuten monissa geometriatehtävissä, ratkaisu on kätevä muotoilla piste kerrallaan:

1) Otamme yhtälöistä pisteet ja suuntavektorit:

2) Etsi vektori:

Siten vektorit ovat samassa tasossa, mikä tarkoittaa, että suorat ovat samassa tasossa ja voivat leikkaaa, olla yhdensuuntaisia ​​tai yhtyä.

4) Tarkistetaan suuntavektorien kollineaarisuus.

Luodaan näiden vektorien vastaavista koordinaateista järjestelmä:

From kaikille Yhtälöistä seuraa, että järjestelmä on siten johdonmukainen, vektorien vastaavat koordinaatit ovat verrannollisia ja vektorit ovat kollineaarisia.

Johtopäätös: viivat ovat yhdensuuntaisia ​​tai yhtenevät.

5) Selvitä, onko suorilla yhteisiä pisteitä. Otetaan ensimmäiseen riviin kuuluva piste ja korvataan sen koordinaatit suoran yhtälöillä:

Siten viivoilla ei ole yhteisiä pisteitä, eikä niillä ole muuta vaihtoehtoa kuin olla yhdensuuntaisia.

Vastaus:

Mielenkiintoinen esimerkki ratkaistaksesi itse:

Esimerkki 12

Selvitä viivojen suhteellinen sijainti

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Huomaa, että toisella rivillä on kirjain parametrina. Looginen. Yleensä nämä ovat kaksi eri riviä, joten jokaisella rivillä on oma parametrinsa.

Ja jälleen kehotan teitä olemaan ohittamatta esimerkkejä, ehdottamani tehtävät ovat kaukana satunnaisista ;-)

Ongelmia linjan kanssa avaruudessa

Oppitunnin viimeisessä osassa yritän ottaa huomioon tilaviivojen erilaisten ongelmien enimmäismäärän. Tässä tapauksessa noudatetaan tarinan alkuperäistä järjestystä: ensin tarkastellaan linjojen ylittämiseen liittyviä ongelmia, sitten leikkaavia linjoja ja lopuksi puhumme yhdensuuntaisista viivoista avaruudessa. Minun on kuitenkin sanottava, että jotkut tämän oppitunnin tehtävät voidaan muotoilla useille rivien sijainnin tapauksille kerralla, ja tässä suhteessa osion jakaminen kappaleisiin on hieman mielivaltaista. On yksinkertaisempia esimerkkejä, on monimutkaisempia esimerkkejä, ja toivottavasti jokainen löytää tarvitsemansa.

Ylittää rajoja

Muistutan teitä siitä, että suorat leikkaavat, jos ei ole tasoa, jossa ne molemmat sijaitsevat. Kun mietin harjoitusta, mieleeni tuli hirviöongelma, ja nyt esitän mielelläni huomionne lohikäärmeen, jolla on neljä päätä:

Esimerkki 13

Annetut suorat viivat. Edellytetään:

a) todistaa, että suorat leikkaavat;

b) löytää yhtälöt annettuja suoria vastaan ​​kohtisuorassa olevan pisteen kautta kulkevalle suoralle;

c) muodostaa yhtälöitä suorasta, joka sisältää yhteinen kohtisuora ylittää rajoja;

d) selvitä viivojen välinen etäisyys.

Ratkaisu: Se, joka kävelee, hallitsee tien:

a) Osoitetaan, että suorat leikkaavat. Etsitään näiden viivojen pisteet ja suuntavektorit:

Etsitään vektori:

Lasketaan vektorien sekatulo:

Eli vektorit ei samassa tasossa, mikä tarkoittaa, että suorat leikkaavat, mikä on todistettava.

Todennäköisesti kaikki ovat jo pitkään huomanneet, että linjojen ylittämisen varmistusalgoritmi on lyhin.

b) Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöt, joka on kohtisuorassa suoria vastaan. Tehdään kaavamainen piirustus:

Muutoksen vuoksi lähetin suoran TAKANA suora, katso kuinka se on hieman pyyhitty risteyskohdista. Risteytys? Kyllä, yleensä suora "de" ylitetään alkuperäisten suorien viivojen kanssa. Vaikka emme ole kiinnostuneita tästä hetkestä, meidän on vain rakennettava kohtisuora viiva ja se on siinä.

Mitä tiedetään suorasta "de":stä? Siihen kuuluva piste on tiedossa. Ohjausvektoria ei ole tarpeeksi.

Ehdon mukaan suoran tulee olla kohtisuorassa suoria viivoja vastaan, mikä tarkoittaa, että sen suuntavektori on kohtisuora suuntavektoreihin nähden. Esimerkistä 9 jo tuttu, etsitään vektoritulo:

Laaditaan yhtälöt suoralle "de" käyttäen pistettä ja suuntavektoria:

Valmis. Periaatteessa voit muuttaa nimittäjien merkkejä ja kirjoittaa vastauksen lomakkeeseen , mutta sille ei ole tarvetta.

Tarkistaaksesi sinun on korvattava pisteen koordinaatit tuloksena oleviin suorayhtälöihin ja käytä sitten vektorien skalaaritulo varmista, että vektori on todella ortogonaalinen suuntavektoreihin "pe one" ja "pe two".

Kuinka löytää yhtälöt suoralle, joka sisältää yhteisen kohtisuoran?

c) Tämä ongelma on vaikeampi. Suosittelen tutteja jättämään tämän kohdan väliin, en halua jäädyttää vilpitöntä myötätuntoa analyyttistä geometriaa kohtaan =) Muuten, valmistautuneempienkin lukijoiden olisi ehkä parempi pidätellä, tosiasia on, että monimutkaisuuden kannalta esimerkki tulee sijoittaa artikkelin viimeiseksi, mutta esityslogiikan mukaan sen tulisi sijaita tässä.

Joten sinun on löydettävä yhtälöt suoralle, joka sisältää vinoviivojen yhteisen kohtisuoran.

- tämä on jana, joka yhdistää nämä viivat ja on kohtisuorassa näihin linjoihin:

Tässä on komea kaverimme: - risteävien linjojen yhteinen kohtisuora. Hän on ainoa. Ei ole toista vastaavaa. Meidän on luotava yhtälöt riville, joka sisältää tämän segmentin.

Mitä tiedetään suorasta "um"? Sen suuntavektori tunnetaan, löytyy edellisestä kappaleesta. Mutta valitettavasti emme tiedä yhtäkään suoralle ”em” kuuluvaa pistettä, emmekä myöskään kohtisuoran päitä – pisteitä . Missä tämä kohtisuora viiva leikkaa kaksi alkuperäistä suoraa? Afrikassa, Etelämantereella? Tilanteen alustavan tarkastelun ja analyysin perusteella ei ole ollenkaan selvää, kuinka ongelma ratkaistaan... Mutta suoran viivan parametristen yhtälöiden käyttöön liittyy hankala temppu.

Muotoilemme päätöksen kohta kohdalta:

1) Kirjoitetaan ensimmäisen rivin yhtälöt parametrimuotoon:

Mietitään asiaa. Emme tiedä koordinaatteja. MUTTA. Jos piste kuuluu tietylle suoralle, niin sen koordinaatit vastaavat , merkitään se viivalla . Sitten pisteen koordinaatit kirjoitetaan muodossa:

Elämä paranee, yksi tuntematon ei silti ole kolme tuntematonta.

2) Sama raivo on suoritettava toisessa kohdassa. Kirjoitetaan toisen rivin yhtälöt parametrimuotoon:

Jos piste kuuluu tietylle suoralle, niin jolla on hyvin erityinen merkitys sen koordinaattien on täytettävä parametriyhtälöt:

Tai:

3) Vektori, kuten aiemmin löydetty vektori, tulee olemaan suoran ohjaava vektori. Luokassa keskusteltiin ikimuistoisista ajoista, kuinka rakentaa vektori kahdesta pisteestä Vektorit tutille. Erona on nyt se, että vektorien koordinaatit kirjoitetaan tuntemattomilla parametriarvoilla. Mitä sitten? Kukaan ei kiellä vähentämään vektorin alun vastaavia koordinaatteja vektorin lopun koordinaateista.

Siinä on kaksi kohtaa: .

Vektorin löytäminen:

4) Koska suuntavektorit ovat kollineaarisia, yksi vektori ilmaistaan ​​lineaarisesti toisen kautta tietyllä suhteellisuuskertoimella "lambda":

Tai koordinoi koordinaatilta:

Se osoittautui tavallisimmaksi lineaarinen yhtälöjärjestelmä kolmella tuntemattomalla, joka on tavallisesti ratkaistavissa esim. Cramerin menetelmä. Mutta tässä on mahdollista päästä pois pienellä tappiolla; kolmannesta yhtälöstä ilmaistaan ​​"lambda" ja korvaamme sen ensimmäiseen ja toiseen yhtälöön:

Täten: , emmekä tarvitse "lambdaa". Se, että parametrien arvot osoittautuivat samoiksi, on puhtaasti sattumaa.

5) Taivas on täysin selkeä, korvataan löydetyt arvot meidän pisteisiin:

Suuntavektoria ei erityisesti tarvita, koska sen vastine on jo löydetty.

On aina mielenkiintoista tarkistaa pitkän matkan jälkeen.

:

Oikeat yhtäläisyydet saadaan.

Korvataan pisteen koordinaatit yhtälöihin :

Oikeat yhtäläisyydet saadaan.

6) Loppusointu: luodaan suoran yhtälöt pisteen (voit ottaa sen) ja suuntavektorin avulla:

Periaatteessa voit valita "hyvän" pisteen ehjät koordinaatit, mutta tämä on kosmeettista.

Kuinka löytää etäisyys risteävien viivojen välillä?

d) Katkaisimme lohikäärmeen neljännen pään.

Menetelmä yksi. Ei edes menetelmä, vaan pieni erikoistapaus. Ristikkäisten viivojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin niiden yhteisen kohtisuoran pituus: .

Yhteisen kohtisuoran ääripisteet löytyy edellisestä kappaleesta, ja tehtävä on alkeellinen:

Menetelmä kaksi. Käytännössä yhteisen kohtisuoran päät ovat useimmiten tuntemattomia, joten käytetään erilaista lähestymistapaa. Yhdensuuntaiset tasot voidaan piirtää kahden leikkaavan suoran kautta, ja näiden tasojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin näiden suorien välinen etäisyys. Erityisesti yhteinen kohtisuora työntyy näiden tasojen väliin.

Analyyttisen geometrian aikana yllä olevista huomioista johdetaan kaava leikkaavien suorien välisen etäisyyden löytämiseksi:
(pisteidemme "um yksi, kaksi" sijasta voit ottaa mielivaltaisia ​​viivojen pisteitä).

Vektorien sekatulo löytyy jo kohdasta "a": .

Vektoritulo vektoreista löytyy kappaleesta "olla": , lasketaan sen pituus:

Täten:

Esitetään ylpeänä palkinnot yhdessä rivissä:

Vastaus:
A) , mikä tarkoittaa, että suorat leikkaavat, mikä oli todistettava;
b) ;
V) ;
G)

Mitä muuta voit kertoa rajojen ylittämisestä? Niiden välillä on määritelty kulma. Mutta tarkastelemme universaalia kulmakaavaa seuraavassa kappaleessa:

Leikkaavat suorat tilat ovat välttämättä samassa tasossa:

Ensimmäinen ajatus on nojata risteyspisteeseen kaikella voimallasi. Ja minä heti ajattelin, miksi kieltää itseltäsi oikeat toiveet?! Mennään hänen päälleen heti!

Kuinka löytää tilaviivojen leikkauspiste?

Esimerkki 14

Etsi viivojen leikkauspiste

Ratkaisu: Kirjoitetaan rivien yhtälöt parametrimuotoon:

Tätä tehtävää käsiteltiin yksityiskohtaisesti tämän oppitunnin esimerkissä 7 (katso. Suoran yhtälöt avaruudessa). Ja muuten, otin itse suorat esimerkistä nro 12. En valehtele, olen liian laiska keksimään uusia.

Ratkaisu on standardi, ja se on jo nähty, kun yritimme selvittää leikkausviivojen yhteisen kohtisuoran yhtälöitä.

Viivojen leikkauspiste kuuluu suoralle, joten sen koordinaatit täyttävät tämän suoran parametriset yhtälöt ja vastaavat niitä hyvin tarkka parametriarvo:

Mutta tämä sama kohta kuuluu myös toiseen riviin, joten:

Yhdistämme vastaavat yhtälöt ja teemme yksinkertaistuksia:

Saadaan kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta. Jos suorat leikkaavat (mikä on todistettu esimerkissä 12), järjestelmä on välttämättä johdonmukainen ja sillä on ainutlaatuinen ratkaisu. Se voidaan ratkaista Gaussin menetelmä, mutta emme tee syntiä sellaisella päiväkotifetisismillä, teemme sen yksinkertaisemmin: ilmaisemme ensimmäisestä yhtälöstä "te zero" ja korvaamme sen toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

Kaksi viimeistä yhtälöä osoittautuivat oleellisesti samoiksi, ja niistä seuraa, että . Sitten:

Korvataan parametrin löydetty arvo yhtälöihin:

Vastaus:

Tarkistaaksemme korvaamme parametrin löydetyn arvon yhtälöihin:
Samat koordinaatit saatiin tarkistettavaksi. Huolellinen lukija voi korvata pisteen koordinaatit alkuperäisillä kanonisilla suorien yhtälöillä.

Muuten, oli mahdollista tehdä päinvastoin: etsi piste "es zero":n kautta ja tarkista se "te zero":n kautta.

Tunnettu matemaattinen taikausko sanoo: missä viivojen leikkauspisteestä puhutaan, siellä haisee aina kohtisuorat.

Kuinka rakentaa avaruusviiva, joka on kohtisuorassa annettuun kohtaan?

(viivat leikkaavat)

Esimerkki 15

a) Kirjoita muistiin yhtälöt suoralle, joka kulkee suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevan pisteen kautta (viivat leikkaavat).

b) Etsi pisteen ja suoran välinen etäisyys.

Huomautus : lause "viivat leikkaavat" - merkittävä. Pisteen läpi
voit piirtää äärettömän määrän kohtisuoraa viivaa, jotka leikkaavat suoran "el". Ainoa ratkaisu on siinä tapauksessa, että piirretään suora, joka on kohtisuora tiettyyn pisteeseen nähden kaksi annettu suoralla viivalla (katso esimerkki nro 13, kohta "b").

A) Ratkaisu: Tuntematonta riviä merkitään . Tehdään kaavamainen piirustus:

Mitä suorasta tiedetään? Ehdon mukaan annetaan piste. Suoran yhtälöiden muodostamiseksi on tarpeen löytää suuntavektori. Vektori on varsin sopiva sellaiseksi vektoriksi, joten käsittelemme sitä. Tarkemmin sanottuna otetaan vektorin tuntematon pää kaulan kärjestä.

1) Otetaan sen suuntavektori suoran "el" yhtälöistä ja kirjoitetaan itse yhtälöt parametrimuotoon:

Monet arvasivat, että nyt kolmatta kertaa oppitunnin aikana taikuri vetää hatusta esiin valkoisen joutsenen. Tarkastellaan pistettä, jonka koordinaatit ovat tuntemattomia. Koska piste on , sen koordinaatit täyttävät suoran "el" parametriyhtälöt ja ne vastaavat tiettyä parametrin arvoa:

Tai yhdellä rivillä:

2) Ehdon mukaan suorien tulee olla kohtisuorassa, joten niiden suuntavektorit ovat ortogonaalisia. Ja jos vektorit ovat ortogonaalisia, niin heidän skalaarituote on yhtä kuin nolla:

Mitä tapahtui? Yksinkertaisin lineaarinen yhtälö, jossa on yksi tuntematon:

3) Parametrin arvo on tiedossa, etsitään kohta:

Ja suuntavektori:
.

4) Muodostetaan suoran yhtälöt pisteen ja suuntavektorin avulla:

Suhteen nimittäjät osoittautuivat murto-osiksi, ja näin on juuri silloin, kun murtoluvuista on tarkoituksenmukaista päästä eroon. Kerron ne vain -2:lla:

Vastaus:

Huomautus : ratkaisun tiukempi loppu formalisoidaan seuraavasti: muodostetaan suoran yhtälöt pisteen ja suuntavektorin avulla. Todellakin, jos vektori on suoran ohjaava vektori, niin kollineaarinen vektori on luonnollisesti myös tämän suoran ohjaava vektori.

Varmennus koostuu kahdesta vaiheesta:

1) tarkista suorien suuntavektorien ortogonaalisuus;

2) korvaamme pisteen koordinaatit jokaisen suoran yhtälöissä, niiden pitäisi "sopia" sekä sinne että sinne.

Tyypillisistä toimista puhuttiin paljon, joten tarkistin luonnoksen.

Muuten, unohdin toisen pisteen - rakentaa piste "zyu", joka on symmetrinen pisteeseen "en" suhteessa suoraan "el". On kuitenkin olemassa hyvä "litteä analogi", joka löytyy artikkelista Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla. Tässä ainoa ero on ylimääräisessä "Z"-koordinaatissa.

Kuinka löytää etäisyys pisteestä avaruuden suoraan?

b) Ratkaisu: Etsitään pisteen ja suoran välinen etäisyys.

Menetelmä yksi. Tämä etäisyys on täsmälleen yhtä suuri kuin kohtisuoran pituus: . Ratkaisu on ilmeinen: jos pisteet tunnetaan , Tuo:

Menetelmä kaksi. Käytännön ongelmissa kohtisuoran kanta on usein sinetöity salaisuus, joten on järkevämpää käyttää valmista kaavaa.

Etäisyys pisteestä suoraan ilmaistaan ​​kaavalla:
, missä on suoran "el" suuntausvektori ja - vapaa tiettyyn suoraan kuuluva piste.

1) Suoran yhtälöistä otamme pois suuntavektorin ja helpoimman pisteen.

2) Piste tunnetaan ehdosta, terävöitetään vektoria:

3) Etsitään vektorituote ja laske sen pituus:

4) Laske ohjausvektorin pituus:

5) Siten etäisyys pisteestä suoraan:

viivoja l1 ja l2 kutsutaan vinoiksi, jos ne eivät ole samassa tasossa. Olkoot a ja b näiden suorien suuntavektorit ja pisteet M1 ja M2 kuuluvat suorille l1 ja l2.

Tällöin vektorit a, b, M1M2> eivät ole samassa tasossa, ja siksi niiden sekatulo ei ole yhtä suuri kuin nolla, eli (a, b, M1M2>) =/= 0. Myös käänteinen väite on tosi: if (a, b) , M1M2> ) =/= 0, silloin vektorit a, b, M1M2> eivät ole samassa tasossa, ja siksi suorat l1 ja l2 eivät ole samassa tasossa, eli ne leikkaavat. jos ja vain jos ehto(a, b, M1M2>) =/= 0, missä a ja b ovat suorien suuntavektorit ja M1 ja M2 ovat näille suorille kuuluvat pisteet. Ehto (a, b, M1M2>) = 0 on välttämätön ja riittävä ehto sille, että suorat ovat samassa tasossa. Jos suorat on annettu niiden kanonisilla yhtälöillä

silloin a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) ja ehto (2) kirjoitetaan seuraavasti:

Risteyslinjojen välinen etäisyys

tämä on etäisyys yhden leikkaavan suoran ja sen kanssa yhdensuuntaisen, toisen suoran kautta kulkevan tason välillä. Leikkausviivojen välinen etäisyys on etäisyys yhden leikkaavan suoran jostakin pisteestä tasoon, joka kulkee toisen, ensimmäisen kanssa yhdensuuntaisen suoran kautta linja.

26.Ellipsin määritelmä, kanoninen yhtälö. Kanonisen yhtälön johtaminen. Ominaisuudet.

Ellipsi on tason pisteen geometrinen paikka, jolle tämän tason kahden fokusoidun pisteen F1 ja F2 etäisyyksien summa, joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo. Tässä tapauksessa ellipsin polttopisteiden yhteensopivuus on ei poissuljeta. Jos maut ovat samat, ellipsi on ympyrä. Jokaiselle ellipsille voit löytää karteesisen koordinaattijärjestelmän, jossa ellipsi kuvataan yhtälöllä (ellipsin kanoninen yhtälö):

Se kuvaa origoon keskitettyä ellipsiä, jonka akselit yhtyvät koordinaattiakseleiden kanssa.

Jos oikealla puolella on yksikkö, jossa on miinusmerkki, niin tuloksena oleva yhtälö on:

kuvaa kuvitteellista ellipsiä. Tällaista ellipsiä on mahdotonta kuvata todellisessa tasossa. Merkitään polttopisteet F1:llä ja F2:lla ja niiden välistä etäisyyttä 2c:llä ja etäisyyksien summa ellipsin mielivaltaisesta pisteestä polttopisteisiin 2a:lla.

Ellipsin yhtälön johtamiseksi valitsemme koordinaattijärjestelmän Oxy siten, että polttopisteet F1 ja F2 ovat Ox-akselilla ja origo osuu yhteen janan F1F2 keskikohdan kanssa. Tällöin polttopisteillä on seuraavat koordinaatit: ja Olkoon M(x;y) ellipsin mielivaltainen piste. Sitten ellipsin määritelmän mukaan, ts.

Tämä on pohjimmiltaan ellipsin yhtälö.

27. Hyperbolin määritelmä, kanoninen yhtälö. Kanonisen yhtälön johtaminen. Ominaisuudet

Hyperbola on tason geometrinen pisteen paikka, jolle tämän tason kahden kiinteän pisteen F1 ja F2 välisen etäisyyden absoluuttinen arvo, jota kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo. Olkoon M(x;y) mielivaltainen arvo hyperbolin piste. Sitten hyperabelin määritelmän mukaan |MF 1 – MF 2 |=2a tai MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Paraabelin määritelmä, kanoninen yhtälö. Kanonisen yhtälön johtaminen. Ominaisuudet. Paraabeli on sellaisen tason HMT, jonka etäisyys johonkin tämän tason kiinteään pisteeseen F on yhtä suuri kuin etäisyys johonkin kiinteään suoraan, joka myös sijaitsee tarkasteltavana olevassa tasossa. F – paraabelin fokus; kiinteä viiva on paraabelin suuntaviiva. r=d,

r=; d = x+p/2; (x-p/2)2+y2 =(x+p/2)2; x2-xp+p2/4+y2 =x2+px+p2/4; y 2 =2px;

Ominaisuudet: 1. Paraabelilla on symmetria-akseli (paraabeliakseli); 2. Kaikki

paraabeli sijaitsee Oxy-tason oikeassa puolitasossa kohdassa p>0 ja vasemmalla

jos p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.